4 dimenziós kockaforgatás. Az ideális feleség blogja

Amint a műtét után előadásokat tarthattam, a hallgatók első kérdése a következő volt:

Mikor rajzolsz nekünk egy 4 dimenziós kockát? Ilyas Abdulkhaevich megígérte nekünk!

Emlékszem, hogy kedves barátaim néha szeretik a matematikai oktatási tevékenységek pillanatait. Ezért a matematikusoknak szóló előadásom egy részét ide írom. És megpróbálom anélkül, hogy unalmas lennék. Néhol persze szigorúbban olvastam az előadást.

Először egyezzünk meg. A 4-dimenziós, és még inkább az 5-6-7- és általában a k-dimenziós tér nem adatik meg számunkra az érzékszervi érzetekben.
„Nyomorultak vagyunk, mert csak háromdimenziósak vagyunk” – mondta a vasárnapi iskolai tanárom, aki először mondta el, mi az a 4 dimenziós kocka. A vasárnapi iskola természetesen rendkívül vallásos volt – matematikai. Akkoriban hiperkockákat tanultunk. Egy héttel előtte matematikai indukció, egy héttel utána Hamilton-ciklusok grafikonon - ennek megfelelően ez a 7. osztály.

Egy 4 dimenziós kockát nem tudunk megérinteni, szagolni, hallani vagy látni. Mit tehetünk vele? El tudjuk képzelni! Mert az agyunk sokkal összetettebb, mint a szemünk és a kezünk.

Tehát, hogy megértsük, mi az a 4 dimenziós kocka, először értsük meg, mi áll rendelkezésünkre. Mi az a 3 dimenziós kocka?


Oké, oké! Nem kérek egyértelmű matematikai definíciót. Képzelje csak el a legegyszerűbb és legközönségesebb háromdimenziós kockát. Bemutatták?

Finom.
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehet egy 3-dimenziós kockát 4-dimenziós térré általánosítani, nézzük meg, mi az a 2-dimenziós kocka. Annyira egyszerű – ez egy négyzet!

Egy négyzetnek 2 koordinátája van. A kockában három van. A négyzetpontok két koordinátájú pontok. Az első 0-tól 1-ig. A második pedig 0-tól 1-ig. A kocka pontjainak három koordinátája van. És mindegyik tetszőleges szám 0-tól 1-ig.

Logikus elképzelni, hogy egy 4 dimenziós kocka olyan dolog, amelynek 4 koordinátája van, és minden 0-tól 1-ig van.

/* Azonnal logikus elképzelni egy 1 dimenziós kockát, ami nem más, mint egy egyszerű szegmens 0-tól 1-ig. */

Szóval, várj, hogyan rajzolhatsz 4 dimenziós kockát? Hiszen nem rajzolhatunk 4 dimenziós teret síkra!
De a 3 dimenziós teret sem síkra rajzoljuk, hanem megrajzoljuk vetítés 2 dimenziós rajzsíkra. A harmadik koordinátát (z) szögben helyezzük el, elképzelve, hogy a rajzsík tengelye „felénk” megy.

Most már teljesen világos, hogyan kell 4-dimenziós kockát rajzolni. Ugyanúgy, ahogy a harmadik tengelyt egy bizonyos szögbe pozícionáltuk, vegyük a negyedik tengelyt, és helyezzük el egy bizonyos szögbe.
És - íme! -- 4 dimenziós kocka síkra vetítése.

Mi? Amúgy mi ez? Mindig hallok suttogást a hátsó asztalok felől. Hadd fejtsem ki részletesebben, mi ez a sorok zűrzavara.
Először nézze meg a háromdimenziós kockát. Mit csináltunk? Felvettük a négyzetet, és a harmadik tengely (z) mentén húztuk. Mintha sok-sok papírnégyzet egy kötegbe van összeragasztva.
Ugyanez a helyzet egy 4 dimenziós kockával. Nevezzük a negyedik tengelyt a kényelem és a sci-fi kedvéért „időtengelynek”. Vegyünk egy közönséges háromdimenziós kockát, és húzzuk át az időben a „most” időponttól az „egy óra múlva” időpontig.

Van egy "most" kockánk. A képen rózsaszín.

És most húzzuk a negyedik tengely mentén - az időtengely mentén (zölddel mutattam). És megkapjuk a jövő kockáját – a kéket.

A „kocka most” minden csúcsa nyomot hagy az időben – egy szakaszt. Összekapcsolja a jelenét a jövőjével.

Röviden, dalszöveg nélkül: rajzoltunk két egyforma 3 dimenziós kockát, és összekapcsoltuk a megfelelő csúcsokat.
Pontosan ugyanaz, mint egy 3-dimenziós kockával (rajzolj 2 egyforma 2-dimenziós kockát, és kösd össze a csúcsokat).

Egy 5 dimenziós kocka rajzolásához meg kell rajzolnia egy 4 dimenziós kocka két másolatát (egy 4 dimenziós kocka ötödik koordinátájával 0 és egy 4 dimenziós kocka ötödik koordinátájával 1), és összekötnie kell a megfelelő csúcsokat élekkel. Igaz, akkora zűrzavar lesz a síkon, hogy szinte lehetetlen lesz bármit is megérteni.

Miután elképzeltünk egy 4 dimenziós kockát, sőt meg is tudtuk rajzolni, többféleképpen is felfedezhetjük. Emlékezz arra, hogy fejben és a kép alapján is felfedezd.
Például. Egy 2-dimenziós kockát 4 oldalról 1-dimenziós kockák határolnak. Ez logikus: mind a 2 koordinátának van eleje és vége is.
Egy 3-dimenziós kockát 6 oldalról 2-dimenziós kockák határolnak. Mindhárom koordinátának van eleje és vége.
Ez azt jelenti, hogy egy 4-dimenziós kockát nyolc 3-dimenziós kockával kell korlátozni. Mind a 4 koordinátához - mindkét oldalon. A fenti ábrán jól látható 2 arc, amelyek az „idő” koordináta mentén korlátozzák.

Itt van két kocka (enyhén ferdék, mert 2 dimenziójuk van a síkra vetítve szögben), ami a bal és jobb oldalon korlátozza a hiperkockánkat.

Könnyen észrevehető a „felső” és az „alsó” is.

A legnehezebb vizuálisan megérteni, hol van az „elöl” és a „hátul”. Az elülső a „kocka most” elülső szélétől kezdődik, és a „jövő kocka” elülső éléig - piros. A hátsó rész lila.

Ezeket a legnehezebb észrevenni, mert más kockák összegabalyodnak a lábuk alatt, ami a hiperkockát egy másik vetített koordinátán korlátozza. De vegye figyelembe, hogy a kockák még mindig mások! Ismét itt a kép, ahol a „most kockája” és a „jövő kockája” van kiemelve.

Természetesen lehetőség van 4 dimenziós kockát 3 dimenziós térbe vetíteni.
Az első lehetséges térmodell egyértelmű, hogy hogyan néz ki: ki kell venni 2 kockakeretet, és a hozzájuk tartozó csúcsokat egy új éllel összekötni.
Jelenleg nincs raktáron ez a modell. Az előadáson egy 4 dimenziós kocka kicsit más 3 dimenziós modelljét mutatom be a hallgatóknak.

Tudod, hogyan vetítenek ki egy kockát egy ilyen síkra.
Mintha felülről néznénk egy kockát.

A közeli széle természetesen nagy. És a távoli széle kisebbnek tűnik, a közelien keresztül látjuk.

Így vetíthet ki egy 4 dimenziós kockát. A kocka most nagyobb, a távolban látjuk a jövő kockáját, így kisebbnek tűnik.

A másik oldalon. A felső oldalról.

Közvetlenül a perem oldaláról:

A borda felől:

És az utolsó szög, aszimmetrikus. A „Mondd el, hogy a bordái közé néztem” részben.

Hát akkor bármit kitalálhatsz. Például ahogy van egy 3 dimenziós kocka fejlesztése egy síkra (ez olyan, mintha kivágnánk egy papírlapot úgy, hogy összehajtva egy kockát kapunk), ugyanez történik egy 4 dimenziós kocka fejlesztésével is. tér. Ez olyan, mintha egy fadarabot vágnánk úgy, hogy 4 dimenziós térben összehajtva egy tesseraktet kapunk.

Nem csak egy 4-dimenziós, hanem általában az n-dimenziós kockát is tanulmányozhat. Például igaz, hogy egy n-dimenziós kocka köré körülírt gömb sugara kisebb, mint ennek a kockának a széle? Vagy itt van egy egyszerűbb kérdés: hány csúcsa van egy n-dimenziós kockának? Hány él (1-dimenziós lapok)?

Kezdjük azzal, hogy elmagyarázzuk, mi a négydimenziós tér.

Ez egy egydimenziós tér, vagyis egyszerűen az OX tengely. Bármelyik pontja egy koordinátával jellemezhető.

Most rajzoljuk meg az OY tengelyt merőlegesen az OX tengelyre. Így egy kétdimenziós teret kapunk, vagyis az XOY síkot. A rajta lévő bármely pontot két koordináta jellemez - abszcissza és ordináta.

Rajzoljuk meg az OZ tengelyt merőlegesen az OX és OY tengelyekre. Az eredmény egy háromdimenziós tér, amelyben bármely pontnak van abszcisszája, ordinátája és alkalmazása.

Logikus, hogy a negyedik tengely, az OQ, egyszerre legyen merőleges az OX, OY és OZ tengelyekre. De nem tudunk pontosan megszerkeszteni egy ilyen tengelyt, ezért csak megpróbálhatjuk elképzelni. A négydimenziós térben minden pontnak négy koordinátája van: x, y, z és q.

Most lássuk, hogyan jelent meg a négydimenziós kocka.

A képen egy alak látható egydimenziós térben - egy vonal.

Ha ezt a vonalat párhuzamosan lefordítja az OY tengely mentén, majd összekapcsolja a két eredményül kapott vonal megfelelő végét, akkor négyzetet kap.

Hasonlóképpen, ha az OZ tengely mentén párhuzamosan lefordítja a négyzetet, és összekapcsolja a megfelelő csúcsokat, akkor egy kockát kap.

És ha a kockát párhuzamosan fordítjuk az OQ tengely mentén, és összekapcsoljuk a két kocka csúcsait, akkor négydimenziós kockát kapunk. Mellesleg úgy hívják tesserakt.

Ahhoz, hogy egy kockát síkon rajzoljunk, szüksége van rá projekt. Vizuálisan így néz ki:

Képzeljük el, hogy a levegőben lóg a felszín felett drótvázas modell kocka, vagyis mintha „drótból lenne”, fölötte pedig egy villanykörte. Ha felkapcsolja a villanykörtét, ceruzával nyomon követi a kocka árnyékát, majd kikapcsolja az izzót, a kocka vetülete jelenik meg a felületen.

Térjünk át egy kicsit összetettebb dologra. Nézze meg újra a rajzot a villanykörtével: amint látja, az összes sugár egy ponton konvergál. Úgy hívják távlatpontés építésére használják perspektivikus vetítés(és ez párhuzamosan is megtörténik, amikor az összes sugár párhuzamos egymással. Az eredmény az, hogy nem jön létre a térfogat érzete, hanem könnyebb, sőt, ha az eltűnő pont elég távol van a vetített tárgytól, akkor a különbség e két vetület között alig észrevehető). Egy adott pont adott síkra egy eltűnési pont segítségével történő kivetítéséhez egyenes vonalat kell húzni a eltűnési ponton és az adott ponton, majd meg kell keresni az eredményül kapott egyenes és a sík metszéspontját. És ahhoz, hogy egy bonyolultabb alakzatot, mondjuk egy kockát, kivetítsen, minden csúcsát ki kell vetíteni, majd össze kell kötnie a megfelelő pontokat. Meg kell jegyezni, hogy algoritmus a tér altérre vetítéséreáltalánosítható a 4D->3D esetére, nem csak a 3D->2D.

Ahogy mondtam, nem tudjuk pontosan elképzelni, hogy néz ki az OQ tengely, akárcsak a tesseract. De korlátozott képet kaphatunk róla, ha kivetítjük egy kötetre, majd felrajzoljuk a számítógép képernyőjére!

Most beszéljünk a tesseract vetítésről.

A bal oldalon a kocka síkra vetítése, jobb oldalon pedig a tesserakt a térfogatra. Nagyon hasonlóak: egy kocka vetülete úgy néz ki, mint két kicsi és nagy négyzet, amelyek egymáson belül vannak, és amelyek megfelelő csúcsait vonalak kötik össze. A tesserakt vetülete pedig úgy néz ki, mint két kicsi és nagy kocka, amelyek egymásban vannak, és amelyeknek a megfelelő csúcsai össze vannak kötve. De mindannyian láttuk a kockát, és bátran kijelenthetjük, hogy mind a kis négyzet, mind a nagy négyzet, valamint a négy trapéz felül, lent, a kis négyzettől jobbra és balra valójában négyzetek, és egyenlőek. . És a tesseraktban ugyanez van. És egy nagy kocka, egy kis kocka, és hat csonka piramis egy kis kocka oldalán - ezek mind kockák, és egyenlőek.

A programom nem csak egy tesszekrakt vetületét képes egy kötetre rajzolni, hanem el is forgatni. Nézzük meg, hogyan történik ez.

Először is elmondom, mi az a síkkal párhuzamos forgás.

Képzelje el, hogy a kocka az OZ tengely körül forog. Ezután mindegyik csúcsa egy kört ír le az OZ tengely körül.

A kör egy lapos alak. És ezen körök mindegyikének síkjai párhuzamosak egymással, és ebben az esetben párhuzamosak az XOY síkkal. Vagyis nem csak az OZ tengely körüli forgásról beszélhetünk, hanem az XOY síkkal párhuzamos forgásról is Mint látjuk, az XOY tengellyel párhuzamosan forgó pontoknál csak az abszcissza és az ordináta változik, míg az applikátum marad. változatlan És valójában csak akkor beszélhetünk egyenes vonal körüli forgásról, ha háromdimenziós térrel van dolgunk. A kétdimenziós térben minden egy pont körül forog, a négydimenziós térben minden egy sík körül forog, az ötdimenziós térben térfogat körüli forgásról beszélünk. És ha el tudjuk képzelni a forgatást egy pont körül, akkor a sík és térfogat körüli forgás elképzelhetetlen. Ha pedig a síkkal párhuzamos forgásról beszélünk, akkor bármely n-dimenziós térben egy pont a síkkal párhuzamosan elfordulhat.

Bizonyára sokan hallottatok már a forgatási mátrixról. A pontot megszorozva vele a síkkal párhuzamosan phi szöggel elforgatott pontot kapunk. Kétdimenziós tér esetében ez így néz ki:

Hogyan kell szorozni: egy phi szöggel elforgatott pont x = az eredeti pont phi*ix szögének koszinusza mínusz az eredeti pont phi*ig szögének szinusza;
a phi szöggel elforgatott pont ig = az eredeti pont phi * ix szögének szinusza plusz az eredeti pont phi * ig szögének koszinusza.
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya
Ya`=sinф*Xa + cosф*Ya
, ahol Xa és Ya az elforgatandó pont abszcissza és ordinátája, Xa` és Ya` pedig a már elforgatott pont abszcissza és ordinátája

A háromdimenziós tér esetében ezt a mátrixot a következőképpen általánosítjuk:

Az XOY síkkal párhuzamos forgás. Mint látható, a Z koordináta nem változik, hanem csak X és Y változik
Xa`=cosф*Xa – sinф*Ya + Za*0
Ya`=sinф*Xa +cosф*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (lényegében Za`=Za)

Az XOZ síkkal párhuzamos forgatás. Semmi új
Xa`=cosф*Xa + Ya*0 - sinф*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (lényegében Ya`=Ya)
Za`=sinф*Xa + Ya*0 + cosф*Za

És a harmadik mátrix.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (lényegében Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosф*Ya - sinф*Za
Za`=Xa*0 + sinф*Ya + cosф*Za

A negyedik dimenzióhoz pedig így néznek ki:


Azt hiszem, már érted, mivel kell szorozni, ezért nem részletezem még egyszer. De megjegyzem, ugyanazt csinálja, mint a háromdimenziós térben egy síkkal párhuzamos forgatás mátrixa! Mindkettő csak az ordinátát és az applikációt változtatja meg, a többi koordinátát nem érinti, így háromdimenziós esetben is használható, egyszerűen nem figyelve a negyedik koordinátára.

De a vetítési képlettel nem minden olyan egyszerű. Akárhány fórumot olvastam, egyik vetítési módszer sem működött nálam. A párhuzamos nem volt megfelelő számomra, mivel a vetítés nem mutatna háromdimenziósnak. Egyes vetületi képletekben egy pont megtalálásához meg kell oldani egy egyenletrendszert (és nem tudom, hogyan tanítsam meg a számítógépet ezek megoldására), másokat egyszerűen nem értettem... Általában úgy döntöttem, hogy találja ki a saját utamat. Ehhez vegye figyelembe a 2D->1D vetítést.

A pov jelentése "nézeti pont", a ptp jelentése "pont a kivetítendő ponthoz" (a kivetítendő pont), a ptp pedig a kívánt pont az OX tengelyen.

A povptpB és a ptpptp`A szögek egyenlőek, mint megfelelőek (a szaggatott vonal párhuzamos az OX tengellyel, a povptp egyenes egy metsző).
A ptp` pont x értéke egyenlő a ptp pont x-ével mínusz a ptp`A szakasz hossza. Ezt a szakaszt a ptpptp`A háromszögből találhatjuk meg: ptp`A = ptpA/ptpptp`A szög érintője. Ezt az érintőt a povptpB háromszögből találhatjuk meg: érintő ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Válasz: Xptp`=Xptp-Yptp/ptpptp`A szög érintője.

Ezt az algoritmust itt nem írtam le részletesen, mivel nagyon sok olyan speciális eset van, amikor a képlet valamelyest megváltozik. Ha valakit érdekel nézze meg a program forráskódját, ott minden le van írva kommentben.

Ahhoz, hogy a háromdimenziós térben egy pontot síkra vetítsünk, egyszerűen csak két síkot veszünk figyelembe - XOZ-t és YOZ-t, és mindegyikre megoldjuk ezt a problémát. A négydimenziós tér esetében három síkot kell figyelembe venni: XOQ, YOQ és ZOQ.

És végül a programról. Ez így működik: inicializálja a tesseract tizenhat csúcsát -> a felhasználó által beírt parancsoktól függően, forgassa el -> vetítse a kötetre -> a felhasználó által megadott parancsoktól függően, forgassa el a vetületét -> vetítse rá a sík -> rajzolni.

A vetítéseket és a forgatásokat magam írtam. Az imént leírt képletek szerint működnek. Az OpenGL-könyvtár vonalakat rajzol és kezeli a színkeverést is. És a tesseract csúcsok koordinátáit a következő módon számítjuk ki:

Az origó középpontjában álló egyenes csúcsainak koordinátái és hossza 2 - (1) és (-1);
- " - " - négyzet - " - " - és 2 hosszúságú éllel:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) és (-1; -1);
- " - " - kocka - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Amint látja, egy négyzet egy vonallal az OY tengely felett és egy vonallal az OY tengely alatt van; egy kocka egy négyzet az XOY sík előtt és egy mögötte; A tesserakt egy kocka a XOYZ kötet másik oldalán, és egy ezen az oldalon. De sokkal könnyebben érzékelhető az egyesek és mínusz egyesek váltakozása, ha egy oszlopba vannak írva

1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1

Az első oszlopban egy és mínusz egy váltakozik. A második oszlopban először két plusz, majd két mínusz található. A harmadikban négy plusz egy, majd négy mínusz egy. Ezek voltak a kocka csúcsai. A tesseractban kétszer annyi van belőlük, ezért deklarálásukhoz ciklust kellett írni, különben nagyon könnyen összezavarodhatunk.

A programom anaglifát is tud rajzolni. A 3D szemüveg boldog tulajdonosai sztereoszkópikus képet figyelhetnek meg. Nincs semmi trükkös a kép rajzolásában, egyszerűen két vetületet rajzol a síkra, a jobb és a bal szem számára. De a program sokkal vizuálisabbá és érdekesebbé válik, és ami a legfontosabb, jobb képet ad a négydimenziós világról.

Kevésbé jelentős funkciók az egyik él piros megvilágítása, hogy a kanyarokat jobban lehessen látni, valamint a kisebb kényelmi funkciók - a „szem” pontok koordinátáinak szabályozása, a fordulási sebesség növelése és csökkentése.

Archívum a programmal, a forráskóddal és a használati utasítással együtt.

A többdimenziós terek doktrínája a 19. század közepén kezdett megjelenni. A négydimenziós tér ötletét tudományos-fantasztikus írók kölcsönözték a tudósoktól. Műveikben a negyedik dimenzió csodálatos csodáiról meséltek a világnak.

Műveik hősei a négydimenziós tér tulajdonságait felhasználva megehetik a tojás tartalmát anélkül, hogy a héjat megsértették volna, és italt ihattak anélkül, hogy kinyitották volna az üveg kupakját. A tolvajok a negyedik dimenzión keresztül eltávolították a kincset a széfből. A sebészek belső szerveket végeztek anélkül, hogy elvágták volna a páciens testszöveteit.

Tesseact

A geometriában a hiperkocka egy négyzet (n = 2) és egy kocka (n = 3) n-dimenziós analógiája. A szokásos 3 dimenziós kockánk négydimenziós analógja tesseraktként ismert. A tesserakt a kockához, mint a kocka a négyzethez. Formálisabban a tesserakt szabályos konvex négydimenziós poliéderként írható le, amelynek határa nyolc köbös cellából áll.

A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot, és így tovább. Végül a tesseraktnak 8 3D lapja, 24 2D lapja, 32 éle és 16 csúcsa van.
Az Oxford Dictionary szerint egyébként a tesseract szót Charles Howard Hinton (1853-1907) találta ki és használta 1888-ban A New Age of Thought című könyvében. Később néhányan ugyanazt az alakot tetrakockának (görögül tetra - négy) - négydimenziós kockának nevezték.

Felépítés és leírás

Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagyná a háromdimenziós teret.
Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. A negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) lévő kockát L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.

Hasonló módon folytathatjuk okoskodásunkat a nagyobb dimenziójú hiperkockákkal kapcsolatban, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka.

Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel a széle felől. A síkon két négyzetet fogunk látni és rajzolni (közeli és távoli élét), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös „doboz”, amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a „dobozok” - háromdimenziós lapok - a „mi” terünkre vetülnek, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatja azt is, hogy a kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.

Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek távlatilag meglehetősen összetett figurának tűnnek. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockára osztható, mint ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.

Egy háromdimenziós kocka hat lapjának levágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy - a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből - a végső „hiperfelületből”.

Hiperkocka a művészetben

A Tesseract annyira érdekes figura, hogy többször felkeltette az írók és filmesek figyelmét.
Robert E. Heinlein többször említette a hiperkockákat. A The House That Teal Built (1940) című művében egy házat írt le, amelyet kicsomagolt tesseraktnak építettek, majd egy földrengés következtében a negyedik dimenzióban "összehajtva" "igazi" tesseraktummá vált. Heinlein Glory Road című regénye egy hiper méretű dobozt ír le, amely belül nagyobb volt, mint kívül.

Henry Kuttner "All the Tenali is Borogov" című története egy oktatójátékot ír le gyerekeknek a távoli jövőből, szerkezetében hasonló egy tesserakthoz.

A Cube 2 cselekménye: A Hypercube középpontjában nyolc idegen áll, akik egy "hiperkockában" vagy összekapcsolt kockák hálózatában rekedtek.

Párhuzamos világ

A matematikai absztrakciók szülték a párhuzamos világok létezésének gondolatát. Ezeken olyan valóságokat értünk, amelyek a miénkkel egyidejűleg, de attól függetlenül léteznek. Egy párhuzamos világ különböző méretű lehet: egy kis földrajzi területtől a teljes univerzumig. Egy párhuzamos világban az események a maguk módján történnek, az egyes részletekben és szinte mindenben eltérhet a mi világunktól. Ráadásul egy párhuzamos világ fizikai törvényei nem feltétlenül hasonlóak a mi Univerzumunk törvényeihez.

Ez a téma termékeny talaj a sci-fi írók számára.

Salvador Dali "A keresztre feszítés" című festménye egy tesseraktumot ábrázol. A „Crucifixion or Hypercubic Body” Salvador Dali spanyol művész 1954-ben festett festménye. A keresztre feszített Jézus Krisztust ábrázolja egy tesserakt szkennelésen. A festményt a New York-i Metropolitan Museum of Art őrzik

Az egész 1895-ben kezdődött, amikor H.G. Wells „The Door in the Wall” című történetével felfedezte a sci-fi párhuzamos világainak létezését. 1923-ban Wells visszatért a párhuzamos világok gondolatához, és az egyikben egy utópisztikus országot helyezett el, ahová a Men Like Gods című regény szereplői járnak.

A regény nem maradt észrevétlen. 1926-ban jelent meg G. Dent „Az ország császára „Ha” című története. Dent történetében merült fel először az a gondolat, hogy létezhetnek olyan országok (világok), amelyek története másképp alakulhat, mint a valódi országok történelme. a mi világunkban ezek nem kevésbé valóságosak, mint a miénk.

1944-ben Jorge Luis Borges kitalált történetek című könyvében megjelentette az „Elágazó utak kertje” című történetet. Itt az elágazási idő gondolata végül a lehető legtisztábban megfogalmazódott.
A fent felsorolt ​​művek megjelenése ellenére sok világ gondolata csak a 20. század negyvenes éveinek végén kezdett komolyan fejlődni a tudományos-fantasztikus irodalomban, körülbelül ugyanabban az időben, amikor egy hasonló ötlet felmerült a fizikában.

A sci-fi új irányának egyik úttörője John Bixby volt, aki az „One Way Street” (1954) című történetben azt javasolta, hogy a világok között csak egy irányba haladhatsz – ha a világodból egy párhuzamos világba lépsz, nem térsz vissza, hanem egyik világból a másikba lépsz. Nem kizárt azonban a saját világba való visszatérés sem - ehhez az szükséges, hogy a világok rendszere zárva legyen.

Clifford Simak A Ring Around the Sun (1982) című regénye számos Föld bolygót ír le, amelyek mindegyike a saját világában létezik, de ugyanazon a pályán, és ezek a világok és ezek a bolygók csak enyhe (mikroszekundumos) időeltolódásban különböznek egymástól. A számos Föld, amelyet a regényhős meglátogat, egyetlen világrendszert alkot.

Alfred Bester „A férfi, aki megölte Mohamedet” (1958) című történetében a világok elágazásáról adott érdekes nézetet. „Ha megváltoztatod a múltat ​​– érvelt a történet hőse –, csak magad miatt változtatsz rajta.” Más szóval, a múlt változása után a történelemnek egy olyan ága keletkezik, amelyben csak a változást végrehajtó szereplő számára létezik ez a változás.

A Sztrugackij fivérek "A hétfő kezdődik szombaton" (1962) című története a szereplők sci-fi írók által leírt jövő különböző változataihoz vezető utazásait írja le – ellentétben a sci-fi-ben már létező, a múlt különböző változataihoz vezető utazásokkal.

A párhuzamos világok témáját érintő művek egyszerű felsorolása azonban túl sok időt venne igénybe. És bár a tudományos-fantasztikus írók általában nem támasztják alá tudományosan a többdimenziós posztulátumot, egy dologban igazuk van - ez egy hipotézis, amelynek létjogosultsága van.
A tesserakt negyedik dimenziója még mindig vár ránk.

Viktor Savinov

A Tesseract egy négydimenziós hiperkocka – egy kocka négydimenziós térben.
Az Oxford Dictionary szerint a tesseract szót Charles Howard Hinton (1853-1907) találta ki és használta 1888-ban A New Age of Thought című könyvében. Később egyesek ugyanezt az alakot tetrakockának (görögül τετρα - négy) - négydimenziós kockának nevezték.
Az euklideszi négydimenziós tér közönséges tesseraktumát pontok (±1, ±1, ±1, ±1) konvex héjaként határozzuk meg. Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = A tesseraktumot nyolc hipersík korlátozza: x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , amelyek metszéspontja magával a tesserakttal háromdimenziós lapokat (amelyek közönséges kockák) határoz meg. A nem párhuzamos háromdimenziós lapok mindegyike metszi egymást, így kétdimenziós lapokat (négyzeteket) alkot, és így tovább lapok, 24 kétdimenziós lap, 32 él és 16 csúcs.
Népszerű leírás
Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagynánk a háromdimenziós teret.
Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. A negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) lévő kockát L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.
Az AB egydimenziós szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldalaként, a négyzet pedig a CDBAGHFE kocka oldalaként szolgál, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy csúcsa, a kockának nyolc. Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető egy hiperkocka arcára is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). Egy négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.
Ahogy a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, úgy a „négydimenziós kocka” (tesseract) oldalai 8 háromdimenziós kocka. . A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.
Hasonló módon folytathatjuk okoskodásunkat a nagyobb dimenziójú hiperkockákkal kapcsolatban, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Ehhez a már ismert analógiás módszert fogjuk használni.
Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel a széle felől. A síkon két négyzetet fogunk látni és rajzolni (közeli és távoli élét), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös „doboz”, amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a „dobozok” - háromdimenziós lapok - a „mi” terünkre vetülnek, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatja azt is, hogy a kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.
Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek távlatilag meglehetősen összetett figurának tűnnek. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.
Egy háromdimenziós kocka hat lapjának levágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy - a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből - a végső „hiperfelületből”.
A tesserakt tulajdonságai az alacsonyabb dimenziójú geometriai alakzatok tulajdonságainak folytatását jelentik a négydimenziós térben.

Egy négydimenziós vagy négy koordinátájú univerzum éppoly nem kielégítő, mint a három dimenziós univerzum. Kijelenthetjük, hogy nem áll rendelkezésünkre az univerzum felépítéséhez szükséges összes adat, mivel sem a régi fizika három koordinátája, sem az új négy koordinátája nem elegendő a leíráshoz. teljes a világegyetem jelenségeinek sokfélesége.

Nézzük sorrendben a különböző méretű „kockákat”.

A vonalon lévő egydimenziós kocka egy szakasz. Kétdimenziós - egy négyzet. A négyzet határa négy pontból áll - csúcsokÉs négy szegmens - bordaÍgy egy négyzet határán kétféle elem található: pontok és szakaszok. A háromdimenziós kocka szegélye háromféle elemet tartalmaz: csúcsok - 8 van belőlük, élek (szegmensek) - 12 van belőlük és arcok (négyzetek) - 6 van belőlük. Az AB egydimenziós szakasz a kétdimenziós ABCD négyzet lapjaként szolgál, a négyzet az ABCDHEFG kocka oldala, ami viszont a négy oldala lesz. -dimenziós hiperkocka.

Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető egy hiperkocka arcára is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). Egy négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.

Kocka méret	Határ dimenzió
2 négyzet
4 tesserakt

Koordináták benégydimenziós tér.

Az egyenes egy pontját számként, egy síkpontot számpárként, a háromdimenziós térben lévő pontot számhármasként határozzuk meg. Ezért teljesen természetes, hogy a négydimenziós tér geometriáját úgy konstruáljuk meg, hogy ebben a képzeletbeli térben egy pontot számnégyszeresként határozunk meg.

A négydimenziós kocka kétdimenziós lapja olyan pontok halmaza, amelyeknél két koordináta minden lehetséges értéket felvehet 0-tól 1-ig, a másik kettő pedig állandó (egyenlő 0-val vagy 1-gyel).

Háromdimenziós arc A négydimenziós kocka olyan pontok halmaza, amelyekben három koordináta minden lehetséges értéket felvesz 0-tól 1-ig, az egyik pedig állandó (egyenlő 0-val vagy 1-gyel).

Különböző méretű kockák fejlesztései.

Vegyünk egy szegmenst, minden oldalra helyezünk egy szegmenst, és bármelyikhez rögzítünk egy másikat, jelen esetben a jobb oldali szegmenshez.

Négyzetes szkennelést kaptunk.

Vegyünk egy négyzetet, minden oldalra helyezünk egy négyzetet, bármelyikhez rögzítünk egy másikat, jelen esetben az alsó négyzethez.

Ez egy háromdimenziós kocka továbbfejlesztése.

Négydimenziós kocka

Vegyünk egy kockát, minden oldalra helyezünk egy kockát, és ebben az alsó kockában bármelyikhez rögzítünk egy másikat.

Négydimenziós kocka fejlesztése

Képzeljük el, hogy egy négydimenziós kocka drótból van, és egy hangya ül a csúcsban (1;1;1;1), majd a hangyának az élek mentén kell az egyik csúcsból a másikba kúsznia.

Kérdés: hány élt kell végigmásznia, hogy elérje a (0;0;0;0) csúcsot?

4 él mentén, vagyis a csúcs (0;0;0;0) egy 4. rendű csúcs, 1 él mentén haladva eljuthat egy olyan csúcshoz, amelynek az egyik koordinátája 0, ez egy 1. rendű csúcs, 2 élen áthaladva eljuthat olyan csúcsokba ahol 2 nulla van, ezek 2. rendű csúcsok, 6 ilyen csúcs van, 3 él mentén haladva eljut azokhoz a csúcsokhoz, amelyeknek 3 nulla koordinátája van, ezek a harmadik rend.

Vannak más kockák is a többdimenziós térben. A tesseract mellett sok méretű kockát is építhet. Az ötdimenziós kocka modellje egy penteract.

Művészek, rendezők, szobrászok, tudósok különböző módon ábrázolják a többdimenziós kockát. Íme néhány példa:

Sok tudományos-fantasztikus író leírja a tesseraktumot műveiben. Például Robert Anson Heinlein (1907–1988) legalább három nem fikciós történetében említette a hiperkockákat. A "Négy dimenzió házában" egy házat írt le, amely úgy épült, mint egy tesseraktum kibontakozása.

A Cube 2 film cselekményének középpontjában nyolc idegen áll, akik egy hiperkockában rekedtek.

« Keresztre feszítés", Salvador Dali, 1954 (1951). Dali szürrealizmusa a mi valóságunk és a túlvilági, különösen a 4 dimenziós világ közötti érintkezési pontokat kereste. Ezért egyrészt elképesztő, másrészt semmi meglepő abban, hogy a keresztény keresztet alkotó kockák geometriai alakja egy 4 dimenziós kocka 3 dimenziós kifejlődésének képe, ill. tesserakt.

Október 21-én a Pennsylvaniai Állami Egyetem Matematika Tanszéke bemutatta az „Octacube” nevű szokatlan szobrot. Ez egy négydimenziós geometriai objektum képe háromdimenziós térben. A szobor szerzője, Adrian Ocneanu professzor szerint ilyen szép figura még nem létezett a világon, sem virtuálisan, sem fizikailag, bár négydimenziós figurák háromdimenziós vetületei korábban is készültek.

Általában a matematikusok könnyen dolgoznak négy-, öt- és még többdimenziós objektumokkal, de lehetetlen háromdimenziós térben ábrázolni őket. Az „Octacube”, mint minden hasonló figura, nem igazán négydimenziós. Összehasonlítható egy térképpel – a földgömb háromdimenziós felületének egy lapos papírlapra vetített vetületével.

Okneanu egy négydimenziós alak háromdimenziós vetületét készítette radiális sztereográfiával számítógép segítségével. Ugyanakkor az eredeti négydimenziós alak szimmetriája megmaradt. A szobornak 24 csúcsa és 96 lapja van. A négydimenziós térben az ábra élei egyenesek, vetítésben viszont íveltek. A háromdimenziós vetítés és az eredeti ábra lapjai közötti szögek azonosak.

Az Octacube rozsdamentes acélból készült a Pennsylvania State University mérnöki műhelyében. A szobrot a Matematikai Kar felújított McAllister épületében helyezték el.

A többdimenziós tér sok tudóst érdekelt, mint például Rene Descartes és Hermann Minkowski. Napjainkban a témával kapcsolatos ismeretek bővülnek. Segíti korunk matematikusait, kutatóit és feltalálóit céljaik elérésében és a tudomány előmozdításában. Egy lépés a többdimenziós térbe egy lépés az emberiség új, fejlettebb korszakába.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete