Euler-Venn diagramok. A halmaz, részhalmaz, üres halmaz fogalma
Sztori
1. definíció
Leonhard Eulernek feltették a kérdést: lehetséges-e Königsberg körül járva a város összes hídját megkerülni anélkül, hogy kétszer átmennénk valamelyiken? Tartalmaz egy várostervet hét híddal.
Egy általa ismert olasz matematikusnak írt levelében Euler rövid és szép megoldást adott a königsbergi hidak problémájára: ilyen elrendezéssel a probléma megoldhatatlan. Egyúttal jelezte, hogy a kérdés érdekesnek tűnik számára, mert... "Sem a geometria, sem az algebra nem elegendő a megoldáshoz...".
L. Euler sok feladat megoldása során körökkel ábrázolta a halmazokat, ezért kapták a nevet "Euleri körök". Ezt a módszert korábban Gottfried Leibniz német filozófus és matematikus alkalmazta, aki a fogalmak közötti logikai összefüggések geometriai magyarázatára használta őket, de gyakrabban használt lineáris diagramokat. Euler elég alaposan kidolgozta a módszert. A grafikus módszerek különösen híressé váltak John Venn angol logikusnak és filozófusnak köszönhetően, aki bevezette a Venn-diagramokat és a hasonló diagramokat gyakran ún. Euler-Venn diagramok. Számos területen használják őket, például a halmazelméletben, a valószínűségszámításban, a logikában, a statisztikában és a számítástechnikában.
A diagramkészítés elve
Eddig az Euler-Venn diagramokat széles körben használták több halmaz összes lehetséges metszéspontjának sematikus ábrázolására. A diagramok az n tulajdonság összes $2^n$ kombinációját mutatják. Például, ha $n=3$, a diagram három olyan kört mutat, amelyeknek középpontja egy egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban van, és sugara megegyezik a háromszög oldalának hosszával.
A logikai műveletek igazságtáblázatokat határoznak meg. Az ábra egy kört mutat az általa képviselt halmaz nevével, például $A$. Az $A$ kör közepén lévő terület a $A$ kifejezés igazságát, a körön kívüli terület pedig hamisat jelez. A logikai művelet megjelenítéséhez csak azok a területek kerülnek árnyékolásra, amelyekben a $A$ és $B$ halmazok logikai műveletének értékei igazak.
Például két $A$ és $B$ halmaz konjunkciója csak akkor igaz, ha mindkét halmaz igaz. Ebben az esetben a diagramban $A$ és $B$ konjunkciójának eredménye a körök közepén lévő terület lesz, amely egyszerre tartozik a $A$ halmazhoz és a $B$ halmazhoz (a metszéspont a készletek közül).
1. ábra: $A$ és $B$ halmazok konjunkciója
Euler-Venn diagramok használata logikai egyenlőségek bizonyítására
Nézzük meg, hogyan használják az Euler-Venn diagramok elkészítésének módszerét a logikai egyenlőségek bizonyítására.
Bizonyítsuk be De Morgan törvényét, amelyet az egyenlőség ír le:
Bizonyíték:
4. ábra: $A$ inverziója
5. ábra: $B$ inverziója
6. ábra: $A$ és $B$ inverziók konjunkciója
A bal és jobb oldali rész megjelenítési területének összehasonlítása után azt látjuk, hogy egyenlők. Ebből következik a logikai egyenlőség érvényessége. De Morgan törvényét Euler-Venn diagramokkal igazoljuk.
Internetes információkeresés problémájának megoldása Euler-Venn diagramok segítségével
Az interneten történő információkereséshez kényelmes a logikai összeköttetésekkel rendelkező keresési lekérdezések használata, amelyek jelentése hasonló az orosz nyelv „és”, „vagy” kötőszavaihoz. A logikai konnektívumok jelentése világosabbá válik, ha Euler-Venn diagramok segítségével szemléltetjük őket.
1. példa
A táblázat példákat mutat be a keresőkiszolgálóhoz intézett lekérdezésekre. Minden kérésnek saját kódja van – egy $A$ és $B$ közötti levél. A kéréskódokat az egyes kérésekhez talált oldalak számának megfelelő csökkenő sorrendbe kell rendeznie.
7. ábra.
Megoldás:
Készítsünk Euler-Venn diagramot minden egyes kéréshez:
8. ábra.
Válasz: BVA.
Logikai értelmes probléma megoldása Euler-Venn diagramok segítségével
2. példa
A téli szünetben a 36 dolláros 2 dolláros osztály tanulói nem mentek moziba, színházba vagy cirkuszba. 25 dolláros ember járt moziba, 11 dolláros ember színházba, 17 dolláros ember cirkuszba; mind a moziban, mind a színházban - 6 $; mind a moziba, mind a cirkuszba - 10 $; a színházba és a cirkuszba pedig 4 dollár.
Hányan voltak moziban, színházban és cirkuszban?
Megoldás:
Jelöljük $x$-ként azoknak a gyerekeknek a számát, akik moziba, színházba és cirkuszba jártak.
Készítsünk egy diagramot, és derítsük ki a srácok számát az egyes területeken:
9. ábra.
Még nem jártam színházban, moziban vagy cirkuszban - 2 dollár személyenként.
Tehát 36-2 dollár = 34 dollár ember. rendezvényeken vett részt.
$6$ ember járt moziba és színházba, ami azt jelenti, hogy csak moziba és színházba ($6 - x)$ ember.
10$-os ember járt moziba és cirkuszba, ami azt jelenti, hogy csak moziba és cirkuszba (10-x$) ember járt.
4$ ember járt színházba és cirkuszba, ami azt jelenti, hogy csak 4 - x$ ember járt színházba és cirkuszba.
$25$ ember ment moziba, ami azt jelenti, hogy $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ ment el egyedül a moziba.
Hasonlóképpen csak ($1+x$) ember járt színházba.
Csupán ($3+x$) ember járt a cirkuszba.
Szóval, elmentünk színházba, moziba és cirkuszba:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34 USD;
Azok. csak egy ember járt színházba, moziba és cirkuszba.
1. Bemutatkozás
Az alap- és felső tagozatos számítástechnika és IKT tanfolyamon olyan fontos témák kerülnek terítékre, mint a „Logika alapjai” és az „Információkeresés az interneten”. Egy bizonyos típusú probléma megoldásánál célszerű az Euler-köröket (Euler-Venn diagramok) használni.
Matematikai hivatkozás. Az Euler-Venn diagramokat elsősorban a halmazelméletben használják több halmaz összes lehetséges metszéspontjának sematikus ábrázolásaként. Általában n tulajdonság mind a 2 n kombinációját képviselik. Például, ha n=3, az Euler-Venn diagramot általában három körként ábrázolják, amelyek középpontjai egy egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban vannak, és sugara megegyezik a háromszög oldalának hosszával.
2. Logikai konnektívumok ábrázolása keresési lekérdezésekben
Az „Információ keresése az interneten” témakör tanulmányozásakor példákat veszünk a logikai kapcsolatokat használó keresési lekérdezésekre, amelyek jelentésükben hasonlóak az orosz nyelv „és”, „vagy” kötőszavaihoz. A logikai konnektívumok jelentése világosabbá válik, ha grafikus diagrammal illusztrálja őket - Euler-körök (Euler-Venn diagramok).
| Logikai összeköttetés | Példa kérés | Magyarázat | Euler-körök |
| & - "ÉS" | Párizs & egyetemi | Minden olyan oldal kiválasztásra kerül, amely mindkét szót említi: Párizs és egyetem | 1. ábra |
| | - "VAGY" | Párizs | egyetemi | Minden olyan oldal kiválasztásra kerül, ahol a Párizs és/vagy az egyetem szó szerepel | 2. ábra |
3. Logikai műveletek kapcsolata halmazelmélettel
Az Euler-Venn diagramok segítségével megjeleníthető a logikai műveletek és a halmazelmélet közötti kapcsolat. A bemutatóhoz használhatja a behelyezett diákat 1. számú melléklet.
A logikai műveleteket az igazságtáblázatuk határozza meg. BAN BEN 2. függelék Részletesen tárgyaljuk a logikai műveletek grafikus illusztrációit és azok igazságtáblázatait. Magyarázzuk meg általános esetben a diagram felépítésének elvét. Az ábrán az A nevű kör területe az A állítás igazságát jeleníti meg (halmazelméletben az A kör az adott halmazban szereplő összes elem jelölése). Ennek megfelelően a körön kívüli terület a megfelelő állítás „hamis” értékét jeleníti meg. Annak megértéséhez, hogy a diagram melyik területe jelenít meg egy logikai műveletet, csak azokat a területeket kell árnyékolnia, amelyekben az A és B halmazokon a logikai művelet értéke egyenlő az „igaz” értékkel.
Például az implikációs érték három esetben igaz (00, 01 és 11). Árnyékoljuk egymás után: 1) a két egymást metsző körön kívüli területet, amely megfelel az A=0, B=0 értékeknek; 2) csak a B körhöz kapcsolódó terület (félhold), amely az A=0, B=1 értékeknek felel meg; 3) az A körhöz és a B körhöz kapcsolódó terület (metszéspont) - megfelel az A=1, B=1 értékeknek. E három terület kombinációja az implikáció logikai műveletének grafikus ábrázolása lesz.
4. Euler-körök használata logikai egyenlőségek (törvények) bizonyítására
A logikai egyenlőségek bizonyításához használhatja az Euler-Venn diagram módszerét. Igazoljuk a következő egyenlőséget ¬(АvВ) = ¬А&¬В (de Morgan törvénye).
Az egyenlőség bal oldalának vizuális megjelenítéséhez tegyük ezt egymás után: árnyékoljuk be mindkét kört (alkalmazzuk diszjunkciót) szürke színnel, majd az inverzió megjelenítéséhez árnyékoljuk be a körökön kívüli területet feketével:
3. ábra 4. ábra
Az egyenlőség jobb oldalának vizuális megjelenítéséhez tegyük szekvenciálisan: árnyékoljuk az inverzió (¬A) megjelenítésére szolgáló területet szürkével, és hasonlóképpen a ¬B területet is szürkével; majd a konjunkció megjelenítéséhez meg kell vennie ezeknek a szürke területeknek a metszéspontját (az átfedés eredménye feketével van ábrázolva):
5. ábra 6. ábra 7. ábra
Látjuk, hogy a bal és a jobb oldali rész megjelenítési területe egyenlő. Q.E.D.
5. Problémák az államvizsga és az egységes államvizsga formátumban a következő témában: „Információkeresés az interneten”
18. probléma a GIA 2013 demó verziójából.
A táblázat a keresőkiszolgálóhoz intézett lekérdezéseket mutatja. Minden kérésnél fel van tüntetve annak kódja - a megfelelő betű A-tól G-ig. Rendezd a kéréskódokat balról jobbra sorrendben ereszkedő hány oldalt talál a keresőmotor az egyes kérésekhez.
| Kód | Kérés |
| A | (Fly & Money) | Szamovár |
| B | Fly & Money & Bazaar & Samovar |
| BAN BEN | Fly | Pénz | Szamovár |
| G | Fly & Money & Samovar |
Minden lekérdezéshez Euler-Venn diagramot készítünk:
| Kérés A | Kérés B | Kérés B | Kérés G |
Válasz: VAGB.
B12. feladat az Egységes Államvizsga 2013 bemutató verziójából.
A táblázat az internet bizonyos szegmensére vonatkozó lekérdezéseket és talált oldalak számát mutatja.
| Kérés | Talált oldalak (ezerben) |
| Fregatt | Romboló | 3400 |
| Fregatt és romboló | 900 |
| Fregatt | 2100 |
Hány oldalt (ezerben) talál a lekérdezés? Romboló?
Úgy gondolják, hogy az összes lekérdezés szinte egyszerre futott le, így a lekérdezések végrehajtása során nem változott az összes keresett szót tartalmazó oldalkészlet.
Ф – oldalszám (ezerben) kérésre Fregatt;
E – oldalszám (ezerben) kérésre Romboló;
X – oldalak száma (ezerben) egy említést tartalmazó lekérdezéshez FregattÉs Nem említett Romboló;
Y – az említést tartalmazó lekérdezés oldalainak száma (ezerben). RombolóÉs Nem említett Fregatt.
Készítsünk Euler-Venn diagramokat minden lekérdezéshez:
| Kérés | Euler-Venn diagram | Oldalszám |
| Fregatt | Romboló | 12. ábra | 3400 |
| Fregatt és romboló | 13. ábra | 900 |
| Fregatt | 14. ábra | 2100 |
| Romboló | 15. ábra | ? |
A diagramok szerint a következőket kapjuk:
- X + 900 + Y = F + Y = 2100 + Y = 3400. Innen Y = 3400-2100 = 1300.
- E = 900 + U = 900 + 1300 = 2200.
Válasz: 2200.
6. Logikai értelmes feladatok megoldása Euler-Venn diagram módszerrel
36 fő van az osztályban. Ennek az osztálynak a tanulói matematika, fizika és kémiai szakkörbe járnak, ebből 18 fő a matematikai körbe, 14 fő a fizikai körbe, 10 fő pedig a kémiai körbe vegyen részt matematikai és fizikai, 5 és matematikai és kémiai, 3 fizikai és kémiai szakokon.
Hány tanuló az osztályból nem jár semmilyen klubba?
A probléma megoldásához nagyon kényelmes és intuitív az Euler-körök használata.
A legnagyobb kör az osztály összes tanulójának halmaza. A kör belsejében három egymást metsző halmaz található: a matematikai ( M), fizikai ( F), vegyi ( x) körökben.
Hadd MFC- sok srác, akik mindhárom klubba járnak. MF¬X- sok gyerek, akik mindegyike matematika és fizika szakkörbe jár és Nem vegyészlátogat. ¬M¬FH- Sok srác, mindegyik kémia szakkörbe jár, és nem fizika és matematika szakkörbe.
Hasonlóan mutatjuk be a készleteket: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
Ismeretes, hogy mindhárom körbe 2 fő jár, tehát a régióban MFCÍrjuk be a 2-es számot. Mert 8 fő jár mind a matematikai, mind a fizikai körbe, közülük már 2 fő jár mindhárom körbe, akkor a régióban MF¬X adjunk be 6 főt (8-2). Hasonló módon határozzuk meg a tanulók számát a többi halmazban:
Összegezzük az összes régió lakosainak számát: 7+6+3+2+4+1+5=28. Következésképpen az osztályból 28 ember jár klubba.
Ez azt jelenti, hogy 36-28 = 8 diák nem jár klubba.
A téli szünet után az osztályfőnök megkérdezte, hogy a gyerekek közül ki járt színházba, moziba, cirkuszba. Kiderült, hogy az osztály 36 diákjából ketten még soha nem voltak moziban. sem a színházban, sem a cirkuszban. Moziba 25-en, színházba 11-en, cirkuszba 17-en jártak; moziban és színházban egyaránt - 6; mind a moziban, mind a cirkuszban - 10; a színházban és a cirkuszban pedig - 4.
Hányan voltak moziban, színházban és cirkuszban?
Legyen x azoknak a gyerekeknek a száma, akik moziba, színházba és cirkuszba jártak.
Ezután elkészítheti a következő diagramot, és megszámolhatja a srácok számát az egyes területeken:
| Moziba és színházba 6 fő látogatott el, ami azt jelenti, hogy csak 6 fő járt moziba és színházba. Hasonlóan csak moziban és cirkuszban (10.) emberek. Csak színházban és cirkuszban (4) ember. 25-en mentek moziba, ami azt jelenti, hogy 25-en csak moziba mentek - (10-es) - (6-os) - x = (9+x). Hasonlóan csak a színházban volt (1+x) ember. Csak (3+x) ember volt a cirkuszban. Még nem volt színházban, moziban vagy cirkuszban – 2 fő. Ez 36-2=34 főt jelent. rendezvényeken vett részt. Másrészt a színházban, moziban és cirkuszban tartózkodók számát összegezhetjük: (9+x)+(1+x)+(3+x)+(10)+(6)+(4)+x = 34 Ebből következik, hogy mindhárom eseményen csak egy személy vett részt. |
Így az Euler-körök (Euler-Venn diagramok) gyakorlati alkalmazást találnak az Egységes Államvizsga és Államvizsga formátumú feladatok megoldásában és az értelmes logikai feladatok megoldásában.
Irodalom
- V.Yu. Lyskova, E.A. Rakitina. Logika a számítástechnikában. M.: Informatika és Oktatás, 2006. 155 p.
- L.L. Bosova. Számítógépek aritmetikai és logikai alapjai. M.: Informatika és Oktatás, 2000. 207 p.
- L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Tankönyv. Számítástechnika és IKT 8. évfolyamnak: BINOM. Tudáslaboratórium, 2012. 220 p.
- L.L. Bosova, A.Yu. Bosova. Tankönyv. Számítástechnika és IKT 9. évfolyamnak: BINOM. Tudáslaboratórium, 2012. 244 p.
- FIPI weboldal: http://www.fipi.ru/
Sztori
1. definíció
Leonhard Eulernek feltették a kérdést: lehetséges-e Königsberg körül járva a város összes hídját megkerülni anélkül, hogy kétszer átmennénk valamelyiken? Tartalmaz egy várostervet hét híddal.
Egy általa ismert olasz matematikusnak írt levelében Euler rövid és szép megoldást adott a königsbergi hidak problémájára: ilyen elrendezéssel a probléma megoldhatatlan. Egyúttal jelezte, hogy a kérdés érdekesnek tűnik számára, mert... "Sem a geometria, sem az algebra nem elegendő a megoldáshoz...".
L. Euler sok feladat megoldása során körökkel ábrázolta a halmazokat, ezért kapták a nevet "Euleri körök". Ezt a módszert korábban Gottfried Leibniz német filozófus és matematikus alkalmazta, aki a fogalmak közötti logikai összefüggések geometriai magyarázatára használta őket, de gyakrabban használt lineáris diagramokat. Euler elég alaposan kidolgozta a módszert. A grafikus módszerek különösen híressé váltak John Venn angol logikusnak és filozófusnak köszönhetően, aki bevezette a Venn-diagramokat és a hasonló diagramokat gyakran ún. Euler-Venn diagramok. Számos területen használják őket, például a halmazelméletben, a valószínűségszámításban, a logikában, a statisztikában és a számítástechnikában.
A diagramkészítés elve
Eddig az Euler-Venn diagramokat széles körben használták több halmaz összes lehetséges metszéspontjának sematikus ábrázolására. A diagramok az n tulajdonság összes $2^n$ kombinációját mutatják. Például, ha $n=3$, a diagram három olyan kört mutat, amelyeknek középpontja egy egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban van, és sugara megegyezik a háromszög oldalának hosszával.
A logikai műveletek igazságtáblázatokat határoznak meg. Az ábra egy kört mutat az általa képviselt halmaz nevével, például $A$. Az $A$ kör közepén lévő terület a $A$ kifejezés igazságát, a körön kívüli terület pedig hamisat jelez. A logikai művelet megjelenítéséhez csak azok a területek kerülnek árnyékolásra, amelyekben a $A$ és $B$ halmazok logikai műveletének értékei igazak.
Például két $A$ és $B$ halmaz konjunkciója csak akkor igaz, ha mindkét halmaz igaz. Ebben az esetben a diagramban $A$ és $B$ konjunkciójának eredménye a körök közepén lévő terület lesz, amely egyszerre tartozik a $A$ halmazhoz és a $B$ halmazhoz (a metszéspont a készletek közül).
1. ábra: $A$ és $B$ halmazok konjunkciója
Euler-Venn diagramok használata logikai egyenlőségek bizonyítására
Nézzük meg, hogyan használják az Euler-Venn diagramok elkészítésének módszerét a logikai egyenlőségek bizonyítására.
Bizonyítsuk be De Morgan törvényét, amelyet az egyenlőség ír le:
Bizonyíték:
4. ábra: $A$ inverziója
5. ábra: $B$ inverziója
6. ábra: $A$ és $B$ inverziók konjunkciója
A bal és jobb oldali rész megjelenítési területének összehasonlítása után azt látjuk, hogy egyenlők. Ebből következik a logikai egyenlőség érvényessége. De Morgan törvényét Euler-Venn diagramokkal igazoljuk.
Internetes információkeresés problémájának megoldása Euler-Venn diagramok segítségével
Az interneten történő információkereséshez kényelmes a logikai összeköttetésekkel rendelkező keresési lekérdezések használata, amelyek jelentése hasonló az orosz nyelv „és”, „vagy” kötőszavaihoz. A logikai konnektívumok jelentése világosabbá válik, ha Euler-Venn diagramok segítségével szemléltetjük őket.
1. példa
A táblázat példákat mutat be a keresőkiszolgálóhoz intézett lekérdezésekre. Minden kérésnek saját kódja van – egy $A$ és $B$ közötti levél. A kéréskódokat az egyes kérésekhez talált oldalak számának megfelelő csökkenő sorrendbe kell rendeznie.
7. ábra.
Megoldás:
Készítsünk Euler-Venn diagramot minden egyes kéréshez:
8. ábra.
Válasz: BVA.
Logikai értelmes probléma megoldása Euler-Venn diagramok segítségével
2. példa
A téli szünetben a 36 dolláros 2 dolláros osztály tanulói nem mentek moziba, színházba vagy cirkuszba. 25 dolláros ember járt moziba, 11 dolláros ember színházba, 17 dolláros ember cirkuszba; mind a moziban, mind a színházban - 6 $; mind a moziba, mind a cirkuszba - 10 $; a színházba és a cirkuszba pedig 4 dollár.
Hányan voltak moziban, színházban és cirkuszban?
Megoldás:
Jelöljük $x$-ként azoknak a gyerekeknek a számát, akik moziba, színházba és cirkuszba jártak.
Készítsünk egy diagramot, és derítsük ki a srácok számát az egyes területeken:
9. ábra.
Még nem jártam színházban, moziban vagy cirkuszban - 2 dollár személyenként.
Tehát 36-2 dollár = 34 dollár ember. rendezvényeken vett részt.
$6$ ember járt moziba és színházba, ami azt jelenti, hogy csak moziba és színházba ($6 - x)$ ember.
10$-os ember járt moziba és cirkuszba, ami azt jelenti, hogy csak moziba és cirkuszba (10-x$) ember járt.
4$ ember járt színházba és cirkuszba, ami azt jelenti, hogy csak 4 - x$ ember járt színházba és cirkuszba.
$25$ ember ment moziba, ami azt jelenti, hogy $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ ment el egyedül a moziba.
Hasonlóképpen csak ($1+x$) ember járt színházba.
Csupán ($3+x$) ember járt a cirkuszba.
Szóval, elmentünk színházba, moziba és cirkuszba:
$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34 USD;
Azok. csak egy ember járt színházba, moziba és cirkuszba.
Leonhard Euler (1707-1783) - híres svájci és orosz matematikus, a Szentpétervári Tudományos Akadémia tagja, élete nagy részét Oroszországban élte le. A statisztikában, számítástechnikában és logikában a leghíresebb az Euler-kör (Euler-Venn diagram), amely a fogalmak és elemkészletek hatókörének jelzésére szolgál.
John Venn (1834-1923) - angol filozófus és logikus, az Euler-Venn diagram társszerzője.
Kompatibilis és inkompatibilis fogalmak
A logikai fogalom egy olyan gondolkodási formát jelent, amely a homogén objektumok osztályának lényeges jellemzőit tükrözi. Egy vagy több szócsoporttal jelölik őket: „világtérkép”, „domináns kvintakkord”, „hétfő” stb.
Abban az esetben, ha egy fogalom hatókörének elemei részben vagy egészben egy másik fogalom körébe tartoznak, akkor kompatibilis fogalmakról beszélünk. Ha egy bizonyos fogalom hatókörének egyetlen eleme sem tartozik egy másik fogalom körébe, akkor összeférhetetlen fogalmakkal állunk szemben.
Viszont minden fogalomtípusnak megvan a maga lehetséges kapcsolatrendszere. A kompatibilis fogalmak esetében ezek a következők:
- kötetek azonossága (ekvivalenciája);
- kötetek metszéspontja (részleges egybeesése);
- alárendeltség (alárendeltség).
Nem kompatibilisek esetén:
- alárendeltség (koordináció);
- ellentétes (ellentétes);
- ellentmondás (ellentmondás).
Sematikusan a fogalmak közötti kapcsolatokat a logikában általában Euler-Venn körökkel jelölik.
Egyenértékűségi viszonyok
Ebben az esetben a fogalmak ugyanazt a tárgyat jelentik. Ennek megfelelően e fogalmak köre teljesen egybeesik. Például:
A - Sigmund Freud;
B a pszichoanalízis megalapítója.
Egy négyzet;
B - egyenlő oldalú téglalap;
C egy egyenlőszögű rombusz.
A jelöléshez teljesen egybeeső Euler-köröket használunk.
kereszteződés (részleges egyezés)
Tanár;
B zeneszerető.
Amint ebből a példából is látható, a fogalmak köre részben egybeesik: a tanárok egy bizonyos csoportja kiderülhet, hogy zeneszerető, és fordítva - a zenekedvelők között lehetnek a tanári szakma képviselői. Hasonló kapcsolat áll fenn abban az esetben, ha A például „állampolgár”, B pedig „vezető”.
Alárendeltség (alárendeltség)
Sematikusan különböző léptékű Euler-körökként jelölve. A fogalmak közötti viszonyt ebben az esetben az jellemzi, hogy az alárendelt fogalom (terjedelmében kisebb) teljesen benne van az alárendeltben (terjedelmében nagyobb). Ugyanakkor az alárendelt fogalom nem meríti ki teljesen az alárendeltet.
Például:
Egy fa;
B - fenyő.
A B fogalom alárendeltje lesz az A fogalomnak. Mivel a fenyő a fák közé tartozik, az A fogalom ebben a példában alárendeltté válik, „elnyeli” a B fogalom hatókörét.
Alárendeltség (koordináció)
A kapcsolat két vagy több olyan fogalmat jellemez, amelyek kizárják egymást, ugyanakkor egy bizonyos általános generikus körbe tartoznak. Például:
A - klarinét;
B - gitár;
C - hegedű;
D - hangszer.
Az A, B, C fogalmak nem fedik át egymást, azonban mind a hangszerek kategóriájába tartoznak (D fogalom).
Szemben (ellenkezőleg)
A fogalmak közötti ellentétes viszonyok azt jelentik, hogy ezek a fogalmak ugyanabba a nemzetségbe tartoznak. Sőt, az egyik fogalom bizonyos tulajdonságokkal (jelekkel) rendelkezik, míg a másik tagadja azokat, és a természetben ellentétesekkel helyettesíti őket. Tehát antonimákkal van dolgunk. Például:
A - törpe;
B egy óriás.
A fogalmak közötti ellentétes viszonyok mellett az Euler-kör három szakaszra oszlik, amelyek közül az első az A, a második a B, a harmadik pedig az összes többi lehetséges fogalomnak felel meg.
Ellentmondás (ellentmondás)
Ebben az esetben mindkét fogalom ugyanazon nemzetség fajait képviseli. Az előző példához hasonlóan az egyik fogalom bizonyos tulajdonságokat (jeleket) jelez, míg a másik tagadja azokat. Az ellentét viszonyától eltérően azonban a második, ellentétes fogalom nem helyettesíti a tagadott tulajdonságokat más, alternatív tulajdonságokkal. Például:
A - nehéz feladat;
B egy könnyű feladat (nem-A).
Az ilyen fogalmak terjedelmét kifejezve Euler köre két részre oszlik - ebben az esetben nincs harmadik, köztes láncszem. Így a fogalmak egyben antonimák is. Ebben az esetben az egyik (A) pozitívvá válik (valamely tulajdonság megerősítése), a második (B vagy nem A) pedig negatívvá válik (megtagadva a megfelelő attribútumot): „fehér papír” - „nem fehér papír”, „hazai történelem” - „külföldi történelem” stb.
Így a fogalmak térfogatának egymáshoz viszonyított aránya a kulcsjellemző, amely meghatározza az Euler-köröket.
A halmazok közötti kapcsolatok
Különbséget kell tenni az elemek és halmazok fogalmai között is, amelyek térfogatát Euler-körök tükrözik. A halmaz fogalmát a matematikai tudományból kölcsönözték, és meglehetősen tág jelentése van. A logikai és matematikai példák objektumok bizonyos gyűjteményeként jelenítik meg. Maguk az objektumok is ennek a halmaznak az elemei. „A halmaz sok mindent egyként fog fel” (Georg Cantor, a halmazelmélet alapítója).
A halmazok kijelölését A, B, C, D... stb. hajtja végre, a halmazok elemeit kisbetűkkel jelöljük: a, b, c, d... stb. Halmazra példák lehetnek a tanulók a ugyanaz az osztályterem, egy bizonyos polcon álló könyvek (vagy például egy adott könyvtár összes könyve), napló oldalai, bogyók egy erdei tisztáson stb.
Ha viszont egy adott halmaz egyetlen elemet sem tartalmaz, akkor üresnek nevezzük és Ø jellel jelöljük. Például a metszéspontok halmaza az x 2 = -5 egyenlet megoldásainak halmaza.
Problémamegoldás
Az Euler-köröket aktívan használják számos probléma megoldására. A logikai példák egyértelműen mutatják a halmazelmélettel való kapcsolatot. Ebben az esetben fogalmi igazságtáblázatokat használnak. Például az A névvel jelölt kör az igazság régióját jelenti. Tehát a körön kívüli terület hazugságot jelent. A logikai művelet diagramjának területének meghatározásához árnyékolni kell azokat az Euler-kört meghatározó területeket, amelyekben az A és B elemek értékei igazak lesznek.
Az Euler-körök alkalmazása széles körű gyakorlati alkalmazást talált a különböző iparágakban. Például egy szakmai választással járó helyzetben. Ha egy alany aggodalmát fejezi ki a jövőbeli szakma választása miatt, akkor a következő kritériumok vezérelhetik:
W - mit szeretek csinálni?
D - mit csinálok?
P - Hogyan kereshetek jó pénzt?
Ábrázoljuk ezt diagram formájában: logikában - a metszésponti reláció):
Az eredmény azok a szakmák lesznek, amelyek mindhárom kör metszéspontjában lesznek.
Az Euler-Venn körök különleges helyet foglalnak el a matematikában a kombinációk és tulajdonságok számításakor. Az elemhalmaz Euler-körei az univerzális halmazt (U) jelölő téglalap képébe záródnak. A körök helyett más zárt figurák is használhatók, de a lényeg nem változik. Az ábrák metszik egymást, a probléma feltételeinek megfelelően (legáltalánosabb esetben). Ezenkívül ezeket a számokat ennek megfelelően kell megjelölni. A vizsgált halmazok elemei lehetnek a diagram különböző szegmenseiben elhelyezkedő pontok. Ez alapján meghatározott területek árnyékolhatók, ezáltal újonnan kialakított halmazok jelölhetők ki.
Ezekkel a halmazokkal lehetőség nyílik alapvető matematikai műveletek elvégzésére: összeadás (elemhalmazok összege), kivonás (különbség), szorzás (szorzat). Ezen kívül az Euler-Venn diagramoknak köszönhetően lehetőség nyílik a halmazok összehasonlítására a bennük lévő elemek száma alapján, számlálás nélkül.
Az Euler-Venn diagramok halmazok geometriai ábrázolásai. A diagram felépítése abból áll, hogy rajzolunk egy nagy téglalapot, amely az U univerzális halmazt ábrázolja, és azon belül a halmazokat ábrázoló köröket (vagy más zárt ábrákat).
Az alakzatoknak a feladat által megkívánt legáltalánosabb módon kell egymást metszniük, és ennek megfelelően kell őket címkézni. A diagram különböző területein belül elhelyezkedő pontok a megfelelő halmazok elemeinek tekinthetők. Az elkészített diagrammal bizonyos területeket árnyékolhat az újonnan kialakított halmazok jelzésére.
A halmazműveletek a meglévőkből új halmazokat gyűjtenek.
Meghatározás. Az A és B halmazok uniója egy halmaz, amely mindazon elemekből áll, amelyek az A, B halmazok legalább egyikéhez tartoznak (1. ábra):
Meghatározás. Az A és B halmazok metszéspontja egy halmaz, amely mindazokból és csak azokból az elemekből áll, amelyek egyszerre tartoznak az A és B halmazhoz (2. ábra):
Meghatározás.
Az A és B halmazok közötti különbség az A összes elemének halmaza, és csak azon elemeinek halmaza, amelyek nem szerepelnek B-ben (3. ábra):
Meghatározás. Az A és B halmazok szimmetrikus különbsége ezen halmazok azon elemeinek halmaza, amelyek vagy csak az A halmazhoz, vagy csak a B halmazhoz tartoznak (4. ábra):
Meghatározás. Az A halmaz abszolút komplementere mindazon elemek halmaza, amelyek nem tartoznak az A halmazba (5. ábra):
|
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete