Érdekes mondások az életről. Összetett állítások és logikai kifejezések

Matematikai logika (1. RÉSZ)

Mi a logikai következtetés?

Legyen két állítás:

1. Gyümölcsök nőhetnek a fákon.

2. Az alma gyümölcs.

Mivel mindkét állítás igaz, kijelenthetjük, hogy az „Alma nőhet a fákon” állítás is igaz. Ez a harmadik állítás semmiképpen nem szerepel az első kettőben, ez következik belőlük. Más szóval, a harmadik állítás logikus következtetés az első kettőből.

Ez egy egyszerű példa volt. Most nézzünk egy bonyolultabb példát. Próbáljuk meg megoldani a problémát R.M. professzor könyvéből. Smullyana, A hercegnő vagy a tigris.

Feltétel. Ebben a feladatban ki kell deríteni: a két szoba közül melyikben van a hercegnő és melyikben a tigris. Az egyes szobák ajtaján táblák találhatók néhány kijelentéssel, ezen kívül az is ismert, hogy az egyik tábla igazat mond, a másik nem, de hogy melyik igaz és melyik hazugság, azt nem tudni. És azt is tudjuk, hogy minden szobában van valaki.

1. Ebben a szobában van egy hercegnő, egy másik szobában egy tigris.

2. Az egyik szobában van egy hercegnő; ráadásul az egyik ilyen szobában van egy tigris.

Megoldás. A táblákon szereplő állítások nem lehetnek egyszerre igazak és hamisak. Ezért csak két helyzet lehetséges. Először is: az első igaz, a második hamis, a második pedig: az első hamis, a második pedig igaz. Nézzük meg őket.

1. helyzet. Az első állítás igazságából az következik, hogy a hercegnő az első szobában, a tigris pedig a másodikban van. Ugyanakkor a második állítás hamisságából az következik, hogy nincs olyan helyiség, amelyben a hercegnő, és nincs olyan helyiség, ahol a tigris ülne. Ezért az első állítás igazsága és a második hamissága egyszerre lehetetlen.

2. helyzet. A második állítás igazságából csak az következik, hogy a tigris és a hercegnő is elérhető. Az első hamisságából az következik, hogy a hercegnő a második szobában, a tigris pedig az elsőben van. A második helyzetet elemezve nem kaptunk ellentmondást, ezért a 2. szituáció a megoldás a problémára.

A probléma megoldása a bonyolultabb érvelés példája. Az általános elvet azonban nem nehéz észrevenni. Ebben az okfejtésben és az első példában is vannak olyan elemi állítások, amelyek igazságából más állítások igazsága vagy hamissága következik. A logikai következtetés célja pedig éppen az, hogy megállapítsa a különféle állítások igazát vagy hamisságát.

A logikai következtetés azon a kézenfekvőnek tűnő állításon alapul, hogy az igaz kiinduló állítások és a helyes logikai következtetés mellett az ilyen következtetésből származó állítás is igaz.

Meg kell nézni, mi a helyes logikai következtetés. És ez már nagyon nehéz kérdés. A válaszhoz egy egész tudományra van szükségünk, amelyet matematikai logikának neveznek. Most néhány definícióra van szükségünk.

A megnyilatkozás fogalma

Az összes fent példaként használt állításnak egy közös tulajdonsága van. Jelentésüktől függetlenül lehetnek igazak vagy hamisak. Azokat az állításokat, amelyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal, propozícióknak nevezzük. Nem minden állítás lehet állítás. Például a következő állítás: "A malachit a legszebb kő az összes ismert drágakő közül" nem lehet kijelentés, hiszen ízlés dolga.

Vannak olyan igaz- vagy hamis állítások, amelyek elvileg ellenőrizhetők, de csak elvileg, a valóságban ez lehetetlen. Például lehetetlen ellenőrizni a következő állítás igazát: „Jelenleg egyetlen fa van a Földön, amelynek pontosan 10 000 levele van.” Elméletileg ez igazolható, de csak elméletileg, hiszen egy ilyen ellenőrzéshez túl sok ellenőrt kellene alkalmazni, lényegesen több, mint ahány ember él a bolygón.

Így a matematikai logika csak az állításokat vizsgálja, és csak azt, hogyan lehet meghatározni azok igazát vagy hamisságát. A matematikai logika nem vizsgálja az állítások jelentését, amiből az következik, hogy az állítás megfogalmazása nem játszik szerepet, és elég egy egyszerű jelölést bevezetni az állításhoz.

Pontosan ez történik. Az állításokat egyszerűen betűk jelölik: A, B, C stb. és csak annyit mondanak róluk, hogy igazak vagy hamisak.

Összetett kijelentések. Logikai műveletek

Korábban csak egyszerű állításokról beszéltünk, de az állítások is lehetnek összetettek, több egyszerűből állnak. Íme egy példa:

A paradicsom lehet piros, a paradicsom pedig lehet kerek.

Ez az állítás két egyszerű állításból áll: „A paradicsom lehet piros”, „A paradicsom lehet kerek”, amelyeket az „ÉS” logikai kötőelem köt össze. Két vagy több egyszerű állítás kombinálását az „ÉS” logikai összekötővel a konjunkció logikai műveletének nevezzük. Egy kötőszó eredménye egy összetett állítás, amelynek igazsága a benne foglalt egyszerű állítások igazságától függ, és a következő szabály határozza meg: Egy kötőszó akkor és csak akkor igaz, ha minden benne szereplő állítás igaz.

A matematikai logikában van egy általánosan elfogadott kötőszó – Ù. Ha egy kötőszó két egyszerű A és B állítást tartalmaz, akkor A Ù B-ként írjuk le.

Egy kötőszó igazságszabálya a következő táblázatban ábrázolható:

A	B	A és B

Az igazság ebben a táblázatban egyként van írva, a hamis pedig nulla. Ha A értéke 0 és B értéke 1, akkor a konjunkció a következő lesz: 0 és 1 = 0, azaz hamis.

Természetesen nem a konjunkció az egyetlen logikai művelet, amely lehetővé teszi, hogy egyszerű utasításokból összetett utasításokat hozzon létre. Definiáljunk még néhányat:

Diszjunkció. Egy összetett állítás, amely két egyszerű diszjunkciója, akkor igaz, ha a diszjunkcióban legalább egy egyszerű állítás igaz. A diszjunkciót a következőképpen jelöljük :

A Ú B. Igazságtáblázata:

Egyenértékűség. Az ekvivalencia művelettel megszerkesztett komplex állítás abban az esetben igaz, ha mindkét benne szereplő állítás egyszerre igaz vagy hamis. Az egyenértékűséget a következőképpen jelöljük: A~B. Az igazság táblázata alább látható.

Logikai műveletek segítségével tetszőleges bonyolultságú logikai kifejezéseket készíthet, amelyek igazsága igazságtáblázat segítségével is meghatározható. Vegyük példának a következő kifejezést: (A Ù B) ® (A Ú B), és készítsünk neki egy igazságtáblázatot:

Ennek a kifejezésnek az igazságtáblázatából világosan látszik, hogy az A és B egyszerű állítások bármely értékéhez igaz értéket vesz fel. Az ilyen kifejezéseket azonosan igaznak nevezzük. Azokat a kifejezéseket, amelyek mindig hamisra értékelnek, azonosan hamisnak nevezzük.

Az igazság ellenőrzése igazságtáblázatok segítségével nem mindig egyszerű. A logikai kifejezések sok műveletet tartalmazhatnak, a betűkkel jelölt elemi állítások száma is nagy lehet, és kellően sok elemi állítás esetén az igazságtábla olyan nagy lehet, hogy egyszerűen lehetetlen megszerkeszteni.

A fenti táblázatokból egyértelműen kiderül, hogy megalkotásukhoz az elemi állítások igazságának és hamisságának minden lehetséges kombinációját végig kell menni. Két állítás esetén négy kombináció lehetséges. Három esetén a kombinációk száma 8. N állítás esetén a kombinációk száma megegyezik a 2 N számmal. Vagyis például N=10 2 N = 2 10 = 1024 esetén. Ez már túl sok.

Ilyen helyzetekben már speciális technikákra van szükség egy kifejezés igazságának és hamisságának megállapításához. Ezek a technikák az eredeti kifejezés leegyszerűsítéséből, szabványos, egyszerűbb formába hozatalából állnak. Az egyszerűbb forma általában rövidebb kifejezést jelent, de előfordulhat, hogy nem lehet lerövidíteni egy logikai kifejezést. Azonban mindig csökkentheti a logikai műveletek számát, és mindig leegyszerűsítheti a logikai kifejezések formáját.

Két szabványos forma létezik, amelyekre bármely logikai kifejezés redukálható.

Diszjunktív normál forma. Ez egy logikai kifejezés, amely elemi kötőszók diszjunkcióját reprezentálja, amelyek elemi állításokat vagy tagadásaikat tartalmazzák.

Példa

(AÙBÙC)Ú(AÙùBÙùC)Ú(AÙBÙùC)

Konjunktív normál forma. Ez egy logikai kifejezés, amely elemi diszjunkciók konjunkciója, amelyek elemi állításokat vagy tagadásaikat tartalmazzák.

(AÚùBÚC) Ù(AÚùBÚC)Ù (AÚBÚùC)

A normál formában bemutatott kifejezés igazsága sokkal könnyebben ellenőrizhető. Egy diszjunktív normálalak akkor igaz, ha legalább egy elemi kötőszó igaz. Egy konjunktív normálalak hamis, ha legalább egy elemi diszjunkció hamis. Egy elemi diszjunkció akkor igaz, ha legalább egy benne szereplő elemi állítás igaz. Egy elemi kötőszó hamis, ha legalább egy benne szereplő elemi állítás hamis (Az állítás tagadása nem elemi).

Annak érdekében, hogy egy logikai kifejezést a fenti formák valamelyikére redukáljunk, helyettesítési szabályokat alkalmazunk, amelyek a logikai kifejezést egy ekvivalenssé alakítják át (azaz pontosan ugyanazzal az igazságtáblázattal). Az alábbiakban felsoroljuk az ilyen szabályokat.

©2015-2019 oldal
Minden jog a szerzőket illeti. Ez az oldal nem igényel szerzői jogot, de ingyenesen használható.
Az oldal létrehozásának dátuma: 2016-04-11

Kedves barátaim, örülünk, hogy ezen az oldalon látunk! Kedves látogató! Lehetséges, hogy ebben a témában keres Egyszerű idézeteket képekkel. Menő! Megtalálta, amit keresett. Lenyűgöző olvasást és önfejlesztést kívánunk!

Aki kitartóan a végletekig próbára teszi az életét, előbb-utóbb eléri célját és látványosan véget vet annak.

Rájöttem, hogy az élet értelmének megértéséhez először is az kell, hogy az élet ne legyen értelmetlen és gonosz, majd az értelem, hogy megértsük. Tolsztoj L.N.

Minél erősebb a szerelem, annál védtelenebb. Diana hercegnő (Marie de Bossac)

Egyszer az életben minden ember ajtaján kopogtat a szerencse, de ilyenkor az ember gyakran ül a legközelebbi kocsmában, és nem hall kopogtatást. Mark Twain

Nem félek attól, aki 10 000 különböző ütést tanulmányoz. Félek attól, aki 10 000 ütést tanulmányoz.

Minden nap rólad álmodom, éjszaka rád gondolok!

Rabszolgának kell nevezni azt, aki a nap 2/3-át nem tudja kiszolgálni. Friedrich Nietzsche

Egyike voltam azoknak, akik beleegyeztek abba, hogy az élet értelméről beszéljenek, hogy készen álljanak az elrendezés szerkesztésére ebben a témában. Eco U.

Desinit in piscem mulier formosa superne - egy hal farkában gyönyörű nő.

Szokásaink rabjai vagyunk. Változtass a szokásaidon, megváltozik az életed. Robert Kiyosaki

Kinyújthatod a kezed, és megragadhatod a boldogságot. Nagyon közel van! De mindig visszanézel

Mindig meg tudod bocsátani magadnak a hibákat, ha csak van bátorságod beismerni azokat. Bruce Lee

A szerelem első lehelete a bölcsesség utolsó lehelete. Anthony Bret.

A barátság szárnyak nélküli szerelem. Byron

Ha valaki meg tudja mondani, mi a szerelem, akkor nem szeretett senkit.

Bármit is szeretsz, csókold meg.

Több ember miatt át tudom lépni a büszkeségemet és a félelmemet...

Szerelmünk első látásra kezdődött.

A féltékenység az árulás gyanújával való árulás. V. Krotov

Egyedülálló férfival – szeretném megismételni!

Egy romantikus hajlamú nő undorodik a szerelem nélküli szextől. Ezért rohan, hogy első látásra szerelmes legyen. Lydia Yasinskaya

A szeretet mindenkiben benne van, de csak azoknak érdemes megmutatni, akik nyitottak rád.

Az ember szeretetének titka abban a pillanatban kezdődik, amikor úgy nézünk rá, hogy nem akarjuk birtokolni, uralkodni felette, anélkül, hogy bármilyen módon kihasználnánk az adottságait vagy a személyiségét – csak nézünk és lenyűgöz a szépség, amely feltárult előttünk. Anthony, Sourozh metropolitája

Szeretnék egy primitív társadalomban élni. Nem kell a pénzre, a hadseregre, semmilyen címre vagy tudományos fokozatra gondolni. Csak a nőstények, a szarvasmarhák és a rabszolgák fontosak.

Amikor az embernek kényelmetlen az egyik oldalára feküdni, átfordul a másik felé, ha pedig kényelmetlen neki élni, akkor csak panaszkodik. Te pedig erőfeszítéseket teszel, és megfordulsz. Makszim Gorkij

Az idő lassú keze kisimítja a hegyeket. Voltaire

A nőknek teljes a szívük, még a fejük is. Jean Paul

Olyan édes volt a csókod, hogy egyszerűen megihletett a boldogság!

Az ember kinyúlik, mint egy hajtás, a Világítótest felé, és magasabb lesz. Lehetetlen álmokról álmodozik, égig érő magasságokat ér el.

Az igazi barátság jobb, mint a hamis szerelem!

Nem foszthatjuk meg tőlünk az önbecsülést, hacsak nem adjuk meg Gandhinak.

A szerelem együtt önzés.

A tudás jelentőségteljesebbé teszi az embert, a tettek pedig ragyogást adnak neki. De sokan hajlamosak nézni, de nem mérlegelni. T. Carlyle

Csak Oroszországban hívják szeretteit... Bánatom!

A viszonzatlan szerelem nem szerelem, hanem kínzás!

Az adekvátság két dolog képessége: időben csendben lenni és időben beszélni.

A boldogság a helyes ítélettel jön, a helyes ítélet a tapasztalattal, a tapasztalat pedig a rossz ítélettel.

Ne várja el, hogy a dolgok könnyebbé, egyszerűbbé, jobbá váljanak. Nem fog. Nehézségek mindig lesznek. Tanulj meg boldognak lenni most. Különben nem lesz időd.

Az élet, boldog vagy boldogtalan, sikeres vagy sikertelen, még mindig rendkívül érdekes. B. Shaw

Ne tartsd magad bölcsnek: különben lelked felemelkedik a büszkeségben, és ellenségeid kezébe kerülsz. Nagy Antal

A feleségének udvarlása ugyanolyan abszurdnak tűnt számára, mint a sültvadra vadászni. Krotky Emil

Fontosak a szeretetet kifejező levelek, ajándékok és fényes képek. De még fontosabb, hogy szemtől szembe hallgassuk meg egymást, ez nagyszerű és ritka művészet. T. Jansson.

Az élet olyan ördögien ügyesen van berendezve, hogy anélkül, hogy tudnánk, hogyan kell gyűlölni, lehetetlen őszintén szeretni. M. Gorkij

Jó, ha a kedvesed egy hatalmas csokrot ad neked, az jó, a fenébe is!

Félelem nélkül az emberek vakmerő bolonddá válnak, akik gyakran életüket vesztik. Isaac Asimov Fantasztikus utazás II

A barát egy lélek, aki két testben él. Arisztotelész

Az, hogy valaki csak magára gondol, nem azt jelenti, hogy azt csinál, amit akar. Ez azt jelenti, hogy azt akarod, hogy az egész világ úgy éljen, ahogyan te szeretnéd. – O. Wilde

Minden anyának szánjon néhány perc szabadidőt a mosogatásra.

Tagadás, konjunkció, diszjunkció.

Érvelésünk kijelentésekből áll. Például a „Néhány madár repül; Ez azt jelenti, hogy néhányan repülnek madarak” két különböző kijelentést tartalmaz.

Az állítás összetettebb formáció, mint egy név. Az állítások egyszerűbb részekre bontásakor mindig bizonyos neveket kapunk. Tegyük fel, hogy a „Nap egy csillag” kijelentés részeként a „Nap” és a „csillag” neveket tartalmazza.

Az állítás egy nyelvtanilag helyes mondat, az általa kifejezett jelentéssel (tartalommal) együtt, igaz vagy hamis.

Az állítás fogalma a logika egyik kezdeti, kulcsfogalma. Mint ilyen, nem enged meg olyan pontos meghatározást, amely a különböző szakaszaiban egyaránt alkalmazható. Nyilvánvaló, hogy minden állítás egy bizonyos helyzetet ír le, valamit megerősít vagy tagad, és igaz vagy hamis.

Egy állítás igaznak tekinthető, ha az általa adott leírás megfelel a valós helyzetnek, és hamisnak, ha nem felel meg annak. Az „igaz” és a „hamis” egy állítás igazságértékének nevezzük.

Az egyes állításokból új állítások konstruálhatók különböző módon. Tehát a „Fúj a szél” és az „Esik” állításokból összetettebb állítások alkothatók: „Fúj a szél és esik”, „Vagy fúj a szél, vagy esik”, „Ha esik, fúj a szél” stb. Az „és”, „vagy, vagy”, „ha, akkor” stb. kifejezéseket, amelyek összetett állítások kialakítására szolgálnak, logikai konnektívumoknak nevezzük.

Egy állítást egyszerűnek nevezünk, ha részeként nem tartalmaz más állításokat.

Egy utasítás akkor összetett, ha más, egyszerűbb utasításokból származó logikai konnektívumokkal nyerjük.

A logikának azt a részét, amely leírja azon állítások logikai összefüggéseit, amelyek nem függnek az egyszerű állítások szerkezetétől, általános dedukcióelméletnek nevezzük.

A tagadás egy logikai konnektívum, amelynek segítségével egy adott állításból új állítást kapunk úgy, hogy ha az eredeti állítás igaz, akkor a tagadása hamis, és fordítva. A negatív állítás egy kezdő állításból és egy tagadásból áll, amelyeket általában a „nem”, „nem igaz, hogy ez” szavakkal fejeznek ki. A tagadó állítás tehát összetett állítás: részeként tartalmaz egy ettől eltérő állítást. Például a „10 páros szám” állítás tagadása a „10 nem páros szám” állítás (vagy: „Nem igaz, hogy a 10 páros szám”).

Ha két állítást az „és” szó használatával kapcsolunk össze, egy összetett állítást kapunk, amelyet kötőszónak nevezünk. Az így összekötött állításokat kötőtagoknak nevezzük. Például, ha a „Ma meleg van” és a „Tegnap hideg volt” állításokat ilyen módon kombináljuk, akkor a „Ma meleg van, tegnap pedig hideg volt” kötőszót kapja.

Egy kötőszó csak akkor igaz, ha mindkét benne szereplő állítás igaz; ha legalább egy tagja hamis, akkor az egész kötőszó hamis.

A kötőszó definíciója, valamint az összetett állítások alkotásához használt egyéb logikai összefüggések meghatározása a következő két feltevésen alapul:

Minden állításnak (egyszerűnek és összetettnek egyaránt) van egy, és csak az egyike a két igazságérték közül: igaz vagy hamis;

egy összetett állítás igazságértéke csak a benne foglalt állítások igazságértékeitől és azok egymással való logikai kapcsolatának módjától függ.

Ezek a feltételezések egyszerűnek tűnnek. Ezeket elfogadva azonban el kell vetnünk azt a gondolatot, hogy az igaz és hamis állítások mellett lehetnek olyan állítások is, amelyek igazságértéküket tekintve határozatlanok (mint például: „Öt év múlva ez eső mennydörgéssel.” és így tovább.). El kell utasítani azt a tényt is, hogy egy összetett állítás igazságértéke az összefüggő állítások „jelentésbeli kapcsolatától” is függ.

Azáltal, hogy leegyszerűsíti a kötőszó és más logikai konnektívumok jelentését, és ebből a célból elhagyja az „állítások jelentés szerinti összekapcsolása” fogalmát, a logika tágabbá és világosabbá teszi ezeknek a konnektívumoknak a jelentését.

Ha két állítást a „vagy” szó használatával összekapcsolunk, akkor ezeknek az állításoknak a diszjunkcióját kapjuk. A diszjunkciót alkotó állításokat a diszjunkció tagjainak nevezzük.

A "vagy" szónak két különböző jelentése van a hétköznapi nyelvben. Néha azt jelenti, hogy „az egyik vagy a másik vagy mindkettő”, néha pedig „az egyik vagy a másik, de nem mindkettő”. Az „Ebben az évadban szeretném megnézni A Pák királynőjét vagy Aidát” kijelentés lehetővé teszi, hogy kétszer is elmenjek az operába. A „Moszkvai vagy Leningrádi Egyetemen tanul” kijelentés arra utal, hogy az említett személy csak az egyik egyetemen tanul.

A „vagy” első értelmét nem kizárólagosnak nevezzük. Ebben az értelemben két állítás diszjunkciója csak azt jelenti, hogy ezen állítások közül legalább az egyik igaz, függetlenül attól, hogy mindkettő igaz-e vagy sem. A második, kizárólagos értelemben vett két állítás diszjunkciója azt állítja, hogy az egyik igaz, a másik pedig hamis.

A V szimbólum a nem kizárólagos értelemben vett diszjunkciót jelenti, a V szimbólumot használjuk. A két típusú diszjunkció táblázatai azt mutatják, hogy a nem kizáró diszjunkció akkor igaz, ha a benne szereplő állítások legalább egyike igaz, és hamis csak akkor, ha mindkét tagja hamis; a kizárólagos diszjunkció akkor igaz, ha csak az egyik tagja igaz, és hamis, ha mindkét feltétele igaz, vagy mindkettő hamis.

A logikában és a matematikában a „vagy” szót mindig nem kizárólagos jelentésben használják.

Egy bizonyos állítás egyszerű, tovább nem bontható részekre bontása kétféle kifejezést ad, ezeket megfelelő és nem megfelelő szimbólumoknak nevezzük. A megfelelő szimbólumok sajátossága, hogy van valamilyen tartalmuk, akár önmagukban is. Ide tartoznak a nevek (bizonyos köteteket jelölnek), a feloldatlanok (az objektumok bizonyos területére utalva), az állítások (egyes helyzeteket leírnak, és igazak vagy hamisak). A nem megfelelő szimbólumok nem rendelkeznek önálló tartalommal, de egy vagy több megfelelő szimbólummal kombinálva összetett kifejezéseket alkotnak, amelyek már önálló tartalommal rendelkeznek. A helytelen szimbólumok közé tartoznak különösen az egyszerű állításokból összetett állítások létrehozására használt logikai konnektívumok: „... és...”, „... vagy...”, „vagy... vagy...” , „ ha..., akkor...”, „... akkor és csak akkor, ha...”, „se..., se...”, „nem..., hanem... „,” „ ..., de nem...”, „nem igaz, hogy...” stb. Maga a szó, mondjuk „vagy”, nem jelöl semmilyen tárgyat. De két saját jelölő szimbólummal kombinálva ez a szó egy új jelölő szimbólumot ad: a két „levél érkezett” és „távirat elküldve” kijelentésből egy új „levél érkezett vagy távirat elküldve” kijelentés.

A logika központi feladata a helyes érvelési minták elkülönítése a helytelenektől, és az előbbiek rendszerezése. A logikai helyességet a logikai forma határozza meg. Ennek azonosításához elvonatkoztatni kell az érvelés értelmes részeitől (a megfelelő szimbólumoktól), és azokra a helytelen szimbólumokra kell összpontosítania, amelyek ezt a formát a tiszta formájában reprezentálják. Innen származik a formális logika érdeklődése az olyan szavak iránt, amelyek általában nem vonják magukra a figyelmet, mint az „és”, „vagy”, „ha, akkor” stb.

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Oktatási: bővítse a tanulók propozíciós algebrával kapcsolatos ismereteit, mutasson be logikai műveleteket és igazságtáblázatokat.

Fejlődési:

Nevelési:

ÓRA TÍPUSA: összevont óra - új tananyag ismertetése, majd a megszerzett ismeretek megszilárdítása.

ÓRA IDŐTARTAMA: 40 perc.

ANYAG ÉS MŰSZAKI ALAP:

interaktív tábla Okos tábla.
MS Windows alkalmazás - PowerPoint 2007.
Az elektronikus óra tanár által készített változata (prezentáció PowerPoint 2007-ben).
A tanár által készített feladatkártyák.

TANTERV:

I. Szervezési pillanat - 1 perc.

II. Óracélok kitűzése - 2 perc.

III. Tudásfrissítés - 9 perc.

IV. Új anyag bemutatása - 15 perc.

V. A vizsgált anyag összevonása - 8 perc.

VI. Reflexió "Befejezetlen mondatok" - 3 perc.

VII. Következtetés. Házi feladat – 2 perc.

AZ ÓRÁK ALATT

I. Szervezési mozzanat.

Üdvözlet, az óráról hiányzók megjelölése.

1. dia

Folytatjuk a szakasz tanulmányozását "Logikai nyelv". Ma leckénket a „Logikai kijelentések” témának szenteljük. A munkát a házi feladat ellenőrzésével kezdjük (olvassák fel a tanulók verseit, amelyek sok logikai összefüggést (műveletet) tartalmaznak, és arra a következtetésre jutunk, hogy a logikai algebra alapján tetszőleges információ egyértelműen értelmezhető).

Leckénk célja tehát a logikai műveletek tanulmányozása és annak megállapítása, hogy a logikai algebra alapján tetszőleges információ egyértelműen értelmezhető. De először át kell tekintenie az utolsó leckében tanult anyagot.

III. Ismeretek felfrissítése (frontális felmérés).

1. Feladat. Munka kártyákkal (adjon rövid válaszokat a feltett kérdésekre A gondolkodás törvényszerűségeit és formáit vizsgáló tudomány). (Logika)

Egy állandó, amelyet "1" jelöl. (Igaz)

Egy konstans, amelyet "0" jelöl. (Fekszik)

Kijelentő mondat, amelyről elmondható, hogy igaz vagy hamis. (Mondás)

Az állítások típusai (egyszerű és összetett)

Az alábbi mondatok közül melyek állítások?

Helló!
Az axióma nem igényel bizonyítást.
Esik az eső.
Milyen a hőmérséklet kint?
A rubel Oroszország monetáris egysége.
Még egy halat sem lehet nehézség nélkül kihúzni a tóból.
A 2-es szám nem osztója a 9-nek.
Az x szám nem több 2-nél.

7. Határozza meg az állítás igazát vagy hamisságát:

A számítástechnikát középiskolai tanfolyamon tanulják.
Az "E" az ábécé hatodik betűje.
A négyzet rombusz.
A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.
Egy háromszög szögeinek összege 1900.
12+14 > 30.
A pingvinek a Föld északi sarkán élnek.
23+12=5*7.

Tehát mi az a kijelentés? (Egy kijelentő mondat, amely igaznak vagy hamisnak mondható.)

Mi az egyszerű kijelentés? (Egy állítást akkor nevezünk egyszerűnek (eleminek), ha egyetlen része sem állítás.)

Mi az összetett állítás? (Egy összetett utasítás egyszerű állításokból áll, amelyeket logikai konnektívumok (műveletek) kapcsolnak össze.)

2. feladat. Egyszerű állításokból alkoss összetett állításokat: „A = Petya könyvet olvas”, „B = Petya teát iszik”. (a képernyőn – 2. dia)

Folytassuk a munkát.

3. feladat. A következő állításokban emelje ki az egyszerű állításokat, mindegyiket betűvel jelölve:

Télen a gyerekek korcsolyázni vagy síelni mennek. (3. dia)
Nem igaz, hogy a Nap körbejárja a Földet. (4. dia)
A 15 akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha a 15 számjegyeinek összege osztható 3-mal. (5. dia)
Ha tegnap vasárnap volt, akkor Dima tegnap nem volt iskolában, és egész nap sétált. (6. dia)

IV. Bemutatásúj anyag.

A korábbi feladatokban különféle logikai összekötőket használtak: „és”, „vagy”, „nem”, „ha: akkor:”, „ha és csak ha:”. Az algebrai logikában a logikai konnektívumoknak és a hozzájuk tartozó logikai műveleteknek speciális neveik vannak. Nézzünk meg 3 alapvető logikai műveletet - inverziót, konjunkciót és diszjunkciót, amelyek segítségével összetett utasításokat kaphat. (7. dia)

Minden logikai műveletet egy igazságtáblázatnak nevezett tábla határoz meg. A logikai kifejezés igazságtáblázata egy olyan táblázat, ahol a forrásadatok értékeinek összes lehetséges kombinációja a bal oldalon, a jobb oldalon pedig az egyes kombinációk kifejezésének értéke van írva.

A negáció egy logikai művelet, amely minden egyszerű (elemi) állítást egy új kijelentéshez társít, amelynek jelentése ellentétes az eredetivel. ( csúszik 8)

Tekintsük az egyszerű állítás tagadásának megalkotásának szabályát.

Szabály: Amikor egy egyszerű állítás tagadását állítjuk össze, vagy a „nem igaz, hogy” kifejezést használjuk, vagy a tagadást állítmányra építjük, majd a „nem” részecske hozzáadódik az állítmányhoz, és a „minden” szót helyébe „néhány” és fordítva.

4. feladat. Szerkesszünk inverziót (negációt) egy egyszerű utasításra:

A = Van otthon számítógépem. ( csúszik 9)
A = Minden 11. osztályos fiú kiváló tanuló.
Tagadás lesz-e a kijelentés: „A 11. osztályos fiúk közül nem mindegyik kiváló tanuló?” ( csúszik 10)

A „Minden 11. osztályos fiú nem kiváló tanuló” állítás nem tagadja a „Minden 11. osztályos fiú kiváló tanuló” állítást. A „Minden 11. osztályos fiú kiváló tanuló” állítás hamis, a hamis állítás tagadása pedig igaz állítás kell, hogy legyen. Ám a „nem minden 11. osztályos fiú kitűnő tanuló” állítás nem igaz, hiszen a 11. osztályosok között vannak kitűnő tanulók és nem kitűnő tanulók is.

A negáció grafikusan halmazként ábrázolható. ( dia 11)

Tekintsük a következő logikai műveletet - konjunkció. Az olyan állítást, amely két állításból áll össze úgy, hogy összevonja őket egy „és”-vel, kötőszónak vagy logikai szorzásnak nevezzük (a mellett konnektívumokat is használunk - a, de, bár).

Konjunkció- egy logikai művelet, amely minden két elemi állítást egy új utasítással társít, amely akkor és csak akkor igaz, ha mindkét kezdeti állítás igaz. ( csúszik 12)

Grafikusan egy kötőszó halmazként ábrázolható. ( csúszik 13)

Tekintsük a következő logikai műveletet - diszjunkció. Azt az állítást, amely két állításból áll, amelyeket a konnektív „vagy” egyesít, diszjunkciónak vagy logikai összeadásnak nevezzük.

Diszjunkció- egy logikai művelet, amely minden két elemi állítást új utasítással társít, amely akkor és csak akkor hamis, ha mindkét kezdeti állítás hamis. ( csúszik 14)

Grafikusan egy diszjunkció halmazként ábrázolható. ( csúszik 15)

Tehát mi az a három alapvető művelet, amelyet megtanultunk? ( csúszik 16)

Próbáljuk meg új ismereteinket alkalmazni a teszt kitöltésekor.

V. A tanult anyag konszolidálása (testületi munka).

5. feladat Párosítsa a diagramot és annak jelölését.( csúszik 17)

6. feladat Két egyszerű állítás létezik: A = „A 10 páros szám”, B = „A farkas növényevő”. Alkoss belőlük minden lehetséges összetett állítást, és határozd meg az igazságukat.

Válasz: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.

8. feladat Két egyszerű állítást adunk: A = „A rubel Oroszország pénzneme”, B = „A hrivnya az Egyesült Államok pénzneme”. Mely állítások igazak?

4)A v B

Válaszok: 1) 0; 2) 1; harminc; 4) 1.

VI. Visszaverődés – Befejezetlen mondatok.
Érdekesnek találtam a leckét, mert:

Ami a legjobban tetszett az órán:

Ami új volt számomra:

VII. Következtetés. Házi feladat.

Az osztály egészének és az órán kimagasló tanulók munkáját értékelik.

Házi feladat:

1) Ismerje meg az alapvető definíciókat, ismerje a jelöléseket.

2) Találj ki egyszerű mondásokat. (Összesen két állításból 5 halmaznak kell lennie). Állítson össze belőlük mindenféle összetett állítást, és határozza meg azok igazságát.

Felhasznált anyagok listája:
Számítástechnika és IKT. 10-11 évfolyam. Profil szint. 1. rész: 10. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára / M.E. Fioshin, A.A. Ressin - M.: Túzok, 2008

A számítástechnika matematikai alapjai. Tankönyv /E.V. Andreeva, L.L. Bosova, I.N. Falina - M.: BINOM. Tudáslaboratórium, 2007

Anyagok N. P. Pospelova számítástechnika tanártól, 22. számú városi oktatási intézmény, Szocsi

K. Yu Polyakov számítástechnika tanár előadásának töredékei.

Az állítás összetettebb formáció, mint egy név. Amikor az állításokat egyszerűbb részekre bontjuk, mindig kapunk egy vagy másik nevet. Tegyük fel, hogy a „Nap egy csillag” kijelentés részeként a „Nap” és a „csillag” neveket tartalmazza.

Nyilatkozat - nyelvtanilag helyes mondat, az általa kifejezett jelentéssel (tartalommal) együtt, igaz vagy hamis.

Az állítás fogalma a modern logika egyik kezdeti, kulcsfogalma. Mint ilyen, nem tesz lehetővé egy olyan pontos meghatározást, amely a különböző szakaszaiban egyaránt alkalmazható.

Egy állítás igaznak tekinthető, ha az általa adott leírás megfelel a valós helyzetnek, és hamisnak, ha nem felel meg annak. Az „igaz” és a „hamis” „állítások igazságértékeinek” nevezik.

Az egyes állításokból új állítások konstruálhatók különböző módon. Például a „Fúj a szél” és az „Esik az eső” állításokból összetettebb állítások alkothatók: „Fúj a szél és esik az eső”, „Vagy fúj a szél, vagy esik”, „Ha esik az eső, akkor fúj a szél” stb.

Az állítás ún egyszerű, kivéve, ha részeként más kijelentéseket is tartalmaz.

Az állítás ún összetett, ha más egyszerűbb állításokból származó logikai konnektívumok segítségével kapjuk meg.

Tekintsük az összetett állítások létrehozásának legfontosabb módjait.

Negatív állítás kezdő állításból és tagadásból áll, általában a „nem”, „nem igaz, hogy ez” szavakkal fejezik ki. A tagadó állítás tehát összetett állítás: részeként tartalmaz egy ettől eltérő állítást. Például a „10 páros szám” állítás tagadása a „10 nem páros szám” állítás (vagy: „Nem igaz, hogy a 10 páros szám”).

Jelöljük az állításokat betűkkel! A, B, C,... Az állítás tagadása fogalmának teljes jelentését a feltétel adja: ha az állítás A igaz, tagadása hamis, és ha A hamis, tagadása igaz. Például, mivel az „1 pozitív egész szám” állítás igaz, az „1 nem pozitív egész szám” tagadása hamis, és mivel az „1 egy prímszám” hamis, az „1 nem prímszám” tagadása. " igaz.

Két utasítás összekapcsolása az „és” szó használatával egy összetett utasítást eredményez, az úgynevezett kötőszó. Az így összekapcsolt állításokat „egy kötőszó tagjainak” nevezzük.

Például, ha a „Ma meleg van” és a „Tegnap hideg volt” állításokat ilyen módon kombináljuk, akkor a „Ma meleg van, tegnap pedig hideg volt” kötőszót kapja.

Egy kötőszó csak akkor igaz, ha mindkét benne szereplő állítás igaz; ha legalább egy tagja hamis, akkor az egész kötőszó hamis.

A hétköznapi nyelvben két állítást az „és” kötőszó köt össze, ha tartalmilag vagy jelentésükben kapcsolódnak egymáshoz. Ennek a kapcsolatnak a természete nem teljesen világos, de az egyértelmű, hogy az „Ő kabátban járt, én meg az egyetemre” kötőszót nem tekintenénk olyan kifejezésnek, amelynek van jelentése, és lehet igaz vagy hamis. Bár a „2 prímszám” és „Moszkva egy nagyváros” állítások igazak, nem hajlunk arra, hogy a „2 prímszám és Moszkva nagyváros” kötőszót igaznak tartsuk, mivel ezek a kijelentések jelentésükben nem kapcsolódnak egymáshoz. Azáltal, hogy leegyszerűsíti a kötőszó és más logikai konnektívumok jelentését, és ebből a célból feladja a „kijelentések jelentés szerinti összekapcsolása” tisztázatlan fogalmát, a logika e konnektívumok jelentését tágabbá és konkrétabbá teszi.

Két állítás összekapcsolása a "vagy" szó használatával ad diszjunkció ezeket a kijelentéseket. Azokat az állításokat, amelyek diszjunkciót alkotnak, „a diszjunkció tagjainak” nevezik.

A "vagy" szónak két különböző jelentése van a hétköznapi nyelvben. Néha azt jelenti, hogy „az egyik vagy a másik vagy mindkettő”, néha pedig „az egyik vagy a másik, de nem mindkettő”. Például az „Ebben a szezonban a Pákdámanőhöz vagy Aidához szeretnék menni” kijelentés lehetővé teszi, hogy kétszer is meglátogassam az Onát. A „Moszkvai vagy Jaroszlavl Egyetemen tanul” kijelentés arra utal, hogy az említett személy csak az egyik egyetemen tanul.

A „vagy” első értelme az ún nem kizárólagos. Ebben az értelemben két állítás diszjunkciója azt jelenti, hogy ezen állítások közül legalább az egyik igaz, függetlenül attól, hogy mindkettő igaz-e vagy sem. A másodikban készült kizárólagos vagy szoros értelemben két állítás diszjunkciója azt mondja ki, hogy az egyik állítás igaz, a másik hamis.

Egy nem kizáró diszjunkció akkor igaz, ha legalább az egyik alkotó állítása igaz, és hamis csak akkor, ha mindkét tagja hamis.

Egy kizárólagos diszjunkció akkor igaz, ha csak az egyik feltétele igaz, és hamis, ha mindkét feltétele igaz, vagy mindkettő hamis.

A logikában és a matematikában a „vagy” szót szinte mindig nem kizárólagos jelentésben használják.

Feltételes nyilatkozat -összetett állítás, amelyet általában a „ha..., akkor...” kötőszó használatával fogalmaznak meg, és megállapítják azt az egy eseményt, állapotot stb. ilyen vagy olyan értelemben a másik alapja vagy feltétele.

Például: „Ha tűz van, akkor füst van”, „Ha egy szám osztható 9-cel, osztható 3-mal” stb.

Egy feltételes utasítás két egyszerűbb állításból áll. Azt, amelyik előtt a „ha” szó szerepel, azt hívják alapon, vagy előzmény(előző), az „az” szó után következő állítást hívják következmény, vagy következményes(későbbi).

A feltételes állítás megerősítésével mindenekelőtt azt értjük, hogy nem fordulhat elő, hogy az alapjában elmondottak megtörténnek, a következményben elmondottak pedig hiányoznak. Vagyis nem fordulhat elő, hogy az előzmény igaz, a következmény pedig hamis.

A feltételes állítás szempontjából általában az elégséges és a szükséges feltételek fogalmát definiálják: az előzmény (föld) elégséges feltétele a következménynek (következmény), a konzekvens pedig az előzmény szükséges feltétele. Például a „Ha a választás racionális, akkor a rendelkezésre álló alternatívák közül a legjobbat választják” feltételes állítás igazsága azt jelenti, hogy a racionalitás elegendő ok arra, hogy a rendelkezésre álló lehetőségek közül a legjobbat válasszuk, és hogy egy ilyen lehetőség választása racionalitásának szükséges feltétele.

A feltételes állítás tipikus funkciója, hogy egy állítást egy másik utasításra hivatkozva igazoljon. Például az a tény, hogy az ezüst elektromosan vezető, igazolható azzal a ténnyel, hogy fémről van szó: „Ha az ezüst fém, akkor elektromosan vezető.”

A megalapozott és a megalapozott (alap és következmény) feltételes kijelentéssel kifejezett kapcsolata nehezen jellemezhető általánosan, és csak néha viszonylag egyértelmű a természete. Ez az összefüggés lehet egyrészt logikai konzekvenciás kapcsolat, amely a premisszák és a helyes következtetés következtetése között jön létre ("Ha minden élő többsejtű lény halandó, és a medúza is ilyen, akkor halandó"); másodszor a természet törvénye szerint („Ha egy test súrlódásnak van kitéve, akkor felmelegszik”); harmadszor ok-okozati összefüggés („Ha a Hold újholdkor pályája csomópontján van, akkor napfogyatkozás következik be”); negyedszer a társadalmi szabályszerűség, szabály, hagyomány stb. („Ha a társadalom változik, az ember is változik”, „Ha a tanács ésszerű, meg kell valósítani”).

A feltételes kijelentéssel kifejezett összefüggéshez általában az a hiedelem társul, hogy a következmény bizonyos szükségszerűséggel „következik” az okból, és van valami általános törvényszerűség, amelyet megfogalmazva logikusan következtethetünk a következményre az okból. ok.

Például a „Ha a bizmut fém, az műanyag” feltételes kijelentés feltételezi a „Nem fém műanyag” általános törvényt, ami ennek az állításnak a következménye az előzményének logikus következménye.

A feltételes állítás mind a köznyelvben, mind a tudomány nyelvén az igazolás funkciója mellett számos egyéb feladatot is elláthat: olyan feltétel megfogalmazására, amely nem kapcsolódik semmilyen ráutalt általános törvényhez vagy szabályhoz („Ha Akarom, levágom a köpenyemet”); rögzítsen bármilyen sorozatot ("Ha a tavalyi nyár száraz volt, akkor az idén esős"); sajátos formában fejezze ki hitetlenségét ("Ha megoldod ezt a problémát, bebizonyítom Fermat utolsó tételét"); ellenzék („Ha bodza nő a kertben, akkor egy srác Kijevben lakik”) stb. Egy feltételes állítás funkcióinak sokfélesége és heterogenitása jelentősen megnehezíti elemzését.

A feltételes állítások használata bizonyos pszichológiai tényezőkkel jár. Így általában csak akkor fogalmazunk meg ilyen állítást, ha nem tudjuk biztosan, hogy az előzménye és a következménye igaz vagy hamis. Egyébként használata természetellenesnek tűnik („Ha a vatta fém, akkor elektromos vezető”).

A feltételes állítás igen széles körben alkalmazható az érvelés minden területén. A logikában általában a implicitív kijelentés, vagy következményei. A logika ugyanakkor tisztázza, rendszerezi és leegyszerűsíti a „ha..., akkor...” használatát, megszabadítva a pszichológiai tényezők hatása alól.

A logika különösen elvonatkoztatott attól, hogy a feltételes kijelentésre jellemző ok és következmény kapcsolata a kontextustól függően nemcsak a „ha..., akkor...” kifejezéssel fejezhető ki, hanem más módon is kifejezhető. nyelvi eszközökkel. Például: „Mivel a víz folyékony, minden irányba egyenletesen adja át a nyomást”, „Bár a gyurma nem fém, de műanyag”, „Ha a fa fém lenne, elektromosan vezető lenne” stb. Ezeket és a hasonló állításokat a logika nyelvén implicit módon ábrázolják, bár a „ha..., akkor...” használata bennük nem lenne teljesen természetes.

Egy implikáció állításával azt állítjuk, hogy nem fordulhat elő, hogy az alapja jelen van, a következménye pedig hiányzik. Más szóval, egy implikáció csak akkor hamis, ha az oka igaz, a következménye pedig hamis.

Ez a definíció a konnektívumok korábbi definícióihoz hasonlóan azt feltételezi, hogy minden állítás igaz vagy hamis, és hogy egy összetett állítás igazságértéke csak az alkotó állítások igazságértékeitől és az összekapcsolásuk módjától függ.

Egy implikáció akkor igaz, ha mind az oka, mind a következménye igaz vagy hamis; akkor igaz, ha az oka hamis és a következménye igaz. Csak a negyedik esetben, amikor az ok igaz, a következmény pedig hamis, az implikáció hamis.

Ez nem jelenti azt, hogy az állítások AÉs BAN BEN tartalmilag valamilyen módon kapcsolódnak egymáshoz. Ha igaz BAN BEN kijelentés: „ha A, Hogy BAN BEN" attól függetlenül igaz A igaz vagy hamis, és jelentésben összefügg azzal BAN BEN vagy nem.

Például a következő állításokat tekintik igaznak: „Ha van élet a Napon, akkor kettő és kettő egyenlő négy”, „Ha a Volga tó, akkor Tokió nagy falu” stb. A feltételes állítás akkor is igaz, amikor A hamis, és ismét közömbösen igaz BAN BEN vagy sem, és tartalmilag kapcsolódik-e ahhoz A vagy nem. Az igaz állítások közé tartozik: „Ha a Nap egy kocka, akkor a Föld háromszög”, „Ha kettő és kettő egyenlő öt, akkor Tokió egy kis város” stb.

A közönséges érvelésben ezek az állítások valószínűleg nem tekinthetők értelmesnek, és még kevésbé igaznak.

Bár az implikáció számos célra hasznos, nem teljesen összhangban van a feltételes kapcsolat szokásos értelmezésével. Az implikáció egy feltételes állítás logikai viselkedésének számos fontos jellemzőjét lefedi, ugyanakkor nem kellően adekvát leírása annak.

Az elmúlt fél évszázadban erőteljes kísérletek történtek az implikáció elméletének reformjára. Ugyanakkor nem az implikáció leírt fogalmának feladásáról volt szó, hanem egy másik fogalom bevezetéséről, amely nemcsak az állítások igazságértékeit veszi figyelembe, hanem tartalmi összefüggésüket is.

Szorosan kapcsolódik az implikációhoz egyenértékűség, néha "kettős implikációnak" nevezik.

Az ekvivalencia egy összetett állítás „A akkor és csak akkor, ha B”, amely Li B állításaiból áll, és két implikációra bomlik: „ha A, akkor B", és "ha B, akkor A". Például: "A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha egyenlő szögű." Az „ekvivalencia” kifejezés jelöli a „..., akkor és csak akkor, ha...” kötőszót is, amelynek segítségével két állításból egy adott összetett állítás alakul ki. A „ha és csak akkor” helyett használhatók erre a célra a „ha és csak akkor”, a „ha és csak ha” stb.

Ha a logikai konnektívumokat az igazság és a hamisság szempontjából határozzuk meg, akkor az ekvivalencia akkor és csak akkor igaz, ha mindkét alkotó állításnak azonos az igazságértéke, azaz. amikor mindkettő igaz vagy hamis. Ennek megfelelően egy ekvivalencia hamis, ha a benne szereplő állítások egyike igaz, a másik hamis.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete