Az ABCD egy paralelogramma. kudarcos vagyok a geometriában
Hibátlan vagyok a geometriában. Ezért kérem, hogy segítsen, mert nagyon sürgős a szükség. Előre is köszönöm szépen.
Az ABCD egy paralelogramma. Az AD oldalon az M pont úgy van jelölve, hogy AM:MD=1:2.
Fejezzük ki az AC, MB, MC, DM vektorokat az AB=a és AD=b vektorokon keresztül.
- Tehát közzétettem egy rajzot egy feltétellel, ezzel a rajzzal kezdem el magyarázni.
1) Először fejezzük ki az AC vektort a és b vektorokkal. Itt minden egyszerű, elég látni, hogy az AB vektort az AC vektor elejétől elhalasztják, majd a BC-t az AB vektor végétől elhalasztják, és egyenesen ennek a vektornak a végére megy, azaz AC = AB + BC = AB + AD = a + b (a BC és AD vektor egyenlő, így a kényelem kedvéért könnyen helyettesíthetem egyiket a másikkal).
2) Fejezd ki az MB vektort a-val és b-vel! Ennek érdekében így fogunk érvelni. Nos, valószínűleg az MB-vektor is néhány vektor összege (és nem is lehet másként!), akkor egyszerűen megjelöljük az MB-vektor elejét (M pont) és megyünk a végére (B pont). Gyűjtsük össze az utunkba kerülő vektorokat.
MB = MA + AB. A fő feladat az MA vektor kifejezése a b vektoron keresztül. Figyeljük meg, hogy az AM szegmens hossza AD 1/3-a, MA pedig az AD vektorral ellentétes. Ezért MA = -1/3 * AD. Most mindent visszatesszük, és azt kapjuk:
MB = -1/3 AD + AB = -1/3 * b + a. Küldetés teljesítve.3) Itt van egy majdnem teljes analógia. Azonnal megadom a megoldást további vita nélkül.
MC = MD + DC.
DC=AB=a
MD = 2/3 AD = 2/3 b
MC = 2/3 b + a4) A DM vektor az AD vektorral ellentétesen irányul, vagyis a - jellel vesszük. Ezenkívül MD = 2/3 AD, honnan
DM = -2/3 AD = -2/3 b
Figyelem, csak MA!
A trapézben abcd ab|| cd,ab=3cd fejezzük ki az m=DA és n=dc vektorokat, az am és mn vektorokat, ahol m mindennek a közepe, n pedig az ab oldalon lévő pont úgy, hogy an:nb=2:3 People. , sürgős segítség nagyon sürgős!! kérlek valahogy...
A K pont az AB oldalon, az M pont az ABCD paralelogramma CD oldalán található, és AK = KV, CM: MD = 2: 5 a) Fejezd ki a KM vektort a p = AB és q = AD b) vektorral! Lehetséges néhány...
Válaszok a Geometria 9. fejezetének kérdéseire, a 213. oldalon... Válaszok a 9. fejezet kérdéseire a geometriáról, a 213. oldalon. Anastasyan Kérem, válaszoljon gyorsan, nagyon hálás leszek) 1) Elmozdulás, sebesség, gravitáció, súrlódási erő, gyorsulás, lendület2) a vektor egy szakasz, ...
„GEOMETRIAI FELADATOK A GIA-BAN ÉS HASZNÁLATÁBAN 2012” Bisyarina N.V., matematikatanár AZ ÁLLAMI VÉGLEGES BIZONYÍTÁS TOVÁBBI FEJLESZTÉSE: 1. A GIA ELLENŐRZÉSI MÉRÉSI ANYAGOK GEOMETRIAI FELADATOKAT TARTALMAZNAK. 2. A GIA FELADATOK TÖBB GYAKORLATI FELADATOT TARTALMAZNAK, MELYBEN A VÉGZETŐ ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI KOMPETENCIÁJÁT TESZTELJÜK. FELADATOK SZÁMA: 1. rész – 18 feladat, ebből 4 geometriai; 2. rész – 5 feladat, ebből 2 geometria. 2012. ÉVI ÁLLAMI (VÉGLEGES) BIZONYÍTÁSHOZ (ÚJ FORMÁBAN) MATEMATIKÁBAN (ÚJ FORMÁBAN) VIZSGAMUNKA BEMUTATÁSI LEHETŐSÉGE. Példa 1. Adja meg a helyes állítások számát: 1) Egy paralelogramma átlói egyenlőek. 2) Egy kör két különböző átmérője metszi egymást egy pontban, amely ennek a körnek a középpontja. 3) A trapéz szögeinek összege 360°. 4) Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a lábak szorzatával. 5) Egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza egyenlő a szemközti oldal és a befogó hányadosával. Válasz: 235 A FELADAT JELLEMZŐI: 1. A feladat elvégzéséhez ismerni kell: Paralelogramma tulajdonságait. A kör tulajdonságai. A trapéz tulajdonságai. A derékszögű háromszög területének képlete. A hegyesszögű bűn megtalálásának képlete. 2. Több lehetőség kiválasztásának lehetősége. 3. A feladat sajátosságai: „Adja meg az igaz (vagy NEM igaz) állítások számát” 2. PÉLDA Az ABC háromszög területe 40. Az AD felezőszög az E pontban metszi a BC mediánt, ahol BD:CD = 3 :2. Keresse meg az EDCK négyszög területét. ADATOK: B S = 40. BD: CD = 3:2 KERESÉS: SEDCK MEGOLDÁS: 1. St. medián AK = KS = x AB BD 3 2. St. felezők => AC CD 2 AB 3 AB 3 => AB 2 x 3 3 xA => AC 2 2x 2 3. Tekintsük ∆ ABK 2 AB BE 3 x BC h K => BE 3 KE 4. Legyen S a ∆ ABC terület, majd S 2 és S ACD DC S 2S CD 2 S h S ACD S S BC CB 5 AEK Kórház S () S () 11 5 8 5 8 40 40 5. Így Válasz: 11 ÉRTÉKELÉSI SZEMPONTOK A feladat teljesítésének értékelési szempontjai Pont A feladat megoldása helyes, minden lépése indokolt, a helyes válasz érkezik 4 A feladat megoldása általában helyes, a helyes válasz érkezik, de a megoldás nem kellően indokolt; vagy: a probléma megoldása összességében helyes, de egy számítási hiba történt, ami miatt hibás válasz érkezett 3 Egyéb esetek, amelyek nem felelnek meg a fenti kritériumoknak 0 Maximális pontszám 4 A FELHASZNÁLÁSBAN A GEOMETRIAI ÖSSZETEVŐRŐL. A 2011-ES HASZNÁLATI VIZSGA C. RÉSZÉNEK 6 PROBLÉMÁJÁBÓL C2 ÉS C4 PROBLÉMA - GEOMETRIÁRA: - C2 - SZTEREOMETRIA PROBLÉMA, - C4 - PLANIMETRIA. C5: MEGTALÁLJA A MINDEN POZITÍV ÉRTÉKÉT, AMELYEKRE A RENDSZER MINDEN EGYEDI MEGOLDÁST VAN). 2 2 x 5 y 4 4 2 2 x 2 y a a geometriai metszet a probléma. ordináta módszer." Vegyük fontolóra AZ EGYIK 2011-ES HASZNÁLATI LEHETŐSÉG GEOMETRIAI PROBLÉMÁJÁT. C4 feladat (planimetrikus, maximális pontszám - 3). Egy egyenlő szárú háromszög oldalára merőleges egyenes egy négyszöget vág le belőle, amelybe kör írható. Határozzuk meg a kör sugarát, ha a háromszögbe zárt szakasz egyenlő 6-tal, és a háromszög oldalsó oldalának az alapjához viszonyított aránya 5/6. A RAJZTÓL FÜGGŐ KÉT MEGOLDÁS. A PROBLÉMA MEGOLDHATÓ TRIGONOMETRIAI KÉPLETEK HASZNÁLATA NÉLKÜL IS. HA EGY TANULÓ ÉSZREVÉLI, HOGY A KÖR AZ ANM TÉGYSZÖGŰ HÁROMSZÖGRE VAN FELIRATVA, AKKOR A KÖRKÖR SUGÁRJÁNAK KÉPLETÉVEL MEGTALÁLHATJA A SUGÁRT: 7 6 S AM ra 21 6 S AM a AM AN MN 7 25 6 4 4 4 KRITÉRIUMTÁBLÁZAT: 3 PONT - A HELYES VÁLASZÉRT; 2 PONT - A KÉT ESET EGYIKÉNEK MEGFELELŐ ELÉRTÉKÉÉÉRT; 1 PONT - AZÉRT, HOGY LEGALÁBB EGY HELYTELEN VÁLASZT EREDMÉNYEZŐ SZÁMÍTÁSI HIBÁT TARTALMAZÓ ESET FIGYELEMÉRT. A HASONLÓ PROBLÉMÁK MEGOLDÁSÁNAK KÉSZSÉGÉNEK FEJLESZTÉSÉHEZ SZÜKSÉGES: 1. A geometria órákon elemezzen egy nehéz feladatot, amelyhez könnyű hasonlót készíteni, majd kérje meg a tanulókat, hogy önállóan találjanak ki több hasonló feladatot, és oldják meg azokat házi feladatként . A következő órán figyelni kell a házi feladatok elemzésére és a legjobb feladatok készítőit pozitív jeggyel jutalmazni. 2. Oldjon meg az órán (vagy adjon ki házi feladatot) több nagyon egyszerű feladatot, amelyeknél két vagy több megoldási lehetőség mérlegelése szükséges. MUNKA EREDMÉNYE: 1. A tanórákon elsajátított ismeretek alkalmazásának képességeinek fejlesztése. 2. A tanulók kreatív tevékenységének fejlesztése. 3. Készségek és képességek fejlesztése a már megoldott és az új, nehezebb problémák közötti kapcsolatok gyors megtalálására. PÉLDÁK FELADATOKRA: AB 2 1. feladat. Az A, B és C pontok ugyanazon az egyenesen vannak, és AC 3 Keresse meg az AB-t, ha AC =15. (Két lehetőség.) 2. feladat. Az A, B és C pontok ugyanazon az egyenesen helyezkednek el, és a C pont kétszer olyan messze van az egyik A és B ponttól, mint a másiktól. Keresse meg az AB-t, ha AC = 18. (Négy lehetőség.) 3. feladat. Egy derékszögű háromszög szára 5, és az egyik szög kétszer akkora, mint a másik. Keresse meg a háromszög kerületét! (Három lehetőség.) 4. feladat Adott két hasonló háromszög. Az első oldalai 8; 10 és 16. A második egyik oldala 2. Határozza meg a második háromszög kerületét! (Három lehetőség.) C4 Határozza meg az érintkezési pontok közé zárt két kör közös érintőjének szakaszának hosszát, ha a körök sugara 23 és 7, a körök középpontjainak távolsága pedig 34! Megoldás. Két eset lehetséges: B 23 N A 7 O N B 23 O1 O 7 34 O1 34 A OAVO1 – egyenes trapéz, OH=AB – magasság ОНО1 – téglalap alakú, AB OO 21 R AB OO 21 R r 342 162 30 342 302 16 2 Válasz: 30 vagy 16 AB, ABC =1, OH=2, CA=1 OH=AB magasság. = 9. A D pont a BC egyenesen fekszik úgy, hogy BD:DC = 3:8. Az egyes ADC és ADB háromszögek beírt körei érintik az AD oldalt az E és F pontokban. Határozzuk meg az EF szakasz hosszát. Megoldás. A Két eset lehetséges: a D pont a BC szakaszon, a D pont pedig a BC szakaszon kívül található. Tekintsünk 1 esetet. A E E F F C B D 8h 3h C B 8h 3h D 3. szám Az ABC háromszögben AB = 15, BC = 12, CA = 9. A D pont a BC egyenesen fekszik úgy, hogy BD:DC = 3:8. Az egyes ADC és ADB háromszögek beírt körei érintik az AD oldalt az E és F pontokban. Határozzuk meg az EF szakasz hosszát. Megoldás. A Két eset lehetséges: a D pont a BC szakaszon, a D pont pedig a BC szakaszon kívül található. Tekintsünk 1 esetet. Keressük: BD 3 36 8 96 BC , DC BC . 11 11 11 11 AD DC AC AD DC 9 , 2 2 -tól ADB, DF AD BD AB AD BD 15 . 2 2 Tehát, 6 DC BD 63 EF DE DF . 2 11 ADC-ből, DE E F C B D 8h 3h Az ABC háromszögben AB = 15, BC = 12, CA = 9. A D pont a BC egyenesen fekszik úgy, hogy BD:DC = 3:8. Az egyes ADC és ADB háromszögek beírt körei érintik az AD oldalt az E és F pontokban. Határozzuk meg az EF szakasz hosszát. Megoldás. A Két eset lehetséges: a D pont a BC szakaszon, a D pont pedig a BC szakaszon kívül található. Nézzük a 2. esetet. E F C B 8h 3h 5 96 BC DC 8, DC , 8 5 96 36 BD DC BC 12 . 5 5 -tól ADC, DE AD DC AC AD DC 9, 2 2 AD BD AB AD BD 15 . ADВ-ből, DF 2 2 D 6 DC BD Tehát, EF DE DF 9. 63 . Válasz: 9 vagy 11 2 2. sz. A H pont a 10, 12, 14 oldalú háromszög magasságának alapja, leengedve a 12-es oldalra. A H ponton keresztül egy egyenest húzunk, levágva egy hasonló háromszöget. hozzá a háromszögből, és az M pontban metszi a 10-zel egyenlő oldalt. Keresse meg HM-et. Legyen AB = 10, BC = 12, AC = 14. Megoldás. AB 2 BC 2 AC 2 100 144 196 1 cos B . 2 AB BC 2 10 12 5 A ABN – téglalap alakú, BN = AB·cosB = 2. 10 14 A feltétel szerint ABCНВМ, és van egy közös B szöge, ami azt jelenti, hogy két eset lehetséges . M 1 eset. VMN = BAC; A C 12 N B jelentése: k BH 2 1 , BC 12 6 1 1 7 HM AC 14 . 6 6 3 BH 2 1, ami azt jelenti, hogy HM 1 AC 1 14 14. 2. eset. ВМН = АСВ; k 5 5 5 AB 10 5 7 14 ill. Válasz: 3 5 No. 3 Az ABCD trapéz területe 240. Az átlók az O pontban metszik egymást, az AD alap P középső részét a B és C csúcsokkal összekötő szakaszok metszik a trapéz átlóit az M és N pontokban. Határozza meg az OMPN négyszög területét, ha a trapéz egyik alapja háromszor nagyobb, mint a másik. Megoldás. S ABCD Kétféle trapéz lehetséges. Mindkét esetben: BC 1) ADalsó alap 3a 4 kétszer akkora, mint a felső, BC = a, AD = 2a, h h ah 2ah 240, ah 220 alap 2 2 2kétszer nagyobb alsó, AD = a, BC = 2a. Keressük meg az ОMPN területet: SMONP=SAOD – SAMP – SPND. B C O Tekintsük az első esetet. N M A P D a Feltétel szerint BC = a, AD = 3a, ah = 120. SMONP=SAOD – SAMP – SPND. h 1) BOCAOD , három szögben k 3a BC a 1 . AD 3a 3 Tehát az AOD magasság egyenlő 3 ,h 4, akkor: 1 3 3 9 SAOD AD h 3ah 120 135. 2 4 135. 2 4 MC) 82B három sarokban , k BC a 2 . AP 3a / 2 3 Ekkor az AMP háromszög magassága megegyezik a trapéz magasságának 3/5-ével. S 27. 3) Keresse meg a szükséges területet: 3a B C A BC = 3a, AD = a, ah = 120 feltétel szerint. SMONP=SAOD – SAMP – SPND. h 1) BOCAOD , három szögben O M A k N P a D Tehát az AOD magasság egyenlő 1 1 1 1 SAOD AD h ah 2418. 8 2 ) BMCAMP , három szögben, BC 3a 3. AD a k 1 ,h 4 akkor: BC 3a 6. AP a / 2 Ekkor az AMP háromszög magassága 1/ 7 a trapéz magasságából. 1 1 1 a 1 1 30 SAMP SPND AD h h 120 . 2 7 2 2 7 28 7 30 3) Keresse meg a kívánt területet: SMONP SAOD 2SAMP 15 2 5. 7 Válasz: 27 vagy 5. A paralelogrammán az ABCD oldalszög felezőszöge=12 AD osztja el a BC oldalt M és N pontokkal, így BM:MN=1:7. Találd meg a napot. 4. sz. Megoldás. Legyen O a felezők metszéspontja. B feltétellel BM 1 1, ami azt jelenti, hogy M a B és N pontok között helyezkedik el. MN 7 M N C O B M C N 12 O A D A Két eset lehetséges. 1) O pont – a paralelogramma belsejében van; 2) O pont – a paralelogrammán kívül van. Nézzük az első esetet. D 4. szám Az ABCD AB=12 paralelogrammán az AD oldal szögfelezői elosztják a BC oldalt M és N pontokkal, így BM:MN=1:7. Találd meg a napot. Megoldás. Legyen O a felezők metszéspontja. Feltétellel M B 1,5 BM 1 1, ami azt jelenti, hogy M a B és N pontok között fekszik. MN 7 N 10,5 C 1,5 BNA=NAD - keresztben fekszik; АN – felező А, 12 O A 1) ABN – egyenlő szárú, mert D jelentése BNA= BAN és AB=BN=12, 1 1, majd BM BN 12 1.5. 8 8 Keressük MN=BN-BM=12-1,5=10,5. 2) Hasonlóképpen, DMC egyenlő szárú, MC=DC=12. Ekkor NC= MC-MN=12-10,5=1,5. 3) Tehát BC=VM+MN+NC=13,5. Nézzük az első esetet. 4. sz. ABCD AB=12 paralelogrammán az AD oldal szögfelezői elosztják a BC oldalt M és N pontokkal, így BM:MN=1:7. Találd meg a napot. Megoldás. Tekintsük a második esetet: az O pont a paralelogrammán kívül esik. O B 12 M N C 12 1)ABМ – egyenlő szárú, mert BMA=MAD - keresztben fekvő; 12 12 AM a A felező, ami azt jelenti, hogy BMA= BAM. D A A BM 1 feltétel szerint MN 7 1 BM BN , BN 8 12 96. 8 2) Hasonlóképpen DNC egyenlő szárú, 3) Tehát BC=ВN+NC=96+12=108. Válasz: 13,5 vagy 108. Ekkor AB=BM=12. akkor NC=DC=12. Előadás a geometria órákhoz a „PARALLELOGRAM” témában A B paralelogramma meghatározása Egy olyan négyszöget, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak, A paralelogramma ABCD - négyszög AB ║CD BC ║AD => ABCD -paralelogramma C D A B C O A D paralelogramma tulajdonságai egyenlőek. pár AD=BC AB=CD 2. A szemközti szögek egyenlők párokban B = D A = C 3. Az átlókat a metszéspont osztja fele AO=OC BO=OD A paralelogramma tulajdonságai BA A F N K C D 4 A szomszédos szögek összege egyenlő 180 A + B = 180 5. Egy szög felezője levág belőle egy egyenlő szárú háromszöget. BF – felező, ∆ ABF – egyenlő szárú, AB=BF 6. A szomszédos szögek felezőszögei merőlegesek. AF, BK – felezők, AF BK 7. Az ellentétes szögek felezőszögei párhuzamosak vagy egybeesnek. AF, CN – felezők, AF|| A paralelogramma CN jelei Ha egy négyszögben a szemközti oldalak párhuzamosak és egyenlőek, akkor ez a négyszög paralelogramma. ABCD-ben – AB négyszög || CD AB = CD C => ABCD - A D paralelogramma A paralelogramma jelei Ha egy négyszögben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak, akkor ez a négyszög ABCD paralelogramma - BC = AD négyszög AB = CD B C => ABCD - A D paralelogramma paralelogramma Ha egy négyszögben az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal, akkor ez a négyszög egy B paralelogramma ABCD - négyszög AO = CO BO = OD C => ABCD - O A D paralelogramma A SZOMSZÉD SZÖGEK SZÖVEGE IS 180 FOK: Egy konvex négyszög szemközti oldalai felezőpontjai közötti távolság összege egyenlő a fél kerületével. Az átlók négyzetösszege megegyezik a paralelogramma oldalai négyzetösszegének kétszeresével: Feladatok az elkészült rajzokon B 1) C F B 2) 10 cm C 60 2 cm 32 A E D ABCD – paralelogramma Find C , D Válasz: C 64, D 116 A D ABCD – paralelogramma keresése AD, CD Válasz: AD=4 cm, CD=10 cm Feladatok a kész rajzokon B F C 25 60 C N M NMCF 40 – paralelogramma Minden szög keresése NMCF Válasz: F M 115, N C 65 A 2 cm E 3 cm ABCD – paralelogramma PABCD keresése Válasz: PABCD C 16 E cm-es rajzon M 5 cm F N A 4 cm M NBCM – paralelogramma Find BF, FM Válasz: BF=4 cm, FM=5cm A K ABCD – paralelogramma PABCD = 20 cm Find ME, MK Válasz: ME=3 cm, MK=7cm D keresztrejtvény 4 2 3 1. Négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként egyenlőek 8 1 5 11 3. Két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz 6 9 4. Egy szöget kettéosztó sugár 7 10 A 8. válasz megtekintése. (függőleges) A pont, ahonnan a sokszög oldalai 9. „+” 2. A szög mértékegysége… 10. Derékszögű háromszög oldalai, amelyek derékszöget alkotnak. 11A háromszög csúcsától a szemközti oldal közepéig terjedő szakasz (többes szám). 5. Két pont közé zárt egyenes pontjainak halmaza. 6. Két, egy pontból kiinduló sugárból álló ábra. 7. Hány centiméter van egy méterben? 8. (vízszintes) Oldalra merőleges szakasz. keresztrejtvény 4 b és 2 d 3 d s 8 v ris se par a l l e l o g r t g k sh d 5 r u g o l t i e n r n s 9 a z n a i l 7 t o s 10 k a szög t a m c a n e t s 3. Két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz 4. Egy sugárosztó a felező szög hátrafelé 8 .