Hogyan készíts magadnak 4 dimenziós kockát. Cybercube – az első lépés a negyedik dimenzióba

Ha Ön a Bosszúállók filmek rajongója, az első dolog, ami eszébe juthat a „Tesseract” szó hallatán, a Végtelen kő átlátszó kocka alakú edénye, amely határtalan erőt rejt magában.

A Marvel Univerzum rajongói számára a Tesseract egy ragyogó kék kocka, amely nemcsak a Földről, hanem más bolygókról is megbolondítja az embereket. Ezért gyűlt össze az összes Bosszúálló, hogy megvédje a földieket a Tesseract rendkívül pusztító ereje ellen.

Ezt azonban el kell mondani: A Tesseract egy tényleges geometriai fogalom, pontosabban egy alakzat, amely a 4D-ben létezik. Ez nem csak egy kék kocka a Bosszúállóktól... ez egy igazi koncepció.

A Tesseract egy 4 dimenziós tárgy. Mielőtt azonban részletesen kifejtenénk, kezdjük elölről.

Mi az a "mérés"?

Mindenki hallotta már a 2D és 3D kifejezéseket, amelyek kétdimenziós vagy háromdimenziós objektumokat jelentenek a térben. De mik ezek a mérések?

A dimenzió egyszerűen egy irány, amelyen haladhatsz. Például, ha vonalat rajzol egy papírra, léphet balra/jobbra (x-tengely) vagy fel/le (y-tengely). Tehát azt mondjuk, hogy a papír kétdimenziós, mert csak két irányba lehet menni.

A 3D-ben van egyfajta mélység.

Most a való világban a fent említett két irányon (balra/jobbra és fel/le) kívül is lehet menni "oda/ból". Következésképpen a mélység érzése hozzáadódik a 3D térhez. Ezért mondjuk, hogy a valódi élet háromdimenziós.

Egy pont 0 dimenziót jelenthet (mivel nem mozog semmilyen irányban), egy vonal 1 dimenziót (hosszat), egy négyzet 2 dimenziót (hosszat és szélességet), egy kocka 3 dimenziót (hossz, szélesség és magasság) jelenthet. ).

Vegyünk egy 3D kockát, és cseréljük ki minden lapját (amelyek jelenleg négyzetek) egy kockára. És aztán! A kapott forma a tesserakt.

Mi az a tesserakt?

Egyszerűen fogalmazva, a tesserakt egy kocka 4 dimenziós térben. Azt is mondhatjuk, hogy ez egy kocka 4D-s változata. Ez egy 4D alakzat, ahol minden lap egy kocka.

Két merőleges sík körül kettős elforgatást végrehajtó tesserakt 3D vetülete.
Kép: Jason Hise

Íme egy egyszerű módszer a méretek fogalmi meghatározására: a négyzet kétdimenziós; ezért minden sarkában 2-2 vonal nyúlik ki belőle 90 fokos szöget bezáróan egymással szemben. A kocka 3D-s, így minden sarkából 3-3 vonal jön ki belőle. Hasonlóképpen, a tesserakt 4D-s alakzat, tehát minden sarkon 4 vonal nyúlik ki belőle.

Miért nehéz elképzelni egy tesseraktot?

Mivel mi, emberek úgy fejlődtünk, hogy három dimenzióban vizualizáljuk az objektumokat, bárminek, ami extra dimenziókba kerül, például 4D, 5D, 6D stb., nincs sok értelme számunkra, mert egyáltalán nem tudjuk bemutatni őket. Agyunk nem tudja megérteni a 4. dimenziót a térben. Egyszerűen nem gondolhatunk rá.

Azonban az, hogy nem tudjuk elképzelni a többdimenziós terek fogalmát, nem jelenti azt, hogy nem is létezhet.

τέσσερες ἀκτῖνες - négy sugár) - négydimenziós hiperkocka - négydimenziós térben lévő kocka. Más nevek: 4 kockás, tetrakocka(az ógörögből. τέτταρες - "négy"), nyolccellás , oktachore(az ógörögből. οκτώ - "nyolc" és χώρος - „hely, tér”), hiperkocka(ha a mérések száma nincs megadva).

Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. A negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) lévő kockát L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.

Az AB egydimenziós szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldalaként, a négyzet pedig a CDBAGHFE kocka oldalaként szolgál, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy csúcsa, a kockának nyolc. Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető egy hiperkocka arcára is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). Egy négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.

Ahogy a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, úgy a „négydimenziós kocka” (tesseract) oldalai 8 háromdimenziós kocka. . A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.

Hasonló módon folytathatjuk okoskodásunkat a nagyobb dimenziójú hiperkockákkal kapcsolatban, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Ehhez a már ismert analógiás módszert fogjuk használni.

Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel a széle felől. A síkon két négyzetet fogunk látni és rajzolni (közeli és távoli élét), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös „doboz”, amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a „dobozok” - háromdimenziós lapok - a „mi” terünkre vetülnek, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatjuk úgy is, hogy a kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzeljük el.

Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek perspektivikusan meglehetősen összetett figurának tűnnek. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.

Egy háromdimenziós kocka hat lapjának levágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Egy négyzet lesz az eredeti lap mindkét oldalán, plusz még egy – a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből - a végső „hiperfelületből”.

A tesserakt tulajdonságai az alacsonyabb dimenziójú geometriai alakzatok tulajdonságainak folytatását jelentik a négydimenziós térben.

