Tört lineáris függvények megoldása. Függvények és grafikonjaik

Itt vannak az együtthatók X a számlálóban és a nevezőben lévő szabad tagok pedig valós számokat kapnak. A lineáris törtfüggvény grafikonja általános esetben az hiperbola.

A legegyszerűbb tört lineáris függvény y = - Te-

sztrájkol fordított arányos összefüggés; az azt ábrázoló hiperbola a középiskolai tanfolyamokból jól ismert (5.5. ábra).

Rizs. 5.5

Példa. 5.3

Rajzolja fel egy lineáris törtfüggvény grafikonját:

1. Mivel ennek a törtnek nincs értelme, hogy mikor x = 3, Azt az X függvény tartománya két végtelen intervallumból áll:
3) és (3; +°°).

2. Egy függvény viselkedésének tanulmányozása a definíciós tartomány határán (vagyis amikor X-»3 és at X-> ±°°), célszerű ezt a kifejezést két tag összegére alakítani a következőképpen:

Mivel az első tag állandó, a függvény viselkedését a határon valójában a második, változó tag határozza meg. Változásának folyamatát tanulmányozva, mikor X->3 és X->±°°, az alábbi következtetéseket vonjuk le az adott függvényre vonatkozóan:

a) x->3 esetén jobbra(azaz *>3 esetén) a függvény értéke korlátlanul növekszik: at-> +°°: x->3-nál balra(azaz x y helyen - így a kívánt hiperbola korlátlanul közelíti az egyenest az x = 3 egyenlettel (balra lentÉs jobb felső)és így ez az egyenes függőleges aszimptota túlzás;
b) mikor x ->±°° a második tag korlát nélkül csökken, így a függvény értéke megközelíti az első, konstans tagot korlát nélkül, azaz. értékelni y = 2. Ebben az esetben a függvény grafikonja korlátlanul közelít (bal alsó és jobb felső) az egyenlet által megadott egyeneshez y = 2; így ez a vonal vízszintes aszimptota túlzás.

Megjegyzés. Az ebben a részben kapott információk a legfontosabbak egy függvény grafikonjának viselkedésének jellemzéséhez a sík távoli részén (képletesen szólva, a végtelenben).

3. Feltételezve, hogy l = 0, azt találjuk y = ~. Ezért a kívánt hi-

perbola metszi a tengelyt Ó pontban M x = (0;-^).

4. Nulla függvény ( at= 0) lesz X= -2; ezért ez a hiperbola metszi a tengelyt Ó az M 2 pontban (-2; 0).
5. Egy tört pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű, és negatív, ha különböző előjelűek. A megfelelő egyenlőtlenségi rendszereket megoldva azt találjuk, hogy a függvénynek két pozitív intervalluma van: (-°°; -2) és (3; +°°), valamint egy negatív intervalluma: (-2; 3).
6. Ha egy függvényt két tag összegeként ábrázolunk (lásd a 2. pontot), akkor meglehetősen könnyen kimutatható két csökkenési intervallum: (-°°; 3) és (3; +°°).
7. Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek nincs szélsősége.
8. Állítsa be a függvény értékeit Y: (-°°; 2) és (2; +°°).
9. Nincs páros, páratlan vagy periodicitás sem. Az összegyűjtött információ elegendő ahhoz sematikusan

hiperbolát ábrázol grafikusan tükrözve ennek a függvénynek a tulajdonságait (5.6. ábra).

Rizs. 5.6

Az eddig tárgyalt függvényeket ún algebrai. Most menjünk tovább a mérlegelésre transzcendentális funkciókat.

fejsze +b
A tört lineáris függvény az alak függvénye y = --- ,
cx +d

Ahol x- változó, a,b,c,d– néhány szám, és c ≠ 0, hirdetés -i.e ≠ 0.

A tört lineáris függvény tulajdonságai:

A lineáris törtfüggvény grafikonja egy hiperbola, amely az y = k/x hiperbolából a koordinátatengelyek mentén végzett párhuzamos fordítások segítségével kapható meg. Ehhez a tört lineáris függvény képletét a következő formában kell bemutatni:

k
y = n + ---
x–m

Ahol n– azon egységek száma, amelyekkel a hiperbola jobbra vagy balra tolódik, m– az egységek száma, amennyivel a hiperbola felfelé vagy lefelé mozog. Ebben az esetben a hiperbola aszimptotái x = m, y = n egyenesekre tolódnak el.

Az aszimptota egy olyan egyenes, amelyhez a görbe pontjai közelednek, ahogy a végtelenbe távolodnak (lásd az alábbi ábrát).

A párhuzamos átvitelekkel kapcsolatban lásd az előző szakaszokat.

1. példa Keressük meg a hiperbola aszimptotáit, és ábrázoljuk a függvényt:

x + 8
y = ---
x – 2

Megoldás:

k
Képzeljük el a törtet n + ---
x–m

Erre x+ 8-at a következő formában írjuk: x – 2 + 10 (azaz a 8-at –2 + 10-ként ábrázoljuk).

x+ 8 x – 2 + 10 1 (x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2

Miért öltött ilyen formát a kifejezés? A válasz egyszerű: végezze el az összeadást (mindkét kifejezést közös nevezőre redukálja), és visszatér az előző kifejezéshez. Vagyis ez egy adott kifejezés átalakításának eredménye.

Tehát megkaptuk az összes szükséges értéket:

k = 10, m = 2, n = 1.

Így megtaláltuk hiperbolánk aszimptotáit (az x = m, y = n alapján):

Vagyis a hiperbola egyik aszimptotája párhuzamosan fut a tengellyel y tőle 2 egységnyi távolságra jobbra, és a második aszimptota a tengellyel párhuzamosan fut x felette 1 egységnyi távolságra.

Készítsünk grafikont ennek a függvénynek. Ehhez a következőket fogjuk tenni:

1) szaggatott vonallal rajzolja meg a koordinátasíkon az aszimptotákat - az x = 2 egyenest és az y = 1 egyenest.

2) mivel a hiperbola két ágból áll, ezért ezeknek az ágaknak az összeállításához két táblázatot állítunk össze: egyet x-re<2, другую для x>2.

Először is válasszuk ki az x értékeket az első opcióhoz (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3 – 2

Tetszőlegesen más értékeket választunk x(például -2, -1, 0 és 1). Számítsa ki a megfelelő értékeket! y. Az összes kapott számítás eredménye bekerül a táblázatba:

Most hozzunk létre egy táblázatot az x>2 opcióhoz:

A lineáris törtfüggvényt a 9. osztályban tanulmányozzák, miután néhány más típusú függvényt tanulmányoztak. Pontosan erről van szó a lecke elején. Itt az y=k/x függvényről beszélünk, ahol k>0. A szerző szerint ezzel a funkcióval korábban az iskolások is foglalkoztak. Ezért ismerik tulajdonságait. De a szerző azt javasolja, hogy emlékezzen meg és vegye figyelembe az egyik tulajdonságot, amely jelzi a függvény grafikonjának jellemzőit ebben a leckében. Ez a tulajdonság egy függvény értékének egy változó értékétől való közvetlen függőségét tükrözi. Ugyanis a végtelenbe hajló pozitív x esetén a függvény értéke is pozitív, és 0-ra hajlik. A mínusz végtelenbe hajló negatív x esetén y értéke negatív és 0-ra hajlik.

Továbbá a szerző megjegyzi, hogy ez a tulajdonság hogyan jelenik meg a grafikonon. Ily módon a tanulók fokozatosan megismerkednek az aszimptota fogalmával. A fogalom általános bemutatása után világos definíciója következik, amely világos kerettel van kiemelve.

Az aszimptota fogalmának bemutatása és meghatározása után a szerző felhívja a figyelmet arra, hogy a k>0 y=k/xhiperbolának két aszimptotája van: ezek az x és az y tengelyek. Pontosan ugyanez a helyzet az y=k/xat k függvénnyel<0: функция имеет две асимптоты.

A főbb pontok előkészítése és az ismeretek aktualizálása után a szerző azt javasolja, hogy térjünk át egy új típusú függvény közvetlen tanulmányozására: a lineáris-tört függvény vizsgálatára. Kezdetben azt javasoljuk, hogy vegyünk példákat tört lineáris függvényekre. Egy ilyen példával a szerző bemutatja, hogy a számláló és a nevező lineáris kifejezések vagy más szóval elsőfokú polinomok. A számláló esetében nem csak egy elsőfokú polinom működhet, hanem a nullától eltérő bármely szám is.

Ezután a szerző egy lineáris törtfüggvény általános alakjának bemutatásával folytatja. Ugyanakkor részletesen leírja a rögzített funkció egyes összetevőit. Azt is elmagyarázza, hogy mely együtthatók nem lehetnek egyenlők 0-val. A szerző leírja ezeket a korlátozásokat, és bemutatja, mi történhet, ha ezek az együtthatók nullának bizonyulnak.

Ezek után a szerző megismétli, hogy az y=f(x)+n függvény grafikonját hogyan kapjuk meg az y=f(x) függvény grafikonjából. Adatbázisunkban egy lecke is található a témában. Itt azt is megjegyezzük, hogyan lehet az y=f(x+m) függvény gráfját megszerkeszteni az y=f(x) függvény ugyanabból a gráfjából.

Mindezt egy konkrét példával szemléltetjük. Itt azt javasoljuk, hogy egy bizonyos függvény gráfját készítsük el. Minden építkezés szakaszosan történik. Kezdetben azt javasoljuk, hogy a teljes részt elkülönítsük egy adott algebrai törttől. A szükséges átalakítások elvégzése után a szerző egy egész számot kap, amelyet a számmal megegyező számlálójú törthez adnak. Tehát egy függvény grafikonja, amely tört, az y = 5/x függvényből kettős párhuzamos fordítással összeállítható. Itt a szerző megjegyzi, hogyan fognak mozogni az aszimptoták. Ezt követően létrejön egy koordinátarendszer, és az aszimptoták átkerülnek egy új helyre. Ezután két értéktáblázat készül az x>0 és az x változóhoz<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции.

Ezután tekintsünk egy másik példát, ahol a függvény jelölésében mínusz van az algebrai tört előtt. De ez nem különbözik az előző példától. Minden műveletet hasonló módon hajtanak végre: a funkciót olyan formává alakítják, ahol a teljes rész kiemelve van. Ezután az aszimptotákat átvisszük, és a függvény grafikonját megszerkesztjük.

Itt ér véget az anyag magyarázata. Ez a folyamat 7:28 percig tart. Körülbelül ennyi időbe telik egy tanárnak, hogy elmagyarázza az új tananyagot egy normál órán. De ehhez jó előre fel kell készülni. De ha ezt a videóleckét vesszük alapul, akkor a leckére való felkészülés minimális időt és erőfeszítést igényel, és a diákoknak tetszeni fog az új tanítási módszer, amely videóleckét kínál.

Tekintsük a módszertani kérdéseket egy olyan téma tanulmányozásához, mint „egy tört lineáris függvény grafikonjának megalkotása”. Sajnos a tanulmánya kikerült az alapprogramból, és az óráiban a matektanár nem nyúl hozzá olyan gyakran, mint szeretnénk. A matematika órákat azonban még senki nem mondta le, és a GIA második részét sem. Az egységes államvizsgán pedig lehetőség van behatolni a C5 feladat testébe (paramétereken keresztül). Ezért fel kell feltűrnie az ingujját, és egy átlagos vagy közepesen erős tanulóval való leckében ki kell dolgoznia a magyarázat módját. Általános szabály, hogy a matematika oktató a munka első 5-7 évében dolgozza ki az iskolai tanterv főbb szakaszainak magyarázatát. Ezalatt az idő alatt több tucat különböző kategóriájú diáknak sikerül átjutnia az oktató szemén és kezén. Az elhanyagolt és természetesen gyenge gyerekektől, leszokóktól és iskolakerülőktől a céltudatos tehetségekig.

Idővel a matematika oktató fejleszti az összetett fogalmak egyszerű nyelvezetű magyarázatának képességét anélkül, hogy a matematikai teljesség és pontosság feláldozása lenne. Kialakul az anyag, a beszéd, a vizuális kíséret és a felvétel egyéni előadásmódja. Bármely tapasztalt oktató csukott szemmel mondja el a leckét, mert előre tudja, milyen problémák merülnek fel az anyag megértésével, és mi szükséges a megoldásukhoz. Fontos a megfelelő szavak és jegyzetek, példák kiválasztása az óra elejére, közepére és végére, valamint a házi feladathoz szükséges gyakorlatok helyes összeállítása.

Ebben a cikkben a témával való munka néhány speciális technikáját tárgyaljuk.

Milyen grafikonokkal kezdi a matektanár?

A vizsgált fogalom meghatározásával kell kezdenie. Hadd emlékeztesselek arra, hogy a tört lineáris függvény az alak függvénye. A felépítése az építésig terjed a leggyakoribb hiperbola jól ismert egyszerű technikák segítségével a gráfok transzformációjára. A gyakorlatban csak az oktató számára bizonyulnak egyszerűnek. Még ha egy erős tanuló jön is a tanárhoz, kellő gyorsasággal számolja és alakítja, akkor is külön kell tanítania ezeket a technikákat. Miért? Az iskolában a 9. osztályban a grafikonokat csak eltolással készítik, és nem alkalmaznak numerikus szorzók összeadásának módszereit (tömörítési és nyújtási módszerek). Milyen grafikont használ egy matektanár? Hol a legjobb kezdeni? Minden előkészítést a véleményem szerint legkényelmesebb funkció példájával végeznek . Mit használjak még? A trigonometriát a 9. osztályban grafikonok nélkül tanulják (a matematika államvizsga feltételeinek megfelelően módosított tankönyvekben pedig egyáltalán nem tanítják). A másodfokú függvénynek nincs akkora „módszertani súlya” ebben a témakörben, mint a gyökérnek. Miért? A 9. osztályban a másodfokú trinomit részletesen tanulmányozzák, és a tanuló eléggé képes építési feladatokat műszak nélkül megoldani. Az űrlap azonnal kiváltja a zárójelek kinyitásához szükséges reflexet, amely után a parabola csúcsán és egy értéktáblázaton keresztül alkalmazhatja a szabványos ábrázolás szabályát. Egy ilyen manőverrel nem lehet teljesíteni, és a matematika oktató könnyebben motiválja a tanulót az általános transzformációs technikák tanulmányozására. Az y=|x| modul használatával szintén nem igazolja magát, mert nem tanulmányozzák olyan alaposan, mint a gyökér, és az iskolások rettenetesen félnek tőle. Ráadásul maga a modul (pontosabban a „függősége”) beleszámít a vizsgált transzformációkba.

Tehát az oktatónak nincs kényelmesebb és hatékonyabb, mint a négyzetgyök használatával felkészülni az átalakításokra. Gyakorlatra van szüksége az ehhez hasonló grafikonok felépítésében. Gondoljunk arra, hogy ez a felkészülés nagy sikert aratott. A gyerek tud mozgatni, sőt tömöríteni/nyújtani is tud grafikonokat. mi lesz ezután?

A következő szakasz az egész rész elkülönítésének megtanulása. Talán ez a fő feladata egy matematika oktatónak, mert a teljes rész kiosztása után a témával kapcsolatos teljes számítási terhelés oroszlánrészét vállalja. Rendkívül fontos, hogy a funkciót olyan formában készítsük el, amely illeszkedik valamelyik szabványos építési sémához. Fontos az is, hogy az átalakítások logikáját közérthetően, érthetően, másrészt matematikailag pontosan és harmonikusan írjuk le.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy grafikon felépítéséhez a törtet formává kell alakítanod . Pontosan ezért, és nem
, megtartva a nevezőt. Miért? Nehéz olyan grafikonon transzformációkat végrehajtani, amely nem csak darabokból áll, hanem aszimptotái is vannak. A folytonosság két vagy három többé-kevésbé tisztán mozgó pont egy vonallal történő összekapcsolására szolgál. Nem folytonos függvény esetén nem lehet azonnal kitalálni, hogy mely pontokat kell csatlakoztatni. Ezért a hiperbola összenyomása vagy nyújtása rendkívül kényelmetlen. A matektanárnak egyszerűen meg kell tanítania a diákot, hogyan boldoguljon egyedül a műszakokkal.

Ehhez a teljes rész kijelölése mellett az együtthatót is el kell távolítani a nevezőből c.

Az egész rész kiválasztása törtből

Hogyan tanítsuk meg egy egész rész kiemelését? A matematika oktatók nem mindig értékelik megfelelően a tanuló tudásszintjét, és annak ellenére, hogy a programban hiányzik a polinomok maradékkal való osztásáról szóló tétel részletes tanulmányozása, alkalmazzák a sarokkal való osztás szabályát. Ha egy tanár felveszi a sarokosztást, akkor az óra majdnem felét ennek elmagyarázásával kell töltenie (persze, ha minden gondosan meg van indokolva). Sajnos az oktatónak nem mindig áll rendelkezésére ez az idő. Jobb, ha egyáltalán nem emlékezünk a sarkokra.

A tanulókkal való munkavégzésnek két formája van:
1) Az oktató megmutat neki egy kész algoritmust egy törtfüggvény példájával.
2) A tanár megteremti ennek az algoritmusnak a logikai keresésének feltételeit.

A második út megvalósítása tűnik számomra a legérdekesebbnek az oktatói gyakorlat szempontjából és rendkívül hasznosnak a tanulói gondolkodás fejlesztésére. Bizonyos tippek és utasítások segítségével gyakran el lehet vezetni a helyes lépések egy bizonyos sorozatának felfedezéséhez. A valaki által készített terv mechanikus kivitelezésével szemben egy 9. osztályos tanuló megtanulja önállóan keresni. Természetesen minden magyarázatot példákkal kell megtenni. Ebből a célból vegyünk egy függvényt, és vegyük figyelembe az oktató megjegyzéseit az algoritmus keresési logikájára vonatkozóan. Egy matektanár megkérdezi: „Mi akadályoz meg bennünket abban, hogy szabványos gráftranszformációt hajtsunk végre a tengelyek mentén történő eltolással? Természetesen az X egyidejű jelenléte a számlálóban és a nevezőben is. Ez azt jelenti, hogy el kell távolítani a számlálóból. Hogyan lehet ezt megtenni identitástranszformációk segítségével? Csak egy mód van - a töredék csökkentése. De nem egyenlőek a tényezők (zárójelek). Ez azt jelenti, hogy meg kell próbálnunk mesterségesen létrehozni őket. De hogyan? Nem helyettesítheti a számlálót a nevezővel azonos átmenet nélkül. Próbáljuk meg átalakítani a számlálót úgy, hogy a nevezővel megegyező zárójelet tartalmazzon. Tegyük oda erővelés „átfedjük” együtthatókkal, hogy amikor „hatnak” a zárójelre, vagyis amikor megnyitják és hasonló tagokat adunk hozzá, 2x+3 lineáris polinomot kapunk.

A matektanár üres téglalapok formájában szúrja be az együtthatók hézagait (ahogy az 5–6. osztályos tankönyvek gyakran használják), és feladatul tűzi ki, hogy ezeket számokkal töltse ki. A kiválasztást végre kell hajtani balról jobbra, az első menettől kezdve. A tanulónak el kell képzelnie, hogyan fogja kinyitni a tartót. Mivel a kiterjesztése csak egy tagot eredményez X-szel, ezért együtthatójának meg kell egyeznie a régi 2x+3 számláló legmagasabb együtthatójával. Ezért nyilvánvaló, hogy az első négyzet a 2-es számot tartalmazza. Ki van töltve. Egy matematikai tanárnak egy meglehetősen egyszerű tört lineáris függvényt kell felvennie c=1-gyel. Csak ezután térhetünk át a számláló és a nevező kellemetlen megjelenésű példáinak elemzésére (beleértve a törtegyütthatókat is).

Menjünk tovább. A tanár kinyitja a zárójelet, és közvetlenül felette aláírja az eredményt.
A megfelelő faktorpárt árnyékolhatja. A „nyitott kifejezéshez” hozzá kell adni egy ilyen számot a második résből, hogy megkapjuk a régi számláló szabad együtthatóját. Nyilván 7-es.

Ezt követően a törtet az egyes törtek összegére bontjuk (a törteket általában felhővel körözöm, elrendezésüket egy pillangó szárnyaihoz hasonlítom). Én pedig azt mondom: Törjük meg a törtet egy pillangóval. Az iskolások jól emlékeznek erre a kifejezésre.

A matematika oktató megmutatja a teljes alkatrész olyan formára való elkülönítésének teljes folyamatát, amelyre már alkalmazhatja a hiperbola eltolási algoritmust:

Ha a nevezőnek olyan vezető együtthatója van, amely nem egyenlő eggyel, akkor semmi esetre se hagyja ott. Ez mind az oktatónak, mind a hallgatónak extra fejfájást okoz, ami egy további átalakítás elvégzésének szükségessége, és a legnehezebb: a kompresszió - nyújtás. Egy egyenes arányosságú gráf sematikus felépítéséhez a számláló típusa nem fontos. A lényeg az, hogy ismerjük a jelét. Akkor jobb a nevező legmagasabb együtthatóját átvinni rá. Például ha a függvénnyel dolgozunk , akkor egyszerűen kiveszünk a 3-at a zárójelből, és „emeljük” a számlálóba, törtet alkotva benne. Sokkal kényelmesebb kifejezést kapunk az építésre: Nem kell mást tenni, mint jobbra és 2-vel felfelé tolni.

Ha a teljes 2. rész és a maradék tört között „mínusz” van, akkor azt is jobb, ha a számlálóban szerepelteti. Ellenkező esetben az építés egy bizonyos szakaszában a hiperbolát is meg kell jelenítenie az Oy tengelyhez képest. Ez csak bonyolítja a folyamatot.

A matektanár aranyszabálya:
minden kényelmetlen együtthatót, amely a grafikon szimmetriájához, tömörítéséhez vagy nyújtásához vezet, át kell vinni a számlálóba.

Nehéz bármilyen témával való munka technikáit leírni. Mindig van valami alábecsülés érzése. Azt, hogy milyen mértékben tudtunk beszélni tört lineáris függvényről, döntse el Ön. Küldje el észrevételeit és véleményét a cikkhez (ezeket az oldal alján látható mezőbe írhatja). Mindenképpen közzéteszem őket.

Kolpakov A.N. Matematika tanár Moszkva. Strogino. Módszerek oktatók számára.

Kezdőlap > Irodalom

Önkormányzati oktatási intézmény

"24. számú középiskola"

Probléma alapú absztrakt munka

az algebráról és az elemzési elvekről

Tört racionális függvények grafikonjai

A 11. A osztályos tanulók Tovcsegrecsko Natalja Szergejevna munkafelügyelő Valentina Vasziljevna Parseva matematikatanár, a legmagasabb képesítési kategória tanára

Szeverodvinszk

Tartalom 3Bevezetés 4Fő rész. Tört-racionális függvények grafikonjai 6 17. következtetés Irodalom 18

Bevezetés

A függvénygrafikonok ábrázolása az iskolai matematika egyik legérdekesebb témája. Korunk egyik legnagyobb matematikusa, Israel Moiseevich Gelfand ezt írta: „A gráfok felépítésének folyamata a képletek és leírások geometriai képpé alakításának módja. Ez a grafikon a képletek és függvények megtekintésére, valamint a függvények változásának megtekintésére szolgál. Például, ha y=x 2 van írva, akkor azonnal megjelenik egy parabola; ha y=x 2 -4, akkor egy négy egységgel csökkentett parabolát lát; ha y=4-x 2, akkor az előző parabolát lefelé fordítva látja. Ez a képlet és annak geometriai értelmezésének egyidejű meglátása nemcsak a matematika, hanem más tantárgyak tanulásánál is fontos. Ez egy olyan készség, amely egy életre megmarad, akárcsak a kerékpározás, a gépelés vagy az autóvezetés képessége.” A matematika órákon főként a legegyszerűbb gráfokat építjük - az elemi függvények grafikonjait. Csak a 11. osztályban tanultak meg összetettebb függvényeket deriváltok segítségével konstruálni. Könyvek olvasása közben:

A munka célja: a releváns elméleti anyagok tanulmányozása, egy algoritmus azonosítása tört-lineáris és tört-racionális függvények gráfjainak elkészítéséhez. Célok: 1. a témával kapcsolatos elméleti anyag alapján megfogalmazni a tört-lineáris és a tört-racionális függvények fogalmát; 2. módszereket találni tört-lineáris és tört-racionális függvények gráfjainak elkészítésére.

Fő rész. A tört racionális függvények grafikonjai

1. Tört - lineáris függvény és grafikonja

Ismerkedtünk már egy y=k/x alakú függvényrel, ahol k≠0, annak tulajdonságaival és gráfjával. Figyeljünk ennek a függvénynek egy jellemzőjére. Az y=k/x függvény pozitív számok halmazán azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy az argumentum értékeinek korlátlan növekedésével (amikor x a végtelenhez igyekszik) a függvények értékei pozitívak maradnak, nullára hajlamosak. Ahogy az argumentum pozitív értékei csökkennek (amikor x nullára hajlik), a függvényértékek korlátlanul nőnek (y hajlamos plusz a végtelenre). Hasonló kép figyelhető meg a negatív számok halmazánál is. A grafikonon (1. ábra) ez a tulajdonság abban fejeződik ki, hogy a hiperbola pontjai a végtelenbe távolodva (jobbra vagy balra, felfelé vagy lefelé) a koordináták origójától korlátlanul közelítenek az egyeneshez. vonal: az x tengely, amikor │x│ a plusz végtelen felé hajlik, vagy az y tengely, amikor │x│ nullára irányul. Ezt a vonalat hívják a görbe aszimptotái.

Rizs. 1

Az y=k/x hiperbolának két aszimptotája van: az x tengely és az y tengely. Az aszimptota fogalma fontos szerepet játszik számos függvény gráfjának felépítésében. A függvénygráfok általunk ismert transzformációit felhasználva az y=k/x hiperbolát a koordinátasíkban jobbra vagy balra, felfelé vagy lefelé mozgathatjuk. Ennek eredményeként új függvénygrafikonokat kapunk. 1. példa Legyen y=6/x. Toljuk el ezt a hiperbolát 1,5 egységgel jobbra, majd toljuk el a kapott grafikont 3,5 egységgel feljebb. Ezzel a transzformációval az y=6/x hiperbola aszimptotái is eltolódnak: az x tengely az y=3,5, az y tengely az y=1,5 egyenesbe (2. ábra). A függvény, amelynek grafikonját ábrázoltuk, a képlettel adható meg

Jelenítsük meg a képlet jobb oldalán lévő kifejezést törtként:

Ez azt jelenti, hogy a 2. ábra a képlet által megadott függvény grafikonját mutatja

Ennek a törtnek van egy számlálója és nevezője, amelyek lineáris binomiálisok x-hez képest. Az ilyen függvényeket tört lineáris függvényeknek nevezzük.

Általában az alak képletével meghatározott függvény
, Hol
x egy változó, a,b, c, d– adott számok, c≠0 és
i.e- hirdetésA ≠0-t tört lineáris függvénynek nevezzük. Vegye figyelembe, hogy a definícióban szereplő követelmény, hogy c≠0 és
bc-ad≠0, szignifikáns. Ha c=0 és d≠0 vagy bc-ad=0, akkor lineáris függvényt kapunk. Valóban, ha c=0 és d≠0, akkor

Ha bc-ad=0, c≠0, ebből az egyenlőségből a-n, c-n és d-n keresztül kifejezve b-t és behelyettesítve a képletbe, akkor kapjuk:

Tehát az első esetben az általános forma lineáris függvényét kaptuk
, a második esetben – konstans
. Most mutassuk meg, hogyan kell ábrázolni egy lineáris törtfüggvényt, ha azt a forma képlete adja meg
2. példaÁbrázoljuk a függvényt
, azaz formában mutassuk be
: kijelöljük a tört teljes részét, a számlálót elosztva a nevezővel, így kapjuk:

Így,
. Látjuk, hogy ennek a függvénynek a grafikonja az y=5/x függvény grafikonjából két egymást követő eltolással kapható meg: az y=5/x hiperbolát 3 egységgel jobbra tolva, majd a kapott hiperbolát eltoljuk.
2 egységgel felfelé Ezekkel az eltolódásokkal az y = 5/x hiperbola aszimptotái is elmozdulnak: az x tengely 2 egységgel feljebb, az y tengely pedig 3 egységgel jobbra. A gráf felépítéséhez szaggatott vonallal rajzoljuk meg az aszimptotákat a koordinátasíkban: egyenes y=2 és egyenes x=3. Mivel a hiperbola két ágból áll, mindegyik összeállításához két táblázatot fogunk összeállítani: egyet x-re.<3, а другую для x>3 (azaz az első az aszimptoták metszéspontjától balra, a második pedig attól jobbra):

A koordinátasíkon azokat a pontokat jelölve, amelyek koordinátáit az első táblázatban feltüntettük, és egy sima vonallal összekötjük, megkapjuk a hiperbola egyik ágát. Hasonlóan (a második táblázat segítségével) megkapjuk a hiperbola második ágát. A függvénygrafikont a 3. ábra mutatja.

Bármilyen töredéket szeretek
hasonló módon írható, kiemelve annak teljes részét. Következésképpen az összes tört lineáris függvény grafikonja hiperbola, különféle módon eltolva a koordinátatengelyekkel párhuzamosan, és az Oy tengely mentén kifeszítve.

3. példa

Ábrázoljuk a függvényt
.Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elég megkeresni azokat az egyeneseket, amelyekhez ágai (aszimptotái) közelednek, és még néhány pontot. Először keressük meg a függőleges aszimptotát. A függvény nincs definiálva, ahol 2x+2=0, azaz. x=-1-nél. Ezért a függőleges aszimptota az x = -1 egyenes. A vízszintes aszimptota megtalálásához meg kell nézni, hogy a függvényértékek mit közelítenek, amikor az argumentum nő (abszolút értékben), a második tag a tört számlálójában és nevezőjében
viszonylag kicsi. azért

Ezért a vízszintes aszimptota az y=3/2 egyenes. Határozzuk meg hiperbolánk metszéspontjait a koordinátatengelyekkel. Ha x=0, akkor y=5/2. A függvény akkor egyenlő nullával, ha 3x+5=0, azaz. x = -5/3-nál A rajzon a (-5/3;0) és (0;5/2) pontok megjelölése és a talált vízszintes és függőleges aszimptoták megrajzolása után grafikont készítünk (4. ábra). .

Általában a vízszintes aszimptota megtalálásához el kell osztani a számlálót a nevezővel, ekkor y=3/2+1/(x+1), y=3/2 a vízszintes aszimptota.

2. Tört racionális függvény

Tekintsük a tört racionális függvényt

Amelyben a számláló és a nevező n-edik, illetve m-edik fokú polinomok. Legyen a tört megfelelő tört (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Ahol k 1 ... k s az m 1 ... m s multiplicitású Q (x) polinom gyökei, a trinomiálisok pedig az m 1 ... multiplicitású Q (x) komplex gyökök konjugációs párjainak felelnek meg. . a forma törtjei

Hívott elemi racionális törtek az első, második, harmadik és negyedik típus. Itt A, B, C, k valós számok; m és m - természetes számok, m, m>1; egy x 2 +px+q valós együtthatójú trinomnak imaginárius gyökei vannak. Nyilvánvaló, hogy egy tört-racionális függvény grafikonja megkapható elemi törtek gráfjainak összegeként. Egy függvény grafikonja

Az 1/x m (m~1, 2, ...) függvény grafikonjából az abszcissza tengely mentén │k│ skálaegységekkel jobbra párhuzamos transzlációt kapunk. Az alak függvényének grafikonja

Könnyen megszerkeszthető, ha a nevezőben kijelölünk egy teljes négyzetet, majd ennek megfelelően elkészítjük az 1/x 2 függvény grafikonját. Függvény ábrázolása

két függvény grafikonjainak szorzatának megszerkesztéséhez vezet:

y= Bx+ CÉs

Megjegyzés. Függvény ábrázolása

Ahol a d-b c 0 ,
,

ahol n egy természetes szám, a függvény tanulmányozása és a gráf felépítése általános séma szerint hajtható végre, néhány konkrét példában sikeresen szerkeszthet gráfot a gráf megfelelő transzformációinak végrehajtásával; A legjobb módot a felsőbb matematika módszerei biztosítják. 1. példaÁbrázolja a függvényt

Miután elkülönítettük az egész részt, megvan

Frakció
Képzeljük el elemi törtek összegeként:

Készítsünk függvénygrafikonokat:

A grafikonok összeadása után megkapjuk az adott függvény grafikonját:

A 6., 7., 8. ábra függvénygráfok készítésére mutat be példákat
És
. 2. példa Függvény ábrázolása
:

(1);
(2);
(3); (4)

3. példa Egy függvény grafikonjának ábrázolása

(1);
(2);
(3); (4)

Következtetés

Absztrakt munka elvégzése során: - tisztázta a tört-lineáris és a tört-racionális függvények fogalmát: 1. definíció. A lineáris törtfüggvény formájú függvény, ahol x egy változó, a, b, c és d adott számok, ahol c≠0 és bc-ad≠0. 2. definíció. A tört racionális függvény az alak függvénye

Ahol n

Létrehozott egy algoritmust ezen függvények grafikonjainak ábrázolására;

Tapasztalatot szerzett olyan függvények ábrázolásában, mint pl.

;

Megtanultam további szakirodalommal és anyagokkal dolgozni, tudományos információkat válogatni - tapasztalatot szereztem a grafikus munka elvégzésében - megtanultam problémaalapú absztrakt munkákat írni;

Annotáció. A 21. század előestéjén az információs autópályáról és a technológia közelgő korszakáról szóló beszédek és találgatások végtelen folyama bombázott bennünket.

A 21. század előestéjén az információs autópályáról és a technológia közelgő korszakáról szóló beszédek és találgatások véget nem érő folyamai bombáztak bennünket.

A választható kurzusok a középiskolások oktatási, kognitív és oktatási-kutatói tevékenységének egyik szervezési formája.

Dokumentum

Ez a gyűjtemény az ötödik szám, amelyet a Moszkvai Városi Pedagógiai Gimnázium-Laboratórium 1505. sz. csapata készítette el …… támogatásával.

Matematika és tapasztalat

Könyv

A dolgozat a matematika és a tapasztalat kapcsolatának különböző megközelítéseinek nagyszabású összehasonlítására tesz kísérletet, amelyek főleg az apriorizmus és az empirizmus keretei között alakultak ki.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete