Az y sin x függvény értéktáblázata. Az y=sinx függvény, főbb tulajdonságai és grafikonja

Funkcióy = bűnx

A függvény grafikonja szinuszos.

A szinuszhullám teljes nem ismétlődő részét szinuszhullámnak nevezzük.

A fél szinuszhullámot fél szinuszhullámnak (vagy ívnek) nevezzük.

Funkció tulajdonságaiy = bűnx:

3) Ez egy páratlan függvény.

4) Ez egy folyamatos függvény.

- abszcissza tengellyel: (πn; 0),
- ordináta tengellyel: (0; 0).

6) A szakaszon [-π/2; π/2] függvény növekszik a [π/2; 3π/2] – csökken.

7) Időközönként a függvény pozitív értékeket vesz fel.
Az intervallumokon [-π + 2πn; 2πn] függvény negatív értékeket vesz fel.

8) A növekvő függvény intervallumai: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn].
A függvény csökkenő intervallumai: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].

9) A függvény minimális pontjai: -π/2 + 2πn.
A függvény maximális pontjai: π/2 + 2πn

a legmagasabb érték 1.

Függvény ábrázolása y= bűn x Kényelmes a következő mérlegek használata:

Egy négyzetes papírlapon két négyzet hosszát vesszük szegmens egységnek.

A tengelyen x Mérjük meg a π hosszt. Ugyanakkor a kényelem kedvéért a 3.14-et 3 formájában mutatjuk be - vagyis törtszám nélkül. Ekkor egy papírlapon egy cellában π 6 cella lesz (háromszor 2 cella). És minden cella megkapja a saját természetes nevét (az elsőtől a hatodikig): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Ezek a jelentések x.

Az y tengelyen 1-et jelölünk, amely két cellát foglal magában.

Készítsünk egy táblázatot a függvényértékekről az értékeink felhasználásával x:


			√3 - 2		√3 - 2

Ezután hozzunk létre egy ütemtervet. Az eredmény egy félhullám, amelynek legmagasabb pontja (π/2; 1). Ez a függvény grafikonja y= bűn x a szegmensen. Adjunk hozzá egy szimmetrikus félhullámot a megszerkesztett gráfhoz (az origóhoz képest szimmetrikusan, vagyis a -π szakaszon). Ennek a félhullámnak a csúcsa az x tengely alatt van, koordinátákkal (-1; -1). Az eredmény egy hullám lesz. Ez a függvény grafikonja y= bűn x szakaszon [-π; π].

A hullámot a [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] stb. Ezeken a szegmenseken a függvény grafikonja ugyanúgy fog kinézni, mint a [-π; π]. Folyamatos hullámvonalat kapsz azonos hullámokkal.

Funkcióy = kötözősalátax.

Egy függvény grafikonja egy szinuszhullám (néha koszinuszhullámnak is nevezik).

Funkció tulajdonságaiy = kötözősalátax:

1) Egy függvény definíciós tartománya a valós számok halmaza.

2) A függvényértékek tartománya a [–1; 1]

3) Ez egy páros függvény.

4) Ez egy folyamatos függvény.

5) A grafikon metszéspontjainak koordinátái:
- az abszcissza tengellyel: (π/2 + πn; 0),
- az ordináta tengellyel: (0;1).

6) A szakaszon a függvény csökken, a szakaszon [π; 2π] – növekszik.

7) intervallumokon [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] függvény pozitív értékeket vesz fel.
Az intervallumokon [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] függvény negatív értékeket vesz fel.

8) Növekvő intervallumok: [-π + 2πn; 2πn].
Csökkenő intervallumok: ;

9) A függvény minimális pontjai: π + 2πn.
A függvény maximális pontjai: 2πn.

10) A funkció felülről és alulról korlátozott. A függvény legkisebb értéke –1,
a legmagasabb érték 1.

11) Ez egy periodikus függvény, amelynek periódusa 2π (T = 2π)

Funkcióy = mf(x).

Vegyük az előző függvényt y=cos x. Mint már tudod, a grafikonja egy szinuszhullám. Ha ennek a függvénynek a koszinuszát megszorozzuk egy bizonyos m számmal, akkor a hullám kitágul a tengely felől x(vagy zsugorodni fog, m értékétől függően).
Ez az új hullám lesz az y = mf(x) függvény grafikonja, ahol m bármely valós szám.

Így az y = mf(x) függvény az ismerős y = f(x) függvény szorozva m-rel.

Ham< 1, то синусоида сжимается к оси x együtthatóvalm. Ham > 1, akkor a szinuszost a tengelytől kifeszítjükx együtthatóvalm.

Nyújtás vagy tömörítés végrehajtásakor először csak egy szinuszhullám egy félhullámát ábrázolhatja, majd befejezheti a teljes grafikont.

Funkcióy = f(kx).

Ha a funkció y =mf(x) a szinusz tengelytől való megnyúlásához vezet x vagy a tengely felé történő összenyomás x, akkor az y = f(kx) függvény a tengely felőli nyújtáshoz vezet y vagy a tengely felé történő összenyomás y.

Ráadásul k bármely valós szám.

0-nál< k< 1 синусоида растягивается от оси y együtthatóvalk. Hak > 1, akkor a szinusz a tengely felé összenyomódiky együtthatóvalk.

Ennek a függvénynek a grafikon ábrázolásakor először felállíthat egy szinuszhullám félhullámát, majd felhasználhatja a teljes grafikont.

Funkcióy = tgx.

Függvénygrafikon y= tg x egy érintő.

Elegendő a gráf egy részét a 0-tól π/2-ig terjedő intervallumban megszerkeszteni, majd szimmetrikusan folytatni a 0-tól 3π/2-ig terjedő intervallumban.

Funkció tulajdonságaiy = tgx:

Funkcióy = ctgx

Függvénygrafikon y=ctg x tangentoid is (néha kotangentoidnak is nevezik).

Funkció tulajdonságaiy = ctgx:

Megállapítottuk, hogy a trigonometrikus függvények viselkedése, és a függvények y = sin x különösen, a teljes számegyenesen (vagy az argumentum összes értékére X) teljes mértékben meghatározza az intervallumban való viselkedése 0 < X < π / 2 .

Ezért először ábrázoljuk a függvényt y = sin x pontosan ebben az intervallumban.

Készítsük el a függvényünk alábbi értéktáblázatát;

A koordinátasíkon a megfelelő pontokat megjelölve és sima vonallal összekötve az ábrán látható görbét kapjuk

A kapott görbe geometriailag is megszerkeszthető anélkül, hogy függvényértékeket tartalmazó táblázatot kellene összeállítani y = sin x .

1. Oszd fel az 1 sugarú kör első negyedét 8 egyenlő részre A kör osztópontjainak ordinátái a megfelelő szögek szinuszai.

2.A kör első negyede 0-tól ig terjedő szögeknek felel meg π / 2 . Ezért a tengelyen X Vegyünk egy szakaszt, és osszuk fel 8 egyenlő részre.

3. Rajzoljunk a tengellyel párhuzamos egyeneseket! X, és az osztási pontokból merőlegeseket építünk, amíg nem metszik egymást vízszintes vonalakkal.

4. Kösse össze a metszéspontokat egy sima vonallal.

Most nézzük az intervallumot π / 2 < X < π .
Minden argumentum értéke X ebből az intervallumból úgy ábrázolható

x = π / 2 + φ

Ahol 0 < φ < π / 2 . A redukciós képletek szerint

bűn ( π / 2 + φ ) = cos φ = sin( π / 2 - φ ).

Tengelypontok X abszcisszákkal π / 2 + φ És π / 2 - φ szimmetrikusan egymásra a tengelypont körül X abszcisszával π / 2 , és ezekben a pontokban a szinuszok megegyeznek. Ez lehetővé teszi, hogy megkapjuk a függvény grafikonját y = sin x intervallumban [ π / 2 , π ] egyszerűen szimmetrikusan megjelenítve ennek a függvénynek a grafikonját az egyeneshez viszonyított intervallumban X = π / 2 .

Most használja az ingatlant páratlan paritásfüggvény y = sin x,

bűn(- X) = - bűn X,

ezt a függvényt könnyű ábrázolni a [- π , 0].

Az y = sin x függvény 2π periódusú periodikus ;. Ezért ennek a függvénynek a teljes grafikonjának elkészítéséhez elegendő az ábrán látható görbét periodikusan egy ponttal balra és jobbra folytatni. 2π .

Az így kapott görbét ún szinuszos . Ez a függvény grafikonja y = sin x.

Az ábra jól szemlélteti a függvény összes tulajdonságát y = sin x , amit korábban már bebizonyítottunk. Emlékezzünk vissza ezekre a tulajdonságokra.

1) Funkció y = sin x minden értékre meghatározva X , tehát a tartománya az összes valós szám halmaza.

2) Funkció y = sin x korlátozott. Az általa elfogadott összes érték -1 és 1 között van, beleértve ezt a két számot is. Következésképpen ennek a függvénynek a változási tartományát a -1 egyenlőtlenség határozza meg < at < 1. Mikor X = π / 2 + 2k π a függvény a legnagyobb 1-gyel egyenlő értékeket veszi fel, és x = - esetén π / 2 + 2k π - a legkisebb értékek egyenlőek -1-gyel.

3) Funkció y = sin x páratlan (a szinuszhullám szimmetrikus az origóra).

4) Funkció y = sin x periodikus a 2. periódussal π .

5) 2n időközönként π < x < π + 2n π (n bármely egész szám) pozitív, és intervallumokban π + 2k π < X < 2π + 2k π (k bármely egész szám) negatív. x = k-nél π a függvény nullára megy. Ezért az x argumentum ezen értékei (0; ± π ; ±2 π ; ...) függvényeket nulláknak nevezzük y = sin x

6) Időközönként - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkció y = bűn x monoton és időközönként növekszik π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π monoton csökken.

Különös figyelmet kell fordítani a függvény viselkedésére y = sin x a pont közelében X = 0 .

Például sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sin 2° = sin π 2 / 180 = bűn π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Ugyanakkor meg kell jegyezni, hogy az x bármely értékéhez

| bűn x| < | x | . (1)

Valóban, legyen az ábrán látható kör sugara 1,
a / AOB = X.

Aztán bűn x= AC. De AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Ennek az ívnek a hossza nyilvánvalóan egyenlő X, mivel a kör sugara 1. Tehát 0-nál< X < π / 2

bűn x< х.

Ezért a függvény páratlansága miatt y = sin x könnyű megmutatni, hogy amikor - π / 2 < X < 0

| bűn x| < | x | .

Végül, mikor x = 0

| sin x | = | x |.

Így a | X | < π / 2 az (1) egyenlőtlenség bebizonyosodott. Valójában ez az egyenlőtlenség a |-re is igaz x | > π / 2 amiatt, hogy | bűn X | < 1, a π / 2 > 1

Gyakorlatok

1.A függvény grafikonja szerint y = sin x határozzuk meg: a) sin 2; b) sin 4; c) bűn (-3).

2.A függvény grafikonja szerint y = sin x határozza meg, melyik szám az intervallumból
[ - π / 2 , π / 2 ] szinusza egyenlő: a) 0,6; b) -0,8.

3. A függvény grafikonja szerint y = sin x határozza meg, hogy mely számoknak van szinusza,
egyenlő 1/2.

4. Határozza meg megközelítőleg (táblázatok nélkül): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

Vissza Előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes funkcióját. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

A vas rozsdásodik anélkül, hogy hasznot találna,
az álló víz megrohad vagy megfagy a hidegben,
és az ember elméje, nem találva magának hasznot, elsorvad.
Leonardo da Vinci

Alkalmazott technológiák: probléma alapú tanulás, kritikus gondolkodás, kommunikatív kommunikáció.

Célok:

A tanulás iránti kognitív érdeklődés fejlesztése.
Az y = sin x függvény tulajdonságainak tanulmányozása.
Gyakorlati készségek kialakítása az y = sin x függvény grafikonjának megalkotásában a tanulmányozott elméleti anyag alapján.

Feladatok:

1. Használja ki az y = sin x függvény tulajdonságairól meglévő tudásban rejlő lehetőségeket adott helyzetekben.

2. Alkalmazza az y = sin x függvény analitikai és geometriai modelljei közötti összefüggések tudatos felépítését.

Fejleszteni kell a kezdeményezőkészséget, bizonyos hajlandóságot és érdeklődést a megoldás keresésében; döntéshozatal képessége, ne álljon meg itt, és megvédje álláspontját.

Elősegíti a tanulókban a kognitív tevékenységet, a felelősségérzetet, az egymás iránti tiszteletet, a kölcsönös megértést, a kölcsönös támogatást és az önbizalmat; kommunikációs kultúra.

Az óra előrehaladása

1. szakasz. Alapismeretek felfrissítése, új tananyag tanulásának motiválása

– Belépés a leckébe.

A táblára három állítás van felírva:

A sin t = a trigonometrikus egyenletnek mindig vannak megoldásai.
Egy páratlan függvény grafikonja az Oy tengely körüli szimmetriatranszformációval szerkeszthető meg.
Egy trigonometrikus függvény egy fő félhullámmal ábrázolható.

A tanulók párban megbeszélik: igazak az állítások? (1 perc). A kezdeti megbeszélés eredményei (igen, nem) ezután bekerülnek a táblázatba az "Előtte" oszlopban.

A tanár határozza meg az óra céljait és célkitűzéseit.

2. Az ismeretek frissítése (frontálisan egy trigonometrikus kör modelljén).

Az s = sin t függvénnyel már megismerkedtünk.

1) Milyen értékeket vehet fel a t változó? Mi ennek a funkciónak a hatóköre?

2) Milyen intervallumban vannak a sin t kifejezés értékei? Keresse meg az s = sin t függvény legnagyobb és legkisebb értékét.

3) Oldja meg a sin t = 0 egyenletet!

4) Mi történik egy pont ordinátájával, amikor az az első negyedben mozog? (az ordináta nő). Mi történik egy pont ordinátájával, amikor a második negyedben mozog? (az ordináta fokozatosan csökken). Hogyan kapcsolódik ez a függvény monotonitásához? (az s = sin t függvény a szakaszon növekszik, a szakaszon csökken).

5) Írjuk fel az s = sin t függvényt a számunkra ismerős y = sin x formában (a szokásos xOy koordinátarendszerben fogjuk megszerkeszteni), és állítsuk össze a függvény értékeinek táblázatát.

X	0
at	0			1			0

2. szakasz. Érzékelés, megértés, elsődleges konszolidáció, akaratlan memorizálás

4. szakasz. Az ismeretek és a tevékenységi módszerek elsődleges rendszerezése, átadása és alkalmazása új helyzetekben

6. No. 10.18 (b,c)

5. szakasz. Végső ellenőrzés, javítás, értékelés és önértékelés

7. Visszatérünk az állításokhoz (az óra eleje), megbeszéljük az y = sin x trigonometrikus függvény tulajdonságait, és kitöltjük a táblázat „Utána” oszlopát.

8. D/z: 10. záradék, 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Ebben a leckében részletesen megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, alapvető tulajdonságait és grafikonját. Az óra elején megadjuk az y = sin t trigonometrikus függvény definícióját a koordinátakörön, és figyelembe vesszük a függvény grafikonját a körön és az egyenesen. Mutassuk meg ennek a függvénynek a periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény főbb tulajdonságait. Az óra végén néhány egyszerű feladatot oldunk meg egy függvény grafikonjának és tulajdonságainak segítségével.

Téma: Trigonometrikus függvények

Lecke: y=sinx függvény, alapvető tulajdonságai és grafikonja

Egy függvény mérlegelésekor fontos, hogy minden argumentumértéket egyetlen függvényértékhez társítsunk. Ez levelezés törvényeés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a megfelelési törvényt.

Bármely valós szám megfelel az egységkör egyetlen pontjának. Egy pontnak egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.

A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.

Az ábra azt mutatja mert az egységkör egy pontjának ordinátája.

Tekintsük a függvény grafikonját. Emlékezzünk vissza az érv geometriai értelmezésére. Az argumentum a központi szög, radiánban mérve. A tengely mentén valós számokat vagy szögeket ábrázolunk radiánban, a tengely mentén pedig a függvény megfelelő értékeit.

Például az egységkörön lévő szög megfelel a grafikon egy pontjának (2. ábra).

Megkaptuk a függvény grafikonját a területen, de a szinusz periódusának ismeretében a függvény grafikonját a teljes definíciós tartományban ábrázolhatjuk (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a grafikon egy szegmensen megkapható, majd az egész definíciós tartományon keresztül folytatható.

Tekintsük a függvény tulajdonságait:

1) A meghatározás hatálya:

2) Értéktartomány:

3) Páratlan függvény:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A gráf és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf ordinátatengellyel való metszéspontjának koordinátái:

7) Intervallumok, amelyeknél a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Azok az időközök, amelyeknél a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő időközök:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Minimum pont:

12) Minimális funkciók:

13) Maximális pont:

14) Maximális funkciók:

Megnéztük a függvény tulajdonságait és grafikonját. A tulajdonságok többször is felhasználásra kerülnek a problémák megoldása során.

Hivatkozások

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv általános oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra és matematikai elemzés a 10. évfolyamhoz (tankönyv iskolák és osztályok tanulói számára haladó szintű matematikával - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés elmélyült tanulmányozása.-M.: Oktatás, 1997.

5. Matematikai feladatgyűjtemény felsőoktatási intézményekbe jelentkezők számára (szerkesztette: M.I. Skanavi - M.: Higher School, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrai szimulátor.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebrai problémák és elemzési elvek (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. osztályos tanulói számára - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Algebrai feladatgyűjtemény és elemzési elvek: tankönyv. pótlék 10-11 évfolyamon. mélységgel tanult Matematika.-M.: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profilszint), szerk.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes források

3. Oktatási portál a vizsgákra való felkészüléshez ().