3 meg kell találnia az ábra vonalak által határolt területét. Az y=f(x), x=g(y) egyenesekkel határolt ábra területének megkeresése

1. feladat (egy ívelt trapéz területének kiszámításáról).

Az xOy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben egy ábra van megadva (lásd az ábrát), amelyet az x tengely határol, egyenesek x = a, x = b (görbe trapéz. Ki kell számítani az ívelt trapéz területét).
Megoldás. A geometria recepteket ad a sokszögek és a kör egyes részei (szektor, szakasz) területeinek kiszámításához. Geometriai megfontolások segítségével csak hozzávetőleges értékét találhatjuk meg a szükséges területnek, a következőképpen érvelve.

Osszuk fel az [a; b] (görbült trapéz alapja) n egyenlő részre; ez a felosztás az x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 pontok felhasználásával történik. Ezeken a pontokon húzzunk egyenes vonalakat az y tengellyel párhuzamosan. Ekkor az adott görbe vonalú trapéz n részre, n keskeny oszlopra lesz osztva. A teljes trapéz területe megegyezik az oszlopok területének összegével.

Tekintsük külön a k-adik oszlopot, azaz. ívelt trapéz, amelynek alapja egy szakasz. Cseréljük le egy f(x k)-vel megegyező alap és magasságú téglalappal (lásd az ábrát). A téglalap területe egyenlő $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, ahol $\Delta x_k $ a szakasz hossza; Természetes, hogy a kapott szorzatot a k-adik oszlop területének hozzávetőleges értékének tekintjük.

Ha most ugyanezt tesszük az összes többi oszloppal, akkor a következő eredményre jutunk: egy adott görbe vonalú trapéz S területe megközelítőleg egyenlő egy n téglalapból álló lépcsőzetes alak S n területével (lásd az ábrát):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pontok + f(x_k)\Delta x_k + \pontok + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Itt a jelölés egységessége érdekében feltételezzük, hogy a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - a szegmens hossza, $\Delta x_1 $ - a szegmens hossza stb.; ebben az esetben, ahogy fent megállapodtunk, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Tehát $S \approx S_n $, és ez a közelítő egyenlőség pontosabb, minél nagyobb n.
Definíció szerint úgy gondolják, hogy egy görbe vonalú trapéz szükséges területe egyenlő a sorozat határával (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

2. feladat (egy pont mozgatásával kapcsolatban)
Egy anyagi pont egyenes vonalban mozog. A sebesség időtől való függését a v = v(t) képlet fejezi ki. Határozzuk meg egy pont mozgását egy adott időtartam alatt [a; b].
Megoldás. Ha a mozgás egységes lenne, akkor a feladat nagyon egyszerűen megoldódna: s = vt, azaz. s = v(b-a). Az egyenetlen mozgáshoz ugyanazokat az ötleteket kell használni, amelyeken az előző probléma megoldása alapult.
1) Oszd el az időintervallumot [a; b] n egyenlő részre.
2) Tekintsünk egy időszakot, és tegyük fel, hogy ezen időtartam alatt a sebesség állandó volt, megegyezik a t k időponttal. Feltételezzük tehát, hogy v = v(t k).
3) Határozzuk meg a pont mozgásának hozzávetőleges értékét egy adott időtartam alatt, ezt a hozzávetőleges értéket jelöljük s k-val
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Határozza meg az s elmozdulás hozzávetőleges értékét:
$s \approx S_n $ ahol
$S_n = s_0 + \pontok + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pontok + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) A szükséges eltolás megegyezik a sorozat határértékével (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Foglaljuk össze. A különféle problémák megoldásait ugyanarra a matematikai modellre redukáltuk. Számos probléma a tudomány és a technológia különböző területeiről vezet ugyanahhoz a modellhez a megoldási folyamat során. Ez azt jelenti, hogy ezt a matematikai modellt speciálisan kell tanulmányozni.

A határozott integrál fogalma

Adjuk meg matematikai leírását annak a modellnek, amely az y = f(x) függvény három vizsgált feladatába épült, folytonos (de nem feltétlenül nem negatív, ahogy a vizsgált feladatokban feltételeztük) az [a; b]:
1) osszuk fel a szakaszt [a; b] n egyenlő részre;
2) adja ki a $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$ összeget
3) számítsa ki $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy ez a határ egy folytonos (vagy darabonként folytonos) függvény esetén létezik. Az y = f(x) függvény határozott integráljának nevezzük az [a; b], és a következőképpen jelöljük:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Az a és b számokat az integráció határainak (alsó, illetve felső) nevezzük.

Térjünk vissza a fentebb tárgyalt feladatokhoz. Az 1. feladatban megadott területdefiníció most átírható a következőképpen:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
itt S a fenti ábrán látható görbe vonalú trapéz területe. Ez a határozott integrál geometriai jelentése.

Egy v = v(t) sebességgel egyenes vonalban mozgó pont s elmozdulásának t = a-tól t = b-ig tartó 2. feladatban megadott definíciója a következőképpen írható át:

Newton-Leibniz képlet

Először is válaszoljunk a kérdésre: mi a kapcsolat a határozott integrál és az antiderivált között?

A válasz a 2. feladatban található. Egyrészt egy v = v(t) sebességgel egyenes vonalban mozgó pont s elmozdulását a t = a és t = b közötti időtartam alatt a képlet
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Másrészt egy mozgó pont koordinátája a sebesség antideriváltája - jelöljük s(t); Ez azt jelenti, hogy az s elmozdulást az s = s(b) - s(a) képlet fejezi ki. Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
ahol s(t) a v(t) antideriváltja.

A következő tételt a matematikai elemzés során igazoltam.
Tétel. Ha az y = f(x) függvény folytonos az [a; b], akkor a képlet érvényes
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
ahol F(x) az f(x) antideriváltja.

A fenti képletet általában Newton-Leibniz képletnek nevezik Isaac Newton (1643-1727) angol fizikus és Gottfried Leibniz (1646-1716) német filozófus tiszteletére, akik egymástól függetlenül és szinte egyszerre szerezték meg.

A gyakorlatban az F(b) - F(a) írás helyett a $\left. F(x)\right|_a^b $ jelölést használják (néha kettős helyettesítésnek is nevezik), és ennek megfelelően átírják a Newtont. -Leibniz-képlet a következő formában:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Határozott integrál számításakor először keresse meg az antideriváltat, majd hajtsa végre a kettős helyettesítést.

A Newton-Leibniz formula alapján a határozott integrálnak két tulajdonságát kaphatjuk meg.

1. tulajdonság. A függvényösszeg integrálja egyenlő az integrálok összegével:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

2. tulajdonság. A konstans tényező kivehető az integrál előjelből:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Síkfigurák területének kiszámítása határozott integrál segítségével

Az integrál segítségével nemcsak a görbe vonalú trapézok területét számíthatja ki, hanem bonyolultabb típusú síkidomokat is, például az ábrán láthatót. A P ábrát x = a, x = b egyenesek és az y = f(x), y = g(x) folytonos függvények grafikonjai korlátozzák, valamint az [a; b] a $g(x) \leq f(x) $ egyenlőtlenség teljesül. Egy ilyen ábra S területének kiszámításához a következőképpen járunk el:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tehát az x = a, x = b egyenesekkel és az y = f(x), y = g(x) függvények grafikonjaival határolt ábra S területe folytonos a szakaszon, és olyan, hogy a szakasz bármely x esetén [a; b] a $g(x) \leq f(x) $ egyenlőtlenség teljesül, a képlettel számolva
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Egyes függvények határozatlan integráljainak (antideriváltjainak) táblázata $$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^ (n+1))(n+1) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Hogyan lehet matematikai képleteket beszúrni egy webhelyre?

Ha valaha egy vagy két matematikai képletet kell hozzáadnia egy weboldalhoz, akkor ezt a cikkben leírtak szerint teheti meg a legegyszerűbben: a matematikai képleteket könnyen beillesztheti az oldalra képek formájában, amelyeket a Wolfram Alpha automatikusan generál. . Az egyszerűség mellett ez az univerzális módszer segít javítani a webhely láthatóságát a keresőmotorokban. Régóta működik (és szerintem örökké működni fog), de erkölcsileg már elavult.

Ha rendszeresen használ matematikai képleteket webhelyén, akkor azt javaslom, hogy használja a MathJax-ot – egy speciális JavaScript-könyvtárat, amely matematikai jelöléseket jelenít meg a webböngészőkben MathML, LaTeX vagy ASCIIMathML jelöléssel.

A MathJax használatának két módja van: (1) egy egyszerű kód segítségével gyorsan csatlakoztathat egy MathJax szkriptet a webhelyéhez, amely a megfelelő időben automatikusan betöltődik egy távoli szerverről (szerverek listája); (2) töltse le a MathJax szkriptet egy távoli szerverről a szerverére, és csatlakoztassa webhelye összes oldalához. A második módszer – bonyolultabb és időigényesebb – felgyorsítja az oldalad oldalainak betöltését, és ha a szülő MathJax szerver valamilyen okból átmenetileg elérhetetlenné válik, az semmilyen módon nem érinti a saját oldaladat. Ezen előnyök ellenére az első módszert választottam, mivel az egyszerűbb, gyorsabb és nem igényel technikai ismereteket. Kövesse a példámat, és mindössze 5 percen belül a MathJax összes funkcióját használhatja webhelyén.

A MathJax könyvtár szkriptjét távoli kiszolgálóról csatlakoztathatja a MathJax fő webhelyéről vagy a dokumentációs oldalon található két kódopció használatával:

Ezen kódopciók egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és közvetlenül a címke után. Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan figyeli és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beszúrja a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelnie a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: a webhely vezérlőpultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott letöltési kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet. a sablon elejére (egyébként ez egyáltalán nem szükséges , mivel a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, a LaTeX és az ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és készen áll arra, hogy matematikai képleteket szúrjon be webhelye weboldalaiba.

Bármely fraktál egy bizonyos szabály szerint készül, amelyet következetesen korlátlan számú alkalommal alkalmaznak. Minden ilyen időt iterációnak nevezünk.

A Menger-szivacs elkészítésének iteratív algoritmusa meglehetősen egyszerű: az 1-es oldalú eredeti kockát a lapjaival párhuzamos síkok 27 egyenlő kockára osztják. Egy központi kockát és a lapok mentén szomszédos 6 kockát eltávolítanak róla. Az eredmény egy készlet, amely a maradék 20 kisebb kockából áll. Minden egyes kockával ugyanezt megtéve egy 400 kisebb kockából álló készletet kapunk. Ezt a folyamatot a végtelenségig folytatva egy Menger szivacsot kapunk.

Valójában egy figura területének megtalálásához nem kell annyi ismerete a határozatlan és határozott integrálról. A „Számítsa ki a területet határozott integrál segítségével” feladat mindig rajz készítését foglalja magában, így sokkal sürgetőbb kérdés lesz az Ön rajzkészítési ismeretei és készségei. Ebben a tekintetben hasznos frissíteni a memóriát az alapvető elemi függvények grafikonjairól, és legalább egy egyenest és egy hiperbolát szerkeszteni.

Az ívelt trapéz egy sík alak, amelyet egy tengely, egyenesek és egy olyan szakaszon folytonos függvény grafikonja határol, amely nem változtat előjelet ezen az intervallumon. Helyezzük el ezt az ábrát nem alacsonyabb x-tengely:

Ekkor a görbe vonalú trapéz területe numerikusan egyenlő a határozott integrállal. Minden határozott integrálnak (ami létezik) nagyon jó geometriai jelentése van.

Geometriai szempontból a határozott integrál a TERÜLET.

Vagyis egy bizonyos integrál (ha létezik) geometriailag megfelel egy bizonyos ábra területének. Vegyük például a határozott integrált. Az integrandus egy görbét határoz meg a tengely felett elhelyezkedő síkon (aki szeretne rajzot készíteni), maga a határozott integrál pedig számszerűen egyenlő a megfelelő görbe vonalú trapéz területével.

1. példa

Ez egy tipikus hozzárendelési nyilatkozat. A döntés első és legfontosabb pontja a rajz. Ezenkívül a rajzot MEGFELELŐEN kell elkészíteni.

A rajz készítésekor a következő sorrendet javaslom: először jobb az összes egyenest (ha van ilyen) megszerkeszteni, és csak ezután - parabolákat, hiperbolákat és más függvények grafikonjait. Kifizetődőbb a függvények grafikonjait pontról pontra összeállítani.

Ebben a problémában a megoldás így nézhet ki.
Fejezze be a rajzot (megjegyezzük, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt):

A szegmensen a függvény grafikonja a tengely felett helyezkedik el, ezért:

Válasz:

A feladat elvégzése után mindig hasznos megnézni a rajzot, és rájönni, hogy a válasz valódi-e. Ebben az esetben „szemmel” megszámoljuk a cellák számát a rajzon - nos, körülbelül 9 lesz, úgy tűnik, igaz. Teljesen egyértelmű, hogy ha mondjuk azt a választ kaptuk: 20 négyzetegység, akkor nyilvánvaló, hogy valahol hiba történt - 20 cella nyilván nem fér bele a kérdéses ábrába, legfeljebb egy tucat. Ha a válasz nemleges, akkor a feladatot is rosszul oldották meg.

3. példa

Számítsa ki az ábra vonalakkal és koordinátatengelyekkel határolt területét!

Megoldás: Készítsünk rajzot:

Ha az ívelt trapéz a tengely alatt helyezkedik el (vagy legalább nem magasabb adott tengely), akkor területe a következő képlettel kereshető:

Ebben az esetben:

Figyelem! A két feladattípust nem szabad összekeverni:

1) Ha egyszerűen egy határozott integrált kell megoldani, geometriai jelentés nélkül, akkor az negatív lehet.

2) Ha egy figura területét egy határozott integrál segítségével kérik meg, akkor a terület mindig pozitív! Ezért jelenik meg a mínusz az imént tárgyalt képletben.

A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkon is elhelyezkedik, ezért a legegyszerűbb iskolai feladatoktól áttérünk az értelmesebb példákra.

4. példa

Keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet vonalak határolnak, .

Megoldás: Először rajzot kell készítenie. Általánosságban elmondható, hogy területfeladatokban rajz készítésekor leginkább az egyenesek metszéspontjaira vagyunk kíváncsiak. Keressük meg a parabola és az egyenes metszéspontját. Ezt kétféleképpen lehet megtenni. Az első módszer analitikus. Megoldjuk az egyenletet:

Ez azt jelenti, hogy az integráció alsó határa , az integráció felső határa .

Ha lehetséges, jobb, ha nem használja ezt a módszert.

Sokkal jövedelmezőbb és gyorsabb pontról pontra építeni a vonalakat, az integráció határai pedig „önmaguktól” válnak egyértelművé. Ennek ellenére a határértékek meghatározásának analitikus módszerét olykor még mindig alkalmazni kell, ha például elég nagy a gráf, vagy a részletes konstrukció nem tárta fel az integráció határait (lehet töredékes vagy irracionális). És egy ilyen példát is megvizsgálunk.

Térjünk vissza a feladatunkhoz: racionálisabb először egyenest, majd csak utána parabolát szerkeszteni. Készítsük el a rajzot:

És most a munkaképlet: Ha egy szakaszon egy folytonos függvény nagyobb vagy egyenlő, mint valamilyen folytonos függvény, akkor az ábra területe, amelyet ezen függvények és egyenesek grafikonjai korlátoznak, a következő képlettel kereshető meg:

Itt már nem kell azon gondolkodni, hogy az ábra hol található - a tengely felett vagy a tengely alatt, és durván szólva az a fontos, hogy melyik grafikon van MAGASABBAN (egy másik grafikonhoz viszonyítva), és melyik ALATT.

A vizsgált példában nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, ezért le kell vonni

A kész megoldás így nézhet ki:

A kívánt alakzatot felül egy parabola, alul pedig egyenes vonal határolja.
A szegmensen a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

4. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet a , , , vonalak határolnak.

Megoldás: Először készítsünk egy rajzot:

Az a figura, amelynek területét meg kell találnunk, kék színnel van beárnyékolva (figyelmesen nézze meg a feltételt - hogyan korlátozott a figura!). De a gyakorlatban a figyelmetlenség miatt gyakran előfordul olyan „hiba”, hogy meg kell találni egy figura zölddel árnyékolt területét!

Ez a példa abból a szempontból is hasznos, hogy egy ábra területét két határozott integrál segítségével számítja ki.

Tényleg:

1) A tengely feletti szakaszon van egy egyenes grafikonja;

2) A tengely feletti szakaszon egy hiperbola grafikonja található.

Teljesen nyilvánvaló, hogy a területeket hozzá lehet (és kell) hozzáadni, ezért:

Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét

Térjünk át az integrálszámítás alkalmazásaira. Ebben a leckében elemezzük a tipikus és leggyakoribb problémát - hogyan kell kiszámítani egy sík alakzat területét egy határozott integrál segítségével. Végül, akik értelmet keresnek a felsőbb matematikában – hátha megtalálják. Soha nem lehet tudni. A való életben elemi függvények segítségével közelítenie kell egy dacha telket, és meg kell találnia a területét egy határozott integrál segítségével.

Az anyag sikeres elsajátításához a következőket kell tennie:

1) Értse a határozatlan integrált legalább középszinten. Így a bábuknak először meg kell ismerkedniük a Nem leckével.

2) Legyen képes a Newton-Leibniz képlet alkalmazására és a határozott integrál kiszámítására. A Határozott Integrál oldalon meleg baráti kapcsolatokat alakíthat ki határozott integrálokkal. Példák megoldásokra.

Tulajdonképpen már iskolás kora óta mindenki ismeri azt a feladatot, hogy a területet határozott integrál segítségével kell megtalálni, és az iskolai tananyagnál nemigen megyünk tovább. Lehet, hogy ez a cikk egyáltalán nem létezett, de tény, hogy a probléma 100-ból 99 esetben fordul elő, amikor egy diák egy gyűlölt iskolában szenved, és lelkesen sajátít el egy felsőfokú matematikai kurzust.

A workshop anyagait egyszerűen, részletesen és minimális elméleti ismeretekkel mutatjuk be.

Kezdjük egy ívelt trapézzel.

Ekkor a görbe vonalú trapéz területe numerikusan egyenlő a határozott integrállal. Minden határozott integrálnak (ami létezik) nagyon jó geometriai jelentése van. A Határozott integrál leckében. Példák megoldásokra Azt mondtam, hogy a határozott integrál egy szám. És most itt az ideje, hogy kijelentsünk egy másik hasznos tényt. Geometria szempontjából a határozott integrál a TERÜLET.

1. példa

Ez egy tipikus hozzárendelési nyilatkozat. A döntés első és legfontosabb pontja a rajz. Ezenkívül a rajzot MEGFELELŐEN kell elkészíteni.

A rajz készítésekor a következő sorrendet javaslom: először célszerű az összes egyenest megszerkeszteni (ha van ilyen), és csak ezután - parabolákat, hiperbolákat és egyéb függvények grafikonjait. Kifizetődőbb a függvénygráfok pontonkénti szerkesztése. Ott nagyon hasznos anyagokat is találhat leckénkhez - hogyan építsünk gyorsan egy parabolát.

Ebben a problémában a megoldás így nézhet ki.
Fejezze be a rajzot (megjegyezzük, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt):

Nem árnyalom az ívelt trapézt, itt nyilvánvaló, hogy milyen területről van szó. A megoldás így folytatódik:

A szegmensen a függvény grafikonja a tengely felett helyezkedik el, ezért:

Válasz:

Akinek nehézségei vannak a határozott integrál kiszámításával és a Newton-Leibniz formula alkalmazásával , lásd a Határozott integrál című előadást. Példák megoldásokra.

A feladat elvégzése után mindig hasznos megnézni a rajzot, és rájönni, hogy a válasz valódi-e. Ebben az esetben „szemmel” számoljuk a rajz celláinak számát - nos, körülbelül 9 lesz, ami igaznak tűnik. Teljesen egyértelmű, hogy ha mondjuk azt a választ kaptuk: 20 négyzetegység, akkor nyilvánvaló, hogy valahol hiba történt - 20 cella nyilván nem fér bele a kérdéses ábrába, legfeljebb egy tucat. Ha a válasz nemleges, akkor a feladatot is rosszul oldották meg.

2. példa

Számítsa ki egy alakzat területét, amelyet vonalak , , és tengely határol

Ez egy példa, amelyet egyedül kell megoldania. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Mi a teendő, ha egy ívelt trapéz található a tengely alatt?

3. példa

Számítsa ki az ábra vonalakkal és koordinátatengelyekkel határolt területét!

Megoldás: Készítsünk rajzot:

Ha az ívelt trapéz a tengely alatt helyezkedik el (vagy legalább nem magasabb adott tengely), akkor területe a következő képlettel kereshető:
Ebben az esetben:

Figyelem! A két feladattípust nem szabad összekeverni:

1) Ha egyszerűen egy határozott integrált kell megoldani, geometriai jelentés nélkül, akkor az negatív lehet.

2) Ha egy figura területét egy határozott integrál segítségével kérik meg, akkor a terület mindig pozitív! Ezért jelenik meg a mínusz az imént tárgyalt képletben.

A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkon is elhelyezkedik, ezért a legegyszerűbb iskolai feladatoktól áttérünk az értelmesebb példákra.

4. példa

Keresse meg egy sík alakzat területét, amelyet vonalak határolnak, .

Ez azt jelenti, hogy az integráció alsó határa , az integráció felső határa .
Ha lehetséges, jobb, ha nem használja ezt a módszert.

Sokkal jövedelmezőbb és gyorsabb pontról pontra építeni a vonalakat, az integráció határai pedig „önmaguktól” válnak egyértelművé. A különböző gráfok pontszerű felépítésének technikáját a Grafikonok és az elemi függvények tulajdonságai című súgó részletesen tárgyalja. Ennek ellenére a határértékek meghatározásának analitikus módszerét olykor még mindig alkalmazni kell, ha például elég nagy a gráf, vagy a részletes konstrukció nem tárta fel az integráció határait (lehet töredékes vagy irracionális). És egy ilyen példát is megvizsgálunk.

Térjünk vissza a feladatunkhoz: racionálisabb először egyenest, majd csak utána parabolát szerkeszteni. Készítsük el a rajzot:

Ismétlem, hogy pontszerű konstrukciónál az integráció határait legtöbbször „automatikusan” találjuk ki.

A vizsgált példában nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, ezért le kell vonni

A kész megoldás így nézhet ki:

A kívánt alakzatot felül egy parabola, alul pedig egyenes vonal határolja.
A szegmensen a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Valójában az alsó félsíkban lévő görbe vonalú trapéz területének iskolai képlete (lásd a 3. egyszerű példát) a képlet speciális esete . Mivel a tengelyt az egyenlet határozza meg, és a függvény grafikonja elhelyezkedik nem magasabb akkor tengelyek

És most néhány példa a saját megoldásodhoz

5. példa

6. példa

Keresse meg az ábra vonalak által határolt területét, .

Területszámítási feladatok határozott integrál használatával történő megoldása során néha előfordul vicces eset. A rajz helyesen készült, a számítások helyesek voltak, de figyelmetlenség miatt... a rossz figura területét találták, pontosan így hibázott többször is alázatos szolgája. Íme egy valós eset:

7. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet a , , , vonalak határolnak.

Megoldás: Először készítsünk egy rajzot:

...Eh, a rajz baromság lett, de úgy tűnik, minden olvasható.

Ez a példa abból a szempontból is hasznos, hogy egy ábra területét két határozott integrál segítségével számítja ki. Igazán:

1) A tengely feletti szakaszon van egy egyenes grafikonja;

2) A tengely feletti szakaszon egy hiperbola grafikonja található.

Teljesen nyilvánvaló, hogy a területeket hozzá lehet (és kell) hozzáadni, ezért:

Válasz:

Térjünk át egy másik értelmes feladatra.

8. példa

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét,
Mutassuk be az egyenleteket „iskola” formában, és készítsünk pontról pontra rajzot:

A rajzból jól látszik, hogy a felső határunk „jó”: .
De mi az alsó határ?! Világos, hogy ez nem egész szám, de mi ez? Lehet ? De hol a garancia, hogy a rajz tökéletes pontossággal készül, könnyen kiderülhet, hogy... Vagy a gyökér. Mi van, ha rosszul építjük fel a gráfot?

Ilyen esetekben több időt kell fordítani, és analitikusan tisztázni kell az integráció határait.

Keressük meg egy egyenes és egy parabola metszéspontját.
Ehhez megoldjuk a következő egyenletet:

,

Tényleg,.

A további megoldás triviális, a lényeg, hogy ne keverjük össze a helyettesítéseket és az előjeleket, a számítások itt nem a legegyszerűbbek.

A szegmensen , a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Nos, az óra végén nézzünk meg két nehezebb feladatot.

9. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet a vonalak határolnak,

Megoldás: Ábrázoljuk ezt az ábrát a rajzon.

A fenébe, elfelejtettem aláírni a menetrendet, és bocsánat, nem akartam újra elkészíteni a képet. Nem rajznap, egyszóval ma van a nap =)

A pontonkénti felépítéshez ismerni kell a szinusz megjelenését (és általában hasznos ismerni az összes elemi függvény grafikonját), valamint a szinusz néhány értékét, ezek megtalálhatók a a trigonometrikus táblázat. Egyes esetekben (mint ebben az esetben is) lehet vázlatos rajzot készíteni, amelyen alapvetően helyesen kell megjeleníteni az integráció grafikonjait és határait.

Az integráció határaival itt nincs gond, ezek közvetlenül a feltételből következnek: „x” nulláról „pi”-re változik. Hozzunk egy további döntést:

A szegmensen a függvény grafikonja a tengely felett helyezkedik el, ezért:

Ebből a cikkből megtudhatja, hogyan találhatja meg egy vonallal határolt ábra területét integrálszámítások segítségével. Ilyen probléma megfogalmazásával először középiskolában találkozunk, amikor éppen befejeztük a határozott integrálok tanulmányozását, és ideje elkezdeni a gyakorlatban a megszerzett tudás geometriai értelmezését.

Tehát mi szükséges ahhoz, hogy sikeresen megoldjuk az ábra területének integrálok segítségével történő megtalálását:

Képes hozzáértő rajzok készítésére;
Határozott integrál megoldásának képessége a jól ismert Newton-Leibniz formula segítségével;
A jövedelmezőbb megoldási lehetőség „látásának” képessége - pl. megérti, hogyan lesz kényelmesebb az integráció végrehajtása egyik vagy másik esetben? Az x tengely (OX) vagy az y tengely (OY) mentén?
Nos, hol lennénk helyes számítások nélkül?) Ez magában foglalja a más típusú integrálok megoldásának megértését és a helyes numerikus számításokat.

Algoritmus egy vonallal határolt ábra területének kiszámításának problémájának megoldására:

1. Rajzot készítünk. Célszerű ezt kockás papírlapon, nagy méretben megtenni. Minden grafikon felett ceruzával írjuk alá ennek a függvénynek a nevét. A grafikonok aláírása kizárólag a további számítások kényelmét szolgálja. Miután megkaptuk a kívánt ábra grafikonját, a legtöbb esetben azonnal világossá válik, hogy az integráció mely korlátait fogják használni. Így a feladatot grafikusan oldjuk meg. Előfordul azonban, hogy a határértékek töredékesek vagy irracionálisak. Ezért további számításokat végezhet, folytassa a második lépéssel.

2. Ha az integráció határai nincsenek kifejezetten megadva, akkor megkeressük a gráfok metszéspontjait egymással, és megnézzük, hogy grafikus megoldásunk egybeesik-e az analitikus megoldással.

3. Ezután elemeznie kell a rajzot. A függvénygrafikonok elrendezésétől függően különböző megközelítések léteznek az ábra területének megkeresésére. Nézzünk meg különböző példákat egy figura területének megkeresésére integrálok segítségével.

3.1.

A probléma legklasszikusabb és legegyszerűbb változata az, amikor meg kell találnia egy ívelt trapéz területét. Mi az ívelt trapéz? Ez egy lapos ábra, amelyet az x tengely (y = 0), az x = a, x = b egyenesek és az a-tól b-ig terjedő intervallumban folytonos görbék korlátoznak. Ráadásul ez az ábra nem negatív, és nem az x tengely alatt található. Ebben az esetben a görbe vonalú trapéz területe számszerűen megegyezik egy bizonyos integrállal, amelyet a Newton-Leibniz képlet alapján számítanak ki: 1. példa

y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Milyen vonalak határolják az ábrát? Van egy y = x2 - 3x + 3 parabolánk, ami az OX tengely felett helyezkedik el, nem negatív, mert ennek a parabolának minden pontja pozitív értékű. Ezután megadjuk az x = 1 és x = 3 egyeneseket, amelyek párhuzamosan futnak a műveleti erősítő tengelyével, és a bal és jobb oldali ábra határvonalai. Nos, y = 0, ami egyben az x tengely is, ami alulról határolja az ábrát. A kapott ábra árnyékolt, amint az a bal oldali ábrán látható. Ebben az esetben azonnal megkezdheti a probléma megoldását. Előttünk áll egy egyszerű példa egy görbe trapézre, amelyet tovább oldunk a Newton-Leibniz képlet segítségével.

3.2. Az előző 3.1. bekezdésben azt az esetet vizsgáltuk, amikor egy görbe trapéz helyezkedik el az x tengely felett. Tekintsük most azt az esetet, amikor a probléma feltételei ugyanazok, kivéve, hogy a függvény az x tengely alatt van. A standard Newton-Leibniz képlethez mínusz kerül. Az alábbiakban megvizsgáljuk, hogyan lehet megoldani egy ilyen problémát.

Ebben a példában van egy y = x2 + 6x + 2 parabola, amely az OX tengely alól ered, egyenesek x = -4, x = -1, y = 0. Itt y = 0 korlátozza felülről a kívánt értéket. Az x = -4 és x = -1 egyenesek azok a határok, amelyeken belül a határozott integrál kiszámításra kerül. Az ábra területének megkeresésére vonatkozó probléma megoldásának elve szinte teljesen egybeesik az 1. számú példával. Az egyetlen különbség az, hogy az adott függvény nem pozitív, hanem folytonos a [-4; -1]. Mit értesz azon, hogy nem pozitív? Amint az ábrán látható, az adott x-eken belüli alaknak kizárólag „negatív” koordinátái vannak, amit látnunk kell és emlékeznünk kell a feladat megoldása során. Az ábra területét a Newton-Leibniz képlet segítségével keressük, csak az elején mínuszjellel.

A cikk nincs befejezve.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete