Átlagos szint

Paralelogramma, téglalap, rombusz, négyzet (2019)

1. Párhuzamos

Összetett szó "párhuzamos"? És mögötte egy nagyon egyszerű figura lapul.

Nos, két párhuzamos vonalat vettünk:

Még kettő keresztezve:

És belül van egy paralelogramma!

Milyen tulajdonságai vannak a paralelogrammának?

A paralelogramma tulajdonságai.

Vagyis mit lehet használni, ha a feladatnak paralelogrammát adunk?

Erre a kérdésre a következő tétel ad választ:

Rajzoljunk le mindent részletesen.

Mit jelent tétel első pontja? És tény, hogy ha VAN paralelogrammája, akkor biztosan lesz

A második pont azt jelenti, hogy ha VAN paralelogramma, akkor ismét minden bizonnyal:

Nos, és végül a harmadik pont azt jelenti, hogy ha VAN paralelogrammája, akkor feltétlenül tegye meg:

Látod, milyen bőséges a választék? Mit kell használni a problémában? Próbáljon meg a feladat kérdésére összpontosítani, vagy csak próbáljon meg mindent egyenként - néhány „kulcs” megteszi.

Most tegyünk fel magunknak egy másik kérdést: hogyan ismerhetünk fel egy paralelogrammát „látásból”? Mi történjen egy négyszöggel, hogy legyen jogunk a paralelogramma „címét” adni neki?

A paralelogramma számos jele válaszol erre a kérdésre.

A paralelogramma jelei.

Figyelem! Kezdődik.

Paralelogramma.

Figyelem: ha legalább egy jelet talált a feladatban, akkor biztosan rendelkezik paralelogrammával, és használhatja a paralelogramma összes tulajdonságát.

2. Téglalap

Szerintem ez egyáltalán nem lesz újdonság számodra

Első kérdés: a téglalap paralelogramma?

Persze hogy az! Végül is, emlékszel, a 3-as jelünk?

És innentől persze az következik, hogy a téglalapban, mint minden paralelogrammában, az átlókat a metszéspont kettéosztja.

De a téglalapnak van egy megkülönböztető tulajdonsága is.

Téglalap tulajdonság

Miért különleges ez a tulajdonság? Mert egyetlen más paralelogrammának sincs egyenlő átlója. Fogalmazzuk meg világosabban.

Kérjük, vegye figyelembe: ahhoz, hogy egy négyszögből téglalap legyen, először paralelogrammává kell válnia, majd be kell mutatnia az átlók egyenlőségét.

3. Gyémánt

És ismét a kérdés: a rombusz paralelogramma vagy sem?

Minden joggal - egy paralelogramma, mert van és (emlékezzünk a 2. jellemzőnkre).

És még egyszer, mivel a rombusz paralelogramma, ezért rendelkeznie kell a paralelogramma összes tulajdonságával. Ez azt jelenti, hogy egy rombuszban a szemközti szögek egyenlőek, a szemközti oldalak párhuzamosak, és az átlók a metszéspontban felezik.

A rombusz tulajdonságai

Nézz a képre:

A téglalaphoz hasonlóan ezek a tulajdonságok is jellegzetesek, vagyis mindegyik tulajdonságra megállapíthatjuk, hogy ez nem csak egy paralelogramma, hanem egy rombusz.

A gyémánt jelei

És még egyszer, figyelj: nem csak egy négyszögnek kell lennie, amelynek átlói merőlegesek, hanem egy paralelogrammának. Győződjön meg róla:

Természetesen nem, bár az átlói merőlegesek, az átló pedig a és a szögek felezője. De... az átlókat nem osztja ketté a metszéspont, ezért - NEM paralelogramma, tehát NEM rombusz.

Vagyis a négyzet egyben téglalap és rombusz is. Nézzük mi történik.

Világos, hogy miért? - rombusz az A szög felezőpontja, amely egyenlő. Ez azt jelenti, hogy két szögre osztódik (és egyben).

Nos, ez teljesen világos: egy téglalap átlói egyenlőek; A rombusz átlói merőlegesek, és általában az átlók paralelogrammáját kettéosztjuk a metszésponttal.

ÁTLAGOS SZINT

A négyszögek tulajdonságai. Paralelogramma

A paralelogramma tulajdonságai

Figyelem! Szavak" paralelogramma tulajdonságai"Úgy értsd, ha a feladatodban van Van paralelogramma, akkor az alábbiak mindegyike használható.

Tétel a paralelogramma tulajdonságairól.

Bármely paralelogrammában:

Más szóval értsük meg, miért igaz ez az egész BIZONYÍTJUK tétel.

Akkor miért igaz az 1)?

Ha paralelogramma, akkor:

• keresztbe fekve
• hazudnak, mint a keresztek.

Ez azt jelenti (a II. kritérium szerint: és - általános.)

Nos, ez van, ez az! - bizonyult.

De mellesleg! Mi is bebizonyítottuk 2)!

Miért? De (nézd meg a képet), vagyis pont azért.

Már csak 3 maradt).

Ehhez még meg kell rajzolnia egy második átlót.

És most ezt látjuk - a II karakterisztikának megfelelően (szögek és a köztük lévő oldal).

Tulajdonságok bizonyított! Térjünk át a jelekre.

A paralelogramma jelei

Emlékezzünk vissza, hogy a paralelogramma jel válaszol a „honnan tudod, hogy az ábra paralelogramma?” kérdésre.

Ikonoknál ez így néz ki:

Miért? Jó lenne megérteni, miért – ez elég. De nézd:

Nos, rájöttünk, miért igaz az 1. jel.

Nos, ez még egyszerűbb! Rajzoljunk újra egy átlót.

Ami azt jelenti:

ÉS Ez is könnyű. De... más!

Azt jelenti,. Azta! Hanem - belső egyoldalas szekánssal!

Ezért az a tény, hogy ez azt jelenti.

És ha a másik oldalról nézed, akkor - belső egyoldalas szekánssal! És ezért.

Látod, milyen nagyszerű?!

És megint egyszerű:

Pontosan ugyanaz, és.

Figyelj: ha megtaláltad legalább egy paralelogramma jele a feladatban, akkor megvan pontosan paralelogramma és használhatja mindenki paralelogramma tulajdonságai.

A teljes átláthatóság érdekében nézze meg a diagramot:

A négyszögek tulajdonságai. Téglalap.

A téglalap tulajdonságai:

Az 1) pont teljesen nyilvánvaló - végül is a 3 () jel egyszerűen teljesül

És a 2) pont - nagyon fontos. Szóval, bizonyítsuk be

Ez azt jelenti, hogy két oldalról (és - általános).

Nos, mivel a háromszögek egyenlőek, akkor a befogójuk is egyenlő.

Bebizonyította!

És képzeld el, az átlók egyenlősége a téglalap megkülönböztető tulajdonsága az összes paralelogramma között. Vagyis ez az állítás igaz^

Értsük meg, miért?

Ez azt jelenti (értsd a paralelogramma szögeit). De ne felejtsük el még egyszer, hogy ez egy paralelogramma, és ezért.

Azt jelenti,. Hát persze ebből az következik, hogy mindegyik! Hiszen összesen kell adniuk!

Tehát bebizonyították, hogy ha paralelogramma hirtelen (!) az átlók egyenlőnek bizonyulnak, akkor ez pontosan egy téglalap.

De! Figyelj! Ez kb paralelogrammák! Nem is akárki egyenlő átlójú négyszög téglalap, és csak paralelogramma!

A négyszögek tulajdonságai. Rombusz

És ismét a kérdés: a rombusz paralelogramma vagy sem?

Teljes jobb oldalon - egy paralelogramma, mert van (Emlékezzen a 2. szolgáltatásunkra).

És még egyszer, mivel a rombusz paralelogramma, rendelkeznie kell a paralelogramma összes tulajdonságával. Ez azt jelenti, hogy egy rombuszban a szemközti szögek egyenlőek, a szemközti oldalak párhuzamosak, és az átlók a metszéspontban felezik.

De vannak különleges tulajdonságok is. Fogalmazzuk meg.

A rombusz tulajdonságai

Miért? Nos, mivel a rombusz paralelogramma, ezért az átlóit felezik.

Miért? Igen, ezért!

Más szóval, az átlók a rombusz sarkainak felezőinek bizonyultak.

Mint egy téglalap esetében, ezek a tulajdonságok megkülönböztető, mindegyik egy-egy rombusz jele is.

A gyémánt jelei.

Miért ez? És nézd,

Azt jelenti mindkét Ezek a háromszögek egyenlő szárúak.

Ahhoz, hogy rombusz legyen, a négyszögből először paralelogrammává kell válnia, majd fel kell mutatnia az 1. vagy 2. jellemzőt.

A négyszögek tulajdonságai. Négyzet

Vagyis a négyzet egyben téglalap és rombusz is. Nézzük mi történik.

Világos, hogy miért? A négyzet - egy rombusz - egy szög felezője, amely egyenlő. Ez azt jelenti, hogy két szögre osztódik (és egyben).

Nos, ez teljesen világos: egy téglalap átlói egyenlőek; A rombusz átlói merőlegesek, és általában az átlók paralelogrammáját kettéosztjuk a metszésponttal.

Miért? Nos, alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt...

ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLETEK

A paralelogramma tulajdonságai:

1. A szemközti oldalak egyenlőek: , .
2. Az ellentétes szögek egyenlőek: , .
3. Az egyik oldalon lévő szögek összeadódnak: , .
4. Az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal: .

A téglalap tulajdonságai:

1. A téglalap átlói egyenlők: .
2. A téglalap paralelogramma (téglalap esetén a paralelogramma összes tulajdonsága teljesül).

A rombusz tulajdonságai:

1. A rombusz átlói merőlegesek: .
2. A rombusz átlói a szögfelezők: ; ; ; .
3. A rombusz paralelogramma (rombusz esetén a paralelogramma összes tulajdonsága teljesül).

A négyzet tulajdonságai:

A négyzet egyben rombusz és téglalap, ezért egy négyzetre a téglalap és a rombusz összes tulajdonsága teljesül. És.

1. A paralelogramma definíciója.

Ha egy pár párhuzamos egyenest metszünk egy másik pár párhuzamos egyenessel, akkor olyan négyszöget kapunk, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

ABDC és EFNM négyszögekben (224. ábra) ВD || AC és AB || CD;

EF || MN és EM || FN.

Azt a négyszöget, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, paralelogrammának nevezzük.

2. A paralelogramma tulajdonságai.

Tétel. A paralelogramma átlója két egyenlő háromszögre osztja.

Legyen egy ABDC paralelogramma (225. ábra), amelyben AB || CD és AC || ВD.

Be kell bizonyítani, hogy az átló két egyenlő háromszögre osztja.

Rajzoljunk CB átlót az ABDC paralelogrammára. Bizonyítsuk be, hogy \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.

Az ÉK oldal közös ezekben a háromszögekben; ∠ABC = ∠BCD, mint belső keresztirányú szögek párhuzamos AB-vel és CD-vel, valamint a szekáns CB-vel; ∠ACB = ∠СВD, mint a belső keresztirányú szögek párhuzamos AC és BD és szekáns CB mellett.

Ezért \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СДВ.

Ugyanígy bebizonyítható, hogy az AD átló a paralelogrammát két egyenlő ACD és ABD háromszögre osztja.

Következmények:

1 . A paralelogramma ellentétes szögei egyenlőek egymással.

∠A = ∠D, ez a CAB és CDB háromszögek egyenlőségéből következik.

Hasonlóképpen, ∠C = ∠B.

2. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek egymással.

AB = CD és AC = BD, mivel ezek egyenlő háromszögek oldalai és egyenlő szögekkel ellentétesek.

2. tétel. A paralelogramma átlóit a metszéspontjukban kettéosztjuk.

Legyen BC és AD az ABC paralelogramma átlói (226. ábra). Bizonyítsuk be, hogy AO = OD és CO = OB.

Ehhez hasonlítson össze néhány ellentétes háromszögpárt, például \(\Delta\)AOB és \(\Delta\)СOD.

Ezekben a háromszögekben AB = CD, mint egy paralelogramma szemközti oldalai;

∠1 = ∠2, mint belső szögek, amelyek keresztbe fekszenek az AB-vel és a CD-vel párhuzamosan, valamint az AD szekánssal;

∠3 = ∠4 ugyanezen okból, mivel AB || A CD és az SV a szekánsaik.

Ebből következik, hogy \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СOD. És egyenlő háromszögekben az egyenlő oldalak egyenlő szögekkel ellentétesek. Ezért AO = OD és CO = OB.

3. tétel. A paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögek összege egyenlő 180°.

Az ABCD paralelogrammában rajzolunk egy AC átlót, és kapunk két ABC és ADC háromszöget.

A háromszögek egyenlőek, mivel ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (párhuzamos egyenesek keresztirányú szögei), és az AC oldal közös.
Az \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC egyenlőségből az következik, hogy AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

Az egyik oldallal szomszédos szögek, például az A és D szögek összege egyenlő 180°-kal, mint párhuzamos egyenesek egyoldalú szögei.

Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. A paralelogramma definíciója és alapvető tulajdonságai

Kezdjük azzal, hogy felidézzük a para-ral-le-lo-gram definícióját.

Meghatározás. Paralelogramma- what-you-rekh-gon-nick, amelynek minden két pro-ti-false oldala párhuzamos (lásd: 1. ábra).

Rizs. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Emlékezzünk a pa-ral-le-lo-gram-ma alapvető tulajdonságai:

Ahhoz, hogy ezeket a tulajdonságokat használni tudja, meg kell bizonyosodnia arról, hogy a fi-gu-ra, valakiről -roy, akiről beszélünk, - par-ral-le-lo-gram. Ehhez ismerni kell az ilyen tényeket, mint a pa-ral-le-lo-gram-ma jeleit. Ezek közül most az első kettőt nézzük.

2. A paralelogramma első jele

Tétel. A pa-ral-le-lo-gram-ma első jele. Ha egy négyszénben a két szemközti oldal egyenlő és párhuzamos, akkor ez a négyszén becenév - paralelogramma. .

Rizs. 2. A pa-ral-le-lo-gram-ma első jele

Bizonyíték. A dia-go-nalt a négy-reh-coal-ni-kébe tettük (lásd 2. ábra), ő két tri-coal-ni-kára osztotta. Írjuk le, mit tudunk ezekről a háromszögekről:

a háromszögek egyenlőségének első jele szerint.

A jelzett háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy az egyenesek keresztezési párhuzamosságának jelével ch-nii azok s-ku-shchi. Nálunk ez van:

Do-ka-za-but.

3. A paralelogramma második jele

Tétel. A második jel a pa-ral-le-lo-gram-ma. Ha egy négysarokban minden két pro-ti-hamis oldal egyenlő, akkor ez a négysarok az paralelogramma. .

Rizs. 3. A pa-ral-le-lo-gram-ma második jele

Bizonyíték. Az átlót a négysarokba tesszük (lásd 3. ábra), két háromszögre osztja. Írjuk le, mit tudunk ezekről a háromszögekről, az elmélet alakja alapján:

a háromszögek egyenlőségének harmadik jele szerint.

A háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy a párhuzamosság jelével az egyenes vonalak metszésekor s-ku-shchey. Együnk:

par-ral-le-lo-gram definíció szerint. Q.E.D.

Do-ka-za-but.

4. Példa az első paralelogramma jellemző használatára

Nézzünk egy példát a pa-ral-le-lo-gram jeleinek használatára.

Példa 1. A dudorban nincsenek szenet Keresse meg: a) a parazsatok sarkait; b) százro-kút.

Megoldás. Illusztráció Fig. 4.

pa-ral-le-lo-gram a pa-ral-le-lo-gram-ma első jele szerint.

A. egy par-ral-le-lo-gram tulajdonságával a pro-ti-hamis szögekről, egy par-ral-le-lo-gram tulajdonságával a szögek összegéről, ha egy oldalra fekszenek.

B. a hamis oldalak egyenjogúságának természeténél fogva.

re-tiy jel pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Áttekintés: A paralelogramma meghatározása és tulajdonságai

Emlékezzünk arra paralelogramma- ez egy négyszögletes sarok, aminek párban vannak pro-ti-false oldalai. Vagyis ha - par-ral-le-lo-gram, akkor (lásd 1. ábra).

A párhuzamos-le-lo-gramnak számos tulajdonsága van: a szemközti szögek egyenlőek (), a szemközti szögek -mi egyenlőek ( ). Ezenkívül a dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma a re-se-che-niya pontjában a szögek összege szerint van felosztva, bármely oldal pa-ral-le-lo-gram-ma, egyenlő stb.

De ahhoz, hogy mindezen tulajdonságokat kihasználjuk, teljesen biztosnak kell lenni abban, hogy a ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Erre a célra a par-ral-le-lo-gram jelei vannak: vagyis azok a tények, amelyekből egyértékű következtetést lehet levonni, hogy a what-you-rekh-coal-nick egy par-ral- le-lo-gram-mama. Az előző leckében már két jelet néztünk meg. Most harmadszorra nézünk.

6. A paralelogramma harmadik jele és bizonyítása

Ha egy négyszénben van egy dia-go-on a re-se-che-niya pontján, amit csinálnak, akkor a megadott négy-te Roh-coal-nick egy pa-ral-le -lo-gram-mama.

Adott:

What-you-re-coal-nick; ; .

Bizonyít:

Paralelogramma.

Bizonyíték:

Ennek bizonyításához meg kell mutatni a felek párhuzamosságát a par-le-lo-grammal. Az egyenesek párhuzamossága pedig leggyakrabban a belső keresztirányú szögek egyenlőségén keresztül jelenik meg ezeknél a derékszögeknél. Tehát itt van a következő módszer a par-ral -le-lo-gram-ma harmadik jelének megszerzésére: a háromszögek egyenlőségén keresztül .

Nézzük meg, hogyan egyenlők ezek a háromszögek. Valójában a következő feltételből: . Ezenkívül, mivel a szögek függőlegesek, egyenlőek. Azaz:

(az egyenlőség első jeletri-coal-ni-cov- két oldal és a közöttük lévő sarok mentén).

A háromszögek egyenlőségéből: (mivel ezeknél az egyeneseknél és elválasztóknál a belső keresztszögek egyenlőek). Ezenkívül a háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy . Ez azt jelenti, hogy megértjük, hogy négyszénben kétszáz egyenlő és párhuzamos. Az első jel szerint pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-but.

7. Példa a paralelogramma harmadik jelére vonatkozó feladatra és az általánosításra

Nézzük meg a pa-ral-le-lo-gram harmadik jelének használatának példáját.

1. példa

Adott:

- paralelogramma; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (lásd 2. ábra).

Bizonyít:- pa-ral-le-lo-gram.

Bizonyíték:

Ez azt jelenti, hogy a négy-szén-no-dia-go-on-akár ponton újra-se-che-niya csinálnak-by-lam. A pa-ral-le-lo-gram harmadik jeléből az következik, hogy - pa-ral-le-lo-gram.

Do-ka-za-but.

Ha elemezzük a pa-ral-le-lo-gram harmadik jelét, akkor észrevehetjük, hogy ez a jel with-vet- par-ral-le-lo-gram tulajdonsággal rendelkezik. Vagyis az a tény, hogy a dia-go-na-li de-la-xia nem csak a par-le-lo-gram tulajdonsága, hanem annak jellegzetes, kha-rak-te-ri-sti-che- tulajdonság, amely alapján megkülönböztethető a what-you-rekh-coal-ni-cov halmaztól.

FORRÁS

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete