A paralelepipedon egy négyszögletű hasáb, amelynek alján paralelogrammák találhatók. A paralelepipedon magassága az alapjainak síkjai közötti távolság. Az ábrán a magasságot a szegmens mutatja . Kétféle paralelepipedon létezik: egyenes és ferde. Általában a matematika tanár először megadja a megfelelő definíciókat egy prizmára, majd átviszi azokat egy paralelepipedonra. Mi is ezt fogjuk tenni.

Hadd emlékeztesselek arra, hogy a prizmát egyenesnek nevezzük, ha az oldalélei merőlegesek az alapokra, ha nincs merőleges, a prizmát ferdenek nevezzük. Ezt a terminológiát a paralelepipedon is örökli. A jobb oldali paralelepipedon nem más, mint egyfajta egyenes prizma, amelynek oldaléle egybeesik a magassággal. Az olyan fogalmak definíciói, mint az arc, él és csúcs, amelyek a poliéderek egész családjában közösek, megmaradnak. Megjelenik az ellentétes arcok fogalma. A paralelepipedonnak 3 pár szemközti lapja, 8 csúcsa és 12 éle van.

A paralelepipedon átlója (a prizma átlója) a poliéder két csúcsát összekötő szakasz, amely nem fekszik annak egyik lapján sem.

Átlós metszet - a paralelepipedon olyan szakasza, amely áthalad az átlóján és az alapjának átlóján.

A ferde paralelepipedon tulajdonságai:
1) Minden lapja paralelogramma, a szemközti oldala pedig egyenlő paralelogramma.
2)A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és ebben a pontban felezik.
3)Minden paralelepipedon hat egyenlő térfogatú háromszög alakú piramisból áll. Ahhoz, hogy megmutassa őket a tanulónak, a matektanárnak le kell vágnia a paralelepet az átlós metszetével, és külön-külön 3 piramisra kell osztania. Alapjaiknak az eredeti paralelepipedon különböző oldalain kell feküdniük. A matematika tanár megtalálja ennek a tulajdonságnak az alkalmazását az analitikus geometriában. Egy piramis térfogatának származtatására szolgál vektorok vegyes szorzatán keresztül.

A paralelepipedon térfogatának képletei:
1) , ahol az alap területe, h a magasság.
2) A paralelepipedon térfogata megegyezik a keresztmetszeti terület és az oldalél szorzatával.
Matek tanár: Tudniillik a képlet minden prizmára közös, és ha a tanár már bebizonyította, akkor nincs értelme megismételni ugyanazt a paralelepipedonnál. Átlagos szintű tanulóval (gyenge tanulónak nem hasznos a képlet) azonban a tanárnak pont az ellenkezőjét célszerű cselekednie. Hagyja békén a prizmát, és végezzen gondos próbavizsgálatot a paralelepipedonra.
3) , ahol a paralelepipedont alkotó hat háromszög alakú gúla egyikének térfogata.
4) Ha , akkor

A paralelepipedon oldalsó felületének területe az összes lapja területének összege:
A paralelepipedon teljes felülete az összes lapja területének összege, vagyis az alapterület + két területe: .

A ferde paralelepipedon tutor munkájáról:
A matematika oktatók nem gyakran dolgoznak a ferde paralelepipedonokkal kapcsolatos problémákon. Meglehetősen kicsi a valószínűsége, hogy megjelennek az egységes államvizsgán, és a didaktika is éktelenül rossz. A ferde paralelepipedon térfogatával kapcsolatos többé-kevésbé tisztességes probléma komoly problémákat vet fel a H pont - magasságának alapja - helyének meghatározásával kapcsolatban. Ebben az esetben a matektanárnak azt tanácsolhatjuk, hogy vágja a paralelepipedont a hat piramis valamelyikére (amelyekről a 3. tulajdonságban van szó), próbálja meg megkeresni a térfogatát és megszorozni 6-tal.

Ha egy paralelepipedon oldaléle egyenlő szögeket zár be az alap oldalaival, akkor H az ABCD alap A szögfelezőjén fekszik. És ha például az ABCD egy rombusz, akkor

Matek oktatói feladatok:
1) A paralelepipedon lapjai 2 cm-es oldalukkal és hegyesszöggel egyenlőek egymással. Keresse meg a paralelepipedon térfogatát!
2) Egy ferde paralelepipedonban az oldalél 5 cm. A rá merőleges metszet egy egymásra merőleges átlójú négyszög, amelynek hossza 6 cm és 8 cm. Számítsd ki a paralelepipedon térfogatát!
3) Egy ferde paralelepipedonban ismert, hogy , és ABCD-ben az alap egy rombusz, amelynek oldala 2 cm és szöge . Határozza meg a paralelepipedon térfogatát!

Matematika tanár, Alekszandr Kolpakov

A paralelepipedon tulajdonságai

A paralelepipedonhoz:

1) a szemközti lapok egyenlőek és párhuzamosak;

2) mind a négy átló egy pontban metszi egymást, és abban felezi.

Bizonyíték:

1) Tekintsük például a paralelepipedon két szemközti oldalát, és (5. ábra).

Mivel a paralelepipedon minden lapja paralelogramma, ezért az AD egyenes párhuzamos a BC egyenessel, az egyenes pedig párhuzamos a vonallal. Ebből következik, hogy a vizsgált lapok síkjai párhuzamosak.

Abból, hogy a paralelepipedon lapjai paralelogrammák, az következik, hogy AB és CD párhuzamos és egyenlő. Ebből arra a következtetésre jutunk, hogy az arc párhuzamos transzlációval kombinálódik az AB él mentén a lappal. Ezért ezek az élek egyenlőek.

2) Vegyük például a paralelepipedon két átlóját (5. ábra), és, és rajzoljunk további egyeneseket és. AB és párhuzamosak a DC éllel, ezért egyenlők és párhuzamosak egymással; Ennek eredményeként az ábra egy paralelogramma, amelyben az egyenesek és az átlók, egy paralelogrammában pedig az átlók a metszéspontban ketté vannak osztva. Hasonlóképpen bebizonyíthatjuk, hogy a másik két átló egy pontban metszi egymást, és ez a pont felezi őket. Az egyes átlópárok metszéspontja az átló közepén található. Így a paralelepipedon mind a négy átlója egy O pontban metszi egymást, és ez a pont felezi őket. Így a paralelepipedon átlóinak metszéspontja a szimmetriaközéppontja.

Egy téglalap alakú paralelepipedon átlójának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével.

Bizonyíték:

Ez Pitagorasz térbeli tételéből következik. Ha egy téglalap alakú paralelepipedon átlója, akkor három páronként merőleges egyenesre vetületei (6. ábra). Ezért,.

Megjegyzés: egy téglalap alakú paralelepipedonban minden átló egyenlő.

Binomiális együtthatók

A Cnk számoknak számos figyelemre méltó tulajdonsága van. Ezek a tulajdonságok végső soron különféle összefüggéseket fejeznek ki egy adott X halmaz részhalmazai között. Az (1) képlet alapján közvetlenül igazolhatók...

Binomiális együtthatók

1. Az (a + b)n tágulási együtthatók összege 2n. Ennek bizonyításához elég, ha a = b = 1. Ekkor a binomiális bővítés jobb oldalán lesz a binomiális együtthatók összege, balra pedig: (1 + 1)n = 2n. 2.Tag együtthatók...

A poliéderek fajtái

Egy prizma (párhuzamos cső) oldalfelületének (vagy egyszerűen oldalsó felületének) területét az összes oldallapja területének összegének nevezzük...

Többdimenziós Fibonacci szekvenciák

Építsünk egy sorozatot, és nevezzük háromdimenziós Fibonacci sorozatnak. Ez a sorozat az M1, M2, ... és így tovább halmazokból áll. Az M1 készlet csak egy additív hármasból áll (2,1,1)...

Nem negatív valós számok multiplikatív félcsoportjai

Legyen S egy kommutatív multiplikatív irreducibilis félcsoport 1-gyel, és nincs egységosztója. Az ilyen félcsoportokat integrálnak vagy kúposnak nevezzük. S elemeit és elemeit viszonylag prímnek mondjuk, ha gcd(,)=1...

Nem euklideszi geometria

Nézzünk meg néhány tulajdonságot, fogalmat és tényt, amelyek érvényesek a Lobacsevszkij-geometriában. Ebben az esetben a tulajdonságokat a Klein-féle modell alapján vettem figyelembe. A legtöbbet a nem euklideszi geometria más modelljein hajtják végre...

Néhány csodálatos ív

A Pascal csiga normálja az M pontjában (7. ábra) átmegy a K főkör N pontján, átlósan szemben azzal a P ponttal, ahol az OM metszi a főkört...

Determinánsok és alkalmazásuk az algebrában és a geometriában

A determinánsnak számos tulajdonsága van: 1) A determináns nem változik mátrixok (sorok és oszlopok) átvitelekor. 2) Ha az egyik oszlop (sor) nullákból áll, akkor a determináns nulla...

A sík algebrai görbék sorrendjét növelő transzformációk

Tekintsük a ciszoid kialakításának legegyszerűbb módját - egy görbét, amelyet a régiek fedeztek fel a kocka megkettőzésének híres problémájára megoldást keresve. Vegyünk egy kört (generáló), amelynek átmérője és érintője van...

Prizma és paralelepipedon

Ha a prizma alapja paralelogramma, akkor paralelcsőnek nevezzük. A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. A 3. ábrán egy ferde paralelepipedon, a 4. ábrán pedig egy egyenes paralelepipedon látható. Egy paralelepipedon arcai...

A természetes sorozat felosztása

Ebben a részben a természetes sorozatok szekvenciákra való felosztásával kapcsolatos problémákról és az ezeket bizonyító tételről fogunk beszélni...

Rendkívüli probléma az osztályok indexelésekor

Két tényre lesz szükségünk től. 1. Mindenki számára van egyedi DF. 2. Ha, akkor a halmaz egyelemű. Ha, akkor vannak folytonos, egyparaméteres családok (azaz for és (a szimbólum gyenge konvergenciát jelöl)) és olyan DF-ek, mint...

Vagy (egyenértékű) egy poliéder, amelynek hat lapja van, és mindegyik - paralelogramma.

A paralelepipedon típusai

Többféle paralelepipedon létezik:

A téglatest olyan paralelepipedon, amelynek lapjai mind téglalap alakúak.
A jobb oldali paralelepipedon olyan paralelepipedon, amelynek 4 oldallapja téglalap alakú.
A ferde paralelepipedon olyan paralelepipedon, amelynek oldallapjai nem merőlegesek az alapokra.

Alapelemek

A paralelepipedon két olyan lapját, amelyeknek nincs közös éle, átellenesnek, a közös éllel rendelkezőket pedig szomszédosnak nevezzük. A paralelepipedon két olyan csúcsát, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz, ellentétesnek nevezzük. Az ellentétes csúcsokat összekötő szakaszt a paralelepipedon átlójának nevezzük. Egy téglalap alakú paralelepipedon három közös csúcsával rendelkező élének hosszát méreteknek nevezzük.

Tulajdonságok

A paralelepipedon az átlója közepe körül szimmetrikus.
Bármely szakaszt, amelynek végei a paralelepipedon felületéhez tartoznak, és áthaladnak az átlójának közepén, kettéosztjuk; konkrétan a paralelepipedon minden átlója egy pontban metszi egymást, és ez kettévágja.
A paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.
Egy téglalap alakú paralelepipedon átlós hosszának négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével.

Alapképletek

Jobb oldali paralelepipedon

Oldalsó felület S b =P o *h, ahol P o az alap kerülete, h a magassága

Teljes felület S p =S b +2S o, ahol S o az alapterület

Kötet V=S o *h

Téglalap alakú paralelepipedon

Oldalsó felület S b =2c(a+b), ahol a, b az alap oldalai, c a téglalap alakú paralelepipedon oldaléle

Teljes felület S p =2(ab+bc+ac)

Kötet V=abc, ahol a, b, c egy téglalap alakú paralelepipedon méretei.

Kocka

Felületi terület: $S=6a^2$
Kötet: $V=a^3$ , Hol $a$ - kocka széle.

Bármilyen paralelepipedon

A ferde paralelepipedon térfogatát és arányait gyakran vektoralgebra segítségével határozzák meg. A paralelepipedon térfogata megegyezik három vektor vegyes szorzatának abszolút értékével, amelyet az egy csúcsból kiinduló paralelepipedon három oldala határoz meg. A paralelepipedon oldalainak hossza és a közöttük lévő szögek közötti összefüggés azt az állítást adja, hogy a feltüntetett három vektor Gram-determinánsa egyenlő a vegyes szorzatuk négyzetével: 215.

A matematikai elemzésben

Matematikai elemzésben n-dimenziós téglatest alatt $B$ sok pontot megérteni $x = (x_1,\lpontok,x_n)$ fajta $B = $x|a_1\leqslant x_1\leqslant b_1,\ldots,a_n\leqslant x_n\leqslant b_n$$

Írjon véleményt a "Parallelepiped" cikkről

Megjegyzések

Linkek

Helyes

Helyes
nem domború

Konvex

Képletek,
tételek,
elméletek

Más

Egy részlet, amely a Parallelelelepiped-et jellemzi

- On dit que les rivaux se sont conconcilies grace a l "angine... [Azt mondják, hogy a riválisok ennek a betegségnek köszönhetően kibékültek.]
Az angine szót ismételték nagy örömmel.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait vaaraeux. [Az öreg gróf nagyon megható, azt mondják. Sírt, mint egy gyerek, amikor az orvos mondta, hogy veszélyes eset.]
- Ó, ce serait une perte szörnyű. C"est une femme ravissante. [Ó, ez nagy veszteség lenne. Olyan kedves nő.]
– Vous parlez de la pauvre comtesse – mondta Anna Pavlovna közeledve. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Ó, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde" - mondta Anna Pavlovna mosolyogva a lelkesedése miatt. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Szegény grófnőről beszélsz... Azért küldtem, hogy tájékozódjak az egészségi állapotáról. Azt mondták, kicsit jobban érzi magát. Ó, kétségtelenül ez a legkedvesebb nő a világon. Különböző táborokhoz tartozunk, de ez nem akadályoz meg abban, hogy érdemei szerint tiszteljem őt. Annyira boldogtalan.] – tette hozzá Anna Pavlovna.
Abban a hitben, hogy Anna Pavlovna ezekkel a szavakkal kissé fellebbenti a titok leplet a grófnő betegsége felett, egy óvatlan fiatalember meglepte magát, hogy nem hívtak be híres orvosokat, hanem a grófnőt egy sarlatán kezeli, aki veszélyes dolgokat tud adni. jogorvoslatok.
– Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes – támadt Anna Pavlovna hirtelen mérgesen a tapasztalatlan fiatalemberre. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Lehet, hogy a te híred pontosabb, mint az enyém... de jó forrásokból tudom, hogy ez az orvos nagyon tanult és ügyes ember. Ez a spanyol királynő életorvosa.] - És ezzel megsemmisítve a fiatalembert, Anna Pavlovna Bilibinhez fordult, aki egy másik körben felkapta a bőrt, és látszólag meg akarta lazítani, hogy un mot szóljon. az osztrákokról.
"Je trouve que c"est charmant! [Elbűvölőnek találom!]" - mondta arról a diplomáciai lapról, amellyel a Wittgenstein által elvett osztrák transzparenseket Bécsbe küldték, le heros de Petropol [a Petropol hőse] (ahogy ő) Péterváron hívták).
- Hogy van ez? - fordult felé Anna Pavlovna, csendet ébresztve, hogy meghallja a mot, amit már ismert.
És Bilibin megismételte az általa összeállított diplomáciai küldemény következő eredeti szavait:
"L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens" - mondta Bilibin - "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [A császár elküldi az osztrák transzparenseket, barátságos és elveszett transzparenseket, amelyeket az igazi úton kívül talált.] – fejezte be Bilibin, meglazítva a bőrt.
„Bájos, bájos, [kedves, elbűvölő” – mondta Vaszilij herceg.
"C"est la route de Varsovie peut être, [Ez talán a varsói út.] - mondta Hippolyte herceg hangosan és váratlanul. Mindenki visszanézett rá, nem értette, mit akar ezzel mondani. Hippolyte herceg is hátranézett vidám meglepetéssel körülötte Ő sem értette, mit jelentenek a kimondott szavak Diplomáciai pályafutása során nem egyszer észrevette, hogy az így kimondott szavak hirtelen nagyon szellemesek lettek, és ezeket mondta. csak arra az esetre, ha eszébe jutna: „Talán nagyon jól fog menni” – gondolta –, és ha nem, akkor valóban meg tudják oldani kínos csend uralkodott, Anna Pavlovna lépett be, és mosolyogva, ujját rázva Ippolithoz hívta Vaszilij herceget, és két gyertyát és egy kéziratot nyújtott neki, és minden elhallgatott .

vagy (ekvivalens) egy poliéder hat lappal, amelyek paralelogrammák. Hatszög.

A paralelepipedont alkotó paralelogrammák az élek ennek a paralelepipedonnak a paralelogrammák oldalai az paralelepipedon élei, a paralelogrammák csúcsai pedig csúcsok paralelepipedon. A paralelepipedonban minden lap az paralelogramma.

Általános szabály, hogy bármely 2 ellentétes arc azonosításra és meghívásra kerül paralelepipedon alapok, és a többi arc - a paralelepipedon oldallapjai. A paralelepipedon alapokhoz nem tartozó élei az oldalsó bordák.

A paralelepipedon 2 olyan lapja, amelyeknek közös élük van szomszédos, és azok, amelyeknek nincs közös élük - szemben.

Az a szegmens, amely 2 olyan csúcsot köt össze, amelyek nem tartoznak az 1. laphoz paralelepipedon átlós.

A téglalap alakú paralelepipedon nem párhuzamos éleinek hossza lineáris méretek (mérések) paralelepipedon. A téglalap alakú paralelepipedonnak 3 lineáris mérete van.

A paralelepipedon típusai.

Többféle paralelepipedon létezik:

Közvetlen egy paralelepipedon, amelynek éle merőleges az alap síkjára.

Az a téglalap alakú paralelepipedon, amelynek mind a 3 mérete egyenlő kocka. A kocka mindegyik lapja egyenlő négyzetek .

Bármilyen paralelepipedon. A ferde paralelepipedon térfogatát és arányait főként vektoralgebra segítségével határozzuk meg. A paralelepipedon térfogata megegyezik 3 vektor vegyes szorzatának abszolút értékével, amelyeket a paralelepipedon 3 oldala határoz meg (amelyek ugyanabból a csúcsból származnak). A paralelepipedon oldalainak hossza és a közöttük lévő szögek közötti összefüggés azt az állítást mutatja, hogy az adott 3 vektor Gram-determinánsa egyenlő a vegyes szorzatuk négyzetével.