Páros függvény y f x. Páros és páratlan függvények

Egy y változó függőségét egy x változótól, amelyben x minden egyes értéke y egyetlen értékének felel meg, függvénynek nevezzük. A jelöléshez használja az y=f(x) jelölést. Mindegyik függvénynek számos alapvető tulajdonsága van, például monotonitás, paritás, periodicitás és mások.

Nézze meg közelebbről a paritási tulajdonságot.

Az y=f(x) függvényt akkor is meghívjuk, ha teljesíti a következő két feltételt:

2. A függvény definíciós tartományába tartozó x pontban lévő függvény értékének meg kell egyeznie a függvény -x pontbeli értékével. Vagyis bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = f(-x).

Páros függvény grafikonja

Ha egy páros függvény grafikonját ábrázolja, az szimmetrikus lesz az Oy tengelyre.

Például az y=x^2 függvény páros. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=3-at. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Ezért f(x) = f(-x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páros. Az alábbiakban az y=x^2 függvény grafikonja látható.

Az ábrán látható, hogy a grafikon szimmetrikus az Oy tengelyre.

Egy páratlan függvény grafikonja

Az y=f(x) függvényt páratlannak nevezzük, ha teljesíti a következő két feltételt:

1. Egy adott függvény definíciós tartományának szimmetrikusnak kell lennie az O ponthoz képest. Vagyis ha valamelyik a pont a függvény definíciós tartományába tartozik, akkor a megfelelő -a pontnak is a definíció tartományába kell tartoznia. az adott függvénytől.

2. Bármely x pontra a következő egyenlőségnek kell teljesülnie a függvény definíciós tartományából: f(x) = -f(x).

A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az O ponthoz - a koordináták origójához. Például az y=x^3 függvény páratlan. Nézzük meg. A definíciós tartomány a teljes numerikus tengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O pontra.

Vegyünk egy tetszőleges x=2-t. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Ezért f(x) = -f(x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Az alábbiakban az y=x^3 függvény grafikonja látható.

Az ábrán jól látható, hogy az y=x^3 páratlan függvény szimmetrikus az origóra.

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• fogalmazza meg a páros és páratlan függvények fogalmát, tanítsa meg e tulajdonságok meghatározásának és felhasználásának képességét a függvények tanulmányozása és a gráfok készítése során;
• fejleszti a tanulók kreatív tevékenységét, logikus gondolkodását, összehasonlító és általánosító képességét;
• ápolják a kemény munkát és a matematikai kultúrát; kommunikációs készségek fejlesztése .

Felszerelés: multimédiás telepítés, interaktív tábla, tájékoztató anyagok.

Munkaformák: frontális és csoportos keresési és kutatási tevékenység elemeivel.

Információforrások:

1. Algebra 9. osztály A.G. Mordkovich. Tankönyv.
2. Algebra 9. évfolyam A.G. Mordkovich. Problémakönyv.
3. Algebra 9. évfolyam. A tanulók tanulását, fejlődését szolgáló feladatok. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

AZ ÓRÁK ALATT

1. Szervezési mozzanat

Célok és célkitűzések kitűzése az órán.

2. Házi feladat ellenőrzése

10.17. szám (9. osztályos feladatfüzet. A.G. Mordkovich).

A) nál nél = f(x), f(x) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(x) = 0 at x ~ 0,4
4. f(x) >0 at x > 0,4 ; f(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. A funkció a gombbal növekszik x € [– 2; + ∞)
6. A funkció alulról korlátozott.
7. nál nél naim = – 3, nál nél naib nem létezik
8. A függvény folyamatos.

(Használtál függvényfeltáró algoritmust?) Csúszik.

2. Ellenőrizzük a táblázatot, amelyet megkérdeztek a diáról.

Töltse ki a táblázatot
	Tartomány	Funkció nullák	Az előjelállandóság intervallumai		A gráf Oy-vel való metszéspontjainak koordinátái
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Az ismeretek frissítése

– A funkciók adottak.
– Adja meg az egyes funkciók definíciójának hatókörét.
– Hasonlítsa össze az egyes függvények értékét az egyes argumentumértékpárokhoz: 1 és – 1; 2 és – 2.
– A definíciós tartományban ezek közül melyik függvényre érvényesek az egyenlőségek f(– x) = f(x), f(– x) = – f(x)? (írja be a kapott adatokat a táblázatba) Csúszik

		f(1) és f(– 1)	f(2) és f(– 2)	grafika	f(– x) = –f(x)	f(– x) = f(x)
1. f(x) =
2. f(x) = x 3
3. f(x) = | x |
4.f(x) = 2x – 3
5. f(x) =	x ≠ 0
6. f(x)=	x > –1		és nincs meghatározva

4. Új anyag

– Srácok, miközben ezt a munkát végeztük, azonosítottuk a függvény egy másik, számotokra ismeretlen, de a többinél nem kevésbé fontos tulajdonságát – ez a függvény egyenletessége és páratlansága. Írja le az óra témáját: „Páros és páratlan függvények”, feladatunk, hogy megtanuljuk meghatározni egy függvény párosságát és páratlanságát, megismerjük ennek a tulajdonságnak a jelentőségét a függvények tanulmányozásában és a grafikonok ábrázolásában.
Tehát keressük meg a definíciókat a tankönyvben, és olvassuk el (110. o.) . Csúszik

Def. 1 Funkció nál nél = f (x), az X halmazon definiált hívjuk még, ha bármilyen értékre xЄ X végrehajtásra kerül egyenlőség f(–x)= f(x). Adj rá példákat.

Def. 2 Funkció y = f(x), az X halmazon definiált hívjuk páratlan, ha bármilyen értékre xЄ X az f(–х)= –f(х) egyenlőség teljesül. Adj rá példákat.

Hol találkoztunk a „páros” és a „páratlan” kifejezésekkel?
Szerinted ezek közül melyik függvény lesz páros? Miért? Melyik a furcsa? Miért?
Az űrlap bármely funkciójához nál nél= x n, Ahol n– egész szám, akkor vitatható, hogy a függvény páratlan mikor n– páratlan és a függvény páros mikor n- még.
– Funkciók megtekintése nál nél= és nál nél = 2x– 3 se nem páros, se nem páratlan, mert az egyenlőség nem teljesül f(– x) = – f(x), f(– x) = f(x)

Annak vizsgálatát, hogy egy függvény páros vagy páratlan, a függvény paritásának vizsgálata. Csúszik

Az 1-es és 2-es definíciókban a függvény x és –x értékeiről beszéltünk, így feltételezzük, hogy a függvény az értéken is definiálva van. x, és a – x.

Def 3. Ha egy numerikus halmaz minden x elemével együtt az ellentétes –x elemet is tartalmazza, akkor a halmaz x szimmetrikus halmaznak nevezzük.

Példák:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) szimmetrikus halmazok, és , [–5;4] aszimmetrikusak.

– Még a függvényeknek is van olyan definíciós tartománya, amely szimmetrikus halmaz? A különösek?
– Ha D( f) aszimmetrikus halmaz, akkor mi a függvény?
– Így, ha a függvény nál nél = f(x) – páros vagy páratlan, akkor a definíciós tartománya D( f) szimmetrikus halmaz. Igaz-e a fordított állítás: ha egy függvény definíciós tartománya szimmetrikus halmaz, akkor páros vagy páratlan?
– Ez azt jelenti, hogy a definíciós tartomány szimmetrikus halmazának jelenléte szükséges feltétel, de nem elégséges.
– Hogyan vizsgálja meg a függvényt paritásra? Próbáljunk meg létrehozni egy algoritmust.

Csúszik

Algoritmus egy függvény vizsgálatára paritásra

1. Határozza meg, hogy a függvény definíciós tartománya szimmetrikus-e! Ha nem, akkor a függvény se nem páros, se nem páratlan. Ha igen, akkor folytassa az algoritmus 2. lépésével.

2. Írjon kifejezést a következőre f(–x).

3. Hasonlítsa össze f(–x).És f(x):

• Ha f(–x).= f(x), akkor a függvény páros;
• Ha f(–x).= – f(x), akkor a függvény páratlan;
• Ha f(–x) ≠ f(x) És f(–x) ≠ –f(x), akkor a függvény se nem páros, se nem páratlan.

Példák:

Vizsgálja meg az a) függvényt paritásra nál nél= x 5 +; b) nál nél= ; V) nál nél= .

Megoldás.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), szimmetrikus halmaz.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => függvény h(x)= x 5 + páratlan.

b) y =,

nál nél = f(x), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), egy aszimmetrikus halmaz, ami azt jelenti, hogy a függvény se nem páros, se nem páratlan.

V) f(x) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. lehetőség

1. Szimmetrikus-e az adott halmaz: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Vizsgálja meg a paritás függvényét:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. ábrán. grafikont építettek fel nál nél = f(x), mindenkinek x, kielégíti a feltételt x? 0.
Ábrázolja a függvényt nál nél = f(x), Ha nál nél = f(x) páros függvény.

3. ábrán. grafikont építettek fel nál nél = f(x), minden x esetében, amely megfelel az x feltételnek? 0.
Ábrázolja a függvényt nál nél = f(x), Ha nál nél = f(x) egy páratlan függvény.

Kölcsönös ellenőrzés csúszik.

6. Házi feladat: №11.11, 11.21,11.22;

A paritás tulajdonság geometriai jelentésének bizonyítása.

***(Egységes államvizsga opció hozzárendelése).

1. Az y = f(x) páratlan függvény a teljes számegyenesen van definiálva. Az x változó bármely nem negatív értéke esetén ennek a függvénynek az értéke egybeesik a g( x) = x(x + 1)(x + 3)(x– 7). Keresse meg a h( függvény értékét x) = at x = 3.

7. Összegzés

Egyenletes funkció.

Még olyan függvény, amelynek előjele nem változik az előjel megváltozásakor x.

xérvényesül az egyenlőség f(–x) = f(x). Jel x nem befolyásolja a jelet y.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a koordinátatengelyre (1. ábra).

Példák páros függvényre:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

Magyarázat:
Vegyük a függvényt y = x 2 vagy y = –x 2 .
Bármilyen értékre x a függvény pozitív. Jel x nem befolyásolja a jelet y. A grafikon szimmetrikus a koordinátatengelyre. Ez egy egyenletes funkció.

Páratlan funkció.

Páratlan egy olyan függvény, amelynek előjele változik, amikor az előjel megváltozik x.

Más szóval, bármilyen értékre xérvényesül az egyenlőség f(–x) = –f(x).

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra (2. ábra).

Példák páratlan függvényekre:

y= bűn x

y = x 3

y = –x 3

Magyarázat:

Vegyük az y = – függvényt x 3 .
Minden jelentése nál nél mínusz jele lesz. Ez egy jel x befolyásolja a jelet y. Ha a független változó pozitív szám, akkor a függvény pozitív, ha a független változó negatív szám, akkor a függvény negatív: f(–x) = –f(x).
A függvény grafikonja szimmetrikus az origóra. Ez egy furcsa függvény.

A páros és páratlan függvények tulajdonságai:

JEGYZET:

Nem minden függvény páros vagy páratlan. Vannak olyan funkciók, amelyek nem engedelmeskednek ennek a fokozatosságnak. Például a gyökérfüggvény nál nél = √x nem vonatkozik sem páros, sem páratlan függvényekre (3. ábra). Az ilyen függvények tulajdonságainak felsorolásakor megfelelő leírást kell adni: sem páros, sem páratlan.

Periodikus funkciók.

Mint tudják, a periodicitás bizonyos folyamatok bizonyos időközönkénti ismétlődése. Az ezeket a folyamatokat leíró függvényeket ún periodikus függvények. Azaz olyan függvényekről van szó, amelyek grafikonjaiban vannak bizonyos numerikus időközönként ismétlődő elemek.

. Ehhez használjon milliméterpapírt vagy grafikus számológépet. Válasszon ki tetszőleges számú független változó értéket x (\displaystyle x)és csatlakoztassa őket a függvényhez a függő változó értékeinek kiszámításához y (\displaystyle y). Ábrázolja a pontok talált koordinátáit a koordinátasíkon, majd kösse össze ezeket a pontokat a függvény grafikonjának elkészítéséhez.

• Helyettesítse be a pozitív számértékeket a függvénybe x (\displaystyle x)és a megfelelő negatív számértékek. Például adott a függvény f(x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Helyettesítsd be a következő értékeket! x (\displaystyle x):

Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus-e az Y tengelyre. A szimmetria a gráf ordinátatengelyhez viszonyított tükörképe. Ha a grafikonnak az Y tengelytől jobbra eső része (a független változó pozitív értékei) megegyezik a grafikonnak az Y tengelytől balra eső részével (a független változó negatív értékei ), a grafikon szimmetrikus az Y tengelyre. Ha a függvény szimmetrikus az y tengelyre, akkor a függvény páros.

Ellenőrizze, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus-e az origóra. Az origó a (0,0) koordinátákkal rendelkező pont. Az eredet szimmetriája azt jelenti, hogy pozitív érték y (\displaystyle y)(pozitív értékkel x (\displaystyle x)) negatív értéknek felel meg y (\displaystyle y)(negatív értékkel x (\displaystyle x)), és fordítva. A páratlan függvényeknek szimmetriája van az origóval kapcsolatban.

Ellenőrizze, hogy van-e szimmetriája a függvény grafikonjának. Az utolsó típusú függvény olyan függvény, amelynek gráfjában nincs szimmetria, vagyis nincs tükörkép sem az ordinátatengelyhez, sem az origóhoz viszonyítva. Például a függvény adott.

• Helyettesítsen be több pozitív és megfelelő negatív értéket a függvénybe x (\displaystyle x):
• A kapott eredmények szerint nincs szimmetria. Értékek y (\displaystyle y) ellentétes értékekre x (\displaystyle x) nem esnek egybe és nem ellentétesek. Így a függvény nem páros és nem páratlan.
• Felhívjuk figyelmét, hogy a funkció f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1)így írható: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Ebben a formában írva a függvény még akkor is megjelenik, mert páros kitevője van. Ez a példa azonban azt bizonyítja, hogy a függvény típusát nem lehet gyorsan meghatározni, ha a független változó zárójelben van. Ebben az esetben meg kell nyitnia a zárójeleket, és elemeznie kell a kapott kitevőket.

Amelyek ilyen vagy olyan mértékben ismerősek voltak számodra. Ott is feljegyezték, hogy a funkciótulajdonságok állománya fokozatosan bővül. Ebben a részben két új ingatlanról lesz szó.

1. definíció.

Az y = f(x), x є X függvényt akkor is meghívjuk, ha az X halmaz bármely x értékére fennáll az f (-x) = f (x) egyenlőség.

2. definíció.

Az y = f(x), x є X függvényt páratlannak nevezzük, ha az X halmaz bármely x értékére teljesül az f (-x) = -f (x) egyenlőség.

Bizonyítsuk be, hogy y = x 4 páros függvény.

Megoldás. Van: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. De (-x) 4 = x 4. Ez azt jelenti, hogy bármely x-re teljesül az f(-x) = f(x) egyenlőség, azaz. a függvény páros.

Hasonlóan igazolható, hogy az y - x 2, y = x 6, y - x 8 függvények párosak.

Bizonyítsuk be, hogy y = x 3 ~ páratlan függvény.

Megoldás. Van: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. De (-x) 3 = -x 3. Ez azt jelenti, hogy bármely x-re teljesül az f (-x) = -f (x) egyenlőség, azaz. a függvény páratlan.

Hasonlóan igazolható, hogy az y = x, y = x 5, y = x 7 függvények páratlanok.

Ön és én már nem egyszer meggyőződtünk arról, hogy a matematikában az új kifejezések leggyakrabban „földi” eredetűek, pl. valahogy megmagyarázhatók. Ez a helyzet a páros és a páratlan függvényeknél is. Lásd: y - x 3, y = x 5, y = x 7 páratlan függvények, míg y = x 2, y = x 4, y = x 6 páros függvények. Általánosságban elmondható, hogy bármely y = x" alakú függvényre (az alábbiakban ezeket a függvényeket vizsgáljuk meg), ahol n egy természetes szám, arra a következtetésre juthatunk: ha n páratlan szám, akkor az y = x" függvény páratlan; ha n páros szám, akkor az y = xn függvény páros.

Vannak olyan függvények is, amelyek se nem párosak, se nem páratlanok. Ilyen például az y = 2x + 3 függvény. Valóban, f(1) = 5 és f (-1) = 1. Amint látható, itt tehát nem az f(-x) = azonosság f (x), sem az f(-x) = -f(x) azonosság.

Tehát egy függvény lehet páros, páratlan vagy egyik sem.

Annak vizsgálatát, hogy egy adott függvény páros vagy páratlan, általában paritásvizsgálatnak nevezik.

Az 1. és 2. definíció a függvény x és -x pontokban lévő értékeire vonatkozik. Ez feltételezi, hogy a függvény az x és a -x pontban is definiálva van. Ez azt jelenti, hogy az -x pont az x ponttal egyidejűleg a függvény definíciós tartományába tartozik. Ha egy X numerikus halmaz minden x elemével együtt az ellentétes -x elemet is tartalmazza, akkor X-et szimmetrikus halmaznak nevezzük. Tegyük fel, hogy (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) szimmetrikus halmazok, míg )

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete