A gammasugárzás egy nagyon nagy frekvenciájú elektromágneses rezgés, amely fénysebességgel halad át a térben. Ezeket a sugárzásokat az atommag egyes részek formájában bocsátja ki, amelyeket gamma-sugaraknak vagy fotonoknak neveznek.

A gamma-kvantumok energiája 0,05 és 5 MeV között van. Az 1 MeV-nál kisebb energiájú gammasugárzást hagyományosan lágy sugárzásnak, az 1 MeV-nál nagyobb energiájú pedig kemény sugárzásnak nevezik.

A gammasugárzás nem önálló sugárzási típus. Jellemzően gamma-sugárzás kíséri a béta-bomlást, ritkábban az alfa-bomlást. Az alfa vagy béta részecskék kilökésével a mag megszabadul a felesleges energiától, de továbbra is gerjesztett állapotban maradhat. A gerjesztett állapotból az alapállapotba való átmenet gamma-sugárzással jár, miközben az atommag összetétele nem változik.

A levegőben a gamma-sugarak nagy távolságokra terjednek, tíz és száz méterben mérve.

A gamma-sugarak áthatoló ereje 50-100-szor nagyobb, mint a béta-részecskék, és ezerszer nagyobb, mint az alfa-részecskék áthatoló ereje.

Ionizálja a közeget, amikor a gamma-sugarak áthaladnak rajta: csak másodlagos elektronokkal, amelyek a gamma-sugarak és az anyag atomjai közötti kölcsönhatás eredményeként keletkeznek. A gamma kvantumok ionizáló képességét az energiájuk határozza meg. Általánosságban elmondható, hogy egy gamma-kvantum annyi ionpárt hoz létre, amennyit azonos energiájú béta- vagy alfa-részecske. A gamma-sugarak kisebb abszorpciója miatt azonban az általuk termelt ionok nagyobb távolságra oszlanak el. Ezért a gamma-kvantumok fajlagos ionizáló képessége több százszor kisebb, mint a béta-részecskék fajlagos ionizáló képessége, ezerszer kisebb, mint az alfa-részecskék fajlagos ionizáló képessége, és több ionpárt tesz ki a levegőben 1 cm-es úton. .

Következtetés. A gamma-sugárzásnak van a legnagyobb áthatoló ereje más típusú radioaktív sugárzásokhoz képest. Ugyanakkor a gamma-sugárzásnak nagyon alacsony a fajlagos ionizáló képessége, több ionpárt tesz ki a levegőben a gamma-kvantumút 1 cm-én.

A neutronsugárzás és alapvető tulajdonságai

A neutronsugárzás olyan korpuszkuláris sugárzás, amely az atommagok hasadási vagy fúziós folyamata során keletkezik.

A neutronok erős károsító hatásúak, mivel elektromos töltéssel nem rendelkeznek, könnyen behatolnak az élő szöveteket alkotó atommagokba, és befogják őket.

A nukleáris robbanás során a neutronok teljes számának több mint 99%-a 10-14 másodpercen belül szabadul fel. Ezeket a neutronokat promptnak nevezzük. A neutronok többi részét (körülbelül 1%-át) a béta-bomlásuk során egyes hasadási fragmentumok bocsátják ki később. Ezeket a neutronokat késleltetettnek nevezzük.

A neutronok terjedési sebessége eléri a 20 000 km/h-t. A robbanás pillanatától számítva körülbelül egy másodpercre van szükség ahhoz, hogy az összes neutron a robbanás helyétől addig a pontig eljusson, ahol veszélyt jelent.

Energiájuktól függően a neutronokat a következőképpen osztályozzák:

lassú neutronok 0-0,1 keV;

köztes energiájú neutronok 0,1-20 keV;

gyors neutronok 20 keV-10 MeV;

nagy energiájú neutronok 10 MeV felett.

Termikus neutronok - a környezettel termikus egyensúlyban lévő (1 eV-ot meg nem haladó energiájú) neutronok a lassú neutronok tartományába tartoznak.

A neutronok anyagon való áthaladása intenzitásuk gyengülésével jár. Ezt a gyengülést a neutronok és az anyag atommagjai közötti kölcsönhatás okozza.

Röntgensugárzás

Röntgensugarak akkor keletkeznek, amikor a gyors elektronok szilárd célpontokat bombáznak. A röntgencső egy evakuált ballon, több elektródával (1.2. ábra). Az áram által felmelegített K katód a termikus emisszió miatt kibocsátott szabad elektronok forrásaként szolgál. A hengeres C elektródát az elektronsugár fókuszálására tervezték.

A cél az A anód, más néven antikatód. Nehézfémekből (W, Cu. Pt stb.) készül. Az elektronok gyorsítását a katód és az antikatód között létrejövő nagy feszültség végzi. Az antikatódon szinte az összes elektronenergia felszabadul hő formájában (az energia mindössze 1-3%-a alakul sugárzássá).

Az antikatód anyagba kerülve az elektronok erős gátlást tapasztalnak, és elektromágneses hullámok forrásává válnak.

Megfelelően nagy elektronsebességnél a bremsstrahlung sugárzás (azaz az elektronok lassulása okozta sugárzás) mellett karakterisztikus sugárzás is gerjesztődik (amit az antikatód atomok belső elektronhéjának gerjesztése okoz).

A röntgensugárzás intenzitása mérhető mind a fotográfiai hatás mértékével, mind a gáz-halmazállapotú közegben, különösen a levegőben kiváltott ionizációval. * Minél intenzívebb a sugárzás, annál nagyobb az ionizáció. Az anyaggal való kölcsönhatás mechanizmusa szerint a röntgensugárzás hasonló az y-sugárzáshoz. A röntgensugárzás hullámhossza 10 -10 -10 -6 cm, a gamma-sugárzás -10-9 cm és az alatti.

Jelenleg a röntgensugárzást ellenőrző eszközként használják. Röntgensugárzás segítségével szabályozzák a hegesztés minőségét, a megfelelő termékek homogenitását stb. Az orvostudományban a röntgensugarakat széles körben használják diagnosztikára, esetenként pedig a rákos sejtek befolyásolására.

11. előadás (2 előadást tarthat)

Kísérletileg bebizonyosodott, hogy a g-sugárzás (lásd 255. §) nem önálló radioaktivitás-típus, hanem csak az a- és b-bomlást kíséri, és magreakciók során is előfordul, a töltött részecskék lassulása, bomlása stb. g-spektrum uralkodik. A g-spektrum a g-kvantumok számának energiaeloszlása ​​(a b-spektrum ugyanezen értelmezése a 258. §-ban található). A g-spektrum diszkrétsége alapvető fontosságú, hiszen az atommagok energiaállapotainak diszkrétségét bizonyítja.

Mára szilárdan bebizonyosodott, hogy a g-sugárzást a leánymag (és nem az anya) bocsátja ki. A leánymag a keletkezésének pillanatában gerjesztett állapotban körülbelül 10 -13 - 10 -14 s idő alatt, sokkal rövidebb idő alatt, mint a gerjesztett atom élettartama (kb. 10 -8 s), alapállapotba kerül. a g-sugárzás kibocsátása. Az alapállapotba visszatérve a gerjesztett mag számos köztes állapoton áthaladhat, ezért ugyanazon radioaktív izotóp g-sugárzása több, egymástól energiájukban eltérő g-kvantumcsoportot tartalmazhat.

G-sugárzással Aés a Z kernelek nem változnak, így azt semmilyen eltolási szabály nem írja le. A legtöbb magból származó g-sugárzás olyan rövid hullámhosszú, hogy hullámtulajdonságai nagyon gyengén nyilvánulnak meg. Itt a korpuszkuláris tulajdonságok kerülnek előtérbe, így a g-sugárzást részecskék - g-kvantumok - áramának tekintik. A különböző atommagok radioaktív bomlása során a g-kvantumok energiája 10 keV és 5 MeV között van.

A gerjesztett atommag nem csak egy g-kvantum kibocsátásával mehet alapállapotba, hanem úgy is, hogy a gerjesztési energiát közvetlenül (g-kvantum előzetes emissziója nélkül) átviszi ugyanannak az atomnak valamelyik elektronjára. Ebben az esetben egy úgynevezett konverziós elektront bocsátanak ki. Magát a jelenséget belső konverziónak nevezik. A belső konverzió olyan folyamat, amely a g-sugárzással versenyez.

A konverziós elektronok diszkrét energiaértékeknek felelnek meg, attól függően, hogy az elektron milyen munkafunkciója van a héjból, amelyből az elektron kiszabadul, valamint az E energiától , a mag által a gerjesztett állapotból az alapállapotba való átmenet során leadja. Ha E teljes energiája y-kvantum formájában szabadul fel, akkor a v sugárzási frekvenciát az ismert E = hv összefüggésből határozzuk meg. . Ha belső konverziós elektronokat bocsátanak ki, akkor energiájuk egyenlő E-A K, E-A L, ..., ahol A k, A L, ... - egy K-ből származó elektron munkafüggvénye - és L-héjak. A konverziós elektronok monoenergetikus természete lehetővé teszi, hogy megkülönböztessük őket a b-elektronoktól, amelyek spektruma folytonos (lásd 258. §). Az atom belső héján az elektronkibocsátás eredményeként megjelenő üres hely a fedőhéjak elektronjaival töltődik fel. Ezért a belső átalakulást mindig jellegzetes röntgensugárzás kíséri.

A nulla nyugalmi tömegű G-kvantumok nem tudnak lelassulni a közegben, ezért amikor a g-sugárzás áthalad az anyagon, az vagy elnyeli, vagy szétszórja őket. A g-kvanták nem hordoznak elektromos töltést, így nem befolyásolják őket a Coulomb-erők. Amikor egy y-kvantumok nyalábja áthalad egy anyagon, az energiájuk nem változik, de az ütközések következtében az intenzitás gyengül, aminek változását az I = I 0 e - m x exponenciális törvény írja le (I 0 ill. I a g-sugárzás intenzitása egy x vastagságú elnyelő anyag réteg be- és kimenetén, m - abszorpciós együttható). Mivel a g-sugárzás a leginkább átható sugárzás, sok anyag esetében m nagyon kicsi érték; mfügg az anyag tulajdonságaitól és a g-kvantumok energiájától.

Az anyagon áthaladó G-kvantumok kölcsönhatásba léphetnek mind az anyag atomjainak elektronhéjával, mind a magjaikkal. A kvantumelektrodinamika bizonyítja, hogy a g-sugárzás anyagon való áthaladását kísérő fő folyamatok a fotoelektromos hatás, a Compton-effektus (Compton-szórás) és az elektron-pozitron párok kialakulása.

A fotoelektromos hatás vagy a gamma-sugárzás fotoelektromos abszorpciója egy olyan folyamat, amelyben egy atom elnyel egy gamma-kvantumot és elektront bocsát ki. Mivel az atom egyik belső héjából kiüt egy elektron, a megüresedett teret a fedőhéjak elektronjai töltik meg, és a fotoelektromos hatást jellegzetes röntgensugárzás kíséri. A fotoelektromos hatás a domináns abszorpciós mechanizmus a gamma-sugárzás alacsony energiájú tartományában (pl.< 100 кэВ). Фотоэффект может идти только на связанных электронах, так как свободный электрон не может поглотить g-квант, при этом одновременно не удовлетворяются законы сохранения энергии и импульса.

Ahogy a g-kvantumok energiája növekszik (E g » 0,5 MeV), a fotoelektromos hatás valószínűsége nagyon kicsi, és a g-kvantumok anyaggal való kölcsönhatásának fő mechanizmusa a Compton-szórás (lásd 206. §).

E g >1,02 MeV = 2m e c 2 (m e az elektron nyugalmi tömege) mellett lehetővé válik az elektron-pozitron párok kialakulásának folyamata az atommagok elektromos mezőiben. Ennek a folyamatnak a valószínűsége arányos Z 2-vel és növekszik az E g növekedésével. Ezért E g » 10 MeV mellett a g-sugárzás kölcsönhatásának fő folyamata bármely anyagban az elektron-pozitron párok kialakulása.

Ha a g-kvantum energiája meghaladja a magban lévő nukleonok kötési energiáját (7-8 MeV), akkor a g-kvantum abszorpciója következtében magfotoelektromos hatás figyelhető meg - egy a nukleonok, leggyakrabban egy neutron, az atommagból.

A g-sugárzás nagy áthatolási képességét a gamma-hiba-észlelésben használják - egy hibaészlelési módszer, amely a g-sugárzás eltérő abszorpcióján alapul, amikor az azonos távolságra terjed különböző közegekben. A hibák (lyukak, repedések stb.) helyét és méretét a vizsgált termék különböző területein áthaladó sugárzás intenzitásának különbsége határozza meg.

A g-sugárzás (valamint más típusú ionizáló sugárzás) anyagra gyakorolt ​​hatását az ionizáló sugárzás dózisa jellemzi. Ezek különböznek:

Az elnyelt sugárdózis olyan fizikai mennyiség, amely megegyezik a sugárzási energia és a besugárzott anyag tömegének arányával.

Az elnyelt sugárdózis mértékegysége szürke (Gy)*: 1 Gy = 1 J/kg - olyan sugárzási dózis, amelynél bármely 1 J ionizáló sugárzás energiája átadódik egy 1 kg tömegű besugárzott anyagnak.

A kitett sugárzási dózis olyan fizikai mennyiség, amely egyenlő a besugárzott levegőben felszabaduló elektronok által létrehozott azonos előjelű ionok elektromos töltéseinek összegének arányával (feltéve, hogy az elektronok ionizáló képességét teljes mértékben kihasználják) levegő.

A sugárterhelés mértékegysége coulomb per kilogramm (C/kg); Az alapegység a röntgen (P): 1 P = 2,58 × 10 -4 C/kg.

A biológiai dózis olyan mennyiség, amely meghatározza a sugárzás szervezetre gyakorolt ​​hatását.

A biológiai dózis egysége a röntgensugárzás biológiai egyenértéke (rem): 1 rem bármely típusú ionizáló sugárzás olyan dózisa, amely ugyanazt a biológiai hatást fejti ki, mint egy 1 R-es röntgen vagy g-sugárzás dózisa. 1 rem = 10-2 J/kg).

A gammasugárzás az elektromágneses sugárzás rövidhullámú típusai közé tartozik. A rendkívül rövid hullámhossz miatt a gamma-sugárzás kifejezett korpuszkuláris tulajdonságokkal rendelkezik, míg a hullámtulajdonságok gyakorlatilag hiányoznak.

A gamma erős traumatikus hatással van az élő szervezetekre, ugyanakkor teljesen lehetetlen érzékszervekkel felismerni.

Az ionizáló sugárzás csoportjába tartozik, azaz hozzájárul a különféle anyagok stabil atomjainak pozitív vagy negatív töltésű ionokká történő átalakulásához. A gamma-sugárzás sebessége a fény sebességéhez hasonlítható. A korábban ismeretlen sugárzási áramlások felfedezését a francia tudós, Villard tette 1900-ban.

A nevekhez a görög ábécé betűit használták. A röntgensugárzás utáni elektromágneses sugárzás skáláján található sugárzást gammának nevezik - az ábécé harmadik betűje.

Meg kell érteni, hogy a különböző típusú sugárzások közötti határok nagyon önkényesek.

Mi a gamma-sugárzás

Próbáljuk meg, elkerülve a speciális terminológiát, megérteni, mi az a gamma-ionizáló sugárzás. Bármely anyag atomokból áll, amelyek magukban foglalják az atommagot és az elektronokat. Az atom, és különösen annak magja rendkívül stabil, ezért hasadásuk különleges körülményeket igényel.

Ha ezek a feltételek valamilyen módon létrejönnek, vagy mesterségesen hozzák létre, akkor a nukleáris bomlás folyamata következik be, amely nagy mennyiségű energia és elemi részecskék felszabadulásával jár.

Attól függően, hogy pontosan mi szabadul fel ebben a folyamatban, a sugárzás több típusra oszlik. Az alfa-, béta- és neutronsugárzást elemi részecskék kibocsátása különbözteti meg, a röntgen- és gamma-aktív sugárzás pedig energiaáramlás.

Bár valójában minden sugárzás, beleértve a gamma tartományba eső sugárzást is, hasonló a részecskeáramhoz. Ennél a sugárzásnál a fluxus részecskék fotonok vagy kvarkok.

A kvantumfizika törvényei szerint minél rövidebb a hullámhossz, annál nagyobb a sugárzási kvantum energiája.

Mivel a gamma-sugarak hullámhossza nagyon rövid, vitatható, hogy a gamma-sugárzás energiája rendkívül magas.

A gamma-sugárzás megjelenése

A gamma tartományban a sugárzás forrásai különböző folyamatok. Vannak az univerzumban olyan tárgyak, amelyekben reakciók lépnek fel. E reakciók eredménye a kozmikus gammasugárzás.

A gamma-sugárzás fő forrásai Ezek kvazárok és pulzárok. Masszív energia- és gamma-sugárzással járó magreakciók a csillag szupernóvává alakulása során is előfordulnak.

Gamma elektromágneses sugárzás az atomi elektronhéj tartományának különböző átmenetei során, valamint egyes elemek atommagjainak bomlása során lép fel. A gamma-sugarak forrásai között meg lehet nevezni egy bizonyos erős mágneses térrel rendelkező környezetet is, ahol ennek a környezetnek az ellenállása gátolja az elemi részecskéket.

A gamma-sugárzás veszélyei

Tulajdonságaiból adódóan a gamma spektrumú sugárzás nagyon nagy áthatoló képességgel rendelkezik. A megállításához legalább öt centiméter vastag ólomfalra van szüksége.

Az élőlény bőre és egyéb védőmechanizmusai nem akadályozzák a gammasugárzást. Közvetlenül behatol a sejtekbe, pusztító hatással van minden szerkezetre. Az anyag besugárzott molekulái és atomjai maguk is sugárzás forrásává válnak, és más részecskék ionizációját váltják ki.

Ennek a folyamatnak az eredményeként egyes anyagok másokká alakulnak át. Ezekből új, eltérő genommal rendelkező sejteket állítanak elő. A régi struktúrák maradványai, amelyek az új sejtek felépítése során feleslegesek, méreganyagokká válnak a szervezet számára.

A sugárzás legnagyobb veszélye a sugárdózist kapott élő szervezetekre az, hogy nem képesek érzékelni ennek a halálos hullámnak az űrben való jelenlétét. És azt is, hogy az élő sejteknek nincs specifikus védelme a gamma-ionizáló sugárzás által hordozott pusztító energiával szemben. Ez a fajta sugárzás a legnagyobb hatással a DNS-molekulákat hordozó csírasejtek állapotára.

A test különböző sejtjei eltérően viselkednek a gamma-sugárzásban, és különböző fokú ellenállást mutatnak az ilyen típusú energia hatásaival szemben. A gammasugárzás másik tulajdonsága azonban a kumulatív képessége.

Egyetlen kis dózisú besugárzás nem okoz helyrehozhatatlan romboló hatást egy élő sejten. Ezért használták a sugárzást a tudományban, az orvostudományban, az iparban és az emberi tevékenység más területein.

A gamma-sugarak alkalmazásai

A tudósok érdeklődő elméje még a halálos sugarak alkalmazási területeit is megtalálta. Jelenleg a gamma-sugárzást különféle iparágakban használják a tudomány javára, és sikeresen alkalmazzák különféle orvosi eszközökben is.

Az atomok és molekulák szerkezetének megváltoztatásának képessége jótékony hatásúnak bizonyult a szervezetet sejtszinten tönkretevő súlyos betegségek kezelésében.

Az onkológiai daganatok kezelésében a gamma-sugárzás nélkülözhetetlen, mivel elpusztíthatja a kóros sejteket, megállíthatja gyors osztódásukat. Néha lehetetlen megállítani a rákos sejtek abnormális növekedését, ekkor a gamma-sugárzás jön segítségül, ahol a sejtek teljesen elpusztulnak.

A gamma-ionizáló sugárzást a kórokozó mikroflóra és a különféle potenciálisan veszélyes szennyeződések elpusztítására használják. Az orvosi műszereket és eszközöket radioaktív sugarakkal sterilizálják. Ezt a fajta sugárzást bizonyos termékek fertőtlenítésére is használják.

A gamma sugarakat különféle fémből készült termékek megvilágítására használják az űrben és más iparágakban a rejtett hibák észlelése érdekében. Azokon a termelési területeken, ahol a termékek minőségének rendkívüli ellenőrzése szükséges, az ilyen típusú tesztelés egyszerűen pótolhatatlan.

Gamma-sugarak segítségével a tudósok megmérik a fúrás mélységét, és adatokat szereznek a különféle kőzetek előfordulásának lehetőségéről. A kiválasztásnál a gamma sugarak is használhatók. Bizonyos kiválasztott növényeket szigorúan adagolt áramlással sugároznak be, hogy a genomjukban a kívánt mutációkat elérjék. Ily módon a nemesítők új növényfajtákat szereznek be a szükséges tulajdonságokkal.

A gamma-fluxus segítségével meghatározzák az űrhajók és a mesterséges műholdak sebességét. Nyalábokat küldve a világűrbe a tudósok meghatározhatják a távolságot és szimulálhatják az űrhajó útját.

A védekezés módszerei

A Föld természetes védekező mechanizmussal rendelkezik a kozmikus sugárzás ellen: az ózonréteg és a felső légkör.

Azok a sugarak, amelyek hatalmas sebességgel behatolnak a föld védett terébe, nem okoznak nagy kárt az élőlényekben. A legnagyobb veszélyt a források és a földi körülmények között kapott gammasugárzás jelentik.

A sugárszennyezés legjelentősebb veszélyforrását továbbra is azok a vállalkozások jelentik, ahol az irányított nukleáris reakciók emberi irányítás mellett zajlanak. Ezek olyan atomerőművek, ahol energiát állítanak elő a lakosság és az ipar fénnyel és hővel való ellátására.

A legkomolyabb intézkedéseket hoznak e létesítmények dolgozóinak ellátására. A világ különböző részein bekövetkezett tragédiák a nukleáris reakció feletti emberi kontroll elvesztése miatt megtanították az embereket, hogy vigyázzanak a láthatatlan ellenséggel.

Erőművi dolgozók védelme

Az atomerőművekben és a gamma-sugárzást alkalmazó iparágakban a sugárveszélyes forrással való érintkezés ideje szigorúan korlátozott.

Minden alkalmazottnak, akinek üzleti tevékenysége van, kapcsolatba kell lépnie gamma-sugárzás forrásával, vagy annak közelében kell lennie, speciális védőruházatot kell viselnie, és több lépcsőben meg kell tisztítani, mielőtt visszatérne a „tiszta” területre.

A gamma-sugárzás elleni hatékony védelem érdekében nagy szilárdságú anyagokat használnak. Ide tartozik az ólom, a nagy szilárdságú beton, az ólomüveg és bizonyos típusú acélok. Ezeket az anyagokat erőművek védőáramköreinek építésénél használják.

Az ezekből az anyagokból készült elemeket sugárzásgátló ruhák készítésére használják az erőművi alkalmazottak számára, akik hozzáférnek a sugárforrásokhoz.

Az úgynevezett „forró” zónában az ólom nem bírja a terhelést, mivel az olvadáspontja nem elég magas. Azokon a területeken, ahol termonukleáris reakciók zajlanak, amelyek magas hőmérsékletet bocsátanak ki, drága ritkaföldfémeket, például volfrámot és tantálot használnak.

Minden gamma-sugárzással foglalkozó személy rendelkezik egyedi mérőműszerekkel.

A sugárzásra való természetes érzékenység hiánya miatt egy személy doziméterrel meghatározhatja, hogy egy adott időszak alatt mekkora sugárdózist kapott.

Az óránként 18-20 mikroröntgént meg nem haladó dózis normálisnak tekinthető. Semmi különösebb szörnyűség nem fog történni, ha legfeljebb 100 mikroroentgén dózisnak van kitéve. Ha egy személy ilyen adagot kap, a hatások két hét múlva jelentkezhetnek.

Ha 600 röntgensugárt kap, az esetek 95%-ában két héten belül meghal. A 700 röntgensugár az esetek 100%-ában halálos.

Minden típusú sugárzás közül a gamma-sugárzás jelenti a legnagyobb veszélyt az emberre. Sajnos a sugármérgezés lehetősége mindenki számára fennáll. Még ha távol is tartózkodik az atommaghasadás útján energiát előállító ipari üzemektől, sugárzásnak lehet kitéve.

A történelem ismer példákat ilyen tragédiákra.

A kurzusmunka magyarázó megjegyzése 36 lapos terjedelemben készült. Tartalmazza a gamma-függvény értékeinek táblázatát a változók bizonyos értékeire és a gamma-függvény értékeinek kiszámítására és a grafikon ábrázolására szolgáló programok szövegeire, valamint 2 ábrát.

A munka megírásához 7 forrást használtam fel.

Bevezetés

Létezik a függvényeknek egy speciális osztálya, amely megfelelő vagy nem megfelelő integrál formájában is ábrázolható, ami nemcsak a formális változótól, hanem a paramétertől is függ.

Az ilyen függvényeket paraméterfüggő integráloknak nevezzük. Ide tartoznak az Euler-féle gamma- és béta-függvények.

A béta függvények az első típusú Euler integrállal reprezentálhatók:

A gamma-függvényt a második típusú Euler-integrál képviseli:

A gamma-függvény az egyik legegyszerűbb és legjelentősebb speciális függvény, amelynek tulajdonságainak ismerete sok más speciális függvény, például hengeres, hipergeometrikus és mások tanulmányozásához szükséges.

Bevezetésének köszönhetően jelentősen bővülnek az integrálszámítási képességeink. Még azokban az esetekben is, amikor a végső képlet az elemi függvényeken kívül nem tartalmaz függvényeket, ennek megszerzése gyakran megkönnyíti a Г függvény használatát, legalábbis a közbenső számításoknál.

Az Euler-integrálok jól tanulmányozott nem elemi függvények. A feladat akkor tekinthető megoldottnak, ha az Euler-integrálok kiszámításához vezet.

1. Béta funkciók Euler vagyok

A béta függvényeket az első típusú Euler-integrál határozza meg:

=(1.1)

Két változó paraméter függvényét reprezentálja

és: funkció B. Ha ezek a paraméterek teljesítik az és feltételeket, akkor az (1.1) integrál a és paraméterek függvényében nem megfelelő integrál lesz, és ennek az integrálnak a szinguláris pontjai a pontok ill.

Integrál (1.1) konvergál a

.Feltételezve, hogy megkapjuk: = - =

azaz érv

és szimmetrikusan lépjen be. Az identitás figyelembevételével

a kitüntetéses integrációs képlet alapján

Honnan szerezzük be?

=

Ha b = n egész szám, egymás után alkalmazva (1.2)

egész számokhoz

= m,= n, van

de B(1,1) = 1, ezért:

Tegyük be (1.1)

.Mivel a függvény grafikonja szimmetrikus az egyeneshez képest, akkor

és a helyettesítés következtében

, kapunk

behelyezés (1.1)

, ahonnan kapjuk

az integrált osztva kettővel a 0-tól 1-ig és 1-ig terjedő tartományban

és a helyettesítést a második integrálra alkalmazva azt kapjuk

2. Gamma függvény

2.1 Meghatározás

A felkiáltójel a matematikai munkákban általában azt jelenti, hogy valamilyen nem negatív egész szám faktoriálisát veszik:

n! = 1·2·3·...·n.

A faktoriális függvény rekurziós relációként is felírható:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Ez a kapcsolat nem csak az n egész értékei esetében jöhet szóba.

Tekintsük a különbségi egyenletet

Az egyszerű jelölési forma ellenére ez az egyenlet elemi függvényekben nem oldható meg. Megoldását gamma-függvénynek nevezzük. A gammafüggvény felírható sorozatként vagy integrálként. A gamma-függvény globális tulajdonságainak tanulmányozásához általában az integrálábrázolást használják.

2.2 Integrált ábrázolás

Térjünk tovább ennek az egyenletnek a megoldására. Megoldást keresünk a Laplace-integrál formájában:

Ebben az esetben a (2.1) egyenlet jobb oldala így írható fel:

Ez a képlet akkor érvényes, ha a nem integrál tagnak vannak korlátai. Nem ismerjük előre a [(G)\tilde](p) kép viselkedését p®±¥ esetén. Tegyük fel, hogy a gammafüggvény képe olyan, hogy a nem integrál tag nullával egyenlő. A megoldás megtalálása után ellenőrizni kell, hogy a nem integrál tagra vonatkozó feltételezés helyes-e, ellenkező esetben más módon kell keresnünk a G(z)-t.

A Г(х) gammafüggvény definíciós tartománya Az (1) integrálban kétféle szingularitás van: 1) félegyenes mentén történő integráció 2) egy pontban az integrandus a végtelenbe megy. A Γ(х) függvényt a gamma-függvény tartományának nevezzük A béta függvény tartománya Az Euler-integrálok alkalmazása a határozott integrálok számításánál és Nézzük mindegyiket külön. Azóta az integrál (összehasonlításképpen) értékhez konvergál. Az integrál bármely x-re konvergál. Valójában, ha egy tetszőlegeset veszünk, azt találjuk, hogy bármely x esetén Az integrál konvergál, ezért az integrál bármely x esetén konvergál. Így konvergál, és bebizonyítottuk, hogy a Г(х) gammafüggvény definíciós tartománya egy félegyenes. Mutassuk meg, hogy az (1) integrál egyenletesen konvergál x-ben bármely Let intervallumon. Ekkor, ha megvan, a (2) és (3) képlet jobb oldalán lévő integrálok konvergálnak, és a Weierstrass-kritérium szerint a (2) és (3) egyenlőtlenségek bal oldalán lévő integrálok egyenletesen konvergálnak. Következésképpen az egyenlőség alapján Γ(x) egyenletes konvergenciáját kapjuk bármely [c, d] intervallumon, ahol. Г(х) egyenletes konvergenciája magában foglalja ennek a függvénynek a folytonosságát az 1. gammafüggvény néhány tulajdonsága esetén (az x > 0 gammafüggvényben nincsenek nullák). 2. Bármely x > 0 esetén a gammafüggvény redukciós képlete teljesül 3. x = n esetén a képlet teljesül x = 1-re van. A (4) képlet segítségével azt kapjuk, hogy n-szer alkalmazzuk a képletet, mert 4-et kapunk. y görbe = Г( x) lefelé konvex. Valójában ebből az következik, hogy a félegyenes deriváltjának csak egy nullája lehet. És mivel Rolle tétele szerint a Γ"(x) deriváltnak ez az x0 nullája létezik és az (1.2) intervallumban van. Mivel akkor az x0 pontban a Γ(x) függvénynek minimuma van. Megmutatható hogy a (0, +oo) ponton a Г(х) függvény tetszőlegesen differenciálható. A képletből 6-ra folytonos. A komplement képlet a 4. ábrán látható alakkal rendelkezik. § 4. A béta függvény ill. tulajdonságait béta függvénynek nevezzük a paraméterek függvényében. 4.1 A béta függvény definíciós tartománya két integrál, amelyek közül az elsőnek (at) van szinguláris pontja, a másodiknak (at - szinguláris pont t = 1. Az integrál egy 2. típusú nem megfelelő integrál. Konvergál, feltéve, hogy for, és az integrált az integrál A gamma-függvény néhány tulajdonsága A béta-függvény definíciói Az Euler-integrálok használata a béta-függvény B(x)-nél. y) a hnu összes pozitív értékére van definiálva. Bizonyítható, hogy a (7) integrál egyenletesen konvergál minden x^a>0, Y>b>Oy tartományban úgy, hogy a béta-függvény folytonos helyen A béta-függvény néhány tulajdonsága 1. A képletnél A béta-függvény szimmetrikus xn tekintetében Ez a (9) képletből következik. §5. Euler-integrálok alkalmazása határozott integrálok számításánál Nézzünk néhány példát. Példa 1. Számítsa ki az integrált 4 Vezessük be a helyettesítést és kapjuk ezért 2. Példa: Az integrál kiszámítása Tegyük fel, hogy akkor az integráció határai változatlanok maradnak, így az adott integrált a béta függvényre redukáljuk: 3. példa. az egyenlőségen számítsa ki az integrált Itt a béta függvény definícióját és képleteket használtuk Feladatok Számítsa ki a határértékeket: Keresse meg az F "(y) deriváltokat a következő függvényekre: o. Az egyenlőség alapján számítsa ki a 7. integrált. egyenlőség, a paraméterre vonatkozó differenciálással kapjuk a következő képletet: 8. Bizonyítsuk be, hogy az integrál egyenletesen konvergál y-ban a teljes valós tengelyen 7 dx 9. Bizonyítsuk be, hogy az integrál egyenletesen konvergál az s paraméterhez képest bármely szakaszon. 10. Az egyenlőség segítségével számítsa ki az integrált differenciálással a paraméterhez képest Euler-integrálok segítségével számítsa ki a következő integrálokat: Fejezd ki Euler-integrálokkal: A Gamma-függvény a gamma-függvények tartománya A gamma-függvény egyes tulajdonságai Béta. függvény és tulajdonságai A béta függvény definíciós tartománya Az Euler-integrálok alkalmazása a határozott integrálok számításánál pozitív egész szám ) teljesül ), az y paraméterhez képest egyenletesen konvergáló nem megfelelő integrál definíciójában említett, B > A esetén felvehetjük Bebizonyítjuk, hogy az f(α) = / integrál egyenletesen konvergál a-ra Mivel az integrál konvergál. 0 1 esetén, akkor Weierstrass elégséges kritériuma alapján arra a következtetésre jutunk, hogy ez az integrál egyenletesen konvergál. 10. N-szer differenciálunk

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete