A különféle geometriai, fizikai és mérnöki problémák megoldása gyakran olyan egyenletekhez vezet, amelyek az adott problémát jellemző független változókat e változók valamely függvényével, illetve e függvény különböző rendű származékaival kapcsolják össze.

Példaként tekinthetjük egy anyagi pont egyenletesen gyorsított mozgásának legegyszerűbb esetét.

Ismeretes, hogy egy anyagi pont egyenletesen gyorsított mozgás közbeni elmozdulása az idő függvénye, és a következő képlettel fejezzük ki:

Viszont gyorsulás a derivált az idő függvényében t sebességtől V, ami egyben idő derivált is t a költözéstől S. Azok.

Akkor kapjuk:
- az egyenlet összekapcsolja az f(t) függvényt a t független változóval és az f(t) függvény másodrendű deriváltjával.

Meghatározás. Differenciálegyenlet egy egyenlet, amely összekapcsolja a független változókat, azok függvényeit és a függvény deriváltjait (vagy differenciáljait).

Meghatározás. Ha egy differenciálegyenletnek egy független változója van, akkor azt nevezzük közönséges differenciálegyenlet , ha két vagy több független változó van, akkor egy ilyen differenciálegyenletet nevezünk parciális differenciálegyenlet.

Meghatározás. Az egyenletben megjelenő derivált legmagasabb rendű ún a differenciálegyenlet sorrendje .

Példa.

- I. rendű közönséges differenciálegyenlet. Általában le van írva
.

- 2. rendű közönséges differenciálegyenlet. Általában le van írva

- elsőrendű parciális differenciálegyenlet.

Meghatározás. Általános megoldás a differenciálegyenlet egy olyan y = (x, C) differenciálható függvény, amely ha ismeretlen függvény helyett az eredeti egyenletbe behelyettesítjük, az egyenletet azonossá változtatja.

Az általános megoldás tulajdonságai.

1) Mert C konstans tetszőleges érték, akkor általában véve egy differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van.

2) Bármilyen x = x 0, y(x 0) = y 0 kezdeti feltétel mellett van egy olyan C = C 0 érték, amelynél a differenciálegyenlet megoldása az y = (x, C 0) függvény.

Meghatározás. Az y = (x, C 0) alakú megoldást nevezzük privát megoldás differenciálegyenlet.

Meghatározás. Cauchy probléma (Augustin Louis Cauchy (1789-1857) – francia matematikus) az y = (x, C 0) alakú differenciálegyenlet bármely konkrét megoldásának megtalálása, amely kielégíti az y(x 0) = y 0 kezdeti feltételeket.

Cauchy-tétel. (tétel egy elsőrendű differenciálegyenlet megoldásának létezéséről és egyediségéről)

Ha a funkcióf(x, y) bizonyos régiókban folyamatosDa repülőbenXOYés ebben a régióban folyamatos parciális deriváltja van
, akkor bármi legyen is a lényeg (x 0 , y 0 ) a területenD, csak egy megoldás létezik
egyenletek
, egy x pontot tartalmazó intervallumban definiálva 0 , figyelembe véve x = x 0 jelentése (X 0 ) = y 0 , azaz van egy egyedi megoldása a differenciálegyenletnek.

Meghatározás. Integrál Differenciálegyenlet minden olyan egyenlet, amely nem tartalmaz deriváltokat, és amelynek az adott differenciálegyenlet következménye.

Példa. Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!
.

A differenciálegyenlet általános megoldását az egyenlet bal és jobb oldalának integrálásával keressük, amelyet előzőleg a következőképpen transzformáltunk:

Most integráljuk:

az eredeti differenciálegyenlet általános megoldása.

Tegyük fel, hogy adott néhány kezdeti feltétel: x 0 = 1; y 0 = 2, akkor megvan

Ha a kapott konstans értékét behelyettesítjük az általános megoldásba, akkor az adott kezdeti feltételekre konkrét megoldást kapunk (a Cauchy-probléma megoldása).

Meghatározás. Integrálgörbe Az XOY síkon lévő differenciálegyenlet megoldásának y = (x) gráfjának nevezzük.

Meghatározás. Külön döntés alapján A differenciálegyenlet olyan megoldása, amelynek minden pontján a Cauchy-féle egyediség feltételét nevezzük (lásd. Cauchy-tétel.) nem teljesül, azaz. valamely pont (x, y) közelében legalább két integrálgörbe van.

A speciális megoldások nem függnek a C állandótól.

Az általános megoldásból nem kaphatunk speciális megoldást a C konstans egyetlen értékére sem. Ha egy differenciálegyenlet integrálgörbéiből álló családot készítünk, akkor a speciális megoldást egy olyan egyenes ábrázolja, amely minden pontban legalább egy integrálgörbét érint. .

Vegye figyelembe, hogy nem minden differenciálegyenletnek van speciális megoldása.

Példa. Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását:
Keressen speciális megoldást, ha létezik.

Ennek a differenciálegyenletnek van egy speciális megoldása is at= 0. Ezt a megoldást nem kaphatjuk meg az általánosból, de az eredeti egyenletbe behelyettesítve azonosságot kapunk. Az a vélemény, hogy a megoldás y = 0 -val általános megoldásból kaphatjuk meg VEL 1 = 0 rossz, mert C 1 = e C  0.

Ez az online számológép lehetővé teszi differenciálegyenletek online megoldását. Elég beírni az egyenletet a megfelelő mezőbe, a függvény deriváltját aposztrófon keresztül jelölni, és rákattintani az „egyenlet megoldása” gombra, és a népszerű WolframAlpha weboldal alapján megvalósított rendszer részletesen megadja differenciálegyenlet megoldása teljesen ingyenes. Meghatározhat egy Cauchy-problémát is, amellyel a lehetséges megoldások teljes halmazából kiválaszthatja azt a hányadost, amely megfelel az adott kezdeti feltételeknek. A Cauchy-probléma egy külön mezőben van megadva.

Differenciálegyenlet

Alapértelmezés szerint az egyenletben szereplő függvény y egy változó függvénye x. Ha azonban az egyenletbe például y(t)-t ír be, akkor a számológép ezt automatikusan felismeri y változóból van függvény t. Számológép segítségével megteheti differenciálegyenleteket megoldani bármilyen bonyolultságú és típusú: homogén és inhomogén, lineáris vagy nemlineáris, első vagy másodrendű és magasabb rendű, elválasztható vagy el nem választható változókkal rendelkező egyenletek stb. Megoldás diff. az egyenlet elemző formában van megadva, és részletes leírást tartalmaz. A differenciálegyenletek nagyon gyakoriak a fizikában és a matematikában. Számításuk nélkül lehetetlen sok problémát megoldani (főleg a matematikai fizikában).

A differenciálegyenletek megoldásának egyik szakasza a függvények integrálása. A differenciálegyenletek megoldására szabványos módszerek léteznek. Az egyenleteket y és x elválasztható változókkal rendelkező formára kell redukálni, és az elválasztott függvényeket külön integrálni. Ehhez néha bizonyos cserét kell végrehajtani.

