Hogyan kell megoldani a négyzetes logaritmusokat. Másodfokú egyenletek a logaritmushoz képest és egyéb nem szabványos technikák

Tudniillik a kifejezések hatványokkal való szorzásakor a kitevőik mindig összeadódnak (a b *a c = a b+c). Ezt a matematikai törvényt Arkhimédész vezette le, majd később, a 8. században Virasen matematikus elkészítette az egész kitevők táblázatát. Ők voltak azok, akik a logaritmusok további felfedezését szolgálták. Szinte mindenhol találunk példákat ennek a függvénynek a használatára, ahol egyszerű összeadással kell leegyszerűsíteni a nehézkes szorzást. Ha 10 percet tölt ennek a cikknek a elolvasásával, elmagyarázzuk Önnek, mik azok a logaritmusok, és hogyan kell velük dolgozni. Egyszerű és érthető nyelven.

Definíció a matematikában

A logaritmus a következő formájú kifejezés: log a b=c, azaz bármely nem negatív szám (vagyis bármely pozitív) „b” logaritmusa az „a” bázisához a „c” hatvány. ”, amelyre az „a” alapot fel kell emelni, hogy végül megkapjuk a „b” értéket. Elemezzük a logaritmust példákon keresztül, mondjuk van egy log 2 kifejezés 8. Hogyan találjuk meg a választ? Nagyon egyszerű, olyan hatványt kell találnod, hogy 2-től a szükséges teljesítményig 8-at kapj. Néhány fejben végzett számítás után megkapjuk a 3-as számot! És ez igaz, mert a 2 a 3 hatványára 8-nak adja a választ.

A logaritmusok fajtái

Sok diák számára ez a téma bonyolultnak és érthetetlennek tűnik, de valójában a logaritmusok nem olyan ijesztőek, a lényeg az, hogy megértsük általános jelentésüket, és emlékezzünk tulajdonságaikra és néhány szabályra. A logaritmikus kifejezéseknek három különböző típusa van:

1. Természetes logaritmus ln a, ahol az alap az Euler-szám (e = 2,7).
2. Tizedes a, ahol az alap 10.
3. Bármely b szám logaritmusa a>1 bázishoz.

Mindegyiket szabványos módon oldják meg, beleértve az egyszerűsítést, a redukciót és az azt követő redukciót egyetlen logaritmusra logaritmikus tételek segítségével. A logaritmusok helyes értékeinek megszerzéséhez emlékeznie kell tulajdonságaikra és a műveletek sorrendjére a megoldásuk során.

Szabályok és néhány korlátozás

A matematikában több olyan szabály-megkötés létezik, amelyeket axiómaként fogadnak el, vagyis nem vita tárgya, és ez az igazság. Például lehetetlen a számokat nullával osztani, és a negatív számok páros gyökét sem lehet kivonni. A logaritmusoknak is megvannak a saját szabályai, amelyek betartásával könnyedén megtanulhatod, hogyan kell dolgozni még hosszú és terjedelmes logaritmikus kifejezésekkel is:

• Az „a” alapnak mindig nagyobbnak kell lennie nullánál, és nem egyenlő 1-gyel, különben a kifejezés értelmét veszti, mert az „1” és a „0” bármilyen mértékben mindig megegyezik az értékükkel;
• ha a > 0, akkor a b >0, akkor kiderül, hogy „c”-nek is nagyobbnak kell lennie nullánál.

Hogyan lehet logaritmusokat megoldani?

Például az a feladat, hogy megtaláljuk a választ a 10 x = 100 egyenletre. Ez nagyon egyszerű, ki kell választani egy hatványt a tízes szám emelésével, amelyre 100-at kapunk. Ez természetesen 10 2 = 100.

Most ábrázoljuk ezt a kifejezést logaritmikus formában. Log 10 100 = 2-t kapunk. A logaritmusok megoldása során gyakorlatilag minden művelet konvergál, hogy megtalálja azt a hatványt, amelyre a logaritmus alapját kell megadni egy adott szám megszerzéséhez.

Az ismeretlen fok értékének pontos meghatározásához meg kell tanulnia, hogyan kell dolgozni egy foktáblázattal. Így néz ki:

Amint látja, néhány kitevő intuitív módon kitalálható, ha rendelkezik technikai elmével és ismeri a szorzótáblát. Nagyobb értékekhez azonban szüksége lesz egy tápasztalra. Azok is használhatják, akik egyáltalán nem tudnak az összetett matematikai témákról. A bal oldali oszlop számokat tartalmaz (a bázis), a felső számsor annak a c hatványnak az értéke, amelyre az a számot emeljük. A metszéspontban a cellák azokat a számértékeket tartalmazzák, amelyek a választ jelentik (a c =b). Vegyük például a legelső 10-es számú cellát, és négyzetre emeljük, megkapjuk a 100-as értéket, amit a két cellánk metszéspontjában jelez. Minden olyan egyszerű és könnyű, hogy még a legigazabb humanista is megérti!

Egyenletek és egyenlőtlenségek

Kiderül, hogy bizonyos feltételek mellett a kitevő a logaritmus. Ezért bármilyen matematikai numerikus kifejezés felírható logaritmikus egyenlőségként. Például a 3 4 =81 felírható 81 4-es 3-as bázis logaritmusaként (log 3 81 = 4). Negatív hatványokra ugyanazok a szabályok: 2 -5 = 1/32 logaritmusként írjuk, log 2 (1/32) = -5-öt kapunk. A matematika egyik legérdekesebb része a „logaritmusok” témája. Az alábbiakban példákat és megoldásokat tekintünk meg az egyenletekre, közvetlenül tulajdonságaik tanulmányozása után. Most nézzük meg, hogyan néznek ki az egyenlőtlenségek, és hogyan lehet megkülönböztetni őket az egyenletektől.

A következő kifejezést adjuk meg: log 2 (x-1) > 3 - ez logaritmikus egyenlőtlenség, mivel az ismeretlen „x” érték a logaritmikus előjel alatt van. És a kifejezésben is két mennyiséget hasonlítanak össze: a kívánt szám logaritmusa a kettőhöz nagyobb, mint a három.

A legfontosabb különbség a logaritmikus egyenletek és az egyenlőtlenségek között az, hogy a logaritmusos egyenletek (például a logaritmus 2 x = √9) egy vagy több konkrét számértéket tartalmaznak a válaszban, míg egy egyenlőtlenség megoldása során mindkét elfogadható tartományt. értékek és a pontok meghatározása ennek a függvénynek a megszakításával történik. Következésképpen a válasz nem egyedi számok egyszerű halmaza, mint az egyenletre adott válaszban, hanem folyamatos számsor vagy számhalmaz.

Alaptételek a logaritmusokról

A logaritmus értékeinek megtalálásával kapcsolatos primitív feladatok megoldása során előfordulhat, hogy tulajdonságai nem ismertek. Amikor azonban logaritmikus egyenletekről vagy egyenlőtlenségekről van szó, mindenekelőtt tisztán kell érteni és a gyakorlatban alkalmazni kell a logaritmus összes alapvető tulajdonságát. Az egyenletekre később tekintünk meg példákat, először nézzük meg részletesebben az egyes tulajdonságokat.

1. A fő azonosság így néz ki: a logaB =B. Csak akkor érvényes, ha a nagyobb, mint 0, nem egyenlő eggyel, és B nagyobb, mint nulla.
2. A szorzat logaritmusa a következő képlettel ábrázolható: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Ebben az esetben a kötelező feltétel: d, s 1 és s 2 > 0; a≠1. Ezt a logaritmikus képletet példákkal és megoldással bizonyíthatja. Legyen log a s 1 = f 1 és log a s 2 = f 2, akkor a f1 = s 1, a f2 = s 2. Azt kapjuk, hogy s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (tulajdonságai fok ), majd definíció szerint: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, amit bizonyítani kellett.
3. A hányados logaritmusa így néz ki: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. A képlet formájú tétel a következő alakot ölti: log a q b n = n/q log a b.

Ezt a képletet „a logaritmus fokának tulajdonságának” nevezik. Hasonlít a közönséges fokok tulajdonságaira, és ez nem meglepő, mert minden matematika természetes posztulátumokon alapul. Nézzük a bizonyítékot.

Legyen log a b = t, kiderül, hogy a t =b. Ha mindkét részt m hatványra emeljük: a tn = b n ;

de mivel a tn = (a q) nt/q = b n, ezért log a q b n = (n*t)/t, majd log a q b n = n/q log a b. A tétel bebizonyosodott.

Példák problémákra és egyenlőtlenségekre

A logaritmusokkal kapcsolatos leggyakoribb problémák az egyenletek és egyenlőtlenségek példái. Szinte minden feladatfüzetben megtalálhatóak, és a matematika vizsgák kötelező részét is képezik. Az egyetemre való belépéshez vagy a matematikai felvételi vizsgák letételéhez tudnia kell, hogyan kell helyesen megoldani az ilyen feladatokat.

Sajnos nincs egyetlen terv vagy séma a logaritmus ismeretlen értékének megoldására és meghatározására, de bizonyos szabályokat minden matematikai egyenlőtlenségre vagy logaritmikus egyenletre alkalmazni lehet. Először is meg kell találnia, hogy a kifejezés leegyszerűsíthető-e vagy általános formára redukálható-e. Leegyszerűsítheti a hosszú logaritmikus kifejezéseket, ha helyesen használja a tulajdonságaikat. Ismerkedjünk meg velük gyorsan.

A logaritmikus egyenletek megoldásánál meg kell határoznunk, hogy milyen típusú logaritmusunk van: egy példakifejezés tartalmazhat természetes logaritmust vagy decimális logaritmust.

Itt vannak példák az ln100, ln1026. Megoldásuk abban rejlik, hogy meg kell határozniuk azt a teljesítményt, amelyre a 10-es alap 100, illetve 1026 lesz. A természetes logaritmusok megoldásához logaritmikus azonosságokat vagy azok tulajdonságait kell alkalmazni. Nézzünk példákat különféle típusú logaritmikus problémák megoldására.

A logaritmusképletek használata: példákkal és megoldásokkal

Tehát nézzünk példákat a logaritmusokkal kapcsolatos alaptételek használatára.

1. A szorzat logaritmusának tulajdonsága olyan feladatokban használható, ahol a b szám nagy értékét egyszerűbb tényezőkre kell bontani. Például log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A válasz 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - mint látható, a logaritmus hatványának negyedik tulajdonságát felhasználva sikerült megoldanunk egy bonyolultnak tűnő és megoldhatatlan kifejezést. Csak az alapot kell figyelembe vennie, majd ki kell vennie a kitevő értékeket a logaritmus előjeléből.

Feladatok az egységes államvizsgáról

A felvételi vizsgákon gyakran megtalálhatók a logaritmusok, különösen sok logaritmikus feladat az egységes államvizsgánál (államvizsga minden érettségizett számára). Ezek a feladatok jellemzően nemcsak az A részben (a vizsga legkönnyebb tesztrésze), hanem a C részben is (a legösszetettebb és legterjedelmesebb feladatok) is jelen vannak. A vizsga megköveteli a „Természetes logaritmusok” témakör pontos és tökéletes ismeretét.

A példák és a problémák megoldásai az Egységes Államvizsga hivatalos verzióiból származnak. Lássuk, hogyan oldják meg az ilyen feladatokat.

Adott log 2 (2x-1) = 4. Megoldás:
írjuk át a kifejezést, kicsit leegyszerűsítve log 2 (2x-1) = 2 2, a logaritmus definíciójával azt kapjuk, hogy 2x-1 = 2 4, tehát 2x = 17; x = 8,5.

• A legjobb az összes logaritmust ugyanarra az alapra redukálni, hogy a megoldás ne legyen nehézkes és zavaró.
• Minden logaritmus előjel alatti kifejezés pozitívnak van jelölve, ezért ha egy olyan kifejezés kitevőjét, amely a logaritmus előjele alatt van és annak bázisaként kivesszük szorzóként, a logaritmus alatt maradó kifejezésnek pozitívnak kell lennie.

Utasítás

Írja fel a megadott logaritmikus kifejezést! Ha a kifejezés a 10-es logaritmust használja, akkor a jelölése lerövidül, és így néz ki: lg b a decimális logaritmus. Ha a logaritmus alapja az e szám, akkor írja be a következő kifejezést: ln b – természetes logaritmus. Nyilvánvaló, hogy bármelyik eredménye az a hatvány, amelyre az alapszámot emelni kell, hogy megkapjuk a b számot.

Két függvény összegének megtalálásakor egyszerűen meg kell különböztetni őket egyenként, és össze kell adni az eredményeket: (u+v)" = u"+v";

Amikor két függvény szorzatának deriváltját megtaláljuk, meg kell szorozni az első függvény deriváltját a másodikkal, és össze kell adni a második függvény deriváltját az első függvény szorzatával: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Ahhoz, hogy megtaláljuk két függvény hányadosának deriváltját, ki kell vonni az osztófüggvény szorzatának szorzatából az osztó deriváltjának az osztófüggvény szorzatának szorzatát, és el kell osztani mindezt az osztófüggvény négyzetével. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ha adott egy komplex függvény, akkor meg kell szorozni a belső függvény deriváltját és a külső függvény deriváltját. Legyen y=u(v(x)), majd y"(x)=y"(u)*v"(x).

A fent kapott eredmények segítségével szinte bármilyen funkciót megkülönböztethet. Lássunk tehát néhány példát:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Problémák merülnek fel a derivált egy ponton történő kiszámításával is. Legyen adott az y=e^(x^2+6x+5) függvény, meg kell találni a függvény értékét az x=1 pontban.
1) Keresse meg a függvény deriváltját: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Számítsa ki a függvény értékét egy adott y pontban"(1)=8*e^0=8

Videó a témáról

Hasznos tanácsok

Ismerje meg az elemi származékok táblázatát. Ezzel jelentősen időt takaríthat meg.

Források:

• egy állandó deriváltja

Tehát mi a különbség az irracionális egyenlet és a racionális egyenlet között? Ha az ismeretlen változó négyzetgyökjel alatt van, akkor az egyenlet irracionálisnak tekinthető.

Utasítás

Az ilyen egyenletek megoldásának fő módszere a két oldal felépítésének módszere egyenletek egy négyzetbe. Viszont. ez természetes, az első dolog, amit meg kell tennie, hogy megszabaduljon a jeltől. Ez a módszer technikailag nem bonyolult, de néha bajhoz vezethet. Például az egyenlet v(2x-5)=v(4x-7). Mindkét oldal négyzetre emelésével 2x-5=4x-7 kapsz. Egy ilyen egyenlet megoldása nem nehéz; x=1. De az 1-es számot nem adják meg egyenletek. Miért? Helyettesíts be egyet az egyenletbe az x értéke helyett, és a jobb és a bal oldal olyan kifejezéseket tartalmaz, amelyeknek nincs értelme, azaz. Ez az érték nem érvényes négyzetgyökre. Ezért az 1 egy idegen gyök, ezért ennek az egyenletnek nincs gyöke.

Tehát egy irracionális egyenletet úgy oldunk meg, hogy mindkét oldalát négyzetre emeljük. És miután megoldotta az egyenletet, le kell vágni az idegen gyökereket. Ehhez cserélje be a talált gyököket az eredeti egyenletbe.

Gondolj egy másikra.
2х+vх-3=0
Természetesen ez az egyenlet megoldható ugyanazzal az egyenlettel, mint az előző. Move Compounds egyenletek, amelyeknek nincs négyzetgyökük, jobb oldalra, majd használjuk a négyzetesítés módszerét. oldja meg a kapott racionális egyenletet és a gyököket. De egy másik, elegánsabb is. Írjon be egy új változót; vх=y. Ennek megfelelően egy 2y2+y-3=0 alakú egyenletet kapunk. Azaz egy közönséges másodfokú egyenlet. Keresse meg a gyökereit; y1=1 és y2=-3/2. Ezután oldjon meg kettőt egyenletek vх=1; vх=-3/2. A második egyenletnek nincs gyöke az elsőből azt találjuk, hogy x=1. Ne felejtse el ellenőrizni a gyökereket.

Az identitások megoldása meglehetősen egyszerű. Ehhez azonos átalakításokat kell végrehajtani a kitűzött cél eléréséig. Így egyszerű aritmetikai műveletek segítségével megoldódik az adott feladat.

Szükséged lesz

• - papír;
• - toll.

Utasítás

Az ilyen transzformációk közül a legegyszerűbbek az algebrai rövidített szorzások (például az összeg négyzete (különbség), a négyzetek különbsége, az összeg (különbség), az összeg kockája (különbség)). Ezen kívül számos trigonometrikus képlet létezik, amelyek lényegében ugyanazok az azonosságok.

Valójában két tag összegének négyzete egyenlő az első négyzetével, plusz az elsőnek a második szorzatának kétszeresével és plusz a második négyzetével, azaz (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Egyszerűsítse mindkettőt

A megoldás általános elvei

Ismételje meg a matematikai elemzés vagy a magasabb matematika tankönyvéből, hogy mi a határozott integrál. Mint ismeretes, a határozott integrál megoldása olyan függvény, amelynek deriváltja egy integrandust ad. Ezt a függvényt antiderivatívnak nevezzük. Ezen elv alapján a főintegrálokat megszerkesztjük.
Határozzuk meg az integrandus típusával, hogy melyik táblázatintegrál alkalmas ebben az esetben. Ezt nem mindig lehet azonnal megállapítani. A táblázatos forma gyakran csak az integrandus egyszerűsítése érdekében történő többszöri átalakítás után válik észrevehetővé.

Változócsere módszere

Ha az integrandus egy trigonometrikus függvény, amelynek argumentuma egy polinom, akkor próbálja meg a változók változási módszerét használni. Ennek érdekében cserélje ki az integrandus argumentumában szereplő polinomot valamilyen új változóra. Az új és a régi változók kapcsolata alapján határozza meg az integráció új határait. Ennek a kifejezésnek a megkülönböztetésével keresse meg az új differenciált a -ban. Így az előző integrál új alakját kapja, amely közel van, vagy akár megfelel valamelyik táblázatosnak.

Második típusú integrálok megoldása

Ha az integrál egy második típusú integrál, az integrandus vektoralakja, akkor ezekről az integrálokról a skalárisokra való átmenet szabályait kell használnia. Az egyik ilyen szabály az Ostrogradsky-Gauss reláció. Ez a törvény lehetővé teszi, hogy egy adott vektorfüggvény rotorfluxusától a hármas integrálig térjünk át egy adott vektormező divergenciáján.

Az integrációs korlátok helyettesítése

Az antiderivált megtalálása után pótolni kell az integráció határait. Először cserélje be a felső határ értékét az antiderivált kifejezésbe. Kapsz egy számot. Ezután a kapott számból vonjunk ki egy másik számot, amelyet az alsó határból kapunk az antideriváltba. Ha az integráció egyik határa a végtelen, akkor az antiderivatív függvénybe való behelyettesítéskor el kell menni a határig, és meg kell találni, hogy a kifejezés mire irányul.
Ha az integrál kétdimenziós vagy háromdimenziós, akkor geometriailag kell ábrázolnia az integráció határait, hogy megértse, hogyan kell kiértékelni az integrált. Valóban, mondjuk egy háromdimenziós integrál esetében az integráció határai lehetnek egész síkok, amelyek korlátozzák az integrálandó térfogatot.

A logaritmusok, mint minden szám, minden módon összeadhatók, kivonhatók és átalakíthatók. De mivel a logaritmusok nem egészen közönséges számok, itt vannak szabályok, amelyeket hívunk főbb tulajdonságait.

Ezeket a szabályokat feltétlenül ismerni kell – nélkülük egyetlen komoly logaritmikus probléma sem oldható meg. Ráadásul nagyon kevés van belőlük – egy nap alatt mindent megtanulhatsz. Tehát kezdjük.

Logaritmusok összeadása és kivonása

Tekintsünk két azonos bázisú logaritmust: log a xés naplózza a y. Ezután összeadhatók és kivonhatók, és:

1. log a x+ napló a y=napló a (x · y);
2. log a x− log a y=napló a (x : y).

Tehát a logaritmusok összege egyenlő a szorzat logaritmusával, a különbség pedig a hányados logaritmusával. Kérjük, vegye figyelembe: a kulcspont itt az azonos indokok. Ha az okok eltérőek, ezek a szabályok nem működnek!

Ezek a képletek segítenek a logaritmikus kifejezés kiszámításában még akkor is, ha annak egyes részeit nem veszi figyelembe (lásd a „Mi a logaritmus” című leckét). Vessen egy pillantást a példákra, és nézze meg:

6 4 napló + 6 9 napló.

Mivel a logaritmusoknak ugyanazok az alapjai, az összegképletet használjuk:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Feladat. Keresse meg a következő kifejezés értékét: log 2 48 − log 2 3.

Az alapok ugyanazok, a különbségi képletet használjuk:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 3 135 − log 3 5.

Az alapok ismét ugyanazok, tehát van:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Amint látható, az eredeti kifejezések „rossz” logaritmusokból állnak, amelyeket nem számítanak ki külön. De az átalakítások után teljesen normális számokat kapunk. Számos teszt ezen a tényen alapul. Igen, a tesztszerű kifejezéseket teljes komolysággal kínálják (néha gyakorlatilag változtatás nélkül) az egységes államvizsgán.

A kitevő kinyerése a logaritmusból

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Mi van akkor, ha a logaritmus alapja vagy argumentuma hatvány? Ekkor ennek a foknak a kitevője kivehető a logaritmus előjeléből a következő szabályok szerint:

Könnyen belátható, hogy az utolsó szabály követi az első kettőt. De jobb, ha emlékezni rá - bizonyos esetekben jelentősen csökkenti a számítások mennyiségét.

Természetesen ezeknek a szabályoknak van értelme, ha betartják a logaritmus ODZ-jét: a > 0, a ≠ 1, x> 0. És még valami: tanulj meg minden képletet nemcsak balról jobbra haladni, hanem fordítva is, pl. Magába a logaritmusba beírhatja a logaritmusjel előtti számokat. Leggyakrabban erre van szükség.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 7 49 6 .

Megszabadulunk az argumentum fokától az első képlet segítségével:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

[Felirat a képhez]

Figyeljük meg, hogy a nevező logaritmust tartalmaz, melynek alapja és argumentuma pontos hatványok: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nálunk:

[Felirat a képhez]

Azt hiszem, az utolsó példa némi pontosítást igényel. Hová tűntek a logaritmusok? Az utolsó pillanatig csak a nevezővel dolgozunk. Az ott álló logaritmus alapját és argumentumát hatványok formájában mutattuk be, és kivettük a kitevőket - „három emeletes” törtet kaptunk.

Most nézzük a fő tört. A számláló és a nevező ugyanazt a számot tartalmazza: log 2 7. Mivel log 2 7 ≠ 0, a törtet csökkenthetjük - a 2/4 a nevezőben marad. A számtan szabályai szerint a négyet át lehet vinni a számlálóba, ez meg is történt. Az eredmény a válasz: 2.

Átállás egy új alapra

A logaritmusok összeadási és kivonási szabályairól szólva külön hangsúlyoztam, hogy ezek csak azonos alapokkal működnek. Mi van, ha az okok eltérőek? Mi van, ha nem ugyanazon szám hatványai?

Az új alapra való átállás képletei jönnek a segítségre. Fogalmazzuk meg őket tétel formájában:

Legyen adott a logaritmus log a x. Aztán bármilyen számra c olyan hogy c> 0 és c≠ 1, az egyenlőség igaz:

[Felirat a képhez]

Különösen, ha feltesszük c = x, kapunk:

[Felirat a képhez]

A második képletből az következik, hogy a logaritmus alapja és argumentuma felcserélhető, de ebben az esetben a teljes kifejezés „megfordul”, azaz. a logaritmus a nevezőben jelenik meg.

Ezek a képletek ritkán találhatók meg a közönséges numerikus kifejezésekben. Csak logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál lehet értékelni, hogy mennyire kényelmesek.

Vannak azonban olyan problémák, amelyeket egyáltalán nem lehet megoldani, csak egy új alapítványhoz költözni. Lássunk egy párat ezek közül:

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 5 16 log 2 25.

Vegye figyelembe, hogy mindkét logaritmus argumentuma pontos hatványokat tartalmaz. Vegyük ki a mutatókat: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Most „fordítsuk meg” a második logaritmust:

[Felirat a képhez]

Mivel a szorzat a faktorok átrendezésénél nem változik, nyugodtan szoroztunk négyet és kettőt, majd a logaritmusokkal foglalkoztunk.

Feladat. Keresse meg a kifejezés értékét: log 9 100 lg 3.

Az első logaritmus alapja és argumentuma pontos hatványok. Írjuk le, és szabaduljunk meg a mutatóktól:

[Felirat a képhez]

Most pedig szabaduljunk meg a decimális logaritmustól úgy, hogy új bázisra lépünk:

[Felirat a képhez]

Alapvető logaritmikus azonosság

A megoldási folyamat során gyakran szükséges egy számot egy adott bázis logaritmusaként ábrázolni. Ebben az esetben a következő képletek segítenek nekünk:

Az első esetben a szám n az érvelés fokának jelzőjévé válik. Szám n teljesen bármi lehet, mert ez csak egy logaritmus érték.

A második képlet valójában egy átfogalmazott definíció. Így hívják: az alapvető logaritmikus azonosság.

Valójában mi lesz, ha a szám b emeljük olyan hatványra, hogy a szám b ehhez a hatványhoz adja a számot a? Így van: ugyanazt a számot kapja a. Olvassa el újra figyelmesen ezt a bekezdést – sokan elakadnak rajta.

Az új bázisra való átállás képleteihez hasonlóan néha az alapvető logaritmikus azonosság az egyetlen lehetséges megoldás.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

[Felirat a képhez]

Jegyezzük meg, hogy log 25 64 = log 5 8 - egyszerűen a logaritmus alapjából és argumentumából vette a négyzetet. Figyelembe véve a hatványok azonos bázisú szorzásának szabályait, a következőket kapjuk:

[Felirat a képhez]

Ha valaki nem tudná, ez egy igazi feladat volt az egységes államvizsgáról :)

Logaritmikus egység és logaritmikus nulla

Befejezésül két tulajdonságnak aligha nevezhető azonosságot mondok, hanem a logaritmus definíciójának következményei. Folyamatosan megjelennek a problémákban, és meglepő módon még a „haladó” tanulók számára is problémákat okoznak.

1. log a a= 1 egy logaritmikus egység. Emlékezz egyszer s mindenkorra: logaritmus bármilyen bázisra a ettől az alaptól egyenlő eggyel.
2. log a 1 = 0 logaritmikus nulla. Bázis a bármi lehet, de ha az argumentum egyet tartalmaz, akkor a logaritmus egyenlő nullával! Mert a A 0 = 1 a definíció egyenes következménye.

Ennyi az összes tulajdonság. Gyakorold ezek gyakorlatba ültetését! Töltse le a csalólapot a lecke elején, nyomtassa ki, és oldja meg a problémákat.

Egy pozitív b szám logaritmusa a bázishoz (a>0, a nem egyenlő 1-gyel) egy c szám, így a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Vegye figyelembe, hogy a nem pozitív számok logaritmusa nincs meghatározva. Ezenkívül a logaritmus alapjának egy pozitív számnak kell lennie, amely nem egyenlő 1-gyel. Ha például a -2-t négyzetre vetjük, akkor a 4-et kapjuk, de ez nem jelenti azt, hogy a 4-es -2-es bázis logaritmusa egyenlő 2-hez.

Alapvető logaritmikus azonosság

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Fontos, hogy ennek a képletnek a jobb és bal oldalának meghatározása eltérő. A bal oldal csak b>0, a>0 és a ≠ 1 esetén van definiálva. A jobb oldal bármely b esetén definiálva van, és egyáltalán nem függ a-tól. Így az alapvető logaritmikus „azonosság” alkalmazása egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során az OD változásához vezethet.

A logaritmus meghatározásának két nyilvánvaló következménye

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Valóban, amikor az a számot az első hatványra emeljük, ugyanazt a számot kapjuk, ha pedig nulla hatványra emeljük, akkor egyet kapunk.

A szorzat logaritmusa és a hányados logaritmusa

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Szeretném óva inteni az iskolásokat attól, hogy ezeket a képleteket meggondolatlanul használják logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása során. Ha „balról jobbra” használja őket, az ODZ szűkül, és amikor a logaritmusok összegéről vagy különbségéről a szorzat vagy hányados logaritmusára lépünk, az ODZ kitágul.

Valójában a log a (f (x) g (x)) kifejezés két esetben van definiálva: amikor mindkét függvény szigorúan pozitív, vagy ha f(x) és g(x) egyaránt kisebb, mint nulla.

Ezt a kifejezést a log a f (x) + log a g (x) összegre alakítva kénytelenek vagyunk csak arra az esetre korlátozódni, amikor f(x)>0 és g(x)>0. Az elfogadható értékek köre szűkül, és ez kategorikusan elfogadhatatlan, mivel megoldások elvesztéséhez vezethet. Hasonló probléma áll fenn a (6) képletnél.

A fokszám kivehető a logaritmus előjeléből

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

És ismét szeretném felhívni a pontosságot. Tekintsük a következő példát:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Az egyenlőség bal oldala nyilvánvalóan minden f(x) értékre definiálva van, kivéve a nullát. A jobb oldal csak f(x)>0-ra vonatkozik! Ha kivesszük a fokot a logaritmusból, akkor ismét leszűkítjük az ODZ-t. A fordított eljárás az elfogadható értékek tartományának kiterjesztéséhez vezet. Mindezek a megjegyzések nemcsak a 2. hatványra vonatkoznak, hanem minden páros hatványra is.

Képlet az új alapra költözéshez

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Az a ritka eset, amikor az ODZ nem változik az átalakítás során. Ha bölcsen választotta a c bázist (pozitív és nem egyenlő 1-gyel), az új bázisra költözés képlete teljesen biztonságos.

Ha a b számot választjuk új c alapnak, akkor a (8) képlet fontos speciális esetét kapjuk:

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Néhány egyszerű példa logaritmussal

Példa 1. Számítsa ki: log2 + log50.
Megoldás. log2 + log50 = log100 = 2. A logaritmusok összege (5) képletét és a decimális logaritmus definícióját használtuk.

2. példa Számítsa ki: lg125/lg5.
Megoldás. log125/log5 = log 5 125 = 3. Az új bázisra lépés képletét (8) használtuk.

A logaritmusokhoz kapcsolódó képletek táblázata

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció állami szerveinek nyilvános kérelmei vagy kérései alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete