1/30

Előadás a témában: Newton-Leibniz képlet

1. dia

Dia leírása:

2. dia

Dia leírása:

3. dia

Dia leírása:

4. dia

Dia leírása:

Newton és Leibniz Fennmaradt dokumentumokból a tudománytörténészek rájöttek, hogy Newton 1665-1666-ban fedezte fel a differenciál- és integrálszámítást, de csak 1704-ben publikálta. Leibniz önállóan dolgozta ki a kalkulus változatát (1675-től), bár gondolatának kezdeti lendületét valószínűleg azok a pletykák adták, amelyek szerint Newtonnak már volt ilyen számítása, valamint az angliai tudományos beszélgetések és a Newtonnal folytatott levelezés. Newtonnal ellentétben Leibniz azonnal közzétette változatát, majd később Jacobbal és Johann Bernoullival széles körben terjesztette Európa-szerte ezt a korszakalkotó felfedezést. A kontinens legtöbb tudósának nem volt kétsége afelől, hogy Leibniz felfedezte az elemzést.

5. dia

Dia leírása:

Figyelembe véve a hazaszeretetére hivatkozó barátok rábeszélését, Newton az Elemek 2. könyvében (1687) ezt mondta: Azokban a levelekben, amelyeket körülbelül tíz évvel ezelőtt váltottam a nagyon képzett matematikussal, Leibniz úrral, közöltem vele, hogy egy módszer maximumok és minimumok meghatározására, érintők rajzolására és hasonló kérdések megoldására, amely racionális és irracionális kifejezésekre egyaránt alkalmazható, és a módszert a következő mondat betűinek átrendezésével rejtettem el: „ha adott egyenlet, amely tetszőleges számú árammennyiséget tartalmaz, találd meg a fluxusokat és vissza." A leghíresebb férfi azt válaszolta, hogy ő is támadott egy ilyen módszert, és elmesélte a módszerét, amiről kiderült, hogy alig különbözik az enyémtől, és akkor is csak a képletekben és a képletekben.

6. dia

Dia leírása:

1693-ban, amikor Newton végre közzétette elemzésének első összefoglalását, barátságos levelet váltott Leibnizzel. Newton azt mondta: Wallisunk hozzáadta az imént megjelent „algebrájához” néhány levelet, amit egy időben írtam neked. Ugyanakkor megkövetelte tőlem, hogy nyíltan előadjam azt a módszert, amelyet annak idején a betűk átrendezésével titkoltam előled; Olyan rövidre készítettem, amennyire csak tudtam. Remélem, nem írtam semmi kellemetlen dolgot számodra, de ha ez megtörtént, akkor kérlek jelezd, mert a barátok kedvesebbek számomra, mint a matematikai felfedezések.

7. dia

Dia leírása:

Miután Newton elemzésének első részletes publikációja (az Optika matematikai melléklete, 1704) megjelent Leibniz Acta eruditorum folyóiratában, egy névtelen áttekintés jelent meg Newtonra sértő utalásokkal. Az áttekintés egyértelműen jelezte, hogy az új kalkulus szerzője Leibniz volt. Leibniz maga határozottan tagadta, hogy ő írta volna a recenziót, de a történészek találtak egy kézzel írt tervezetet. Newton figyelmen kívül hagyta Leibniz dolgozatát, de tanítványai felháborodva válaszoltak, ami után páneurópai prioritásháború tört ki, „a matematika egész történetének legszégyenletesebb civakodása”.

8. dia

Dia leírása:

1713. január 31-én a Royal Society levelet kapott Leibniztől, amely egy egyeztető megfogalmazást tartalmazott: egyetértett azzal, hogy Newton önállóan, „a miénkhez hasonló általános elvek alapján” érkezett az elemzéshez. Egy dühös Newton egy nemzetközi bizottság létrehozását követelte a prioritás tisztázására. A bizottságnak nem kellett sok idő: másfél hónap elteltével, miután áttanulmányozta Newton levelezését Oldenburggal és más dokumentumokkal, egyöntetűen elismerte Newton elsőbbségét, és ez alkalommal Leibnizre nézve sértő volt. A bizottság határozatát az összes igazoló dokumentummal együtt közzétették az Egyesület eljárásában.

9. dia

Dia leírása:

Válaszul 1713 nyarától Európát elárasztották a névtelen röpiratok, amelyek Leibniz elsőbbségét védték, és azzal érveltek, hogy "Newton önmagának ruházza fel azt a megtiszteltetést, amely másé". A füzetek azzal is vádolták Newtont, hogy ellopta Hooke és Flamsteed eredményeit. Newton barátai a maguk részéről magát Leibnizt vádolták plágiummal; változatuk szerint londoni tartózkodása alatt (1676) Leibniz a Királyi Társaságnál megismerkedett Newton kiadatlan munkáival és leveleivel, majd Leibniz közzétette az ott megfogalmazott gondolatokat, és sajátjaként adta át azokat 1716 decemberében, amikor Conti apát azt mondta Newtonnak: „Leibniz meghalt – a vita véget ért

10. dia

Dia leírása:

11. dia

Dia leírása:

12. dia

Dia leírása:

Állítsunk be egy tetszőleges x € (a.b) értéket, és definiáljunk egy új függvényt x € (a.b) összes értékére, mert tudjuk, hogy ha van ʄ integrálja az (a,b)-n, akkor van. egy integrál is ʄ-tól kezdve (a ,b) , ahol Emlékezzünk vissza, hogy definíció szerint tekintjük

13. dia

Dia leírása:

14. dia

Dia leírása:

Így F folytonos az (a,b) ponton, függetlenül attól, hogy ʄnak vannak-e szakadásai vagy nincsenek; fontos, hogy ʄ integrálható legyen (a,b) Az ábrán a ʄ grafikonja látható. Az aABx változó területe egyenlő F (X) Növekménye F (X+h)-F(x) egyenlő az xBC(x+h) ábra területével, ami miatt. a ʄ határához nyilvánvalóan nullára hajlik, mint h → 0, függetlenül attól, hogy x folytonossági pont vagy ʄ folytonossági pont, például x-d pont

15. dia

Dia leírása:

16. dia

Dia leírása:

17. dia

Dia leírása:

A határértékre való átlépés h→0-ban megmutatja F deriváltjának meglétét a pontban és az egyenlőség érvényességét. Az x=a,b esetén itt a jobb-, illetve a baloldali deriváltról beszélünk. Ha az ʄ függvény folytonos az (a,b) ponton, akkor a fentiek alapján a megfelelő függvény deriváltja egyenlő tehát az F(x) függvény antideriválta ʄ (a,b)-re.

18. dia

Dia leírása:

Bebizonyítottuk, hogy az (a,b) intervallumon folytonos tetszőleges ʄ függvénynek ezen az egyenlőség által meghatározott intervallumon van antideriváltja. Ez bizonyítja, hogy létezik egy antiderivált bármely intervallumon folytonos függvényre. Legyen most az ʄ(x) függvény tetszőleges antideriváltja az (a,b) -n. Tudjuk, hogy ahol C valamilyen állandó. Feltételezve, hogy ebben az egyenlőségben x=a, és figyelembe véve, hogy F(a)=0, Ф(a)=C kapjuk tehát, de

19. dia

Dia leírása:

20. dia

Dia leírása:

Integrál Egy függvény integrálja egy sorozat összegének természetes analógja. Az elemzés főtétele szerint az integráció a differenciálás fordított művelete. Az integrál megtalálásának folyamatát integrációnak nevezzük. Az integráció működésének számos, technikai részleteiben eltérő definíciója létezik. Mindazonáltal mindegyik kompatibilis, vagyis bármely két integrációs módszer, ha egy adott függvényre alkalmazható, ugyanazt az eredményt adja.

21. dia

Dia leírása:

22. dia

Dia leírása:

Történelem Az integrál ʃ dx differenciálódás jeleit Leibniz használta először a 17. század végén. Az integrál szimbólum az S betűből - a latin szó rövidítéséből - áll. summa (összeg). Integrál az ókorban Az integráció az ókori Egyiptomra vezethető vissza, Kr.e. 1800 körül. azaz a moszkvai matematikai papirusz egy csonka piramis térfogatának képletének ismeretét mutatja be. Az integrálszámítás első ismert módszere Eudoxus (kb. Kr. e. 370) kimerítési módszere, aki úgy próbált területeket és térfogatokat találni, hogy azokat végtelen számú részre bontotta, amelyeknél a terület vagy térfogat már ismert volt. Ezt a módszert Arkhimédész vette át és fejlesztette ki, és a parabolák területének kiszámítására és a kör területének közelítésére használták. Hasonló módszereket dolgozott ki egymástól függetlenül Kínában az i.sz. 3. században Liu Hui, aki egy kör területének meghatározására használta őket. Ezt a módszert később Ju Chongshi használta egy gömb térfogatának meghatározására.

23. dia

Dia leírása:

A Newton-Leibniz formula történeti jelentősége és filozófiai jelentése A sorozat egyik legfontosabb kutatási eszköze a Newton-Leibniz formula, és a mögötte álló módszer az antiderivatív függvény meghatározására annak deriváltjának integrálásával. A képlet történelmi jelentősége a végtelenül kicsi mennyiségek használatában és a feltett kérdésre adott abszolút pontos válaszban rejlik. Jól ismertek ennek a módszernek a matematikai, fizikai és egyéb természettudományi problémák megoldására vonatkozó előnyei, például a kör négyzetre emelésének klasszikus problémája - egy adott körrel egyenlő méretű négyzet megalkotása. A filozófiai jelentés - az egészről annak végtelenül kicsi részéből való információszerzés lehetősége, amelyet már korábban említettünk - egyértelműen az orvostudományban és a biológiában valósul meg, amint azt a génsebészet sikerei a klónozásban - kölcsönösen hasonló élőlények létrehozásában - jól példázzák. A történelem továbbra is ritka kivétel a Newton-Leibniz képletet használó tudományok listáján. A történelmi forrásokból származó információk számok – képletérvek – formájában való bemutatásának lehetetlensége hagyományos. A képlet filozófiai jelentése tehát mindmáig nem teljesen filozófiai, hiszen csak a természettudományi ismeretekben valósul meg, a társadalmi és humanitárius ismereteket ilyen erőteljes eszköz nélkül hagyva. Bár ha ragaszkodunk a társadalmi és humanitárius tudás hagyományos vonásaihoz, mondhatni gyengeségeihez, akkor ez megfelel.

24. dia

Dia leírása:

De a további tudományos elemzés korunkban új, más képet ad a folyamatban lévő folyamatról. A tudományban jelenleg domináns atomi nézetek az anyagot apró részecskék halomára vagy szabályosan elhelyezkedő erőközpontokra bontják, amelyek örökké különböző mozgásban vannak. Ugyanígy az anyagon áthatoló éter is állandóan gerjesztett és hullámokban oszcillál. Mindezek az anyag és éter mozgások a legszorosabb és folyamatos kapcsolatban állnak a világtérrel, amely számunkra végtelen. Ez a konkrét képzeletünk számára hozzáférhetetlen elképzelés a fizika adataiból következik.

25. dia

Dia leírása:

Még a misztikus és mágikus mozgalmaknak is figyelembe kell venniük ezt a helyzetet, bár az idő fogalmának más értelmet adva teljesen lerombolhatják ennek a ténynek a jelentését az általános világképben. Míg tehát a kérdés az érzékszervekkel érzékelt jelenségekre vonatkozik, a filozófiának és a vallásnak az egzakt tudástól legtávolabb lévő területein is figyelembe kell venni a tudományosan bizonyított tényt, ahogyan azt is, hogy a kettő és a kettő négy. az érzékek és az értelem ismeretének alávetett terület.

26. dia

Dia leírása:

Ugyanakkor az emberiség által felhalmozott tudás mennyisége már most is elég ahhoz, hogy megtörje ezt a hagyományt. Valójában nincs szükség pitagorasztikus módon digitális megfelelést keresni a „Péter, aki Velencében jártam a Nagykövetség idején” és „Péter, nem voltam Velencében a Nagykövetség idején” állításokhoz, amikor ezek a kifejezések maguk. könnyen érvként szolgálhat George Boole logikájának algebrájában. Az egyes történeti kutatások eredménye lényegében ilyen érvek halmaza. Ezért véleményem szerint indokolt a logikai algebra érvei formájában bemutatott történeti tanulmányok integrálása függvényként történő alkalmazása, azzal a céllal, hogy ennek megfelelően megkapjuk a vizsgált történelmi esemény legvalószínűbb rekonstrukcióját. mint antiderivátum. Ezen az úton számos probléma adódik. Konkrétan: egy konkrét történeti kutatás bemutatása - a rekonstruált esemény származéka - logikai kifejezések halmaza formájában - olyan művelet, amely nyilvánvalóan összetettebb, mint például egy egyszerű könyvtári archívum elektronikus katalogizálása. A 20. század végi – 21. század eleji információs áttörés (az elembázis rendkívül magas fokú integrációja és az információs erő növekedése) azonban meglehetősen reálissá teszi egy ilyen feladat megvalósítását.

27. dia

Dia leírása:

A fentiek fényében jelen szakaszban a történeti elemzés egy matematikai elemzés a valószínűség elméletével és a logikai algebrával, a keresett antiderivatív függvény pedig egy történelmi esemény valószínűsége, amely általában véve teljesen összhangban van sőt a jelenlegi szakaszban kiegészíti a tudomány eszméjét, mert a lényeg fogalmát a funkció fogalma váltja fel – ami a modern tudomány megértésében a legfontosabb –, ezt a funkció értékelése egészíti ki. Következésképpen a képlet modern történelmi jelentősége abban rejlik, hogy megvalósítható Leibniz álma, „amikor két filozófus a végtelen viták helyett két matematikushoz hasonlóan tollat ​​fog a kezébe, és az asztalhoz ülve felváltja. az érvelés a számítással.” Minden történeti kutatásnak - következtetésnek létjogosultsága van, tükrözi az aktuális eseményt és kiegészíti az információs történeti képet. Annak a veszélye, hogy a történettudomány színtelen kifejezések és kijelentések halmazává fajul - a javasolt módszer alkalmazásának eredménye - nem nagyobb, mint annak a veszélye, hogy a zene hangok halmazává fajul, és színek halmazává festődik a jelen stádiumában. emberi fejlődés. Így látom a 17. század végén - a 18. század elején először bemutatott Newton-Leibniz formula új filozófiai jelentését.

28. dia

Dia leírása:

Valójában a képletet, tekintettel a matematikai szimbólumok társadalmi és humanitárius tudáshordozók általi észlelésének sajátosságára, amely e hordozók pánikszerű félelmében fejeződik ki az ilyen jelek bármilyen ábrázolásától, verbális formában mutatjuk be: a határozott integrált. egy függvény deriváltja ennek a függvénynek az antideriváltja. A kör négyzetre emelésének problémájának adott példája és a Descartes-koordináta-rendszerben tetszőleges görbe alatti terület kiszámításának szokásos oktatási és matematikai példája közötti formai különbség természetesen nem változtat a lényegen.

29. dia

Dia leírása:

FELHASZNÁLT IRODALOM: 1. Brodsky I.A. Négy kötetben működik. T.3. Szentpétervár, 1994. 2. Vernadsky V.I. Bioszféra és nooszféra. M., 2003. 3. Wundt, Wilhelm. Bevezetés a filozófiába. M., 2001. 4. Gaidenko P.P. A tudomány fogalmának alakulása. M., 1980. 5. Descartes, Rene. Elmélkedések az eredeti filozófiáról. Szentpétervár, 1995. 6. Karpov G.M. I. Péter Kalinyingrádi Nagykövetsége, 1998. 7. Kunzman P., Burkard F.-P., Widman F. Filozófia: dtv-Atlas. M., 2002. 8. Malakhovsky V.S. Válogatott fejezetek a matematika történetéből. Kalinyingrád, 2002. 9. Nathanson I.P. Felső matematika rövid kurzusa. Szentpétervár, 2001. 10. Engels F. Anti-Dühring. M., 1988. 11. Sheremetevsky V.P. Esszék a matematika történetéről. M., 2004 Internetes források http://ru.wikipedia.org

30. dia

Dia leírása:

Newton Leibniz német filozófus, 1646. július 1-jén született. A filozófia mellett az egzakt tudományok is lenyűgözték. Logikából, matematikából, mechanikából, fizikából, történelemből, diplomáciából, mechanikából jeleskedett. Newtont feltalálónak és nyelvésznek is tartják. Ő volt a berlini Tudományos Akadémia alapítója és első vezetője. Leibniz a Francia Tudományos Akadémián külföldi tagként büszke helyet kapott.
Leibniz legfontosabb tudományos eredményei a következők:
Matematikai elemzés elkészítése. Differenciál- és integrálszámítás, amelyet infinitezimálisokra alapozott.
Segítségével lerakták a matematikai logika alapjait.
A kombinatorika tudománya.
Kettős számrendszer 0 és 1 számokkal. Ma már minden modern technológia ezekre épül.
A pszichológia számára nagyon fontos hozzájárulás volt a tudattalan kis észlelések fogalma. Emellett megjelent a tudattalan mentális élet tana.
Meghatározta az energiamegmaradás törvényét, és bevezette az élőerő fogalmát.

Newtont a 17. századi filozófia véglegesítőjének tartják. Ő lett az új rendszer alapítója, és a monadológia nevet adta neki. A filozófia terén elért eredmények mellett képes volt azonosítani a szintézis és az elemzés tanait. Leibniz az elégséges ész törvénye formájában fogalmazta meg. Mint megjegyezte, mindez nemcsak gondolkodáson és logikán alapult, hanem léten és ontológián is. A filozófus nevéhez fűződik az azonosságtörvény modern megfogalmazásának szerzője. Ő hozta el a világnak a „modell” kifejezés megértését.
Munkáiban Leibniz az emberi agy gépi modellezési képességeinek sokféleségéről írt. Mint kiderült, számos funkciója van. Ez a tudós volt az, aki először ismertette a világgal azt az elképzelést, hogy bizonyos típusú energiák átalakulhatnak másokká. Ezek a tanulmányok nagyban hozzájárultak a fizikához. Természetesen élete legfontosabb és leghíresebb műve a képlet volt. Így nevezték Newton-Leibniz képletnek.
Newton Leibniz képlet

Adjunk meg valamilyen f folytonos függvényt az Ox tengely egy bizonyos szakaszán. Tegyük fel, hogy ez a függvény nem változtatja az előjelét a teljes szegmensben.
Ha f egy folytonos és nem negatív függvény egy bizonyos szakaszon, és F ennek valamilyen antideriváltja ezen a szegmensen, akkor a görbe vonalú trapéz S területe megegyezik az antiderivált növekményével ezen a szakaszon.
Ez a tétel a következőképpen írható fel:
S = F(b) – F(a)
Az f(x) függvény integrálja a-ból b-be egyenlő lesz S-vel. Itt és a továbbiakban, valamilyen f(x) függvény határozott integráljának jelölésére, az a-tól b-ig terjedő integráció határaival a következőt használjuk: az (a;b)∫f(x) jelölést követően. Az alábbiakban egy példa látható, hogyan fog kinézni.

Ez azt jelenti, hogy egyenlőségjelet tehetünk a két eredmény között. A következőt kapjuk: (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a), feltéve, hogy F az f függvény antideriváltja. Ezt a képletet Newton–Leibniz képletnek nevezik. Ez igaz lesz bármely f folytonos függvényre egy intervallumon.
Az integrálok kiszámításához a Newton-Leibniz képletet használják. Nézzünk néhány példát:
1. példa: számítsuk ki az integrált. Keresse meg az x2 integrand függvény antideriváltját. Az egyik antiderivált az (x3)/3 függvény lesz.
Most a Newton–Leibniz képletet használjuk:
(-1;2)∫x2dx = (23)/3 – ((-1)3)/3 = 3
Válasz: (-1;2)∫x2dx = 3.
2. példa: számítsuk ki a (0;pi)∫sin(x)dx integrált.
Keresse meg a sin(x) integrand függvény antideriváltját. Az egyik antiderivált a –cos(x) függvény lesz. Használjuk a Newton-Leibniz képletet:
(0;pi)∫cos(x)dx = -cos(pi) + cos(0) = 2.
Válasz: (0;pi)∫sin(x)dx=2
Néha a rögzítés egyszerűsége és kényelme érdekében az F függvény növekményét a szakaszon (F(b)-F(a)) a következőképpen írjuk:

Ezzel a jelöléssel a növekedéshez a Newton-Leibniz képlet a következőképpen írható át:

Amint fentebb megjegyeztük, ez csak egy rövidítés a felvétel megkönnyítése érdekében, ez a felvétel semmi mást nem érint. Ez a jelölés és az (a;b)∫f(x)dx = F(b) - F(a) képlet egyenértékűek lesznek.

Ezt a képletet még mindig számos tudós és informatikus használja. Segítségével Leibniz számos tudomány fejlődését hozta.

Határozott integrállal folytonos függvényből f(x) az utolsó szegmensben [ a, b] (ahol ) egy részének növekményének nevezzük antiderivatív ezen a szegmensen. (Általában a megértés sokkal könnyebb lesz, ha megismétli a témát határozatlan integrál) Ebben az esetben a jelölést használjuk

Amint az az alábbi grafikonokon látható (az antiderivatív függvény növekedését jelöli), egy határozott integrál lehet pozitív vagy negatív szám(Az antiderivatív felső határértéke és alsó határértéke közötti különbségként számítják ki, azaz pl. F(b) - F(a)).

Számok aÉs b az integráció alsó és felső határának, illetve a szegmens [ a, b] – az integráció szegmense.

Így ha F(x) – valamilyen származékellenes funkció a f(x), akkor a definíció szerint

(38)

Az egyenlőséget (38) nevezzük Newton-Leibniz képlet . Különbség F(b) – F(a) röviden a következőképpen van leírva:

Ezért a Newton-Leibniz képletet így írjuk:

(39)

Bizonyítsuk be, hogy a határozott integrál nem függ attól, hogy az integrandus melyik antideriváltját vesszük számítása során. Hadd F(x) és F( X) az integrandus tetszőleges antideriváltjai. Mivel ezek ugyanazon funkciójú antideriválták, egy állandó taggal különböznek egymástól: Ф( X) = F(x) + C. azért

Ez megállapítja, hogy a szegmensen [ a, b] a függvény összes antiderivált növekménye f(x) mérkőzés.

Így egy határozott integrál kiszámításához meg kell találni az integrandus bármely antideriváltját, azaz. Először meg kell találnia a határozatlan integrált. Állandó VEL kizárják a későbbi számításokból. Ezután a Newton-Leibniz képletet alkalmazzuk: a felső határértéket behelyettesítjük az antiderivatív függvénybe b , tovább - az alsó határ értéke a és kiszámolják a különbséget F(b) - F(a) . A kapott szám egy határozott integrál lesz..

at a = bértelemszerűen elfogadott

1. példa

Megoldás. Először keressük meg a határozatlan integrált:

A Newton-Leibniz képlet alkalmazása az antiderivátumra

(at VEL= 0), kapjuk

Határozott integrál számításakor azonban jobb, ha nem külön keressük meg az antideriváltat, hanem azonnal írjuk az integrált a (39) alakba.

2. példa Határozott integrál kiszámítása

Megoldás. Képlet segítségével

A határozott integrál tulajdonságai

2. tétel.A határozott integrál értéke nem függ az integrációs változó megnevezésétől, azaz

(40)

Hadd F(x) – antiderivatív for f(x). Mert f(t) az antiderivált ugyanaz a funkciója F(t), amelyben a független változó csak másképp van megjelölve. Ezért,

A (39) képlet alapján az utolsó egyenlőség az integrálok egyenlőségét jelenti

3. tétel.A konstans tényező kivehető a határozott integrál előjeléből, azaz

(41)

4. tétel.Véges számú függvény algebrai összegének határozott integrálja egyenlő ezen függvények határozott integráljainak algebrai összegével, azaz

(42)

5. tétel.Ha az integráció egy szegmense részekre van osztva, akkor a teljes szegmensre vonatkozó határozott integrál egyenlő a részein lévő határozott integrálok összegével, azaz Ha

(43)

6. tétel.Az integrálási határok átrendezésekor a határozott integrál abszolút értéke nem változik, csak az előjele változik, azaz

(44)

7. tétel(átlagérték tétel). Egy határozott integrál egyenlő az integrációs szegmens hosszának és az integrandus értékének szorzatával egy bizonyos ponton belül, azaz

(45)

8. tétel.Ha az integráció felső határa nagyobb, mint az alsó, és az integrandus nem negatív (pozitív), akkor a határozott integrál is nem negatív (pozitív), azaz. Ha

9. tétel.Ha az integráció felső határa nagyobb, mint az alsó és a függvények és folytonosak, akkor az egyenlőtlenség

terminusonként integrálható, azaz

(46)

A határozott integrál tulajdonságai lehetővé teszik az integrálok közvetlen számításának egyszerűsítését.

5. példa Határozott integrál kiszámítása

A 4. és 3. tétel felhasználásával, valamint az antiderivatívák megtalálásakor - táblázatos integrálok(7) és (6), kapjuk

Határozott integrál változó felső határértékkel

Hadd f(x) – folyamatos a szegmensen [ a, b] függvény, és F(x) az antideriváltja. Tekintsük a határozott integrált

(47)

és azon keresztül t az integrációs változót úgy jelöljük ki, hogy ne keverjük össze a felső korláttal. Változáskor X a határozott integrál (47) is változik, azaz. az integráció felső határának függvénye X, amivel jelöljük F(X), azaz

(48)

Bizonyítsuk be, hogy a függvény F(X) egy antiderivatív a f(x) = f(t). Valóban, megkülönböztetés F(X), megkapjuk

mert F(x) – antiderivatív for f(x), A F(a) egy állandó érték.

Funkció F(X) – a végtelen számú antiderivatív egyike a f(x), nevezetesen azt, amelyik x = a nullára megy. Ezt az állítást kapjuk, ha a (48) egyenlőségbe tesszük x = aés használja az előző bekezdés 1. tételét.

Határozott integrálok számítása részenkénti integrálással és változó változtatási módszerrel

ahol definíció szerint F(x) – antiderivatív for f(x). Ha megváltoztatjuk a változót az integrandusban

akkor a (16) képletnek megfelelően felírhatjuk

Ebben a kifejezésben

antiderivatív funkciója számára

Valójában a származéka szerint összetett függvények differenciálási szabálya, egyenlő

Legyen α és β a változó értéke t, amelyhez a függvény

ennek megfelelően értékeket vesz fel aÉs b, azaz

De a Newton-Leibniz képlet szerint a különbség F(b) – F(a) Van

Newton-Leibniz képlet

Az elemzés fő tétele vagy Newton – Leibniz képletösszefüggést ad két művelet között: egy határozott integrál vétele és az antiderivált kiszámítása között

Formuláció

Tekintsük a függvény integrálját y = f(x) állandó számon belül a számig x, amelyet változónak fogunk tekinteni. Írjuk fel az integrált a következő formában:

Az ilyen típusú integrált változó felső határú integrálnak nevezzük. Az átlagérték tételt egy határozott integrálban használva könnyen kimutatható, hogy ez a függvény folytonos és differenciálható. És egy adott függvény deriváltja az x pontban egyenlő magával az integrálható függvénnyel. Ebből az következik, hogy minden folytonos függvénynek van egy kvadratúra alakú antideriváltája: . És mivel az f függvény antiderivált függvényeinek osztálya egy konstanssal különbözik, könnyen kimutatható, hogy: az f függvény határozott integrálja egyenlő a b és a pontokban lévő antideriválták értékeinek különbségével.

Wikimédia Alapítvány.

• 2010.
• Teljes valószínűségi képlet

Rayleigh-Jeans formula

Nézze meg, mi a "Newton-Leibniz képlet" más szótárakban: Newton-Leibniz képlet

- Az analízis főtétele vagy a Newton-féle Leibniz-képlet megadja az összefüggést két művelet között: egy határozott integrált vesszük és az antideriváltat számítjuk. .. ... Wikipédia Véges növekmény képlete

- Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Lagrange tételét. A véges növekmény képlete vagy a Lagrange-féle átlagérték tétel kimondja, hogy ha egy függvény folytonos egy intervallumon és... Wikipédia Stokes képlet

- Stokes tétele a differenciálgeometria és a differenciálformák integrálására vonatkozó matematikai elemzés egyik fő tétele, amely több elemzési tételt általánosít. J. G. Stokesről nevezték el. Tartalom 1 Általános megfogalmazás 2… … Wikipédia NEWTON – LEIBNITZ FORMULA - egy képlet, amely egy adott f függvény meghatározott integráljának értékét fejezi ki egy szegmens felett az I. Newton és G után elnevezett antiderivatív F szegmens végei közötti értékek különbsége formájában Leibniz, mert a szabály……

Matematikai Enciklopédia NEWTON-LEIBNITZ FORMULA - az integrálszámítás alapképlete. Kifejezi az f(x) függvény meghatározott integrálja és bármely F(x) antideriváltja közötti kapcsolatot...

Nagy enciklopédikus szótár- Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd a Leibnizről elnevezett objektumok listája. Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd a Leibniz-képletet (jelentések). A Leibniz-képlet az integrálszámításban a szabály... ... Wikipédia

Newton-Leibniz képlet- Newton Leibniz képlet, az integrálszámítás alapképlete. Kifejezi az f(x) függvény határozott integrálja és bármely F(x) antideriváltja közötti kapcsolatot. . * * * NEWTON LEIBNITZ FORMULA NEWTON LEIBNITZ FORMULA, alapképlet... ... Enciklopédiai szótár

Téglalap képlet

Trapéz képlet- Határozott integrál, mint egy ábra területe Numerikus integráció (történelmi név: kvadratúra) egy határozott integrál értékének kiszámítása (általában közelítő), azon alapul, hogy az integrál értéke numerikusan egyenlő a területtel. ... Wikipédia

Newton tétele- A Newton-féle Leibniz-képlet vagy az elemzés alaptétele megadja a kapcsolatot két művelet között: egy határozott integrál felvétele és az antiderivált kiszámítása. Ha egy szegmensen folytonos, és ezen a szegmensen annak bármely antideriváltja... Wikipédia