A henger munkaterülete. Egyenes és ferde henger tengelyirányú metszete

A henger egy szimmetrikus téralak, amelynek tulajdonságait a középiskolában a sztereometria során figyelembe veszik. Ennek leírására olyan lineáris jellemzőket használnak, mint az alap magassága és sugara. Ebben a cikkben megvizsgáljuk azokat a kérdéseket, amelyek egy henger tengelyirányú metszete, és hogyan számíthatóak ki paraméterei az ábra alapvető lineáris jellemzői alapján.

Geometriai ábra

Először is határozzuk meg a cikkben tárgyalt ábrát. A henger egy olyan felület, amelyet egy meghatározott hosszúságú szegmens egy bizonyos görbe mentén történő párhuzamos mozgása alakít ki. Ennek a mozgásnak a fő feltétele, hogy a szakasz ne tartozzon a görbe síkjához.

Az alábbi ábrán egy henger látható, amelynek görbéje (vezetője) ellipszis.

Itt egy h hosszúságú szakasz a generátora és a magassága.

Látható, hogy a henger két azonos alapból (jelen esetben ellipszisből) áll, amelyek párhuzamos síkban helyezkednek el, és egy oldalfelületből. Ez utóbbi az alkotó egyenesek összes pontjához tartozik.

Mielőtt rátérnénk a hengerek tengelyirányú metszetére, elmondjuk, milyen típusúak ezek az alakok.

Ha a generáló egyenes merőleges az ábra alapjaira, akkor egyenes hengerről beszélünk. Ellenkező esetben a henger megdől. Ha két alap középpontját összekötjük, az így kapott egyenest az ábra tengelyének nevezzük. Az alábbi ábra az egyenes és a ferde hengerek közötti különbséget mutatja.

Látható, hogy egy egyenes alaknál a generáló szakasz hossza egybeesik a h magasság értékével. Egy ferde hengernél a magasság, vagyis az alapok közötti távolság mindig kisebb, mint a generatrix vonal hossza.

Egyenes henger tengelyirányú metszete

Az axiális a henger bármely szakasza, amely tartalmazza a tengelyét. Ez a meghatározás azt jelenti, hogy a tengelymetszet mindig párhuzamos lesz a generátorral.

Egy egyenes hengerben a tengely átmegy a kör középpontján, és merőleges a síkjára. Ez azt jelenti, hogy a vizsgált kör az átmérője mentén metszi egymást. Az ábrán egy fél henger látható, amely az ábra és a tengelyen áthaladó sík metszéspontjának eredménye.

Nem nehéz megérteni, hogy az egyenes körhenger tengelyirányú metszete téglalap. Oldalai az alap d átmérője és az ábra h magassága.

Írjuk fel a képleteket a henger tengelyirányú keresztmetszete és átlója h d hosszára:

Egy téglalapnak két átlója van, de mindkettő egyenlő egymással. Ha ismert az alap sugara, akkor nem nehéz átírni rajta ezeket a képleteket, tekintve, hogy az átmérő fele.

Egy ferde henger tengelyirányú metszete

A fenti képen egy papírból készült ferde henger látható. Ha elkészítjük a tengelyirányú metszetét, akkor már nem téglalapot kapunk, hanem paralelogrammát. Oldalai ismert mennyiségek. Az egyik, akárcsak az egyenes henger keresztmetszete, egyenlő az alap d átmérőjével, a másik az alakító szegmens hossza. Jelöljük b-vel.

A paralelogramma paramétereinek egyértelmű meghatározásához nem elég ismerni az oldalhosszait. Egy másik szögre van szükség közöttük. Tegyük fel, hogy a vezető és az alap hegyesszöge α. Ez lesz a paralelogramma oldalai közötti szög is. Ezután a ferde henger tengelyirányú keresztmetszeti területének képlete a következőképpen írható fel:

A ferde henger tengelyirányú metszetének átlóit valamivel nehezebb kiszámítani. Egy paralelogrammának két különböző hosszúságú átlója van. Levezetés nélküli kifejezéseket mutatunk be, amelyek lehetővé teszik egy paralelogramma átlóinak kiszámítását ismert oldalak és a köztük lévő hegyesszög segítségével:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Itt l 1 és l 2 a kis, illetve a nagy átló hossza. Ezeket a képleteket egymástól függetlenül is megkaphatjuk, ha minden átlót vektornak tekintünk úgy, hogy a síkon téglalap alakú koordinátarendszert vezetünk be.

Egyenes henger probléma

Megmutatjuk, hogyan használhatja fel a megszerzett tudást a következő probléma megoldására. Adjunk egy kerek egyenes hengert. Ismeretes, hogy a henger tengelyirányú keresztmetszete négyzet alakú. Mekkora ennek a szakasznak a területe, ha a teljes szám 100 cm 2?

A szükséges terület kiszámításához meg kell találnia a henger alapjának sugarát vagy átmérőjét. Ehhez az ábra S f teljes területére vonatkozó képletet használjuk:

Mivel a tengelyirányú metszet négyzet, ez azt jelenti, hogy az alap r sugara fele a h magasságnak. Ezt figyelembe véve átírhatjuk a fenti egyenlőséget így:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Most ki tudjuk fejezni az r sugarat, így van:

Mivel egy négyzetszakasz oldala megegyezik az ábra alapjának átmérőjével, az alábbi képlet használható az S területének kiszámításához:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Látjuk, hogy a szükséges területet egyértelműen a henger felülete határozza meg. Az adatokat egyenlőségre behelyettesítve a válaszhoz jutunk: S = 21,23 cm 2.

A „geometria” tudomány nevét „földmérésre” fordítják. A legelső ókori földgazdálkodók erőfeszítései révén keletkezett. És ez így történt: a szent Nílus áradásai idején vízfolyások időnként elmosták a gazdák telkeinek határait, és az új határok esetleg nem esnek egybe a régiekkel. Adót a parasztok fizettek be a fáraó kincstárába a földkiosztás nagyságának arányában. Speciális személyeket vontak be a kiömlés után az új határokon belüli szántóterületek mérésébe. Tevékenységük eredményeként egy új tudomány keletkezett, amelyet az ókori Görögországban fejlesztettek ki. Ott kapta a nevét, és szinte modern megjelenést kapott. Ezt követően a kifejezés a lapos és háromdimenziós figurák tudományának nemzetközi elnevezése lett.

A planimetria a geometriának a síkidomok tanulmányozásával foglalkozó ága. A tudomány másik ága a sztereometria, amely a térbeli (térfogatbeli) alakzatok tulajdonságait vizsgálja. Az ilyen számok közé tartozik az ebben a cikkben leírt - egy henger.

A mindennapi életben rengeteg példa van a hengeres tárgyak jelenlétére. Szinte minden forgó alkatrész - tengelyek, perselyek, csapok, tengelyek stb. - hengeres (sokkal ritkábban - kúpos) alakú. A hengert az építőiparban is széles körben használják: tornyok, tartóoszlopok, díszoszlopok. És edények, bizonyos típusú csomagolások, különféle átmérőjű csövek. És végül - a híres kalapok, amelyek régóta a férfi elegancia szimbólumává váltak. A lista folyamatosan folytatódik.

A henger, mint geometriai alakzat meghatározása

A hengert (körhenger) általában két körből álló figurának nevezik, amelyeket kívánt esetben párhuzamos fordítással kombinálnak. Ezek a körök képezik a henger alapját. De a megfelelő pontokat összekötő vonalakat (egyenes szakaszokat) „generátoroknak” nevezzük.

Fontos, hogy a henger alapjai mindig egyenlőek legyenek (ha ez a feltétel nem teljesül, akkor csonka kúpunk van, valami más, de nem henger) és párhuzamos síkokban legyenek. A körök megfelelő pontjait összekötő szakaszok párhuzamosak és egyenlőek.

A végtelen számú alakítóelem halmaza nem más, mint a henger oldalfelülete - egy adott geometriai alakzat egyik eleme. Másik fontos összetevője a fentebb tárgyalt körök. Bázisoknak hívják őket.

A hengerek típusai

A legegyszerűbb és legelterjedtebb hengertípus a kör alakú. Két szabályos kör alkotja, amelyek alapként működnek. De helyettük lehetnek más figurák.

A hengerek alapjai (a körökön kívül) ellipsziseket és egyéb zárt figurákat is alkothatnak. De a henger nem feltétlenül zárt alakú. Például egy henger alapja lehet parabola, hiperbola vagy más nyitott függvény. Az ilyen henger nyitott vagy kioldott lesz.

Az alapokat alkotó hengerek dőlésszöge szerint lehetnek egyenesek vagy ferdeek. Egyenes hengernél a generatricák szigorúan merőlegesek az alap síkjára. Ha ez a szög eltér 90°-tól, akkor a henger ferde.

Mi a forradalom felülete

Az egyenes körhenger kétségtelenül a legelterjedtebb forgásfelület a mérnöki munkában. Néha technikai okokból kúpos, gömb alakú és néhány egyéb felületet használnak, de 99%-ban az összes forgó tengely, tengely stb. hengerek formájában készülnek. Annak érdekében, hogy jobban megértsük, mi az a forgásfelület, megvizsgálhatjuk, hogyan alakul ki maga a henger.

Tegyük fel, hogy van egy bizonyos egyenes a, függőlegesen helyezkedik el. Az ABCD egy téglalap, amelynek egyik oldala (AB szakasz) egy egyenesen fekszik a. Ha egy téglalapot egy egyenes körül forgatunk, amint az az ábrán látható, akkor a forgás közben elfoglalt térfogata lesz a forgástestünk - egy jobb oldali körhenger, amelynek magassága H = AB = DC és sugara R = AD = BC.

Ebben az esetben az ábra - téglalap - elforgatásának eredményeként egy henger keletkezik. Háromszög forgatásával kúpot kaphat, félkör forgatásával - labdát stb.

A henger felülete

Egy közönséges jobb oldali körhenger felületének kiszámításához ki kell számítani az alapok és az oldalfelületek területét.

Először nézzük meg, hogyan számítják ki az oldalsó felületet. Ez a henger kerületének és a henger magasságának szorzata. A kör kerülete viszont egyenlő az univerzális szám szorzatának kétszeresével P a kör sugara szerint.

A kör területe köztudottan egyenlő a szorzattal P négyzetsugáronként. Tehát, ha hozzáadjuk az oldalfelület meghatározásának területének képleteit az alapterület kettős kifejezésével (kettő van), és egyszerű algebrai transzformációkat végezve megkapjuk a felület meghatározásának végső kifejezését. a henger területe.

Egy ábra térfogatának meghatározása

A henger térfogatát a szabványos séma szerint határozzák meg: az alap felületét megszorozzák a magassággal.

Így a végső képlet így néz ki: a kívánt értéket a test magasságának az univerzális szám szorzataként határozzuk meg Pés az alap sugarának négyzetével.

Az így kapott képlet, el kell mondani, a legváratlanabb problémák megoldására is alkalmazható. Ugyanúgy, mint például a henger térfogatát, az elektromos vezetékek térfogatát is meghatározzák. Ez szükséges lehet a vezetékek tömegének kiszámításához.

Az egyetlen különbség a képletben, hogy egy henger sugara helyett a huzalozási szál átmérője van felezve, és a huzalban lévő szálak száma jelenik meg a kifejezésben N. Ezenkívül a magasság helyett a vezeték hosszát használják. Ily módon a „henger” térfogatát nem csak egy, hanem a fonatban lévő vezetékek száma is kiszámítja.

A gyakorlatban gyakran van szükség ilyen számításokra. Végül is a víztartályok jelentős része cső formájában készül. És gyakran még a háztartásban is ki kell számítani egy henger térfogatát.

Azonban, mint már említettük, a henger alakja eltérő lehet. És bizonyos esetekben ki kell számítani, hogy mekkora a ferde henger térfogata.

A különbség az, hogy az alap felületét nem a generatrix hosszával szorozzák meg, mint egy egyenes henger esetében, hanem a síkok közötti távolsággal - egy merőleges szegmenssel, amely közöttük van kialakítva.

Amint az ábrán látható, egy ilyen szegmens egyenlő a generatrix hosszának és a generatrix síkhoz viszonyított dőlésszögének szinuszának szorzatával.

Hogyan készítsünk hengerfejlesztést

Bizonyos esetekben ki kell vágni egy hengersort. Az alábbi ábra bemutatja azokat a szabályokat, amelyek alapján a nyersdarabot egy adott magasságú és átmérőjű henger gyártásához készítik.

Felhívjuk figyelmét, hogy a rajz varrás nélkül látható.

Különbségek a ferde hengerek között

Képzeljünk el egy bizonyos egyenes hengert, amelyet az egyik oldalon a generátorokra merőleges sík határol. De a hengert a másik oldalon határoló sík nem merőleges a generátorokra és nem párhuzamos az első síkkal.

Az ábrán egy ferde henger látható. Repülőgép A bizonyos szögben, a generátorokhoz képest 90°-tól eltérő szögben metszi az ábrát.

Ez a geometriai forma a gyakorlatban gyakrabban fordul elő csővezeték-csatlakozások (könyökök) formájában. De vannak még ferde henger alakú épületek is.

A ferde henger geometriai jellemzői

A ferde henger egyik síkjának dőlése kissé megváltoztatja az ilyen alakzat felületének és térfogatának kiszámításának eljárását.

A henger egy hengeres felületből és két párhuzamosan elhelyezkedő körből álló ábra. A henger területének kiszámítása a matematika geometriai ágának problémája, amely meglehetősen egyszerűen megoldható. Számos módszer létezik a megoldására, amelyek végül mindig egy képletre oszlanak le.

Hogyan lehet megtalálni a henger területét - számítási szabályok

• A henger területének meghatározásához össze kell adni az alap két területét az oldalfelület területével: S = Sside + 2Sbase. Egy részletesebb változatban ez a képlet így néz ki: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Egy adott geometriai test oldalfelülete akkor számítható ki, ha ismert a magassága és az alapjában fekvő kör sugara. Ebben az esetben megadhatja a kerület sugarát, ha adott. A magasság akkor található meg, ha a feltételben megadjuk a generátor értékét. Ebben az esetben a generatrix egyenlő lesz a magassággal. A test oldalfelületének képlete a következőképpen néz ki: S= 2 π rh.
• Az alap területét a kör területének meghatározására szolgáló képlet segítségével számítjuk ki: S osn= π r 2 . Egyes feladatokban előfordulhat, hogy a sugár nem adott, de a kerület adott. Ezzel a képlettel a sugár meglehetősen könnyen kifejezhető. С=2π r, r= С/2π. Emlékeztetni kell arra is, hogy a sugár az átmérő fele.
• Mindezen számítások végrehajtása során a π szám általában nem 3,14159-et jelent... Csak hozzá kell adni a számítások eredményeként kapott számérték mellé.
• Ezután csak meg kell szoroznia az alap talált területét 2-vel, és hozzá kell adnia a kapott számhoz az ábra oldalsó felületének számított területét.
• Ha a probléma azt jelzi, hogy a henger tengelyirányú és téglalap alakú, akkor a megoldás kissé eltérő lesz. Ebben az esetben a téglalap szélessége a test alján fekvő kör átmérője lesz. Az ábra hossza megegyezik a henger generatrixával vagy magasságával. Ki kell számítani a szükséges értékeket, és be kell cserélni a már ismert képletbe. Ebben az esetben a téglalap szélességét el kell osztani kettővel, hogy megtaláljuk az alap területét. Az oldalfelület meghatározásához a hosszt meg kell szorozni két sugárral és a π számmal.
• Egy adott geometriai test területét a térfogatán keresztül számíthatja ki. Ehhez le kell vezetni a hiányzó értéket a V=π r 2 h képletből.
• A henger területének kiszámításában nincs semmi bonyolult. Csak ismernie kell a képleteket, és tudnia kell belőlük levezetni a számításokhoz szükséges mennyiségeket.

A henger egy geometriai test, amelyet két párhuzamos sík és egy hengeres felület határol. A cikkben arról fogunk beszélni, hogyan lehet megtalálni a henger területét, és a képlet segítségével példaként számos problémát megoldunk.

A hengernek három felülete van: egy felső, egy alap és egy oldalfelület.

A henger teteje és alja kör alakú, és könnyen azonosítható.

Ismeretes, hogy a kör területe egyenlő πr 2-vel. Ezért a két kör (a henger teteje és alapja) területének képlete πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

A henger harmadik, oldalsó felülete a henger ívelt fala. Annak érdekében, hogy jobban el tudjuk képzelni ezt a felületet, próbáljuk meg átalakítani, hogy felismerhető formát kapjunk. Képzelje el, hogy a henger egy közönséges konzervdoboz, amelynek nincs felső fedele vagy alja. Vegyünk egy függőleges vágást az oldalfalon a tetejétől a kanna aljáig (1. lépés az ábrán), és próbáljuk meg a kapott figurát minél jobban kinyitni (kiegyenesíteni) (2. lépés).

Miután a kapott tégely teljesen felnyílik, egy ismerős alakot fogunk látni (3. lépés), ez egy téglalap. A téglalap területe könnyen kiszámítható. De előtte térjünk vissza egy pillanatra az eredeti hengerhez. Az eredeti henger csúcsa egy kör, és tudjuk, hogy a kerületet a következő képlettel számítjuk ki: L = 2πr. Az ábrán pirossal van jelölve.

Amikor a henger oldalfalát teljesen kinyitjuk, azt látjuk, hogy a kerület a kapott téglalap hosszává válik. Ennek a téglalapnak az oldalai a henger kerülete (L = 2πr) és magassága (h). A téglalap területe egyenlő az oldalai szorzatával - S = hosszúság x szélesség = L x h = 2πr x h = 2πrh. Ennek eredményeként képletet kaptunk a henger oldalsó felületének kiszámításához.

A henger oldalsó felületének képlete
S oldal = 2πrh

Egy henger teljes felülete

Végül, ha mindhárom felület területét összeadjuk, megkapjuk a henger teljes felületének képletét. A henger felülete megegyezik a henger tetejének területével + a henger aljának területével + a henger oldalfelületének területével vagy S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Néha ez a kifejezés megegyezik a 2πr (r + h) képlettel.

A henger teljes felületének képlete
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – a henger sugara, h – a henger magassága

Példák egy henger felületének kiszámítására

A fenti képletek megértéséhez próbáljuk meg kiszámítani egy henger felületét példák segítségével.

1. A henger alapjának sugara 2, magassága 3. Határozza meg a henger oldalfelületének területét.

A teljes felület kiszámítása a következő képlettel történik: S oldal. = 2πrh

S oldal = 2*3,14*2*3

S oldal = 6,28 * 6

S oldal = 37,68

A henger oldalfelülete 37,68.

2. Hogyan találjuk meg egy henger felületét, ha a magassága 4, a sugara pedig 6?

A teljes felületet a következő képlettel számítjuk ki: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

A henger (a görög nyelvből származik, a „henger”, „henger” szavakból) egy geometriai test, amelyet kívülről egy hengeres felület és két sík határol. Ezek a síkok metszik az ábra felületét és párhuzamosak egymással.

A hengeres felület olyan felület, amelyet a térben egyenes vonal alkot. Ezek a mozgások olyanok, hogy ennek az egyenesnek a kiválasztott pontja egy sík típusú görbe mentén mozog. Az ilyen egyenest generatrixnak, az ívelt vonalat vezetőnek nevezzük.

A henger egy pár alapból és egy oldalsó hengeres felületből áll. Többféle henger létezik:

1. Kör alakú, egyenes henger. Egy ilyen hengernek van egy alapja és a vezetővonalra merőlegesen, és van is

2. Ferde henger. Szöge a generáló vonal és az alap között nem egyenes.

3. Más alakú henger. Hiperbolikus, elliptikus, parabolikus és mások.

Egy henger területét, valamint bármely henger teljes felületét úgy határozzuk meg, hogy összeadjuk az ábra alapjainak területét és az oldalfelület területét.

A henger teljes területének kiszámításának képlete egy kör alakú, egyenes hengerhez:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Az oldalsó felület területe kissé bonyolultabb, mint a teljes henger területe, úgy számítják ki, hogy a generatrix vonal hosszát megszorozzák a merőleges sík által alkotott szakasz kerületével; a generatrix sorhoz.

Az adott hengert egy kör alakú, egyenes hengerhez ennek az objektumnak a fejlesztése ismeri fel.

A fejlesztés egy téglalap, amelynek h magassága és P hosszúsága megegyezik az alap kerületével.

Ebből következik, hogy a henger oldalsó területe megegyezik a sweep területtel, és a következő képlettel számítható ki:

Ha egy kör alakú, egyenes hengert veszünk, akkor ehhez:

P = 2p R és Sb = 2p Rh.

Ha a henger ferde, akkor az oldalsó felület területének egyenlőnek kell lennie a generáló vonal hosszának és a szakasz kerületének szorzatával, amely merőleges erre a generáló vonalra.

Sajnos nincs egyszerű képlet egy ferde henger oldalfelületének kifejezésére a magassága és az alapja paraméterei alapján.

A henger kiszámításához tudnia kell néhány tényt. Ha egy szakasz a síkjával metszi az alapokat, akkor az ilyen szakasz mindig téglalap. De ezek a téglalapok eltérőek lesznek, a szakasz helyzetétől függően. Az ábra tengelyirányú metszetének egyik oldala, amely merőleges az alapokra, egyenlő a magassággal, a másik pedig a henger alapjának átmérőjével. És ennek megfelelően egy ilyen szakasz területe megegyezik a téglalap egyik oldalának a másik oldalának szorzatával, amely merőleges az elsőre, vagy egy adott ábra magasságának és alapja átmérőjének szorzatával.

Ha a szakasz merőleges az ábra alapjaira, de nem megy át a forgástengelyen, akkor ennek a szakasznak a területe megegyezik a henger magasságának és egy bizonyos húrnak a szorzatával. Egy akkord megszerzéséhez kört kell alkotnia a henger alján, meg kell rajzolnia egy sugarat, és meg kell rajzolnia rajta a távolságot, amelyen a szakasz található. És ettől a ponttól merőlegeseket kell rajzolnia a sugárra a kör kereszteződésétől. A metszéspontok a központhoz kapcsolódnak. És a háromszög alapja a kívánt, amelyet a következő hangok keresnek: „Két láb négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz négyzetével”:

C2 = A2 + B2.

Ha a szakasz nem érinti a henger alapját, és maga a henger kör alakú és egyenes, akkor ennek a szakasznak a területe a kör területe.

A kör területe:

S env. = 2п R2.

Az R megtalálásához el kell osztani a C hosszát 2n-nel:

R = C\2n, ahol n pi, egy matematikai állandó, amelyet a köradatokkal való munkavégzéshez számítanak ki, és egyenlő 3,14-gyel.