Hogyan kell megoldani a négyzetgyököt és tulajdonságait. Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

Egy pozitív szám nemnegatív négyzetgyökét nevezzük számtani négyzetgyökés gyökjellel jelöljük.

Komplex számok

A komplex számok területén mindig két megoldás van, amelyek csak előjelben térnek el egymástól (a nulla négyzetgyökének kivételével). A komplex számok gyökerét gyakran jelölik, de ezt a jelölést óvatosan kell használni. Gyakori hiba:

Egy komplex szám négyzetgyökének kivonásához célszerű a komplex szám írásának exponenciális formáját használni: ha

ahol a modulusgyök egy számtani érték értelmében értendő, és k felveheti a k=0 és k=1 értékeket, így a válasz két különböző eredményt kap.

Általánosítások

A négyzetgyököket más objektumok alakegyenleteinek megoldásaként vezetik be: mátrixok, függvények, operátorok stb. Meglehetősen tetszőleges szorzóműveletek használhatók műveletként, például szuperpozíció.

Négyzetgyök a számítástechnikában

Számos függvényszintű programozási nyelvben (valamint a jelölőnyelvekben, például a LaTeX-ben) a négyzetgyök függvényt a következőképpen írják: sqrt(angolról négyzetgyök"Négyzetgyök").

Algoritmusok a négyzetgyök meghatározásához

Egy adott szám négyzetgyökének megtalálását vagy kiszámítását nevezzük kitermelés(négyzetgyök.

Taylor sorozat bővítése

Aritmetikai négyzetgyök

Számnégyzetekre a következő egyenlőségek igazak:

Vagyis megtudhatja egy szám négyzetgyökének egész részét, ha kivon belőle minden páratlan számot, amíg a maradék kisebb lesz, mint a következő kivont szám, vagy egyenlő nullával, és megszámolja a végrehajtott műveletek számát. Például így:

3 lépés befejeződött, a 9 négyzetgyöke 3.

Ennek a módszernek az a hátránya, hogy ha a kinyert gyökér nem egész szám, akkor csak a teljes részét tudhatja meg, pontosabban nem. Ugyanakkor ez a módszer meglehetősen hozzáférhető azoknak a gyerekeknek, akik olyan egyszerű matematikai problémákat oldanak meg, amelyek a négyzetgyök kivonását igénylik.

Durva becslés

Számos algoritmus pozitív valós szám négyzetgyökének kiszámítására S kezdeti értéket igényel. Ha a kezdeti érték túl messze van a gyökér valós értékétől, a számítások lelassulnak. Ezért hasznos egy hozzávetőleges becslés, amely lehet nagyon pontatlan, de könnyen kiszámítható. Ha S≥ 1, legyen D a számjegyek száma lesz S a tizedesvesszőtől balra. Ha S < 1, пусть D az egymást követő nullák száma a tizedesvesszőtől jobbra, mínusz előjellel. Akkor a durva becslés így néz ki:

Ha D páratlan, D = 2n+ 1, majd használd Ha D még, D = 2n+ 2, majd használd

Kettőt és hatot azért használnak És

Ha bináris rendszerben dolgozik (mint a számítógépeken belül), más értékelést kell használni (itt D a bináris számjegyek száma).

Geometriai négyzetgyök

A gyökér manuális kivonásához a hosszú osztáshoz hasonló jelölést használnak. Leírjuk azt a számot, amelynek gyökerét keressük. Tőle jobbra fokozatosan megkapjuk a kívánt gyök számait. Vegyük egy véges számú tizedesjegyű szám gyökét. Kezdésként gondolatban vagy jegyekkel osztjuk az N számot két számjegyből álló csoportokra a tizedesvesszőtől balra és jobbra. Ha szükséges, a csoportokat nullákkal töltjük ki - az egész részt a bal oldalon, a tört részt a jobb oldalon. Tehát a 31234.567 03 12 34-ként ábrázolható. 56 70. Az osztástól eltérően a bontás ilyen 2 számjegyű csoportokban történik.

Az algoritmus vizuális leírása:

A diákok mindig azt kérdezik: „Miért nem tudok számológépet használni a matekvizsgán? Hogyan lehet kivonni egy szám négyzetgyökét számológép nélkül? Próbáljunk meg válaszolni erre a kérdésre.

Hogyan lehet kivonni egy szám négyzetgyökét számológép segítsége nélkül?

Akció négyzetgyök fordítottja a négyzetesítés műveletének.

√81= 9 9 2 =81

Ha egy pozitív szám négyzetgyökét veszed, és az eredményt négyszerezed, ugyanazt a számot kapod.

Kis számokból, amelyek a természetes számok pontos négyzetei, például 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, szóban négyzetgyök húzható ki. Az iskolában általában húszig terjedő természetes számok négyzeteinek táblázatát tanítják. A táblázat ismeretében a 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 számokból könnyű négyzetgyököket kinyerni. A 400-nál nagyobb számokból néhány tippet használó kiválasztási módszerrel kinyerheti őket. Próbáljuk meg szemlélni ezt a módszert egy példán keresztül.

Példa: Vegyük ki a 676-os szám gyökerét.

Észrevesszük, hogy 20 2 = 400 és 30 2 = 900, ami 20< √676 < 900.

A természetes számok pontos négyzetei 0-ra végződnek; 1; 4; 5; 6; 9.
A 6-os számot a 4 2 és a 6 2 adja.
Ez azt jelenti, hogy ha a gyökér 676-ból származik, akkor az vagy 24, vagy 26.

Még ellenőrizni kell: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Válasz: √676 = 26 .

Több példa: √6889 .

Mivel 80 2 = 6400 és 90 2 = 8100, akkor 80< √6889 < 90.
A 9-es számot 3 2 és 7 2 adja, ekkor √6889 egyenlő 83-mal vagy 87-tel.

Ellenőrizzük: 83 2 = 6889.

Válasz: √6889 = 83 .

Ha nehéznek találja a megoldást a kiválasztási módszerrel, akkor figyelembe veheti a gyök kifejezést.

Például, keresse √893025.

Vegyük figyelembe a 893025 számot, ne feledje, ezt a hatodik osztályban csinálta.

A következőt kapjuk: √893025 = √3 6 ∙5 2∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Több példa: √20736. Tekintsük a 20736 számot:

A következőt kapjuk: √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Természetesen a faktorizáláshoz szükség van az oszthatósági jelek ismeretére és a faktorizációs készségekre.

És végül van szabály a négyzetgyökök kinyerésére. Ismerkedjünk meg ezzel a szabállyal példákon keresztül.

Számítsa ki √279841.

A többjegyű egész szám gyökének kinyeréséhez jobbról balra 2 számjegyet tartalmazó lapokra osztjuk (a bal szélső él egy számjegyet tartalmazhat). Így írjuk: 27’98’41

A gyök első számjegyének (5) megszerzéséhez vesszük a bal oldali első lapban (27) lévő legnagyobb tökéletes négyzet négyzetgyökét.
Ezután a gyökér első számjegyének négyzetét (25) kivonjuk az első lapból, és a következő lappal (98) hozzáadjuk a különbséget (kivonjuk).
A kapott 298-as számtól balra írjuk a gyök kétjegyűjét (10), osszuk el vele az előzőleg kapott szám összes tízesének számát (29/2 ≈ 2), teszteljük a hányadost (102 ∙ 2 = 204 nem lehet több 298-nál), és a gyökér első számjegye után írjon (2)-t.
Ezután a kapott 204 hányadost kivonjuk 298-ból, és a következő élt (41) hozzáadjuk a (94) különbséghez.
A kapott 9441 számtól balra írja be a gyök számjegyeinek duplaszorzatát (52 ∙2 = 104), ossza el a 9441 szám összes tízesének számát (944/104 ≈ 9) ezzel a szorzattal, és tesztelje a hányados (1049 ∙9 = 9441) legyen 9441, és írja le (9) a gyökér második számjegye után.

A választ kaptuk: √279841 = 529.

Kivonat hasonló módon tizedes törtek gyökerei. Csak a gyökszámot kell lapokra osztani úgy, hogy a vessző a lapok közé kerüljön.

Példa. Keresse meg a √0,00956484 értéket.

Ne feledje, hogy ha egy tizedes törtnek páratlan számú tizedesjegye van, a négyzetgyök nem vehető ki belőle.

Tehát most három módszert látott a gyökér kinyerésére. Válassza ki az Önnek legmegfelelőbbet, és gyakorolja. Ahhoz, hogy megtanuld megoldani a problémákat, meg kell oldanod. És ha kérdésed van, iratkozz fel óráimra.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ebben a cikkben bemutatjuk szám gyökének fogalma. Szekvenciálisan haladunk tovább: a négyzetgyökkel kezdjük, onnantól áttérünk a köbgyök leírására, majd általánosítjuk a gyök fogalmát, meghatározva az n-edik gyöket. Egyúttal definíciókat, jelöléseket vezetünk be, példákat adunk a gyökerekre és megadjuk a szükséges magyarázatokat, megjegyzéseket.

Négyzetgyök, aritmetikai négyzetgyök

Ahhoz, hogy megértsük egy szám gyökének definícióját, és különösen a négyzetgyökét, rendelkeznie kell . Ezen a ponton gyakran találkozunk a szám második hatványával - egy szám négyzetével.

Kezdjük azzal négyzetgyök definíciók.

Meghatározás

Négyzetgyök a olyan szám, amelynek négyzete egyenlő a-val.

Annak érdekében, hogy hozza négyzetgyök példák, vegyünk több számot, például 5, -0,3, 0,3, 0, és négyzetezzük őket, így a 25, 0,09, 0,09 és 0 számokat kapjuk (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3 · 0,3 = 0,09 és 0 2 = 0,0 = 0). Ekkor a fenti definíció szerint az 5-ös szám a 25-ös szám négyzetgyöke, a -0,3 és 0,3 számok 0,09 négyzetgyöke, a 0 pedig a nulla négyzetgyöke.

Meg kell jegyezni, hogy egyetlen a számhoz sem létezik olyan, amelynek négyzete egyenlő a-val. Ugyanis bármely a negatív számhoz nincs olyan b valós szám, amelynek négyzete egyenlő a-val. Valójában az a=b 2 egyenlőség lehetetlen bármely negatív a-ra, mivel b 2 nem negatív szám bármely b-re. És így, a valós számok halmazán nincs negatív szám négyzetgyöke. Más szóval, a valós számok halmazán a negatív szám négyzetgyöke nincs meghatározva, és nincs jelentése.

Ez egy logikus kérdéshez vezet: „Van-e az a négyzetgyöke bármely nem negatív a-nak”? A válasz igen. Ezt a tényt a négyzetgyök értékének meghatározására használt konstruktív módszerrel igazolhatjuk.

Ekkor felmerül a következő logikus kérdés: „Hány négyzetgyöke van egy adott nemnegatív számnak a – egy, kettő, három vagy még több”? Íme a válasz: ha a nulla, akkor a nulla egyetlen négyzetgyöke nulla; ha a valamilyen pozitív szám, akkor az a szám négyzetgyökeinek száma kettő, a gyökei pedig . Ezt indokoljuk meg.

Kezdjük az a=0 esettel. Először is mutassuk meg, hogy a nulla valóban a nulla négyzetgyöke. Ez a 0 2 =0·0=0 nyilvánvaló egyenlőségből és a négyzetgyök definíciójából következik.

Most bizonyítsuk be, hogy 0 a nulla egyetlen négyzetgyöke. Használjuk az ellenkező módszert. Tegyük fel, hogy van valami nullától eltérő b szám, amely nulla négyzetgyöke. Ekkor teljesülnie kell a b 2 =0 feltételnek, ami lehetetlen, hiszen bármely nem nulla b esetén a b 2 kifejezés értéke pozitív. Ellentmondáshoz érkeztünk. Ez bizonyítja, hogy a 0 a nulla egyetlen négyzetgyöke.

Térjünk át azokra az esetekre, amikor a pozitív szám. Fentebb mondtuk, hogy minden nemnegatív számnak mindig van négyzetgyöke, legyen a négyzetgyöke a b szám. Tegyük fel, hogy van egy c szám, amely egyben a négyzetgyöke is. Ekkor a négyzetgyök definíciója szerint a b 2 =a és c 2 =a egyenlőség igaz, amiből az következik, hogy b 2 −c 2 =a−a=0, de mivel b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , akkor (b−c)·(b+c)=0 . A kapott egyenlőség érvényes valós számokkal végzett műveletek tulajdonságai csak akkor lehetséges, ha b-c=0 vagy b+c=0 . Így a b és c számok egyenlőek vagy ellentétesek.

Ha feltételezzük, hogy van egy d szám, amely az a szám másik négyzetgyöke, akkor a már megadottakhoz hasonló érveléssel bebizonyítjuk, hogy d egyenlő b vagy c számmal. Tehát egy pozitív szám négyzetgyökeinek száma kettő, a négyzetgyökök pedig ellentétes számok.

A négyzetgyökökkel végzett munka kényelme érdekében a negatív gyökér „elkülönül” a pozitívtól. Ebből a célból bevezetik a számtani négyzetgyök definíciója.

Meghatározás

Nemnegatív szám aritmetikai négyzetgyöke a egy nem negatív szám, amelynek négyzete egyenlő a-val.

Az a számtani négyzetgyökének jelölése . Az előjelet aritmetikai négyzetgyökjelnek nevezzük. Radikális jelnek is nevezik. Ezért néha hallható „gyökér” és „radikális”, ami ugyanazt az objektumot jelenti.

Az aritmetikai négyzetgyök jel alatti számot hívják gyökszám, a gyökjel alatti kifejezés pedig az radikális kifejezés, míg a „gyökszám” kifejezést gyakran a „gyökös kifejezés” helyettesíti. Például a jelölésben a 151 szám gyökszám, a jelölésben pedig az a kifejezés egy gyök kifejezés.

Olvasáskor gyakran kimarad az „aritmetika” szó, például a szócikk „hét pont huszonkilenc négyzetgyökeként” olvasható. Az „aritmetika” szót csak akkor használják, ha azt akarják hangsúlyozni, hogy konkrétan egy szám pozitív négyzetgyökéről beszélünk.

A bevezetett jelölés tükrében a számtani négyzetgyök definíciójából az következik, hogy bármely nemnegatív számra a.

Egy pozitív a szám négyzetgyökét a és számtani négyzetgyök jellel írjuk fel. Például 13 négyzetgyökei és . A nulla számtani négyzetgyöke nulla, azaz . Az a negatív számok esetében nem tulajdonítunk jelentést a jelölésnek, amíg nem tanulmányozzuk komplex számok. Például a és kifejezések értelmetlenek.

A négyzetgyök definíciója alapján bizonyítást nyernek a négyzetgyökök gyakorlatban gyakran használt tulajdonságai.

Ennek a pontnak a végén megjegyezzük, hogy az a szám négyzetgyökei x 2 =a alakú megoldások az x változóra vonatkozóan.

Egy szám kockagyöke

A kockagyök definíciója az a szám a négyzetgyök definíciójához hasonlóan adott. Csak egy szám kocka koncepcióján alapul, nem egy négyzeten.

Meghatározás

Kockagyökér a olyan szám, amelynek kocka egyenlő a-val.

Adjunk példák kockagyökerekre. Ehhez vegyünk több számot, például 7, 0, −2/3, és kockázzuk fel őket: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Ekkor a kockagyök definíciója alapján azt mondhatjuk, hogy a 7-es szám a 343-nak, a 0 a nulla, a −2/3 pedig a -8/27-nek a kockagyöke.

Megmutatható, hogy egy szám köbgyöke a négyzetgyöktől eltérően mindig létezik, nemcsak a nem negatív a-ra, hanem bármely a valós számra is. Ehhez ugyanazt a módszert használhatja, amelyet a négyzetgyökök tanulmányozása során említettünk.

Ráadásul egy adott a számnak csak egyetlen kockagyöke van. Bizonyítsuk be az utolsó állítást. Ehhez vegyünk három esetet külön: a pozitív szám, a=0 és a negatív szám.

Könnyen kimutatható, hogy ha a pozitív, akkor a kockagyöke nem lehet sem negatív szám, sem nulla. Valóban, legyen b a kockagyöke, akkor definíció szerint felírhatjuk a b 3 =a egyenlőséget. Nyilvánvaló, hogy ez az egyenlőség nem igaz b-re és b=0-ra, mivel ezekben az esetekben b 3 =b·b·b negatív szám vagy nulla lesz. Tehát egy pozitív a szám kockagyöke pozitív szám.

Most tegyük fel, hogy a b számon kívül van még egy kockagyöke az a számnak, jelöljük c. Ekkor c 3 =a. Ezért b 3 −c 3 =a−a=0, de b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(ez a rövidített szorzási képlet kockák különbsége), ahonnan (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. A kapott egyenlőség csak akkor lehetséges, ha b−c=0 vagy b 2 +b·c+c 2 =0. Az első egyenlőségből b=c, a második egyenlőségnek nincs megoldása, mivel a bal oldala pozitív szám bármely b és c pozitív számra, három pozitív tag b 2, b·c és c 2 összegeként. Ez bizonyítja az a pozitív szám kockagyökének egyediségét.

Ha a=0, akkor az a szám kockagyöke csak a nulla. Valóban, ha feltételezzük, hogy van egy b szám, amely nullától eltérő kockagyök, akkor a b 3 =0 egyenlőségnek teljesülnie kell, ami csak b=0 esetén lehetséges.

Negatív a esetén a pozitív a esetéhez hasonló érvek adhatók meg. Először is megmutatjuk, hogy egy negatív szám kockagyöke nem lehet egyenlő sem pozitív számmal, sem nullával. Másodszor, feltételezzük, hogy van egy negatív számnak egy második kockagyöke, és megmutatjuk, hogy az szükségszerűen egybeesik az elsővel.

Tehát minden adott a valós számnak mindig van egy kockagyöke, és egy egyedi.

Adjunk aritmetikai kockagyök definíciója.

Meghatározás

Nemnegatív szám aritmetikai kockagyöke a egy nem negatív szám, amelynek kocka egyenlő a-val.

A nem negatív a szám aritmetikai kockagyökét , az előjelet a kockagyök előjelének, a 3-as számot ebben a jelölésben ún. gyökérindex. A gyökérjel alatti szám a gyökszám, a gyökérjel alatti kifejezés az radikális kifejezés.

Bár az aritmetikai kockagyök csak a nem negatív a számokra van definiálva, célszerű olyan jelöléseket is használni, amelyekben a számtani kockagyök jele alatt negatív számok találhatók. Ezeket a következőképpen fogjuk értelmezni: , ahol a pozitív szám. Például, .

A kockagyökerek tulajdonságairól a gyökerek általános cikktulajdonságainál fogunk beszélni.

A kockagyök értékének kiszámítását kockagyökér kivonásának nevezzük.

Ennek lezárásaként tegyük fel, hogy az a szám kockagyöke x 3 =a alakú megoldás.

n-edik gyök, n fokú számtani gyök

Általánosítsuk a számgyök fogalmát – vezetjük be n-edik gyökér meghatározása az n.

Meghatározás

n-edik gyöke az a olyan szám, amelynek n-edik hatványa egyenlő a-val.

Ebből a definícióból jól látható, hogy az a szám elsőfokú gyöke maga az a szám, mivel a természetes kitevővel végzett fokszám vizsgálatakor 1 =a-t vettünk.

Fentebb megvizsgáltuk az n-edik gyökér speciális eseteit n=2 és n=3 - négyzetgyök és kockagyök esetén. Vagyis a négyzetgyök másodfokú, a kockagyök pedig harmadfokú gyök. Az n-edik fokú gyökök tanulmányozásához n=4, 5, 6, ... esetén célszerű két csoportra osztani őket: az első csoport - páros fokú gyökök (azaz n = 4, 6, 8 esetén , ...), a második csoport - páratlan fokos gyökök (azaz n=5, 7, 9, ... esetén). Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a páros hatványok gyökerei hasonlóak a négyzetgyökökhöz, a páratlan hatványok pedig a köbgyökökhöz. Egyenként foglalkozzunk velük.

Kezdjük azokkal a gyökökkel, amelyek hatványai a páros számok 4, 6, 8, ... Mint már említettük, hasonlóak az a szám négyzetgyökéhez. Vagyis az a szám bármely páros fokának gyöke csak nemnegatív a esetén létezik. Sőt, ha a=0, akkor a gyöke egyedi és egyenlő nullával, ha pedig a>0, akkor az a számnak két páros fokú gyöke van, és ezek ellentétes számok.

Az utolsó állítást igazoljuk. Legyen b az a szám páros gyöke (2·m-nek jelöljük, ahol m valamilyen természetes szám). Tegyük fel, hogy van egy c szám – az a számtól 2·m fokú gyök. Ekkor b 2·m −c 2·m =a−a=0 . De ismerjük a b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) alakot. (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), akkor (b-c)·(b+c)· (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2)=0. Ebből az egyenlőségből az következik, hogy b−c=0, vagy b+c=0, vagy b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2 =0. Az első két egyenlőség azt jelenti, hogy a b és c számok egyenlőek, vagy b és c ellentétesek. Az utolsó egyenlőség pedig csak b=c=0-ra érvényes, mivel annak bal oldalán van egy kifejezés, amely nemnegatív bármely b-re és c-re, mint nemnegatív számok összegére.

Ami a páratlan n n-edik fokú gyökereit illeti, ezek hasonlóak a köbgyökhöz. Vagyis az a szám bármely páratlan fokának gyöke létezik bármely a valós számra, és egy adott a számra egyedi.

Az a szám 2·m+1 páratlan fokú gyökének egyediségét az a szám kockagyökének egyediségének analógiájával bizonyítjuk. Csak itt egyenlőség helyett a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = formájú egyenlőséget használunk (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m). Az utolsó zárójelben lévő kifejezés átírható így b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m-4 +c 2 m-4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Például m=2-vel megvan b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b–c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Ha a és b egyaránt pozitív, vagy mindkettő negatív, akkor a szorzatuk egy pozitív szám, akkor a legmagasabb beágyazott zárójelben lévő b 2 +c 2 +b·c kifejezés pozitív a pozitív számok összegeként. Most, sorban haladva az előző beágyazási fokozatok zárójelben lévő kifejezéseire, meg vagyunk győződve arról, hogy ezek pozitív számok összegeként is pozitívak. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy a b 2 m+1 −c 2 m+1 = egyenlőség (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 csak akkor lehetséges, ha b−c=0, vagyis ha a b egyenlő a c számmal.

Ideje megérteni az n-edik gyök jelölését. Erre a célra adott n-edik fokú számtani gyök meghatározása.

Meghatározás

Nemnegatív szám n-edik fokának számtani gyöke a egy nem negatív szám, amelynek n-edik hatványa egyenlő a-val.

A hatványozás azt jelenti, hogy egy adott számot önmagával meg kell szorozni bizonyos számú alkalommal. Például a 2-es szám ötödik hatványra emelése így néz ki:

Azt a számot, amelyet önmagával meg kell szorozni, a hatvány alapjának, a szorzások számát pedig kitevőjének nevezzük. A hatványra emelés két ellentétes cselekvésnek felel meg: a kitevő megtalálása és a bázis megtalálása.

Gyökér kivonás

A hatvány alapjának megtalálását gyökérkivonásnak nevezzük. Ez azt jelenti, hogy meg kell találni azt a számot, amelyet n hatványra kell emelni, hogy megkapjuk az adott számot.

Például ki kell vonni a 16-os szám 4. gyökét, azaz. annak meghatározásához 4-szer kell szoroznia önmagával, hogy végül 16-ot kapjon. Ez a szám 2.

Ezt az aritmetikai műveletet egy speciális jel - a gyök: √ - segítségével írjuk le, amely felett a bal oldalon a kitevő látható.

Aritmetikai gyök

Ha a kitevő páros szám, akkor a gyök lehet két azonos abszolút értékű szám, de c pozitív és negatív. Tehát a megadott példában ezek lehetnek a 2 és -2 számok.

A kifejezésnek egyértelműnek kell lennie, pl. egy eredménye van. Ebből a célból bevezették az aritmetikai gyök fogalmát, amely csak pozitív számot jelenthet. A számtani gyök nem lehet kisebb nullánál.

Így a fent tárgyalt példában csak a 2-es szám lesz a számtani gyök, és a második válaszlehetőség - -2 - értelemszerűen ki van zárva.

Négyzetgyök

Egyes fokozatokhoz, amelyeket gyakrabban használnak, mint mások, vannak speciális nevek, amelyek eredetileg a geometriához kapcsolódnak. A második és harmadik hatalomba emelésről beszélünk.

A második hatványhoz egy négyzet oldalának hossza, amikor ki kell számítani a területét. Ha meg kell találnia egy kocka térfogatát, élének hosszát a harmadik hatványra emeljük. Ezért ezt a szám négyzetének, a harmadikat pedig kockának nevezik.

Ennek megfelelően a második fok gyökerét négyzetnek, a harmadik fok gyökét köbnek nevezzük. A négyzetgyök az egyetlen gyök, amely nem írható kitevővel a gyök felett:

Tehát egy adott szám aritmetikai négyzetgyöke az a pozitív szám, amelyet a második hatványra kell emelni, hogy az adott számot megkapjuk.