Mekkora távolságra van a horizonttól a földön álló megfigyelő? A választ – a horizont hozzávetőleges távolságát – a Pitagorasz-tétel segítségével találhatjuk meg.

A hozzávetőleges számítások elvégzéséhez azt a feltételezést tesszük, hogy a Föld gömb alakú. Ekkor egy függőlegesen álló ember a Föld sugarának folytatása, a horizont felé irányuló látóvonal pedig a gömb (a föld felszíne) érintője lesz. Mivel az érintő merőleges az érintkezési pontra húzott sugárra, a háromszög (a Föld közepe) - (érintkezési pont) - (a megfigyelő szeme) téglalap alakú.

Ennek két oldala ismert. Az egyik láb hossza (a derékszöggel szomszédos oldal) egyenlő a Föld sugarával $R$, a befogó hossza (a derékszöggel szemközti oldal) pedig egyenlő: $R+h $, ahol $h$ a Föld és a megfigyelő szeme közötti távolság.

A Pitagorasz-tétel szerint a lábak négyzeteinek összege megegyezik a befogó négyzetével. Ez azt jelenti, hogy a horizont távolsága az
$$
d=\sqrt((R+h)^2-R^2) = \sqrt((R^2+2Rh+h^2)-R^2) =\sqrt(2Rh+h^2).
$$A $h^2$ mennyiség nagyon kicsi a $2Rh$ kifejezéshez képest, így a hozzávetőleges egyenlőség igaz
$$
d\sqrt(2Rh).
$$
Ismeretes, hogy $R 6400$ km, vagy $R 64\cdot10^5$ m Feltételezzük, hogy $h 1(,)6$ m
$$
d\sqrt(2\cdot64\cdot10^5\cdot 1(,)6)=8\cdot 10^3 \cdot \sqrt(0(,)32).
$$A $\sqrt(0(,)32) 0(,)566$ hozzávetőleges értéket használva azt kapjuk, hogy
$$
d 8\cdot10^3 \cdot 0(,)566=4528.
$$A kapott válasz méterben van megadva. Ha a megfigyelőtől a horizontig mért hozzávetőleges távolságot kilométerekre konvertáljuk, $d 4,5$ km-t kapunk.

Ezen kívül három mikroplot is kapcsolódik a vizsgált problémához és az elvégzett számításokhoz.

ÉN. Hogyan függ össze a horizonttól való távolság a megfigyelési pont magasságváltozásával? A $d \sqrt(2Rh)$ képlet megadja a választ: a $d$ távolság megkétszerezéséhez a $h$ magasságot meg kell négyszerezni!

II. A $d \sqrt(2Rh)$ képletben négyzetgyököt kellett venni. Természetesen az olvasó magához vehet egy beépített számológéppel ellátott okostelefont is, de először is érdemes átgondolni, hogyan oldja meg ezt a problémát a számológép, másodszor pedig érdemes megtapasztalni a mentális szabadságot, a „mindent tudótól való függetlenséget”. ” kütyü.

Van egy algoritmus, amely a gyökérkivonást egyszerűbb műveletekre - a számok összeadásra, szorzásra és osztásra - redukálja. Az $a>0$ szám gyökének kivonásához vegye figyelembe a sorozatot
$$
x_(n+1)=\frac12 (x_n+\frac(a)(x_n)),
$$ ahol $n=0$, 1, 2, … és $x_0$ tetszőleges pozitív szám lehet. A $x_0$, $x_1$, $x_2$, … sorozat nagyon gyorsan konvergál a $\sqrt(a)$-hoz.

Például a $\sqrt(0.32)$ kiszámításakor a következőt veheti fel: $x_0=0.5$. Majd
$$
\eqalign(
x_1 &=\frac12 (0,5+\frac(0,32)(0,5))=0,57,\cr
x_2 &=\frac12 (0,57+\frac(0,32)(0,57)) 0,5657.\cr)
$$Már a második lépésnél megkaptuk a választ, a harmadik tizedesjegyben helyesen ($\sqrt(0.32)=0.56568…$)!

III. Néha az algebrai képletek olyan egyértelműen ábrázolhatók geometriai alakzatok elemei közötti kapcsolatként, hogy a teljes „bizonyítás” egy rajzban rejlik a „Nézd!” felirattal. (az ősi indiai matematikusok stílusában).

Az összeg négyzetére használt „rövidített szorzás” képlet geometriailag is magyarázható
$$
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.
$$Jean-Jacques Rousseau a „Vallomások” című könyvében ezt írta: „Amikor először számítással fedeztem fel, hogy egy binomiális négyzete egyenlő a tagjai négyzetének összegével és kettős szorzatával, a szorzás helyessége ellenére I. előadták, nem akartam elhinni, amíg meg nem rajzoltam a figurákat."

Irodalom

• Perelman Ya I. Szórakoztató geometria a szabad levegőn és otthon. - L.: Idő, 1925. - [És Ya I. Perelman „Entertaining Geometry” című könyvének bármely kiadása].

A föld alakja és méretei

A Föld, mint anyagi test általános alakját a részecskéire ható belső és külső erők határozzák meg. Ha a Föld egy álló, homogén test lenne, és csak belső gravitációs erőknek lenne kitéve, akkor gömb alakú lenne. A Föld tengelye körüli forgása által kiváltott centrifugális erő hatása határozza meg a Föld pólusok laposságát. Belső és külső erők hatására a Föld fizikai (topográfiai) felszíne szabálytalan, összetett formát alkot. Ugyanakkor a Föld fizikai felszínén számos szabálytalanság található: hegyek, gerincek, völgyek, medencék stb. Lehetetlen egy ilyen alakot leírni bármilyen analitikai függőséggel. Ugyanakkor a geodéziai feladatok végleges megoldásához egy bizonyos matematikailag szigorú ábrára kell támaszkodni - csak akkor lehet számítási képleteket szerezni. Ez alapján a Föld alakjának és méretének meghatározásának feladatát általában két részre osztják:

1) a Földet általában ábrázoló tipikus alak alakjának és méretének megállapítása;

2) a Föld fizikai felületének ettől a tipikus ábrától való eltéréseinek tanulmányozása.

Ismeretes, hogy a Föld felszínének 71% -át tengerek és óceánok borítják, a szárazföld pedig csak 29%. A tengerek és óceánok felszínére jellemző, hogy bármely pontján merőleges a függővonalra, i.e. a gravitáció iránya (ha a víz nyugalomban van). A gravitáció iránya tetszőleges ponton beállítható, és ennek megfelelően ennek az erőnek az irányára merőleges felületet lehet kialakítani. Olyan zárt felület, amely bármely pontban merőleges a gravitáció irányára, azaz. a függővonalra merőlegeset sík felületnek nevezzük.

A nyugodt állapotú tengerek és óceánok átlagos vízszintjével egybeeső, a kontinensek alatt mentálisan folytatódó szintfelszínt fő (kezdeti, nulla) szintfelszínnek nevezzük. A geodéziában a Föld általános alakját a fő szintfelület által határolt alakzatnak tekintik, és az ilyen alakzatot geoidnak nevezik (1.1. ábra).

A geoid különleges összetettsége és geometriai szabálytalansága miatt egy másik alakzat váltja fel - egy ellipszoid, amelyet az ellipszis kistengelye körüli forgatásával alakítanak ki. RR 1 (1.2. ábra). Az ellipszoid méreteit számos ország tudósai többször is meghatározták. Az Orosz Föderációban F.N. professzor irányítása alatt számították ki. Krasovsky 1940-ben és 1946-ban a Szovjetunió Minisztertanácsa határozatával a következőket hagyta jóvá: a fél-főtengely A= 6 378 245 m, fél-minor tengely b= 6 356 863 m, kompresszió

A Föld ellipszoidja úgy van orientálva a Föld testében, hogy felülete a legjobban illeszkedik a geoid felületéhez. A Föld testében meghatározott méretű és meghatározott módon orientált ellipszoidot referencia ellipszoidnak (szferoidnak) nevezzük.

A geoid legnagyobb eltérése a gömbtől 100-150 m Azokban az esetekben, amikor a gyakorlati feladatok megoldása során a Föld alakját gömbnek vesszük, a gömb sugarát, amely térfogatban megegyezik a Krasovsky-ellipszoiddal. van R= 6 371 110 m = 6371,11 km.

Gyakorlati feladatok megoldásánál a Föld tipikus alakjának egy gömböt vagy gömböt veszünk, kis területeken pedig egyáltalán nem veszik figyelembe a Föld görbületét. Az ilyen eltérések tanácsosak, mivel a geodéziai munka leegyszerűsödik. De ezek az eltérések torzulásokhoz vezetnek, amikor a Föld fizikai felületét a geodéziában projekciós módszernek nevezik.

A vetítési módszer a térképek és tervek elkészítésében azon a tényen alapul, hogy a Föld fizikai felszínén lévő pontok A, Bés így tovább függővezetékekkel egy vízszintes felületre vetítik (lásd: 1.3. ábra, A,b). Pontok a, bés így tovább a fizikai felület megfelelő pontjainak vízszintes vetületeinek nevezzük. Ezután különböző koordináta-rendszerek segítségével meghatározzák ezeknek a pontoknak a helyzetét egy sík felületen, majd kirajzolhatók egy papírlapra, azaz egy szegmens kerül a papírlapra. ab, amely a szakasz vízszintes vetülete AB. De azért, hogy a szegmens tényleges értékét a vízszintes vetületből meghatározzuk AB, tudnia kell a hosszokat aAÉs bB(lásd: 1.3. ábra, b), azaz távolságok a pontoktól AÉs IN sík felületre. Ezeket a távolságokat a tereppontok abszolút magasságának nevezzük.

Így a térképek és tervek elkészítésének feladata két részre oszlik:

pontok vízszintes vetületeinek helyzetének meghatározása;

tereppontok magasságának meghatározása.

A pontok síkra vetítésekor, nem pedig sík felületre, torzulások jelennek meg: szegmens helyett ab lesz egy szegmens a"b" tereppont magasságok helyett aAÉs bB akarat a"AÉs b"B(lásd: 1.3. ábra, A,b).

Tehát a szegmensek vízszintes vetületeinek hossza és a pontok magassága sík felületre vetítve eltérő lesz, pl. a Föld görbületének figyelembevételekor, és síkra vetítéskor, amikor a Föld görbületét nem vesszük figyelembe (1.4. ábra). Ezek a különbségek a D vetítési hosszokban figyelhetők meg S = t–S, a D pontok magasságában h = b"O – bO = b"O – R.

Rizs. 1.3. Vetítési módszer

A Föld görbületének figyelembevételével kapcsolatos probléma a következőből adódik: a Földet egy sugarú golyónak tekinteni. R,meg kell határozni, hogy a szegmens melyik legnagyobb értéke S a Föld görbülete figyelmen kívül hagyható, feltéve, hogy jelenleg a relatív hiba a legpontosabb távolságméréssel (-1 cm/10 km) elfogadhatónak tekinthető. A hossztorzítás az lesz
D S = t – S = R tga - R a = R(tga – a) De mivel S kicsi a Föld sugarához képest R, akkor egy kis szögre vehetjük . Majd . De akkor is . Illetőleg és km (a legközelebbi 1 km-re kerekítve).

Rizs. 1.4. Séma a Föld görbületének befolyásának problémájának megoldására
a vetületek és magasságok torzításának mértékéről

Ebből következően a Föld gömbfelületének egy 20 km átmérőjű szakasza síknak vehető, i.e. A Föld görbülete egy ilyen területen belül a hiba alapján figyelmen kívül hagyható.

Torzulás a D pont magasságában h = b"О – bО = R seca - R = R(seca – 1). Fogadás , megkapjuk
. Különböző értékeken S kapunk:

Mérnöki és geodéziai munkák során a megengedett hiba általában nem haladja meg az 5 cm-t 1 km-enként, ezért a Föld görbületét viszonylag kis ponttávolságnál, körülbelül 0,8 km-nél kell figyelembe venni.

1.2. Általános fogalmak a térképekről, tervekről és profilokról

A fő különbség a terv és a térkép között az, hogy a földfelszín metszeteinek tervrajzon történő ábrázolásakor a megfelelő szegmensek vízszintes vetületei a Föld görbületének figyelembevétele nélkül készülnek. A térképek rajzolásakor figyelembe kell venni a Föld görbületét.

A földfelszíni területek pontos képeinek gyakorlati igényei eltérőek. Az építési projektek projektjei kidolgozásakor lényegesen magasabbak, mint a terület általános tanulmányozása, geológiai felmérések stb.

Ismeretes, hogy figyelembe véve a D távolságok mérésekor megengedett hibát S= 1 cm 10 km-enként, a Föld gömbfelületének egy 20 km átmérőjű szakasza síknak vehető, i.e. A Föld görbületét egy ilyen helyen figyelmen kívül lehet hagyni.

Ennek megfelelően a tervkészítés sematikusan a következőképpen ábrázolható. Közvetlenül a földön (lásd 1.3. ábra, A) mérje meg a távolságokat AB, Kr. e..., vízszintes szögek b 1; b 2 ... és a vonalak dőlésszögei a horizonthoz képest n 1, n 2 .... Aztán például a terepvonal mért hosszából AB, lépjen az ortogonális vetületének hosszára a"b" vízszintes síkon, azaz. a képlet segítségével határozza meg ennek a vonalnak a vízszintes helyét a"b" = AB cosn, és bizonyos számú alkalommal (skála) csökkentve ábrázolja a szakaszt a"b" papíron. Hasonló módon kiszámítva más vonalak vízszintes helyzetét, papíron egy sokszöget kapunk (kicsinyített és hasonló a sokszöghez a"b"c"d"e"), amely a terület vázlatos terve ABCDE.

terv – kicsinyített és hasonló kép a földfelszín egy kis területének vízszintes vetítési síkján, a föld görbületének figyelembevétele nélkül.

A terveket általában tartalom és lépték szerint osztják fel. Ha csak helyi objektumok vannak a terven ábrázolva, akkor az ilyen tervet kontúrnak (helyzeti) nevezzük. Ha a terv ezen kívül a domborművet is mutatja, akkor egy ilyen tervet topográfiainak neveznek.

A szabványos terv méretaránya 1:500; 1:1000; 1:2000; 1:5000.

A térképeket általában a földfelszín széles területére készítik, és figyelembe kell venni a föld görbületét. Egy ellipszoid vagy gömb metszetének képe nem vihető át törés nélkül a papírra. Ugyanakkor a megfelelő térképek speciális problémák megoldására szolgálnak, például távolságok, területi területek stb. A térképek fejlesztése során nem a torzítások teljes kiküszöbölése a cél, ami lehetetlen, hanem a torzítások csökkentése és az értékük matematikai meghatározása, hogy a torzított képekből ki lehessen számítani a valós értékeket. Erre a célra térképi vetületeket használnak, amelyek lehetővé teszik egy gömb vagy gömb felületének síkon való ábrázolását a térképen méréseket biztosító matematikai törvények szerint.

A térképekkel szemben támasztott különféle követelmények meghatározták számos térképvetület jelenlétét, amelyek egyenlő szögűre, egyenlő területre és tetszőlegesre vannak felosztva. Egy gömb egyenszögű (konformális) síkra vetített vetületeiben az ábrázolt alakzatok szögei megmaradnak, de pontról pontra haladva a lépték megváltozik, ami véges méretű alakzatok torzulásához vezet. A térkép azon kis területei azonban, amelyeken belül a léptékváltozások nem jelentősek, figyelembe vehetőek és tervként használhatók.

Egyenlő területű (ekvivalens) vetítéseknél a gömbön és a térképen lévő tetszőleges alakzatok területének aránya megmarad, azaz. a területek léptéke mindenhol egyforma (különböző irányokban eltérő léptékkel).

Tetszőleges vetítéseknél sem egyenlőség, sem egyenlő terület nem figyelhető meg. Kis méretarányú áttekintő térképekhez használják, valamint speciális térképekhez olyan esetekben, amikor a térképek valamilyen konkrét hasznos tulajdonsággal rendelkeznek.

Térkép – bizonyos matematikai törvények szerint megszerkesztve, a Föld felszínének kicsinyített és általánosított képe egy síkon.

A térképeket általában tartalom, cél és lépték szerint osztják fel.

A térképek tartalmilag általános földrajzi és tematikusak, céljukat tekintve pedig egyetemesek és különlegesek lehetnek. Az univerzális célú általános földrajzi térképeken a földfelszín minden fő eleme (települések, vízrajz stb.) látható. A speciális térképek matematikai alapja, tartalma és kialakítása rendeltetésüktől függ (tengeri, repülési és sok más, viszonylag szűk célú térkép).

A méretarány alapján a térképeket hagyományosan három típusra osztják:

nagyméretű (1:100 000 és nagyobb);

közepes léptékű (1:200 000 – 1:1 000 000);

kisméretű (1:1 000 000-nél kisebb).

A térképek, akárcsak a tervek, kontúrok és topográfiaiak. Az Orosz Föderációban az állami topográfiai térképeket 1:1 000 000 – 1:10 000 méretarányban teszik közzé.

Azokban az esetekben, amikor a mérnöki építmények tervezésénél térképeket vagy terveket használnak, az optimális megoldás eléréséhez különösen fontos a láthatóság a Föld fizikai felületéhez viszonyítva bármely irányba. Például lineáris építmények (utak, csatornák stb.) tervezésekor szükséges: a lejtők meredekségének részletes felmérése az útvonal egyes szakaszaiban, az út talaj-, talaj- és hidrológiai viszonyainak világos megértése. terület, amelyen az útvonal áthalad. A profilok biztosítják ezt a láthatóságot, lehetővé téve, hogy megalapozott mérnöki döntéseket hozzon.

Profil– egy kép a földfelszín egy adott irányú függőleges metszetének síkján. A földfelszín egyenetlenségei észrevehetőbbé tételéhez a függőleges skálát a vízszintesnél nagyobbra kell választani (általában 10-20-szor). Így a profil általában nem hasonló, hanem a földfelszín függőleges szakaszának torz képe.

Skála

Szegmensek vízszintes vetületei (lásd 1.3. ábra, b szegmensek ab vagy a"b") térképek és tervek készítésekor azokat papíron kicsinyített formában ábrázolják. Az ilyen csökkentés mértékét a skála jellemzi.

Skála térkép (terv) - a térképen (tervben) lévő vonal hosszának és a megfelelő terepvonal vízszintes elrendezésének hosszának aránya:

.

A skála lehet numerikus vagy grafikus. A numerikus skála kétféleképpen van rögzítve.

1. Egyszerű törtként – a számláló egy, a nevező a csökkentés mértéke m például (vagy M = 1:2000).

2. Nevezett arány formájában, például 1 cm 20 m Az ilyen arány célszerűségét az határozza meg, hogy a domborzat térképen történő tanulmányozásakor kényelmes és szokásos a szakaszok hosszának becslése. a térképet centiméterben, valamint a talajon lévő vízszintes vonalak hosszát méterben vagy kilométerben. Ehhez a numerikus léptéket különböző típusú mértékegységekké alakítják át: a térkép 1 cm-e ilyen-olyan méter (kilométer) terepnek felel meg.

1. példa. A terven (1 cm 50 m) a pontok távolsága 1,5 cm Határozza meg a talajon lévő azonos pontok közötti vízszintes távolságot!

Megoldás: 1,5 × 5000 = 7500 cm = 75 m (vagy 1,5 × 50 = 75 m).

2. példa A talaj két pontja közötti vízszintes távolság 40 m. Mekkora lesz a távolság a terv azonos pontjai között? M = 1:2000 (1 cm-ben 20 m-ben)?

Megoldás: lásd .

A számítások elkerülése és a munka felgyorsítása érdekében használjon grafikus skálákat. Két ilyen skála létezik: lineáris és keresztirányú.

Építeni lineáris skála válasszon egy kezdeti szakaszt, amely megfelel az adott léptéknek (általában 2 cm hosszú). Ezt a kezdeti szegmenst skálabázisnak nevezzük (1.5. ábra). Az alapot a szükséges számú alkalommal egyenes vonalra fektetjük, a bal szélső alapot részekre osztjuk (általában 10 részre). Ezután a lineáris skála előjelezése annak a numerikus skála alapján történik, amelyhez készült (1.5. ábra, A Mert M = 1:25 000). Egy ilyen lineáris skála lehetővé teszi egy szegmens meghatározott módon történő becslését az alap 0,1 törtrészének pontossággal, ennek a törtrésznek egy további részét szemmel kell megbecsülni.

A szükséges mérési pontosság érdekében a térképsík és a mérőiránytű egyes szárai közötti szöget (1.5. ábra, b) nem lehet kisebb 60°-nál, és a szegmens hosszát legalább kétszer meg kell mérni. Eltérés D S, m a mérési eredmények között kell lennie , Hol T– az ezresek száma a numerikus skála nevezőjében. Így például a szegmensek térképen történő mérésekor Més lineáris léptéket használva, amelyet általában a térképlap keretének déli oldala mögött helyeznek el, a kettős mérések eltérései nem haladhatják meg az 1,5 × 10 = 15 m-t.

Rizs. 1.5. Lineáris skála

Ha a szakasz hosszabb, mint a szerkesztett lineáris skála, akkor részekben mérjük. Ebben az esetben a mérési eredmények közötti eltérés az előre és hátra irányban nem haladhatja meg a , ahol p – a mérőbeállítások száma adott szakasz mérésekor.

A pontosabb mérésekhez használja keresztirányú lépték, további függőleges felépítéssel lineáris léptékben (1.6. ábra).

A szükséges számú skálaalap félretétele után (szintén általában 2 cm hosszú, ekkor a léptéket normálnak nevezzük) visszaállítjuk az eredeti vonalra merőlegeseket, és egyenlő szegmensekre osztjuk. m alkatrészek). Ha az alap fel van osztva nábrán látható módon ferde vonalakkal (transzverzális) kötik össze a felső és az alsó alap részeit és elosztási pontjait. 1.6, majd a szegmens . Ennek megfelelően a szegmens ef= 2CD;рq = 3CD stb Ha m = n= 10, akkor cd = 0,01 bázis, azaz egy ilyen keresztirányú skála lehetővé teszi egy szegmens bizonyos módon történő értékelését az alap 0,01 törtrészének pontossággal, ennek a törtrésznek egy további része - szemmel. Keresztirányú skála, melynek alaphossza 2 cm és m = n = A 10-et századik normálisnak nevezzük.

Rizs. 1.6. Keresztskála felépítése

A keresztirányú skála fém vonalzókra van vésve, amelyeket mérlegnek neveznek. A skálavonalzó használata előtt értékelje ki a bázist és annak megosztásait az alábbi ábra szerint.

Legyen a numerikus méretarány 1:5000, a megnevezett arány: 1 cm 50 m Ha a keresztirányú lépték normál (2 cm, 1.7. ábra), akkor az alap 100 m lesz. 0,1 alap – 10 m; 0,01 bázis – 1 m Egy adott hosszúságú szakasz lefektetésének feladata az alapok számának, tizedrészeinek és századrészeinek meghatározása, és szükség esetén a legkisebb tört részének szem alapján történő meghatározása. Tegye például, hogy félre szeretne tenni egy szegmenst d = 173,35 m, azaz a mérőmegoldásba be kell venni: 1 alap +7 (0,1 bázis) +3 (0,01 bázis) és szemmel a vízszintes vonalak közé kell helyezni a mérő lábait 3 És 4 (lásd 1.7. ábra) úgy, hogy a vonal AB vágjon le 0,35-öt a sorok közötti távolságból (szegmens DE). Az inverz feladat (a mérőmegoldásba vett szakasz hosszának meghatározása) ennek megfelelően fordított sorrendben oldódik meg. Miután a mérőtűket a megfelelő függőleges és ferde vonalakhoz igazítottuk úgy, hogy a mérő mindkét lába ugyanazon a vízszintes vonalon legyen, leolvassuk az alapok számát és megosztásait ( d BG = 235,3 m).

Rizs. 1.7. Keresztirányú skála

A tervek elkészítése érdekében végzett terepfelmérések során óhatatlanul felmerül a kérdés: mekkora a legkisebb méretű domborzati objektum, amelyet meg kell jeleníteni a terven? Nyilvánvaló, hogy minél nagyobb a felvételi lépték, annál kisebb lesz az ilyen objektumok lineáris mérete. A terv egy adott léptékével kapcsolatos döntés meghozatala érdekében bevezetik a léptékpontosság fogalmát. Ebben az esetben a következőkből indulunk ki. Kísérletileg bebizonyosodott, hogy körzővel és skálavonalzóval nem lehet 0,1 mm-nél pontosabban megmérni a távolságot. Ennek megfelelően skálapontosság alatt azt értjük, hogy egy adott léptékű síkon 0,1 mm-nek megfelelő szakasz hossza a talajon. Szóval, ha M 1:2000, akkor a pontosság: , De d pl = akkor 0,1 mm d lokális = 2000 × 0,1 mm = 200 mm = 0,2 m Következésképpen ezen a méretarányon (1:2000) a maximális grafikai pontosság a vonalak rajzolásakor 0,2 m-es értékkel jellemezhető, bár a talajon lévő vonalak lehetnek. nagyobb pontossággal kell mérni.

Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a kontúrok relatív helyzetének egy terven történő mérésekor a pontosságot nem a grafikus pontosság határozza meg, hanem maga a terv pontossága, ahol a hibák átlagosan 0,5 mm-esek lehetnek az egyéb hibák hatása miatt. mint a grafikusok.

Gyakorlati rész

I. Oldja meg a következő feladatokat!

1. Határozza meg a numerikus léptéket, ha egy 50 m hosszú terepvonal vízszintes elhelyezkedését a terven egy 5 cm-es szakasz fejezi ki!

2. A terven olyan épületet kell feltüntetni, amelynek tényleges hossza 15,6 m Határozza meg az épület hosszát a terven mm-ben.

II. Készítsen lineáris léptéket egy 8 cm hosszú vonal húzásával (lásd 1.5. ábra, A). Miután kiválasztottunk egy 2 cm hosszú skálalapot, tegyünk félre 4 alapot, a bal szélső alapot osszuk 10 részre, digitalizáljuk három mérlegre: ; ; .

III. Oldja meg a következő problémákat.

1. Terítsen papírra egy 144 m hosszú szakaszt a három jelzett léptékben.

2. A képzési térkép lineáris léptékével mérje meg a három szakasz vízszintes hosszát. Értékelje a mérési pontosságot a függés segítségével! Itt T– az ezresek száma a numerikus skála nevezőjében.

IV. Skálavonalzó segítségével oldja meg a következő problémákat.

Írja fel papírra a terepvonalak hosszát, a gyakorlat eredményeit rögzítse a táblázatban! 1.1.

„Élt egyszer egy ember

kicsavart lábak..."

Egy gyerekverses könyvből.

Ez a vers nem csak a görbe lábakról szól. Ott minden csavar és görbe. És nem csak ott. Reggel, munkába, iskolába menve, vagy este hazafelé közeledve semmilyen módon nem érezzük a Föld görbületét (szintén, mint kiderült, görbén). Inkább akadályoznak minket mindenféle görbe zökkenők az utunkban. Ezért a Föld görbülete bizonyos mértékig relatív dolog.

Viszonylag kis területeken végzett geodéziai munkák során a Föld felszíne síknak vehető, a mért távolságok síkképen a megfelelő távolságokkal egyenlőnek vehetőek gömbfelületen. Leggyakrabban éppen ilyen jellegű munkákat kell kis területen végezni: építkezésen belül, bányaterületen stb. Jelentős távolságok mérésekor figyelembe kell venni a Föld felszínének görbületének hatását. De amint azt később látni fogjuk, bizonyos távolságok megméréséhez figyelembe kell venni a Föld görbületét még viszonylag kis távolságok esetén is.

A bemutatás egyszerűsége érdekében tegyük fel, hogy a Föld egy sugarú gömb R(a gömbként ábrázolt Föld sugarát 6371,11 km-nek vesszük). Tegyük fel, hogy a labda felülete mentén a ponttól A a lényegre IN az anyagi pont mozog (gurul) (2.1. ábra), míg a távolság S = AB, amellyel ez a pont a labda felületén fog haladni egyenlő

Ahol α - az ív középső szöge AB(radiánban).

Tegyük fel, hogy a pont érintõje a ponthoz A a labda felszínére, és egy út halad végig rajta S o = AB", amely megfelel a labda felületén lévő mozgásnak az úton S. Értékért S oírható:

. (2.2)

Különbség a megtett távolságokban ΔS = (S o - S) = R (tgα – α)és hiba lesz a mért távolságban a Föld görbülete miatt.

Kis szögekhez α függvény sorozattá bővítésekor tan α kapunk

, (2.3)

és behelyettesítés után a kifejezésbe S-

, (2.4)

mert α = S/R.

Hasonlóképpen nézzük meg a Föld görbületének hatását a függőleges távolságok meghatározására.

Matematikailag megállapították, hogy a hiba (eltérés) h, egyenlő a szegmensek különbségével OV"És OB = R, megtalálható a korábban elfogadott paramétereken keresztül a képlet segítségével

vagy a kis különbség miatt SÉs S o kicsiben α És h, - a képlet szerint

. (2.6)

A függőleges és vízszintes távolságok mérésénél előforduló lehetséges hibák becslését a táblázat tartalmazza. 2.1.

2.1. táblázat

A mért távolságok hibái a Föld görbülete miatt

A magasabb osztályú geodéziai hálózatokban a mérővonalak pontosságát 1:400000 nagyságrendű relatív hiba határozza meg, ami gyakorlatilag összehasonlítható S= 10 km (és persze több mint 10 km). 10 km-ig vízszintes távolságok mérésénél sok esetben elhanyagolható a Föld görbületének befolyása.

A szerző elnézést kér, amiért a koncepciót beemelte a történetbe relatív hiba, igen és abszolút hiba, ennek a fogalomnak a szükséges magyarázata nélkül. Kiderül, hogy koncepció koncepció nélkül. De erről majd később részletesebben lesz szó, de most a szerző szerintem helyesen gondolta úgy, hogy az olvasó érti a szót hiba a szó meghatározása nélkül is. Nos, a relatív hiba ugyanaz a hiba, csak egyszerűen más formában van kifejezve. Például, ha a 8 mm-es abszolút hibát elosztjuk a mért 10 km-es távolsággal (lásd a 2.1. táblázatot), akkor a következő relatív hibát kapja: 1/1250000.

Teljesen más kép figyelhető meg a függőleges szegmensek hibáinak értékelése során. A fenti figyelmeztetés pontosan erről szólt. A magasságok meghatározásának pontosságát a geodéziai munkák során, például a topográfiai felmérések során, az 5 cm-es érték határozza meg, i.e. már a távolságokra S= 1000 m figyelembe kell venni a Föld görbületét. Ha a mérési pontosság nagyobb, például 5 mm vagy kevesebb, akkor a Föld görbületének figyelembevételével körülbelül 250-300 m távolságra kell kezdődnie, ami a (2.6) képlet segítségével fordított számítással könnyen ellenőrizhető.