Tesserac fejlesztések

Ahogy a kocka felülete hat négyzetből álló sokszöggé hajtogatható, úgy a tesszekrakt felülete egy nyolc kockából álló háromdimenziós szilárd testté hajtogatható ki.

261 tesseract minta létezik. A hiperkocka fejlesztéseit a „kettős fák” felsorolásával találhatjuk meg, ahol a „kettős fa” ( páros fa) egy páros számú csúcsú fa, amelyek párokra vannak osztva úgy, hogy egyetlen pár sem áll két szomszédos csúcsból. Egy az egyhez megfelelés van a 8 csúcsos „ikerfák” és a tesserakt-leolvasások között. Összesen 23 db 8 csúcsos fa létezik, amelyek nem szomszédos csúcspárokra bontva 261 db 8 csúcsos „ikerfát” eredményeznek.

A tesserakt kereszt alakú mintája Salvador Dali „Corpus Hypercubus” (1954) című festményének eleme.

Előrejelzések

A kétdimenziós térbe

Ezt a szerkezetet nehéz elképzelni, de lehetséges a tesseraktum kétdimenziós vagy háromdimenziós terekbe történő kivetítése. Ezenkívül a síkra vetítés megkönnyíti a hiperkocka csúcsainak elhelyezkedésének megértését. Ily módon lehetőség nyílik olyan képek beszerzésére, amelyek már nem tükrözik a tesszelektumon belüli térbeli kapcsolatokat, de a csúcskapcsolati struktúrát illusztrálják, mint az alábbi példákban:

A háromdimenziós térbe

Egy tesszekrakt háromdimenziós térre vetített egyik vetülete két egymásba ágyazott háromdimenziós kockát ábrázol, amelyek megfelelő csúcsait szegmensek kötik össze. A belső és külső kockák háromdimenziós térben eltérő méretűek, de négydimenziós térben egyenlő kockák. Az összes tesserakt kocka egyenlőségének megértéséhez egy forgó tesserakt modellt hoztak létre.

A hat csonka piramis a tesserakt szélei mentén egyforma hat kocka képe. Azonban ezek a kockák a tesszekrakthoz, mint a négyzetek (lapok) egy kockához. Valójában azonban a tesserakt végtelen számú kockára osztható, ahogy egy kockát végtelen számú négyzetre, vagy egy négyzetet végtelen számú szegmensre.

A tesserakt másik érdekes vetülete a háromdimenziós térre egy rombikus dodekaéder, amelynek négy átlója a rombuszok nagy szögeiben ellentétes csúcspárokat köt össze. Ebben az esetben a tesserakt 16 csúcsából 14 a rombikus dodekaéder 14 csúcsába vetül, és a maradék 2 csúcsa egybeesik annak középpontjában. A háromdimenziós térre való ilyen vetítésben az összes egydimenziós, kétdimenziós és háromdimenziós oldal egyenlősége és párhuzamossága megmarad.

Sztereó pár

A tesserakt sztereó párja egy tesserakt háromdimenziós ábrázolásának egyik változatának síkjára való két vetületeként van ábrázolva. A sztereó párt úgy nézzük, hogy minden szem csak egy ilyen képet lát, sztereoszkópikus hatás lép fel, ami lehetővé teszi a tesserakt háromdimenziós térre való vetületének jobb érzékelését.

Tesseract a kultúrában

A Jimmy Neutron kalandjai című film egyik epizódjában a "fiú zseni" Jimmy feltalál egy négydimenziós hiperkockát, amely megegyezik Robert Heinlein Glory Road (1963) című regényének összehajtható dobozával.
Heinlein Glory Road című regénye egy hiper méretű dobozt ír le, amely belül nagyobb volt, mint kívül.
Heinlein „...És ő épített magának egy görbe kis házat” című történetében (a „The House That Teal Built” fordítás másik változatában) egy nyolclakásos házat ír le egy kibontott tesserakt formájában.
Henry Kuttner „All Tenali Borogov” című története egy oktatójátékot ír le a távoli jövőből származó gyerekeknek, szerkezetében hasonló egy tesserakthoz.
Alex Garland 1999-es, A Tesseract című regényében a "tesseract" kifejezést egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontakozására használják, nem pedig magát a hiperkockát. Ez egy metafora, amely azt hivatott megmutatni, hogy a kognitív rendszernek tágabbnak kell lennie, mint a megismerhetőnek.
A 2. kocka cselekménye: A Hiperkocka nyolc idegenre összpontosít, akik egy "hiperkockában" rekedtek, vagy egyetlen "hiperkocka" összekapcsolt háromdimenziós vetületeinek hálózatán.
A Marvel Cinematic Universe filmsorozatban a Tesseract kulcsfontosságú cselekményelem, egy hiperkocka formájú kozmikus műtárgy.
A Bosszúállók című film cselekményének középpontjában a Tesseract-kocka, mint a kozmikus energia kimeríthetetlen forrásaként való felhasználása áll, hogy egy másik "dimenzióba" nyíljon egy portál a világ uralmának tervének megvalósítása érdekében (cserébe a Tesseract, a Chitauri hadsereggel látja el Lokit a Föld elfoglalására). Ennek az anyagnak azonban szinte semmi köze nincs a négydimenzió általános elméletéhez.
A Deadpool Destroys the Marvel Universe című képregényben a főszereplő a szupergonosz Arcade segítségével a tesseract segítségével elfogja Kitty Pryde-ot: képességei nem tudták segíteni, hogy megszökjön a kockából.
TV sorozat "

Bakalyar Maria

A négydimenziós kocka (tesserakt) fogalmának, szerkezetének és egyes tulajdonságainak megismertetésének módszereit tanulmányozzuk, hogy milyen háromdimenziós objektumokat kapunk, ha egy négydimenziós kockát a háromdimenziós lapjaival párhuzamos hipersíkok metszenek. , valamint a főátlójára merőleges hipersíkokkal foglalkozik. A többdimenziós analitikai geometria kutatáshoz használt apparátusát vizsgáljuk.

Letöltés:

Előnézet:

Bevezetés………………………………………………………………………………….2

Fő rész………………………………………………………………..4

Következtetések……………………………………………………………..12

Hivatkozások…………………………………………………………..13

Bevezetés

A négydimenziós tér régóta felkeltette mind a hivatásos matematikusok, mind a tudomány tanulmányozásától távol álló emberek figyelmét. A negyedik dimenzió iránti érdeklődés abból a feltételezésből fakadhat, hogy háromdimenziós világunk „elmerül” a négydimenziós térben, ahogy a sík „elmerül” a háromdimenziós térben, az egyenes „elmerül” egy sík, és egy pont egy egyenesben van. Emellett a négydimenziós tér fontos szerepet játszik a modern relativitáselméletben (az ún. téridő vagy Minkowski-tér), és egy speciális esetnek is tekinthető.dimenziós euklideszi tér (val).

A négydimenziós kocka (tesseract) egy olyan objektum a négydimenziós térben, amely a lehető legnagyobb mérettel rendelkezik (ahogyan egy közönséges kocka is egy objektum a háromdimenziós térben). Megjegyzendő, hogy közvetlen érdeklődésre is számot tart, nevezetesen megjelenhet a lineáris programozás optimalizálási problémáiban (olyan területként, ahol négy változó lineáris függvényének minimuma vagy maximuma található), és a digitális mikroelektronikában is használatos (amikor elektronikus órakijelző működésének programozása). Ezenkívül a négydimenziós kocka tanulmányozásának folyamata hozzájárul a térbeli gondolkodás és a képzelet fejlődéséhez.

Következésképpen a négydimenziós kocka szerkezetének és sajátos tulajdonságainak tanulmányozása meglehetősen releváns. Érdemes megjegyezni, hogy szerkezetét tekintve a négydimenziós kockát elég jól tanulmányozták. Sokkal nagyobb érdeklődésre tarthat számot a különböző hipersíkok által kialakított szakaszok jellege. Így ennek a munkának a fő célja a tesserakt szerkezetének tanulmányozása, valamint annak a kérdésnek a tisztázása, hogy milyen háromdimenziós objektumokat kapunk, ha egy négydimenziós kockát az egyik háromdimenziós kockával párhuzamos hipersíkok feldarabolnak. dimenziós lapok, vagy a főátlójára merőleges hipersíkok segítségével. A négydimenziós térben lévő hipersíkot háromdimenziós altérnek nevezzük. Azt mondhatjuk, hogy egy síkon lévő egyenes egydimenziós hipersík, egy sík háromdimenziós térben kétdimenziós hipersík.

A cél meghatározta a tanulmány céljait:

1) Tanulmányozza a többdimenziós analitikus geometria alapvető tényeit;

2) Tanulmányozza a 0-tól 3-ig terjedő méretű kockák felépítésének jellemzőit;

3) Tanulmányozza a négydimenziós kocka szerkezetét;

4) Analitikusan és geometriailag írjon le egy négydimenziós kockát;

5) Készítsen modelleket háromdimenziós és négydimenziós kockák fejlesztéseiről és központi vetületeiről!

6) A többdimenziós analitikai geometria apparátusával írja le azokat a háromdimenziós objektumokat, amelyek egy négydimenziós kocka és annak egyik háromdimenziós lapjával párhuzamos hipersíkokkal, vagy a főátlójára merőleges hipersíkokkal metszéséből származnak.

Az így nyert információk lehetővé teszik számunkra, hogy jobban megértsük a tesserakt szerkezetét, valamint mély analógiákat azonosítsunk a különböző méretű kockák szerkezetében és tulajdonságaiban.

Fő rész

Először is leírjuk azt a matematikai berendezést, amelyet a tanulmány során használni fogunk.

1) Vektor koordináták: ha, Azt

2) Hipersík egyenlete normálvektorralúgy néz ki, mint Itt

3) Repülőgépek és akkor és csak akkor párhuzamosak

4) Két pont távolságát a következőképpen határozzuk meg: ha, Azt

5) A vektorok ortogonalitásának feltétele:

Először is nézzük meg, hogyan írjunk le egy négydimenziós kockát. Ezt kétféleképpen lehet megtenni – geometrikusan és analitikusan.

Ha a megadás geometriai módszeréről beszélünk, akkor célszerű a kockák felépítésének folyamatát a nulla dimenzióból kiindulva nyomon követni. A nulla dimenziójú kocka egy pont (egyébként vegye figyelembe, hogy egy pont nulla dimenziójú golyó szerepét is betöltheti). Ezután bevezetjük az első dimenziót (az x tengelyt), és a megfelelő tengelyen két pontot (két nulldimenziós kockát) jelölünk meg, amelyek egymástól 1 távolságra vannak. Az eredmény egy szegmens – egy egydimenziós kocka. Azonnal jegyezzünk meg egy jellemzőt: Egy egydimenziós kocka (szakasz) határa (végei) két nulla dimenziós kocka (két pont). Ezután bemutatjuk a második dimenziót (ordináta tengely) és a síkonSzerkesszünk két egydimenziós kockát (két szegmenst), amelyek végei 1 távolságra vannak egymástól (valójában az egyik szakasz a másik ortogonális vetülete). A szegmensek megfelelő végeinek összekapcsolásával négyzetet kapunk - egy kétdimenziós kockát. Ismét megjegyezzük, hogy egy kétdimenziós kocka (négyzet) határa négy egydimenziós kocka (négy szegmens). Végül bemutatjuk a harmadik dimenziót (alkalmazási tengelyt) és konstruáljuk a térbenkét négyzetet úgy, hogy az egyik a másik ortogonális vetülete legyen (a négyzetek megfelelő csúcsai egymástól 1 távolságra vannak). Kössük össze a megfelelő csúcsokat szegmensekkel - kapunk egy háromdimenziós kockát. Látjuk, hogy egy háromdimenziós kocka határa hat kétdimenziós kocka (hat négyzet). A leírt konstrukciók lehetővé teszik a következő minta azonosítását: minden lépésbena dimenziós kocka „megmozdul, nyomot hagyva” bee mérés 1-es távolságban, miközben a mozgás iránya merőleges a kockára. Ennek a folyamatnak a formális folytatása teszi lehetővé, hogy eljussunk a négydimenziós kocka fogalmához. Ugyanis a háromdimenziós kockát a negyedik dimenzió irányába (a kockára merőlegesen) 1-es távolságra kényszerítjük. Az előzőhöz hasonlóan eljárva, vagyis a kockák megfelelő csúcsait összekötve, négydimenziós kockát kapunk. Megjegyzendő, hogy geometriailag egy ilyen konstrukció a mi terünkben lehetetlen (hiszen háromdimenziós), de itt logikai szempontból nem találkozunk ellentmondásokkal. Most térjünk át egy négydimenziós kocka analitikai leírására. Formálisan is megkapjuk, analógiával élve. Tehát egy nulla dimenziós egységkocka analitikai specifikációja a következő:

Az egydimenziós egységkocka elemzési feladata a következő:

A kétdimenziós egységkocka elemzési feladatának formája a következő:

A háromdimenziós egységkocka elemzési feladata a következő:

Most már nagyon könnyű analitikusan ábrázolni egy négydimenziós kockát, nevezetesen:

Amint látjuk, a négydimenziós kocka meghatározásának geometriai és analitikai módszerei is az analógiák módszerét alkalmazták.

Most az analitikai geometria apparátusával megtudjuk, mi a négydimenziós kocka szerkezete. Először is nézzük meg, milyen elemeket tartalmaz. Itt is használhatunk egy analógiát (hipotézis felállítására). Az egydimenziós kocka határai pontok (nulladimenziós kockák), egy kétdimenziós kockáé - szegmensek (egydimenziós kockák), egy háromdimenziós kockáé - négyzetek (kétdimenziós lapok). Feltételezhető, hogy a tesserakt határai háromdimenziós kockák. Ennek bizonyítására tisztázzuk, mit értünk csúcsok, élek és lapok alatt. A kocka csúcsai a sarokpontjai. Vagyis a csúcsok koordinátái lehetnek nullák vagy egyesek. Így kapcsolat derül ki a kocka mérete és csúcsainak száma között. Alkalmazzuk a kombinatorikus szorzatszabályt - hiszen a csúcsmért kocka pontosan rendelkezikkoordináták, amelyek mindegyike egyenlő nullával vagy eggyel (az összes többitől független), akkor összesen vancsúcsok Így bármely csúcs minden koordinátája rögzített és egyenlő lehet vagy . Ha az összes koordinátát rögzítjük (mindegyiket egyenlővé tesszük vagy , a többitől függetlenül), egy kivételével a kocka éleit tartalmazó egyeneseket kapjuk. Az előzőhöz hasonlóan számolni lehet, hogy pontosan vannakdolgokat. És ha most rögzítjük az összes koordinátát (mindegyiket egyenlővé tesszük vagy , a többitől függetlenül), néhány kettő kivételével olyan síkokat kapunk, amelyek a kocka kétdimenziós lapjait tartalmazzák. A kombinatorika szabályával azt találjuk, hogy pontosan vannakdolgokat. Ezután hasonlóan - az összes koordináta rögzítése (mindegyik egyenlővé tétele vagy , a többitől függetlenül), néhány három kivételével a kocka háromdimenziós lapjait tartalmazó hipersíkokat kapunk. Ugyanezt a szabályt alkalmazva kiszámítjuk a számukat - pontosanstb. Ez elegendő lesz a kutatásunkhoz. Alkalmazzuk a kapott eredményeket egy négydimenziós kocka szerkezetére, nevezetesen az összes általunk felvett származtatott képletben. Ezért egy négydimenziós kockának van: 16 csúcsa, 32 éle, 24 kétdimenziós lapja és 8 háromdimenziós lapja. Az érthetőség kedvéért definiáljuk analitikusan minden elemét.

Egy négydimenziós kocka csúcsai:

Egy négydimenziós kocka élei ():

Egy négydimenziós kocka kétdimenziós lapjai (hasonló korlátozások):

Egy négydimenziós kocka háromdimenziós lapjai (hasonló korlátozások):

Most, hogy a négydimenziós kocka szerkezetét és annak meghatározásának módszereit kellően részletesen leírtuk, folytassuk a fő cél megvalósítását - a kocka különböző szakaszainak jellegének tisztázását. Kezdjük azzal az elemi esettel, amikor egy kocka szakaszai párhuzamosak az egyik háromdimenziós lapjával. Tekintsük például az arccal párhuzamos hipersíkokkal rendelkező szakaszaitAz analitikai geometriából ismert, hogy minden ilyen szakaszt az egyenlet adja megHatározzuk meg analitikusan a megfelelő szakaszokat:

Amint látjuk, analitikai specifikációt kaptunk egy hipersíkban fekvő háromdimenziós egységkockára

Az analógia megállapításához írjuk fel egy háromdimenziós kocka metszetét egy síkkal Kapunk:

Ez egy síkban fekvő négyzet. Az analógia nyilvánvaló.

Négydimenziós kocka metszete hipersíkok szerintteljesen hasonló eredményeket adnak. Ezek is egyetlen háromdimenziós kockák lesznek, amelyek hipersíkban fekszenek illetőleg.

Most nézzük meg egy négydimenziós kocka szakaszait, amelyeknek a főátlójára merőleges hipersíkok vannak. Először is oldjuk meg ezt a problémát egy háromdimenziós kocka esetében. Az egységnyi háromdimenziós kocka meghatározásának fentebb leírt módszerével arra a következtetésre jut, hogy főátlónak például egy végű szakaszt vehetünk fel.És . Ez azt jelenti, hogy a főátló vektorának koordinátái lesznek. Ezért a főátlóra merőleges bármely sík egyenlete a következő lesz:

Határozzuk meg a paraméterváltozás határait. Mert , akkor ezeket az egyenlőtlenségeket tagonként összeadva a következőt kapjuk:

Vagy .

Ha akkor (korlátozások miatt). Ugyanígy – ha, Azt . Szóval, mikor és mikor a vágási síknak és a kockának pontosan egy közös pontja van (És illetőleg). Most jegyezzük meg a következőket. Ha(ismét a változó korlátok miatt). A megfelelő síkok egyszerre három oldalt metszenek, mert különben a vágási sík párhuzamos lenne az egyikkel, ami a feltétel szerint nem így van. Ha, akkor a sík a kocka összes lapját metszi. Ha, akkor a sík metszi az arcokat. Mutassuk be a megfelelő számításokat.

Hadd Aztán a repülőátlépi a határt egyenes vonalban, és. A széle ráadásul. Él a sík egyenes vonalban metszi egymást, és

Hadd Aztán a repülőátlépi a határt:

éle egy egyenes vonalban, és.

Ezúttal hat szegmenst kapunk, amelyeknek egymás után közös a vége:

Hadd Aztán a repülőátlépi a határt egyenes vonalban, és. Él a sík egyenes vonalban metszi egymást, és . Él a sík egyenes vonalban metszi egymást, és . Vagyis három olyan szegmenst kapunk, amelyeknek páronként közös vége van:Így a megadott paraméterértékekheza sík egy szabályos háromszög mentén metszi a kockát csúcsokkal

Tehát itt van egy átfogó leírás a sík alakokról, amelyeket akkor kapunk, amikor egy kockát a főátlójára merőleges sík metsz. A fő gondolat a következő volt. Meg kell érteni, hogy a sík mely lapjait metszi, mely halmazok mentén metszi őket, és ezek a halmazok hogyan kapcsolódnak egymáshoz. Például, ha kiderült, hogy a sík pontosan három lapját metszi olyan szakaszok mentén, amelyeknek páronként közös végei vannak, akkor a szakasz egy egyenlő oldalú háromszög (amit a szakaszok hosszának közvetlen kiszámításával bizonyítunk), amelynek csúcsai ezek a végek. a szegmensek közül.

Ugyanazt az apparátust és a szakaszok tanulmányozásának ugyanazt az elképzelését használva a következő tények következtethetők le teljesen analóg módon:

1) Egy négydimenziós egységkocka egyik főátlójának vektorának a koordinátái vannak

2) A négydimenziós kocka főátlójára merőleges bármely hipersík felírható a következő formában:.

3) Egy szekáns hipersík egyenletében a paraméter0 és 4 között változhat;

4) Mikor és egy szekáns hipersíknak és egy négydimenziós kockának van egy közös pontja (És illetőleg);

5) Mikor a keresztmetszet szabályos tetraédert eredményez;

6) Mikor keresztmetszetben az eredmény egy oktaéder lesz;

7) Mikor a keresztmetszet szabályos tetraédert eredményez.

Ennek megfelelően itt a hipersík egy sík mentén metszi a tesseraktumot, amelyen a változók korlátai miatt egy háromszög alakú régiót osztanak ki (analógia - a sík egy egyenes mentén metszi a kockát, amelyen a változók, egy szegmens került kiosztásra). Az 5) esetben a hipersík pontosan négy háromdimenziós lapját metszi a tesszekraktnak, azaz négy olyan háromszöget kapunk, amelyeknek páronként közös oldalaik vannak, vagyis egy tetraédert alkotnak (ez helyesen kiszámítható). A 6) esetben a hipersík pontosan nyolc háromdimenziós lapját metszi a tesszekraktnak, azaz nyolc háromszöget kapunk, amelyeknek egymás után közös oldalaik vannak, vagyis egy oktaédert alkotnak. A 7) eset teljesen hasonló az 5) esethez.

Illusztráljuk ezt egy konkrét példával. Ugyanis egy négydimenziós kocka metszetét vizsgáljuk hipersíkkalA változó korlátozások miatt ez a hipersík a következő háromdimenziós lapokat metszi:Él sík mentén metszi egymástA változók korlátai miatt a következőkkel rendelkezünk:Egy háromszög alakú területet kapunk csúcsokkalTovábbi,háromszöget kapunkAmikor egy hipersík metszi az arcotháromszöget kapunkAmikor egy hipersík metszi az arcotháromszöget kapunkÍgy a tetraéder csúcsai a következő koordinátákkal rendelkeznek. Amint könnyen kiszámítható, ez a tetraéder valóban szabályos.

következtetéseket

A kutatás során tehát a többdimenziós analitikai geometria alapvető tényeit tanulmányoztuk, a 0-tól 3-ig terjedő méretű kockák felépítésének jellemzőit, egy négydimenziós kocka szerkezetét, egy négydimenziós kocka felépítését. analitikusan és geometriailag leírták, háromdimenziós és négydimenziós kockák fejlesztéseinek modelljei és központi vetületei készültek, a háromdimenziós kockák analitikusan leírt objektumok, amelyek egy négydimenziós kocka és annak valamelyik háromdimenziós hipersíkjainak metszéséből származnak. dimenziós lapok, vagy a főátlójára merőleges hipersíkokkal.

Az elvégzett kutatás mély analógiák azonosítását tette lehetővé a különböző méretű kockák szerkezetében és tulajdonságaiban. Az alkalmazott analógia technika alkalmazható a kutatásban, pl.dimenziós gömb illdimenziós szimplex. Ugyanis,egy dimenziós gömb pontok halmazaként definiálhatóegy adott ponttól egyenlő távolságra lévő dimenziós tér, amelyet a gömb középpontjának nevezünk. További,egy dimenziós szimplex alkatrészként definiálhatóa méretteret a minimális szám korlátozzadimenziós hipersíkok. Például az egydimenziós szimplex egy szakasz (az egydimenziós tér egy része, amelyet két pont határol), a kétdimenziós szimplex egy háromszög (a kétdimenziós tér egy része, amelyet három egyenes határol), a háromdimenziós szimplex egy tetraéder (a háromdimenziós tér egy része, amelyet négy sík határol). Végül,a dimenziós szimplexet alkatrészként definiáljukmérettér, korlátozottdimenzió hipersíkja.

Megjegyzendő, hogy annak ellenére, hogy a tesseractot számos tudományterületen alkalmazzák, ez a kutatás még mindig nagyrészt matematikai tanulmány.

Bibliográfia

1) Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M.Felsőmatematika, 1. köt. – M.: Túzok, 2005 – 284 p.

2) Kvantum. Négydimenziós kocka / Duzhin S., Rubtsov V., 1986. 6. sz.

3) Kvantum. Hogyan rajzolj dimenziós kocka / Demidovich N.B., 1974. 8. sz.

A többdimenziós terek doktrínája a 19. század közepén kezdett megjelenni. A négydimenziós tér ötletét tudományos-fantasztikus írók kölcsönözték a tudósoktól. Műveikben a negyedik dimenzió csodálatos csodáiról meséltek a világnak.

Műveik hősei a négydimenziós tér tulajdonságait felhasználva megehetik a tojás tartalmát anélkül, hogy a héjat megsértették volna, és italt ihattak anélkül, hogy kinyitották volna az üveg kupakját. A tolvajok a negyedik dimenzión keresztül eltávolították a kincset a széfből. A sebészek belső szerveket végeztek anélkül, hogy elvágták volna a páciens testszöveteit.

Tesseact

A geometriában a hiperkocka egy négyzet (n = 2) és egy kocka (n = 3) n-dimenziós analógiája. A szokásos 3-dimenziós kockánk négydimenziós analógja tesseraktként ismert. A tesserakt a kockához, mint a kocka a négyzethez. Formálisabban a tesserakt szabályos konvex négydimenziós poliéderként írható le, amelynek határa nyolc köbös cellából áll.

A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot, és így tovább. Végül a tesseraktnak 8 3D lapja, 24 2D lapja, 32 éle és 16 csúcsa van.
Az Oxford Dictionary szerint egyébként a tesseract szót Charles Howard Hinton (1853-1907) találta ki és használta 1888-ban A New Age of Thought című könyvében. Később egyesek ugyanazt az alakot tetrakockának (görögül tetra - négy) - négydimenziós kockának nevezték.

Felépítés és leírás

Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagynánk a háromdimenziós teret.
Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. A negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) lévő kockát L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.

Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek perspektivikusan meglehetősen összetett figurának tűnnek. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockára osztható, mint ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.

Hiperkocka a művészetben

A Tesseract annyira érdekes figura, hogy többször felkeltette az írók és filmesek figyelmét.
Robert E. Heinlein többször említette a hiperkockákat. A The House That Teal Built (1940) című művében egy házat írt le, amelyet kicsomagolt tesseraktnak építettek, majd egy földrengés következtében a negyedik dimenzióban "összehajtva" "igazi" tesseraktummá vált. Heinlein Glory Road című regénye egy hiper méretű dobozt ír le, amely belül nagyobb volt, mint kívül.

Henry Kuttner „All Tenali Borogov” című története egy oktatójátékot ír le a távoli jövőből származó gyerekeknek, szerkezetében hasonló egy tesserakthoz.

A Cube 2 cselekménye: A Hypercube középpontjában nyolc idegen áll, akik egy "hiperkockában" vagy összekapcsolt kockák hálózatában rekedtek.

Párhuzamos világ

A matematikai absztrakciók szülték a párhuzamos világok létezésének gondolatát. Ezeken olyan valóságokat értünk, amelyek a miénkkel egyidejűleg, de attól függetlenül léteznek. Egy párhuzamos világ különböző méretű lehet: egy kis földrajzi területtől a teljes univerzumig. Egy párhuzamos világban az események a maguk módján történnek, az egyes részletekben és szinte mindenben eltérhet a mi világunktól. Ráadásul egy párhuzamos világ fizikai törvényei nem feltétlenül hasonlóak a mi Univerzumunk törvényeihez.

Ez a téma termékeny talaj a sci-fi írók számára.

Salvador Dali "A keresztre feszítés" című festménye egy tesseraktumot ábrázol. A „Crucifixion or Hypercubic Body” Salvador Dali spanyol művész festménye, 1954-ben. A keresztre feszített Jézus Krisztust ábrázolja egy tesserakt szkennelésen. A festményt a New York-i Metropolitan Museum of Art őrzik

Az egész 1895-ben kezdődött, amikor H.G. Wells „The Door in the Wall” című történetével megnyitotta a párhuzamos világok létezését a sci-fi előtt. 1923-ban Wells visszatért a párhuzamos világok gondolatához, és az egyikben egy utópisztikus országot helyezett el, ahová a Men Like Gods című regény szereplői járnak.

A regény nem maradt észrevétlen. 1926-ban jelent meg G. Dent „Az ország császára „Ha” című története. Dent történetében merült fel először az a gondolat, hogy létezhetnek olyan országok (világok), amelyek története másképp alakulhat, mint a valódi országok történelme. a mi világunkban ezek nem kevésbé valóságosak, mint a miénk.

1944-ben Jorge Luis Borges kitalált történetek című könyvében megjelentette az „Elágazó ösvények kertje” című történetet. Itt az elágazási idő gondolata végül a lehető legtisztábban megfogalmazódott.
A fent felsorolt művek megjelenése ellenére sok világ gondolata csak a 20. század negyvenes éveinek végén kezdett komolyan fejlődni a tudományos-fantasztikus irodalomban, körülbelül ugyanabban az időben, amikor egy hasonló ötlet felmerült a fizikában.

A sci-fi új irányának egyik úttörője John Bixby volt, aki az „One Way Street” (1954) című történetben azt javasolta, hogy a világok között csak egy irányba haladhatsz – ha a világodból egy párhuzamos világba lépsz, nem térsz vissza, hanem egyik világból a másikba lépsz. Nem kizárt azonban a saját világba való visszatérés sem - ehhez az szükséges, hogy a világok rendszere zárva legyen.

Clifford Simak A Ring Around the Sun (1982) című regénye számos Föld bolygót ír le, amelyek mindegyike a saját világában létezik, de ugyanazon a pályán, és ezek a világok és ezek a bolygók csak enyhe (mikroszekundumos) időeltolódásban különböznek egymástól. A számos Föld, amelyet a regényhős meglátogat, egyetlen világrendszert alkot.

Alfred Bester „A férfi, aki megölte Mohamedet” (1958) című történetében a világok elágazásáról adott érdekes nézetet. „Ha megváltoztatod a múltat – érvelt a történet hőse –, csak magad miatt változtatsz rajta.” Más szóval, a múlt változása után a történelemnek egy olyan ága keletkezik, amelyben csak a változást végrehajtó szereplő számára létezik ez a változás.

A Sztrugackij fivérek története, a „Hétfő szombaton kezdődik” (1962) a szereplők sci-fi-írók által leírt jövő különböző változataihoz vezető utazásait írja le – ellentétben a sci-fi-ben már létező, a múlt különböző változataihoz vezető utazásokkal.

A párhuzamos világok témáját érintő művek egyszerű felsorolása azonban túl sok időt venne igénybe. És bár a tudományos-fantasztikus írók általában nem támasztják alá tudományosan a többdimenziós posztulátumot, egy dologban igazuk van - ez egy hipotézis, amelynek létjogosultsága van.
A tesserakt negyedik dimenziója még mindig vár ránk.

Viktor Savinov

A négydimenziós vagy négy koordinátájú univerzum éppoly nem kielégítő, mint a három dimenzióból álló univerzum. Kijelenthetjük, hogy nem áll rendelkezésünkre az univerzum felépítéséhez szükséges összes adat, mivel sem a régi fizika három koordinátája, sem az új négy koordinátája nem elegendő a leíráshoz. Teljes a világegyetem jelenségeinek sokfélesége.

Nézzük sorrendben a különböző méretű „kockákat”.

A vonalon lévő egydimenziós kocka egy szakasz. Kétdimenziós - egy négyzet. A négyzet határa négy pontból áll - csúcsokÉs négy szegmens - bordaÍgy egy négyzet határán kétféle elem található: pontok és szakaszok. A háromdimenziós kocka szegélye háromféle elemet tartalmaz: csúcsok - 8 van belőlük, élek (szegmensek) - 12 van belőlük és arcok (négyzetek) - 6 van belőlük. Az AB egydimenziós szakasz a kétdimenziós ABCD négyzet lapjaként szolgál, a négyzet az ABCDHEFG kocka oldala, ami viszont a négy oldala lesz. -dimenziós hiperkocka.

Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető egy hiperkocka arcára is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). Egy négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.

Kocka méret	Határ dimenzió
Kocka méret

2 négyzet

4 tesserakt

Koordináták benégydimenziós tér.

Egy pont egy egyenesen számként, egy sík pontja számpárként, egy pont a háromdimenziós térben számhármasként definiálható. Ezért teljesen természetes, hogy a négydimenziós tér geometriáját úgy konstruáljuk meg, hogy ebben a képzeletbeli térben egy pontot számnégyszeresként határozunk meg.

A négydimenziós kocka kétdimenziós lapja olyan pontok halmaza, amelyeknél két koordináta minden lehetséges értéket felvehet 0-tól 1-ig, a másik kettő pedig állandó (egyenlő 0-val vagy 1-gyel).

Háromdimenziós arc A négydimenziós kocka olyan pontok halmaza, amelyeknél három koordináta minden lehetséges értéket felvesz 0-tól 1-ig, az egyik pedig állandó (egyenlő 0-val vagy 1-gyel).

Különböző méretű kockák fejlesztései.

Vegyünk egy szegmenst, minden oldalra helyezünk egy szegmenst, és bármelyikhez rögzítünk egy másikat, jelen esetben a jobb oldali szegmenshez.

Négyzetes szkennelést kaptunk.

Vegyünk egy négyzetet, minden oldalra helyezünk egy négyzetet, bármelyikhez rögzítünk egy másikat, jelen esetben az alsó négyzethez.

Ez egy háromdimenziós kocka továbbfejlesztése.

Négydimenziós kocka

Vegyünk egy kockát, minden oldalra helyezünk egy kockát, és ebben az alsó kockában bármelyikhez rögzítünk egy másikat.

Négydimenziós kocka fejlesztése

Képzeljük el, hogy egy négydimenziós kocka drótból van, és egy hangya ül a csúcsban (1;1;1;1), majd a hangyának az élek mentén kell az egyik csúcsból a másikba kúsznia.

Kérdés: hány élt kell végigmásznia, hogy elérje a (0;0;0;0) csúcsot?

4 él mentén, vagyis a csúcs (0;0;0;0) egy 4. rendű csúcs, 1 él mentén haladva eljuthat egy olyan csúcshoz, amelynek az egyik koordinátája 0, ez egy 1. rendű csúcs, 2 élen áthaladva eljuthat olyan csúcsokba ahol 2 nulla van, ezek 2. rendű csúcsok, 6 ilyen csúcs van, 3 él mentén haladva eljut azokhoz a csúcsokhoz, amelyeknek 3 nulla koordinátája van, ezek a harmadik rend.

Vannak más kockák is a többdimenziós térben. A tesseract mellett sok méretű kockát is építhet. Az ötdimenziós kocka modellje egy penteract.

Művészek, rendezők, szobrászok, tudósok különböző módon ábrázolják a többdimenziós kockát. Íme néhány példa:

Sok tudományos-fantasztikus író leírja a tesseraktumot műveiben. Például Robert Anson Heinlein (1907–1988) legalább három nem fikciós történetében említette a hiperkockákat. A "Négy dimenzió házában" egy házat írt le, amely úgy épült, mint egy tesseraktum kibontakozása.

A Cube 2 film cselekményének középpontjában nyolc idegen áll, akik egy hiperkockában rekedtek.

« Keresztre feszítés", Salvador Dali 1954 (1951). Dali szürrealizmusa a mi valóságunk és a túlvilági, különösen a 4 dimenziós világ közötti érintkezési pontokat kereste. Ezért egyrészt elképesztő, másrészt semmi meglepő abban, hogy a keresztény keresztet alkotó kockák geometriai alakja egy 4 dimenziós kocka 3 dimenziós kifejlődésének képe, ill. tesserakt.

Október 21-én a Pennsylvaniai Állami Egyetem Matematika Tanszéke bemutatta az „Octacube” nevű szokatlan szobrot. Ez egy négydimenziós geometriai objektum képe háromdimenziós térben. A szobor szerzője, Adrian Ocneanu professzor szerint ilyen szép figura még nem létezett a világon, sem virtuálisan, sem fizikailag, bár négydimenziós figurák háromdimenziós vetületei korábban is készültek.

Általában a matematikusok könnyen dolgoznak négy-, öt- és még többdimenziós objektumokkal, de lehetetlen háromdimenziós térben ábrázolni őket. Az „Octacube”, mint minden hasonló figura, nem igazán négydimenziós. Összehasonlítható egy térképpel – a földgömb háromdimenziós felületének egy lapos papírlapra vetített vetületével.

Okneanu egy négydimenziós alak háromdimenziós vetületét készítette radiális sztereográfiával számítógép segítségével. Ugyanakkor az eredeti négydimenziós alak szimmetriája megmaradt. A szobornak 24 csúcsa és 96 lapja van. A négydimenziós térben az alak élei egyenesek, vetítésben azonban ívesek. A háromdimenziós vetítés és az eredeti ábra lapjai közötti szögek azonosak.

Az Octacube rozsdamentes acélból készült a Pennsylvania State University mérnöki műhelyében. A szobrot a Matematika Kar felújított McAllister épületében helyezték el.

A többdimenziós tér sok tudóst érdekelt, mint például Rene Descartes és Hermann Minkowski. Napjainkban a témával kapcsolatos ismeretek bővülnek. Segíti korunk matematikusait, kutatóit és feltalálóit céljaik elérésében és a tudomány előmozdításában. Egy lépés a többdimenziós térbe egy lépés az emberiség új, fejlettebb korszakába.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete