Példák trigonometrikus azonosságokra. Trigonometrikus egyenletek megoldási módszerei

Alapvető trigonometrikus azonosságok.

secα: „secant alfa”. Ez a koszinusz alfa reciproka.

cosecα így szólt: „alfa cosecant”. Ez a szinusz-alfa reciproka.

Példák. Egyszerűsítse a kifejezést:

A) 1 – sin 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; d) sin 2 α+1+cos 2 α;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; és) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; És) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

A) 1 – sin 2 α = cos 2 α a képlet szerint 1) ;

b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α szintén alkalmazta a képletet 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Először két kifejezés négyzeteinek különbségére alkalmaztuk a képletet: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, majd a képletet 1) ;

G) sin 2 αcosα – cosα. Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből.

sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Te persze már észrevetted, hogy mivel 1 – sin 2 α = cos 2 α, akkor sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Ugyanígy, ha 1 – cos 2 α = sin 2 α, akkor cos 2 α – 1 = -sin 2 α.

d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Van: a sin 2 α kifejezés négyzete plusz a sin 2 α kétszeres szorzata cos 2 α-val és plusz a cos 2 α második kifejezés négyzete. Alkalmazzuk a képletet két kifejezés összegének négyzetére: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Ezután alkalmazzuk a képletet 1) . Kapjuk: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

és) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Alkalmazza a képletet 1) , majd a képlet 2) .

Emlékezik: tgα ∙ kötözősalátaα = bűnα.

Hasonlóképpen a képlet használatával 3) elérhető: ctgα ∙ bűnα = kötözősalátaα. Emlékezik!

h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

És) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Először kivettük a közös tényezőt a zárójelekből, és a képlet segítségével egyszerűsítettük a zárójelek tartalmát. 7).

Kifejezés konvertálása:

Trigonometrikus függvények- A "bűn" kérés ide kerül átirányításra; lásd még más jelentéseket is. A "sec" kérés ide kerül átirányításra; lásd még más jelentéseket is. A "Sine" kérés ide kerül átirányításra; lásd még más jelentéseket is... Wikipédia

Cser

Rizs. 1 Trigonometrikus függvények grafikonjai: szinusz, koszinusz, érintő, szekáns, koszekáns, kotangens A trigonometrikus függvények az elemi függvények egy fajtája. Jellemzően ezek a szinusz (sin x), koszinusz (cos x), érintő (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipédia

Koszinusz- Rizs. 1 Trigonometrikus függvények grafikonjai: szinusz, koszinusz, érintő, szekáns, koszekáns, kotangens A trigonometrikus függvények az elemi függvények egy fajtája. Jellemzően ezek a szinusz (sin x), koszinusz (cos x), érintő (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipédia

Kotangens- Rizs. 1 Trigonometrikus függvények grafikonjai: szinusz, koszinusz, érintő, szekáns, koszekáns, kotangens A trigonometrikus függvények az elemi függvények egy fajtája. Jellemzően ezek a szinusz (sin x), koszinusz (cos x), érintő (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipédia

Metsző- Rizs. 1 Trigonometrikus függvények grafikonjai: szinusz, koszinusz, érintő, szekáns, koszekáns, kotangens A trigonometrikus függvények az elemi függvények egy fajtája. Jellemzően ezek a szinusz (sin x), koszinusz (cos x), érintő (tg x), kotangens (ctg x), ... ... Wikipédia

A trigonometria története- Geodéziai mérések (XVII. század) ... Wikipédia

Félszög képlet érintője- A trigonometriában a félszög képlet tangense a félszög érintőjét a teljes szög trigonometrikus függvényeihez viszonyítja: Ennek a képletnek a változatai a következők... Wikipédia

Trigonometria- (a görög τρίγονο (háromszög) és a görög μετρειν (mérték, azaz háromszögek mérése) szóból a matematika olyan ága, amelyben a trigonometrikus függvényeket és azok geometriára való alkalmazását tanulmányozzák. Ez a kifejezés először 1595-ben jelent meg... ... Wikipédia néven

Háromszögek megoldása- (lat. solutio triangulorum) történeti fogalom, amely a fő trigonometrikus probléma megoldását jelenti: a háromszögről ismert adatok (oldalak, szögek stb.) segítségével találja meg a többi jellemzőit. A háromszög a... ... Wikipédián található

Könyvek

• Állítsa be a táblázatokat. Az algebra és az elemzés kezdetei. 10-es fokozat. 17 táblázat + módszertan, . A táblázatok vastag, 680 x 980 mm méretű nyomtatott kartonra vannak nyomtatva. A készlet tartalmaz egy brosúrát a tanároknak szóló tanítási útmutatókkal. 17 lapos oktatóalbum... Vásárlás 3944 RUR-ért
• Integráltáblázatok és egyéb matematikai képletek, Dwight G.B.. A híres referenciakönyv tizedik kiadása nagyon részletes táblázatokat tartalmaz a határozatlan és határozott integrálokról, valamint számos más matematikai képletet: sorozatbővítéseket, ...

Trigonometrikus azonosságok- ezek olyan egyenlőségek, amelyek kapcsolatot hoznak létre egy szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense között, amely lehetővé teszi ezen függvények bármelyikének megtalálását, feltéve, hogy bármely másik ismert.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ez az azonosság azt mondja, hogy egy szög szinuszának négyzetének és egy szög koszinuszának négyzetének összege egyenlő eggyel, ami a gyakorlatban lehetővé teszi egy szög szinuszának kiszámítását, ha ismerjük a koszinuszát, és fordítva. .

A trigonometrikus kifejezések konvertálásakor nagyon gyakran használják ezt az azonosságot, amely lehetővé teszi, hogy az egy szög koszinusza és szinuszának négyzetösszegét eggyel helyettesítse, és a helyettesítési műveletet fordított sorrendben hajtsa végre.

Érintő és kotangens keresése szinusz és koszinusz segítségével

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Ezek az azonosságok a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióiból alakulnak ki. Hiszen ha megnézzük, akkor értelemszerűen az y ordináta szinusz, az x abszcissza pedig koszinusz. Ekkor az érintő egyenlő lesz az aránnyal \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), és az arány \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangens lesz.

Tegyük hozzá, hogy csak olyan \alpha szögek esetén érvényesek az azonosságok, amelyeknél a bennük szereplő trigonometrikus függvényeknek van értelme, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Például: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)\alpha szögekre érvényes, amelyek különböznek a \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- a \pi z-től eltérő \alpha szög esetén z egész szám.

Az érintő és a kotangens kapcsolata

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ez az azonosság csak azokra az \alpha szögekre érvényes, amelyek eltérnek a \frac(\pi)(2) z. Ellenkező esetben sem a kotangens, sem az érintő nem kerül meghatározásra.

A fenti pontok alapján azt kapjuk, hogy tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Ebből következik, hogy tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Így ugyanannak a szögnek az érintője és kotangense, amelynél értelmet nyernek, kölcsönösen inverz számok.

Az érintő és a koszinusz, a kotangens és a szinusz összefüggései

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- az \alpha és 1 szög érintőjének négyzetének összege egyenlő ennek a szögnek a koszinuszának fordított négyzetével. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, kivéve \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 összege és az \alpha szög kotangensének négyzete egyenlő az adott szög szinuszának inverz négyzetével. Ez az azonosság minden \alfára érvényes, amely különbözik a \pi z-től.

Példák problémák megoldására trigonometrikus identitások használatával

1. példa

Keresse meg a \sin \alpha és a tg \alpha if függvényeket \cos \alpha=-\frac12És \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Megoldás megjelenítése

Megoldás

A \sin \alpha és \cos \alpha függvényeket a képlet kapcsolja össze \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Behelyettesítve ebbe a képletbe \cos \alpha = -\frac12, kapunk:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Ennek az egyenletnek 2 megoldása van:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedben a szinusz pozitív, így \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

A tan \alpha megtalálásához a képletet használjuk tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

2. példa

Keresse meg a \cos \alpha és a ctg \alpha függvényt, ha és \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Behelyettesítés a képletbe \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 adott szám \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kapunk \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ennek az egyenletnek két megoldása van \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Feltétel szerint \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . A második negyedévben a koszinusz negatív, tehát \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

A ctg \alpha megtalálásához a képletet használjuk ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Ismerjük a megfelelő értékeket.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Alapvető trigonometrikus azonosságok.

secα: „secant alfa”. Ez a koszinusz alfa reciproka.

cosecα így szólt: „alfa cosecant”. Ez a szinusz-alfa reciproka.

Példák. Egyszerűsítse a kifejezést:

A) 1 – sin 2 α; b) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; d) sin 2 α+1+cos 2 α;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; és) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; És) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.

A) 1 – sin 2 α = cos 2 α a képlet szerint 1) ;

b) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α szintén alkalmazta a képletet 1) ;

V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Először két kifejezés négyzeteinek különbségére alkalmaztuk a képletet: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, majd a képletet 1) ;

G) sin 2 αcosα – cosα. Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből.

sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Te persze már észrevetted, hogy mivel 1 – sin 2 α = cos 2 α, akkor sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Ugyanígy, ha 1 – cos 2 α = sin 2 α, akkor cos 2 α – 1 = -sin 2 α.

d) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;

e) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Van: a sin 2 α kifejezés négyzete plusz a sin 2 α kétszeres szorzata cos 2 α-val és plusz a cos 2 α második kifejezés négyzete. Alkalmazzuk a képletet két kifejezés összegének négyzetére: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Ezután alkalmazzuk a képletet 1) . Kapjuk: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;

és) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Alkalmazza a képletet 1) , majd a képlet 2) .

Emlékezik: tgα ∙ kötözősalátaα = bűnα.

Hasonlóképpen a képlet használatával 3) elérhető: ctgα ∙ bűnα = kötözősalátaα. Emlékezik!

h) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.

És) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Először kivettük a közös tényezőt a zárójelekből, és a képlet segítségével egyszerűsítettük a zárójelek tartalmát. 7).

Kifejezés konvertálása:

Alkalmaztuk a képletet 7) és megkapta két kifejezés összegének szorzatát e kifejezések különbségének hiányos négyzetével - a két kifejezés kockáinak összegének képletével.