I. Közönséges differenciálegyenletek

1.1. Alapfogalmak és definíciók

A differenciálegyenlet egy független változóra vonatkozó egyenlet x, a szükséges funkciót yés származékai vagy differenciáljai.

Szimbolikusan a differenciálegyenlet a következőképpen van felírva:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Egy differenciálegyenletet közönségesnek nevezünk, ha a szükséges függvény egy független változótól függ.

Differenciálegyenlet megoldása függvénynek nevezzük, amely ezt az egyenletet azonossággá alakítja.

A differenciálegyenlet sorrendje az ebben az egyenletben szereplő legmagasabb derivált sorrendje

Példák.

1. Tekintsünk egy elsőrendű differenciálegyenletet

Ennek az egyenletnek a megoldása az y = 5 ln x függvény. Valóban, helyettesítés y" az egyenletbe, megkapjuk az azonosságot.

Ez pedig azt jelenti, hogy az y = 5 ln x– függvény a megoldás erre a differenciálegyenletre.

2. Tekintsük a másodrendű differenciálegyenletet y" - 5y" +6y = 0. A függvény ennek az egyenletnek a megoldása.

Tényleg,.

Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve az egyenletbe a következőt kapjuk: , – azonosság.

Ez pedig azt jelenti, hogy a függvény a megoldás erre a differenciálegyenletre.

Differenciálegyenletek integrálása a differenciálegyenletek megoldásának folyamata.

A differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvényének nevezzük , amely annyi független tetszőleges állandót tartalmaz, amennyi az egyenlet sorrendje.

Differenciálegyenlet részleges megoldása tetszőleges állandók különböző számértékeinek általános megoldásából kapott megoldás. A tetszőleges állandók értékei az argumentum és a függvény bizonyos kezdeti értékeinél találhatók.

Egy differenciálegyenlet adott megoldásának grafikonját ún integrálgörbe.

Példák

1. Keressen egy adott megoldást egy elsőrendű differenciálegyenletre!

xdx + ydy = 0, Ha y= 4 at x = 3.

Megoldás. Az egyenlet mindkét oldalát integrálva azt kapjuk

Megjegyzés. Az integráció eredményeként kapott tetszőleges C konstans bármilyen további transzformációhoz alkalmas formában ábrázolható. Ebben az esetben, figyelembe véve a kör kanonikus egyenletét, célszerű egy tetszőleges C állandót a formában ábrázolni.

- a differenciálegyenlet általános megoldása.

Az egyenletnek a kezdeti feltételeket kielégítő sajátos megoldása y = 4 at x = 3-at kapunk az általánosból, ha a kezdeti feltételeket behelyettesítjük az általános megoldásba: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

C=5-öt behelyettesítve az általános megoldásba, azt kapjuk x 2 +y 2 = 5 2 .

Ez egy speciális megoldása egy általános megoldásból adott kezdeti feltételek mellett kapott differenciálegyenletnek.

2. Keresse meg a differenciálegyenlet általános megoldását!

Ennek az egyenletnek a megoldása bármely formájú függvény, ahol C tetszőleges állandó. Valójában az egyenletekbe behelyettesítve a következőket kapjuk: , .

Következésképpen ennek a differenciálegyenletnek végtelen számú megoldása van, mivel a C állandó különböző értékei esetén az egyenlőség az egyenlet különböző megoldásait határozza meg.

Például közvetlen helyettesítéssel ellenőrizheti, hogy a funkciók működnek megoldásai az egyenletnek.

Probléma, amelyben meg kell találnia az egyenletre adott megoldást y" = f(x,y) kielégíti a kezdeti feltételt y(x 0) = y 0, az úgynevezett Cauchy-probléma.

Az egyenlet megoldása y" = f(x,y), kielégíti a kezdeti feltételt, y(x 0) = y 0, a Cauchy-probléma megoldásának nevezik.

A Cauchy-probléma megoldásának egyszerű geometriai jelentése van. Valóban, e meghatározások szerint a Cauchy-probléma megoldására y" = f(x,y) tekintettel arra y(x 0) = y 0, az egyenlet integrálgörbéjének megtalálását jelenti y" = f(x,y) amely áthalad egy adott ponton M 0 (x 0,y 0).

II. Elsőrendű differenciálegyenletek

2.1. Alapfogalmak

Az elsőrendű differenciálegyenlet a forma egyenlete F(x,y,y") = 0.

Az elsőrendű differenciálegyenlet tartalmazza az első deriváltot, és nem tartalmazza a magasabb rendű deriváltokat.

Egyenlet y" = f(x,y) a deriváltra vonatkozóan megoldott elsőrendű egyenletnek nevezzük.

Egy elsőrendű differenciálegyenlet általános megoldása a forma függvénye, amely egy tetszőleges állandót tartalmaz.

Példa. Tekintsünk egy elsőrendű differenciálegyenletet.

Ennek az egyenletnek a megoldása a függvény.

Valóban, ha ezt az egyenletet az értékével helyettesítjük, azt kapjuk

vagyis 3x=3x

Ezért a függvény az egyenlet általános megoldása bármely C állandóra.

Keressen egy adott megoldást ennek az egyenletnek, amely kielégíti a kezdeti feltételt y(1)=1 A kezdeti feltételek helyettesítése x = 1, y = 1 az egyenlet általános megoldásába, honnan kapjuk C=0.

Így az általános megoldásból konkrét megoldást kapunk, ha ebbe az egyenletbe behelyettesítjük a kapott értéket C=0– privát megoldás.

2.2. Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Az elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenlet a következő alakú egyenlet: y"=f(x)g(y) vagy differenciálokon keresztül, hol f(x)És g(y)– meghatározott funkciók.

Azoknak y, amelyre , az egyenlet y"=f(x)g(y) ekvivalens az egyenlettel, amelyben a változó y csak a bal oldalon van jelen, az x változó pedig csak a jobb oldalon. Azt mondják: „Eq. y"=f(x)g(y Válasszuk szét a változókat."

A forma egyenlete elválasztott változó egyenletnek nevezzük.

Az egyenlet mindkét oldalának integrálása Által x, megkapjuk G(y) = F(x) + C az egyenlet általános megoldása, ahol G(y)És F(x)– egyes antiderivatívok, illetve a funkciók és f(x), C tetszőleges állandó.

Algoritmus elválasztható változókkal rendelkező elsőrendű differenciálegyenlet megoldására

1. példa

Oldja meg az egyenletet y" = xy

Megoldás. Függvény származéka y" cserélje ki ezzel

válasszuk szét a változókat

Integráljuk az egyenlőség mindkét oldalát:

2. példa

2yy" = 1-3x2, Ha y 0 = 3 at x 0 = 1

Ez egy elválasztott változó egyenlet. Képzeljük el differenciálműben. Ehhez átírjuk ezt az egyenletet a formába Innen

Az utolsó egyenlőség mindkét oldalát integrálva azt találjuk

A kezdeti értékek behelyettesítése x 0 = 1, y 0 = 3 meg fogjuk találni VEL 9=1-1+C, azaz C = 9.

Ezért a szükséges parciális integrál a következő lesz vagy

3. példa

Írj egyenletet egy ponton átmenő görbére! M(2;-3)és szögegyütthatós érintővel rendelkezik

Megoldás. Az állapot szerint

Ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet. A változókat elosztva a következőt kapjuk:

Az egyenlet mindkét oldalát integrálva a következőket kapjuk:

A kezdeti feltételeket felhasználva, x = 2És y = -3 meg fogjuk találni C:

Ezért a szükséges egyenletnek megvan a formája

2.3. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet alak egyenlete y" = f(x)y + g(x)

Ahol f(x)És g(x)- néhány meghatározott funkció.

Ha g(x)=0 akkor a lineáris differenciálegyenletet homogénnek nevezzük, és a következő alakja van: y" = f(x)y

Ha akkor az egyenlet y" = f(x)y + g(x) heterogénnek nevezzük.

Lineáris homogén differenciálegyenlet általános megoldása y" = f(x)y képlet adja meg: ahol VEL– tetszőleges állandó.

Különösen, ha C = 0, akkor a megoldás az y = 0 Ha egy lineáris homogén egyenletnek van alakja y" = ky Ahol k valamilyen konstans, akkor általános megoldása a következő alakú: .

Lineáris inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása y" = f(x)y + g(x) képlet adja meg ,

azok. egyenlő a megfelelő lineáris homogén egyenlet általános megoldásának és ezen egyenlet konkrét megoldásának összegével.

A forma lineáris inhomogén egyenletére y" = kx + b,

Ahol kÉs b- néhány szám és egy adott megoldás állandó függvény lesz. Ezért az általános megoldás alakja .

Példa. Oldja meg az egyenletet y" + 2y +3 = 0

Megoldás. Ábrázoljuk az egyenletet a formában y" = -2y - 3 Ahol k = -2, b = -3 Az általános megoldást a képlet adja meg.

Ezért ahol C tetszőleges állandó.

2.4. Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek megoldása Bernoulli módszerrel

Általános megoldás megtalálása egy elsőrendű lineáris differenciálegyenletre y" = f(x)y + g(x) redukál két differenciálegyenletet egymástól elválasztott változókkal helyettesítéssel y=uv, Hol uÉs v- ismeretlen függvények x. Ezt a megoldási módszert Bernoulli-módszernek nevezik.

Algoritmus elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldására

y" = f(x)y + g(x)

1. Írja be a helyettesítést y=uv.

2. Differenciáld ezt az egyenlőséget! y" = u"v + uv"

3. Helyettesítő yÉs y" ebbe az egyenletbe: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) vagy u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Csoportosítsa az egyenlet tagjait úgy, hogy u vedd ki a zárójelből:

5. A zárójelből nullával egyenlővé téve keresse meg a függvényt

Ez egy elválasztható egyenlet:

Osszuk el a változókat, és kapjuk:

Ahol . .

6. Cserélje be a kapott értéket v az egyenletbe (a 4. lépéstől):

és keresse meg a függvényt Ez egy elválasztható változókkal rendelkező egyenlet:

7. Írja le az általános megoldást a következő formában: , azaz .

1. példa

Keressen egy adott megoldást az egyenletre y" = -2y +3 = 0 Ha y =1 at x = 0

Megoldás. Oldjuk meg helyettesítéssel y=uv,.y" = u"v + uv"

Helyettesítés yÉs y" ebbe az egyenletbe kapjuk

A második és harmadik tagot az egyenlet bal oldalán csoportosítva kivesszük a közös tényezőt u zárójelből

A zárójelben lévő kifejezést nullával egyenlővé tesszük, és az eredményül kapott egyenlet megoldása után megtaláljuk a függvényt v = v(x)

Kapunk egy egyenletet elválasztott változókkal. Integráljuk ennek az egyenletnek mindkét oldalát: Keressük meg a függvényt v:

Helyettesítsük be a kapott értéket v az egyenletbe kapjuk:

Ez egy elválasztott változó egyenlet. Integráljuk az egyenlet mindkét oldalát: Keressük meg a függvényt u = u(x,c) Keressünk egy általános megoldást: Keressünk egy adott megoldást az egyenletre, amely kielégíti a kezdeti feltételeket y = 1 at x = 0:

III. Magasabb rendű differenciálegyenletek

3.1. Alapfogalmak és definíciók

A másodrendű differenciálegyenlet olyan egyenlet, amely legfeljebb másodrendű származékokat tartalmaz. Általános esetben egy másodrendű differenciálegyenletet a következőképpen írunk fel: F(x,y,y,y") = 0

Egy másodrendű differenciálegyenlet általános megoldása az alak függvénye, amely két tetszőleges állandót tartalmaz C 1És C 2.

A másodrendű differenciálegyenlet sajátos megoldása tetszőleges állandók bizonyos értékeinek általános megoldásából nyert megoldás C 1És C 2.

3.2. Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenletek -val állandó együtthatók.

Lineáris homogén másodrendű differenciálegyenlet állandó együtthatókkal formaegyenletnek nevezzük y" + py" +qy = 0, Hol pÉs q- állandó értékek.

Algoritmus homogén másodrendű, állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldására

1. Írja fel a differenciálegyenletet a következő formában: y" + py" +qy = 0.

2. Készítse el karakterisztikus egyenletét, jelölve! y" keresztül r 2, y" keresztül r, y 1-ben: r 2 + pr + q = 0

Úgy gondolom, hogy egy olyan dicsőséges matematikai eszköz történetével kellene kezdenünk, mint a differenciálegyenletek. Mint minden differenciál- és integrálszámítást, ezeket az egyenleteket is Newton találta ki a 17. század végén. Ezt a felfedezését annyira fontosnak tartotta, hogy még egy üzenetet is titkosított, amit ma valahogy így lehet lefordítani: „A természet minden törvényét differenciálegyenletek írják le.” Ez túlzásnak tűnhet, de igaz. A fizika, a kémia, a biológia bármely törvénye leírható ezekkel az egyenletekkel.

Euler és Lagrange matematikusok nagymértékben hozzájárultak a differenciálegyenletek elméletének kidolgozásához és megalkotásához. Már a 18. században felfedezték és továbbfejlesztették azt, amit ma felsőfokú egyetemi kurzusokon tanulnak.

Henri Poincarénak köszönhetően új mérföldkő kezdődött a differenciálegyenletek tanulmányozásában. Megalkotta a „differenciálegyenletek kvalitatív elméletét”, amely egy komplex változó függvényeinek elméletével kombinálva jelentősen hozzájárult a topológia - a tér tudományának és tulajdonságainak - megalapozásához.

Mik azok a differenciálegyenletek?

Sokan félnek egy mondattól. Ebben a cikkben azonban részletesen felvázoljuk ennek a nagyon hasznos matematikai apparátusnak a lényegét, amely valójában nem olyan bonyolult, mint amilyennek a névből látszik. Ahhoz, hogy az elsőrendű differenciálegyenletekről beszélhessünk, először meg kell ismerkednünk azokkal az alapfogalmakkal, amelyek eredendően ehhez a definícióhoz kapcsolódnak. És kezdjük a differenciálművel.

Differenciális

Sokan már iskolás koruk óta ismerik ezt a fogalmat. Nézzük azonban meg közelebbről. Képzeld el egy függvény grafikonját. Annyira növelhetjük, hogy bármely szakasza egyenes alakot öltsön. Vegyünk rá két pontot, amelyek végtelenül közel vannak egymáshoz. A koordinátáik (x vagy y) közötti különbség végtelenül kicsi lesz. Differenciálnak nevezik, és a dy (y differenciál) és a dx (x differenciál) előjellel jelöljük. Nagyon fontos megérteni, hogy a differenciál nem véges mennyiség, és ez a jelentése és a fő funkciója.

Most meg kell vizsgálnunk a következő elemet, amely hasznos lesz számunkra a differenciálegyenlet fogalmának magyarázatában. Ez egy származék.

Származék

Valószínűleg mindannyian hallottuk ezt a fogalmat az iskolában. A derivált az a sebesség, amellyel egy függvény növekszik vagy csökken. Ebből a meghatározásból azonban sok minden nem világos. Próbáljuk meg magyarázni a derivált differenciálokon keresztül. Térjünk vissza egy infinitezimális szegmenshez, amelynek két pontja van egymástól minimális távolságra. De még ezen a távolságon is sikerül bizonyos mértékben megváltoznia a függvénynek. És ennek a változásnak a leírására egy deriválttal álltak elő, amely egyébként a differenciálok arányaként írható fel: f(x)"=df/dx.

Most érdemes megfontolni a származék alapvető tulajdonságait. Csak három van belőlük:

1. Egy összeg vagy különbség deriváltja a következő származékok összegeként vagy különbségeként ábrázolható: (a+b)"=a"+b" és (a-b)"=a"-b.
2. A második tulajdonság a szorzáshoz kapcsolódik. Egy szorzat deriváltja az egyik függvény szorzatának és egy másik függvény deriváltjának összege: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. A különbség deriváltja a következő egyenlőségként írható fel: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Mindezek a tulajdonságok hasznosak lesznek az elsőrendű differenciálegyenletek megoldásához.

Vannak részleges származékok is. Tegyük fel, hogy van egy z függvényünk, amely az x és y változóktól függ. Ahhoz, hogy kiszámítsuk ennek a függvénynek a parciális deriváltját, mondjuk x vonatkozásában, az y változót állandónak kell vennünk, és egyszerűen differenciálni kell.

Integrál

Egy másik fontos fogalom az integrál. Valójában ez pontosan az ellenkezője a származékosnak. Többféle integrál létezik, de a legegyszerűbb differenciálegyenletek megoldásához a legtriviálisabbakra van szükségünk

Tehát tegyük fel, hogy f-nek van némi függése x-től. Kivesszük belőle az integrált, és megkapjuk az F(x) függvényt (gyakran antideriváltnak is nevezik), amelynek deriváltja megegyezik az eredeti függvénnyel. Így F(x)"=f(x). Ebből az is következik, hogy a derivált integrálja egyenlő az eredeti függvénnyel.

A differenciálegyenletek megoldása során nagyon fontos megérteni az integrál jelentését és funkcióját, mivel ezeket nagyon gyakran át kell venni a megoldás megtalálásához.

Az egyenletek természetüktől függően változnak. A következő részben megvizsgáljuk az elsőrendű differenciálegyenletek típusait, majd megtanuljuk a megoldásukat.

Differenciálegyenletek osztályai

A „diffúrok” a bennük szereplő származékok sorrendje szerint vannak felosztva. Így van első, második, harmadik és több rend. Több osztályba is oszthatók: közönséges és részleges származékokra.

Ebben a cikkben az elsőrendű közönséges differenciálegyenleteket tekintjük át. A következő részekben példákat és megoldási módokat is tárgyalunk. Csak az ODE-ket fogjuk figyelembe venni, mivel ezek a leggyakoribb egyenlettípusok. A közönségeseket alfajokra osztják: elválasztható változókkal, homogénekre és heterogénekre. Ezután megtudhatja, hogy ezek miben különböznek egymástól, és megtanulják megoldani őket.

Ezenkívül ezeket az egyenleteket kombinálhatjuk, így egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kapunk. Megfontoljuk az ilyen rendszereket is, és megtanuljuk megoldani őket.

Miért csak az első rendelést vesszük figyelembe? Mert valami egyszerűvel kell kezdeni, és egyszerűen lehetetlen mindent leírni, ami a differenciálegyenletekkel kapcsolatos egy cikkben.

Elválasztható egyenletek

Ezek talán a legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek. Ilyenek például a következőképpen felírható példák: y"=f(x)*f(y). Ennek az egyenletnek a megoldásához szükségünk van egy képletre, amely a derivált differenciálarányként ábrázolja: y"=dy/dx. Használatával a következő egyenletet kapjuk: dy/dx=f(x)*f(y). Most rátérhetünk a szabványos példák megoldásának módszerére: a változókat részekre bontjuk, vagyis az y változóval mindent áthelyezünk arra a részre, ahol dy található, és ugyanezt az x változóval. Egy dy/f(y)=f(x)dx alakú egyenletet kapunk, amelyet mindkét oldal integráljának felvételével oldunk meg. Ne feledkezzünk meg a konstansról, amit az integrál felvétele után be kell állítani.

Bármely „diffúra” megoldása az x y-tól való függésének függvénye (esetünkben), vagy ha numerikus feltétel fennáll, akkor a válasz szám formájában. Nézzük meg a teljes megoldási folyamatot egy konkrét példa segítségével:

Mozgassuk a változókat különböző irányokba:

Most vegyük az integrálokat. Mindegyik megtalálható egy speciális integráltáblázatban. És kapunk:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Ha szükséges, kifejezhetjük az "y"-t "x" függvényében. Most azt mondhatjuk, hogy a differenciálegyenletünk megoldott, ha a feltétel nincs megadva. Megadható egy feltétel, például y(n/2)=e. Ezután egyszerűen behelyettesítjük ezeknek a változóknak az értékeit a megoldásba, és megkeressük az állandó értékét. Példánkban ez az 1.

Elsőrendű homogén differenciálegyenletek

Most térjünk át a nehezebb részre. Az elsőrendű homogén differenciálegyenletek általános formában a következőképpen írhatók fel: y"=z(x,y). Megjegyzendő, hogy két változó jobb oldali függvénye homogén, és nem osztható két függőségre : z az x-en és z az y-n, elég egyszerű: az x = k * x és az y = k * y cserét töröljük , akkor az egyenlet homogén, és nyugodtan nekiláthatunk a megoldásnak , mondjuk: ezeknek a példáknak a megoldásának elve is nagyon egyszerű.

Cserélnünk kell: y=t(x)*x, ahol t egy bizonyos függvény, amely szintén x-től függ. Ekkor ki tudjuk fejezni a deriváltot: y"=t"(x)*x+t. Mindezt az eredeti egyenletünkbe behelyettesítve és leegyszerűsítve kapunk egy példát t és x elválasztható változókkal. Megoldjuk és megkapjuk a t(x) függést. Amikor megkaptuk, egyszerűen behelyettesítjük az y=t(x)*x-et az előző cserénkbe. Ekkor megkapjuk y függőségét x-től.

Hogy érthetőbb legyen, nézzünk egy példát: x*y"=y-x*e y/x .

A cserével történő ellenőrzéskor minden lecsökken. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet valóban homogén. Most egy másik cserét hajtunk végre, amiről már beszéltünk: y=t(x)*x és y"=t"(x)*x+t(x). Egyszerűsítés után a következő egyenletet kapjuk: t"(x)*x=-e t. Az így kapott példát elválasztott változókkal oldjuk meg, és kapjuk: e -t =ln(C*x). Csak ki kell cserélni t y/x-szel (végül is, ha y =t*x, akkor t=y/x), és megkapjuk a választ: e -y/x =ln(x*C).

Elsőrendű lineáris differenciálegyenletek

Ideje egy másik átfogó témára tekinteni. Elsõrendû inhomogén differenciálegyenleteket fogunk elemezni. Miben különböznek az előző kettőtől? Találjuk ki. Az elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános formában a következőképpen írhatók fel: y" + g(x)*y=z(x). Érdemes tisztázni, hogy z(x) és g(x) lehetnek állandó mennyiségek.

És most egy példa: y" - y*x=x 2 .

Két megoldás létezik, és mindkettőt sorban fogjuk megvizsgálni. Az első a tetszőleges állandók változtatásának módszere.

Az egyenlet ily módon történő megoldásához először a jobb oldalt nullával kell egyenlővé tenni, és meg kell oldani a kapott egyenletet, amely az alkatrészek átvitele után a következő alakot ölti:

ln|y|=x2/2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2.

Most a C 1 konstanst le kell cserélnünk a v(x) függvényre, amit meg kell találnunk.

Cseréljük le a származékot:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

És cserélje be ezeket a kifejezéseket az eredeti egyenletbe:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Láthatja, hogy a bal oldalon két kifejezés törlődik. Ha valamelyik példában ez nem történt meg, akkor valamit rosszul csináltál. Folytassuk:

v"*e x2/2 = x 2 .

Most megoldjuk a szokásos egyenletet, amelyben el kell különítenünk a változókat:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Az integrál kinyeréséhez itt részenkénti integrációt kell alkalmaznunk. Cikkünknek azonban nem ez a témája. Ha érdekli, megtanulhatja, hogyan hajtson végre ilyen műveleteket saját maga. Nem nehéz, és kellő hozzáértéssel és odafigyeléssel nem sok időt vesz igénybe.

Térjünk rá az inhomogén egyenletek megoldásának második módszerére: Bernoulli módszerére. Azt, hogy melyik módszer a gyorsabb és könnyebb, döntse el Ön.

Tehát, amikor egy egyenletet ezzel a módszerrel oldunk meg, be kell cserélnünk: y=k*n. Itt k és n néhány x-függő függvény. Ekkor a derivált így fog kinézni: y"=k"*n+k*n". Mindkét helyettesítést behelyettesítjük az egyenletbe:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Csoportosítás:

k"*n+k*(n"+x*n)=x2.

Most nullával kell egyenlővé tennünk a zárójelben lévőt. Most, ha a két eredményül kapott egyenletet összevonjuk, egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszert kapunk, amelyet meg kell oldani:

Az első egyenlőséget közönséges egyenletként oldjuk meg. Ehhez el kell különíteni a változókat:

Vegyük az integrált és kapjuk: ln(n)=x 2 /2. Akkor, ha n-t fejezünk ki:

Most behelyettesítjük a kapott egyenlőséget a rendszer második egyenletébe:

k"*e x2/2 =x 2 .

És átalakítva ugyanazt az egyenlőséget kapjuk, mint az első módszernél:

dk=x 2 /e x2/2 .

A további intézkedésekről szintén nem fogunk beszélni. Érdemes elmondani, hogy az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása elsőre jelentős nehézségeket okoz. Ahogy azonban mélyebben belemélyed a témába, úgy kezd egyre jobban bejönni.

Hol használják a differenciálegyenleteket?

A differenciálegyenleteket nagyon aktívan használják a fizikában, mivel szinte az összes alapvető törvényt differenciál formában írják le, és a képletek, amelyeket látunk, ezeknek az egyenleteknek a megoldásai. A kémiában ugyanazon okból használják őket: az alapvető törvényeket a segítségükkel vezetik le. A biológiában differenciálegyenleteket használnak a rendszerek, például a ragadozók és a zsákmányok viselkedésének modellezésére. Használhatók például egy mikroorganizmus kolónia reprodukciós modelljeinek létrehozására is.

Hogyan segíthetnek a differenciálegyenletek az életben?

A válasz erre a kérdésre egyszerű: egyáltalán nem. Ha nem vagy tudós vagy mérnök, akkor valószínűleg nem lesznek hasznosak az Ön számára. Az általános fejlesztéshez azonban nem árt tudni, mi az a differenciálegyenlet, és hogyan kell megoldani. És akkor a fia vagy lánya kérdése: „Mi az a differenciálegyenlet?” nem fog összezavarni. Nos, ha Ön tudós vagy mérnök, akkor maga is megérti ennek a témának a fontosságát bármely tudományban. De a legfontosabb dolog az, hogy most az a kérdés, hogy „hogyan lehet megoldani egy elsőrendű differenciálegyenletet?” mindig tudsz választ adni. Egyetértek, mindig jó, ha megért valamit, amit az emberek még félnek is megérteni.

A tanulás fő problémái

A téma megértésében a fő probléma a funkciók integrálásának és megkülönböztetésének gyenge készsége. Ha nem vagy jó a deriváltokban és integrálokban, akkor valószínűleg érdemes többet tanulmányozni, elsajátítani az integrálási és differenciálási módszereket, és csak ezután kezdeni a cikkben leírt anyagok tanulmányozását.

Vannak, akik meglepődnek, amikor megtudják, hogy a dx átvihető, mert korábban (az iskolában) azt mondták, hogy a dy/dx tört oszthatatlan. Itt el kell olvasnia a derivált irodalmát, és meg kell értenie, hogy ez a végtelenül kicsi mennyiségek aránya, amely manipulálható az egyenletek megoldása során.

Sokan nem veszik azonnal észre, hogy az elsőrendű differenciálegyenletek megoldása gyakran nem felvehető függvény vagy integrál, és ez a tévhit sok gondot okoz.

Mit tanulhatsz még a jobb megértés érdekében?

A differenciálszámítás világában való további elmélyülést célszerű speciális tankönyvekkel kezdeni, például a matematikai elemzésről a nem matematikai szakokon tanulók számára. Ezután áttérhet a szakirodalomra.

Érdemes elmondani, hogy a differenciálegyenletek mellett vannak integrálegyenletek is, így mindig lesz mire törekedni és tanulni.

Következtetés

Reméljük, hogy a cikk elolvasása után fogalma lesz arról, hogy melyek a differenciálegyenletek, és hogyan kell helyesen megoldani őket.

Mindenesetre a matematika valamilyen módon hasznunkra válik az életben. Fejleszti a logikát és a figyelmet, amelyek nélkül minden ember keze nélkül marad.

Elsőrendű differenciálegyenletek. Példák megoldásokra.
Differenciálegyenletek elválasztható változókkal

Differenciálegyenletek (DE). Ez a két szó általában megrémíti az átlagembert. Úgy tűnik, hogy a differenciálegyenletek túlzó és nehezen elsajátítható dolgok sok diák számára. Úúúú... differenciálegyenletek, hogyan éljem túl ezt az egészet?!

Ez a vélemény és ez a hozzáállás alapvetően téves, mert valójában DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK – EGYSZERŰ ÉS MÉG SZÓRAKOZÁS. Mit kell tudnia és tudnia kell ahhoz, hogy megtanulja a differenciálegyenletek megoldását? A diffúzok sikeres tanulmányozásához jól kell tudnod integrálni és megkülönböztetni. Minél jobban tanulmányozzák a témákat Egy változó függvényének deriváltjaÉs Határozatlan integrál, annál könnyebb lesz megérteni a differenciálegyenleteket. Többet mondok, ha többé-kevésbé tisztességes beilleszkedési készséged van, akkor már majdnem elsajátították a témát! Minél több különféle típusú integrált tud megoldani, annál jobb. Miért? Sokat kell integrálnod. És megkülönböztetni. Is nagyon ajánlom tanulni találni.

Az esetek 95%-ában a tesztlapok háromféle elsőrendű differenciálegyenletet tartalmaznak: szétválasztható egyenletek amelyet ebben a leckében fogunk megvizsgálni; homogén egyenletekÉs lineáris inhomogén egyenletek. Azoknak, akik elkezdik tanulmányozni a diffúzorokat, azt javaslom, hogy pontosan ebben a sorrendben olvassák el a leckéket, és az első két cikk tanulmányozása után nem árt, ha egy további műhelyben megszilárdíthatják készségeiket - homogénné redukáló egyenletek.

Vannak még ritkább típusú differenciálegyenletek: teljes differenciálegyenletek, Bernoulli-egyenletek és néhány más. Az utolsó két típus közül a legfontosabbak a teljes differenciálegyenletek, mivel ezen a differenciálegyenlet mellett új anyagot is fontolgatok - részleges integráció.

Ha már csak egy-két napod van hátra, Azt az ultragyors elkészítéshez Van villámpálya pdf formátumban.

Szóval, a tereptárgyak készen vannak – gyerünk:

Először is emlékezzünk a szokásos algebrai egyenletekre. Változókat és számokat tartalmaznak. A legegyszerűbb példa: . Mit jelent egy közönséges egyenlet megoldása? Ez a megtalálást jelenti számkészlet, amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Könnyen észrevehető, hogy a gyerekek egyenletének egyetlen gyöke van: . Csak a móka kedvéért nézzük meg, és cseréljük be a talált gyökeret az egyenletünkbe:

– a helyes egyenlőséget kapjuk, ami azt jelenti, hogy a megoldást helyesen találtuk meg.

A diffúzorokat nagyjából ugyanígy tervezték!

Differenciálegyenlet első rendelésáltalános esetben tartalmaz:
1) független változó;
2) függő változó (függvény);
3) a függvény első deriváltja: .

Előfordulhat, hogy egyes elsőrendű egyenletekben nincs „x” és/vagy „y”, de ez nem jelentős - fontos hogy menjek a vezérlőterembe volt első származéka, és nem volt magasabb rendű származékai – stb.

Mit jelent ez? A differenciálegyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk összes funkció készlete, amelyek kielégítik ezt az egyenletet. Az ilyen függvényhalmaznak gyakran van alakja (– tetszőleges állandó), amelyet ún a differenciálegyenlet általános megoldása.

1. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Teljes lőszer. Hol kezdjem megoldás?

Először is át kell írni a származékot egy kicsit más formában. Emlékeztetünk a nehézkes megnevezésre, amely valószínűleg sokaknak nevetségesnek és szükségtelennek tűnt. Ez az, ami a diffúzorokban érvényes!

A második lépésben nézzük meg, lehetséges-e külön változók? Mit jelent a változók szétválasztása? Durván szólva, a bal oldalon el kell mennünk csak "görögök", A a jobb oldalon szervez csak "X". A változók felosztása „iskolai” manipulációkkal történik: zárójelbe helyezés, kifejezések részről részre átvitele előjelváltással, tényezők átvitele részről részre az arányosság szabálya szerint stb.

Differenciálok és teljes szorzók és aktív résztvevők az ellenségeskedésben. A vizsgált példában a változók könnyen szétválaszthatók a faktorok arányos szabály szerinti feldobásával:

A változók el vannak választva. A bal oldalon csak az „Y”, a jobb oldalon csak az „X” található.

A következő szakasz az differenciálegyenlet integrálása. Egyszerű, integrálokat teszünk mindkét oldalra:

Természetesen integrálókat kell vennünk. Ebben az esetben táblázatosak:

Mint emlékszünk, minden antiderivatívhoz konstans van hozzárendelve. Itt két integrál van, de elég egyszer felírni a konstanst (mivel a konstans + konstans továbbra is egyenlő egy másik állandóval). A legtöbb esetben a jobb oldalon van elhelyezve.

Szigorúan véve, az integrálok felvétele után a differenciálegyenlet megoldottnak tekinthető. Csak az a helyzet, hogy az „y”-ünket nem „x”-en keresztül fejezzük ki, vagyis a megoldást bemutatjuk egy implicit forma. A differenciálegyenlet megoldását implicit formában ún a differenciálegyenlet általános integrálja. Vagyis ez egy általános integrál.

A válasz ebben a formában teljesen elfogadható, de van-e jobb lehetőség? Próbáljuk megszerezni általános megoldás.

Kérem, emlékezzen az első technikára, nagyon gyakori, és gyakran használják gyakorlati feladatokban: ha integrálás után logaritmus jelenik meg a jobb oldalon, akkor sok esetben (de nem mindig!) célszerű a konstanst is a logaritmus alá írni.

vagyis HELYETT bejegyzéseket általában írják .

Miért van erre szükség? És a „játék” kifejezésének megkönnyítése érdekében. A logaritmusok tulajdonságának felhasználása . Ebben az esetben:

Most a logaritmusok és a modulok eltávolíthatók:

A funkció kifejezetten megjelenik. Ez az általános megoldás.

Válasz: általános megoldás: .

A sok differenciálegyenletre adott válaszok meglehetősen könnyen ellenőrizhetők. A mi esetünkben ez egészen egyszerűen megtörténik, vesszük a talált megoldást, és megkülönböztetjük:

Ezután behelyettesítjük a származékot az eredeti egyenletbe:

– megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az általános megoldás kielégíti az egyenletet, amit ellenőrizni kellett.

Ha egy konstans különböző értékeket ad meg, akkor végtelen számú értéket kaphat privát megoldások differenciálegyenlet. Nyilvánvaló, hogy a , stb. függvények bármelyike. kielégíti a differenciálegyenletet.

Néha az általános megoldást ún funkciócsalád. Ebben a példában az általános megoldás lineáris függvények családja, pontosabban egyenes arányosság családja.

Az első példa alapos áttekintése után célszerű megválaszolni néhány naiv kérdést a differenciálegyenletekkel kapcsolatban:

1)Ebben a példában el tudtuk különíteni a változókat. Ezt mindig meg lehet csinálni? Nem, nem mindig. És még gyakrabban a változókat nem lehet szétválasztani. Például be homogén elsőrendű egyenletek, először ki kell cserélnie. Más típusú egyenletekben, például egy elsőrendű lineáris inhomogén egyenletben, különféle technikákat és módszereket kell alkalmaznia az általános megoldás megtalálásához. Az elválasztható változókkal rendelkező egyenletek, amelyeket az első leckében tárgyalunk, a differenciálegyenletek legegyszerűbb típusai.

2) Mindig lehetséges a differenciálegyenlet integrálása? Nem, nem mindig. Nagyon könnyű egy olyan „divatos” egyenletet kitalálni, amely nem integrálható, ráadásul vannak integrálok, amelyeket nem lehet felvenni. De az ilyen DE-k speciális módszerekkel megközelítőleg megoldhatók. D’Alembert és Cauchy garantálja... ...uh, lurkmore.hogy most sokat olvastam, majdnem hozzátettem, hogy „a másik világból”.

3) Ebben a példában egy megoldást kaptunk általános integrál formájában . Mindig lehet általános integrálból általános megoldást találni, vagyis az „y”-t kifejezetten kifejezni? Nem, nem mindig. Például: . Nos, hogy lehet itt „görögül” kifejezni?! Ilyen esetekben a választ általános integrálként kell írni. Ráadásul néha lehet általános megoldást találni, de olyan körülményesen és ügyetlenül van megírva, hogy jobb, ha a választ általános integrál formájában hagyjuk.

4) ...most talán ennyi is elég. Az első példában találkoztunk egy másik fontos pont, de hogy ne borítsam el a „bambákat” új információk lavinával, a következő leckére hagyom.

Nem fogunk rohanni. Egy másik egyszerű távirányító és egy másik tipikus megoldás:

2. példa

Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre, amely kielégíti a kezdeti feltételt

Megoldás: állapot szerint, meg kell találni privát megoldás DE, amely megfelel egy adott kezdeti feltételnek. A kérdésnek ezt a megfogalmazását is nevezik Cauchy probléma.

Először találunk egy általános megoldást. Az egyenletben nincs „x” változó, de ez nem szabad összetéveszteni, a lényeg, hogy legyen az első deriváltja.

Átírjuk a származékot a kívánt formában:

Nyilvánvalóan a változók elválaszthatók, a fiúk balra, a lányok jobbra:

Integráljuk az egyenletet:

Az általános integrált megkapjuk. Itt rajzoltam egy állandót csillaggal, az tény, hogy hamarosan egy másik állandóvá változik.

Most megpróbáljuk az általános integrált általános megoldássá alakítani (az „y”-t kifejezetten kifejezni). Emlékezzünk a régi szép dolgokra az iskolából: . Ebben az esetben:

Az indikátorban lévő konstans valahogy nem kósernek tűnik, ezért általában a földre kerül. Részletekben ez így történik. A fokok tulajdonságát felhasználva a függvényt a következőképpen írjuk át:

Ha konstans, akkor valamilyen állandó is, nevezzük át a következő betűvel:

Ne feledje, hogy egy állandó „lerombolása”. második technika, amelyet gyakran használnak differenciálegyenletek megoldásánál.

Tehát az általános megoldás: . Ez az exponenciális függvények szép családja.

A végső szakaszban meg kell találni egy adott megoldást, amely kielégíti az adott kezdeti feltételt. Ez is egyszerű.

Mi a feladat? Fel kell venni ilyen az állandó értéke úgy, hogy a feltétel teljesüljön.

Különféle módon lehet formázni, de valószínűleg ez lesz a legegyértelműbb. Az általános megoldásban az „X” helyett egy nullát, az „Y” helyett pedig egy kettőt cserélünk:



vagyis

Szabványos kiviteli változat:

Most behelyettesítjük a konstans talált értékét az általános megoldásba:
– erre a konkrét megoldásra van szükségünk.

Válasz: privát megoldás:

Ellenőrizzük. A privát megoldás ellenőrzése két lépésből áll:

Először is ellenőriznie kell, hogy az adott megoldás valóban megfelel-e a kezdeti feltételnek? Az „X” helyett nullát cserélünk, és meglátjuk, mi történik:
- igen, valóban kettős érkezett, ami azt jelenti, hogy a kezdeti feltétel teljesül.

A második szakasz már ismerős. A kapott konkrét megoldást vesszük, és megtaláljuk a származékot:

Behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:

– a megfelelő egyenlőség létrejön.

Következtetés: az adott megoldást helyesen találták meg.

Térjünk át értelmesebb példákra.

3. példa

Differenciálegyenlet megoldása

Megoldás:Átírjuk a származékot a szükséges formában:

Értékeljük, hogy el lehet-e különíteni a változókat? Tud. A második tagot előjelváltással jobbra mozgatjuk:

És átvisszük a szorzót az arányosság szabálya szerint:

A változók el vannak választva, integráljuk mindkét részt:

Figyelmeztetnem kell, közeleg az ítélet napja. Ha nem tanultál jól határozatlan integrálok, kevés példát oldott meg, akkor nincs hova mennie – most el kell sajátítania őket.

A bal oldal integrálját könnyű megtalálni, a kotangens integráljával a leckében vizsgált standard technikával foglalkozunk Trigonometrikus függvények integrálása tavaly:

A jobb oldalon van egy logaritmus, és első technikai javaslatom szerint a konstanst is a logaritmus alá kell írni.

Most megpróbáljuk leegyszerűsíteni az általános integrált. Mivel csak logaritmusaink vannak, teljesen lehetséges (és szükséges) megszabadulni tőlük. Használatával ismert tulajdonságait A logaritmusokat minél jobban „pakoljuk”. Nagyon részletesen leírom:

A csomagolás barbár módon rongyosra készült:

Lehetséges a „játék” kifejezése? Tud. Mindkét részt négyszögölni kell.

De ezt nem kell megtenned.

Harmadik technikai tipp: ha egy általános megoldás eléréséhez hatványra kell emelni vagy gyökeret kell ereszteni, akkor a legtöbb esetben tartózkodnia kell ezektől a cselekvésektől, és a választ általános integrál formájában kell hagynia. Az a tény, hogy az általános megoldás egyszerűen szörnyűnek tűnik - nagy gyökerekkel, jelekkel és egyéb szeméttel.

Ezért a választ általános integrál formájában írjuk. Jó gyakorlatnak tekinthető, ha formában jelenítjük meg, vagyis a jobb oldalon, ha lehetséges, csak egy állandót hagyjunk. Ezt nem kötelező megtenni, de mindig előnyös a professzor kedvében járni ;-)

Válasz:általános integrál:

! Jegyzet: Bármely egyenlet általános integrálja több módon is felírható. Tehát, ha az Ön eredménye nem esik egybe a korábban ismert válasszal, az nem jelenti azt, hogy rosszul oldotta meg az egyenletet.

Az általános integrált is elég könnyű ellenőrizni, a lényeg, hogy megtaláljuk egy implicit módon meghatározott függvény deriváltja. Különbözzük meg a választ:

Mindkét kifejezést megszorozzuk a következővel:

És ossza el:

Az eredeti differenciálegyenletet pontosan megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

4. példa

Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre, amely kielégíti a kezdeti feltételt. Végezzen ellenőrzést.

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy az algoritmus két szakaszból áll:
1) általános megoldás megtalálása;
2) a szükséges konkrét megoldás megtalálása.

Az ellenőrzést szintén két lépésben hajtják végre (lásd a mintát a 2. példában), a következőket kell tennie:
1) győződjön meg arról, hogy az adott megoldás megfelel a kezdeti feltételnek;
2) ellenőrizze, hogy egy adott megoldás általában kielégíti-e a differenciálegyenletet.

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

5. példa

Keressen egy adott megoldást a differenciálegyenletre , amely kielégíti a kezdeti feltételt. Végezzen ellenőrzést.

Megoldás: Először is keressünk egy általános megoldást. Ez az egyenlet már kész differenciálokat tartalmaz, ezért a megoldás leegyszerűsödik. Különválasztjuk a változókat:

Integráljuk az egyenletet:

A bal oldali integrál táblázatos, a jobb oldali integrált vettük egy függvény differenciáljel alá vonásának módszere:

Megkaptuk az általános integrált, sikeresen kifejezhető az általános megoldás? Tud. Mindkét oldalra logaritmusokat akasztunk. Mivel ezek pozitívak, a modulusjelek szükségtelenek:

(remélem mindenki érti az átalakulást, ilyeneket már tudni kell)

Tehát az általános megoldás:

Keressünk az adott kezdeti feltételnek megfelelő konkrét megoldást.
Az általános megoldásban „X” helyett nullát, „Y” helyett pedig kettő logaritmusát helyettesítjük:

Ismertebb dizájn:

A konstans talált értékét behelyettesítjük az általános megoldásba.

Válasz: privát megoldás:

Ellenőrzés: Először nézzük meg, hogy teljesül-e a kezdeti feltétel:
- zúg minden.

Most nézzük meg, hogy a talált adott megoldás egyáltalán kielégíti-e a differenciálegyenletet. A származék megkeresése:

Nézzük az eredeti egyenletet: – differenciálokban jelenik meg. Az ellenőrzésnek két módja van. Lehetőség van a különbség kifejezésére a talált deriválttól:

Helyettesítsük be a talált konkrét megoldást és a kapott differenciált az eredeti egyenletbe :

Az alapvető logaritmikus azonosságot használjuk:

Megkapjuk a helyes egyenlőséget, ami azt jelenti, hogy az adott megoldást helyesen találtuk meg.

A második ellenőrzési módszer tükrözött és ismerősebb: az egyenletből Fejezzük ki a származékot, ehhez elosztjuk az összes darabot:

A transzformált DE-be pedig behelyettesítjük a kapott parciális megoldást és a talált deriváltot. Az egyszerűsítések eredményeként a helyes egyenlőséget is el kell érni.

6. példa

Differenciálegyenlet megoldása. Mutassa be a választ általános integrál formájában!

Ez egy példa arra, hogy önállóan oldd meg, teljes megoldást és válaszolj a lecke végén.

Milyen nehézségek várnak elválasztható változókkal rendelkező differenciálegyenletek megoldása során?

1) Nem mindig nyilvánvaló (főleg egy „teáskannánál”), hogy a változók elválaszthatók. Nézzünk egy feltételes példát: . Itt ki kell venni a tényezőket a zárójelből: és el kell választani a gyökereket: . Világos, hogy mi a következő lépés.

2) Magával az integrációval kapcsolatos nehézségek. Az integrálok gyakran nem a legegyszerűbbek, és ha vannak hibák a keresési készségekben határozatlan integrál, akkor sok diffúzorral nehéz lesz. Emellett a „mivel a differenciálegyenlet egyszerű, akkor legalább az integrálok legyenek bonyolultabbak” logika népszerű a gyűjtemények és oktatási kézikönyvek összeállítói körében.

3) Átalakítások állandóval. Amint azt mindenki észrevette, a differenciálegyenletekben a konstans meglehetősen szabadon kezelhető, és néhány transzformáció nem mindig egyértelmű egy kezdő számára. Nézzünk egy másik feltételes példát: . Célszerű az összes kifejezést megszorozni 2-vel: . Az eredményül kapott állandó is valamiféle állandó, amit a következővel jelölhetünk: . Igen, és mivel a jobb oldalon van egy logaritmus, akkor célszerű az állandót átírni egy másik állandó formájában: .

Az a baj, hogy gyakran nem foglalkoznak az indexekkel, és ugyanazt a betűt használják. Ennek eredményeként a döntési jegyzőkönyv a következő formában jelenik meg:

Miféle eretnekség? Ott vannak hibák! Szigorúan véve igen. Azonban tartalmi szempontból nincs hiba, mert egy változó állandó transzformációja eredményeként mégis változó állandót kapunk.

Vagy egy másik példa, tegyük fel, hogy az egyenlet megoldása során általános integrált kapunk. Ez a válasz csúnyán néz ki, ezért tanácsos az egyes kifejezések előjelét megváltoztatni: . Formailag van itt még egy hiba - jobbra kell írni. De informálisan azt sugallják, hogy a „mínusz ce” továbbra is állandó ( ami ugyanolyan könnyen bármilyen jelentést felvehet!), így a „mínusz” beírásának nincs értelme, és használhatja ugyanazt a betűt.

Igyekszem kerülni a hanyag megközelítést, és a konstansokhoz továbbra is különböző indexeket rendelek a konvertálás során.

7. példa

Differenciálegyenlet megoldása. Végezzen ellenőrzést.

Megoldás: Ez az egyenlet lehetővé teszi a változók szétválasztását. Különválasztjuk a változókat:

Integráljunk:

Itt nem szükséges az állandót logaritmusként definiálni, mivel ebből semmi hasznos nem lesz.

Válasz:általános integrál:

Ellenőrzés: A válasz megkülönböztetése (implicit függvény):

Megszabadulunk a törtektől, ha mindkét tagot megszorozzuk a következővel:

Az eredeti differenciálegyenletet megkaptuk, ami azt jelenti, hogy az általános integrált helyesen találtuk meg.

8. példa

Keresse meg a DE egy adott megoldását.
,

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Az egyetlen utalás az, hogy itt egy általános integrált kapunk, és helyesebben szólva, arra kell törekedni, hogy ne egy konkrét megoldást találjunk, hanem részintegrál. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete