8.1. táblázat A paralelogramma bizonyításának definíciója és jellemzői. én

Parallelogram koncepció

1. definíció

Paralelogramma egy négyszög, amelyben ellentétes oldalak egymással párhuzamosan (1. ábra).

1. ábra.

A paralelogrammának kettő van főbb tulajdonságait. Tekintsük őket bizonyíték nélkül.

1. tulajdonság: A paralelogramma szemközti oldalai és szögei egyenlőek.

2. tulajdonság: A paralelogrammában megrajzolt átlókat metszéspontjuk kettévágja.

A paralelogramma jelei

Tekintsük a paralelogramma három jellemzőjét, és mutassuk be ezeket tételek formájában.

1. tétel

Ha egy négyszög két oldala egyenlő egymással és párhuzamos, akkor ez a négyszög paralelogramma lesz.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ négyszöget. Amelyben $AB||CD$ és $AB=CD$ Rajzoljunk bele egy $AC$ átlót (2. ábra).

2. ábra.

Tekintsük az $AB$ és $CD$ párhuzamos egyeneseket és a szekánsukat $AC$. Majd

\[\angle CAB=\angle DCA\]

mint a keresztbe húzott sarkok.

A háromszögek egyenlőségének $I$ kritériuma szerint

hiszen $AC$ az övék közös oldal, és $AB=CD$ feltétel szerint. Eszközök

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Tekintsük az $AD$ és $CB$ egyeneseket és a szekánsukat $AC$ a fekvő szögek utolsó egyenlőségével megkapjuk, hogy $AD||CB$.) Következésképpen a $1$ definíció szerint ez a négyszög egy paralelogramma.

A tétel bizonyítást nyert.

2. tétel

Ha egy négyszög szemközti oldalai egyenlőek egymással, akkor paralelogramma.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ négyszöget. Amelyben $AD=BC$ és $AB=CD$. Rajzoljunk bele egy $AC$ átlót (3. ábra).

3. ábra.

Mivel $AD=BC$, $AB=CD$ és $AC$ közös oldal, ezért a háromszögek egyenlőségének $III$ kritériuma szerint,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Tekintsük az $AD$ és a $CB$ egyeneseket és a szekánsukat a $AC$ fekvési szögek utolsó egyenlőségével, amit megkapunk, hogy $AD||CB$. Ezért a $1$ definíció szerint ez a négyszög paralelogramma.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Tekintsük az $AB$ és $CD$ egyeneseket és azok $AC$ szekánsát a fekvő szögek utolsó egyenlőségével, amit $AB||CD$ kapunk. Ezért az 1. definíció szerint ez a négyszög paralelogramma.

A tétel bizonyítást nyert.

3. tétel

Ha a négyszögbe rajzolt átlókat metszéspontjuk alapján két egyenlő részre osztjuk, akkor ez a négyszög paralelogramma.

Bizonyíték.

Adjunk meg egy $ABCD$ négyszöget. Rajzoljunk bele $AC$ és $BD$ átlót. A $O$ pontban metszik egymást (4. ábra).

4. ábra.

Mivel feltétel szerint $BO=OD,\AO=OC$, és a $\angle COB=\angle DOA$ szögek függőlegesek, ezért a háromszögek egyenlőségének $I$ kritériuma szerint,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Tekintsük a $BC$ és $AD$ egyeneseket és a $BD$ szekánsukat a fekvőszögek utolsó egyenlőségével, és megkapjuk, hogy $BC||AD$; Szintén $BC=AD$. Ezért a $1$ tétel szerint ez a négyszög paralelogramma.

Annak megállapításához, hogy vajon ezt a figurát paralelogramma számos jellemzővel rendelkezik. Nézzük meg a paralelogramma három fő jellemzőjét.

1 paralelogramma jel

Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor ez a négyszög paralelogramma lesz.

Bizonyíték:

Tekintsük az ABCD négyszöget. Legyen az AB és a CD oldal párhuzamos. És legyen AB=CD. Rajzoljuk meg benne a BD átlót. Az adott négyszöget két részre osztja egyenlő háromszög: ABD és CBD.

Ezek a háromszögek két oldalon egyenlők egymással és a köztük lévő szöggel (BD a közös oldal, AB = feltétel szerint CD, szög1 = szög2, mint az AB és CD párhuzamos egyenesek BD keresztirányú szögei.), és ezért a szög3 = szög4.

És ezek a szögek keresztben fekszenek, amikor a BC és AD egyenesek metszik egymást a BD szekánssal. Ebből következik, hogy BC és AD párhuzamosak egymással. Megvan, hogy az ABCD négyszögben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak, ezért az ABCD négyszög paralelogramma.

2. párhuzamos jel

Ha egy négyszögben a szemközti oldalak páronként egyenlőek, akkor ez a négyszög paralelogramma lesz.

Bizonyíték:

Tekintsük az ABCD négyszöget. Rajzoljuk meg benne a BD átlót. Ezt a négyszöget két egyenlő háromszögre osztja: ABD és CBD.

Ez a két háromszög három oldalán egyenlő lesz egymással (BD a közös oldal, AB = CD és BC = AD feltétel szerint). Ebből arra következtethetünk, hogy szög1 = szög2. Ebből következik, hogy AB párhuzamos CD-vel. És mivel AB = CD és AB párhuzamos CD-vel, akkor a paralelogramma első kritériuma szerint az ABCD négyszög paralelogramma lesz.

3 paralelogramma jel

Ha egy négyszög átlói metszik egymást, és felezi őket a metszéspont, akkor ez a négyszög paralelogramma lesz.

Tekintsük az ABCD négyszöget. Rajzoljunk bele két AC és BD átlót, amelyek az O pontban metszik egymást, és ez a pont felezi őket.

Az AOB és a COD háromszögek egyenlőek lesznek egymással, a háromszögek egyenlőségének első jele szerint. (AO = OC, BO = OD feltétel szerint, szög AOB = szög COD as függőleges szögek.) Ezért AB = CD és 1 szög = 2. Az 1 és 2 szögek egyenlőségéből azt kapjuk, hogy AB párhuzamos CD-vel. Ekkor azt kapjuk, hogy az ABCD négyszögben az AB oldalak egyenlők CD-vel és párhuzamosak, és a paralelogramma első kritériuma szerint az ABCD négyszög paralelogramma lesz.

Vissza Előre

Figyelem! A dia előnézetei csak tájékoztató jellegűek, és előfordulhat, hogy nem képviselik a prezentáció összes funkcióját. Ha érdekel ezt a munkát, töltse le a teljes verziót.

Az óra célja: mérlegelje a paralelogramma jellemzőit, és rögzítse a megszerzett ismereteket a problémamegoldás során.

Feladatok:

• nevelési: a paralelogramma-jellemzők alkalmazási képességének fejlesztése feladatok megoldására;
• fejlesztése: fejlesztés logikus gondolkodás, figyelem, készségek önálló munkavégzés, önértékelési készségek;
• nevelési: a téma iránti érdeklődés, csapatmunka képesség, kommunikációs kultúra kialakítása.

Az óra típusa: új tananyag elsajátítása, elsődleges konszolidáció.

Felszerelés: interaktív tábla, projektor, feladatkártyák, bemutató.

Az óra előrehaladása

1. Szervezeti mozzanat.

U: Jó napot srácok! Ma az órán ismét a paralelogrammákról fogunk beszélni. Sok feladatot kell megoldanunk, tételeket kell bizonyítanunk, és megtanulnunk azok alkalmazását a feladatmegoldás során. Leckénk mottója Le Carbusier szavai lesz: „Minden körülöttünk geometria.”

2. A tanulók tudásának frissítése.

Elméleti felmérés

Adjon néhány tanulónak egyéni feladatokat kártyákon a témában paralelogramma tulajdonságai(a prezentációs dián mindenki önállóan választ feladatokat egy hiperhivatkozáson keresztül, az egérmutatót az ábrára mutatva, de nem a számra), minden válaszadót külön-külön hallgasson meg.

A többivel - bizonyítsa be a paralelogramma további tulajdonságait. (Először szóban beszélje meg a bizonyítást, majd ellenőrizze az interaktív táblával).

1°. A paralelogramma szögfelezője egyenlő szárú háromszöget vág le belőle.

2°. A paralelogramma szomszédos szögeinek felezői merőlegesek, a felezők pedig ellentétes szögek párhuzamosak vagy ugyanazon az egyenesen fekszenek.

Az előkészítés után hallgassa meg a paralelogramma további tulajdonságainak bizonyítékait.

ABCD - párhuzamos,

Az AE a BAD szög felezője.

Bizonyítsuk be: ABE egyenlő szárú.

Bizonyíték:

Mivel az ABCD paralelogramma, ezért BC || AD, majd EAD szög = BEA szög, amely keresztben fekszik a BC és AD párhuzamos egyenesekkel és a szekáns AE-vel. Az AE a BAD szög felezőpontja, ami azt jelenti, hogy BAE = EAD szög, tehát BAE szög = BEA szög.

Az ABE-ben a BAE szög = BEA szög, ami azt jelenti, hogy az ABE egyenlő szárú az AE alappal.

Irányadó kérdések:

Fogalmazd meg egy egyenlő szárú háromszög jelét!

Mely szögek lehetnek egyenlők a BAE-ben? Miért?

ABCD - párhuzamos,

BE a CBA szög felezője,

Az AE a BAD szög felezője.

Irányadó kérdések:

Mikor lesznek párhuzamosak az AE és CK egyenesek?

A szögek BEA és<3? Почему?

Milyen esetben esik egybe az AE és a CK?

Felkészülés új anyag tanulmányozására

Frontális munka az osztállyal (szóban).

• Mit jelentenek a „tulajdonságok” és a „karakter” szavak?
• Mondjon példákat.
• Mi a fordított tétel?

Mindig igaz ennek az állításnak az ellenkezője?

Mondjon példákat.

3. Új anyag magyarázata.

• U.: Minden tárgynak megvannak a maga tulajdonságai és jellemzői. Kérem, mondja el, miben különböznek a tulajdonságok a jelektől.
• Próbáljuk megérteni ezt a kérdést egy egyszerű példa segítségével. Az adott tárgy ősz. Nevezze meg tulajdonságait: Jellemzői:

Milyen állítások tulajdonságai és attribútumai vannak egy objektumnak egymáshoz viszonyítva? (válasz: fordított)

Milyen tulajdonságokat tanulmányoztunk már a geometria tanfolyamon?

Mondja el őket. (nevezzünk meg néhányat)

Lehetséges igaz fordított állítást alkotni bármely tulajdonságra? (különböző válaszok).

Ellenőrizzük ezt a következő tulajdonságoknál:

Következtetés: Megalkotható-e igaz fordított állítás bármely tulajdonságra? (nem, senkinek sem)

Most térjünk vissza négyszögünkhöz, emlékezzünk a tulajdonságaira, és fogalmazzuk meg azok fordított állításait, azaz:.. (válasz - paralelogramma jellemzői). Tehát a mai óra témája: „A paralelogramma jelei”.

Tehát nevezze meg a paralelogramma tulajdonságait.

Fogalmazzon olyan állításokat, amelyek inverzek a tulajdonságokkal. (a tanulók jeleket fogalmaznak meg, a tanár kijavítja és újra megfogalmazza)

Bizonyítsuk be ezeket a jeleket. Az első jel részletesen szól, a második rövid, a harmadik pedig egyedül van otthon.

4. A tanult anyag konszolidálása.

Munkafüzetekben: oldja meg a 11. számú feladatot az interaktív táblán, kevésbé felkészült tanulót hívjon a táblához.

A 379. számú feladat megoldása (írja fel a megoldást az interaktív táblára). Az ABCD paralelogramma B és D csúcsaiból, amelyekben AB BC és A hegyes, BC és DM merőlegesek húzódnak az AC egyenesre. Bizonyítsuk be, hogy a BMDK négyszög paralelogramma. A geometriában paralelogrammaként ismert vonalszakaszokból álló, minden párja párhuzamos.

Hogy néz ki egy klasszikus paralelogramma, azt egy ABCD négyszög ábrázolja. Az oldalakat alapoknak (AB, BC, CD és AD), bármely csúcsból a vele ellentétes oldalra húzott merőlegest magasságnak (BE és BF), az AC és BD egyeneseket átlónak nevezzük.

Figyelem! A négyzet, a rombusz és a téglalap a paralelogramma speciális esetei.

Oldalak és szögek: a kapcsolat jellemzői

Összességében a legfontosabb tulajdonságok, maga a megnevezés határozza meg, azokat a tétel bizonyítja. Ezek a jellemzők a következők:

1. A szemközti oldalak páronként azonosak.
2. Az egymással szemközti szögek páronként egyenlőek.

Bizonyítás: Tekintsük ∆ABC és ∆ADC, amelyeket úgy kapunk, hogy az ABCD négyszöget elosztjuk az AC egyenessel. ∠BCA=∠CAD és ∠BAC=∠ACD, mivel az AC közös náluk (függőleges szög BC||AD és AB||CD esetén). Ebből következik: ∆ABC = ∆ADC (a háromszögek egyenlőségének második jele).

Az AB és BC szakaszok ∆ABC-ben páronként megfelelnek az ∆ADC CD és AD egyeneseinek, ami azt jelenti, hogy azonosak: AB = CD, BC = AD. Így ∠B ∠D-nek felel meg, és egyenlők. Mivel ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, amelyek szintén páronként azonosak, akkor ∠A = ∠C. Az ingatlan bizonyított.

Egy ábra átlóinak jellemzői

Fő jellemzője a paralelogramma ezen egyenesei közül: a metszéspont kettéosztja őket.

Bizonyítás: Legyen az ABCD ábra AC és BD átlóinak metszéspontja. Két arányos háromszöget alkotnak - ∆ABE és ∆CDE.

AB=CD, mivel ezek ellentétek. A vonalak és a szekáns szerint ∠ABE = ∠CDE és ∠BAE = ∠DCE.

Az egyenlőség második kritériuma szerint ∆ABE = ∆CDE. Ez azt jelenti, hogy az ∆ABE és ∆CDE elemek: AE = CE, BE = DE és egyben arányos részei AC és BD. Az ingatlan bizonyított.

A szomszédos sarkok jellemzői

A szomszédos oldalak szögeinek összege 180°, mivel párhuzamos egyenesek és keresztirányú vonalak ugyanazon az oldalán fekszenek. ABCD négyszög esetén:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

A felező tulajdonságai:

1. , egyik oldalra süllyesztve, merőlegesek;
2. az ellentétes csúcsoknak párhuzamos felezői vannak;
3. a felezővonal rajzolásával kapott háromszög egyenlő szárú lesz.

A paralelogramma jellemzőinek meghatározása a tétel segítségével

Ennek az ábrának a jellemzői a fő tételből következnek, amely a következőket mondja ki: a négyszöget paralelogrammának tekintjük abban az esetben, ha átlói metszik egymást, és ez a pont egyenlő szegmensekre osztja őket.

Bizonyítás: az ABCD négyszög AC és BD egyenesei metszi egymást i.e. Mivel ∠AED = ∠BEC, és AE+CE=AC BE+DE=BD, akkor ∆AED = ∆BEC (a háromszögek egyenlőségének első kritériuma alapján). Vagyis ∠EAD = ∠ECB. Ezek egyben az AD és BC vonalak AC szekánsának belső keresztszögei is. Így a párhuzamosság definíciója szerint - AD || i.e. A BC és CD sorok hasonló tulajdonságát is levezetjük. A tétel bizonyítást nyert.

Egy ábra területének kiszámítása

Ennek az ábrának a területe több módszerrel is megtalálható az egyik legegyszerűbb: megszorozzuk a magasságot és a bázist, amelyhez húzzuk.

Bizonyítás: rajzoljunk BE és CF merőlegeseket a B és C csúcsokból. ∆ABE és ∆DCF egyenlőek, mivel AB = CD és BE = CF. Az ABCD mérete megegyezik az EBCF téglalappal, mivel arányos számokból állnak: S ABE és S EBCD, valamint S DCF és S EBCD. Ebből következik, hogy ennek a geometriai alaknak a területe megegyezik egy téglalapéval:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

A paralelogramma területének általános képletének meghatározásához jelöljük a magasságot mint hb, és az oldal - b. Illetőleg:

A terület megtalálásának egyéb módjai

Területszámítások a paralelogramma oldalain és a szögön keresztül, amelyet alkotnak, a második ismert módszer.

,

Spr-ma - terület;

a és b az oldalai

α az a és b szakaszok közötti szög.

Ez a módszer gyakorlatilag az elsőn alapul, de abban az esetben, ha nem ismert. mindig levág egy derékszögű háromszöget, amelynek paramétereit trigonometrikus azonosságok határozzák meg, azaz. A relációt átalakítva azt kapjuk, hogy . Az első módszer egyenletében a magasságot ezzel a szorzattal helyettesítjük, és bizonyítjuk ennek a képletnek az érvényességét.

A paralelogramma átlóin és a szögön keresztül, amelyeket kereszteződésükkor hoznak létre, a területet is megtalálhatja.

Bizonyítás: AC és BD metszik egymást négy háromszöget alkotva: ABE, BEC, CDE és AED. Összegük egyenlő ennek a négyszögnek a területével.

Mindegyik ∆ területe megtalálható a kifejezéssel, ahol a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Mivel , a számítások egyetlen szinuszértéket használnak. Azaz . Mivel AE+CE=AC=d 1 és BE+DE=BD=d 2, a területképlet a következőre redukálódik:

.

Alkalmazás vektoralgebrában

E négyszög alkotórészeinek jellemzői a vektoralgebrában is alkalmazásra találtak, nevezetesen két vektor összeadása. A paralelogramma szabály azt mondja ki ha adott vektorokÉsNemkollineárisak, akkor összegük egyenlő lesz ennek az ábrának az átlójával, amelynek alapjai ezeknek a vektoroknak felelnek meg.

Bizonyítás: tetszőlegesen választott kezdetből - i.e. - vektorokat és . Ezután megszerkesztünk egy OASV paralelogrammát, ahol az OA és OB szakaszok oldalak. Így az operációs rendszer a vektoron vagy az összegen fekszik.

Képletek a paralelogramma paramétereinek kiszámításához

A személyazonosságokat a következő feltételekkel adják meg:

1. a és b, α - oldalak és a köztük lévő szög;
2. d 1 és d 2, γ - átlók és metszéspontjuk;
3. h a és h b - a és b oldalra süllyesztett magasságok;

Paraméter	Képlet
Az oldalak megtalálása
az átlók és a köztük lévő szög koszinusza mentén
átlók és oldalak mentén
a magasságon és a szemközti csúcson keresztül
Az átlók hosszának meghatározása
az oldalakon és a köztük lévő csúcs nagysága

Ezt a leckét a paralelogramma harmadik jelének és annak alkalmazásának szenteljük. Az előző leckében a paralelogramma első és második jellemzőit tanulmányoztuk, amelyek a paralelogramma oldalainak és szögeinek tulajdonságain alapultak. A harmadik jellemző egy paralelogramma átlóinak tulajdonságán alapul. Mégpedig arra, hogy a paralelogramma metszéspontjában lévő átlói ketté vannak osztva. A paralelogramma jelei nagyon fontosak számos probléma megoldása során, mivel lehetővé teszik annak bizonyítását, hogy a négyszög paralelogramma, és ezért felhasználhatja tulajdonságait.

Téma: Négyszögek

Lecke: A paralelogramma harmadik jele

Hadd emlékeztessük erre paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. Azaz ha paralelogramma, akkor (lásd 1. ábra).

Rizs. 1

A paralelogrammának számos tulajdonsága van: a szemközti szögek egyenlőek (), a szemközti oldalak egyenlőek ( ). Ezenkívül a paralelogramma metszéspontjában lévő átlóit felezik, a paralelogramma bármely oldalával szomszédos szögek összege egyenlő stb.

De ahhoz, hogy ezeket a tulajdonságokat használni lehessen, teljesen biztosnak kell lennie abban, hogy a kérdéses négyszög paralelogramma. Ezért vannak a paralelogramma jelei, vagyis azok a tények, amelyekből egyértelműen megállapítható, hogy a négyszög paralelogramma. Az előző leckében már két jelet néztünk meg. Most pedig nézzük a harmadikat.

Ha egy négyszög átlói felezik a metszéspontban, akkor a négyszög paralelogramma.

Adott:

Négyszög; ; .

Bizonyítsuk be:

Paralelogramma.

Bizonyíték:

Ennek bizonyításához szükséges a paralelogramma oldalainak párhuzamosságának bizonyítása. Az egyenesek párhuzamosságát pedig leggyakrabban ezen egyenesek belső keresztirányú szögeinek egyenlőségén keresztül bizonyítjuk. Így a paralelogramma harmadik kritériumának bizonyítására a következő módszer kínálkozik: a háromszögek egyenlőségén keresztül .

Bizonyítsuk be ezeknek a háromszögeknek az egyenlőségét. Valóban a feltételből következik: . Ezenkívül, mivel a szögek függőlegesek, egyenlőek. Azaz:

(az egyenlőség első jeleháromszögek- mindkét oldalon és a köztük lévő szögben).

A háromszögek egyenlőségéből: (mivel ezen egyenesek belső keresztszögei és a keresztirányú szögek egyenlőek). Ráadásul a háromszögek egyenlőségéből az következik. Ez azt jelenti, hogy egy négyszögben két oldal egyenlő és párhuzamos. A paralelogramma első jele szerint: - paralelogramma.

Igazolt.

Nézzünk egy példát a paralelogramma harmadik jellemzőjének használatára.

1. példa

Adott:

- paralelogramma; . - középső, - középső, - középső, - középső (lásd 2. ábra).

Rizs. 2

Bizonyítsuk be:- paralelogramma.

Bizonyíték:

Ez azt jelenti, hogy egy négyszögben a metszéspontban lévő átlók ketté vannak osztva. A paralelogramma harmadik karakterisztikája szerint ebből az következik, hogy paralelogramma.

Igazolt.

Ha elemezzük a paralelogramma harmadik jellemzőjét, észrevehetjük, hogy ez a jellemző a paralelogramma tulajdonságának felel meg. Vagyis az, hogy az átlók ketté vannak osztva, nem csupán egy paralelogramma tulajdonsága, hanem jellegzetes, jellegzetes tulajdonsága, amivel megkülönböztethető sok négyszögtől.

A következő leckében különböző paralelogramma-feladatok megoldásával foglalkozunk.

Hivatkozások

1. Alexandrov A.D. és mások geometria, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. osztály. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Terver.ru ().
2. Pedagógiai Tudományok Fesztiválja „Nyílt lecke” ().

Házi feladat