Otthon » Feltételesen ehető gomba » Ha két egyenes metszéspontjában. N. Nikitin Geometria

Ha két egyenes metszéspontjában. N. Nikitin Geometria

Ez a fejezet a párhuzamos egyenesek tanulmányozásával foglalkozik. Így nevezik két olyan egyenest egy síkban, amelyek nem metszik egymást. Párhuzamos vonalak szegmenseit látjuk a környezetben – ez egy téglalap alakú asztal két széle, egy könyvborító két éle, két trolibusz rúd stb. A párhuzamos vonalak nagyon fontos szerepet játszanak a geometriában. Ebben a fejezetben megtudhatja, mik a geometria axiómái és mi a párhuzamos egyenesek axiómája, a geometria egyik leghíresebb axiómája.

Az 1. bekezdésben megjegyeztük, hogy két egyenesnek vagy egy közös pontja van, vagyis metszi egymást, vagy nincs egyetlen közös pontjuk, vagyis nem metszik egymást.

Meghatározás

Az a és b egyenesek párhuzamosságát a következőképpen jelöljük: a || b.

A 98. ábra a c egyenesre merőleges a és b egyeneseket mutatja. A 12. bekezdésben megállapítottuk, hogy az ilyen a és b egyenesek nem metszik egymást, azaz párhuzamosak.

Rizs. 98

A párhuzamos vonalak mellett gyakran párhuzamos szakaszokat is figyelembe vesznek. A két szegmenst ún párhuzamos, ha párhuzamos vonalakon fekszenek. A 99. ábrán az AB és CD szakaszok párhuzamosak (AB || CD), de az MN és CD szakaszok nem párhuzamosak. Hasonlóan határozzuk meg egy szakasz és egy egyenes (99. ábra, b), egy sugár és egy egyenes, egy szakasz és egy sugár, két sugár párhuzamosságát (99. ábra, c).


Rizs. 99 Két egyenes párhuzamosságának jelei

A -val egyenest ún metsző az a és b egyenesekhez képest, ha két pontban metszi őket (100. ábra). Amikor az a és b egyenesek metszik a c keresztirányú vonalat, nyolc szög alakul ki, amelyeket a 100. ábrán számok jelölnek. E szögek néhány párjának speciális neve van:

    keresztirányú szögek: 3 és 5, 4 és 6;
    egyoldalú szögek: 4 és 5, 3 és 6;
    megfelelő szögek: 1 és 5, 4 és 8, 2 és 6, 3 és 7.


Rizs. 100

Tekintsük két, ezekhez a szögpárokhoz társított egyenes párhuzamosságának három jelét.

Tétel

Bizonyíték

Legyenek az AB szögeket keresztező a és b metsző egyenesek egyenlők: ∠1 = ∠2 (101. ábra, a).

Bizonyítsuk be, hogy a || b. Ha az 1 és 2 szögek derékszögűek (101. ábra, b), akkor az a és b egyenesek merőlegesek az AB egyenesre, tehát párhuzamosak.


Rizs. 101

Tekintsük azt az esetet, amikor az 1. és 2. szög nem megfelelő.

Az AB szakasz O középső részéből merőleges OH-t húzunk az a egyenesre (101. ábra, c). A B pontból induló b egyenesen leválasztjuk a ВН 1 szakaszt, amely megegyezik az AH szegmenssel, a 101. c ábrán látható módon, és megrajzoljuk az OH 1 szakaszt. Az OHA és OH 1 B háromszögek mindkét oldalán és a köztük lévő szögben egyenlők (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), ezért ∠3 = ∠4 és ∠5 = ∠6. A ∠3 = ∠4 egyenlőségből az következik, hogy a H 1 pont az OH sugár folytatásán fekszik, azaz a H, O és H 1 pontok ugyanazon az egyenesen, az ∠5 = ∠6 egyenlőségből pedig az, hogy a 6-os szög egyenes (mivel az 5-ös szög derékszög). Tehát az a és b egyenesek merőlegesek a HH 1 egyenesre, tehát párhuzamosak. A tétel bebizonyosodott.

Tétel

Bizonyíték

Legyenek egyenlőek a megfelelő szögek, ha az a és b egyenesek metszik a c keresztirányú vonalat, például ∠1 =∠2 (102. ábra).


Rizs. 102

Mivel a 2 és 3 szögek függőlegesek, akkor ∠2 = ∠3. Ebből a két egyenlőségből az következik, hogy ∠1 = ∠3. De az 1 és 3 szögek keresztben vannak, tehát az a és b egyenesek párhuzamosak. A tétel bebizonyosodott.

Tétel

Bizonyíték

    Legyen az a és b egyenesek és a c keresztirányú metszéspontja a 180°-os egyoldali szögek összege, például ∠1 + ∠4 = 180° (lásd 102. ábra).

    Mivel a 3 és 4 szögek szomszédosak, akkor ∠3 + ∠4 = 180°. Ebből a két egyenlőségből az következik, hogy az 1 és 3 keresztirányú szögek egyenlőek, ezért az a és b egyenesek párhuzamosak. A tétel bebizonyosodott.

Gyakorlati módszerek párhuzamos egyenesek felépítésére

A párhuzamos vonalak jelei támasztják alá a párhuzamos egyenesek felépítésének módszereit a gyakorlatban alkalmazott különféle eszközökkel. Tekintsük például a párhuzamos egyenesek rajzi négyzet és vonalzó segítségével történő felépítésének módszerét. Az M ponton áthaladó és egy adott a egyenessel párhuzamos egyenes megszerkesztéséhez az a egyenesre egy rajznégyzetet, rá pedig egy vonalzót alkalmazunk a 103. ábra szerint. Ezután a vonalzó mentén mozgatva biztosítjuk a négyzetet. hogy az M pont a négyzet oldalán legyen, és húzz b egyenest. Az a és b egyenesek párhuzamosak, mivel a 103. ábrán α és β betűkkel jelölt megfelelő szögek egyenlőek.


Rizs. 103 A 104. ábra egy módszert mutat párhuzamos vonalak keresztrúd segítségével történő felépítésére. Ezt a módszert a rajzgyakorlatban használják.


Rizs. 104 Hasonló módszert alkalmaznak az ácsmunkák elvégzésekor is, ahol egy tömböt (két, zsanérral rögzített fa deszkát, 105. ábra) használnak a párhuzamos vonalak jelölésére.


Rizs. 105

Feladatok

186. A 106. ábrán az a és b egyeneseket c egyenes metszi. Bizonyítsuk be, hogy a || b, ha:

    a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
    b) ∠1 = ∠6;
    c) ∠l = 45°, és a 7 szög háromszor nagyobb, mint a 3.


Rizs. 106

187. Bizonyítsa be a 107. ábra adatai alapján, hogy AB || D.E.


Rizs. 107

188. Az AB és CD szakaszok közös felezőpontjukban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy az AC és BD egyenesek párhuzamosak.

189. A 108. ábra adatainak felhasználásával igazolja, hogy BC || HIRDETÉS.


Rizs. 108

190. A 109. ábrán AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Bizonyítsuk be, hogy DE || AC.


Rizs. 109

191. A BK szakasz az ABC háromszög felezőpontja. A K ponton keresztül egy egyenest húzunk, amely a BC oldalt az M pontban metszi úgy, hogy BM = MK. Bizonyítsuk be, hogy a KM és AB egyenesek párhuzamosak.

192. Az ABC háromszögben az A szög 40°, az ACB szöggel szomszédos ALL szög pedig 80°. Bizonyítsuk be, hogy az ALL szög felezője párhuzamos az AB egyenessel.

193. Az ABC háromszögben ∠A = 40°, ∠B = 70°. Egy BD egyenest húzunk a B csúcson keresztül úgy, hogy a BC sugár az ABD szög felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy az AC és BD egyenesek párhuzamosak.

194. Rajzolj háromszöget! Ennek a háromszögnek minden csúcsán keresztül rajzoljon egy négyzetet és egy vonalzót a szemközti oldallal párhuzamos egyenest.

195. Rajzolja meg az ABC háromszöget, és jelölje be a D pontot az AC oldalon. A D ponton keresztül rajzoljon egy négyzetet és egy vonalzót a háromszög másik két oldalával párhuzamos egyeneseket.

1. A párhuzamosság első jele.

Ha két egyenes metszi a harmadikat, és a keresztben fekvő belső szögek egyenlőek, akkor ezek az egyenesek párhuzamosak.

Legyen az AB és CD egyeneseket az EF egyenes metszve, és ∠1 = ∠2. Vegyük az O pontot - az EF szekáns KL szegmensének közepét (ábra).

Engedjük le az OM merőlegest az O pontból az AB egyenesre, és folytassuk addig, amíg nem metszi a CD, AB ⊥ MN egyenest. Bizonyítsuk be, hogy CD ⊥ MN.

Ehhez vegyünk két háromszöget: MOE és NOK. Ezek a háromszögek egyenlőek egymással. Valóban: ∠1 = ∠2 a tétel szerint; ОK = ОL - konstrukció szerint;

∠MOL = ∠NOK, mint a függőleges szögek. Így az egyik háromszög oldalszöge és két szomszédos szöge egy másik háromszög oldalszögével és két szomszédos szögével egyenlő; ezért ΔMOL = ΔNOK, és ebből ∠LMO = ∠KNO,
de ∠LMO egyenes, ami azt jelenti, hogy ∠KNO is egyenes. Tehát az AB és CD egyenesek merőlegesek ugyanarra az MN egyenesre, tehát párhuzamosak, amit bizonyítani kellett.

Jegyzet. Az MO és CD egyenesek metszéspontja a MOL háromszög O pont körüli 180°-os elforgatásával állapítható meg.

2. A párhuzamosság második jele.

Nézzük meg, hogy az AB és CD egyenesek párhuzamosak-e, ha a harmadik EF egyenest metsve a megfelelő szögek egyenlőek.

Legyen néhány megfelelő szög egyenlő, például ∠ 3 = ∠2 (ábra);

∠3 = ∠1, mint függőleges szögek; ez azt jelenti, hogy ∠2 egyenlő lesz ∠1-gyel. De a 2 és 1 szögek metsző belső szögek, és már tudjuk, hogy ha két egyenes metszi a harmadikat, a metsző belső szögek egyenlőek, akkor ezek az egyenesek párhuzamosak. Ezért AB || CD.

Ha két egyenes metszi a harmadikat, a megfelelő szögek egyenlőek, akkor ez a két egyenes párhuzamos.

Ezen a tulajdonságon alapul a párhuzamos egyenesek építése vonalzó és rajz háromszög segítségével. Ez a következőképpen történik.

Rögzítsük a háromszöget a vonalzóhoz az ábra szerint. A háromszöget úgy mozgatjuk, hogy az egyik oldala végigcsússzon a vonalzón, és több egyenest húzunk a háromszög másik oldala mentén. Ezek a vonalak párhuzamosak lesznek.

3. A párhuzamosság harmadik jele.

Tudjuk, hogy amikor két AB és CD egyenes metszi egy harmadik egyenest, akkor a belső egyoldalú szögek összege 2 d(vagy 180°). Az AB és CD egyenesek párhuzamosak-e ebben az esetben (ábra).

Legyen ∠1 és ∠2 belső egyoldalú szögek, és adjunk hozzá 2-t d.

De ∠3 + ∠2 = 2 d mint szomszédos szögek. Ezért ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Ezért ∠1 = ∠3, és ezek a belső szögek keresztben fekszenek. Ezért AB || CD.

Ha két egyenes metszi a harmadikat, a belső egyoldalú szögek összege egyenlő 2 d (vagy 180°), akkor ez a két egyenes párhuzamos.


Párhuzamos vonalak jelei:

1. Ha két egyenes metszi a harmadikat, a keresztben fekvő belső szögek egyenlőek, akkor ezek az egyenesek párhuzamosak.

2. Ha két egyenes metszi a harmadikat, a megfelelő szögek egyenlőek, akkor ez a két egyenes párhuzamos.

3. Ha két egyenes egy harmadikat metszi, a belső egyoldali szögek összege 180°, akkor ez a két egyenes párhuzamos.

4. Ha két egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak egymással.

5. Ha két egyenes merőleges egy harmadik egyenesre, akkor párhuzamosak egymással.

Eukleidész párhuzamossági axiómája

Feladat. Az AB egyenesen kívül lévő M ponton keresztül húzzunk egy, az AB egyenessel párhuzamos egyenest.

Az egyenesek párhuzamosságának jeleire vonatkozó bizonyított tételek felhasználásával ez a probléma többféleképpen megoldható,

Megoldás. 1. lépés (199. rajz).

Rajzoljuk MN⊥AB és M ponton keresztül CD⊥MN;

CD⊥MN-t és AB⊥MN-t kapunk.

A tétel („Ha két egyenes ugyanarra az egyenesre merőleges, akkor párhuzamosak.”) alapján arra a következtetésre jutunk, hogy CD || AB.

2. módszer (200. rajz).

Rajzolunk egy AB-t tetszőleges α szögben metsző MK-t, és az M ponton keresztül egy EF egyenest húzunk, amely EMK szöget zár be az MK egyenessel, amely egyenlő az α szöggel. A () tétel alapján arra a következtetésre jutunk, hogy EF || AB.

Ezt a feladatot megoldva bizonyítottnak tekinthetjük, hogy bármely, az AB egyenesen kívül eső M ponton keresztül lehet vele párhuzamos egyenest húzni. Felmerül a kérdés: hány olyan egyenes létezhet, amely párhuzamos egy adott egyenessel és halad át egy adott ponton?

Az építés gyakorlata lehetővé teszi azt a feltételezést, hogy csak egy ilyen egyenes létezik, mivel egy gondosan elkészített rajznál az ugyanazon a ponton keresztül különböző módon húzott egyenesek ugyanazzal az egyenessel párhuzamosan egyesülnek.

A feltett kérdésre elméletileg Eukleidész úgynevezett párhuzamossági axiómája adja meg a választ; a következőképpen van megfogalmazva:

Egy adott egyenesen kívülre eső ponton keresztül csak egy egyenes húzható párhuzamosan ezzel az egyenessel.

A 201-es rajzon egy SC egyenest húzunk az O ponton, párhuzamosan az AB egyenessel.

Az O ponton áthaladó bármely más egyenes már nem lesz párhuzamos az AB egyenessel, hanem metszi azt.

Az Eukleidész által az Elemek című művében elfogadott axiómát, amely azt állítja, hogy egy síkon egy adott egyenesen kívül eső ponton keresztül ezzel az egyenessel párhuzamosan csak egy egyenes húzható, ún. Eukleidész párhuzamossági axiómája.

Több mint kétezer évvel Eukleidész után sok matematikus próbálta bizonyítani ezt a matematikai tételt, de próbálkozásaik mindig sikertelenek voltak. Csak 1826-ban a nagy orosz tudós, a kazanyi egyetem professzora, Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij bizonyította be, hogy Eukleidész összes többi axiómája felhasználásával ez a matematikai állítás nem bizonyítható, hogy valóban axiómaként kell elfogadni. N. I. Lobacsevszkij új geometriát alkotott, amelyet Euklidész geometriájával ellentétben Lobacsevszkij geometriának hívnak.

ABÉs VELD keresztezi a harmadik egyenes MN, akkor az ebben az esetben képzett szögek a következő neveket kapják páronként:

megfelelő szögek: 1 és 5, 4 és 8, 2 és 6, 3 és 7;

belső keresztirányú szögek: 3 és 5, 4 és 6;

külső keresztirányú szögek: 1 és 7, 2 és 8;

belső egyoldalú sarkok: 3 és 6, 4 és 5;

külső egyoldalú sarkok: 1 és 8, 2 és 7.

Tehát ∠ 2 = ∠ 4 és ∠ 8 = ∠ 6, de a bebizonyítottak szerint ∠ 4 = ∠ 6.

Ezért ∠ 2 = ∠ 8.

3. Megfelelő szögek 2 és 6 ugyanaz, mivel ∠ 2 = ∠ 4 és ∠ 4 = ∠ 6. Győződjön meg arról is, hogy a többi megfelelő szög egyenlő.

4. Összeg belső egyoldalú sarkok 3 és 6 2d lesz, mert az összeg szomszédos sarkok 3 és 4 egyenlő 2d = 180 0-val, és ∠ 4 helyettesíthető azonos ∠ 6-tal. Győződjön meg arról is, hogy szögek összege 4 és 5 egyenlő 2d-vel.

5. Összeg külső egyoldalú sarkok 2d lesz, mert ezek a szögek rendre egyenlőek belső egyoldalú sarkok mint a sarkok függőleges.

A fenti bizonyított indoklásból azt kapjuk fordított tételek.

Amikor két egyenes és egy tetszőleges harmadik egyenes metszéspontjában azt kapjuk, hogy:

1. A belső keresztirányú szögek azonosak;

vagy 2. A külső keresztirányú szögek azonosak;

vagy 3. A megfelelő szögek egyenlőek;

vagy 4. A belső egyoldali szögek összege 2d = 180 0;

vagy 5. A külső egyoldalúak összege 2d = 180 0 ,

akkor az első két egyenes párhuzamos.

FEJEZET III.
PÁRHUZAMOS KÖZVETLEN

35. § PÁRHUZAMOS KÉT VONAL JELEI.

Az a tétel, miszerint egy egyenesre két merőleges párhuzamos (33. §), azt jelzi, hogy két egyenes párhuzamos. Két egyenes párhuzamosságának általánosabb jelei is származtathatók.

1. A párhuzamosság első jele.

Ha két egyenes metszi a harmadikat, és a keresztben fekvő belső szögek egyenlőek, akkor ezek az egyenesek párhuzamosak.

Legyen az AB és CD egyeneseket az EF és az egyenes metsze / 1 = / 2. Vegyük az O pontot - az EF szekáns KL szegmensének közepét (189. ábra).

Engedjük le az OM merőlegest az O pontból az AB egyenesre, és folytassuk addig, amíg nem metszi a CD, AB_|_MN egyenest. Bizonyítsuk be, hogy CD_|_MN.
Ehhez vegyünk két háromszöget: MOE és NOK. Ezek a háromszögek egyenlőek egymással. Valójában: / 1 = / 2 a tétel feltételei szerint; ОK = ОL - konstrukció szerint;
/ MOL = / NOK, mint a függőleges szögek. Így az egyik háromszög oldalszöge és két szomszédos szöge rendre egyenlő egy másik háromszög oldalsó és két szomszédos szögével; ezért, /\ MOL = /\ NOK, és ezért
/ LMO = / KNO, de / Az LMO közvetlen, ami azt jelenti / A KNO is közvetlen. Tehát az AB és CD egyenesek ugyanarra az MN egyenesre merőlegesek, tehát párhuzamosak (33. §), amit bizonyítani kellett.

Jegyzet. Az MO és CD egyenesek metszéspontja a MOL háromszög O pont körüli 180°-os elforgatásával állapítható meg.

2. A párhuzamosság második jele.

Nézzük meg, hogy az AB és CD egyenesek párhuzamosak-e, ha a harmadik EF egyenest metsve a megfelelő szögek egyenlőek.

Legyen például néhány megfelelő szög egyenlő / 3 = / 2 (190. rajz);
/ 3 = / 1, mivel a szögek függőlegesek; Eszközök, / 2 egyenlő lesz / 1. De a 2 és 1 szögek metsző belső szögek, és már tudjuk, hogy ha két egyenes metszi a harmadikat, a metsző belső szögek egyenlőek, akkor ezek az egyenesek párhuzamosak. Ezért az AB || CD.

Ha két egyenes metszi a harmadikat, a megfelelő szögek egyenlőek, akkor ez a két egyenes párhuzamos.

Ezen a tulajdonságon alapul a párhuzamos egyenesek építése vonalzó és rajz háromszög segítségével. Ez a következőképpen történik.

Rögzítsük a háromszöget a vonalzóhoz a 191. rajz szerint. Mozgatjuk a háromszöget úgy, hogy az egyik oldala végigcsússzon a vonalzón, és húzzunk több egyenest a háromszög másik oldala mentén. Ezek a vonalak párhuzamosak lesznek.

3. A párhuzamosság harmadik jele.

Tudjuk, hogy amikor két AB és CD egyenes metszi egy harmadik egyenest, akkor a belső egyoldalú szögek összege 2 d(vagy 180°). Az AB és CD egyenesek párhuzamosak-e ebben az esetben (192. ábra).

Hadd / 1 és / 2 belső egyoldali szög, és összeadva 2 d.
De / 3 + / 2 = 2d mint szomszédos szögek. Ezért, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Innen / 1 = / 3, és ezek a belső szögek keresztben fekszenek. Ezért AB || CD.

Ha két egyenes metszi a harmadikat, a belső egyoldalú szögek összege egyenlő 2 d, akkor ez a két egyenes párhuzamos.

Gyakorlat.

Bizonyítsuk be, hogy az egyenesek párhuzamosak:
a) ha a külső keresztirányú szögek egyenlőek (193. ábra);
b) ha a külső egyoldalú szögek összege 2 d(194. rajz).

Két egyenes párhuzamosságának jelei

1. Tétel. Ha két egyenes metszi egymást egy szekánssal:

    keresztezett szögek egyenlőek, vagy

    megfelelő szögek egyenlőek, vagy

    az egyoldali szögek összege 180°, akkor

vonalak párhuzamosak(1. ábra).

Bizonyíték. Az 1. eset bizonyítására szorítkozunk.

Legyenek az a és b metsző egyenesek keresztben, az AB szögek pedig egyenlők. Például ∠ 4 = ∠ 6. Bizonyítsuk be, hogy a || b.

Tegyük fel, hogy az a és b egyenesek nem párhuzamosak. Ekkor metszik egymást egy M pontban, és ezért a 4 vagy 6 szögek egyike lesz az ABM háromszög külső szöge. A határozottság érdekében legyen ∠ 4 az ABM háromszög külső szöge, és ∠ 6 a belső szöge. A háromszög külső szögére vonatkozó tételből az következik, hogy ∠ 4 nagyobb, mint ∠ 6, és ez ellentmond a feltételnek, ami azt jelenti, hogy az a és 6 egyenesek nem metszik egymást, tehát párhuzamosak.

Következmény 1. Ugyanarra az egyenesre merőleges síkban két különböző egyenes párhuzamos(2. ábra).

Megjegyzés. Azt a módot, ahogy az 1. Tétel 1. esetét az imént bizonyítottuk, az ellentmondásos vagy abszurditásra redukáló bizonyítási módszernek nevezzük. Ez a módszer azért kapta keresztnevét, mert az érvelés elején egy olyan feltételezés hangzik el, amely ellentétes (ellentétes) a bizonyítandóval. Abszurditáshoz vezetőnek nevezik, mert a feltevés alapján okoskodva abszurd következtetésre jutunk (az abszurdig). Egy ilyen következtetés levonása arra kényszerít bennünket, hogy elutasítsuk a kezdetben megfogalmazott feltevést, és elfogadjuk azt, amelyet bizonyítani kellett.

1. feladat. Szerkesszünk egy adott M ponton átmenő, adott a egyenessel párhuzamos egyenest, amely nem megy át az M ponton.

Megoldás. Az a egyenesre merőleges M ponton keresztül p egyenest húzunk (3. ábra).

Ezután húzunk egy b egyenest az M ponton át merőlegesen a p egyenesre. A b egyenes párhuzamos az a egyenessel az 1. Tétel következménye szerint.

A vizsgált problémából egy fontos következtetés következik:
egy adott egyenesen nem fekvő ponton keresztül mindig lehetséges az adott egyenessel párhuzamos egyenest húzni.

A párhuzamos egyenesek fő tulajdonsága a következő.

Párhuzamos egyenesek axiómája. Egy adott ponton, amely nem egy adott egyenesen fekszik, csak egy, az adott ponttal párhuzamos egyenes halad át.

Tekintsük a párhuzamos egyenesek néhány tulajdonságát, amelyek ebből az axiómából következnek.

1) Ha egy egyenes két párhuzamos egyenes közül az egyiket metszi, akkor a másikat is metszi (4. ábra).

2) Ha két különböző egyenes párhuzamos egy harmadik egyenessel, akkor párhuzamosak (5. ábra).

A következő tétel is igaz.

2. Tétel. Ha két párhuzamos egyenest egy keresztirányú metsz, akkor:

    keresztirányú szögek egyenlőek;

    a megfelelő szögek egyenlőek;

    az egyoldali szögek összege 180°.

Következmény 2. Ha egy egyenes merőleges két párhuzamos egyenes közül az egyikre, akkor merőleges a másikra is(lásd 2. ábra).

Megjegyzés. A 2. tételt az 1. tétel inverzének nevezzük. Az 1. tétel következtetése a 2. tétel feltétele. Az 1. tétel feltétele pedig a 2. tétel következtetése. Nem minden tételnek van inverze, vagyis ha egy adott tétel igaz, akkor az inverz tétel hamis lehet.

Magyarázzuk meg ezt a függőleges szögekre vonatkozó tétel példáján keresztül. Ez a tétel a következőképpen fogalmazható meg: ha két szög függőleges, akkor egyenlők. A fordított tétel a következő lenne: ha két szög egyenlő, akkor függőlegesek. És ez természetesen nem igaz. Két egyenlő szögnek nem kell függőlegesnek lennie.

1. példa Két párhuzamos vonalat egy harmadik keresztez. Ismeretes, hogy két belső egyoldali szög közötti különbség 30°. Keresse meg ezeket a szögeket.

Megoldás. A 6. ábra teljesítse a feltételt.



Előző cikk: Következő cikk:

© 2015 .
Az oldalról | Kapcsolatok | Webhelytérkép