Ossza el a decimális számokat decimális számokkal. Periodikus törtek felosztása

Az utolsó leckében megtanultuk a tizedesjegyek összeadását és kivonását (lásd a „Tizedesjegyek összeadása és kivonása”). Ugyanakkor felmértük, hogy a számítások mennyire egyszerűsödnek a hagyományos „kétszintes” törtekhez képest.

Sajnos ez a hatás nem jelentkezik tizedesjegyek szorzásakor és osztásakor. Egyes esetekben a decimális jelölés még bonyolítja is ezeket a műveleteket.

Először is vezessünk be egy új definíciót. Gyakran találkozunk vele, és nem csak ezen a leckén.

A szám jelentős része minden az első és az utolsó nem nulla számjegy között van, beleértve a végét is. Csak számokról beszélünk, a tizedesvesszőt nem vesszük figyelembe.

A szám jelentős részében szereplő számjegyeket jelentős számjegyeknek nevezzük. Megismételhetők, és akár nullával is egyenlők lehetnek.

Vegyünk például több tizedes törtet, és írjuk ki a megfelelő jelentős részeket:

1. 91,25 → 9125 (jelentős számok: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (jelentős számok: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (jelentős számok: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (jelentős számok: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (csak egy jelentős szám van: 3).

Figyelem: a szám jelentős részén belüli nullák nem mennek sehova. Már találkoztunk valami hasonlóval, amikor megtanultuk a tizedes törteket közönséges törtekké alakítani (lásd a „Tizedes törtek” című leckét).

Ez a pont annyira fontos, és olyan gyakran követnek el itt hibákat, hogy a közeljövőben teszek közzé egy tesztet ebben a témában. Mindenképpen gyakorolj! Mi pedig a jelentős rész fogalmával felvértezve, tulajdonképpen a lecke témájával folytatjuk.

Tizedesjegyek szorzása

A szorzási művelet három egymást követő lépésből áll:

1. Minden törthez írja le a jelentős részt! Két közönséges egész számot fog kapni - nevezők és tizedespontok nélkül;
2. Szorozza meg ezeket a számokat bármilyen kényelmes módon. Közvetlenül, ha a számok kicsik, vagy oszlopban. Megkapjuk a kívánt tört jelentős részét;
3. Nézze meg, hol és hány számjeggyel tolja el a tizedesvesszőt az eredeti törtekben, hogy megkapja a megfelelő jelentős részt. Hajtsa végre a fordított váltásokat az előző lépésben kapott jelentős részre.

Hadd emlékeztesselek még egyszer arra, hogy a jelentős rész oldalán lévő nullákat soha nem vesszük figyelembe. Ennek a szabálynak a figyelmen kívül hagyása hibákhoz vezet.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Az első kifejezéssel dolgozunk: 0,28 · 12,5.

1. Írjuk ki ebből a kifejezésből a számok jelentős részeit: 28 és 125;
2. Termékük: 28 · 125 = 3500;
3. Az első tényezőben a tizedesvessző 2 számjeggyel jobbra tolódik (0,28 → 28), a másodikban pedig további 1 számjeggyel. Összesen három számjeggyel kell balra tolni: 3500 → 3500 = 3,5.

Most nézzük a 6.3 · 1.08 kifejezést.

1. Jegyezzük fel a jelentős részeket: 63 és 108;
2. Termékük: 63 · 108 = 6804;
3. Ismét két eltolás jobbra: 2, illetve 1 számjeggyel. Összesen - ismét 3 számjegy jobbra, tehát a fordított eltolás 3 számjeggyel balra lesz: 6804 → 6.804. Ezúttal nincsenek nullák a végén.

Elértük a harmadik kifejezést: 132,5 · 0,0034.

1. Jelentős részek: 1325 és 34;
2. Termékük: 1325 · 34 = 45 050;
3. Az első törtben a tizedesvessző 1 számjeggyel jobbra mozog, a másodikban pedig akár 4-gyel. Összesen: 5 jobbra. 5-tel eltolunk balra: 45 050 → .45050 = 0,4505. A nullát a végén eltávolítottuk, és az elején hozzáadtuk, hogy ne maradjon „csupasz” tizedesvessző.

A következő kifejezés: 0,0108 · 1600,5.

1. A jelentős részeket írjuk: 108 és 16 005;
2. Összeszorozzuk őket: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. A tizedesvessző utáni számokat számoljuk: az első számban 4, a másodikban 1. A végösszeg ismét 5. Megvan: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. A végén az „extra” nullát eltávolították.

Végül az utolsó kifejezés: 5,25 10 000.

1. Jelentős részek: 525 és 1;
2. Megszorozzuk őket: 525 · 1 = 525;
3. Az első tört 2 számjeggyel jobbra, a második tört pedig 4 számjeggyel balra tolódik (10 000 → 1,0000 = 1). Összesen 4 − 2 = 2 számjegy balra. Fordított eltolást hajtunk végre 2 számjeggyel jobbra: 525, → 52 500 (nullákat kellett hozzáadnunk).

Megjegyzés az utolsó példában: mivel a tizedesvessző különböző irányokba mozog, a teljes eltolódást a különbségen keresztül találjuk meg. Ez egy nagyon fontos szempont! Íme egy másik példa:

Tekintsük az 1,5 és 12 500 számokat: 1,5 → 15 (eltolódás 1-gyel jobbra); 12 500 → 125 (2-es váltás balra). 1 számjegyet „lépünk” jobbra, majd 2 számjegyet balra. Ennek eredményeként 2 − 1 = 1 számjegyet léptünk balra.

Tizedes osztás

A felosztás talán a legnehezebb művelet. Természetesen itt is járhat a szorzás analógiájával: ossza el a jelentős részeket, majd „mozgassa” a tizedesvesszőt. De ebben az esetben sok olyan finomság van, amely tagadja a lehetséges megtakarításokat.

Ezért nézzünk egy univerzális algoritmust, amely kicsit hosszabb, de sokkal megbízhatóbb:

1. Az összes tizedes tört átváltása közönséges törtté. Kis gyakorlással ez a lépés másodpercek kérdése;
2. Osszuk el a kapott törteket klasszikus módon. Más szóval, szorozza meg az első törtet a „fordított” másodikkal (lásd a „Numerikus törtek szorzása és osztása” című leckét);
3. Ha lehetséges, az eredményt ismét tizedes törtként mutassa be. Ez a lépés is gyors, mivel a nevező gyakran már tíz hatványa.

Feladat. Keresse meg a kifejezés jelentését:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Nézzük az első kifejezést. Először alakítsuk át a törteket tizedesjegyekké:

Tegyük ugyanezt a második kifejezéssel. Az első tört számlálója ismét faktoros lesz:

A harmadik és a negyedik példában van egy fontos pont: a tizedes jelöléstől való megszabadulás után redukálható törtek jelennek meg. Ezt a csökkentést azonban nem hajtjuk végre.

Az utolsó példa azért érdekes, mert a második tört számlálója prímszámot tartalmaz. Itt egyszerűen nincs mit faktorizálni, ezért előre tekintünk:

Néha az osztás egész számot eredményez (az utolsó példáról beszélek). Ebben az esetben a harmadik lépést egyáltalán nem hajtják végre.

Ráadásul az osztás során gyakran „csúnya” törtek keletkeznek, amelyeket nem lehet tizedesjegyekké alakítani. Ez különbözteti meg az osztást a szorzástól, ahol az eredmények mindig decimális formában jelennek meg. Természetesen ebben az esetben az utolsó lépést ismét nem hajtják végre.

Vegye figyelembe a 3. és 4. példát is. Ezekben szándékosan nem redukáljuk a tizedesjegyekből kapott közönséges törteket. Ellenkező esetben ez bonyolítja az inverz feladatot - a végső választ ismét decimális formában ábrázolja.

Ne feledjük: a tört alapvető tulajdonsága (mint bármely más matematikai szabály) önmagában nem jelenti azt, hogy mindenhol és mindig, minden alkalommal alkalmazni kell.

ÉN. Egy tizedes tört természetes számmal való osztásához el kell osztania a törtet ezzel a számmal, mivel a természetes számok osztva vannak, és vesszőt kell tenni a hányadosba, amikor a teljes rész felosztása befejeződött.

Példák.

Hajtsa végre az osztást: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

Megoldás.

Példa 1) 96,25: 5.

A „sarokkal” ugyanúgy osztunk, mint a természetes számokat. Miután levesszük a számot 2 (a tizedek száma a tizedesvessző utáni első számjegy az osztalékban 96, 2 5), a hányadosba vesszőt teszünk, és folytatjuk az osztást.

Válasz: 19,25.

Példa 2) 4,78: 4.

Úgy osztunk, ahogy a természetes számok osztva. A hányadosba vesszőt teszünk, amint eltávolítjuk 7 — a tizedesvessző utáni első számjegy az osztalékban 4, 7 8. Folytatjuk a felosztást tovább. 38-36 kivonásakor 2-t kapunk, de az osztás nem fejeződik be. Hogyan tovább? Tudjuk, hogy a tizedes tört végére nullákat is lehet adni – ez nem fogja megváltoztatni a tört értékét. Hozzárendeljük a nullát, és elosztjuk a 20-at 4-gyel. 5-öt kapunk - az osztásnak vége.

Válasz: 1,195.

Példa 3) 183,06: 45.

Oszd el 18306-ként 45-tel. A hányadosba vesszőt teszünk, amint eltávolítjuk a számot 0 — a tizedesvessző utáni első számjegy az osztalékban 183, 0 6. Csakúgy, mint a 2) példában, a 36-os számhoz nullát kellett rendelnünk - a 306 és 270 számok közötti különbséget.

Válasz: 4,068.

Következtetés: tizedes tört természetes számmal való osztásakor magán vesszőt teszünk közvetlenül azután, hogy leszedjük az osztalék tizedes helyén lévő számot. Figyelem: minden kiemelve számok pirossal ebben a három példában a kategóriába tartozik az osztalék tizedét.

II. Egy tizedes tört 10, 100, 1000 stb. számmal való osztásához a tizedesvesszőt balra kell mozgatnia 1, 2, 3 stb. számjeggyel.

Példák.

Felosztás végrehajtása: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

Megoldás.

A tizedesvessző balra mozgatása attól függ, hogy az egy után hány nulla van az osztóban. Tehát, amikor egy tizedes törtet osztunk vele 10 az osztalékban átvisszük vesszőt a bal oldali egy számjegyhez; amikor osztják 100 - mozgassa a vesszőt két számjegy maradt; amikor osztják 1000 konvertálni erre a tizedes törtre vessző három számjegy balra.

Ha úgy tűnik, hogy gyermeke nem tudja kitalálni a tizedesjegyek elosztását, ez nem ok arra, hogy azt gondolja, hogy képtelen a matematikára.

Valószínűleg egyszerűen nem magyarázták el neki egyértelműen, hogyan történt ez. Segítenünk kell a gyermeknek, és a lehető legegyszerűbb, szinte játékos formában elmondani neki a törteket, a velük végzett műveleteket. Ehhez pedig magunknak is emlékeznünk kell valamire.

Törtkifejezéseket használunk, ha nem egész számokról beszélünk. Ha egy töredék kisebb, mint egy, akkor valaminek egy részét írja le, ha több, akkor több egész részt és egy másik darabot ír le. A törteket 2 érték írja le: egy nevező, amely megmagyarázza, hogy a szám hány egyenlő részre van felosztva, és egy számláló, amely megmondja, hogy hány ilyen részre gondolunk.

Tegyük fel, hogy a pitét 4 egyenlő részre vágtad, és ebből 1-et a szomszédaidnak adtál. A nevező 4 lesz. A számláló pedig attól függ, hogy mit akarunk leírni. Ha arról beszélünk, hogy mennyit adtak a szomszédoknak, akkor a számláló 1, ha pedig arról, hogy mennyi maradt, akkor 3.

A torta példájában a nevező 4, az „1 nap a hét 1/7 része” kifejezésben pedig 7. A tetszőleges nevezővel rendelkező tört kifejezés közönséges tört.

A matematikusok, mint mindenki más, igyekeznek megkönnyíteni az életüket. És ezért találták ki a tizedes törteket. Ezekben a nevező egyenlő 10-el vagy olyan számokkal, amelyek 10 többszörösei (100, 1000, 10 000 stb.), és a következőképpen írják őket: a szám egész komponensét vesszővel választjuk el a tört összetevőtől. Például az 5,1 5 egész és 1 tized, a 7,86 pedig 7 egész és 86 század.

Egy kis elvonulás nem a gyermekeidnek szól, hanem magadnak. Nálunk bevett szokás a tört részt vesszővel elválasztani. Külföldön a kialakult hagyomány szerint ponttal szokás elválasztani. Ezért, ha idegen szövegben találkozik hasonló jelöléssel, ne lepődjön meg.

A törtek felosztása

Minden hasonló számokkal végzett aritmetikai műveletnek megvannak a sajátosságai, de most megpróbáljuk megtanulni, hogyan kell osztani a tizedes törteket. Lehetőség van egy tört elosztására természetes számmal vagy egy másik törttel.

Ennek az aritmetikai műveletnek az elsajátítása érdekében fontos megjegyezni egy egyszerű dolgot.

Miután megtanulta a vessző használatát, ugyanazokat az osztási szabályokat használhatja, mint az egész számokra.

Fontolja meg egy tört elosztását egy természetes számmal. Az oszlopra osztás technológiáját már korábban fedett anyagból ismernie kell. Az eljárás hasonló. Az osztalékot az osztó jelről előjelre osztja. Amint a fordulat eléri a vessző előtti utolsó jelet, a hányadosba vessző kerül, majd az osztás a szokásos módon megy tovább.

Vagyis a vessző eltávolításán kívül ez a leggyakoribb felosztás, és a vessző nem túl nehéz.

Tört elosztása törttel

Nagyon bonyolultnak tűnnek azok a példák, amelyekben egy törtértéket el kell osztani egy másikkal. Valójában azonban nem nehezebb megbirkózni velük. Egy tizedes tört elosztása egy másikkal sokkal könnyebb lesz, ha megszabadul az osztó vesszőjétől.

Hogyan kell csinálni? Ha 90 ceruzát kell 10 dobozba tenni, hány ceruza lesz minden dobozban? 9. Szorozzuk meg mindkét számot 10-zel – 900 ceruzával és 100 dobozzal. Hány mindegyikben? 9. Ugyanez az elv érvényes, amikor tizedes törtet kell osztani.

Az osztó teljesen megszabadul a vesszőtől, és az osztalék vesszője annyi hellyel kerül jobbra, amennyivel korábban az osztóban volt. Ezután megtörténik a szokásos oszlopra osztás, amelyet fentebb tárgyaltunk. Például:

25,6/6,4 = 256/64 = 4;

10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;

100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.

Az osztalékot meg kell szorozni és meg kell szorozni 10-zel, amíg az osztóból egész szám nem lesz. Ezért a jobb oldalon extra nullák lehetnek.

40,6/0,58 =4060/58=70.

Nincs ezzel semmi baj. Emlékezzen a ceruzával készült példára - a válasz nem változik, ha mindkét számot ugyanannyival növeli. A közös törteket nehezebb felosztani, különösen akkor, ha a számlálóban és a nevezőben nincsenek közös tényezők.

Ebből a szempontból sokkal kényelmesebb a tizedesjegy elosztása. A legnehezebb trükk itt a vesszőtörő trükk, de mint láttuk, könnyen kezelhető. Ha ezt közvetíteni tudja gyermekének, megtanítja neki a tizedesjegyek elosztását.

Miután elsajátította ezt az egyszerű szabályt, fia vagy lánya sokkal magabiztosabbnak érzi magát a matematika órákon, és ki tudja, talán érdeklődni fog iránta. A matematikai gondolkodásmód ritkán nyilvánul meg kora gyermekkortól kezdve, néha szükség van egy lökésre és érdeklődésre.

Ha segítesz gyermekednek a házi feladatban, nemcsak tanulmányi teljesítményét javítod, hanem érdeklődési körét is bővíted, amiért idővel hálás lesz neked.

Nézzünk példákat a tizedesjegyek elosztására ennek fényében.

Példa.

Ossza el az 1,2 tizedes törtet a 0,48 tizedes törttel.

Megoldás.

Válasz:

1,2:0,48=2,5 .

Példa.

A 0.(504) periodikus tizedes törtet osszuk el a 0,56 tizedes törttel.

Megoldás.

A periodikus tizedes törtet alakítsuk át közönséges törtté: . A 0,56-os végső tizedes törtet is átváltjuk közönséges törtté, 0,56 = 56/100. Most áttérhetünk az eredeti tizedesjegyek osztásáról a közönséges törtek osztására, és befejezhetjük a számításokat: .

A kapott közönséges törtet alakítsuk át tizedes törtté úgy, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel egy oszloppal:

Válasz:

0,(504):0,56=0,(900) .

A végtelen nem periodikus tizedes törtek osztásának elve eltér a véges és periodikus tizedes törtek felosztásának elvétől, mivel a nem periodikus tizedes törtek nem konvertálhatók közönséges törtekké. A végtelen nem periodikus tizedes törtek osztása véges tizedes törtek osztására redukálódik, amelyre elvégezzük számok kerekítése egy bizonyos szintig. Ezen túlmenően, ha az egyik szám, amellyel az osztást végezzük, véges vagy periodikus tizedes tört, akkor azt is ugyanarra a számjegyre kell kerekíteni, mint a nem periodikus tizedes tört.

Példa.

Ossza el a végtelen nem periodikus decimális 0,779-et a véges tizedes 1,5602-vel.

Megoldás.

Először kerekíteni kell a tizedesjegyeket, hogy a végtelen nem periodikus tizedesjegyek osztásáról a véges tizedesjegyek osztására válthasson. Kerekíthetjük a legközelebbi századra: 0,779…≈0,78 és 1,5602≈1,56. Így 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Válasz:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Természetes szám elosztása tizedes törttel és fordítva

A természetes szám tizedes törttel való osztására és a tizedes tört természetes számmal való osztására vonatkozó megközelítés lényege nem különbözik a tizedes törtek osztásának lényegétől. Vagyis a véges és periodikus törteket közönséges törtekre cseréljük, a végtelen nem periódusos törteket pedig kerekítjük.

Szemléltetésül nézzük meg a tizedes tört természetes számmal való osztásának példáját.

Példa.

A 25,5 tizedes törtet osszuk el a 45 természetes számmal.

Megoldás.

Ha a 25,5 tizedes törtet a 255/10=51/2 közönséges törtre cseréljük, az osztás a közönséges tört természetes számmal való osztására redukálódik:. Az eredményül kapott tört tizedesjegyben 0,5(6) alakú.

Válasz:

25,5:45=0,5(6) .

Tizedes tört elosztása természetes számmal oszloppal

Célszerű a véges tizedes törteket természetes számokra osztani egy oszloppal, a természetes számok oszlopával való osztással analóg módon. Mutassuk be az osztási szabályt.

Nak nek tizedes törtet osztunk el egy természetes számmal oszlop segítségével, szükséges:

• adjon hozzá néhány 0 számjegyet az osztandó tizedes tört jobb oldalán (az osztás során szükség esetén tetszőleges számú nullát hozzáadhat, de ezekre a nullákra nincs szükség);
• hajtson végre osztást egy tizedes tört oszlopával egy természetes számmal a természetes számok oszlopával való osztás összes szabálya szerint, de amikor a tizedes tört teljes részének osztása befejeződött, akkor a hányadosba kell tenni egy vesszőt, és folytassa a felosztást.

Tegyük fel rögtön, hogy egy véges tizedes tört természetes számmal való osztásakor vagy véges tizedes törtet vagy végtelen periodikus tizedes törtet kaphatunk. Valóban, miután az osztandó tört összes nem 0 tizedesjegyének felosztása befejeződött, vagy a maradék lehet 0, és megkapjuk a végső tizedes törtet, vagy a maradékok periodikusan ismétlődnek, és kapunk egy periodikus tizedes tört.

Értsük meg a tizedes törtek természetes számokkal való osztásának minden finomságát egy oszlopban a példák megoldása során.

Példa.

A 65,14 tizedes törtet oszd el 4-gyel.

Megoldás.

Osszunk el egy tizedes törtet egy természetes számmal oszlop segítségével. Adjunk hozzá pár nullát a jobb oldalra a 65,14 tört jelölésében, és egy egyenlő tizedestörtet kapunk 65,1400 (lásd egyenlő és egyenlőtlen tizedes törtek). Most elkezdheti osztani egy oszloppal a 65,1400 tizedes tört egész részét a 4-es természetes számmal:

Ezzel befejeződik a tizedes tört egész részének felosztása. Itt a hányadosban egy tizedesvesszőt kell tenni, és folytatni kell az osztást:

Elértük a 0 maradékot, ebben a szakaszban az oszlopokkal való osztás véget ér. Ennek eredményeként 65,14:4=16,285 áll rendelkezésünkre.

Válasz:

65,14:4=16,285 .

Példa.

Oszd el a 164,5-öt 27-tel.

Megoldás.

Osszuk el a tizedes törtet egy természetes számmal oszlop segítségével. A teljes rész felosztása után a következő képet kapjuk:

Most vesszőt teszünk a hányadosba, és folytatjuk az osztást egy oszloppal:

Most jól látható, hogy a 25-ös, 7-es és 16-os csoportok ismétlődnek, míg a hányadosban a 9-es, 2-es és 5-ös számok ismétlődnek. Így a 164,5 decimális számot elosztva 27-tel a periodikus decimális 6,0(925) értéket kapjuk.

Válasz:

164,5:27=6,0(925) .

Tizedes törtek oszlopos felosztása

A tizedes tört tizedes törttel való osztása visszavezethető a tizedes tört természetes számmal való osztására oszloppal. Ehhez az osztalékot és az osztót meg kell szorozni egy olyan számmal, mint 10, 100, 1000 stb., hogy az osztóból természetes szám legyen, majd el kell osztani egy természetes számmal egy oszloppal. Ezt az osztás és szorzás tulajdonságai miatt tehetjük meg, hiszen a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) és így tovább.

Más szavakkal, egy záró tizedesjegyet elosztani egy záró tizedessel, kell:

• az osztalékban és az osztóban tegyük jobbra a vesszőt annyi hellyel, ahány tizedesvessző van az osztóban, ha az osztalékban nincs elég jel a vessző mozgatásához, akkor hozzá kell adni a szükséges számot nullák jobbra;
• Ezt követően tizedes oszloppal osszuk el természetes számmal.

Példa megoldása során vegyük figyelembe ennek a tizedes törttel való osztási szabálynak az alkalmazását.

Példa.

Oszd el a 7,287 oszlopot 2,1-gyel.

Megoldás.

Mozgassuk a vesszőt ezekben a tizedes törtekben egy számjeggyel jobbra, így a 7,287 tizedes tört elosztásáról a 2,1 tizedes törttel léphetünk át a 72,87 tizedes tört 21-es természetes számmal való osztására. Végezzük el az oszlop szerinti osztást:

Válasz:

7,287:2,1=3,47 .

Példa.

Ossza el a 16,3 tizedesjegyet 0,021-gyel.

Megoldás.

Mozgassa a vesszőt az osztó- és osztóhelyen a jobb három helyre. Nyilvánvaló, hogy az osztónak nincs elég számjegye a tizedesvessző mozgatásához, ezért a megfelelő számú nullát adjuk hozzá jobbra. Most osszuk el az 16300,0 törtet egy oszloppal a 21-es természetes számmal:

Ettől a pillanattól kezdve a 4, 19, 1, 10, 16 és 13 maradékok ismétlődnek, ami azt jelenti, hogy a hányadosban szereplő 1, 9, 0, 4, 7 és 6 számok is ismétlődnek. Ennek eredményeként a 776,(190476) periodikus tizedes törtet kapjuk.

Válasz:

16,3:0,021=776,(190476) .

Ne feledje, hogy a bejelentett szabály lehetővé teszi, hogy egy természetes számot egy oszloppal egy utolsó tizedes törtre osztjon.

Példa.

Ossza el a 3-as természetes számot a tizedes törttel 5.4.

Megoldás.

A tizedesvesszőt egy számjeggyel jobbra mozgatva eljutunk ahhoz, hogy a 30,0-t elosztjuk 54-gyel. Végezzük el az oszlop szerinti osztást:
.

Ez a szabály akkor is alkalmazható, ha végtelen tizedes törteket osztunk 10-zel, 100-zal, .... Például 3,(56):1,000=0,003(56) és 593,374…:100=5,93374….

A tizedesjegyek elosztása 0,1, 0,01, 0,001 stb.

Mivel 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100 stb., akkor a közönséges törttel való osztás szabályából az következik, hogy a tizedes törtet el kell osztani 0,1, 0,01, 0,001 stb. ez ugyanaz, mintha egy adott decimális számot megszoroznánk 10-zel, 100-zal, 1000-el stb. illetőleg.

Más szóval, egy tizedes tört 0,1, 0,01, ...-vel való osztásához a tizedesvesszőt jobbra kell mozgatni 1, 2, 3, ... számjeggyel, és ha a tizedes tört számjegyei nem elegendőek a tizedesvessző mozgatásához hozzá kell adni a szükséges számot a megfelelő nullákhoz.

Például 5,739:0,1=57,39 és 0,21:0,00001=21 000.

Ugyanez a szabály alkalmazható a végtelen tizedes törtek 0,1, 0,01, 0,001 stb. Ebben az esetben nagyon óvatosnak kell lennie a periodikus törtek osztásakor, hogy ne tévesszen el az osztás eredményeként kapott tört periódusával. Például 7.5(716):0.01=757,(167), mivel a tizedesvesszőt a 7.5716716716... két hellyel jobbra mozgatva a 757.167167 bejegyzést kapjuk.... A végtelen nem periodikus tizedes törtekkel minden egyszerűbb: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Tört vagy vegyes szám elosztása tizedessel és fordítva

Közönséges tört vagy vegyes szám elosztása véges vagy periodikus tizedes törttel, valamint véges vagy periodikus tizedes tört közönséges törttel vagy vegyes számmal való elosztása a közönséges törtek osztásához vezet. Ehhez a tizedes törteket a megfelelő közönséges törtekre cseréljük, és a vegyes számot helytelen törtként ábrázoljuk.

Ha végtelen nem periodikus tizedes törtet oszt el közönséges törttel vagy vegyes számmal, és fordítva, akkor folytassa a tizedes törtek elosztását, és a közönséges tört vagy vegyes számot a megfelelő tizedes törtre cserélje.

Bibliográfia.

• Matematika: tankönyv 5. osztály számára. Általános oktatás intézmények / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. kiadás, törölve. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [N. Ya. Vilenkin és mások]. - 22. kiadás, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: tankönyv 8. osztály számára. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba lépőknek): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.

Keresse meg a hányados első számjegyét (az osztás eredménye). Ehhez az osztalék első számjegyét el kell osztani az osztóval. Az eredményt írd az osztó alá!

• Példánkban az osztalék első számjegye 3. Osszuk el 3-at 12-vel. Mivel a 3 kisebb, mint 12, az osztás eredménye 0 lesz. Írjon 0-t az osztó alá - ez a hányados első számjegye.

Az eredményt szorozzuk meg az osztóval. A szorzás eredményét írd az osztalék első számjegye alá, mivel ez az a szám, amelyet most osztottál el az osztóval.

• Példánkban 0 × 12 = 0, ezért írjon 0-t a 3 alá.

Vonjuk ki a szorzás eredményét az osztalék első számjegyéből.Írja a válaszát egy új sorba.

• Példánkban: 3 - 0 = 3. Írjon 3-at közvetlenül a 0 alá.

Mozgassa lefelé az osztalék második számjegyét. Ehhez írja fel az osztalék következő számjegyét a kivonás eredménye mellé.

• Példánkban az osztalék 30. Az osztalék második számjegye 0. Mozgassa lefelé úgy, hogy a 3 (a kivonás eredménye) mellé ír egy 0-t. A 30-as számot kapod.

Az eredményt elosztjuk az osztóval. Megtalálja a hányados második számjegyét. Ehhez osszuk el az alsó sorban található számot az osztóval.

• Példánkban ossza el 30-at 12-vel. 30 ÷ 12 = 2 plusz némi maradék (mivel 12 x 2 = 24). Írjon 2-t 0 után az osztó alá - ez a hányados második számjegye.
• Ha nem talál megfelelő számjegyet, görgessen végig a számjegyeken, amíg egy számjegy osztóval való szorzata kisebb lesz, és a legközelebb áll az oszlop utolsó számához. Példánkban tekintsük a 3-as számot. Szorozzuk meg az osztóval: 12 x 3 = 36. Mivel a 36 nagyobb, mint 30, a 3-as szám nem megfelelő. Most vegyük a 2-es számot. 12 x 2 = 24. A 24 kisebb, mint 30, tehát a 2-es szám a helyes megoldás.

Ismételje meg a fenti lépéseket a következő szám megkereséséhez. A leírt algoritmus bármely hosszú osztási feladatban használható.

• A hányados második számjegyét szorozzuk meg az osztóval: 2 x 12 = 24.
• Írja a szorzás eredményét (24) a (30) oszlop utolsó szám alá!
• Vonja ki a kisebb számot a nagyobbból. Példánkban: 30 - 24 = 6. Írja az eredményt (6) egy új sorba.

Ha vannak még lefelé mozgatható számjegyek az osztalékban, folytassa a számítási folyamatot. Ellenkező esetben folytassa a következő lépéssel.

• Példánkban az osztalék utolsó számjegye (0) lejjebb került. Tehát folytassa a következő lépéssel.

Ha szükséges, használjon tizedesvesszőt az osztalék növeléséhez. Ha az osztó osztható az osztóval, akkor az utolsó sorban a 0 számot kapjuk. Ez azt jelenti, hogy a feladat megoldódott, és a választ (egész szám formájában) az osztó alá írjuk. De ha az oszlop legalján a 0-tól eltérő szám van, akkor az osztalékot ki kell bővíteni egy tizedesvessző hozzáadásával és 0 hozzáadásával. Emlékeztetünk arra, hogy ez nem változtat az osztalék értékén.

• Példánkban az utolsó sor a 6-os számot tartalmazza. Ezért a 30-tól (az osztaléktól) jobbra írjon egy tizedesvesszőt, majd írjon 0-t. A hányados talált számjegyei után tegyen egy tizedesvesszőt is, amelyet írd az osztó alá (e vessző után még ne írj semmit!) .

A következő szám megkereséséhez ismételje meg a fent leírt lépéseket. A lényeg az, hogy ne felejtsünk el tizedesvesszőt tenni mind az osztalék, mind a hányados talált számjegyei után. A folyamat többi része hasonló a fent leírt folyamathoz.

• Példánkban mozgassa lefelé a 0-t (amit a tizedesvessző után írt). A 60-as számot kapjuk. Most osszuk el ezt a számot az osztóval: 60 ÷ 12 = 5. Írjunk 5-öt a 2 után (és a tizedesvessző után) az osztó alá. Ez a hányados harmadik számjegye. Tehát a végső válasz 2,5 (a 2 előtti nulla figyelmen kívül hagyható).

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete