Algebrai törtek összeadása és kivonása: szabályok, példák.

Ez a lecke a különböző nevezőkkel rendelkező algebrai törtek összeadásával és kivonásával foglalkozik. Már tudjuk, hogyan kell összeadni és kivonni a különböző nevezőjű köztörteket. Ehhez a törteket közös nevezőre kell redukálni. Kiderült, hogy az algebrai törtek ugyanazokat a szabályokat követik. Ugyanakkor már tudjuk, hogyan lehet az algebrai törteket közös nevezőre redukálni. A különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása az egyik legfontosabb és legnehezebb téma a 8. osztályos tanfolyamon. Sőt, ez a téma számos témakörben megjelenik az algebra tanfolyamon, amelyet a jövőben tanulni fog. A lecke részeként tanulmányozzuk a különböző nevezőjű algebrai törtek összeadásának és kivonásának szabályait, valamint számos tipikus példát elemezünk.

Nézzük a közönséges törtek legegyszerűbb példáját.

1. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

Emlékezzünk a törtek összeadásának szabályára. Kezdésként a törteket közös nevezőre kell redukálni. A közönséges törtek közös nevezője az legkisebb közös többszörös(LCM) az eredeti nevezők.

Meghatározás

A legkisebb természetes szám, amely osztható számokkal és számokkal is.

Az LCM megtalálásához a nevezőket prímtényezőkké kell figyelembe venni, majd ki kell választania az összes nevezőt, amely mindkét nevező kiterjesztésében szerepel.

; . Ekkor a számok LCM-jének tartalmaznia kell két kettőt és két hármast: .

A közös nevező megtalálása után minden törthez további tényezőt kell találnia (valójában el kell osztani a közös nevezőt a megfelelő tört nevezőjével).

Ezután minden törtet megszorozunk a kapott további tényezővel. Azonos nevezőjű törteket kapunk, amelyeket az előző leckéken megtanultunk összeadni és kivonni.

Kapunk: .

Válasz:.

Tekintsük most a különböző nevezőjű algebrai törtek összeadását. Először nézzük meg azokat a törteket, amelyek nevezői számok.

2. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

A megoldási algoritmus teljesen hasonló az előző példához. Könnyű megtalálni ezeknek a törteknek a közös nevezőjét: és mindegyikhez további tényezőket.

.

Válasz:.

Szóval, fogalmazzunk algoritmus különböző nevezőjű algebrai törtek összeadására és kivonására:

1. Keresse meg a törtek legkisebb közös nevezőjét!

2. Keressen további tényezőket az egyes törtekhez (a közös nevezőt elosztva az adott tört nevezőjével).

3. Szorozzuk meg a számlálókat a megfelelő további tényezőkkel.

4. Adjon hozzá vagy vonjon ki törteket a hasonló nevezővel rendelkező törtek összeadási és kivonási szabályai szerint.

Tekintsünk most egy példát olyan törtekkel, amelyek nevezője betűkifejezéseket tartalmaz.

3. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

Mivel a betűkifejezések mindkét nevezőben azonosak, érdemes közös nevezőt találni a számoknak. A végső közös nevező így fog kinézni: . Így ennek a példának a megoldása így néz ki:.

Válasz:.

4. példa Törtek kivonása: .

Megoldás:

Ha a közös nevező kiválasztásakor nem tud „csalni” (nem tud faktorozni vagy rövidített szorzóképleteket használni), akkor mindkét tört nevezőinek szorzatát kell közös nevezőnek venni.

Válasz:.

Általában az ilyen példák megoldása során a legnehezebb feladat a közös nevező megtalálása.

Nézzünk egy összetettebb példát.

5. példa Leegyszerűsítve: .

Megoldás:

A közös nevező megtalálásakor először az eredeti törtek nevezőit kell figyelembe venni (a közös nevező egyszerűsítése érdekében).

Ebben a konkrét esetben:

Ezután könnyű meghatározni a közös nevezőt: .

További tényezőket határozunk meg, és megoldjuk ezt a példát:

Válasz:.

Most határozzuk meg a különböző nevezőjű törtek összeadásának és kivonásának szabályait.

6. példa. Leegyszerűsítve: .

Megoldás:

Válasz:.

7. példa. Leegyszerűsítve: .

Megoldás:

.

Válasz:.

Tekintsünk most egy példát, amelyben nem két, hanem három törtet adunk össze (elvégre az összeadás és a kivonás szabályai nagyobb számú tört esetén ugyanazok maradnak).

8. példa. Leegyszerűsítve: .

Ebben a leckében sok különböző példa kerül bemutatásra, ezért legyen készen egy tollal és papírral, hogy megpróbálja saját maga megoldani őket, vagy legalább ismételje meg a megoldást minden egyes példánál.
A tört racionális kifejezéseket tanulmányozzuk, és különösen érdekesek számunkra a racionális törtek, vagyis azok a törtek, amelyek számlálója és nevezője betűkifejezés.
Az óra témája a „törtek összege és különbsége”, és először a hasonló nevezővel rendelkező törtekről lesz szó.

További leckék az oldalon

Ha a törtek ugyanazokkal a nevezőkkel rendelkeznek, akkor összeadáskor (kivonáskor) csak a számlálókkal kell végrehajtania a jelzett műveleteket, és a nevezőt változatlannak kell hagynia. Nézzünk néhány példát. (2 példa a táblán – rögtön). Most álljon meg, hogy leállítsa a leckét, és próbálja meg egyedül elvégezni ezeket a feladatokat.

Térjünk át a különböző nevezőkkel rendelkező törtekkel végzett műveletekre. És a legegyszerűbb eset az ellenkező nevezők. Például az ellentétes nevezőjű törtek összege, és ha ilyen példákkal találkozik, használja a szabályt:

„A mínusz jel a számlálóban vagy a nevezőben a tört elé írható; és fordítva: ha a mínusz jelet egy tört elé írjuk, akkor az akár a számlálóba, akár a nevezőbe írható.”

Használjuk: a második tört nevezőjéből kivesszük a „mínuszt” a tört elé, és a nevezők ugyanazok lesznek.

Gondolja át, mi történt a példa megoldására: a művelet végrehajtása előtt a racionális törteket úgy változtatták meg, hogy a nevezőik azonosak legyenek. Ne feledje: ezt teszik a numerikus törtekkel – közös nevezőre hozzák a tört alapvető tulajdonságát felhasználva. Ugyanez az elv érvényes bármely racionális törtszámmal végzett műveleteknél.

(A tanár félmagasan áll a tábla hátterében.) És még egyszer nézzünk meg néhány példát az összeadás és kivonás törtekkel való végrehajtására. Tartson egy kis szünetet, és gondolja át, hogyan kezelje ezeket a példákat, majd megvizsgáljuk. (a táblán - csak példa feltételek)

A leckében egy speciális megfogalmazású feladatot fogunk megvizsgálni: „bizonyítsd be, hogy a kifejezések azonosak egymással”. A táblán olyan kifejezések vannak, amelyek egyenlőségét igazolni kell.

Foglaljuk össze a leckét:

Témája: „Törtek összege és különbsége”. Az összeg és a különbség meghatározásához a törteket úgy kell átalakítani, hogy azonos nevezőkkel rendelkezzenek. Ezután a jelzett műveleteket csak a számlálókkal kell végrehajtania, és a nevezőt változatlannak kell hagynia. Az eredményt csökkenteni kell.

Törtek összeadásakor és kivonásakor használjon polinomiális faktorizációt. Miért? 1) Megtalálni a legegyszerűbb közös nevezőt. 2) A töredékek csökkentése.

Ezzel a lecke befejeződik, de nagyszámú önálló gyakorlatot kell elvégeznie ahhoz, hogy határozottan megragadja a mai óra témáját.

Közönséges törtek.

Algebrai törtek összeadása

Emlékezik!

Csak azonos nevezőjű törteket adhat hozzá!

Konverziók nélkül nem adhat hozzá törteket

Hozzáadhat törteket

Ha hasonló nevezőt tartalmazó algebrai törteket adunk hozzá:

1. az első tört számlálóját hozzáadjuk a második tört számlálójához;
2. a nevező ugyanaz marad.

Nézzünk egy példát algebrai törtek összeadására.

Mivel mindkét tört nevezője „2a”, ez azt jelenti, hogy a törtek összeadhatók.

Adjuk össze az első tört számlálóját a második tört számlálójával, és hagyjuk a nevezőt változatlannak. Ha a kapott számlálóban törteket adunk hozzá, hasonlóakat mutatunk be.

Algebrai törtek kivonása

Ha hasonló nevezőjű algebrai törteket von ki:

1. A második tört számlálóját kivonjuk az első tört számlálójából.
2. a nevező ugyanaz marad.

Fontos!

Ügyeljen arra, hogy a kivonandó tört teljes számlálóját zárójelben adja meg.

Ellenkező esetben hibát követ el az előjelekben, amikor kinyitja a kivonandó tört zárójelét.

Nézzünk egy példát az algebrai törtek kivonására.

Mivel mindkét algebrai törtnek „2c” a nevezője, ez azt jelenti, hogy ezek a törtek kivonhatók.

Vonjuk le a második tört „(a − b)” számlálóját az „(a + d)” első tört számlálójából. Ne felejtse el zárójelbe tenni a kivonandó tört számlálóját. A zárójelek nyitásakor a zárójelek nyitására vonatkozó szabályt használjuk.

Algebrai törtek redukálása közös nevezőre

Nézzünk egy másik példát. Algebrai törteket kell hozzáadni.

A törteket ebben a formában nem lehet összeadni, mert eltérő nevezőjük van.

Az algebrai törtek hozzáadása előtt meg kell adni közös nevezőre hozni.

Az algebrai törtek közös nevezőre redukálására vonatkozó szabályok nagyon hasonlóak a közönséges törtek közös nevezőre való redukálására vonatkozó szabályokhoz. .

Ennek eredményeként olyan polinomot kell kapnunk, amely maradék nélkül fel lesz osztva a törtek minden korábbi nevezőjére.

Nak nek csökkentse az algebrai törteket közös nevezőre a következőket kell tennie.

1. Numerikus együtthatókkal dolgozunk. Minden numerikus együtthatóra meghatározzuk az LCM-et (legkisebb közös többszörös).
2. Polinomokkal dolgozunk. Az összes különböző polinomot a legnagyobb hatványokkal határozzuk meg.
3. A numerikus együttható és az összes legnagyobb hatványú polinom szorzata lesz a közös nevező.
4. Határozza meg, hogy mennyivel kell megszoroznia az egyes algebrai törteket, hogy közös nevezőt kapjon.

Térjünk vissza példánkhoz.

Tekintsük mindkét tört „15a” és „3” nevezőjét, és keressük meg a közös nevezőt.

1. Numerikus együtthatókkal dolgozunk. Keresse meg az LCM-et (a legkisebb közös többszörös olyan szám, amely maradék nélkül osztható minden egyes numerikus együtthatóval). A „15” és a „3” esetében „15”.
2. Polinomokkal dolgozunk. Fel kell sorolni az összes polinomot a legnagyobb hatványokkal. A "15a" és "5" nevezőkben csak
   egy monom - „a”.
3. Szorozzuk meg az 1. lépésből származó LCM-et „15”-tel és a 2. lépésből származó „a” monomiumot. „15a”-t kapunk. Ez lesz a közös nevező.
4. Minden tört esetében feltesszük magunknak a kérdést: "Mivel szorozzuk meg ennek a törtnek a nevezőjét, hogy 15a-t kapjunk?"

Nézzük az első törtet. Ennek a törtnek már a nevezője „15a”, ami azt jelenti, hogy nem kell szorozni semmivel.

Nézzük a második törtet. Tegyük fel a kérdést: „Mivel kell megszorozni a „3”-at, hogy „15a”-t kapjunk? A válasz „5a”.

Ha tört közös nevezőre csökkenti, szorozza meg „5a”-val számlálót és nevezőt is.

Az algebrai tört közös nevezőre való redukálására szolgáló rövidített jelölés a „házak” használatával írható.

Ehhez tartsa szem előtt a közös nevezőt. Minden tört fölé felül „a házban” írjuk, hogy mivel szorozzuk meg az egyes törteket.

Most, hogy a törtek azonos nevezőkkel rendelkeznek, a törtek összeadhatók.

Nézzünk egy példát a különböző nevezőjű törtek kivonására.

Tekintsük mindkét tört „(x − y)” és „(x + y)” nevezőit, és keressük meg a közös nevezőt.

Két különböző polinom van az "(x − y)" és "(x + y)" nevezőben. Az ő szorzatuk lesz a közös nevező, i.e. „(x − y)(x + y)” a közös nevező.

Algebrai törtek összeadása és kivonása rövidített szorzóképletek segítségével

Egyes példákban rövidített szorzóképleteket kell használni az algebrai törtek közös nevezőre való redukálásához.

Nézzünk egy példát algebrai törtek összeadására, ahol a négyzetek különbségének képletét kell használnunk.

Az első algebrai törtben a nevező „(p 2 − 36)”. Nyilvánvalóan alkalmazható rá a négyzetek különbségi képlete.

Miután a „(p 2 − 36)” polinomot polinomok szorzatára bontjuk
„(p + 6)(p − 6)” egyértelmű, hogy a „(p + 6)” polinom törtszámmal ismétlődik. Ez azt jelenti, hogy a törtek közös nevezője a „(p + 6)(p − 6)” polinomok szorzata lesz.

Ez a lecke a hasonló nevezőkkel rendelkező algebrai törtek összeadásával és kivonásával foglalkozik. Már tudjuk, hogyan adjunk össze és vonjunk ki közös törteket hasonló nevezőkkel. Kiderült, hogy az algebrai törtek ugyanazokat a szabályokat követik. A hasonló nevezőt használó törtekkel való munka megtanulása az algebrai törtekkel való munka megtanulásának egyik sarokköve. Ennek a témának a megértése különösen megkönnyíti egy összetettebb téma elsajátítását - a különböző nevezőkkel rendelkező törtek összeadását és kivonását. A lecke részeként megvizsgáljuk a hasonló nevezővel rendelkező algebrai törtek összeadásának és kivonásának szabályait, valamint számos tipikus példát elemezünk.

Hasonló nevezővel rendelkező algebrai törtek összeadásának és kivonásának szabálya

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih frakciók az egy az ön-hoz -mi-ből know-me-na-te-la-mi (ez egybeesik a közönséges lövésekre vonatkozó analóg szabállyal): Ez az al-geb-ra-i-che-skih törtek összeadása vagy kiszámítása egy-hoz-hoz know-me-on-the-la-mi szükséges -ho-di-mo-összeállítani a megfelelő al-geb-ra-i-che-sum számokat, és a jel-me-na-tel nélkül hagyni.

Ezt a szabályt mind a közönséges ven-draw, mind az al-geb-ra-i-che-draw példájára értjük.

Példák a szabály alkalmazására közönséges törtekre

Példa 1. Törtszámok hozzáadása: .

Megoldás

Adjuk össze a törtek számát, és hagyjuk a jelet változatlannak. Ezt követően a számot felbontjuk, és egyszerű multiplicitásokra és kombinációkra jelentkezünk. Szerezzük meg: .

Megjegyzés: egy szabványos hiba, amely megengedett hasonló típusú példák megoldása során a -klu-cha-et-sya esetében a következő lehetséges megoldásban: . Ez durva hiba, mivel a jel ugyanaz marad, mint az eredeti törtekben.

2. példa Törtszámok hozzáadása: .

Megoldás

Ez semmiben sem különbözik az előzőtől: .

Példák az algebrai törtek szabályának alkalmazására

A közönséges dro-beatektől áttérünk az al-geb-ra-i-che-skim-re.

3. példa Törtszámok hozzáadása: .

Megoldás: mint már fentebb említettük, az al-geb-ra-i-che-frakciók összetétele semmiben sem különbözik a szótól, ugyanaz, mint a szokásos lövöldözés. Ezért a megoldási mód ugyanaz: .

Példa 4. Ön a tört: .

Megoldás

You-chi-ta-nie az al-geb-ra-i-che-skih törtek összeadásából csak az a tény, hogy a pi-sy-va-et-sya számban különbség van a felhasznált törtek számában. Ezért .

Példa 5. Ön a tört: .

Megoldás: .

Példa 6. Egyszerűsítés: .

Megoldás: .

Példák a szabály alkalmazására, amelyet redukció követ

Egy olyan törtben, amelynek az összeállítás vagy a számítás eredménye ugyanaz, kombinációk lehetségesek nia. Ezenkívül nem szabad megfeledkezni az al-geb-ra-i-che-skih frakciók ODZ-jéről.

Példa 7. Egyszerűsítés: .

Megoldás: .

Ahol . Általánosságban elmondható, hogy ha a kezdeti törtek ODZ-je egybeesik a teljes ODZ-jével, akkor ez elhagyható (végül is a tört szerepel a válaszban, szintén nem fog létezni a megfelelő jelentős változásokkal). De ha a felhasznált törtek ODZ-je és a válasz nem egyezik, akkor az ODZ-t fel kell tüntetni.

Példa 8. Egyszerűsítse: .

Megoldás: . Ugyanakkor y (a kezdeti törtek ODZ-je nem esik egybe az eredmény ODZ-jével).

Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása

A különböző know-me-on-the-la-mi-vel rendelkező al-geb-ra-i-che-törtek hozzáadásához és olvasásához az ana-lo -giyu-t a közönséges-ven-ny törtekkel végezzük, és átvisszük az al-geb-be. -ra-i-che-frakciók.

Nézzük a közönséges törtek legegyszerűbb példáját.

1. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

Emlékezzünk a törtek összeadásának szabályaira. A törttel való kezdéshez közös jelre kell hozni. A közönséges törtek általános jelének szerepében cselekszel legkisebb közös többszörös(NOK) kezdeti jelei.

Meghatározás

A legkisebb szám, amely egyszerre van felosztva számokra és.

A NOC megtalálásához egyszerű halmazokra kell bontani a tudást, majd ki kell választani mindent, ami sok van, ami mindkét jel felosztásában szerepel.

; . Ekkor a számok LCM-jének tartalmaznia kell két kettőt és két hármast: .

Az általános ismeretek megtalálása után minden törtnek találnia kell egy teljes multiplicitás-rezidenst (sőt, a közös jelet a megfelelő tört előjelére kell önteni).

Ezután minden törtet megszorozunk egy félig teli tényezővel. Vegyünk néhány törtet azokból, amelyeket ismer, összeadjuk és felolvassuk őket – az előző leckékben.

Együnk: .

Válasz:.

Nézzük most a különböző előjelű al-geb-ra-i-che-frakciók összetételét. Most nézzük meg a törteket, és nézzük meg, vannak-e számok.

Algebrai törtek összeadása és kivonása különböző nevezőkkel

2. példa Törtszám hozzáadása: .

Megoldás:

Al-go-ritmusa a döntés ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen az előző példához. Könnyű venni az adott törtek közös jelét: és mindegyikhez további szorzót.

.

Válasz:.

Szóval formáljunk al-go-ritmus összeadás és al-geb-ra-i-che-skih törtek különböző előjelekkel:

1. Keresse meg a tört legkisebb közös jelét!

2. Keressen további szorzót minden törthez (valóban az előjel közös jele -edik tört).

3. Legfeljebb sok szám a megfelelő legfeljebb teljes szorzókon.

4. Vegyen össze vagy számítson ki törteket a törtösszeállítás és a törtek kiszámításának szabályaival azonos ismeretekkel -me-na-te-la-mi.

Most nézzünk egy példát a törtekkel, amelyek jelében te -nia betűk vannak.