Hogyan adjunk össze összetett törteket. Vegyes törtek kivonása eltérő nevezőkkel

Különféle műveleteket hajthat végre a törtekkel, például törtek hozzáadásával. A frakciók összeadása több típusra osztható. A törtek összeadásának minden típusának megvannak a saját szabályai és cselekvési algoritmusai. Nézzük meg részletesen az egyes kiegészítések típusait.

Hasonló nevezőt tartalmazó törtek hozzáadása.

Nézzünk egy példát arra, hogyan adjunk hozzá közös nevezővel rendelkező törteket.

A turisták kirándultak A pontból E pontba. Az első napon A pontból B-be vagy \(\frac(1)(5)\) sétáltak az egész utat. A második napon B pontból D-be vagy \(\frac(2)(5)\) gyalog mentek az egész úton. Milyen messzire mentek az út elejétől a D pontig?

Az A pont és a D pont közötti távolság meghatározásához össze kell adni a \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\ törteket.

A hasonló nevezőt tartalmazó törtek összeadása azt jelenti, hogy hozzá kell adni ezeknek a törteknek a számlálóit, de a nevező változatlan marad.

\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)

Szó szerinti formában az azonos nevezővel rendelkező törtek összege így fog kinézni:

\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)

Válasz: a turisták az egész utat \(\frac(3)(5)\) gyalogolták.

Különböző nevezőjű törtek összeadása.

Nézzünk egy példát:

Két törtet kell hozzáadnia: \(\frac(3)(4)\) és \(\frac(2)(7)\).

Különböző nevezőjű törtek hozzáadásához először meg kell találnia, majd használja a szabályt a hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadásához.

A 4-es és 7-es nevezőknél a közös nevező a 28. Az első tört \(\frac(3)(4)\) 7-tel meg kell szorozni. A második tört \(\frac(2)(7)\ ) meg kell szorozni 4-gyel.

\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(piros) (7) + 2 \times \color(piros) (4))(4 \ alkalommal \szín(piros) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)

Szó szerinti formában a következő képletet kapjuk:

\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)

Vegyes számok vagy vegyes törtek hozzáadása.

Az összeadás az összeadás törvénye szerint történik.

Vegyes törtek esetén az egész részeket az egész részekkel, a tört részeket a törtekkel adjuk hozzá.

Ha a vegyes számok törtrészeinek nevezője azonos, akkor a számlálókat összeadjuk, de a nevező változatlan marad.

Adjuk össze a \(3\frac(6)(11)\) és \(1\frac(3)(11)\ vegyes számokat.

\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\szín(piros) (3) + \szín(kék) (\frac(6)(11))) + ( \szín(piros) (1) + \szín(kék) (\frac(3)(11))) = (\szín(piros) (3) + \szín(piros) (1)) + (\szín( kék) (\frac(6)(11)) + \szín(kék) (\frac(3)(11))) = \szín(piros)(4) + (\szín(kék) (\frac(6) + 3)(11))) = \szín(piros)(4) + \szín(kék) (\frac(9)(11)) = \szín(piros)(4) \szín(kék) (\frac (9) (11))\)

Ha a vegyes számok törtrészeinek különböző nevezője van, akkor megtaláljuk a közös nevezőt.

Végezzük el a \(7\frac(1)(8)\) és \(2\frac(1)(6)\ vegyes számok összeadását.

A nevező eltérő, ezért meg kell találnunk a közös nevezőt, ez egyenlő 24-gyel. Az első törtet \(7\frac(1)(8)\) szorozzuk meg további 3-mal, a második törtet pedig \( 2\frac(1)(6)\) 4-gyel.

\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(piros) (3) ) = 2\frac(1\szer \szín(piros) (4))(6\szín(piros) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)

Kapcsolódó kérdések:
Hogyan adjunk törteket?
Válasz: először el kell döntenie, hogy milyen típusú kifejezésről van szó: a törtek azonos nevezőkkel, különböző nevezőkkel vagy vegyes törtekkel rendelkeznek. A kifejezés típusától függően továbblépünk a megoldási algoritmushoz.

Hogyan lehet megoldani a különböző nevezőjű törteket?
Válasz: meg kell találni a közös nevezőt, majd követni kell az azonos nevezőjű törtek összeadásának szabályát.

Hogyan oldjuk meg a vegyes frakciókat?
Válasz: egész részeket egész számokkal, tört részeket törtekkel adunk hozzá.

1. példa:
Adhat-e megfelelő tört kettő összege? Nem megfelelő tört? Adj rá példákat.

\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)

A \(\frac(5)(7)\) tört egy megfelelő tört, két megfelelő tört \(\frac(2)(7)\) és \(\frac(3) összegének eredménye. (7)\).

\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)

A \(\frac(58)(45)\) tört helytelen tört, a \(\frac(2)(5)\) és a \(\frac(8) megfelelő törtek összegének eredménye. (9)\).

Válasz: Mindkét kérdésre igen a válasz.

2. példa:
Adja hozzá a törteket: a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\) .

a) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)

b) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(piros) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)

3. példa:
Írja fel a vegyes törtet egy természetes szám és egy megfelelő tört összegeként: a) \(1\frac(9)(47)\) b) \(5\frac(1)(3)\)

a) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)

b) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)

4. példa:
Számítsa ki az összeget: a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) ) \) c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)

a) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)

b) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)

c) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2\x3)(5\frac(3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)

1. feladat:
Ebédre \(\frac(8)(11)\)-t ettünk a tortából, este pedig a \(\frac(3)(11)\-t vacsoráztuk. Szerinted a tortát teljesen megették vagy nem?

Megoldás:
A tört nevezője 11, ez jelzi, hány részre osztották a tortát. Ebédre 8 tortát ettünk a 11-ből. Vacsorára 3 tortát ettünk a 11-ből. Adjunk hozzá 8 + 3 = 11-et, 11-ből megettük a tortadarabokat, vagyis az egész tortát.

\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)

Válasz: az egész tortát megették.

Tört számológép A törtekkel végzett műveletek gyors kiszámítására tervezték, így könnyen összeadhat, szorozhat, oszthat vagy kivonhat törteket.

A modern iskolások már az 5. osztályban elkezdik a törtek tanulását, és a velük végzett gyakorlatok évről évre bonyolultabbak. Az iskolában tanult matematikai kifejezések és mennyiségek ritkán lehetnek hasznosak számunkra a felnőtt életben. A törtek azonban, ellentétben a logaritmusokkal és hatványokkal, meglehetősen gyakran megtalálhatók a mindennapi életben (távolságmérés, áruk mérlegelése stb.). Számológépünk a törtekkel végzett gyors műveletekre készült.

Először is határozzuk meg, mik azok a törtek, és mik azok. A törtek egy számnak a másikhoz viszonyított arányát jelentik. Ez egy olyan szám, amely egy egység törteinek egész számából áll.

A törtek típusai:

• Rendes
• Decimális
• Vegyes

Példa közönséges törtek:

A felső érték a számláló, az alsó a nevező. A kötőjel azt mutatja, hogy a felső szám osztható az alsó számmal. Ez az írási formátum helyett, ha a kötőjel vízszintes, másképp írhat. Beállíthat egy ferde vonalat, például:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Tizedesjegyek a legnépszerűbb törttípus. Ezek egy egész részből és egy tört részből állnak, amelyeket vessző választ el.

Példa a tizedes törtekre:

0,2 vagy 6,71 vagy 0,125

Egész számból és tört részből áll. Ennek a törtnek az értékének meghatározásához össze kell adni az egész számot és a törtet.

Példa kevert frakciókra:

A weboldalunkon található törtszámítógép gyorsan képes bármilyen matematikai műveletet elvégezni a törtekkel online:

• Kiegészítés
• Kivonás
• Szorzás
• Osztály

A számítás elvégzéséhez be kell írnia a számokat a mezőkbe, és ki kell választania egy műveletet. Törteknél meg kell adni a számlálót és a nevezőt, ha a tört közönséges, az egész szám nem írható be. Ne felejtsen el az "egyenlő" gombra kattintani.

Kényelmes, hogy a számológép azonnal megadja a példa törtekkel történő megoldásának folyamatát, és nem csak egy kész választ. A részletes megoldásnak köszönhető, hogy ezt az anyagot iskolai problémák megoldására és a tárgyalt anyag jobb elsajátítására használhatja.

El kell végezni a példaszámítást:

Miután beírtuk a mutatókat az űrlapmezőkbe, a következőket kapjuk:

Saját számítás elvégzéséhez adja meg az adatokat az űrlapon.

Tört számológép

Írjon be két törtet:

		+ - * :

Kapcsolódó szakaszok.

Hasonló nevezőkkel rendelkező törtek összeadása és kivonása
Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása
A NOC fogalma
Törtek redukálása ugyanarra a nevezőre
Hogyan adjunk össze egy egész számot és egy törtet

1 Hasonló nevezővel rendelkező törtek összeadása és kivonása

Az azonos nevezőjű törtek hozzáadásához hozzá kell adni a számlálóikat, de a nevezőt változatlannak kell hagyni, például:

Az azonos nevezőjű törtek kivonásához ki kell vonnia a második tört számlálóját az első tört számlálójából, és a nevezőt változatlannak kell hagynia, például:

Vegyes törtek hozzáadásához külön-külön hozzá kell adni az egész részeket, majd hozzá kell adni a törtrészeiket, és az eredményt vegyes törtként kell írni,

Ha törtrészek hozzáadásakor nem megfelelő törtet kap, válassza ki belőle a teljes részt, és adja hozzá a teljes részhez, például:

2 Különböző nevezőjű törtek összeadása és kivonása

A különböző nevezőjű törtek összeadásához vagy kivonásához először ugyanarra a nevezőre kell csökkentenie őket, majd a cikk elején leírtak szerint kell eljárnia. Több tört közös nevezője az LCM (legkisebb közös többszörös). Az egyes törtek számlálójához további tényezőket találunk, ha az LCM-et elosztjuk ennek a törtnek a nevezőjével. Később megnézünk egy példát, miután megértjük, mi az a NOC.

3 Legkisebb közös többszörös (LCM)

Két szám legkisebb közös többszöröse (LCM) az a legkisebb természetes szám, amely maradék nélkül osztható mindkét számmal. Néha az LCM szóban is megtalálható, de gyakrabban, különösen nagy számokkal való munka esetén, írásban kell megtalálnia az LCM-et a következő algoritmus segítségével:

Több szám LCM-jének megtalálásához a következőkre van szüksége:

1. Tényező ezeket a számokat prímtényezőkké
2. Vegyük a legnagyobb bővítést, és írjuk ezeket a számokat szorzatként
3. Jelölje ki a többi bontásban azokat a számokat, amelyek nem szerepelnek a legnagyobb bontásban (vagy kevesebbszer fordulnak elő benne), és add hozzá a szorzathoz.
4. Szorozzuk meg a szorzatban szereplő összes számot, ez lesz az LCM.

Például keressük meg a 28-as és 21-es számok LCM-jét:

4 Törtek redukálása ugyanarra a nevezőre

Térjünk vissza a különböző nevezőjű törtek összeadásához.

Ha a törteket ugyanarra a nevezőre redukáljuk, amely egyenlő mindkét nevező LCM-jével, akkor ezeknek a törteknek a számlálóit meg kell szoroznunk további szorzók. Megtalálhatja őket, ha elosztja az LCM-et a megfelelő tört nevezőjével, például:

Így a törtek ugyanarra a kitevőre való redukálásához először meg kell találnia e törtek nevezőinek LCM-jét (vagyis a legkisebb számot, amely osztható mindkét nevezővel), majd további tényezőket kell hozzáadnia a törtek számlálóihoz. Ezeket úgy találhatja meg, hogy a közös nevezőt (CLD) elosztja a megfelelő tört nevezőjével. Ezután minden tört számlálóját meg kell szoroznia egy további tényezővel, és nevezőként az LCM-et kell megadnia.

5 Egész szám és tört összeadása

Egész szám és tört összeadásához csak ezt a számot kell hozzáadni a tört elé, ami például vegyes törtet eredményez.

Műveletek törtekkel.

Figyelem!
Vannak további
anyagok az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Tehát mik a törtek, a törtek típusai, transzformációk - emlékeztünk. Térjünk rá a fő kérdésre.

Mit lehet csinálni a törtekkel? Igen, minden ugyanaz, mint a közönséges számoknál. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás.

Mindezek a műveletek decimális a törtekkel való munka nem különbözik az egész számokkal való munkavégzéstől. Tulajdonképpen ez a jó bennük, a tizedesjegyek. Az egyetlen dolog, hogy helyesen kell beírnia a vesszőt.

Vegyes számok, mint már mondtam, a legtöbb művelethez nem sok hasznuk van. Még mindig át kell őket alakítani közönséges törtekké.

De a műveletek közönséges törtek ravaszabbak lesznek. És még sokkal fontosabb! Hadd emlékeztesselek: minden olyan művelet, amely törtkifejezéseket tartalmaz betűkkel, szinuszokkal, ismeretlenekkel és így tovább, és így tovább, nem különbözik a közönséges törtekkel végzett műveletektől! A közönséges törtekkel végzett műveletek minden algebra alapját képezik. Ez az oka annak, hogy itt nagyon részletesen elemezzük mindezt az aritmetikát.

Törtek összeadása és kivonása.

A törteket mindenki összeadhatja (kivonhatja) azonos nevezővel (nagyon remélem!). Nos, a teljesen feledékenyeket hadd emlékeztessem: összeadásnál (kivonásnál) a nevező nem változik. A számlálókat összeadjuk (kivonjuk), így megkapjuk az eredmény számlálóját. Típus:

Röviden, általánosságban:

Mi van, ha a nevezők eltérőek? Ezután a tört alaptulajdonságát felhasználva (itt megint jól jön!) a nevezőket azonosra tesszük! Például:

Itt a 2/5-ből a 4/10-es törtet kellett elkészíteni. Kizárólag abból a célból, hogy a nevezők azonosak legyenek. Minden esetre hadd jegyezzem meg, hogy 2/5 és 4/10 ugyanaz a tört! Csak 2/5 kellemetlen számunkra, és 4/10 tényleg rendben van.

Egyébként minden matematikai feladat megoldásának ez a lényege. Amikor mi tőlünk kényelmetlen kifejezéseket csinálunk ugyanaz, de megoldása kényelmesebb.

Egy másik példa:

Hasonló a helyzet. Itt 16-ból 48-at adunk. Egyszerű szorzással 3-mal. Mindez világos. De valami ilyesmivel találkoztunk:

Hogyan legyen?! Hetesből nehéz kilencet csinálni! De okosak vagyunk, ismerjük a szabályokat! Váltsunk át minden tört, hogy a nevezők azonosak legyenek. Ezt hívják „közös nevezőre redukálni”:

Azta! Honnan tudtam a 63-ról? Nagyon egyszerű! A 63 egy olyan szám, amely egyszerre osztható 7-tel és 9-cel. Ilyen szám mindig megkapható a nevezők szorzásával. Ha egy számot megszorozunk például 7-tel, akkor az eredmény biztosan osztható 7-tel!

Ha több törtet kell összeadni (kivonni), akkor ezt nem kell párban, lépésről lépésre megtenni. Csak meg kell találnia az összes törtre közös nevezőt, és minden törtet ugyanarra a nevezőre kell csökkentenie. Például:

És mi lesz a közös nevező? Természetesen megszorozhat 2-t, 4-et, 8-at és 16-ot. 1024-et kapunk. Rémálom. Könnyebb megbecsülni, hogy a 16-os szám tökéletesen osztható 2-vel, 4-gyel és 8-cal. Ezért ezekből a számokból könnyű 16-ot kapni. Ez a szám lesz a közös nevező. Váltsunk 1/2-ből 8/16-ra, 3/4-ből 12/16-ra, és így tovább.

Egyébként ha az 1024-et veszed közös nevezőnek, akkor minden sikerül, a végén minden lecsökken. De nem mindenki jut el idáig, a számítások miatt...

Egészítse ki a példát. Nem valamiféle logaritmus... 29/16-nak kellene lennie.

Szóval a törtek összeadása (kivonása) egyértelmű, remélem? Természetesen egyszerűbb a rövidített változatban dolgozni, további szorzókkal. De ez az öröm azoknak jár, akik becsületesen dolgoztak az alsó tagozaton... És nem felejtettek el semmit.

És most ugyanazokat a műveleteket fogjuk elvégezni, de nem törtekkel, hanem a törtkifejezések. Itt derül ki az új rake, igen...

Tehát két tört kifejezést kell hozzáadnunk:

A nevezőket azonossá kell tennünk. És csak segítséggel szorzás! Ezt diktálja a tört fő tulajdonsága. Ezért nem tudok egyet hozzáadni az X-hez a nevező első törtjében. (az jó lenne!). De ha megszorozod a nevezőket, meglátod, minden összenő! Tehát felírjuk a tört sorát, felül hagyunk egy üres helyet, majd hozzáadjuk, és alá írjuk a nevezők szorzatát, hogy ne felejtsük el:

És persze nem szorozunk semmit a jobb oldalon, nem nyitjuk ki a zárójelet! És most, a jobb oldali közös nevezőt nézve rájövünk: ahhoz, hogy az x(x+1) nevezőt megkapjuk az első törtben, meg kell szorozni ennek a törtnek a számlálóját és nevezőjét (x+1) . És a második frakcióban - x-hez. Ezt kapod:

Jegyzet! Itt vannak a zárójelek! Ez az a gereblye, amelyre sokan rálépnek. Persze nem a zárójeleket, hanem a hiányukat. A zárójelek azért jelennek meg, mert szorozunk minden számláló és minden névadó! És nem az egyes darabjaik...

A jobb oldali számlálóba írjuk a számlálók összegét, minden úgy van, mint a numerikus törtekben, majd a jobb oldali számlálóban nyissuk ki a zárójeleket, i. Mindent megszorozunk és hasonlókat adunk. Nem kell a nevezőkben a zárójelet kinyitni, vagy bármit szorozni! Általában nevezőben (bármilyen) a termék mindig kellemesebb! Kapunk:

Tehát megkaptuk a választ. A folyamat hosszúnak és nehéznek tűnik, de a gyakorlattól függ. Ha egyszer megoldod a példákat, megszokod, minden egyszerűvé válik. Azok, akik kellő időben elsajátították a törteket, ezeket a műveleteket egy bal kézzel, automatikusan elvégzik!

És még egy megjegyzés. Sokan okosan foglalkoznak a törtekkel, de elakadnak a példákon egész számok. Tetszik: 2 + 1/2 + 3/4= ? Hova kell rögzíteni a két darabot? Nem kell sehova rögzíteni, kettőből törtet kell csinálni. Nem könnyű, de nagyon egyszerű! 2=2/1. Mint ez. Bármely egész szám felírható törtként. A számláló maga a szám, a nevező egy. A 7 az 7/1, a 3 a 3/1 és így tovább. Ugyanez a helyzet a betűkkel. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 stb. És akkor ezekkel a törtekkel dolgozunk az összes szabály szerint.

Nos, felfrissült a törtek összeadás és kivonás ismerete. A törtek egyik típusból a másikba való átalakítása megismétlődött. Ellenőrizni is lehet. rendezzük egy kicsit?)

Kiszámítja:

Válaszok (rendetlenségben):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Törtek szorzása/osztása – a következő leckében. Minden törtekkel végzett művelethez vannak feladatok is.

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.

Tekintsük a $\frac63$ törtet. Értéke 2, mivel $\frac63 =6:3 = 2$. Mi történik, ha a számlálót és a nevezőt megszorozzuk 2-vel? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Nyilvánvaló, hogy a tört értéke nem változott, ezért $\frac(12)(6)$ mint y is egyenlő 2-vel. a számlálót és a nevezőt szorozni 3-mal $\frac(18)(9)$, vagy 27-el $\frac(162)(81)$, vagy 101-el $\frac(606)(303)$. Mindegyik esetben annak a törtnek az értéke, amelyet a számlálónak a nevezővel való osztásával kapunk, 2. Ez azt jelenti, hogy nem változott.

Ugyanez a minta figyelhető meg más frakciók esetében is. Ha a $\frac(120)(60)$ (2-vel egyenlő) tört számlálóját és nevezőjét elosztjuk 2-vel (az eredmény: $\frac(60)(30)$), vagy 3-mal (az eredmény: $\frac(40)(20) $), vagy 4-gyel (eredmény $\frac(30)(15)$) és így tovább, akkor a tört értéke minden esetben változatlan és 2-vel egyenlő.

Ez a szabály azokra a törtekre is vonatkozik, amelyek nem egyenlőek egész szám.

Ha a $\frac(1)(3)$ tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 2-vel, akkor $\frac(2)(6)$-t kapunk, vagyis a tört értéke nem változott. És igazából, ha a pitét 3 részre osztod és abból veszed az egyiket, vagy 6 részre osztod és 2 részt veszel, akkor mindkét esetben ugyanannyi pitét kapsz. Ezért a $\frac(1)(3)$ és a $\frac(2)(6)$ számok azonosak. Fogalmazzunk meg egy általános szabályt.

Bármely tört számlálója és nevezője szorozható vagy osztható ugyanazzal a számmal anélkül, hogy a tört értéke megváltozna.

Ez a szabály nagyon hasznosnak bizonyul. Például lehetővé teszi bizonyos esetekben, de nem mindig, a nagy számokkal végzett műveletek elkerülését.

Például eloszthatjuk a $\frac(126)(189)$ tört számlálóját és nevezőjét 63-mal, és megkapjuk a $\frac(2)(3)$ törtet, amivel sokkal könnyebben számolhatunk. Még egy példa. A $\frac(155)(31)$ tört számlálóját és nevezőjét eloszthatjuk 31-gyel, és megkapjuk a $\frac(5)(1)$ vagy 5-öt, mivel 5:1=5.

Ebben a példában találkoztunk először olyan tört, amelynek nevezője 1. Az ilyen törtek fontos szerepet játszanak a számításokban. Emlékeztetni kell arra, hogy bármely szám osztható 1-gyel, és értéke nem változik. Azaz $\frac(273)(1)$ egyenlő 273-mal; $\frac(509993)(1)$ egyenlő: 509993 és így tovább. Ezért nem kell a számokat osztanunk -vel, hiszen minden egész szám 1-es nevezőjű törtként ábrázolható.

Az ilyen törtekkel, amelyeknek a nevezője 1, ugyanazokat a számtani műveleteket hajthatja végre, mint az összes többi törttel: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1 ) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Felmerülhet a kérdés, mire jó, ha egy egész számot törtként ábrázolunk, a vonal alatti egységgel, hiszen kényelmesebb egész számmal dolgozni. De a lényeg az, hogy egy egész szám törtként való ábrázolása lehetőséget ad különböző műveletek hatékonyabb végrehajtására, ha egyszerre egész számokkal és törtekkel is foglalkozunk. Például tanulni adjunk hozzá különböző nevezőjű törteket. Tegyük fel, hogy hozzá kell adnunk $\frac(1)(3)$ és $\frac(1)(5)$.

Tudjuk, hogy csak olyan törteket adhatunk össze, amelyeknek a nevezője egyenlő. Ez azt jelenti, hogy meg kell tanulnunk a törteket olyan formára redukálni, ahol a nevezőik egyenlőek. Ebben az esetben ismét szükségünk lesz arra, hogy egy tört számlálóját és nevezőjét meg tudjuk szorozni ugyanazzal a számmal anélkül, hogy az értékét megváltoztatnánk.

Először is szorozzuk meg a $\frac(1)(3)$ tört számlálóját és nevezőjét 5-tel. $\frac(5)(15)$-t kapunk, a tört értéke nem változott. Ekkor a $\frac(1)(5)$ tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk 3-mal. Kapjuk a $\frac(3)(15)$, a tört értéke ismét nem változott. Ezért $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Most próbáljuk meg alkalmazni ezt a rendszert egész és tört részeket is tartalmazó számok összeadására.

Hozzá kell adnunk $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Először alakítsuk át az összes kifejezést törtté, és kapjuk: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Most az összes törtet közös nevezőre kell hoznunk, ehhez megszorozzuk az első tört számlálóját és nevezőjét 12-vel, a másodiké 4-gyel, a harmadiké pedig 3-mal. Ennek eredményeként $\frac(36) )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, ami egyenlő a $\frac(55)(12)$ értékkel. Ha meg akarsz szabadulni helytelen tört, egész számból és törtből álló számmá alakítható: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ vagy $4\frac(7) )( 12)$.

Minden szabályt, ami megengedi műveletek törtekkel, amelyeket most vizsgáltunk, negatív számok esetén is érvényesek. Tehát a -1: 3 felírható $\frac(-1)(3)$, az 1: (-3) pedig $\frac(1)(-3)$.

Mivel mind a negatív szám pozitív számmal való osztása, mind a pozitív szám negatív számmal való elosztása negatív számokat eredményez, mindkét esetben a válasz negatív szám lesz. Azaz

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ vagy $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. A mínusz jel így írva a teljes törtre vonatkozik, nem pedig külön a számlálóra vagy nevezőre.

Másrészt a (-1) : (-3) felírható $\frac(-1)(-3)$-ként, és mivel egy negatív számot negatív számmal osztva pozitív számot kapunk, akkor $\frac A (-1 )(-3)$ $+\frac(1)(3)$-ként írható fel.

A negatív törtek összeadása és kivonása ugyanazon séma szerint történik, mint a pozitív frakciók összeadása és kivonása. Például mi az a $1-1\frac13$? Jelentsük meg mindkét számot törtként, és kapjuk a $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Hozzuk a törteket közös nevezőre, és kapjuk a $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, azaz $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$ vagy $-\frac(1)(3)$.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete