Egy ívelt trapéz és ábra területe. Egy ívelt trapéz területe
Görbe trapéznek nevezzük azt az ábrát, amelyet egy folytonos, nem negatív $f(x)$ függvény grafikonja határol a $$ szakaszon, valamint a $y=0, \ x=a$ és $x=b$ egyeneseket.
A megfelelő görbe vonalú trapéz területét a következő képlettel számítjuk ki:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Feltételesen felosztjuk a problémákat, hogy megtaláljuk a görbe vonalú trapéz területét 4 dolláros típusokra. Nézzük meg részletesebben az egyes típusokat.
I. típus: egy íves trapéz kifejezetten meg van adva. Ezután azonnal alkalmazza a képletet (*).
Például keresse meg egy görbe vonalú trapéz területét, amelyet a $y=4-(x-2)^(2)$ függvény grafikonja és a $y=0, \ x=1$ és $x vonalak határolnak. = 3 $.
Rajzoljuk meg ezt az íves trapézt.
A (*) képlet segítségével megtaláljuk ennek a görbe vonalú trapéznek a területét.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\jobbra|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\jobb)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\bal((1)^(3)-(-1)^(3)\jobb) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (egységek$^(2)$).
II. típus: az ívelt trapéz implicit módon van megadva. Ebben az esetben az $x=a, \ x=b$ egyenesek általában nincsenek megadva, vagy csak részben vannak megadva. Ebben az esetben meg kell találni az $y=f(x)$ és $y=0$ függvények metszéspontjait. Ezek a pontok $a$ és $b$ pontok lesznek.
Például keresse meg egy ábra területét, amelyet a $y=1-x^(2)$ és $y=0$ függvények grafikonjai határolnak.
Keressük meg a metszéspontokat. Ehhez a függvények jobb oldalát egyenlővé tesszük.
Így $a=-1$ és $b=1$. Rajzoljuk meg ezt az íves trapézt.
Keressük meg ennek az ívelt trapéznak a területét.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\bal(1^(3)-(-1)^(3)\jobb)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (egységek$^(2)$).
III. típus: egy ábra területe, amelyet két folytonos, nem negatív függvény metszéspontja korlátoz. Ez az ábra nem egy ívelt trapéz, ami azt jelenti, hogy nem számíthatja ki a területét a (*) képlet segítségével. Hogyan legyen? Kiderült, hogy ennek az ábrának a területe megtalálható a felső függvény és a $y=0$ ($S_(uf)$), valamint az alsó függvény és a $y által határolt görbe vonalú trapézok területeinek különbségeként. =0$ ($S_(lf)$), ahol $x=a, \ x=b$ szerepét ezen függvények metszéspontjainak $x$ koordinátái játsszák, azaz.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Az ilyen területek kiszámításakor a legfontosabb dolog az, hogy ne „elhagyja” a felső és az alsó funkciók kiválasztását.
Például keresse meg a $y=x^(2)$ és $y=x+6$ függvényekkel határolt ábra területét.
Keressük meg ezeknek a grafikonoknak a metszéspontjait:
Vieta tétele szerint
$x_(1)=-2,\ x_(2)=3.$
Azaz $a=-2,\b=3$. Rajzoljunk egy ábrát:
Így a felső függvény $y=x+6$, az alsó függvény pedig $y=x^(2)$. Ezután megtaláljuk a $S_(uf)$ és $S_(lf)$ a (*) képlet segítségével.
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\bal.\frac(x^(2))(2)\jobb|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (egységek$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\jobb|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (egységek$^(2)$).
Helyettesítsük be a találtakat (**)-ra, és kapjuk:
$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (egységek$^(2)$).
IV. típus: az ábra azon területe, amelyet olyan függvény(ek) határolnak, amelyek nem teljesítik a nem-negativitás feltételét. Egy ilyen ábra területének megtalálásához szimmetrikusnak kell lennie az $Ox$ tengelyre ( más szavakkal, Tegyen „mínuszokat” a függvények elé) jelenítse meg a területet, és az I-III. típusokban vázolt módszerekkel keresse meg a megjelenített terület területét. Ez a terület lesz a szükséges terület. Először is meg kell találnia a függvénygrafikonok metszéspontjait.
Például keresse meg egy ábra területét, amelyet a $y=x^(2)-1$ és $y=0$ függvények grafikonjai határolnak.
Keressük meg a függvénygráfok metszéspontjait:
azok. $a=-1$ és $b=1$. Rajzoljuk meg a területet.
Jelentsük meg a területet szimmetrikusan:
$y=0 \ \Jobbra \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Jobbra \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Az eredmény egy görbe trapéz, amelyet az $y=1-x^(2)$ és $y=0$ függvény grafikonja határol. Ez egy probléma a második típusú íves trapéz megtalálása során. Már megoldottuk. A válasz a következő volt: $S= 1\frac(1)(3)$ (egységek $^(2)$). Ez azt jelenti, hogy a szükséges görbe vonalú trapéz területe egyenlő:
$S=1\frac(1)(3)$ (egységek$^(2)$).
Téma: Egy sík alakzat területének kiszámítása határozott integrál segítségével
Célok: megtanulják a definíciót és képleteket a görbe vonalú trapéz területének megtalálásához;
fontolja meg a görbe vonalú trapéz területének megtalálásának különféle eseteit;
Legyen képes kiszámítani egy ívelt trapéz területét.
Terv:
Görbe vonalú trapéz.
Képletek egy ívelt trapéz területének kiszámításához.
Görbe vonalú trapéz egy olyan ábra, amelyet egy folytonos, nem negatív f(x) függvény grafikonja határol az intervallumon, az x=a és x=b szakaszok, valamint az x tengely egy szakasza a és b pontok között. .
Képei ívelt trapézokról:
Most térjünk át az ábrák elrendezésének lehetséges lehetőségeire, amelyek területét a koordinátasíkon kell kiszámítani.
Első
ott lesz a legegyszerűbb lehetőség (az első kép), a szokásos ívelt trapéz, mint a definícióban. Itt nem kell semmit kitalálni, csak vegyük az integrált a előtt b funkcióból f(x). Ha megtaláljuk az integrált, akkor ennek a trapéznek a területét is ismerjük. 
Ban ben második
opciót, ábránkat nem az x tengely fogja korlátozni, hanem egy másik függvény g(x). Ezért a terület megtalálásához CEFD, először meg kell találnunk a területet AEFB(az integrál használatával f(x)), majd keresse meg a területet ACDB(az integrál használatával g(x)). És az ábra szükséges területe CEFD, különbség lesz az ívelt trapéz első és második területe között. Mivel az integráció határai itt azonosak, mindez egy integrál alá írható (lásd az ábra alatti képleteket), minden a függvények összetettségétől függ, ilyenkor könnyebb lesz megtalálni az integrált. 
Harmadik
nagyon hasonló az elsőhöz, de csak a mi trapézunk van elhelyezve, nem felül x tengely, és alatta. Ezért itt ugyanazt az integrált kell venni, csak mínusz előjellel, mert az integrál értéke negatív, a terület értéke pedig pozitív. Ha függvény helyett f(x) funkciót vesz fel –f(x), akkor a grafikonja ugyanaz lesz, egyszerűen szimmetrikusan az x tengelyhez képest. 
ÉS negyedik opció, amikor az ábránk egy része az x tengely felett, egy része pedig alatta van. Ezért először meg kell találnunk az ábra területét AEFB, mint az első lehetőségnél, majd az ábra területe ABCD, mint a harmadik lehetőségnél, majd hajtsa össze őket. Ennek eredményeként megkapjuk az ábra területét DEFC. Mivel az integráció határai itt azonosak, mindez egy integrál alá írható (lásd az ábra alatti képleteket), minden a függvények összetettségétől függ, ilyenkor könnyebb lesz megtalálni az integrált. 
Önellenőrző kérdések:
Melyik alakzatot nevezzük ívelt trapéznek?
Hogyan találjuk meg az ívelt trapéz területét?
Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét
Térjünk át az integrálszámítás alkalmazásaira. Ebben a leckében a tipikus és leggyakoribb feladatot elemezzük – hogyan használjunk határozott integrált egy síkfigura területének kiszámításához. Végül, akik értelmet keresnek a felsőbb matematikában – hátha megtalálják. Sose tudhatod. A való életben elemi függvények segítségével közelítenie kell egy dacha telket, és meg kell találnia a területét egy határozott integrál segítségével.
Az anyag sikeres elsajátításához a következőket kell tennie:
1) Értse a határozatlan integrált legalább középszinten. Így a bábuknak először el kell olvasniuk a leckét Nem.
2) Legyen képes a Newton-Leibniz képlet alkalmazására és a határozott integrál kiszámítására. Az oldalon meleg baráti kapcsolatokat alakíthat ki bizonyos integrálokkal Határozott integrál. Példák megoldásokra.
Valójában egy figura területének megtalálásához nincs szükség a határozatlan és határozott integrál ismeretére. A „terület kiszámítása határozott integrál segítségével” feladat mindig rajz készítését foglalja magában, így tudásod és rajzkészséged sokkal égetőbb kérdés lesz. Ebben a tekintetben hasznos frissíteni a memóriát az alapvető elemi függvények grafikonjairól, és legalább egy egyenest, parabolát és hiperbolát készíteni. Ez megtehető (sokak számára szükséges) módszertani anyag és a gráfok geometriai transzformációiról szóló cikk segítségével.
Tulajdonképpen már iskolás kora óta mindenki ismeri azt a feladatot, hogy a területet határozott integrál segítségével kell megtalálni, és az iskolai tananyagnál nemigen megyünk tovább. Lehet, hogy ez a cikk egyáltalán nem létezett, de tény, hogy a probléma 100-ból 99 esetben fordul elő, amikor egy diák egy gyűlölt iskolában szenved, és lelkesen sajátít el egy felsőfokú matematikai kurzust.
A workshop anyagait egyszerűen, részletesen és minimális elméleti ismeretekkel mutatjuk be.
Kezdjük egy ívelt trapézzel.
Görbe vonalú trapéz egy sík ábra, amelyet egy tengely, egyenesek és egy olyan intervallumon folytonos függvény grafikonja határol, amely ezen az intervallumon nem változtat előjelet. Helyezzük el ezt az ábrát nem kevesebb x-tengely:
Akkor egy görbe vonalú trapéz területe numerikusan egyenlő egy határozott integrállal. Minden határozott integrálnak (ami létezik) nagyon jó geometriai jelentése van. A leckében Határozott integrál. Példák megoldásokra Azt mondtam, hogy a határozott integrál egy szám. És most itt az ideje, hogy kijelentsünk egy másik hasznos tényt. Geometria szempontjából a határozott integrál a TERÜLET.
vagyis a határozott integrál (ha létezik) geometriailag megfelel egy bizonyos ábra területének. Vegyük például a határozott integrált. Az integrandus egy görbét határoz meg a tengely felett elhelyezkedő síkon (aki szeretne rajzot készíteni), maga a határozott integrál pedig számszerűen egyenlő a megfelelő görbe vonalú trapéz területével.
1. példa
Ez egy tipikus hozzárendelési nyilatkozat. A döntés első és legfontosabb pontja a rajz elkészítése. Ezenkívül a rajzot meg kell készíteni JOBB.
A rajz készítésekor a következő sorrendet javaslom: először jobb minden egyenest megszerkeszteni (ha van ilyen) és csak Akkor– parabolák, hiperbolák, egyéb függvények grafikonjai. Kifizetődőbb a függvénygrafikonok készítése pontról pontra, a pontonkénti építési technika a referenciaanyagban található Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai. Ott nagyon hasznos anyagokat is találhat leckénkhez - hogyan építsünk gyorsan egy parabolát.
Ebben a problémában a megoldás így nézhet ki.
Rajzoljuk meg a rajzot (megjegyezzük, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt):
Nem árnyalom az ívelt trapézt, itt nyilvánvaló, hogy milyen területről van szó. A megoldás így folytatódik:
A szegmensen a függvény grafikonja található tengelye felett, Ezért:
Válasz:
Akinek nehézségei vannak a határozott integrál kiszámításával és a Newton-Leibniz formula alkalmazásával 
, hivatkozzon az előadásra Határozott integrál. Példák megoldásokra.
A feladat elvégzése után mindig hasznos megnézni a rajzot, és rájönni, hogy a válasz valódi-e. Ebben az esetben „szemmel” számoljuk a rajz celláinak számát - nos, körülbelül 9 lesz, ami igaznak tűnik. Teljesen egyértelmű, hogy ha mondjuk azt a választ kaptuk: 20 négyzetegység, akkor nyilvánvaló, hogy valahol hiba történt - 20 cella nyilván nem fér bele a kérdéses ábrába, legfeljebb egy tucat. Ha a válasz nemleges, akkor a feladatot is rosszul oldották meg.
2. példa
Számítsa ki egy alakzat területét, amelyet vonalak , , és tengely határol
Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.
Mi a teendő, ha az ívelt trapéz található a tengely alatt?
3. példa
Számítsa ki az ábra vonalakkal és koordinátatengelyekkel határolt területét!
Megoldás: Készítsünk rajzot: 
Ha ívelt trapéz található a tengely alatt(vagy legalább nem magasabb adott tengely), akkor területe a következő képlettel kereshető:
Ebben az esetben: 
Figyelem! A két típusú feladatot nem szabad összekeverni:
1) Ha egyszerűen egy határozott integrált kell megoldani, geometriai jelentés nélkül, akkor az negatív lehet.
2) Ha egy figura területét egy határozott integrál segítségével kérik meg, akkor a terület mindig pozitív! Ezért jelenik meg a mínusz az imént tárgyalt képletben.
A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkon is elhelyezkedik, ezért a legegyszerűbb iskolai feladatoktól áttérünk az értelmesebb példákra.
4. példa
Keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet a vonalak határolnak.
Megoldás: Először be kell fejeznie a rajzot. Általánosságban elmondható, hogy területfeladatokban rajz készítésekor leginkább az egyenesek metszéspontjaira vagyunk kíváncsiak. Keressük meg a parabola és az egyenes metszéspontját. Ezt kétféleképpen lehet megtenni. Az első módszer analitikus. Megoldjuk az egyenletet:
Ez azt jelenti, hogy az integráció alsó határa , az integráció felső határa .
Ha lehetséges, jobb, ha nem használja ezt a módszert..
Sokkal kifizetődőbb és gyorsabb pontról pontra építeni a vonalakat, az integráció határai pedig „önmaguktól” válnak egyértelművé. A súgó részletesen tárgyalja a különböző gráfok pontonkénti szerkesztési technikáját Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai. Ennek ellenére a határértékek meghatározásának analitikus módszerét olykor még mindig alkalmazni kell, ha például elég nagy a gráf, vagy a részletes konstrukció nem tárta fel az integráció határait (lehet töredékes vagy irracionális). És egy ilyen példát is megvizsgálunk.
Térjünk vissza a feladatunkhoz: racionálisabb először egyenest konstruálni, és csak utána parabolát. Készítsük el a rajzot: 
Ismétlem, hogy pontszerű konstrukciónál az integráció határait legtöbbször „automatikusan” találjuk ki.
És most a munkaképlet: Ha van valamilyen folyamatos függvény a szegmensen nagyobb vagy egyenlő valamilyen folytonos függvényt, akkor az ábrának ezen függvények grafikonjai és a , egyenesek által határolt területe a következő képlettel kereshető: 
Itt már nem kell azon gondolkodnia, hol található az ábra - a tengely felett vagy a tengely alatt, és durván szólva, számít, hogy melyik grafikon magasabb(egy másik grafikonhoz képest), és melyik van ALUL.
A vizsgált példában nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, ezért le kell vonni
A kész megoldás így nézhet ki:
A kívánt alakzatot felül egy parabola, alul pedig egyenes vonal határolja.
A szegmensen a megfelelő képlet szerint:
Válasz:
Valójában az alsó félsíkban lévő görbe vonalú trapéz területének iskolai képlete (lásd a 3. egyszerű példát) a képlet speciális esete 
. Mivel a tengelyt az egyenlet határozza meg, és a függvény grafikonja elhelyezkedik nem magasabb akkor tengelyek 
És most néhány példa a saját megoldásodhoz
5. példa
6. példa
Keresse meg az ábra vonalak által határolt területét, .
Területszámítási feladatok határozott integrál használatával történő megoldása során néha előfordul vicces eset. A rajz helyesen készült, a számítások helyesek voltak, de figyelmetlenség miatt... rossz figura területét találtuk, pontosan így cseszte el alázatos szolgája többször is. Íme egy valós eset:
7. példa
Számítsa ki az ábra területét, amelyet a , , , vonalak határolnak.
Megoldás: Először is készítsünk egy rajzot: 
...Eh, a rajz baromság lett, de úgy tűnik, minden olvasható.
Az a figura, amelynek területét meg kell találnunk, kék színű(figyelmesen nézze meg a feltételt – mennyire korlátozott a szám!). De a gyakorlatban a figyelmetlenség miatt gyakran előfordul olyan „hiba”, hogy meg kell találni egy figura zölddel árnyékolt területét!
Ez a példa abból a szempontból is hasznos, hogy egy ábra területét két határozott integrál segítségével számítja ki. Igazán:
1) A tengely feletti szakaszon van egy egyenes grafikonja;
2) A tengely feletti szakaszon egy hiperbola grafikonja található.
Teljesen nyilvánvaló, hogy a területeket hozzá lehet (és kell) hozzáadni, ezért:
Válasz:
Térjünk át egy másik értelmes feladatra.
8. példa
Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét,
Mutassuk be az egyenleteket „iskola” formában, és készítsünk pontról pontra rajzot: 
A rajzból jól látszik, hogy a felső határunk „jó”: .
De mi az alsó határ?! Világos, hogy ez nem egész szám, de mi ez? Lehet ? De hol a garancia, hogy a rajz tökéletes pontossággal készül, könnyen kiderülhet, hogy... Vagy a gyökér. Mi van, ha rosszul építjük fel a gráfot?
Ilyen esetekben több időt kell fordítani, és analitikusan tisztázni kell az integráció határait.
Keressük meg egy egyenes és egy parabola metszéspontját.
Ehhez megoldjuk a következő egyenletet: 
,
Igazán, .
A további megoldás triviális, a lényeg, hogy ne keverjük össze a helyettesítéseket és az előjeleket, a számítások itt nem a legegyszerűbbek.
A szegmensen 
, a megfelelő képlet szerint: 
Válasz: 
Nos, a lecke zárásaként nézzünk meg két nehezebb feladatot.
9. példa
Számítsa ki az ábra területét, amelyet a vonalak határolnak,
Megoldás: Ábrázoljuk ezt az alakot a rajzon. 
A fenébe, elfelejtettem aláírni a menetrendet, és bocsánat, nem akartam újra elkészíteni a képet. Nem rajznap, egyszóval ma van a nap =)
A pontról pontra történő építkezéshez ismerni kell a szinusz megjelenését (és általában hasznos tudni az összes elemi függvény grafikonja), valamint néhány szinuszérték, ezek megtalálhatók trigonometrikus táblázat. Egyes esetekben (mint ebben az esetben is) lehet vázlatos rajzot készíteni, amelyen alapvetően helyesen kell megjeleníteni az integráció grafikonjait és határait.
Az integráció határaival itt nincs gond, ezek közvetlenül a feltételből következnek: „x” nulláról „pi”-re változik. Hozzunk egy további döntést:
A szegmensen a függvény grafikonja a tengely felett helyezkedik el, ezért:
Legyen a függvény nemnegatív és folytonos az intervallumon. Ekkor egy meghatározott integrál geometriai jelentése szerint egy görbe vonalú trapéz területe, amelyet felül ennek a függvénynek a grafikonja, alul a tengely, balról és jobbról egyenesek határolnak, és (lásd 2. ábra) képlettel számítjuk ki
9. példa. Keresse meg az ábra vonal és tengely által határolt területét.
Megoldás. Függvénygrafikon 
egy parabola, amelynek ágai lefelé irányulnak. Építsük meg (3. ábra). Az integrálás határainak meghatározásához megkeressük az egyenes (parabola) és a tengellyel (egyenes) metszéspontokat. Ehhez megoldjuk az egyenletrendszert
Kapunk: 
, ahol , ; ennélfogva, , .
Rizs. 3
Az (5) képlet segítségével megtaláljuk az ábra területét:
Ha a függvény nem pozitív és folytonos a szakaszon, akkor a görbe vonalú trapéz területét, amelyet alul ennek a függvénynek a grafikonja, felül a tengellyel, bal és jobb oldalon egyenesek és , határol a képlet
. (6)
Ha a függvény folytonos egy szakaszon, és véges számú ponton változtatja az előjelet, akkor az árnyékolt ábra területe (4. ábra) egyenlő a megfelelő határozott integrálok algebrai összegével:
Rizs. 4
10. példa. Számítsa ki az ábra területét, amelyet a függvény tengelye és grafikonja határol.
Rizs. 5
Megoldás. Készítsünk rajzot (5. ábra). A szükséges terület a területek és a területek összege. Keressük meg ezeket a területeket. Először a rendszer megoldásával határozzuk meg az integráció határait 
Kapunk , . Ennélfogva:
;
.
Így az árnyékolt ábra területe:
(nm egység).
Rizs. 6
Végül a görbe vonalú trapéz felett és alatt legyen határos a függvények grafikonjaival, amelyek a szakaszon folytonosak, és
és a bal és a jobb oldalon - egyenes vonalak és (6. ábra). Ezután a területét a képlet alapján számítjuk ki
. (8)
11. példa. Keresse meg az ábra és a vonalak által határolt területét.
Megoldás. Ez az ábra az ábrán látható. 7. Számítsuk ki a területét a (8) képlet segítségével! Az egyenletrendszer megoldása során azt találjuk, ; ennélfogva, , . A szegmensen a következők találhatók: . Ez azt jelenti, hogy a (8) képletben mint x, minőségként pedig – . Kapunk:
(nm egység).
A területek kiszámításának bonyolultabb problémáit úgy oldják meg, hogy az ábrát nem átfedő részekre osztják, és a teljes ábra területét ezen részek területének összegeként számítják ki.
Rizs. 7
12. példa. Keresse meg az ábra területét, amelyet a , , vonalak határolnak.
Megoldás. Készítsünk rajzot (8. ábra). Ez az ábra görbe vonalú trapéznek tekinthető, amelyet alulról a tengely határol, balról és jobbról - egyenesek, felülről - függvénygrafikonok és. Mivel az ábrát felülről két függvény grafikonja korlátozza, a területének kiszámításához ezt az egyenes alakzatot két részre osztjuk (1 az és az egyenesek metszéspontjának abszcissza). Ezen részek területét a (4) képlet segítségével határozzuk meg:
(nm. egység); 
(nm egység). Ennélfogva:
(nm egység).
Rizs. 8
|
Rizs. 9
Végezetül megjegyezzük, hogy ha egy görbe vonalú trapézt egyenesek és , tengely és folytonos határolnak a görbén (9. ábra), akkor területét a képlet határozza meg.
A forradalom testének térfogata
Forogjon a tengely körül egy görbe vonalú trapéz, amelyet egy szakaszon folytonos függvény grafikonja határol, egy tengely, és egyenesek (10. ábra). Ezután a képlettel számítjuk ki a kapott forgástest térfogatát
. (9)
13. példa. Számítsa ki a hiperbolával, egyenesekkel és tengellyel határolt görbe vonalú trapéz tengelye körüli elforgatásával kapott test térfogatát.
Megoldás. Készítsünk rajzot (11. ábra).
A probléma feltételeiből az következik, hogy . A (9) képletből azt kapjuk
.
Rizs. 10
Rizs. tizenegy
Tengely körüli elforgatással kapott test térfogata OU görbe vonalú trapéz, amelyet egyenesek határolnak y = cÉs y = d, tengely OUés egy szegmensen folytonos függvény grafikonja (12. ábra), amelyet a képlet határoz meg
. (10)
|
Rizs. 12
14. példa. Számítsa ki a tengely körüli elforgatással kapott test térfogatát! OU vonalakkal határolt görbe vonalú trapéz x 2 = 4nál nél, y = 4, x = 0 (13. ábra).
Megoldás. A feladat feltételeinek megfelelően megtaláljuk az integráció határait: , . A (10) képlet segítségével megkapjuk:
Rizs. 13
Síkgörbe ívhossza
Legyen a síkban az egyenlet által adott görbe, ahol , (14. ábra).
Rizs. 14
Meghatározás. Egy ív hosszán azt a határt értjük, amelyre az ebbe az ívbe írt szaggatott vonal hossza hajlik, amikor a szaggatott vonal láncszemeinek száma a végtelenbe, a legnagyobb láncszem hossza pedig nulla felé tart.
Ha egy függvény és deriváltja folytonos a szakaszon, akkor a görbe ívhosszát a képlet számítja ki
. (11)
15. példa. Számítsa ki a görbe ívhosszát azon pontok közé, amelyekre 
.
Megoldás. A problémás körülményeinkből 
. A (11) képlet segítségével megkapjuk:
4. Nem megfelelő integrálok
az integráció végtelen korlátaival
A határozott integrál fogalmának bevezetésekor azt feltételeztük, hogy a következő két feltétel teljesül:
a) az integráció határai Aés végesek;
b) az integrandus az intervallumra korlátos.
Ha e feltételek közül legalább egy nem teljesül, akkor az integrált meghívjuk nem a sajátod.
Tekintsük először a végtelen integrálási határokkal rendelkező helytelen integrálokat.
Meghatározás. Legyen tehát a függvény definiált és folytonos az intervallumon jobb oldalon pedig korlátlan (15. ábra).
Ha a nem megfelelő integrál konvergál, akkor ez a terület véges; ha a nem megfelelő integrál divergál, akkor ez a terület végtelen.
Rizs. 15
A végtelen alsó integrációs határral rendelkező helytelen integrált hasonlóképpen határozzuk meg:
. (13)
Ez az integrál akkor konvergál, ha a (13) egyenlőség jobb oldalán a határ létezik és véges; különben az integrált divergensnek mondjuk.
A két végtelen integrációs korláttal rendelkező nem megfelelő integrált a következőképpen határozzuk meg:
, (14)
ahol с az intervallum bármely pontja. Az integrál csak akkor konvergál, ha a (14) egyenlőség jobb oldalán lévő mindkét integrál konvergál.
;G) 
= [válasszon ki egy teljes négyzetet a nevezőben: ] = 
[csere:
] = 
Ez azt jelenti, hogy a nem megfelelő integrál konvergál, és értéke egyenlő .
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete