Az egyenes és a kör egymáshoz viszonyított helyzete attól függ. lecke "Egy egyenes és egy kör egymáshoz viszonyított helyzete"

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

AZ EGYENES ÉS KÖR GEOMETRIA RELATÍV HELYZETE 8. osztály L.A. Atanasyan tankönyve szerint

Szerinted hány közös pontja lehet egy egyenesnek és egy körnek? KÖRÜLBELÜL

O Először emlékezzünk meg, hogyan kell kört meghatározni Kör (O, r) r – sugár r A B AB – húr C D CD – átmérő

Vizsgáljuk meg az egyenes és a kör egymáshoz viszonyított helyzetét az első esetben: d – a kör középpontja és az egyenes távolsága O A B N d

Második eset: O N r egy közös pont d = r d – távolság a kör középpontjától a d egyenesig

Harmadik eset: O H d r d > r d – a kör középpontja és az egyenes közötti távolságnak nincs közös pontja

Hány közös pontja lehet egy egyenesnek és egy körnek? d r két közös pont egy közös pontnak nincs közös pontja Ha a kör középpontja és az egyenes távolsága kisebb, mint a kör sugara, akkor az egyenesnek és a körnek két közös pontja van. Ha a kör középpontja és az egyenes távolsága egyenlő a kör sugarával, akkor az egyenesnek és a körnek csak egy közös pontja van. Ha a kör középpontja és az egyenes távolsága nagyobb, mint a kör sugara, akkor az egyenesnek és a körnek nincs közös pontja.

A kör érintője Definíció: Az olyan egyenest, amelynek csak egy közös pontja van a körrel, a kör érintőjének, közös pontjukat pedig az egyenes és a kör érintőpontjának nevezzük. O s = r M m

Határozza meg az egyenes és a kör egymáshoz viszonyított helyzetét, ha: r = 15 cm, s = 11 cm r = 6 cm, s = 5,2 cm r = 3,2 m, s = 4,7 m r = 7 cm, s = 0,5 dm r = 4 cm, s = 4 0 mm egyenes - metszővonal - metszővonal nincs közös pont egyenes - vágó vonal - érintő

Érintő tulajdonság: A kör érintője merőleges az érintési pontra húzott sugárra. m – az O középpontú kör érintője M – érintkezési pont OM – sugár O M m

Egy ponton átmenő érintők tulajdonsága: ▼ Érintő tulajdonsággal ∆ ABO, ∆ ACO–téglalap ∆ ABO= ∆ ACO – hipotenúza és láb szerint: OA – általános, OB=OS – sugarak AB=AC és ▲ O BCA A 1 2 3 4 Egy pontból húzott kör érintőinek szakaszai egyenlőek és egyenlő szöget zárnak be az ezen a ponton és a kör középpontján átmenő egyenessel.

Érintőpróba: Ha egy egyenes átmegy egy körön fekvő sugár végén, és merőleges a sugárra, akkor érintő. OM sugarú O középpontú kör – M és m ponton átmenő egyenes – O M m érintő

633. sz. megoldás. Adott: OABC- négyzet AB = 6 cm 5 cm sugarú O középpontú kör Keresse meg: szekánsok az OA, AB, BC, AC O A B C O egyenesekből

638., 640. sz. megoldás. d/z: jegyzettanulás, 631., 635. sz.

A témában: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek

Cél: az egyenes és a sík egymáshoz viszonyított helyzetének meghatározására, a problémamegoldó képességek tesztelésére és a csapatmunka érzékének fejlesztésére való képesség megszilárdítása. ...

egy egyenes és egy kör egymáshoz viszonyított helyzete. 8. évfolyam.

Az előadás négy szóbeli feladatot tartalmaz kész rajzok segítségével megoldva. Cél: felkészíteni a tanulókat az új anyagok elsajátítására....

Egy egyenes és egy kör egymáshoz viszonyított helyzete. Két kör egymáshoz viszonyított helyzete.

Összefoglaló és előadás az "Egy egyenes és egy kör egymáshoz viszonyított helyzete. Két kör egymáshoz viszonyított helyzete" témában. Óra a 6. osztályban a "Matematika - 6" tankönyv segítségével szerk. G.V. Dorofejev, én...

Legyen adott egy kör és valamilyen egyenes egy síkon. Dobjunk erre az egyenesre egy merőlegest a C kör középpontjából; jelöljük ennek a merőlegesnek az alapjával. Egy pont a körhöz képest három lehetséges pozíciót foglalhat el: a) a körön kívül, b) a körön, c) a körön belül. Ettől függően az egyenes a körhöz képest három lehetséges különböző pozíció egyikét fogja elfoglalni, az alábbiakban leírtak szerint.

a) Legyen a kör C középpontjából az egyenesbe ejtett merőleges alapja a körön kívül (197. ábra). Ekkor az egyenes nem metszi a kört minden pontja a külső tartományban van. Valójában a jelzett esetben feltétel szerint a sugárnál nagyobb távolságra távolítják el a középponttól). Sőt, az a egyenes bármely M pontjára, amelyre rendelkezünk, azaz egy adott egyenes minden pontja a körön kívül esik.

b) A merőleges alapja essen a körre (198. ábra). Ekkor az a egyenesnek pontosan egy közös pontja van a körrel. Valóban, ha M az egyenes bármely másik pontja, akkor (a ferde pontok hosszabbak, mint a merőleges) az M pont a külső tartományban van. Az ilyen egyenest, amelynek egyetlen közös pontja van a körrel, a kört érintő érintőnek nevezzük. Mutassuk meg, hogy fordítva, ha egy egyenesnek egyetlen közös pontja van a körrel, akkor az erre a pontra húzott sugár merőleges erre az egyenesre. Valóban, ejtsünk egy merőlegest a középpontból erre az egyenesre. Ha az alapja a körön belül lenne, akkor az egyenesnek két közös pontja lenne vele, a c) szerint. Ha a körön kívül feküdne, akkor az a) pont értelmében az egyenesnek nem lenne közös pontja a körrel.

Ezért azt kell feltételezni, hogy a merőleges az egyenes és a kör közös pontjába esik - az érintési pontjukba. Fontosnak bizonyult

Tétel. A kör egy pontján átmenő egyenes akkor és csak akkor érinti a kört, ha merőleges az adott pontra húzott sugárra.

Megjegyzendő, hogy a kör érintőjének itt megadott definíciója nem vonatkozik más görbékre. Az egyenes és az ívelt vonal érintőjének általánosabb meghatározása a határelmélet fogalmaihoz kapcsolódik, és a felsőbb matematika során részletesen tárgyaljuk. Itt csak egy általános fogalmat adunk meg róla. Legyen adott egy kör és rajta az A pont (199. ábra).

Vegyünk egy másik A pontot a körön, és kössük össze az AA egyenes mindkét pontját. A kör mentén haladó A pont foglaljon el egymás után újabb pozíciókat, egyre jobban megközelítve az A pontot. Az AA körül forgó egyenes AA számos pozíciót vesz fel: ebben az esetben a mozgó pont A ponthoz közeledve , az egyenes egybeesik az AT érintővel. Ezért beszélhetünk érintőről, mint egy adott ponton áthaladó szekáns és egy görbe pontja határhelyzetéről, amely korlátlanul közelíti meg azt. Ebben a formában az érintő definíciója nagyon általános formájú görbékre alkalmazható (200. ábra).

c) Végül legyen a pont a körön belül (201. ábra). Akkor . A C középpontból az a egyenesre húzott ferde köröket fogjuk figyelembe venni, ahol az alapok két lehetséges irányban távolodnak el a ponttól. A hajlás hossza monoton nő, ahogy az alapja eltávolodik a ponttól, ez a hajlás hosszának növekedése fokozatosan ("folyamatosan") következik be a közeli értékekről az önkényesen nagy értékekre, ezért egyértelműnek tűnik, hogy a ferde alapok bizonyos helyzetében azok hossza pontosan megegyezik az egyenes megfelelő K és L pontjaival a körön.

Emlékezzünk vissza egy fontos definícióra - a kör meghatározására]

Meghatározás:

Egy kör, amelynek középpontja az O pontban van, és sugara R, a sík O ponttól R távolságra lévő összes pontjának halmaza.

Figyeljünk arra, hogy a kör halmaz mindenki pontok kielégítik a leírt feltételt. Nézzünk egy példát:

A négyzet A, B, C, D pontjai egyenlő távolságra vannak az E ponttól, de nem körök (1. ábra).

Rizs. 1. Illusztráció például

Ebben az esetben az ábra egy kör, mivel ez mind a középponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.

Ha a kör bármely két pontját összekapcsolja, akkor egy akkordot kap. A középponton áthaladó húrt átmérőnek nevezzük.

MB - akkord; AB - átmérő; Az MnB egy ív, az MV húrral összehúzódik;

A szöget központinak nevezzük.

Az O pont a kör középpontja.

Rizs. 2. Illusztráció például

Így emlékeztünk, mi a kör és fő elemei. Most térjünk át a kör és az egyenes egymáshoz viszonyított helyzetének figyelembevételére.

Adott egy O középpontú és r sugarú kör. P egyenes, a középpont és az egyenes távolsága, azaz az OM-ra merőleges, egyenlő d-vel.

Feltételezzük, hogy az O pont nem a P egyenesen fekszik.

Adott egy kör és egy egyenes, meg kell találnunk a közös pontok számát.

1. eset - a kör középpontja és az egyenes távolsága kisebb, mint a kör sugara:

Az első esetben, amikor a d távolság kisebb, mint az r kör sugara, az M pont a kör belsejében található. Ettől kezdve két szakaszt ábrázolunk - MA és MB, amelyek hossza . Ismerjük r és d értékét, d kisebb, mint r, ami azt jelenti, hogy a kifejezés létezik, és létezik A és B pont. Ez a két pont szerkezetileg egyenesen fekszik. Ellenőrizzük, hogy ráfekszenek-e a körre. Számítsuk ki az OA és OB távolságot a Pitagorasz-tétel segítségével:

Rizs. 3. Illusztráció az 1. esethez

A középpont és két pont távolsága megegyezik a kör sugarával, így bebizonyítottuk, hogy az A és B pont a körhöz tartozik.

Tehát az A és B pont konstrukciósan az egyeneshez tartozik, a körhöz tartoznak a bizonyítottan - a körnek és az egyenesnek két közös pontja van. Bizonyítsuk be, hogy nincs más pont (4. ábra).

Rizs. 4. Illusztráció a bizonyításhoz

Ehhez vegyünk egy tetszőleges C pontot egy egyenesen, és tegyük fel, hogy egy körön fekszik - távolság OS = r. Ebben az esetben a háromszög egyenlő szárú, és ON mediánja, amely nem esik egybe az OM szakasszal, a magasság. Ellentmondást kapunk: két merőlegest ejtünk az O pontból egy egyenesre.

Így a P egyenesen nincs más közös pont a körrel. Bebizonyítottuk, hogy abban az esetben, ha a d távolság kisebb, mint az r kör sugara, az egyenesnek és a körnek csak két közös pontja van.

Második eset - a kör középpontja és az egyenes távolsága megegyezik a kör sugarával (5. ábra):

Rizs. 5. Illusztráció a 2. esethez

Emlékezzünk vissza, hogy egy pont és az egyenes távolsága a merőleges hossza, ebben az esetben OH a merőleges. Mivel feltétel szerint az OH hossza megegyezik a kör sugarával, akkor H pont a körhöz tartozik, így H pont közös az egyenessel és a körrel.

Bizonyítsuk be, hogy nincs más közös pont. Ezzel szemben: tegyük fel, hogy az egyenes C pontja a körhöz tartozik. Ebben az esetben az OS távolság egyenlő r-rel, majd OS egyenlő OH-val. De derékszögű háromszögben az OC hipotenusz nagyobb, mint az OH láb. Ellentmondásunk van. Így a feltevés hamis, és a H-n kívül nincs más pont, amely közös lenne az egyenessel és a körrel. Bebizonyítottuk, hogy ebben az esetben csak egy közös pont van.

3. eset - a kör középpontja és az egyenes távolsága nagyobb, mint a kör sugara:

A pont és az egyenes távolsága a merőleges hossza. Az O pontból merőlegest húzunk a P egyenesre, így kapjuk a H pontot, amely nem fekszik a körön, mivel OH feltétel szerint nagyobb, mint a kör sugara. Bizonyítsuk be, hogy az egyenes bármely más pontja nem fekszik a körön. Ez jól látható egy derékszögű háromszögből, amelynek OM befogója nagyobb, mint az OH láb, tehát nagyobb, mint a kör sugara, így az M pont nem tartozik a körhöz, mint az egyenes bármely más pontja. Bebizonyítottuk, hogy ebben az esetben a körnek és az egyenesnek nincs közös pontja (6. ábra).

Rizs. 6. Illusztráció a 3. esethez

Mérlegeljük tétel . Tegyük fel, hogy az AB egyenesnek két közös pontja van a körrel (7. ábra).

Rizs. 7. A tétel illusztrációja

Van egy AB akkordunk. A H pont megegyezés szerint az AB húr közepe, és a CD átmérőjén fekszik.

Bizonyítani kell, hogy ebben az esetben az átmérő merőleges a húrra.

Bizonyíték:

Tekintsük az OAB egyenlő szárú háromszöget, ez egyenlő szárú, mert .

A H pont megegyezés szerint a húr felezőpontja, ami egy egyenlő szárú háromszög AB mediánjának felezőpontját jelenti. Tudjuk, hogy egy egyenlő szárú háromszög mediánja merőleges az alapjára, ami azt jelenti, hogy magassága: , tehát bebizonyosodott, hogy a húr közepén átmenő átmérő merőleges rá.

Tisztességes és fordított tétel : ha az átmérő merőleges a húrra, akkor átmegy a közepén.

Adott egy O középpontú kör, átmérője CD és AB húr. Ismeretes, hogy az átmérő merőleges a húrra, igazolni kell, hogy átmegy a közepén (8. ábra).

Rizs. 8. A tétel illusztrációja

Bizonyíték:

Tekintsük az OAB egyenlő szárú háromszöget, ez azért egyenlő szárú, mert . Az OH megegyezés szerint a háromszög magassága, mivel az átmérő merőleges a húrra. Egy egyenlőszárú háromszögben a magasság egyben a medián, így AN = HB, ami azt jelenti, hogy a H pont az AB húr felezőpontja, ami azt jelenti, hogy bebizonyosodott, hogy a húrra merőleges átmérő átmegy a felezőpontján.

A közvetlen és a fordított tétel a következőképpen általánosítható.

Tétel:

Egy átmérő akkor és csak akkor merőleges egy húrra, ha átmegy a felezőpontján.

Tehát megvizsgáltuk az egyenes és a kör egymáshoz viszonyított helyzetének összes esetét. A következő leckében a kör érintőjét nézzük meg.

Hivatkozások

1. Alexandrov A.D. stb Geometria 8. osztály. - M.: Oktatás, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria 8. - M.: Oktatás, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria 8. osztály. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.expponenta.ru ().
3. Fmclass.ru ().

Házi feladat

1. feladat Határozza meg a húr két olyan szakaszának hosszát, amelyre a kör átmérője osztja, ha a húr hossza 16 cm és az átmérője merőleges rá!

2. feladat Adja meg egy egyenes és egy kör közös pontjainak számát, ha:

a) az egyenes távolsága a kör középpontjától 6 cm, a kör sugara 6,05 cm;

b) az egyenes távolsága a kör középpontjától 6,05 cm, a kör sugara 6 cm;

c) az egyenes távolsága a kör középpontjától 8 cm, a kör sugara 16 cm.

3. feladat Határozza meg a húr hosszát, ha az átmérője merőleges rá, és az egyik átmérővel levágott szakasz 2 cm!

Ebben a leckében a kör és a vonal kölcsönhatásának különféle lehetőségeit tanulmányozzuk. Emlékezzünk vissza az ebben az esetben széles körben használt definíciókra. Az egyenes egy meghatározatlan axiomatikus geometriai alakzat, amely egyenletes egyenes, kezdete és vége nélkül. A kör a közös középponttól (a kör középpontjától) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza, amelyeket egy közös görbe köt össze. Más szavakkal, a kör egy szabályos zárt görbe, amely a lehető legnagyobb területet körvonalazza.

Szigorúan véve három lehetőség van egy kör és egy egyenes relatív helyzetére. Az első esetben az egyenes teljesen kívül fut az adott körön, anélkül, hogy azt bárhol metszi vagy érintené. Ha egy egyenes pontosan egy adott pontot érint egy kör halmazából, akkor ezt az egyenest a körhöz képest érintőnek nevezzük.

Az érintőnek van egy nagyon fontos tulajdonsága. Az érintőpontra húzott sugár merőleges magára az egyenesre. A videó egy kört mutat, amelynek középpontja O, A egyenes és K érintőpont. Mivel ez a pont szinguláris, az A egyenes érinti ezt a kört. És a sugár és az egyenes bármely része által alkotott szög K-nél helyes - egyenlő 90 fokkal. Érdemes megjegyezni egy fontos jellemzőt is - az érintőnek csak egy érintkezési pontja van. Lehetetlen úgy egyenest húzni, hogy a kör két pontját érintőlegesen érintse.
Ha az A egyenesünk a teljes körön áthalad, befolyásolva annak belső tartományát, akkor ez a harmadik speciális eset ezen alakzatok kölcsönhatásának. Ebben az esetben az egyenes szigorúan a kör két pontján halad át - mondjuk B-n és C-n. Szekáns körnek nevezik. Egy metsző egyenes mindig csak a görbe halmazának bármely két pontján halad át. Mivel egy körben sok pont van, egy adott körhöz végtelen számú szekánst (valamint érintőt) lehet rajzolni.

A metsző egyenes belső része, lényegében egy BC szakasz, egy kör húrja. Ha egy szekáns áthalad egy kör közepén, akkor a belső részét a legnagyobb húr - az átmérő - képviseli. Ebben az esetben a B és C metszéspontok vannak egymástól a legnagyobb távolságra (az átmérő tulajdonsága szerint). Könnyen érthető, hogy az ellenkező speciális eset egy végtelenül kicsi értékű akkordot képez, valójában már érintő.

A P szakasz gyakran találkozik problémákkal - a legrövidebb úton köti össze az egyenes megfelelő pontját és magát a kör középpontját. Más szóval, P egy TO szakasz, ahol T egy pont a BC egyenesen. Ez a szakasz merőleges az egyenesre, magához a körhöz való kiterjesztése a sugara. Ennek a szakasznak a lineáris értéke a sugár és a metszetvonal által alkotott szög koszinuszán keresztül számítható ki, a csúcsponttal a metszéspontban.