Mekkora a derékszögű háromszög kerülete? A háromszög kerületének meghatározása többféleképpen

A kerület olyan mennyiség, amely egy lapos (kétdimenziós) geometriai alakzat minden oldalának hosszát jelenti. Különböző geometriai formák esetén különböző módon lehet megtalálni a kerületet.

Ebből a cikkből megtudhatja, hogyan találhatja meg az alak kerületét különböző módon, az ismert arcoktól függően.

Lehetséges módszerek:

egy egyenlő szárú vagy bármely más háromszög mindhárom oldala ismert;
hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög kerületét a két ismert lapja alapján;
két lap és a közöttük elhelyezkedő szög (koszinusz képlet) ismert középvonal és magasság nélkül.

Első módszer: az ábra minden oldala ismert

Hogyan találjuk meg a háromszög kerületét, ha mindhárom lapja ismert, a következő képletet kell használni: P = a + b + c, ahol a,b,c a háromszög összes oldalának ismert hossza, P az ábra kerülete.

Például az ábra három oldala ismert: a = 24 cm, b = 24 cm, c = 24 cm Ez egy szabályos egyenlőszárú ábra, a kerület kiszámításához a következő képletet használjuk: P = 24 + 24 + 24 = 72 cm.

Ez a képlet bármely háromszögre vonatkozik., csak tudnia kell minden oldalának hosszát. Ha ezek közül legalább az egyik ismeretlen, akkor más módszereket kell használnia, amelyeket az alábbiakban tárgyalunk.

Egy másik példa: a = 15 cm, b = 13 cm, c = 17 cm Számítsd ki a kerületet: P = 15 + 13 + 17 = 45 cm.

Nagyon fontos, hogy a kapott válaszban jelölje meg a mértékegységet. Példáinkban az oldalak hosszát centiméterben (cm) adjuk meg, azonban vannak különböző feladatok, amelyekben más mértékegységek is jelen vannak.

Második módszer: derékszögű háromszög és két ismert oldala

Abban az esetben, ha a megoldandó feladathoz egy téglalap alakú alakot adunk, amelynek két lapjának a hossza ismert, a harmadiké viszont nem, akkor a Pitagorasz-tételt kell használni.

Leírja a derékszögű háromszög lapjai közötti kapcsolatot. Az ezzel a tétellel leírt képlet a geometria egyik legismertebb és leggyakrabban használt tétele. Tehát maga a tétel:

Bármely derékszögű háromszög oldalait a következő egyenlet írja le: a^2 + b^2 = c^2, ahol a és b az ábra lábai, c pedig a hipotenusz.

Átfogó. Mindig a derékszöggel (90 fok) szemben helyezkedik el, és egyben a háromszög leghosszabb éle is. A matematikában a hipotenuszt c betűvel szokás jelölni.
Lábak- ezek a derékszögű háromszög élei, amelyek egy derékszögbe tartoznak, és amelyeket a és b betűk jelölnek. Az egyik láb a figura magassága is.

Ha tehát a feladat feltételei egy ilyen geometriai alakzat három lapja közül kettőnek a hosszát adják meg, akkor a Pitagorasz-tétel segítségével meg kell találni a harmadik lap méretét, majd az első módszer képletét kell használni.

Például ismerjük a 2 láb hosszát: a = 3 cm, b = 5 cm. Helyettesítsd be az értékeket a tételbe: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2. => 25 = c ^2 => c = 5 cm Tehát egy ilyen háromszög befogója 5 cm. Más szóval, ha egy figura két lába 3 cm és 4 cm, akkor a hipotenusz 5 cm lesz.

Ha az egyik láb hossza ismeretlen, akkor a képletet a következőképpen kell átalakítani: c^2 – a^2 = b^2. És fordítva a másik lábnál.

Folytassuk a példával. Most meg kell fordulnia a szabványos képlethez az ábra kerületének meghatározásához: P = a + b + c. Esetünkben: P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.

Harmadik módszer: két oldalon és a köztük lévő szögben

A középiskolában és az egyetemen is leggyakrabban ehhez a kerületmeghatározási módszerhez kell fordulni. Ha a feladat feltételei megadják két oldal hosszát, valamint a köztük lévő szög méretét, akkor koszinusz tételt kell használnia.

Ez a tétel abszolút minden háromszögre vonatkozik, ami az egyik leghasznosabbá teszi a geometriában. Maga a tétel így néz ki: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)), ahol a,b,c a lapok szabványos hossza, és A,B és C olyan szögek, amelyek a háromszög megfelelő lapjaival szemben helyezkednek el. Vagyis A az a oldallal ellentétes szög és így tovább.

Képzeljük el, hogy egy olyan háromszöget írunk le, amelynek a és b oldalai 100 cm, illetve 120 cm, és a közöttük lévő szög 97 fok. Vagyis a = 100 cm, b = 120 cm, C = 97 fok.

Ebben az esetben mindössze annyit kell tennie, hogy az összes ismert értéket behelyettesíti a koszinusztételbe. Az ismert lapok hosszát négyzetre emeljük, majd az ismert oldalakat megszorozzuk egymással és kettővel, és megszorozzuk a köztük lévő szög koszinuszával. Ezután össze kell adnia az arcok négyzeteit, és ki kell vonnia belőlük a kapott második értéket. A négyzetgyök a végső értékből származik - ez lesz a harmadik, korábban ismeretlen oldal.

Miután az ábra mindhárom oldala ismert, marad a standard képlet használata a leírt ábra kerületének megtalálásához az első módszerből, amelyet már szeretünk.

A derékszögű háromszög egy egyszerű, de rendkívül fontos szám a matematikában. Tulajdonságainak ismerete és a derékszögű háromszög alapvető paramétereivel való működés képessége lehetővé teszi, hogy megbirkózzon iskolai és valós problémákkal egyaránt.

Derékszögű háromszög geometriája

Geometriailag a háromszög három olyan pont, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el, és amelyeket szakaszok kötnek össze. A derékszögű háromszög olyan alakzat, amelynek két oldala derékszöget alkot. Ezeket az oldalakat a háromszög lábainak, a harmadik, leghosszabb oldalt hipotenusznak nevezzük. A lábak négyzetei és a hipotenusz közötti kapcsolatot a Pitagorasz-tétel – az euklideszi geometria egyik alapvető tétele – állapítja meg.

A hipotenusz és a lábak közötti kapcsolatok a matematika egy egész ágának - a trigonometriának - az alapját is megteremtették. Eredetileg a szinuszokat és koszinuszokat derékszögű háromszög szögeinek függvényeiként határozták meg, de mai jelentésükben a trigonometrikus függvényeket a teljes számegyenesre kiterjesztették. Manapság a trigonometriát az emberi tevékenység számos területén alkalmazzák: a csillagászattól és az oceanográfiától a pénzügyi piacok elemzéséig és a számítógépes játékok fejlesztéséig.

Derékszögű háromszög a valóságban

Maga a derékszögű háromszög a valóságban minden sarkon megtalálható, szó szerint és átvitt értelemben is. A tetraéderek és prizmák lapjai derékszögű háromszög alakúak, amelyek a valóságban gépalkatrészekké, kerámia cserepekké vagy tetőlejtőkké alakulnak. A négyzet olyan rajzeszköz, amellyel az ember először találkozik egy geometria órán, és egy derékszögű háromszög alakú, és a tervezésben, az építésben és az asztalos munkában használják.

Háromszög kerülete

A kerület egy sík geometriai alakzat minden oldalának hosszának numerikus becslése. Az n-szög kerülete n oldal hosszának összegeként található. A derékszögű háromszög kerületének meghatározásához használjon egy egyszerű képletet:

a és b – lábak, c – hypotenus.

A háromszög kerületének kézzel történő kiszámításához meg kell mérnie mindhárom oldalát, további trigonometrikus műveleteket kell végrehajtania, vagy számításokat kell végeznie a Pitagorasz-tétel segítségével. Egy online számológép segítségével csak a következő változópárokat kell kiderítenie:

két láb;
láb és szög;
hipotenúza és szög.

Iskolai feladatokban vagy a gyakorlatban kiindulási adatokat kap, így a számológép lehetővé teszi a kerület meghatározását, különböző paraméterpárok ismeretében. Ezenkívül az eszköz automatikusan kiszámítja a derékszögű háromszög összes többi tulajdonságát, azaz az összes oldal hosszát és az összes szög nagyságát. Nézzünk egy-két példát.

Példák az életből

Iskolai feladat

Tegyük fel, hogy egy iskolai feladatban kapsz egy derékszögű háromszöget, amelynek oldalhossza 5 cm, és a szomszédos szöge 60 fok. Meg kell találnia egy geometriai alakzat kerületét. Az online számológéphez egy rajz is tartozik, amelyen egy derékszögű háromszög oldalai és szögei láthatók. Látjuk, hogy ha a láb = 5 cm, akkor a szomszédos szöge béta szög. Ez egy fontos pont, mert ha az alfa szöget használja a számításokhoz, az eredmény hibás lesz. Ezeket az adatokat beírjuk az űrlapba, és az űrlapon kapunk választ:

Magán a kerületen kívül programunk meghatározta az ellentétes szög értékét, valamint a második láb és a hipotenusz hosszát is.

Virágágyás elrendezés

Tegyük fel, hogy egy virágágyáshoz szeretne kerítést készíteni, amely derékszögű háromszög alakú. Ehhez ismernie kell az ábra kerületét. Természetesen a valóságban egyszerűen megmérheti mindhárom oldalát, de könnyen leegyszerűsítheti a feladatot, és csak két lábat mérhet. Legyenek 8 és 15 méteresek. Beírjuk ezeket az adatokat a kalkulátor űrlapba, és megkapjuk a választ:

Tehát 40 méteres kerítés építéséhez anyagokat kell vásárolnia. Számológépünk kiszámolta a hypotenus hosszát is - 17 méter. A 8-as, 15-ös és 17-es számok Pitagorasz-hármast alkotnak - természetes számok, amelyek kielégítik a Pitagorasz-tétel feltételeit.

Következtetés

A derékszögű háromszögeket széles körben használják a mindennapi életben, így egy geometriai alakzat területének vagy kerületének meghatározása minden bizonnyal hasznos lesz az iskolai problémák vagy a mindennapi kérdések megoldása során.

1) y = 2x + 5 2) y = 4 - 3x 3) y = 8x - 2 4) y = 5x 5) y = 0,1x + 8 6) X = 2 7) Y = x - 3, y = 2x + 3 y = -3x + 1 y = 4x – 2 y = 5x + 2 y = 3 y = -x y = -3 + x, 1) 0 2) 0 3) 1 4) 0 5) 1 6) 1 7 ) Végtelen halmaz. tanulókártya tesztekkel. 1. számú kártya A10. Kösd össze a képletek által megadott függvényeket a grafikonjaikkal (1. ábra).

?

ahol P a háromszög kerülete;

A, b, c - a háromszög oldalai.

A Pitagorasz-tétel alapján lehetővé vált egy derékszögű háromszög kerületének meghatározása annak két ismert hosszúságú oldalával. Ha a lábak hossza ismert, akkor a háromszög kerületét úgy határozzuk meg, hogy megtaláljuk a hipotenúza értékét a képlet segítségével:

Ha csak az egyik láb és a befogó hossza ismert, akkor a háromszög kerületét úgy határozzuk meg, hogy megtaláljuk a hiányzó láb értékét a képlet segítségével:

Ha egy derékszögű háromszögben csak a c hipotenusz hossza és a vele szomszédos α hegyesszögek egyike ismert, akkor a háromszög kerülete ebben az esetben a következő képlettel határozható meg:

Abban az esetben, ha a feladat feltételei meghatározzák az a láb hosszát és a vele szemben lévő α hegyesszög értékét, akkor ebben az esetben a derékszögű háromszög kerületét a következő képlettel számítjuk ki:

Ha adott egy oldal a szomszédos β szöggel, akkor a háromszög kerülete a következő kifejezés alapján számítható ki:

Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög kerületét

P = a + b + c, ahol, mondjuk,

P = v(a2 + b2) + a + b, vagy

P = v(c2 – b2) + b + c.

P = (1 + sin? + cos?)*s.

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

További hírek a témában:

A terület és a kerület a geometriai alakzatok fő numerikus jellemzői. Ezeknek a mennyiségeknek a megtalálása leegyszerűsödik az általánosan elfogadott képleteknek köszönhetően, amelyek szerint a további kezdeti adatok minimális vagy teljes hiánya mellett is lehet számolni egymással. Kihelyezési szponzor P&G

Az egyenlő oldalú háromszög a négyzet mellett talán a legegyszerűbb és legszimmetrikusabb alakzat a planimetriában. Természetesen minden közönséges háromszögre érvényes összefüggés igaz egyenlő oldalú háromszögre is. Egy szabályos háromszög esetében azonban minden képlet sokkal egyszerűbbé válik. Neked

A háromszög kerülete, mint bármely más lapos geometriai alakzat, az azt határoló szakaszok hosszának összege. Ezért a kerület hosszának kiszámításához ismernie kell az oldalak hosszát. De annak a ténynek köszönhető, hogy a geometriai ábrákon az oldalak hosszát bizonyos kapcsolatok kötik össze

Egy háromszöget derékszögűnek tekintünk, ha az egyik szöge derékszögű. A háromszög derékszöggel ellentétes oldalát hipotenusznak, a másik két oldalát pedig lábaknak nevezzük. Egy derékszögű háromszög oldalainak hosszának meghatározásához többféle módszert használhat. Szponzor

Bármely geometriai alakzat kerülete, beleértve a háromszöget is, megegyezik az ábra határainak teljes hosszával. Nagy latin P betűvel jelöljük, és könnyen megtalálható, ha összeadjuk egy adott ábra minden oldalának hosszát. Szponzor P&G cikkek közzététele „Hogyan számítsuk ki a háromszög kerületét” témában?

A háromszög olyan sokszög, amelynek három oldala és három szöge van. Hogyan kell kiszámítani a kerületét? Szponzor P&G cikkek közzététele a "Hogyan lehet megtalálni a háromszög kerületét" témában Hogyan lehet megtalálni a háromszög kerületét a csúcsok koordinátái alapján Hogyan lehet megtalálni a háromszög területét Hogyan lehet megtalálni a hosszát és szélességét?

A hipotenusz a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. A derékszöggel szemben helyezkedik el. A derékszögű háromszög befogójának megtalálásának módja attól függ, hogy milyen kiindulási adatok vannak. A P&G által szponzorált cikkek a következő témában: „Hogyan találjuk meg a háromszög befogóját” Hogyan

A derékszögű háromszöget bizonyos kapcsolatok jellemzik a szögek és az oldalak között. Némelyik értékének ismeretében másokat is kiszámíthat. Erre a célra képleteket használnak, amelyek viszont a geometria axiómáin és tételein alapulnak. A P&G elhelyezésének szponzora Cikkek a „Hogyan határozzuk meg

Úgy tűnik, ez egyszerűbb lehet, mint egy háromszög területének és kerületének kiszámítása - mérje meg az oldalakat, tegye be a számokat a képletbe - és ennyi. Ha így gondolja, akkor elfelejtette, hogy ezekre a célokra nem két egyszerű képlet létezik, hanem sokkal több - minden háromszögtípushoz megvan a sajátja. Neked

A háromszög kerülete az oldalai hosszának összege. A háromszög kerületének megtalálása gyakran szükséges mind az elemi geometriai feladatoknál, mind a nehezebb feladatoknál. Megoldásuk során a hiányzó mennyiségeket más adatokból találjuk meg. A háromszög kerületének főbb függőségei a többi mérettől tükröződnek

Derékszögű háromszög képlet kerülete

Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög kerületét

Derékszögű háromszög az, amelyben az egyik szög 90 fokos, a másik kettő pedig hegyesszög. Egy ilyen háromszög kerületének kiszámítása a róla ismert adatok mennyiségétől függ.

Esettől függően a háromszög három oldala közül kettőnek, valamint az egyik hegyesszögének ismerete.

A szponzor P&G közzététele Cikkek a következő témában: "Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög kerületét" Hogyan találjuk meg a piramis felületét Hogyan találjuk meg a kerületét, ha a terület ismert Hogyan találjuk meg az egyenlő oldalú háromszög kerületét

1. módszer. Ha a háromszög mindhárom oldala ismert, akkor függetlenül attól, hogy a háromszög derékszögű-e vagy sem, a kerületét a következőképpen számítjuk ki:

P = a + b + c, ahol, mondjuk,

2. módszer. Ha egy téglalapnak csak 2 oldala ismert, akkor a Pitagorasz-tétel segítségével ennek a háromszögnek a kerülete a következő képlettel számítható ki:

P = v(a2 + b2) + a + b, vagy

P = v(c2 – b2) + b + c.

3. módszer. Legyen egy derékszögű háromszögben egy c hipotenusz és egy hegyesszög, akkor a kerület a következőképpen kereshető:

P = (1 + sin? + cos?)*s.

4. módszer. Adott, hogy egy derékszögű háromszögben az egyik láb hossza egyenlő a-val, és vele szemben egy hegyesszög van?. Ezután ennek a háromszögnek a kerületét a következő képlet szerint kell kiszámítani:

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

5. módszer. Ismerjük meg az a oldalt és a vele szomszédos szöget?, akkor a kerületet a következőképpen számítjuk ki:

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

A derékszögű háromszög az önkényes háromszögek speciális típusa. Mint minden más háromszögnek, ennek is három oldala van, de az egyik szögének 90 fokosnak kell lennie. Miután megállapította, hogy egy adott háromszög derékszögű háromszög, elkezdheti megtalálni az alapvető méreteit. A derékszögű háromszög egyik jellemzője a kerülete. Sok geometriai feladat a derékszögű háromszög kerületének meghatározására irányul. Mielőtt megvizsgálnánk a derékszögű háromszög kerületének meghatározásának fő módjait, szeretném emlékeztetni, hogy bármely geometriai alakzat kerülete egy síkon egyenlő az összes oldala hosszának összegével. Minden típusú háromszög esetében ez az állítás a következő kifejezésként írható fel:

ahol P a háromszög kerülete;
a, b, c - a háromszög oldalai.

A derékszögű háromszögben, amint fentebb említettük, van egy megkülönböztető jellemzője, hogy az egyik szög 90 fokos. A háromszög adott szöggel szomszédos két oldalát lábnak nevezzük. A derékszöggel ellentétes oldalt hipotenusznak nevezzük.

A derékszögű háromszög szokatlan tulajdonságait Pitagorasz fedezte fel, aki felfedezte, hogy egy derékszögű háromszög befogójának négyzete egyenlő a lábainak négyzeteinek összegével, amely így írható fel:

ahol P a háromszög kerülete;

A, b, c - a háromszög oldalai.

Ha csak az egyik láb és a befogó hossza ismert, akkor a háromszög kerületét úgy határozzuk meg, hogy megtaláljuk a hiányzó láb értékét a képlet segítségével:

Ha adott egy oldal a szomszédos β szöggel, akkor a háromszög kerülete a következő kifejezés alapján számítható ki:

P = a + b + c, ahol, mondjuk,

P = v(a2 + b2) + a + b, vagy

P = v(c2 – b2) + b + c.

P = (1 + sin? + cos?)*s.

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

További hírek a témában:

Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög kerületét

Derékszögű háromszög az, amelyben az egyik szög 90 fokos, a másik kettő pedig hegyesszög. Egy ilyen háromszög kerületének kiszámítása a róla ismert adatok mennyiségétől függ.

Esettől függően a háromszög három oldala közül kettőnek, valamint az egyik hegyesszögének ismerete.

1. módszer. Ha a háromszög mindhárom oldala ismert, akkor függetlenül attól, hogy a háromszög derékszögű-e vagy sem, a kerületét a következőképpen számítjuk ki:

P = a + b + c, ahol, mondjuk,

2. módszer. Ha egy téglalapnak csak 2 oldala ismert, akkor a Pitagorasz-tétel segítségével ennek a háromszögnek a kerülete a következő képlettel számítható ki:

P = v(a2 + b2) + a + b, vagy

P = v(c2 – b2) + b + c.

3. módszer. Legyen egy derékszögű háromszögben egy c hipotenusz és egy hegyesszög, akkor a kerület a következőképpen kereshető:

P = (1 + sin? + cos?)*s.

P = a*(1/tg? + 1/sin? + 1)

5. módszer. Ismerjük meg az a oldalt és a vele szomszédos szöget?, akkor a kerületet a következőképpen számítjuk ki:

P = a*(1/сtg? + 1/cos? + 1)

További hírek a témában:

Bármely háromszög kerülete az ábrát határoló vonal hossza. Kiszámításához meg kell találnia ennek a sokszögnek az összes oldalának összegét.

Számítás megadott oldalhosszakból

Ha a jelentésük ismert, ez könnyen megtehető. Ezeket a paramétereket m, n, k betűkkel, a kerületet pedig P betűvel jelölve megkapjuk a számítási képletet: P = m+n+k. Feladat: Ismeretes, hogy egy háromszög oldalhossza 13,5 deciméter, 12,1 deciméter és 4,2 deciméter. Találja ki a kerületet. Megoldjuk: Ha ennek a sokszögnek az oldalai a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, akkor P = 29,8 dm. Válasz: P = 29,8 dm.

Egy olyan háromszög kerülete, amelynek két egyenlő oldala van

Az ilyen háromszöget egyenlőszárúnak nevezzük. Ha ezek az egyenlő oldalak egy centiméter hosszúak, a harmadik oldal pedig b centiméter hosszú, akkor a kerületet könnyű kideríteni: P = b + 2a. Feladat: a háromszögnek két oldala 10 deciméter, az alapja 12 deciméteres. Keresse meg P. Megoldás: Legyen az oldal a = c = 10 dm, az alap b = 12 dm. Oldalak összege P = 10 dm + 12 dm + 10 dm = 32 dm. Válasz: P = 32 deciméter.

Egyenlő oldalú háromszög kerülete

Ha egy háromszög mindhárom oldalának egyenlő számú mértékegysége van, akkor egyenlő oldalúnak nevezzük. Egy másik név helyes. A szabályos háromszög kerületét a következő képlettel találjuk meg: P = a+a+a = 3·a. Probléma: Van egy egyenlő oldalú háromszög alakú telkünk. Az egyik oldal 6 méteres. Keresse meg a kerítés hosszát, amellyel ezt a területet be lehet zárni. Megoldás: Ha ennek a sokszögnek az oldala a = 6 m, akkor a kerítés hossza P = 3 6 = 18 (m). Válasz: P = 18 m.

Egy háromszög, amelynek szöge 90°

Négyszögletesnek hívják. A derékszög jelenléte lehetővé teszi az ismeretlen oldalak megtalálását a trigonometrikus függvények definíciójával és a Pitagorasz-tétellel. A leghosszabb oldalt hipotenusznak nevezzük, és c-vel jelöljük. Van még két oldal, a és b. A Pythagorasról elnevezett tételt követve c 2 = a 2 + b 2 van. A lábak a = √ (c 2 - b 2) és b = √ (c 2 - a 2). Két a és b láb hosszának ismeretében kiszámítjuk a hipotenúzust. Ezután ezeket az értékeket összeadva megkapjuk az ábra oldalainak összegét. Feladat: Egy derékszögű háromszög lábai 8,3 cm és 6,2 cm hosszúak. Ki kell számítani a háromszög kerületét. Megoldás: Jelöljük a lábakat a = 8,3 cm, b = 6,2 cm A Pitagorasz-tételt követve a c hipoténusz = √ (8,3 2 + 6,2 2) = √ (68,89 + 38,44) = √107 ,33 ( = 10,3 cm). ). P = 24,9 (cm). Vagy P = 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) = 24,9 (cm). Válasz: P = 24,9 cm A gyökerek értékeit tizedes pontossággal vettük. Ha ismerjük a befogó és a láb értékeit, akkor a P értékét a P = √ (c 2 - b 2) + b + c kiszámításával kapjuk. 2. feladat: Egy 90 fokos szöggel szemben fekvő földszakasz 12 km, az egyik láb 8 km. Mennyi ideig tart bejárni a teljes területet, ha 4 kilométeres óránkénti sebességgel halad? Megoldás: ha a legnagyobb szakasz 12 km, a kisebbik b = 8 km, akkor a teljes út hossza P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (km). Az időt úgy találjuk meg, hogy elosztjuk az utat a sebességgel. 28,9:4 = 7,225 (h). Válasz: 7,3 óra alatt megkerülheti a négyzetgyök értékét és a választ tized pontossággal. Egy derékszögű háromszög oldalainak összegét akkor kaphatja meg, ha az egyik hegyesszög egyik oldala és értéke adott. A b láb hosszának és a vele szemközti β szög értékének ismeretében megtaláljuk az ismeretlen oldalt a = b/ tan β. Keresse meg a c = a hipotenuszt: sinα. Egy ilyen ábra kerületét a kapott értékek összeadásával találjuk meg. P = a + a/ sinα + a/ tan α, vagy P = a(1 / sin α+ 1+1 / tan α). Feladat: C derékszögű téglalap alakú Δ ABC-ben a BC láb hossza 10 m, A szöge 29 fok. Meg kell találnunk a Δ ABC oldalak összegét. Megoldás: Jelöljük az ismert BC = a = 10 m oldalt, a vele szemközti szöget, ∟A = α = 30°, majd az AC oldalt = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), az AB hipotenusz = c = 10: 0,5 = 20 (m). P = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (m). Vagy P = 10 · (1 + 1,72 + 2) = 47,2 m Van: P = 47,2 m. Az α szár és a szomszédos β szög értékének birtokában megtudjuk, hogy a második szár mivel egyenlő: b = a tan β. A hipotenusz ebben az esetben egyenlő lesz a lábbal, osztva a β szög koszinuszával. A kerületet a következő képlettel találjuk meg: P = a + a tan β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β)·a. Feladat: Egy 90 fokos szögű háromszög szára 18 cm, a szomszédos szöge 40 fok. Keresse meg P. Megoldás: Jelöljük az ismert oldalt BC = 18 cm, ∟β = 40°. Ekkor az ismeretlen oldal AC = b = 18 · 0,83 = 14,9 (cm), az AB hipotenusz = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Az ábra oldalainak összege P = 56,3 (cm). Vagy P = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 cm. Válasz: P = 56,3 cm Ha ismert a hipotenusz hossza és valamilyen α szög, akkor a lábak megegyeznek a befogó szorzatával. az elsőt - ennek a szögnek a szinuszával, a másodiknak pedig a koszinuszával. Ennek az ábrának a kerülete P = (sin α + 1+ cos α)*c. Feladat: AB derékszögű háromszög befogója = 9,1 centiméter, szöge 50 fok. Keresse meg az ábra oldalainak összegét! Megoldás: Jelöljük a befogót: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, ekkor az egyik BC szár hossza a = 9,1 · 0,77 = 7 (cm), AC szár = b = 9 . 1 · 0,64 = 5,8 (cm). Ez azt jelenti, hogy ennek a sokszögnek a kerülete P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Vagy P = 9,1·(1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Válasz: P = 21,9 centiméter.

Tetszőleges háromszög, amelynek egyik oldala ismeretlen

Ha megvan két a és c oldal értéke, valamint az ezen oldalak közötti γ szög, akkor a harmadikat a koszinusztétel alapján találjuk meg: b 2 = c 2 + a 2 - 2 ac cos β, ahol β a szög az a és c oldalak között fekszik. Ezután megtaláljuk a kerületet. Feladat: Δ ABC-nek van egy 15 dm hosszú AB szakasza és egy 30,5 dm hosszú AC szakasza. Ezen oldalak közötti szög 35 fok. Számítsd ki az Δ ABC oldalak összegét! Megoldás: A koszinusztétel segítségével kiszámítjuk a harmadik oldal hosszát. BC 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) van: P = 65,6 dm.

Egy tetszőleges háromszög oldalainak összege, amelyben két oldal hossza ismeretlen

Ha csak egy szakasz hosszát és két szög értékét ismerjük, akkor a szinusztétel segítségével megtudhatjuk két ismeretlen oldal hosszát: „egy háromszögben az oldalak mindig arányosak a szinuszok értékével. ellentétes szögek." Hol van b = (a* sin β)/ sin a. Hasonlóan c = (a sin γ): sin a. A kerület ebben az esetben P = a + (a sin β)/ sin a + (a sin γ)/ sin a lesz. Feladat: Δ ABC-nk van. Ebben a BC oldal hossza 8,5 mm, a C szög értéke 47°, a B szög pedig 35 fok. Keresse meg az ábra oldalainak összegét! Megoldás: Jelöljük az oldalak hosszát BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - ( 47° + 35°) = 180° - 82° = 98°. A szinusztételből kapott összefüggésekből megtaláljuk az AC = b = (8,5 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 0,99): 0,73 = 9,5 (mm) szárakat. Ezért ennek a sokszögnek az oldalainak összege P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Válasz: P = 23,5 mm. Abban az esetben, ha csak egy szakasz hossza és két szomszédos szög értéke van, először az ismert oldallal ellentétes szöget számítjuk ki. Az ábra összes szöge 180 fokot tesz ki. Ezért ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Ezután a szinusztétel segítségével keressük meg az ismeretlen szakaszokat. Feladat: Δ ABC-nk van. BC szakasza 10 cm. A B szög értéke 48 fok, a C szög 56 fok. Határozzuk meg a Δ ABC oldalak összegét! Megoldás: Először keressük meg a BC szemközti oldal A szög értékét. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Most a szinusztétel segítségével kiszámítjuk az AC = 10·0,74: 0,97 = 7,6 (cm) oldal hosszát. AB = BC* sin C/ sin A = 8,6. A háromszög kerülete P = 10 + 8,6 + 7,6 = 26,2 (cm). Eredmény: P = 26,2 cm.

Háromszög kerületének kiszámítása a beleírt kör sugarának felhasználásával

Néha a probléma egyik oldala sem ismert. De van egy érték a háromszög területének és a beleírt kör sugarának. Ezek a mennyiségek összefüggenek: S = r p. A háromszög területének és r sugarának ismeretében megtalálhatjuk a p fél kerületet. Azt találjuk, hogy p = S: r. Probléma: A telek területe 24 m 2, az r sugara 3 m Határozza meg, hány fát kell egyenletesen elültetni a telket körülvevő vonal mentén, ha két méter távolságnak kell lennie. a szomszédok. Megoldás: Az ábra oldalainak összegét a következőképpen kapjuk meg: P = 2 · 24: 3 = 16 (m). Ezután oszd el kettővel. 16:2= 8. Összesen: 8 fa.

Egy háromszög oldalainak összege derékszögű koordinátákkal

Az Δ ABC csúcsainak koordinátái vannak: A (x 1 ; y 1), B (x 2 ; y 2), C(x 3 ; y 3). Határozzuk meg az AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 oldalak négyzeteit; BC 2 = (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 = (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. A kerület meghatározásához egyszerűen adja össze az összes szegmenst. Hozzárendelés: Δ ABC csúcsok koordinátái: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Keresse meg az ábra oldalainak összegét! Megoldás: a megfelelő koordináták értékeit a kerületi képletbe beírva P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Nálunk: P = 16,6. Ha az ábra nem síkon, hanem térben van, akkor mindegyik csúcsnak három koordinátája van. Ezért az oldalak összegének képletében még egy tag lesz.

Vektoros módszer

Ha egy alakzatot a csúcsainak koordinátái adnak meg, akkor a kerület vektoros módszerrel számítható ki. A vektor egy olyan szakasz, amelynek iránya van. Modulját (hosszát) a ǀᾱǀ szimbólum jelzi. A pontok közötti távolság a megfelelő vektor hossza, vagy a vektor abszolút értéke. Tekintsünk egy síkon fekvő háromszöget. Ha a csúcsok A (x 1; y 1), M(x 2; y 2), T (x 3; y 3) koordinátákkal rendelkeznek, akkor az egyes oldalak hosszát a következő képletekkel határozzuk meg: ǀAMǀ = √ ((x) 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) ) 2 + ( y 1 - y 3) 2). A háromszög kerületét a vektorok hosszának összeadásával kapjuk meg. Hasonlóképpen keresse meg egy háromszög oldalainak összegét a térben.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete