Egyenes prizma oldalsó területe. Hány lapja lehet az alap síkjára merőleges egy piramisnak? Melyik prizmában párhuzamosak az oldalélek a magasságával?

Meghatározás. Prizma egy poliéder, amelynek minden csúcsa két párhuzamos síkban helyezkedik el, és ugyanabban a két síkban fekszik a prizma két lapja, amelyek egyenlő sokszögek, amelyeknek megfelelően párhuzamos oldalaik vannak, és minden él, amely nem esik ezeken a síkon, párhuzamos.

Két egyenlő arcot hívnak prizma alapok(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

A prizma összes többi lapját hívják oldalsó arcok(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Minden oldalfelület kialakul a prizma oldalfelülete .

A prizma minden oldallapja paralelogramma .

Azokat az éleket, amelyek nem fekszenek az alapokon, a prizma oldalsó éleinek nevezzük ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizma átlós olyan szakasz, amelynek végei egy prizma két csúcsa, amelyek nem ugyanazon a lapon fekszenek (AD 1).

A prizma alapjait összekötő és mindkét alapra egyidejűleg merőleges szakasz hosszát ún. prizma magassága .

Kijelölés:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Először bejárási sorrendben az egyik alap csúcsait, majd ugyanabban a sorrendben a másikat; az oldalélek végeit ugyanazokkal a betűkkel jelöljük, csak az egyik alapban fekvő csúcsokat jelöljük betűkkel index nélkül, a másikban pedig indexszel)

A prizma nevéhez az alján fekvő ábra szögeinek számához kötődik, például az 1. ábrán egy ötszög van az alapnál, így a prizma ún. ötszögletű prizma. Hanem mert egy ilyen prizmának 7 lapja van, akkor az heptaéder(2 lap - a prizma alapjai, 5 lap - paralelogramma, - oldallapjai)

Az egyenes prizmák közül kiemelkedik egy bizonyos típus: a szabályos prizmák.

Az egyenes prizmát nevezzük helyes, ha alapjai szabályos sokszögek.

Paralelepipedon

Téglalap alakú paralelepipedon- egy derékszögű paralelepipedon, amelynek alapja téglalap.

Tulajdonságok és tételek:

,

ahol d a négyzet átlója;
a a négyzet oldala.

A prizmáról egy képet ad:

• különféle építészeti struktúrák;
• Gyermekjátékok;
• csomagoló dobozok;
• dizájner cikkek stb.

A prizma teljes és oldalsó felületének területe

S teljes = S oldal + 2S fő,

Ahol S tele- teljes felület, S oldal- oldalsó felület, S alap- alapterület

Az egyenes prizma oldalfelülete egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával.

S oldal= P alap * h,

Ahol S oldal-egyenes prizma oldalfelületének területe,

P fő - az egyenes prizma alapjának kerülete,

h az egyenes prizma magassága, egyenlő az oldaléllel.

Prizma térfogata

A prizma térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.

1. A tetraédernek van a legkisebb élszáma - 6.

2. Egy prizmának n lapja van. Melyik sokszög van az alapjában?

(n - 2) - négyzet.

3. Egyenes-e egy prizma, ha két szomszédos oldallapja merőleges az alap síkjára?

Igen, az.

4. Melyik prizmában az oldalélek párhuzamosak a magasságával?

Egyenes prizmában.

5. Szabályos-e egy prizma, ha minden éle egyenlő egymással?

Nem, lehet, hogy nem közvetlen.

6. Lehet-e egy ferde prizma egyik oldallapjának magassága a prizma magassága is?

Igen, ha ez az oldal merőleges az alapra.

7. Létezik-e olyan prizma, amelyben: a) az oldalél csak az alap egyik élére merőleges; b) csak az egyik oldallap merőleges az alapra?

a) igen. b) nem.

8. A szabályos háromszög alakú prizmát az alapok középvonalain átmenő sík két prizmára osztja. Mennyi ezeknek a prizmáknak az oldalfelületeinek aránya?

A 27. tétel alapján azt találjuk, hogy az oldalfelületek aránya 5:3

9. Szabályos lesz-e a piramis, ha oldallapjai szabályos háromszögek?

10. Hány lapja lehet egy piramisnak az alap síkjára merőlegesen?

11. Van-e olyan négyszögletű gúla, amelynek szemközti oldalai merőlegesek az alapra?

Nem, különben legalább két egyenes haladna át a piramis tetején, merőlegesen az alapokra.

12. Lehet-e egy háromszög alakú piramis összes lapja derékszögű háromszög?

Igen (183. ábra).

Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásoknak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - az Ön személyes adatainak nyilvánosságra hozatala. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

Általános információk az egyenes prizmáról

A prizma oldalfelületét (pontosabban az oldalfelületét) ún összeg oldalfelületek területei. A prizma teljes felülete egyenlő az oldalfelület és az alapok területeinek összegével.

19.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelülete egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával, azaz az oldalél hosszával.

Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok. Ezeknek a téglalapoknak az alapja a sokszög oldalai, amelyek a prizma alapjában helyezkednek el, és a magasságuk megegyezik az oldalélek hosszával. Ebből következik, hogy a prizma oldalfelülete egyenlő

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

ahol a 1 és n az alapélek hossza, p a prizma alapjának kerülete, I pedig az oldalélek hossza. A tétel bizonyítást nyert.

Gyakorlati feladat

Probléma (22) . Ferde prizmában hajtják végre szakasz, merőleges az oldalbordákra és metszi az összes oldalbordát. Határozzuk meg a prizma oldalfelületét, ha a szelvény kerülete egyenlő p-vel és az oldalélek egyenlőek l-lel.

Megoldás. A megrajzolt metszet síkja a prizmát két részre osztja (411. ábra). Vegyünk egyet párhuzamos fordításnak, kombinálva a prizma alapjait. Ebben az esetben egy egyenes prizmát kapunk, amelynek alapja az eredeti prizma keresztmetszete, oldalélei pedig l-el egyenlők. Ennek a prizmának az oldalfelülete megegyezik az eredetivel. Így az eredeti prizma oldalfelülete egyenlő pl.

Az érintett téma összefoglalása

Most próbáljuk meg összefoglalni a prizmákkal kapcsolatos témát, és emlékezzünk arra, hogy milyen tulajdonságai vannak a prizmának.

A prizma tulajdonságai

Először is, a prizmának minden alapja egyenlő sokszög;
Másodszor, egy prizmában az összes oldallapja paralelogramma;
Harmadszor, egy ilyen sokoldalú ábrán, mint egy prizma, minden oldalél egyenlő;

Emlékeztetni kell arra is, hogy a poliéderek, például a prizmák lehetnek egyenesek vagy ferdeek.

Melyik prizmát nevezzük egyenes prizmának?

Ha egy prizma oldaléle merőleges az alapja síkjára, akkor az ilyen prizmát egyenesnek nevezzük.

Nem lenne felesleges felidézni, hogy az egyenes prizma oldallapjai téglalapok.

Milyen típusú prizmát nevezünk ferde prizmának?

De ha egy prizma oldaléle nem merőleges az alapja síkjára, akkor nyugodtan mondhatjuk, hogy ferde prizma.

Melyik prizmát nevezzük helyesnek?

Ha egy szabályos sokszög egy egyenes prizma alapjában fekszik, akkor az ilyen prizma szabályos.

Most pedig emlékezzünk a szabályos prizmák tulajdonságaira.

Szabályos prizma tulajdonságai

Először is, a szabályos sokszögek mindig egy szabályos prizma alapjaként szolgálnak;
Másodszor, ha figyelembe vesszük egy szabályos prizma oldallapjait, akkor ezek mindig egyenlő téglalapok;
Harmadszor, ha összehasonlítja az oldalbordák méretét, akkor egy szabályos prizmában mindig egyenlőek.
Negyedszer, a helyes prizma mindig egyenes;
Ötödször, ha egy szabályos prizmában az oldallapok négyzet alakúak, akkor az ilyen alakzatot általában félig szabályos sokszögnek nevezik.

Prizma keresztmetszete

Most nézzük a prizma keresztmetszetét:

Házi feladat

Most próbáljuk meg a tanult témát problémák megoldásával megszilárdítani.

Rajzoljunk egy ferde háromszög alakú prizmát, amelynek élei közötti távolság: 3 cm, 4 cm és 5 cm, ennek a prizmának az oldalfelülete pedig 60 cm2 lesz. Ezen paraméterek birtokában keresse meg ennek a prizmának az oldalélét.

Tudja-e, hogy a geometriai alakzatok folyamatosan körülvesznek bennünket, nemcsak a geometria órákon, hanem a mindennapi életben is vannak olyan tárgyak, amelyek egy-egy geometrikus alakra hasonlítanak.

Otthon, az iskolában vagy a munkahelyen mindenkinek van számítógépe, amelynek rendszeregysége egyenes prizma alakú.

Ha felvesz egy egyszerű ceruzát, látni fogja, hogy a ceruza fő része egy prizma.

A város központi utcáján sétálva látjuk, hogy a lábunk alatt hatszögletű hasáb alakú cserép hever.

A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára

Poliéder

A sztereometria kutatásának fő tárgya a térbeli testek. Test a térnek egy bizonyos felület által határolt részét képviseli.

Poliéder olyan test, amelynek felülete véges számú lapos sokszögből áll. Egy poliédert konvexnek nevezünk, ha felületén minden sík sokszög síkjának egyik oldalán helyezkedik el. Egy ilyen sík és egy poliéder felületének közös részét ún él. A konvex poliéder lapjai lapos konvex sokszögek. Az arcok oldalait ún a poliéder élei, és a csúcsok a poliéder csúcsai.

Például egy kocka hat négyzetből áll, amelyek a lapjai. 12 élt (a négyzetek oldalát) és 8 csúcsot (a négyzetek tetejét) tartalmaz.

A legegyszerűbb poliéderek a prizmák és a piramisok, amelyeket tovább fogunk vizsgálni.

Prizma

A prizma meghatározása és tulajdonságai

Prizma egy poliéder, amely két párhuzamos síkban elhelyezkedő sík sokszögből áll, amelyeket párhuzamos transzláció kombinál, és ezeknek a sokszögeknek a megfelelő pontjait összekötő összes szakaszból. A sokszögeket hívják prizma alapok, és a sokszögek megfelelő csúcsait összekötő szakaszok a prizma oldalsó élei.

Prizma magassága alapjai síkjai közötti távolságnak nevezzük (). A prizma két, nem ugyanahhoz a laphoz tartozó csúcsát összekötő szakaszt nevezzük prizma átlós(). A prizmát ún n-szén, ha az alapja n-szöget tartalmaz.

Bármely prizma a következő tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek abból adódnak, hogy a prizma alapjait párhuzamos fordítással kombinálják:

1. A prizma alapjai egyenlők.

2. A prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlőek.

A prizma felülete alapokból és oldalsó felület. A prizma oldalfelülete paralelogrammákból áll (ez a prizma tulajdonságaiból következik). A prizma oldalfelületének területe az oldallapok területének összege.

Egyenes prizma

A prizmát ún közvetlen, ha oldalélei merőlegesek az alapokra. Ellenkező esetben a prizmát hívják hajlamos.

A derékszögű prizma lapjai téglalapok. Egy egyenes prizma magassága megegyezik az oldallapjaival.

Teljes prizma felület az oldalfelületek és az alapok területének összegének nevezzük.

A megfelelő prizmával derékszögű prizmának nevezzük, amelynek alapjában szabályos sokszög található.

13.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelületének területe megegyezik a prizma kerületének és magasságának szorzatával (vagy, ami megegyezik, az oldalsó élével).

Bizonyíték. A derékszögű prizma oldallapjai téglalapok, amelyek alapjai a prizma alapjain lévő sokszögek oldalai, a magasságok pedig a prizma oldalélei. Ekkor definíció szerint az oldalfelület:

,

ahol az egyenes prizma alapjának kerülete.

Paralelepipedon

Ha egy prizma alapjain paralelogrammák fekszenek, akkor az ún paralelepipedon. A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. Ebben az esetben a paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.

13.2. Tétel. A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és a metszésponttal kettéosztják.

Bizonyíték. Vegyünk például két tetszőleges átlót, és . Mert a paralelepipedon lapjai paralelogrammák, akkor és , ami azt jelenti, hogy To szerint van két egyenes párhuzamos a harmadikkal. Ezen túlmenően ez azt jelenti, hogy az egyenes vonalak és a fekszenek ugyanabban a síkban (síkban). Ez a sík párhuzamos síkokat metszi és párhuzamos egyenesek mentén és . Így a négyszög paralelogramma, és a paralelogramma tulajdonsága alapján az átlói metszik egymást, és a metszésponttal kettéosztják, amit bizonyítani kellett.

Olyan derékszögű paralelepipedont nevezünk, amelynek alapja téglalap téglalap alakú paralelepipedon. A téglalap alakú paralelepipedon minden lapja téglalap. A téglalap alakú paralelepipedon nem párhuzamos éleinek hosszát lineáris méreteinek (dimenzióknak) nevezzük. Három ilyen méret létezik (szélesség, magasság, hosszúság).

13.3. Tétel. Egy téglalap alakú paralelepipedonban bármely átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével (a Pythagorean T kétszeri alkalmazásával bizonyítva).

Olyan téglalap alakú paralelepipedont nevezünk, amelynek minden éle egyenlő kocka.

Feladatok

13.1 Hány átlója van? n-szén prizma

13.2 Egy ferde háromszög prizmában az oldalélek távolsága 37, 13 és 40. Határozza meg a nagyobb oldalél és a szemközti oldalél közötti távolságot!

13.3 Egy szabályos háromszög alakú prizma alsó alaplapjának oldalán egy síkot húzunk, amely metszi az oldallapokat szegmensek mentén, és szöget zár be közöttük. Határozza meg ennek a síknak a dőlésszögét a prizma alapjához képest.