(függőleges) Az a pont, ahonnan egy sokszög oldalai kiindulnak 9. „+”, 1. Egy négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként egyenlőek ... 10. Egy derékszögű háromszög oldalai derékszög. 11A háromszög csúcsától a szemközti oldal közepéig terjedő szakasz (többes szám). 5. Két pont közé zárt egyenes pontjainak halmaza. 6. Két, egy pontból kiinduló sugárból álló ábra. 7. Hány centiméter van egy méterben? 8. (vízszintes) Oldalra merőleges szakasz. A GEOMETRIA TANULÁSA 7. - 9. ÉVFOLYAMON BIZTOSÍTJA A KÉPZETES ÉS LOGIKUS GONDOLKODÁS FEJLŐDÉSÉT, AMELY A TOVÁBBI TANULMÁNYOK SIKERÉRÉSÉNEK EGYIK FONTOS TÉNYEZŐJE. A 2012-ES GIA FELÉSZÍTÉSÉHEZ SZÜKSÉGES REFERENCIÁK JEGYZÉKE 1. A MATEMATIKAI ÁLTALÁNOS OKTATÁS KÖTELEZŐ MINIMUM TARTALMA. 2. AZ ÁLTALÁNOS OKTATÁS ÁLLAMI SZABVÁNYÁNAK SZÖVETSÉGI ALKALMAZÁSA. MATEMATIKA. ÁLTALÁNOS ALAPOKTATÁS. 3. MATEMATIKA 9. ÉVFOLYAM. ELŐKÉSZÜLETEK A GIA 2012-RE. SZERKESZTŐ. F. F. LYSENKO, F. YU KALABUKHOVA. 4. GEOMETRIA. FELADATOK GYŰJTÉSE 9. OSZTÁLYBAN VIZSGA VIZSGÁHOZ. A. D. BLINKOV, T. M. MISCSENKO. 5. Egységes államvizsga 2011. MATEMATIKA: STANDARD VIZSGA LEHETŐSÉGEK / I.R. VYSOTSKY [ET AL.]; KIADÁS ALATT A.L. SEMENOVA ÉS I.V. JASCHENKO. - M.: 1 NEMZETI OKTATÁS, 2010. 6. GORDIN R.K. Egységes államvizsga 2011. MATEMATIKA. C4. FELADAT. GEOMETRIA. PLANIMETRIA / SZERKESZTŐ. A.L. SEMENOVA ÉS I.V. JASCHENKO. - M.: MTsNMO, 2011. 7. POTOSKEV E.V., ZVAVICH L.I. GEOMETRIA, 10. ÉVFOLYAM: ÁLTALÁNOS OKTATÁSI INTÉZMÉNYEK PROBLÉMÁI MATEMATIKA MÉLY- ÉS PROFIL-TANULMÁNYÁVAL / TUDOMÁNYOSSÁG ALATT. SZERKESZTÉS A.R. RYAZANOVSZKIJ. - M.: DROFA, 2003-2011. 8. Potoskuev E.V., ZVAVICH L.I. GEOMETRIA: VEZÉRLÉS ÉS VIZSGÁLATI MUNKÁK. 10-11 OSZTÁLYOK. - M.: DROFA, 2007. 9. ZVAVICH L.I., RYAZANOVSKY A.R. GEOMETRIA TÁBLÁZATOKBAN. 7-11 CL.: HIVATKOZÁS, KÉZIKÖNYV. - M.: DROFA, 1997-2011. 10. Potoskuev E.V., ZVAVICH L.I. GEOMETRIA. 10. ÉVFOLYAM: TANULMÁNY. AZ ÁLTALÁNOS OKTATÁSI INTÉZMÉNYEK SZÁMÁRA MATEMATIKA MÉLY- ÉS PROFIL-TANULMÁNYÁVAL / KUTATÁS ALATT. SZERKESZTÉS A.R. RYAZANOVSZKIJ. - M.: DROFA, 2003-2011. 11. SZMIRNOV V.A. Egységes államvizsga 2011. MATEMATIKA. C2. FELADAT. GEOMETRIA. SZTEREOMETRIA / SZERKESZTÉS. A.L. SEMENOVA ÉS I.V. JASCHENKO. - M.: MTsNMO, 2011. 12. DIGITÁLIS OKTATÁSI TECHNOLÓGIÁK. KÖSZÖNÖM KÖSZÖNÖM A FIGYELMÜKET! Figyelem!
Amonzhalova Larisa Gennadievna
Munka megnevezése: matematika tanár
Oktatási intézmény: GBOU 644. számú középiskola
Helység: Szentpétervár városa
Anyag neve: Cikk
Tantárgy: Vektorok egy síkon. Koordináta módszer
Megjelenés dátuma: 10.11.2016
Fejezet: középfokú oktatás
A matematika egységes államvizsgára és egységes államvizsgára való felkészítés nem szükséges
egy diplomás ember életének egy kis része. Modernben
rengeteg információ van a világon, és sok forrásból lehet
tanulók és tanáraik felhasználják a felkészülés során
vizsgák. Azonban a sok téma között van egy,
amely nincs olyan mélyen megvilágítva, mint a többi. De ez nem
csökkenti a jelentőségét, mert a téma ismeretének köszönhetően
Az Egységes Államvizsga formátum C. részének feladatai sokkal könnyebben megoldhatók. Tantárgy
A "vektorokat" az általános átlag során tekintjük
oktatásban, és a teljes középfokú oktatás során egyaránt ben
geometria és fizika. Többet is felhívom a figyelmedbe
150 feladat ebben a témában, amelyekből létrehozhat
tetszőleges nehézségi szintű tesztek ismétlés és megszilárdítás céljából
9. osztályos anyag a „Vektorok” témában.
Bibliográfia:
1. Geometriai tesztek. 9. osztály a tankönyvbe Atanasyan_Farkov
A.V_2009 -96s
Geometria. 9. osztály KImy_Ryazanovsky A.R_2016 -80-as évek
3. Geometria. 9. osztály Expressz diagnosztika_Melnikova N.B_2015
4. Geometria. 9. osztály 148 diagnosztika opciók_Panarina V.I.
5. Matematika. Anyagkészlet az előkészítéshez
hallgatók. OGE 2016-192s
Téma: „Vektorok a repülőn. Koordináta módszer"
1.A vektor fogalma. Vektor hossza
A kollineáris vektorok fogalma. társrendező,
ellentétes irányú vektorok. Egyenlő vektorok
1.01
. A vektormennyiség: a) testtömeg; b) testsebesség; c) idő; d) terület. Válasz: b
1.02
. Az ábrán az ABCD egy rombusz. Ekkor a ⃗ SV vektor egyenlő lesz a következő vektorral: a) ⃗ AD ; b) ⃗DA; c) ⃗ Kr. e. d) ⃗ AB. Válasz: b
1.03
.A kollineáris együttirányú vektorok az ábrán láthatók: a) b) c) d) Válasz: b
1.04
. Az ábrán az ABCD egy téglalap. Ekkor a ⃗ B C vektor egyenlő lesz a következő vektorral: a) ⃗ AD ; b) ⃗DA; c) ⃗ CB; d) ⃗ AB. Válasz: a
1.05
. Az ábrán látható a vektor hossza ______.
Válasz: 5 egység.
1.06
. A vektormennyiség: a) az anyag sűrűsége; b) távolság; c) erő; d) testtérfogat. Válasz: be
1.07
. A kollineáris, ellentétes irányú vektorok az ábrán láthatók: a) b) c) d) Válasz: c
1.08
. Az ábrán az ABCD egy paralelogramma. Ekkor a ⃗ AD vektor egyenlő lesz a következő vektorral: a) ⃗ CB ; b) ⃗DA; c) ⃗ Kr. e. d) ⃗ AB. Válasz: be
1.09
. Az ABCD ⃗ AB = ⃗ DC négyszögben a K pont az AB felezőpontja. A DK egyenes az N pontban metszi a BC egyenest. A jelzett vektorpárok közül a következő vektorok nem kollineárisak: a) ⃗ AD és ⃗ NC; b) ⃗ AK és ⃗ DC ; c) ⃗ BK és ⃗ DA; d) ⃗ ВN és ⃗ DA. Válasz: be
1.10
. A nulla vektort _________________________ képviseli: Válasz: pont
1.11
. Az ABCD négyzet oldalának hossza 4 cm. Ekkor a ⃗ BD vektor hossza ___________.
Válasz: 4 √ 2 cm
1.12
. . A rajzon ABCD paralelogramma, BM = MC, ⃗ a = ⃗ AB, ⃗ b = ⃗ AD. Ekkor a ⃗ a és ⃗ b vektoron keresztül a ⃗ c = ⃗ DM vektort a következőképpen fejezzük ki: ⃗ c = ______________________. Válasz: ⃗ a - 1 2 ⃗ b
1.13
. ABCD négyszögben ⃗ AB = ⃗ DC. Átlói metszéspontjának O pontján keresztül egy egyenest húzunk, amely az N és M pontokban metszi a BC és AD oldalakat. Ekkor a jelzett vektorpárok közül a következő vektorok nem kollineárisak: a) ⃗ AD és ⃗ NC ; b) ⃗ OM és ⃗ BN; c) ⃗ AM és ⃗ NB; d) ⃗ ON és ⃗ NM. Válasz: b
1.14
. A ⃗ BC vektort a ⃗ BA, ⃗ AD és ⃗ CD vektorokon keresztül a következőképpen fejezzük ki: ⃗ BC =__________________. Válasz: ⃗ BA + ⃗ AD - ⃗ CD
1.15
. Az ABCD téglalapban az AB és BC oldalak 5 m, illetve 12 m. Ekkor a ⃗ DB vektor hossza _______________ lesz. Válasz: 13 m
1.16
. A rajzon ABCD paralelogramma, BM = MC, ⃗ a = ⃗ AB, ⃗ b = ⃗ AD. Ekkor a ⃗ a és ⃗ b vektoron keresztül a ⃗ c = ⃗ MD vektort a következőképpen fejezzük ki: ⃗ c = __________________. Válasz: 1 2 ⃗ b - ⃗ a
1.17
. Az ABCD ⃗ AB = ⃗ DC négyszögben a K pont az AD felezőpontja. A CK egyenes az N pontban metszi a BA egyenest. A jelzett vektorpárok közül a következő vektorok nem kollineárisak: a) ⃗ AD és ⃗ NK ; b) ⃗ AK és ⃗ BC; c) ⃗ AK és ⃗ DA; d) ⃗ BN és ⃗ DC. Válasz: a
1.18
. Vektor ⃗ AD az ⃗ AB, ⃗ CB és ⃗ CD vektorokon keresztül a következőképpen fejeződik ki: ⃗ AD = _______________________ Válasz: ⃗ AB ̶ ⃗ CB + ⃗ CD
1.19
. Az ABCD négyzet oldalának hossza 5 cm Ekkor a ⃗ CA vektor hossza: ___________________ Válasz: 5 √ 2 cm.
2.20
. A rajzon ABCD paralelogramma, DM = MC, ⃗ a = ⃗ AB, ⃗ b = ⃗ AD. Ekkor a ⃗ a és ⃗ b vektorokon keresztül a ⃗ c = ⃗ BM vektor a következőképpen lesz kifejezve: ⃗ c = _______________________ Válasz: ⃗ b ̶ 1 2 ⃗ a
2. Vektorok összeadása és kivonása.
Egy vektor szorzata egy számmal
2.01
. A ⃗ a + ⃗ b = ⃗ b + ⃗ a egyenlőséget nevezzük: a) kommutatív törvénynek; b) kombinációs törvény; c) a paralelogramma szabály; d) a háromszög szabály. Válasz: a
2.02
. A ⃗ c vektor az ábrán látható ⃗ a és ⃗ b vektorok összege: Válasz: c
2.03
. Az ábrán vektorok láthatók. A 2 ⃗ a vektorral egyenlő vektor lesz a következő vektor: a) ⃗ b ; b) ⃗ c ; c) ⃗ m; d) ⃗ n. Válasz: g
2.04
. Az MN szakasz az ABC háromszög középvonala. A k szám, amelyre ⃗ MA = k* ⃗ AB egyenlő: a) 2; b) -2; 12-kor ; d) − 1 2 . Válasz: g
2.05
. Az ABCD paralelogramma, O az átlóinak metszéspontja. Ekkor a következő egyenlőség lesz igaz: a) ⃗ AO – ⃗ OD = ⃗ AD ; b) ⃗AO – ⃗DO = ⃗AD; c) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ OA ; d) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ AC. Válasz: b
2.06
. Az ⃗ AB vektort az ⃗ AD, ⃗ CD és ⃗ CB vektorokon keresztül a következőképpen fejezzük ki: AB = ___________________________. Válasz: ⃗ AB = ⃗ AD − ⃗ CD + ⃗ CB
2.07
. Az ⃗ AB + ⃗ BC = ⃗ AC egyenlőséget, ahol A, B, C tetszőleges pontok, nevezzük: a) kommutatív törvénynek; b) kombinációs törvény; c) a paralelogramma szabály; d) a háromszög szabály. Válasz: g
2.08
. A ⃗ c vektor az ábrán látható ⃗ a és ⃗ b vektorok különbsége: Válasz: c
2.09
. Az ábrán vektorok láthatók. A -3 ⃗ a vektorral egyenlő vektor lesz: a) ⃗ b ; b) ⃗ c ; c) ⃗ m; d) ⃗ n. Válasz: b
2.10
. ABCD – trapéz, BC || AD, BC = 4 cm, AD = 16 cm A k szám, amelyre ⃗ AD = k ∙ ⃗ CB, egyenlő: a) 4; b) -4; c) 1 4; d) - 1 4 .
Válasz: b
2.11
. Az ABCD paralelogramma, O az átlóinak metszéspontja. Ekkor a következő egyenlőség lesz igaz: a) ⃗ AO – ⃗ O B = ⃗ AB ; b) ⃗AO – ⃗BO = ⃗AD; c) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ AO ; d) ⃗CB + ⃗BO = ⃗AO. Válasz: be
2.12
. Az egyenlőséget (⃗ b + ⃗ c ⃗ a + ⃗ b ¿+ ⃗ c = ⃗ a +¿) nevezzük: a) kommutatív törvénynek; b) kombinációs törvény; c) a paralelogramma szabály; d) a háromszög szabály. Válasz: b
2.13
. A ⃗ c vektor az ábrán látható ⃗ a és ⃗ b vektorok összege: Válasz: d
2.14
. Az ábrán vektorok láthatók. A 3 ⃗ a vektorral egyenlő vektor lesz a következő vektor: a) ⃗ b ; b) ⃗ c ; c) ⃗ m; d) ⃗ n. Válasz: b
2.15
. Az MN szakasz az ABC háromszög középvonala. Az a k szám, amelyre ⃗ AB = k ∙ ⃗ MA egyenlő: a) 2; b) -2;
12-kor ; d) - 1 2 . Válasz: b
2.16
. Az ABCD paralelogramma, O az átlóinak metszéspontja. Ekkor a következő egyenlőség lesz igaz: a) ⃗ AO ̶ ⃗ OD = ⃗ AD ; b) ⃗ AO ̶ ⃗ BO = ⃗ AD ; c) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ AO ; d) ⃗ AB + ⃗ BO = ⃗ AC. Válasz: be
2.17
. A több vektor összegének megszerkesztésére vonatkozó szabályt: a) paralelogramma szabálynak nevezzük; b) sokszögszabály; c) trapézszabály; d) a háromszög szabály. Válasz: b
2.18
. A ⃗ c vektor az ábrán látható ⃗ b és ⃗ a vektorok különbsége. Válasz: b
2.19
. Az ábrán vektorok láthatók. Egy -2 ⃗ a vektorral egyenlő vektor lesz: a) ⃗ b ; b) ⃗ c ; c) ⃗ m; d) ⃗ n. Válasz: b
2.20
. ABCD – trapéz, BC || AD, BC = 4 cm, AD = 16 cm Az a k szám, amelyre ⃗ CB = k ∙ ⃗ AD egyenlő: a) 4;
b) -4; c) 1 4; d) - 1 4 . Válasz: g
3. Szög vektorok között. Vektorok pontszorzata.
Skaláris négyzet. Pont szorzat koordinátákban.
3.01
.Az ábrán látható háromszögben a C szög koszinusza 1 3. Határozzuk meg a ⃗CA és ⃗CB vektorok skaláris szorzatát! a) 11; b) 6; c) 22; d) 66. Válasz: d
3.02
.Határozza meg a ⃗ a (2; -3) és ⃗ b (4; 2) vektorok skaláris szorzatát! a) 5; b) 2; 6-kor; d) 8. Válasz: b
3.03
.A MAB háromszög egyenlő szárú AB alappal, oldaloldala 6. Határozza meg a ⃗ MA és ⃗ MB vektorok közötti szög koszinuszát, ha ⃗ MA · ⃗ MB = 12. a) 1 3 ; b) 2; 12-kor ;
d) 1 6 . Válasz: a
3.04
.Melyek a jelzett vektorok merőlegesek? a) ⃗ a (2; 1) és ⃗ b (-3; 4); b) ⃗ m (2; -3) és ⃗ n (6; 4); c) ⃗ c (-2; 3) és ⃗ d (4; 6); d) ⃗ h (4; -6) és ⃗ l (4; 6). Válasz: b
3
.
05
. Az ábrán látható háromszögben az A szög koszinusza 2 3. Határozzuk meg az ⃗AC és ⃗AB vektorok skaláris szorzatát! a) 8; b) 15; c) 80; d) 40. Válasz: c
3.06
.Határozza meg a ⃗ a (3; 5) és ⃗ b (-2; 1) vektorok skaláris szorzatát! a) 1; b) -11; 7-kor; d) -1. Válasz: g
3.07
.A KBC háromszög egyenlő szárú BC alappal, oldaloldala 8. Határozza meg a ⃗ KB és ⃗ KC vektorok közötti szög koszinuszát, ha ⃗ KB · ⃗ KC = 16. a) 1 2 ; b) 2; c) 1 4;
d) 4. Válasz: c
3.08
.Melyek a jelzett vektorok merőlegesek? a) ⃗ a (2; 1) és ⃗ b (-2; 1); b) ⃗ m (2; -3) és ⃗ n (4; 6); c) ⃗ c (-2; 3) és ⃗ d (-4; 6); d) ⃗ h (4; 3) és ⃗ l (6; -8). Válasz: g
3.09
.Az ábrán látható háromszögben az A szög koszinusza 3 4. Határozzuk meg az ⃗AC és ⃗AB vektorok skaláris szorzatát! a) 63; b) 21; 12-kor; d) 7. Válasz: a
3.10
.Határozzuk meg a ⃗ a (-2; 6) és ⃗ b (5; 1) vektorok skaláris szorzatát! a) -7; b) -4; 10 órakor; d) -17. Válasz: b
3.11
.A PAE háromszög egyenlő szárú AE alappal, oldaloldala 6. Határozza meg a ⃗ PA és ⃗ PE vektorok közötti szög koszinuszát, ha ⃗ PA · ⃗ PE = 9. a) 2; b) 1 3; c) 3 4; d) 1 4 . Válasz: g
3.12
.Melyek a jelzett vektorok merőlegesek? a) ⃗ a (-2; 1) és ⃗ b (-3; 4);
b) ⃗ m (1; -3) és ⃗ n (2; -6); c) ⃗ c (-2; 8) és ⃗ d (4; 1); d) ⃗ h (3; -6) és ⃗ l (3; 6). Válasz: be
3.13
.Az ábrán látható háromszögben a C szög koszinusza 2 5. Határozzuk meg a ⃗CA és ⃗CB vektorok skaláris szorzatát! a) 16; b) 10; c) 32; d) 80. Válasz: c
3.14
.Határozza meg a ⃗ a (2; -4) és ⃗ b (6; 2) vektorok skaláris szorzatát! a) 4; b) 6; 2-nél; d) 20. Válasz: a
3.15
.Az MBC háromszög egyenlő szárú BC alappal, oldaloldala 4. Határozza meg a ⃗ MB és ⃗ MC vektorok közötti szög koszinuszát, ha ⃗ MB · ⃗ MC = 2. a) 1 4 ; b) 1 8; 8-kor; d) 1 2 . Válasz: b
3.16
.Melyek a jelzett vektorok merőlegesek? a) ⃗ a (2; -6) és ⃗ b (1; -3); b) ⃗ m (3; 9) és ⃗ n (6; -2); c) ⃗ c (-2; 3) és ⃗ d (6; 9); d) ⃗ h (5; -6) és ⃗ l (5; 6). Válasz: b
3.17
.Milyen fokszámú a vektorok közötti szög, ha skalárszorzatuk 0? a) 180 0; b) 90 0; c) 0 0; d) 360 0. Válasz: b
3.18
.Mekkora a vektorok skaláris szorzata, ha a köztük lévő szög 90 0? a) 1; b) -1; c) 90; d) 0. Válasz: d
3.19
. Az MBC háromszög egyenlő szárú BC alappal, oldaloldala egyenlő 3-mal. Határozzuk meg az ⃗ MB és ⃗ MC vektorok közötti szög koszinuszát, ha ⃗ MB · ⃗ MC = 1. a) 1 9 ; b) 1 3; 9-kor; d) 1. Válasz: a
3.20
. Az alábbi vektorok közül melyik merőleges? a) ⃗ a (2; -6) és ⃗ b (9; -3); b) ⃗ m (-3; 9) és ⃗ n (6; -2); c) ⃗ c (-2; 3) és ⃗ d (6; 9); d) ⃗ h (5; -6) és ⃗ l (5; 6). Válasz: a
4. Vektorok alkalmazása a problémamegoldásban. középső vonal
trapézok.
4.01
.Az ABCD trapéz alapjai 10 cm és 17 cm A trapéz középvonala... 1. 13 cm; 2. 27 cm; 3. 13,5 cm;
4. 7,5 cm Válasz: 3
4.02
. Az ABCD trapéz alapjai 6 cm és 12 cm A trapéz középvonala... 1. 18 cm; 2. 9 cm; 3. 8 cm 4. 8,5 cm Válasz: 2
4.03
.A trapéz középvonala 16, az egyik alapja pedig 23. Keresse meg a trapéz másik alapját. 1. 11; 2,13; 3,9; 4. 15. Válasz: 3
4.04
.A trapéz középvonala 19, az egyik alapja pedig 7. Keresse meg a trapéz másik alapját. 1. 19; 2. 31; 3,21; 4. 12. Válasz: 2
4.05
.A trapéz alapjai 5 és 12. Határozzuk meg a szakaszok közül azt a nagyobbat, amelyre az egyik átlója felosztja a középvonalat! 16; 2. 2,5; 3. 8,5; 4. 5. Válasz: 1
4.06
. A trapéz alapjai 37 és 40. Határozzuk meg azon szakaszok közül a nagyobbat, amelyekre az egyik átlója felosztja a középvonalat! 1. 38,5; 2. 18,5; 3,20; 4. 27. Válasz: 3
4.07
.A trapéz alapja 5 és 12. Keresse meg a kisebbik szakaszt, amelyre az egyik átlója felosztja a középvonalat!
16; 2. 2,5; 3. 8,5; 4. 5. Válasz: 2
4.08
. A trapéz alapjai 37 és 40. Határozzuk meg a kisebbik szakaszt, amelyre az egyik átlója felosztja a középvonalat! 1. 38,5; 2. 18,5; 3,20; 4. 27. Válasz: 2
4.09
.Az ABCD trapéz alapjai 14 cm és 19 cm A trapéz középvonala... 1. 17 cm; 2. 33 cm; 3. 16,5 cm; 4. 17,5 cm Válasz: 3
4.10
. Az ABCD trapéz alapjai 8 cm és 14 cm A trapéz középvonala... 1. 22 cm; 2. 11 cm; 3. 9 cm 4. 10,5 cm Válasz: 2
4.11
.A trapéz középvonala 11, az egyik alapja pedig 17. Keresse meg a trapéz másik alapját. 1. 14; 2,13; 3,9; 4. 5. Válasz: 4
4.12
.A trapéz középvonala 15, az egyik alapja pedig 6. Keresse meg a trapéz másik alapját. 1. 10,5; 2,21; 3,24; 4.12.
Válasz: 3
4.13
.A trapéz alapja 17 és 12. Keresse meg a szakaszok közül azt a nagyobbat, amelyre az egyik átlója felosztja a középvonalat! 1. 17; 2. 14,5; 3. 8,5; 4. 6. Válasz: 3
4.14
. A trapéz alapjai 37 és 30. Határozzuk meg azon szakaszok közül a nagyobbat, amelyekre az egyik átlója felosztja a középvonalat! 1. 37; 2. 18,5; 3,15; 4. 33.5. Válasz: 2
4.15
.A trapéz alapja 15 és 12. Keresse meg a kisebbik szakaszt, amelyre az egyik átlója felosztja a középvonalat. 16; 2. 7,5; 3. 13,5; 4. 12. Válasz: 1
4.16
. A trapéz alapjai 37 és 30. Határozzuk meg a kisebbik szakaszt, amelyre az egyik átlója felosztja a középvonalat! 1,30; 2. 33,5; 3. 18,5; 4. 15. Válasz: 4
4.17
. Az ABCD trapéz alapjai 24 cm és 19 cm A trapéz középvonala... 1. 21 cm; 2. 12 cm; 3. 21,5 cm; 4. 17,5 cm Válasz: 3
4.18
. Az ABCD trapéz alapjai 18 cm és 14 cm A trapéz középvonala... 1. 32 cm;
2. 12 cm; 3. 9 cm 4. 15,5 cm Válasz: 2
4.19
.A trapéz középvonala 14, az egyik alapja pedig 17. Keresse meg a trapéz másik alapját. 1. 14; 2. 15,5; 3,9; 4. 11. Válasz: 4
4.20
.A trapéz középvonala 12, az egyik alapja pedig 9. Keresse meg a trapéz másik alapját. 1. 15; 2,13; 3. 10,5; 4. 12. Válasz: 1
5. Vektor koordináták. A legegyszerűbb feladatok koordinátákban.
A szakasz felezőpontjának koordinátái. A vektor hosszának kiszámítása a
a koordinátáit. Két pont közötti távolság.
5.01
. A D(-3;4) pont az alábbiakban található: a) I. negyed; b) II. negyed; c) III. negyedév; d) IV negyedév. Válasz: b
5.02
. A ⃗ a =3 ⃗ i - 2 ⃗ j vektor koordinátái egyenlők: a) ⃗ a (-2; 3); b) ⃗ a (3; -2); c) ⃗ a (0; -2); d) ⃗ a (3; 0). Válasz: b
5.03
. A ⃗ a =2 ⃗ i + 3 ⃗ j és a ⃗ b = –6 ⃗ i + k ⃗ j vektorok kollineárisak lesznek, ha a k szám egyenlő:
a) 3; b) 9; 9-kor; d) -5. Válasz: be
5.04
. Ha A(3; 4) és B(-2; 5), akkor az ⃗ AB vektor koordinátái: a) (1; 9); b) (5; -1); c) (-5; 1); d) (-5; 9). Válasz: be
5.05
. A ⃗ MN (-4; 3) vektor hossza ______________________. Válasz: 5
5.06
. Adott A(2; 0), B(-1; 3), C(4; 6) pont. Ekkor a ⃗ a = ⃗ BA – ⃗ BC vektor koordinátái _______________________. Válasz: (-2; -6)
5.07.
Az A(2; 3) pont az AB szakasz egyik vége. C(2; 1) – az AB szakasz közepe. Ekkor a B pont koordinátái _____________ lesznek. Válasz: (2; -1)
5.08
. AB a kör átmérője. A(1; 4), B(-3; 7). Ekkor ennek a körnek a középpontjának koordinátái ______________________ lesznek. Válasz: (-1; 5,5)
5.09
. Az S(2; -4) pontok az alábbiakban találhatók: a) 1. negyed; b) 2 negyed; c) 3 negyed; d) 4 negyed; Válasz: g
5.10
. Adott A(2; -3) és B(-1; 2) pont. Az ⃗AB és ⃗CA vektorok egyenlőek. Ekkor a C pont koordinátái egyenlők lesznek: a) C (5; -8) b) C (-1; 2) c) C (1; -2) d) C (-1; -1) Válasz: a
5.11
. Az M pont sugárvektora az ábrán látható: Válasz: in
5.12
. A B pont (-8; 6) és az ordináta távolsága egyenlő; a) -8; b) 6; 10 órakor; d) 8. Válasz: d
5.13
. Ha egy kört az (x-3) 2 + (y+2) 2 =9 egyenlet ad meg, akkor M középpontjának és r sugarának koordinátái egyenlők: a) M (3;2), r=9 ; b) M (3;-2), r=3; c) M (-3; 2), r=3; d) M (-3; -2), r=9. Válasz: b 5.14. Az ábrán látható ⃗ a vektor koordinátái egyenlőek lesznek ______________________ Válasz: (4;-2)
5.15
. Az A(2;6) és B(4;8) pontok távolsága ______________________ ______________________ _ __
Válasz:√8
5.16
. L(5;9), K(1;7). Ekkor a C pont, az LK szakasz közepe koordinátái egyenlőek lesznek ________________________________________________ Válasz: (3;8)
5.17
. Adott vektorok ⃗ a (4;-3), ⃗ b (-2;6). Ekkor a ⃗ c = -3 ⃗ a + 0,5 ⃗ b vektor koordinátái egyenlők lesznek___________________________________ Válasz: (-13;-6)
5.18
. A ⃗ a =-3 ⃗ i +4 ⃗ j vektor koordinátái egyenlőek: A) (-3;4) B) (4;-3) C) (0;4) D) (-3;0) ) Válasz: A
5.19
. A ⃗ a =-2 ⃗ i +4 ⃗ j és a ⃗ b =k ⃗ i -8 ⃗ j vektorok kollineárisak lesznek, ha k egyenlő: A) -4 B) 4 C) -1 D) 1 Válasz: B
5.20
. Ha A(-2;4) és B(1;-3), akkor az ⃗ AB vektor koordinátái: A) (-1;1) B) (-3;7) C) (3;-7) D ) (3;-7) Válasz: B
5.21
. Az A(2;-3) és B(-1;2) pontok adottak. Az ⃗ AB és ⃗ AC vektorok egyenlőek. Ekkor a C pont koordinátái egyenlők lesznek: A) C (-3;5); B) C (-1;2); B) C (1;-2); D) C (-1; -1); Válasz: B
5.22
. Adott A(2;4), B(-1;3), (0;5) pont. Ekkor az ⃗ a = ⃗ AB - ⃗ CA vektornak vannak koordinátái: Válasz: (-5;0)
5.23
. Koordináták a B(-1;1) szegmens végeitől, C(2;1) - az AB szakasz közepe. Ekkor az A pont koordinátái a következők lesznek: Válasz: (5;1)
5.24. Az A(-2;4) és B(3;8) pontok adottak. Az ⃗AB és ⃗CA vektorok egyenlőek. Ekkor a C pont koordinátái egyenlők lesznek: Válasz: (-7;0) 5.25.
5.26. A B(-3;-4) pont és az x tengely távolsága: A) -4;
B) 3;
AT 4; D) 5; Válasz: B 5.27. Az ábrán látható ⃗ a vektor koordinátái egyenlők lesznek:_____________ Válasz:(3; 2) 5.28. Az A(1;5) és B(2;7) pontok közötti távolság egyenlő lesz: _________________________________________________________ Válasz:√5 5.29. A(2;7), B(4;-1). Ekkor a C pont – az AB szakasz közepe – koordinátái a következők lesznek: ___________________________________________________ Válasz: (3; 3) 5.30. Az M(x,y) pont – az AB szakasz közepe – koordinátái, ahol A(x 1,y 1), B(x 2,y 2), a következők lesznek: ________________________________________________ Válasz: x = x 1 + x 2 2, y = y 1 + y 2 2 5.31. Adott vektorok ⃗ a (6;-9), ⃗ b (1;-3). Ekkor a ⃗ c = 1 3 ⃗ a -2 ⃗ b vektor koordinátái egyenlőek lesznek:_______________________________ Válasz: (0;3) 5.32. Adott 4 vektor (lásd az ábrát) Melyiknek van koordinátája (-1;2)?
Válaszlehetőségek: 1. 9 2. 10 3. 14 4. 20 5. 40 Válasz: 4 5.40. Határozzuk meg a ⃗ a = 2 ⃗ i − 1 2 ⃗ j vektor koordinátáit! Válasz: (2; -0,5) 5,41. Bontsa ki a ⃗ b (-3; 6) vektort koordináta vektorokká. Válasz: ⃗ b =− 3 ⃗ i + 6 ⃗ j 5.42. Határozza meg a ⃗ a + 3 ⃗ b − 1 2 ⃗ c vektor koordinátáit, ha ⃗ a (4; 9), ⃗ b (- 1; 2) és ⃗ c (-6; 8) Válasz: (4; 11) 5.43. Határozzuk meg a ⃗ m =− 7 ⃗ i + 3 8 ⃗ j vektor koordinátáit! Válasz: (-7; 0,375) 5,44 Bővítse ki a ⃗ c (3; -7) vektort koordináta vektorokká. Válasz: ⃗ c = 3 ⃗ i − 7 ⃗ j 5.45 Határozza meg a ⃗ a − 4 ⃗ b + 1 3 ⃗ c vektor koordinátáit, ha ⃗ a (4; 9), ⃗ b (-1; 2) és ⃗. c ( -6;9) Válasz: (6; 4) 5,46. Határozzuk meg a ⃗ k = 1 7 ⃗ i − ⃗ j vektor koordinátáit. Válasz: (1 7 ; -1) 5.47 Bontsa ki a ⃗ a (0; -9) vektort koordinátavektorokká! Válasz: ⃗ a =− 9 ⃗ j 5.48. Határozza meg a 2. vektor koordinátáit ⃗ a − ⃗ b + 1 4 ⃗ c, ha ⃗ a (2; 1), ⃗ b (-5; 7) és ⃗ c (8) ; - 12) Válasz: (11; -8) 5.49. Határozzuk meg a ⃗ a = − 2 5 ⃗ i + 6 ⃗ j vektor koordinátáit. Válasz: (-0,4; 6) 5,50 Bontsa ki a ⃗ b (3; 2) vektort koordinátavektorokká! Válasz: ⃗ b = 3 ⃗ i + 2 ⃗ j 5.51 Határozza meg a ⃗ a − 2 ⃗ b − 1 3 ⃗ c vektor koordinátáit, ha ⃗ a (10; -3),
⃗ b (2; -5) és ⃗ c (12; -6) Válasz: (2; 9) 5.52. Adott M(3;-1) és K(4;-3) pont. Keresse meg az ⃗ MK vektor koordinátáit. 1)(-1;-2) 2)(1;-2) 3)(1;2) 4)(-1;2) Válasz: 2 5.53.Keresse meg az ábrán látható szakasz hosszát! Válasz:10 1) 5.54.
;2) 2) (-5;2) 3) (5;-2) 4) (-5;-2) Válasz: 4 5.55. Keresse meg az ábrán látható szakasz hosszát! Válasz: 13 5,56. A B(3;-4) és D(1;2) pontok adottak. Keresse meg a ⃗BD vektor koordinátáit.
1) (-2;-6) 3) (-2;6) 2) (4;6) 4) (2;-2) Válasz: 3 5.57. Keresse meg az ábrán látható szakasz hosszát! Válasz: 13 5,58. Az O (5;1) és P(3;-4) pontok adottak. Keresse meg az ⃗OP vektor koordinátáit. 1) (-2;-5) 3) (-2;5) 2) (2;-5) 4) (2;-3) Válasz: 1 5.58. Keresse meg az ábrán látható szakasz hosszát! Válasz: 10
6. Egyenes egyenlete téglalap alakú koordinátarendszerben.
Nem nulla vektorok merőlegességének feltétele. Számítás
6.01
a nullától eltérő vektorok közötti szög koszinusza.
. Az x tengelyre merőleges egyenes egyenlete a következő egyenlet lesz: a) y = x; b) y=-4;
6.02
c) x = 3; d) y + 1 = 0. Válasz: c
6.03
. A C (2; 3) ponton átmenő egyenes vezérlése a következő egyenlet lesz: a) 2x-3y-5=0; b) x+2=0; c) y+3=0; d) x-4y+10=0. Válasz: g
6.04
.A betű alatti egyenes egyenlete nem egy egyenes egyenlete: a) y=4; b) y2+x2=4; c) x=0; d) x-2y+3=0. Válasz: b
6.05
. Mekkora az y = -x + 2 egyenlet által adott egyenes meredeksége? 1) -2 2) 2 3) -1 4) -x Válasz: 3
6.06
. Az ordináta tengelyre merőleges egyenes egyenlete a következő lesz: 1) y=x 2) y=-4 3) x=-3 4) x-4=0 Válasz: 2
6.07
. A betű alatti vonal egyenlete nem egy egyenes egyenlete: 1) x = 4; 2) y + x 2 = -3; 3) y = 0;
4) 3x + y-4 = 0;
6.08
Válasz: 2
6.09
. Adjon meg egy egyenletet, amely az ordináta tengellyel párhuzamos, A(-2;4) ponton átmenő egyenest határoz meg. 1) x=-2 3) -2x+4y=0 2) y=4 4) y=-2x+4 Válasz: 1
6.10
. Mekkora az y = x – 4 egyenlet által adott egyenes meredeksége? 1) -4 2) 4 3) 0 4) 1 Válasz: 4
6.11
. Az ábrán látható egyenesek közül melyiket adja meg az y=2x-3 egyenlet? 1)a 3)m 2)b 4)n Válasz:3
6.12
. Adjon meg egy egyenletet, amely az ordinátatengellyel párhuzamos és az M(-2;6) ponton átmenő egyenest határoz meg. 1) x=-2 3) -2x+6y=0 2) y=6 4) y=-2x+2 Válasz: 1
. Az ábrán látható egyenesek közül melyiket adja meg az Y = -2x + 3 egyenlet?
6.13
1)a 3)m 2)b 4)n Válasz:2
6.14
. Adjon meg egy egyenletet, amely az ordinátatengellyel párhuzamos és az M(-1;5) ponton átmenő egyenest határoz meg. 1) x=-1 3) -x+5y=0 2) y=5 4) y= -x+4 Válasz: 1
6.15
. Az ábrán látható egyenesek közül melyiket adja meg az Y = -2x-3 egyenlet? 1) a 3) m 2) b 4) n Válasz: 1
6.16
.Adjon meg egy egyenletet, amely az abszcissza tengellyel párhuzamos és az M(-3;4) ponton átmenő egyenest határoz meg. 1) -3x+4y=0 3) y=4 2) y=-3x+5 4) x=-3 Válasz: 3
. Az ábrán látható egyenesek közül melyiket adja meg az y=2x+3 egyenlet? 1)a 3)m
6.17
2) b 4) n Válasz: 4
6.18
.Adjon meg egy egyenletet, amely az abszcissza tengellyel párhuzamos és az M(-2;3) ponton átmenő egyenest határoz meg. 1) y=3 3) -2x+3y=0 2) x= -2 4) y= -2x-1 Válasz: 1
6.19
.Mekkora az y=3x – 7 egyenlet által adott egyenes meredeksége? 1) -7 2) 3 3) -3 4) 7 Válasz: 2
6.20
.Melyek az y=3x – 7 egyenlet által adott egyenes metszéspontjának és az ordináta tengelyének koordinátái? 1) (0;3) 2) (0;-7) 3) (3;-7) 4) (0;7) Válasz: 2
. Melyek az y=-2x + 3 egyenlet által adott egyenes metszéspontjának és az ordinatatengelynek a koordinátái? 1) (0;3) 2) (0;-2) 3) (-2;3)
6.21
4) (0;-3) Válasz: 1 Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: