8/12. oldal

7. § Mozgás egyenletes gyorsulás mellett
egyenes mozgás

1. A sebesség és az idő grafikonja segítségével képletet kaphat a test elmozdulására az egyenletes egyenes vonalú mozgás során.

A 30. ábra az egyenletes mozgás sebességének a tengelyre vetítését mutatja be x időről. Ha valamikor visszaállítjuk az időtengelyre merőlegest C, akkor kapunk egy téglalapot OABC. Ennek a téglalapnak a területe egyenlő az oldalak szorzatával O.A.És O.C.. De oldalhossz O.A. egyenlő v x, és az oldalhossz O.C. - t, innen S = v x t. A sebesség tengelyre vetítésének szorzata x az idő pedig egyenlő az elmozdulás vetületével, azaz. s x = v x t.

És így, az elmozdulás vetülete az egyenletes egyenes vonalú mozgás során numerikusan egyenlő a koordinátatengelyek, a sebességgrafikon és az időtengelyre merőleges téglalap területével.

2. Hasonló módon kapjuk meg a képletet az elmozdulás vetületére egyenes vonalú egyenletesen gyorsított mozgás esetén. Ehhez a sebesség tengelyre vetítésének grafikonját fogjuk használni x időről időre (31. ábra). Válasszunk ki egy kis területet a grafikonon abés dobd le a merőlegeseket a pontokról aÉs b az időtengelyen. Ha D időintervallum t, az oldalnak megfelelő CD az időtengelyen kicsi, akkor feltételezhetjük, hogy ezalatt az idő alatt a sebesség nem változik és a test egyenletesen mozog. Ebben az esetben az ábra cabd alig különbözik a téglalaptól és területe számszerűen egyenlő a test szelvénynek megfelelő időbeli mozgásának vetületével CD.

Az egész ábra ilyen csíkokra osztható OABC, és területe egyenlő lesz az összes sáv területének összegével. Ezért a test mozgásának időbeli vetülete t számszerűen megegyezik a trapéz területével OABC. A geometriai kurzusból tudja, hogy a trapéz területe egyenlő alapjai és magassága összegének felével: S= (O.A. + IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.)O.C..

Amint a 31. ábrán látható, O.A. = v 0x , IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. = v x, O.C. = t. Ebből következik, hogy az eltolási vetületet a következő képlet fejezi ki: s x= (v x + v 0x)t.

Egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgásnál a test sebessége bármely pillanatban egyenlő v x = v 0x + a x t, ennélfogva, s x = (2v 0x + a x t)t.

Innen:

Egy test mozgásegyenletének megszerzéséhez behelyettesítjük a koordinátakülönbségben kifejezett kifejezését az elmozdulási vetületi képletbe s x = x – x 0 .

Kapunk: x – x 0 = v 0x t+, vagy

A mozgásegyenlet segítségével bármikor meghatározható egy test koordinátája, ha ismerjük a test kezdeti koordinátáját, kezdeti sebességét és gyorsulását.

3. A gyakorlatban gyakran előfordulnak olyan problémák, amelyekben egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás során meg kell találni egy test elmozdulását, de a mozgás ideje nem ismert. Ezekben az esetekben más elmozdulási vetületi képletet használnak. Szerezzük meg.

Az egyenletesen gyorsuló egyenes vonalú mozgás sebességének vetületi képletéből v x = v 0x + a x t Mondjuk ki az időt:

t = .

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az eltolási vetületi képletbe, a következőt kapjuk:

s x = v 0x + .

Innen:

s x = , vagy
–= 2a x s x.

Ha a test kezdeti sebessége nulla, akkor:

2a x s x.

4. Példa a probléma megoldására

A síelő nyugalmi állapotból 20 s alatt 0,5 m/s 2 gyorsulással csúszik le a hegyoldalon, majd egy vízszintes szakaszon mozog, miután 40 métert megtett, mekkora gyorsulással haladt vízszintesen felület? Mekkora a hegy lejtőjének hossza?

Kapcsoljuk össze a vonatkoztatási keretet a Földdel, a tengellyel x irányítsuk a síelőt mozgásának minden szakaszában a sebesség irányába (32. ábra).

Írjuk fel a síelő sebességének egyenletét a hegyről való ereszkedés végén:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

A tengelyre vetítésekben x kapunk: v 1x = a 1x t. Mivel a sebesség és a gyorsulás vetületei a tengelyre x pozitívak, a síelő sebességmodulusa egyenlő: v 1 = a 1 t 1 .

Írjunk fel egy egyenletet, amely összeköti a síelő sebességének, gyorsulásának és elmozdulásának vetületeit a második mozgási szakaszban:

–= 2a 2x s 2x .

Figyelembe véve, hogy a síelő kezdeti sebessége a mozgás ezen szakaszában megegyezik az első szakaszban elért végsebességgel

v 02 = v 1 , v 2x= 0 kapunk

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Innen a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s2.

A síelő mozgási modulja a mozgás első szakaszában megegyezik a hegy lejtőjének hosszával. Írjuk fel az elmozdulás egyenletét:

s 1x = v 01x t + .

Ezért a hegy lejtőjének hossza az s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Válasz: a 2 = 0,125 m/s2; s 1 = 100 m.

Önellenőrző kérdések

1. Mint az egyenletes egyenes vonalú mozgás sebességének a tengelyre vetítésének grafikonján x

2. Mint az egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás sebességének a tengelyre vetítésének grafikonján x időről időre meghatározza a test mozgásának vetületét?

3. Milyen képlettel lehet kiszámítani a test elmozdulásának vetületét egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás közben?

4. Milyen képlettel lehet kiszámítani az egyenletesen gyorsulva és egyenesen mozgó test elmozdulásának vetületét, ha a test kezdeti sebessége nulla?

7. feladat

1. Mekkora az autó mozgási modulja 2 perc alatt, ha ezalatt a sebessége 0-ról 72 km/h-ra változott? Mi az autó koordinátája az adott pillanatban t= 2 perc? A kezdeti koordinátát nullával egyenlőnek tekintjük.

2. A vonat 36 km/h kezdeti sebességgel és 0,5 m/s 2 gyorsulással halad. Mekkora a vonat elmozdulása 20 s-ban és a koordinátája az időpillanatban? t= 20 s, ha a vonat kezdeti koordinátája 20 m?

3. Mekkora a kerékpáros elmozdulása a fékezés megkezdése utáni 5 mp-ben, ha fékezés közbeni kezdősebessége 10 m/s, gyorsulása pedig 1,2 m/s 2? Mi a kerékpáros koordinátája az adott pillanatban? t= 5 s, ha az időpont kezdeti pillanatában az origóban volt?

4. Az 54 km/h sebességgel haladó autó 15 másodperces fékezéskor megáll. Mekkora az autó mozgási modulusa fékezés közben?

5. Két, egymástól 2 km-re lévő településről két autó halad egymás felé. Az egyik autó kezdősebessége 10 m/s és a gyorsulása 0,2 m/s 2, a másiké 15 m/s, a gyorsulása 0,2 m/s 2. Határozza meg az autók találkozási helyének idejét és koordinátáit!

1. sz. laboratóriumi munka

Egyenletesen gyorsított vizsgálat
egyenes vonalú mozgás

A munka célja:

megtanulják mérni a gyorsulást egyenletesen gyorsított lineáris mozgás során; kísérleti úton megállapítani a test által megtett utak arányát egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás során egymást követő egyenlő időközökben.

Eszközök és anyagok:

árok, állvány, fémgolyó, stopper, mérőszalag, fémhenger.

Munkarend

1. Rögzítse a csúszda egyik végét az állvány lábába úgy, hogy enyhe szöget zárjon be az asztal felületével. A csúszda másik végére helyezzen bele egy fémhengert.

2. Mérje meg a labda által megtett utakat 3 egymást követő, egyenként 1 másodperces időtartamban. Ezt különböző módon lehet megtenni. Az ereszcsatornára krétajeleket helyezhet el, amelyek rögzítik a labda helyzetét 1 s, 2 s, 3 s időközönként, és mérik a távolságokat s_ e jelek között. Ha minden alkalommal ugyanabból a magasságból engedi el a labdát, megmérheti az utat s, amelyet először 1 s, majd 2 s és 3 s alatt tett meg, majd számítsa ki a labda által megtett utat a második és harmadik másodpercben. A mérési eredményeket rögzítse az 1. táblázatban.

3. Határozza meg a második másodpercben megtett út és az első másodpercben megtett út, valamint a harmadik másodpercben megtett út és az első másodpercben megtett út arányát! Vonja le a következtetést.

4. Mérje meg az időt, ameddig a labda mozog a csúszdán, és a megtett távolságot. Számítsa ki mozgásának gyorsulását a képlet segítségével! s = .

5. A kísérletileg kapott gyorsulási érték felhasználásával számítsa ki, hogy a golyónak mekkora távolságot kell megtennie mozgása első, második és harmadik másodpercében! Vonja le a következtetést.

Asztal 1

A sebesség (v) egy fizikai mennyiség, amely számszerűen egyenlő a test által egységnyi idő alatt (t) megtett úttal.

Pálya

Út (S) - a pálya hossza, amelyen a test elmozdult, számszerűen megegyezik a test sebességének (v) és a mozgási időnek (t) szorzatával.

Vezetési idő

A mozgás ideje (t) egyenlő a test által megtett távolság (S) és a mozgás sebessége (v) arányával.

átlagsebesség

Az átlagsebesség (vср) egyenlő a test által megtett útszakaszok (s 1 s 2, s 3, ...) összegének az időperiódushoz (t 1 + t 2 + t 3 +) viszonyított arányával. ..), amely során ezt az utat bejárták .

átlagsebesség- ez a test által megtett út hosszának és az út megtételének időtartamának aránya.

átlagsebesség egyenes vonalú egyenetlen mozgáshoz: ez a teljes út és a teljes idő aránya.

Két egymást követő szakasz különböző sebességgel: hol

Problémamegoldáskor - hány mozgásszakasz lesz annyi összetevőből:

Az eltolási vektor vetületei a koordináta tengelyekre

Az elmozdulásvektor vetítése az OX tengelyre:

Az eltolási vektor vetítése az OY tengelyre:

Egy vektor vetülete egy tengelyre nulla, ha a vektor merőleges a tengelyre.

Eltolási vetületek jelei: a vetület akkor tekinthető pozitívnak, ha a vektor kezdetének vetületétől a vég vetületéig történő mozgás a tengely irányában történik, és negatívnak, ha a tengely irányában történik. Ebben a példában

Mozgás modul az eltolási vektor hossza:

A Pitagorasz-tétel szerint:

Mozgáskivetítések és dőlésszög

Ebben a példában:

Koordináta egyenlet (általános formában):

Sugár vektor- olyan vektor, amelynek eleje egybeesik a koordináták origójával, a vége pedig a test helyzetével egy adott időpillanatban. A sugárvektor koordinátatengelyekre vetületei határozzák meg a test koordinátáit egy adott időpontban.

A sugárvektor lehetővé teszi egy adott anyagpont helyzetének megadását referenciarendszer:

Egyenletes lineáris mozgás - definíció

Egyenletes lineáris mozgás- olyan mozdulat, amelyben a test bármely egyenlő időtartamon keresztül egyenlő mozgásokat végez.

Sebesség egyenletes lineáris mozgás közben. A sebesség egy vektorfizikai mennyiség, amely megmutatja, hogy egy test mennyi mozgást végez egységnyi idő alatt.

Vektoros formában:

Az OX tengelyre vetítve:

További sebesség mértékegységek:

1 km/h = 1000 m/3600 s,

1 km/s = 1000 m/s,

1 cm/s = 0,01 m/s,

1 m/perc = 1 m/60 s.

A mérőeszköz - sebességmérő - a sebességmodult mutatja.

A sebesség vetületének előjele a sebességvektor irányától és a koordináta tengelyétől függ:

A sebességvetítési grafikon a sebességvetítés időtől való függését mutatja:

Sebességgrafikon az egyenletes lineáris mozgáshoz- az időtengellyel párhuzamos egyenes (1, 2, 3).

Ha a gráf az időtengely (.1) felett helyezkedik el, akkor a test az OX tengely irányába mozog. Ha a grafikon az időtengely alatt helyezkedik el, akkor a test az OX tengely (2, 3) ellenében mozog.

A mozgás geometriai jelentése.

Egyenletes lineáris mozgás esetén az elmozdulást a képlet határozza meg. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha kiszámítjuk az ábra területét a sebességgráf alatt a tengelyekben. Ez azt jelenti, hogy a lineáris mozgás során az elmozdulás útjának és modulusának meghatározásához ki kell számítani az ábra területét a sebességgrafikon alatt a tengelyekben:

Eltolási vetítési grafikon- az elmozdulás vetületének időfüggősége.

Az elmozdulás vetületi grafikonja at egyenletes egyenes vonalú mozgás- a koordináták origójából (1, 2, 3) származó egyenes.

Ha az (1) egyenes az időtengely felett van, akkor a test az OX tengely irányába, ha pedig a (2, 3) tengely alá, akkor az OX tengely irányába mozog.

Minél nagyobb a grafikon meredekségének (1) érintője, annál nagyobb a sebességmodul.

Grafikon koordináták- a test koordinátáinak időfüggősége:

Az egyenletes egyenes vonalú mozgás koordinátáinak grafikonja - egyenesek (1, 2, 3).

Ha a koordináta idővel nő (1, 2), akkor a test az OX tengely irányába mozog; ha a koordináta csökken (3), akkor a test az OX tengely irányával szemben mozog.

Minél nagyobb a dőlésszög tangense (1), annál nagyobb a sebességmodul.

Ha két test koordináta grafikonja metszi egymást, akkor a metszéspontból merőlegeseket kell leengedni az időtengelyre és a koordinátatengelyre.

A mechanikai mozgás relativitáselmélete

A relativitáselmélet alatt azt értjük, hogy valami függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától. Például a béke viszonylagos; a mozgás relatív, a test helyzete pedig relatív.

Az elmozdulások hozzáadásának szabálya. Az elmozdulások vektorösszege

ahol a test mozgása a mozgó vonatkoztatási rendszerhez (MSF) képest; - a PSO mozgása a rögzített referenciarendszerhez (FRS) képest; - a test mozgása egy rögzített vonatkoztatási rendszerhez (FFR) képest.

Vektor kiegészítés:

Egy egyenes mentén irányított vektorok összeadása:

Egymásra merőleges vektorok összeadása

A Pitagorasz-tétel szerint

Vezessünk le egy képletet, amellyel egy egyenes vonalúan és egyenletesen gyorsuló test elmozdulásvektorának vetületét számíthatjuk ki tetszőleges időtartamra. Ehhez lapozzuk át a 14. ábrát. Mind a 14. a ábrán, mind a 14. b ábrán az AC szegmens egy állandó a gyorsulással (kezdeti sebességgel) mozgó test sebességvektorának vetületének grafikonja. v 0).

Rizs. 14. Egy egyenesen és egyenletesen gyorsuló test elmozdulásvektorának vetülete numerikusan egyenlő a gráf alatti S területtel

Emlékezzünk vissza, hogy egy test egyenes vonalú egyenletes mozgása esetén az e test által készített elmozdulásvektor vetületét ugyanaz a képlet határozza meg, mint a sebességvektor vetületének grafikonja alá bezárt téglalap területe. (lásd 6. ábra). Ezért az eltolási vektor vetülete numerikusan egyenlő ennek a téglalapnak a területével.

Bizonyítsuk be, hogy egyenes vonalú egyenletesen gyorsított mozgás esetén az s x elmozdulásvektor vetülete ugyanazzal a képlettel határozható meg, mint az AC gráf, az Ot tengely és az OA és BC szakaszok közé zárt ábra területe. , azaz, mint ebben az esetben, az elmozdulásvektor vetülete számszerűen megegyezik a sebességgrafikon alatti ábra területével. Ehhez az Ot tengelyen (ld. 14. ábra, a) kiválasztunk egy db kis időtartamot. A d és b pontokból merőlegeseket rajzolunk az O tengelyre, amíg az a és c pontokban nem metszik a sebességvektor vetületének grafikonját.

Így a db szakasznak megfelelő időtartam alatt a test sebessége v ax-ról v cx-re változik.

Meglehetősen rövid idő alatt a sebességvektor vetülete nagyon kis mértékben változik. Ezért a test mozgása ebben az időszakban alig különbözik az egyenletes mozgástól, vagyis az állandó sebességű mozgástól.

Az OASV figura teljes területe, amely trapéz, ilyen csíkokra osztható. Következésképpen az sx eltolási vektor vetülete az OB szakasznak megfelelő időtartamra számszerűen megegyezik az OASV trapéz S területével, és ugyanaz a képlet határozza meg, mint ez a terület.

Az iskolai geometria kurzusokban adott szabály szerint a trapéz területe az alapjai és a magassága összegének felének a szorzata. A 14. b ábrából jól látható, hogy az OASV trapéz alapjai az OA = v 0x és BC = v x szakaszok, a magassága pedig az OB = t szakasz. Ennélfogva,

Mivel v x = v 0x + a x t, a S = s x, felírhatjuk:

Így kaptunk egy képletet az elmozdulásvektor vetületének kiszámítására egyenletesen gyorsított mozgás során.

Ugyanezzel a képlettel számoljuk ki az elmozdulásvektor vetületét is, amikor a test csökkenő sebességgel mozog, csak ebben az esetben a sebesség- és gyorsulásvektorok ellentétes irányúak lesznek, így vetületeik eltérő előjelűek lesznek.

Kérdések

1. A 14. a ábra segítségével bizonyítsuk be, hogy az eltolásvektor vetülete egyenletesen gyorsított mozgás közben számszerűen megegyezik az OASV ábra területével.
2. Írjon fel egyenletet egy test elmozdulásvektorának vetületének meghatározására annak egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgása során.

7. gyakorlat

8/12. oldal

7. § Mozgás egyenletes gyorsulás mellett
egyenes mozgás

1. A sebesség és az idő grafikonja segítségével képletet kaphat a test elmozdulására az egyenletes egyenes vonalú mozgás során.

A 30. ábra az egyenletes mozgás sebességének a tengelyre vetítését mutatja be x időről. Ha valamikor visszaállítjuk az időtengelyre merőlegest C, akkor kapunk egy téglalapot OABC. Ennek a téglalapnak a területe egyenlő az oldalak szorzatával O.A.És O.C.. De oldalhossz O.A. egyenlő v x, és az oldalhossz O.C. - t, innen S = v x t. A sebesség tengelyre vetítésének szorzata x az idő pedig egyenlő az elmozdulás vetületével, azaz. s x = v x t.

És így, az elmozdulás vetülete az egyenletes egyenes vonalú mozgás során numerikusan egyenlő a koordinátatengelyek, a sebességgrafikon és az időtengelyre merőleges téglalap területével.

2. Hasonló módon kapjuk meg a képletet az elmozdulás vetületére egyenes vonalú egyenletesen gyorsított mozgás esetén. Ehhez a sebesség tengelyre vetítésének grafikonját fogjuk használni x időről időre (31. ábra). Válasszunk ki egy kis területet a grafikonon abés dobd le a merőlegeseket a pontokról aÉs b az időtengelyen. Ha D időintervallum t, az oldalnak megfelelő CD az időtengelyen kicsi, akkor feltételezhetjük, hogy ezalatt az idő alatt a sebesség nem változik és a test egyenletesen mozog. Ebben az esetben az ábra cabd alig különbözik a téglalaptól és területe számszerűen egyenlő a test szelvénynek megfelelő időbeli mozgásának vetületével CD.

Az egész ábra ilyen csíkokra osztható OABC, és területe egyenlő lesz az összes sáv területének összegével. Ezért a test mozgásának időbeli vetülete t számszerűen megegyezik a trapéz területével OABC. A geometriai kurzusból tudja, hogy a trapéz területe egyenlő alapjai és magassága összegének felével: S= (O.A. + IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.)O.C..

Amint a 31. ábrán látható, O.A. = v 0x , IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. = v x, O.C. = t. Ebből következik, hogy az eltolási vetületet a következő képlet fejezi ki: s x= (v x + v 0x)t.

Egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgásnál a test sebessége bármely pillanatban egyenlő v x = v 0x + a x t, ennélfogva, s x = (2v 0x + a x t)t.

Egy test mozgásegyenletének megszerzéséhez behelyettesítjük a koordinátakülönbségben kifejezett kifejezését az elmozdulási vetületi képletbe s x = x – x 0 .

Kapunk: x – x 0 = v 0x t+, vagy

A mozgásegyenlet segítségével bármikor meghatározhatja egy test koordinátáját, ha ismert a test kezdeti koordinátája, kezdeti sebessége és gyorsulása.

3. A gyakorlatban gyakran előfordulnak olyan problémák, amelyekben egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás során meg kell találni egy test elmozdulását, de a mozgás ideje nem ismert. Ezekben az esetekben más elmozdulási vetületi képletet használnak. Szerezzük meg.

Az egyenletesen gyorsuló egyenes vonalú mozgás sebességének vetületi képletéből v x = v 0x + a x t Mondjuk ki az időt:

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az eltolási vetületi képletbe, a következőt kapjuk:

s x = v 0x + .

s x = , vagy
–= 2a x s x.

Ha a test kezdeti sebessége nulla, akkor:

2a x s x.

4. Példa a probléma megoldására

A síelő nyugalmi állapotból 20 s alatt 0,5 m/s 2 gyorsulással csúszik le a hegyoldalon, majd egy vízszintes szakaszon mozog, miután 40 métert megtett, mekkora gyorsulással haladt vízszintesen felület? Mekkora a hegy lejtőjének hossza?

Kapcsoljuk össze a vonatkoztatási keretet a Földdel, a tengellyel x irányítsuk a síelőt mozgásának minden szakaszában a sebesség irányába (32. ábra).

Írjuk fel a síelő sebességének egyenletét a hegyről való ereszkedés végén:

v 1 = v 01 + a 1 t 1 .

A tengelyre vetítésekben x kapunk: v 1x = a 1x t. Mivel a sebesség és a gyorsulás vetületei a tengelyre x pozitívak, a síelő sebességmodulusa egyenlő: v 1 = a 1 t 1 .

Írjunk fel egy egyenletet, amely összeköti a síelő sebességének, gyorsulásának és elmozdulásának vetületeit a második mozgásszakaszban:

–= 2a 2x s 2x .

Figyelembe véve, hogy a síelő kezdeti sebessége ebben a mozgási szakaszban megegyezik az első szakaszban elért végsebességgel

v 02 = v 1 , v 2x= 0 kapunk

– = –2a 2 s 2 ; (a 1 t 1) 2 = 2a 2 s 2 .

Innen a 2 = ;

a 2 == 0,125 m/s2.

A síelő mozgási modulja a mozgás első szakaszában megegyezik a hegy lejtőjének hosszával. Írjuk fel az elmozdulás egyenletét:

s 1x = v 01x t + .

Ezért a hegy lejtőjének hossza az s 1 = ;

s 1 == 100 m.

Válasz: a 2 = 0,125 m/s2; s 1 = 100 m.

Önellenőrző kérdések

1. Mint az egyenletes egyenes vonalú mozgás sebességének a tengelyre vetítésének grafikonján x

2. Mint az egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás sebességének a tengelyre vetítésének grafikonján x időről időre meghatározza a test mozgásának vetületét?

3. Milyen képlettel lehet kiszámítani a test elmozdulásának vetületét egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás közben?

4. Milyen képlettel lehet kiszámítani az egyenletesen gyorsulva és egyenesen mozgó test elmozdulásának vetületét, ha a test kezdeti sebessége nulla?

7. feladat

1. Mekkora az autó mozgási modulja 2 perc alatt, ha ezalatt a sebessége 0-ról 72 km/h-ra változott? Mi az autó koordinátája az adott pillanatban t= 2 perc? A kezdeti koordinátát nullával egyenlőnek tekintjük.

2. A vonat 36 km/h kezdeti sebességgel és 0,5 m/s 2 gyorsulással halad. Mekkora a vonat elmozdulása 20 s-ban és a koordinátája az időpillanatban? t= 20 s, ha a vonat kezdeti koordinátája 20 m?

3. Mekkora a kerékpáros elmozdulása a fékezés megkezdése utáni 5 mp-ben, ha fékezés közbeni kezdősebessége 10 m/s, gyorsulása pedig 1,2 m/s 2? Mi a kerékpáros koordinátája az adott pillanatban? t= 5 s, ha az időpont kezdeti pillanatában az origóban volt?

4. Az 54 km/h sebességgel haladó autó 15 másodperces fékezéskor megáll. Mekkora az autó mozgási modulusa fékezés közben?

5. Két, egymástól 2 km-re lévő településről két autó halad egymás felé. Az egyik autó kezdősebessége 10 m/s és a gyorsulása 0,2 m/s 2, a másiké 15 m/s, a gyorsulása 0,2 m/s 2. Határozza meg az autók találkozási helyének idejét és koordinátáit!

1. sz. laboratóriumi munka

Egyenletesen gyorsított vizsgálat
egyenes vonalú mozgás

A munka célja:

megtanulják mérni a gyorsulást egyenletesen gyorsított lineáris mozgás során; kísérleti úton megállapítani a test által megtett utak arányát egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás során egymást követő egyenlő időközökben.

Eszközök és anyagok:

árok, állvány, fémgolyó, stopper, mérőszalag, fémhenger.

Munkarend

1. Rögzítse a csúszda egyik végét az állvány lábába úgy, hogy enyhe szöget zárjon be az asztal felületével. A csúszda másik végére helyezzen bele egy fémhengert.

2. Mérje meg a labda által megtett utakat 3 egymást követő, egyenként 1 másodperces időtartamban. Ezt különböző módon lehet megtenni. Az ereszcsatornára krétajeleket helyezhet el, amelyek rögzítik a labda helyzetét 1 s, 2 s, 3 s időközönként, és mérik a távolságokat s_ e jelek között. Ha minden alkalommal ugyanabból a magasságból engedi el a labdát, megmérheti az utat s, amelyet először 1 s, majd 2 s és 3 s alatt tett meg, majd számítsa ki a labda által megtett utat a második és harmadik másodpercben. A mérési eredményeket rögzítse az 1. táblázatban.

3. Határozza meg a második másodpercben megtett út és az első másodpercben megtett út, valamint a harmadik másodpercben megtett út és az első másodpercben megtett út arányát! Vonja le a következtetést.

4. Mérje meg az időt, ameddig a labda mozog a csúszdán, és a megtett távolságot. Számítsa ki mozgásának gyorsulását a képlet segítségével! s = .

5. A kísérletileg kapott gyorsulási érték felhasználásával számítsa ki, hogy a golyónak mekkora távolságot kell megtennie mozgása első, második és harmadik másodpercében! Vonja le a következtetést.

Asztal 1

Hogyan határozható meg a fékút ismeretében az autó kezdeti sebessége, és hogyan határozható meg a mozgás jellemzőinek ismeretében, mint például a kezdeti sebesség, gyorsulás, idő, az autó mozgása? A válaszokat a mai óra témájának megismerése után kapjuk: „Mozgás egyenletesen gyorsuló mozgásnál, koordináták időfüggősége egyenletesen gyorsuló mozgásnál”

Egyenletesen gyorsított mozgás esetén a grafikon felfelé tartó egyenesnek tűnik, mivel a gyorsulási vetülete nagyobb, mint nulla.

Egyenletes egyenes vonalú mozgás esetén a terület számszerűen egyenlő lesz a test mozgásának vetületének moduljával. Kiderül, hogy ez a tény nem csak az egyenletes mozgás esetére általánosítható, hanem bármilyen mozgásra is, vagyis kimutatható, hogy a gráf alatti terület numerikusan egyenlő az eltolási vetület modulusával. Ez szigorúan matematikailag történik, de grafikus módszert fogunk használni.

Rizs. 2. A sebesség és az idő grafikonja egyenletesen gyorsított mozgás esetén ()

Osszuk fel az egyenletesen gyorsított mozgás sebesség és idő vetületének grafikonját kis Δt időintervallumokra. Tételezzük fel, hogy olyan kicsik, hogy a sebesség gyakorlatilag nem változott hosszukban, vagyis az ábrán látható lineáris függés grafikonját feltételesen létrává alakítjuk. Minden lépésnél úgy gondoljuk, hogy a sebesség gyakorlatilag nem változott. Képzeljük el, hogy a Δt időintervallumokat végtelenül kicsivé tesszük. A matematikában azt mondják: áttérünk a határra. Ebben az esetben egy ilyen létra területe végtelenül szorosan egybeesik a trapéz területével, amelyet a V x (t) grafikon korlátoz. Ez azt jelenti, hogy egyenletesen gyorsuló mozgás esetén azt mondhatjuk, hogy az eltolási vetület modulja numerikusan egyenlő a V x (t) grafikon által határolt területtel: az abszcissza és ordináta tengelyekkel, valamint az abszcisszára süllyesztett merőlegessel, a 2. ábrán látható OABC trapéz területe.

A probléma fizikaiból matematikai feladattá válik - a trapéz területének megtalálása. Ez egy szokásos helyzet, amikor a fizikusok létrehoznak egy modellt, amely egy adott jelenséget ír le, majd a matematika lép játékba, egyenletekkel, törvényekkel gazdagítva ezt a modellt - ami a modellt elméletté változtatja.

Megtaláljuk a trapéz területét: a trapéz téglalap alakú, mivel a tengelyek közötti szög 90 0, a trapézt két alakra osztjuk - egy téglalapra és egy háromszögre. Nyilvánvaló, hogy a teljes terület egyenlő lesz ezen ábrák területének összegével (3. ábra). Keressük meg a területeiket: a téglalap területe egyenlő az oldalak szorzatával, azaz V 0x t, a derékszögű háromszög területe egyenlő lesz a lábak szorzatának felével - 1/2AD BD, a vetületek értékeit helyettesítve, a következőt kapjuk: 1/2t (V x - V 0x), és emlékezve a sebesség időbeli változásának törvényére egyenletesen gyorsított mozgás során: V x (t) = V 0x + a x t, teljesen nyilvánvaló, hogy a sebességvetületek különbsége egyenlő az a x gyorsulási vetület t időbeli szorzatával, azaz V x - V 0x = a x t.

Rizs. 3. A trapéz területének meghatározása ( Forrás)

Figyelembe véve azt a tényt, hogy a trapéz területe számszerűen egyenlő az eltolási vetület moduljával, a következőt kapjuk:

S x(t) = V 0 x t + a x t 2 /2

Megkaptuk az elmozdulás vetületének időtől való függésének törvényét az egyenletesen gyorsított mozgás során, vektoros formában, ez így fog kinézni:

(t) = t + t 2/2

Vezessünk egy másik képletet az eltolási vetülethez, amely nem tartalmazza az időt változóként. Oldjuk meg az egyenletrendszert, kihagyva belőle az időt:

S x (t) = V 0 x + a x t 2 /2

V x (t) = V 0 x + a x t

Képzeljük el, hogy az idő számunkra ismeretlen, akkor a második egyenletből fejezzük ki az időt:

t = V x - V 0x / a x

Helyettesítsük be a kapott értéket az első egyenletbe:

Vegyük ezt a nehézkes kifejezést, négyzetre emeljük, és adjunk hasonlókat:

Nagyon kényelmes kifejezést kaptunk a mozgás vetületére arra az esetre, amikor nem ismerjük a mozgás idejét.

Legyen az autó kezdeti sebessége a fékezés megkezdésekor V 0 = 72 km/h, végsebesség V = 0, gyorsulás a = 4 m/s 2 . Határozza meg a fékút hosszát. A kilométereket méterekre konvertálva és a képletben szereplő értékeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy a fékút a következő lesz:

S x = 0-400 (m/s) 2/-2 · 4 m/s 2 = 50 m

Elemezzük a következő képletet:

S x = (V 0 x + V x) / 2 t

Az elmozdulási vetület a kezdeti és végsebesség vetületének fele összege, megszorozva a mozgás idejével. Emlékezzünk vissza az átlagsebesség elmozdulási képletére

S x = V av t

Egyenletesen gyorsított mozgás esetén az átlagos sebesség:

V av = (V 0 + V k) / 2

Közel kerültünk az egyenletesen gyorsuló mozgás mechanikájának fő problémájának megoldásához, vagyis megkapjuk azt a törvényt, amely szerint a koordináta időben változik:

x(t) = x 0 + V 0 x t + a x t 2 /2

Annak érdekében, hogy megtanuljuk, hogyan kell használni ezt a törvényt, elemezzünk egy tipikus problémát.

A nyugalmi helyzetből induló autó 2 m/s 2 gyorsulást ér el. Keresse meg az autó által 3 másodpercben és egy harmadik másodpercben megtett távolságot.

Adott: V 0 x = 0

Írjuk fel azt a törvényt, amely szerint az elmozdulás az idő függvényében változik

egyenletesen gyorsuló mozgás: S x = V 0 x t + a x t 2 /2. 2 s

A probléma első kérdésére az adatok megadásával válaszolhatunk:

t 1 = 3 c S 1x = a x t 2 /2 = 2 3 2 / 2 = 9 (m) - ez a megtett út

c autó 3 másodperc alatt.

Nézzük meg, mennyit tett meg 2 másodperc alatt:

S x (2 s) = a x t 2 /2 = 2 2 2 / 2 = 4 (m)

Tehát te és én tudjuk, hogy két másodperc alatt az autó 4 métert tett meg.

Nos, ennek a két távolságnak a ismeretében megtalálhatjuk azt az utat, amelyet a harmadik másodpercben megtett:

S 2x = S 1x + S x (2 s) = 9 - 4 = 5 (m)

Egyenletesen gyorsított mozgás Olyan mozgást nevezünk, amelyben a gyorsulási vektor nagysága és iránya változatlan marad. Ilyen mozgás például a horizonthoz képest bizonyos szögben bedobott kő mozgása (a légellenállás figyelembe vétele nélkül). A pálya bármely pontján a kő gyorsulása megegyezik a gravitáció gyorsulásával. Így az egyenletesen gyorsuló mozgás vizsgálata az egyenes vonalú egyenletesen gyorsított mozgás vizsgálatára redukálódik. Egyenes vonalú mozgás esetén a sebesség- és gyorsulásvektorok az egyenes mozgásvonal mentén irányulnak. Ezért a sebesség és a gyorsulás a mozgás irányára vetítésekben algebrai mennyiségnek tekinthető. Egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgásnál a test sebességét az (1) képlet határozza meg.

Ebben a képletben a test sebessége a t = 0 (kezdősebesség ), = const – gyorsulás. A kiválasztott x tengelyre történő vetítésben az (1) egyenlet a következőképpen lesz felírva: (2). A sebesség vetületi grafikonon υ x ( t) ez a függőség egyenesnek tűnik.

A gyorsulás a sebesség grafikon meredekségéből határozható meg a testek. ábrán láthatók a megfelelő konstrukciók. az I. gráfhoz A gyorsulás numerikusan egyenlő a háromszög oldalainak arányával ABC: .

Minél nagyobb β szöget zár be a sebességgráf az időtengellyel, azaz annál nagyobb a grafikon meredeksége ( meredekség), annál nagyobb a test gyorsulása.

Az I. grafikonra: υ 0 = –2 m/s, a= 1/2 m/s 2. A II. ütemezéshez: υ 0 = 3 m/s, a= –1/3 m/s 2 .

A sebességgrafikon azt is lehetővé teszi, hogy meghatározza a test s elmozdulásának vetületét egy bizonyos t idő alatt. Az időtengelyen egy bizonyos kis Δt időintervallumot emeljünk ki. Ha ez az időtartam elég rövid, akkor ezen időtartam alatt a sebesség változása kicsi, vagyis az ezen időtartam alatti mozgás egyenletesnek tekinthető egy bizonyos átlagsebesség mellett, amely megegyezik a υ pillanatnyi sebességével. test a Δt intervallum közepén. Ezért a Δs elmozdulás a Δt idő alatt egyenlő lesz Δs = υΔt. Ez a mozgás megegyezik a 2. ábrán látható árnyékolt területtel. csíkok. A 0-tól egy bizonyos t pillanatig terjedő időintervallumot kis Δt intervallumokra osztva megkaphatjuk, hogy az s elmozdulás egy adott t időre egyenletesen gyorsított egyenes vonalú mozgás mellett megegyezik az ODEF trapéz területével. ábrán láthatók a megfelelő konstrukciók. menetrendhez II. Feltételezzük, hogy a t idő 5,5 s.

(3) – a kapott képlet lehetővé teszi az elmozdulás meghatározását egyenletesen gyorsított mozgás során, ha a gyorsulás ismeretlen.

Ha a (2) sebesség kifejezését behelyettesítjük a (3) egyenletbe, akkor (4)-et kapunk - ezzel a képlettel írjuk fel a test mozgásegyenletét: (5).

Ha a (6) mozgási időt a (2) egyenletből fejezzük ki és behelyettesítjük a (3) egyenlőségbe, akkor

Ez a képlet lehetővé teszi az elmozdulás meghatározását ismeretlen mozgási idővel.

Kérdések.

1. Milyen képletekkel számítjuk ki egy test elmozdulásvektorának vetületét és nagyságát nyugalmi állapotból egyenletesen gyorsuló mozgása során?

2. Hányszorosára nő a test elmozdulásvektorának modulja, ha nyugalmi helyzetéből való mozgásának ideje n-szeresére nő?

3. Írja fel, hogy egy nyugalmi állapotból egyenletesen gyorsulva mozgó test elmozdulásvektorainak moduljai hogyan viszonyulnak egymáshoz, ha mozgásának ideje egész számmal növekszik t 1-hez képest!

4. Írja fel, hogyan viszonyulnak egymáshoz egy test által egymás után egyenlő időközönként végrehajtott elmozdulások vektorainak moduljai, ha ez a test egyenletesen gyorsulva mozog nyugalmi állapotból!

5. Milyen célra használhatók fel a (3) és (4) törvények?

A (3) és (4) szabályszerűségek segítségével megállapítható, hogy a mozgás egyenletesen gyorsult-e vagy sem (lásd 33. oldal).

Feladatok.

1. Az állomásról induló vonat egyenes vonalúan és egyenletesen gyorsulva halad az első 20 másodpercben. Ismeretes, hogy a mozgás kezdetétől számított harmadik másodpercben a vonat 2 m-t tett meg. Határozza meg a vonat által az első másodpercben elért elmozdulásvektor nagyságát, és a gyorsulásvektor nagyságát, amellyel elmozdult.