A teljes másodfokú egyenlet átalakítása hiányossá így néz ki (a \(b=0\) esetre):

Azokban az esetekben, amikor \(c=0\), vagy amikor mindkét együttható nulla, minden hasonló.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy \(a\) nem lehet egyenlő nullával, mert ebben az esetben a következő lesz:

Hiányos másodfokú egyenletek megoldása.

Először is meg kell értened, hogy egy hiányos másodfokú egyenlet még mindig a , ezért ugyanúgy megoldható, mint egy közönséges másodfokú egyenlet (via ). Ehhez egyszerűen hozzáadjuk az egyenlet hiányzó komponensét nulla együtthatóval.

Példa : Keresse meg a \(3x^2-27=0\) egyenlet gyökereit
Megoldás :

		Van egy hiányos másodfokú egyenletünk, melynek együtthatója \(b=0\). Vagyis a következőképpen írhatjuk fel az egyenletet:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Valójában ez ugyanaz az egyenlet, mint az elején, de most már megoldható egy közönséges másodfokúként. Először kiírjuk az együtthatókat.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Számítsuk ki a diszkriminánst a következő képlettel: \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Keressük meg az egyenlet gyökereit a képletek segítségével \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) és \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D)) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Írd le a választ

Válasz : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Példa : Keresse meg a \(-x^2+x=0\) egyenlet gyökereit
Megoldás :

		Ismét egy hiányos másodfokú egyenlet, de most az együttható \(c\) egyenlő nullával. Az egyenletet teljesnek írjuk fel.

Belépő szint

Másodfokú egyenletek. Átfogó útmutató (2019)

A „másodfokú egyenlet” kifejezésben a kulcsszó a „másodfokú”. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek szükségszerűen tartalmaznia kell egy változót (ugyanazt az x-et) négyzetesen, és nem lehetnek x-ek a harmadik (vagy nagyobb) hatványhoz.

Sok egyenlet megoldása másodfokú egyenletek megoldásán múlik.

Tanuljuk meg meghatározni, hogy ez egy másodfokú egyenlet, és nem valami más egyenlet.

1. példa

Szabaduljunk meg a nevezőtől, és szorozzuk meg az egyenlet minden tagját ezzel

Vigyünk át mindent a bal oldalra, és rendezzük a kifejezéseket X hatványai szerint csökkenő sorrendbe

Most már bátran kijelenthetjük, hogy ez az egyenlet másodfokú!

2. példa

Szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt a következővel:

Ez az egyenlet, bár eredetileg benne volt, nem másodfokú!

3. példa

Szorozzunk meg mindent a következővel:

Ijedős? A negyedik és a második fok... Ha azonban cserét végzünk, látni fogjuk, hogy van egy egyszerű másodfokú egyenletünk:

4. példa

Úgy tűnik, ott van, de nézzük meg közelebbről. Tegyünk mindent a bal oldalra:

Nézze, redukált – és most ez egy egyszerű lineáris egyenlet!

Most próbálja meg eldönteni, hogy az alábbi egyenletek közül melyik másodfokú, és melyik nem:

Példák:

Válaszok:

1. négyzet;
2. négyzet;
3. nem négyzet alakú;
4. nem négyzet alakú;
5. nem négyzet alakú;
6. négyzet;
7. nem négyzet alakú;
8. négyzet.

A matematikusok hagyományosan az összes másodfokú egyenletet a következő típusokra osztják:

• Teljes másodfokú egyenletek- olyan egyenletek, amelyekben az együtthatók és, valamint a c szabad tag nem egyenlő nullával (mint a példában). Ezenkívül a teljes másodfokú egyenletek között vannak adott- ezek olyan egyenletek, amelyekben az együttható (az első példa egyenlete nemcsak teljes, hanem redukált is!)

• Hiányos másodfokú egyenletek- olyan egyenletek, amelyekben az együttható és/vagy a c szabad tag egyenlő nullával:

  Hiányosak, mert hiányzik belőlük valamilyen elem. De az egyenletnek mindig X négyzetet kell tartalmaznia!!! Ellenkező esetben ez már nem másodfokú egyenlet lesz, hanem valami más egyenlet.

Miért találtak ki ilyen felosztást? Úgy tűnik, hogy van egy X négyzet, és rendben van. Ezt a felosztást a megoldási módszerek határozzák meg. Nézzük mindegyiket részletesebben.

Hiányos másodfokú egyenletek megoldása

Először is koncentráljunk a hiányos másodfokú egyenletek megoldására – ezek sokkal egyszerűbbek!

A hiányos másodfokú egyenleteknek többféle típusa van:

1. , ebben az egyenletben az együttható egyenlő.
2. , ebben az egyenletben a szabad tag egyenlő.
3. , ebben az egyenletben az együttható és a szabad tag egyenlő.

1. i. Mivel tudjuk, hogyan kell a négyzetgyököt venni, használjuk ezt az egyenletet a kifejezésre

A kifejezés lehet negatív vagy pozitív. Egy négyzetszám nem lehet negatív, mert két negatív vagy két pozitív szám szorzásakor mindig pozitív szám lesz az eredmény, tehát: ha, akkor az egyenletnek nincs megoldása.

És ha, akkor két gyökeret kapunk. Ezeket a képleteket nem kell megjegyezni. A lényeg az, hogy tudnod kell, és mindig emlékezned kell arra, hogy nem lehet kevesebb.

Próbáljunk meg néhány példát megoldani.

5. példa:

Oldja meg az egyenletet

Most már csak a gyökér kivonása marad a bal és a jobb oldalról. Végül is emlékszel, hogyan kell kivonni a gyökereket?

Válasz:

Soha ne feledkezz meg a negatív előjelű gyökerekről!!!

6. példa:

Oldja meg az egyenletet

Válasz:

7. példa:

Oldja meg az egyenletet

Ó! Egy szám négyzete nem lehet negatív, ami azt jelenti, hogy az egyenlet

nincsenek gyökerek!

Az ilyen egyenletekhez, amelyeknek nincs gyökere, a matematikusok egy speciális ikont találtak ki - (üres halmaz). A választ pedig így írhatjuk:

Válasz:

Így ennek a másodfokú egyenletnek két gyöke van. Itt nincsenek korlátozások, mivel nem bontottuk ki a gyökeret.
8. példa:

Oldja meg az egyenletet

Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:

Így,

Ennek az egyenletnek két gyökere van.

Válasz:

A nem teljes másodfokú egyenletek legegyszerűbb típusa (bár mindegyik egyszerű, igaz?). Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van:

Itt eltekintünk a példáktól.

Teljes másodfokú egyenletek megoldása

Emlékeztetünk arra, hogy a teljes másodfokú egyenlet az alakegyenlet egyenlete, ahol

A teljes másodfokú egyenletek megoldása ezeknél kicsit nehezebb (csak egy kicsit).

Emlékezz Bármely másodfokú egyenlet megoldható diszkrimináns segítségével! Még hiányos is.

A többi módszer segít gyorsabban megtenni, de ha problémái vannak a másodfokú egyenletekkel, először sajátítsa el a megoldást a diszkrimináns segítségével.

1. Másodfokú egyenletek megoldása diszkrimináns segítségével.

A másodfokú egyenletek megoldása ezzel a módszerrel nagyon egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzünk a műveletek sorozatára és néhány képletre.

Ha, akkor az egyenletnek van gyökere. Különös figyelmet kell fordítani a lépésre. A diszkrimináns () az egyenlet gyökeinek számát adja meg.

• Ha, akkor a lépésben szereplő képlet erre csökken. Így az egyenletnek csak gyöke lesz.
• Ha, akkor a lépésnél nem tudjuk kinyerni a diszkrimináns gyökerét. Ez azt jelzi, hogy az egyenletnek nincs gyökere.

Térjünk vissza az egyenletekhez, és nézzünk meg néhány példát.

9. példa:

Oldja meg az egyenletet

1. lépés kihagyjuk.

2. lépés

Megtaláljuk a diszkriminánst:

Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek két gyöke van.

3. lépés

Válasz:

10. példa:

Oldja meg az egyenletet

Az egyenlet szabványos formában kerül bemutatásra, tehát 1. lépés kihagyjuk.

2. lépés

Megtaláljuk a diszkriminánst:

Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek egy gyöke van.

Válasz:

11. példa:

Oldja meg az egyenletet

Az egyenlet szabványos formában kerül bemutatásra, tehát 1. lépés kihagyjuk.

2. lépés

Megtaláljuk a diszkriminánst:

Ez azt jelenti, hogy nem tudjuk kivonni a diszkrimináns gyökerét. Az egyenletnek nincsenek gyökerei.

Most már tudjuk, hogyan kell helyesen leírni az ilyen válaszokat.

Válasz: nincsenek gyökerei

2. Másodfokú egyenletek megoldása Vieta tételével.

Ha emlékszel, van egy egyenlettípus, amelyet redukáltnak neveznek (amikor az a együttható egyenlő:

Az ilyen egyenleteket nagyon könnyű megoldani Vieta tételével:

Gyökerek összege adott másodfokú egyenlet egyenlő, és a gyökök szorzata egyenlő.

12. példa:

Oldja meg az egyenletet

Ez az egyenlet megoldható Vieta tételével, mert .

Az egyenlet gyökeinek összege egyenlő, azaz. megkapjuk az első egyenletet:

És a termék egyenlő:

Állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert:

• És. Az összeg egyenlő;
• És. Az összeg egyenlő;
• És. Az összeg egyenlő.

és ezek a megoldások a rendszerre:

Válasz: ; .

13. példa:

Oldja meg az egyenletet

Válasz:

14. példa:

Oldja meg az egyenletet

Az egyenlet adott, ami azt jelenti:

Válasz:

QUADRATE EGYENLETEK. KÖZÉPSZINT

Mi az a másodfokú egyenlet?

Más szavakkal, a másodfokú egyenlet olyan alakú egyenlete, ahol - az ismeretlen, - néhány szám, és.

A számot a legmagasabb ill első együttható másodfokú egyenlet, - második együttható, A - ingyenes tag.

Miért? Mert ha az egyenlet azonnal lineárissá válik, mert el fog tűnni.

Ebben az esetben és egyenlő lehet nullával. Ebben a székben az egyenletet hiányosnak nevezik. Ha minden feltétel a helyén van, vagyis az egyenlet kész.

Megoldások különböző típusú másodfokú egyenletekre

Nem teljes másodfokú egyenletek megoldási módszerei:

Először is nézzük meg a hiányos másodfokú egyenletek megoldásának módszereit – ezek egyszerűbbek.

A következő típusú egyenleteket különböztethetjük meg:

I., ebben az egyenletben az együttható és a szabad tag egyenlő.

II. , ebben az egyenletben az együttható egyenlő.

III. , ebben az egyenletben a szabad tag egyenlő.

Most pedig nézzük meg az egyes altípusok megoldását.

Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van:

A négyzetes szám nem lehet negatív, mert ha két negatív vagy két pozitív számot megszorozunk, az eredmény mindig pozitív szám lesz. Ezért:

ha, akkor az egyenletnek nincsenek megoldásai;

ha két gyökerünk van

Ezeket a képleteket nem kell megjegyezni. A legfontosabb dolog, amit emlékezni kell, hogy nem lehet kevesebb.

Példák:

Megoldások:

Válasz:

Soha ne feledkezz meg a negatív előjelű gyökerekről!

Egy szám négyzete nem lehet negatív, ami azt jelenti, hogy az egyenlet

nincsenek gyökerei.

Ahhoz, hogy röviden leírjuk, hogy egy problémának nincs megoldása, használjuk az üres készlet ikont.

Válasz:

Tehát ennek az egyenletnek két gyökere van: és.

Válasz:

Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:

A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek van megoldása, ha:

Tehát ennek a másodfokú egyenletnek két gyökere van: és.

Példa:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Tekintsük az egyenlet bal oldalát, és keressük meg a gyökereket:

Válasz:

Teljes másodfokú egyenletek megoldási módszerei:

1. Diszkrimináns

A másodfokú egyenletek megoldása így egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzünk a műveletek sorrendjére és néhány képletre. Ne feledje, bármilyen másodfokú egyenlet megoldható diszkrimináns segítségével! Még hiányos is.

Észrevette a gyökeret a diszkriminánsból a gyökérképletben? De a megkülönböztető lehet negatív is. Mit tegyek? Különös figyelmet kell fordítanunk a 2. lépésre. A diszkrimináns megmondja az egyenlet gyökeinek számát.

• Ha, akkor az egyenletnek gyökerei vannak:
• Ha, akkor az egyenletnek ugyanazok a gyökerei, sőt, egy gyöke:

  Az ilyen gyökereket kettős gyökérnek nevezzük.

• Ha, akkor a diszkrimináns gyökerét nem nyerjük ki. Ez azt jelzi, hogy az egyenletnek nincs gyökere.

Miért lehetséges a különböző számú gyökér? Térjünk rá a másodfokú egyenlet geometriai jelentésére. A függvény grafikonja egy parabola:

Egy speciális esetben, ami egy másodfokú egyenlet, . Ez azt jelenti, hogy a másodfokú egyenlet gyökerei az abszcissza tengellyel (tengellyel) való metszéspontok. Egy parabola egyáltalán nem metszi a tengelyt, vagy egy (ha a parabola csúcsa a tengelyen van) vagy két pontban metszi azt.

Ezenkívül az együttható felelős a parabola ágainak irányáért. Ha, akkor a parabola ágai felfelé, és ha, akkor lefelé irányulnak.

Példák:

Megoldások:

Válasz:

Válasz: .

Válasz:

Ez azt jelenti, hogy nincsenek megoldások.

Válasz: .

2. Vieta tétele

Vieta tételének használata nagyon egyszerű: csak ki kell választani egy olyan számpárt, amelynek szorzata egyenlő az egyenlet szabad tagjával, és az összeg egyenlő a második együtthatóval, amelyet ellenkező előjellel veszünk fel.

Fontos megjegyezni, hogy Vieta tétele csakis alkalmazható redukált másodfokú egyenletek ().

Nézzünk néhány példát:

1. példa:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Ez az egyenlet megoldható Vieta tételével, mert . Egyéb együtthatók: ; .

Az egyenlet gyökeinek összege:

És a termék egyenlő:

Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő, és ellenőrizzük, hogy összegük egyenlő-e:

• És. Az összeg egyenlő;
• És. Az összeg egyenlő;
• És. Az összeg egyenlő.

és ezek a megoldások a rendszerre:

Így és ezek az egyenletünk gyökerei.

Válasz: ; .

2. példa:

Megoldás:

Válasszunk ki a szorzatban szereplő számpárokat, majd ellenőrizzük, hogy összegük egyenlő-e:

és: összesen adnak.

és: összesen adnak. Megszerzéséhez elegendő egyszerűen megváltoztatni a feltételezett gyökerek jeleit: és végül is a terméket.

Válasz:

3. példa:

Megoldás:

Az egyenlet szabad tagja negatív, ezért a gyökök szorzata negatív szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyik gyökér negatív, a másik pedig pozitív. Ezért a gyökök összege egyenlő moduljaik különbségei.

Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek megadják a szorzatot, és amelyek különbsége egyenlő:

és: különbségük egyenlő - nem illik;

és: - nem alkalmas;

és: - nem alkalmas;

és: - alkalmas. Csak emlékezni kell arra, hogy az egyik gyökér negatív. Mivel összegüknek egyenlőnek kell lennie, a kisebb modulusú gyöknek negatívnak kell lennie: . Ellenőrizzük:

Válasz:

4. példa:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Az egyenlet adott, ami azt jelenti:

A szabad tag negatív, ezért a gyökök szorzata negatív. Ez pedig csak akkor lehetséges, ha az egyenlet egyik gyöke negatív, a másik pedig pozitív.

Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő, majd határozzuk meg, hogy melyik gyöknek legyen negatív előjele:

Nyilvánvalóan csak a gyökerek alkalmasak az első feltételre:

Válasz:

5. példa:

Oldja meg az egyenletet.

Megoldás:

Az egyenlet adott, ami azt jelenti:

A gyökök összege negatív, ami azt jelenti, hogy legalább az egyik gyökér negatív. De mivel a termékük pozitív, ez azt jelenti, hogy mindkét gyökérnek mínusz jele van.

Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő:

Nyilvánvaló, hogy a gyökerek a számok és.

Válasz:

Egyetértek, nagyon kényelmes szóban kitalálni a gyökereket, ahelyett, hogy ezt a csúnya megkülönböztetőt számolnánk. Próbálja meg minél gyakrabban használni Vieta tételét.

De Vieta tételére azért van szükség, hogy megkönnyítsük és felgyorsítsuk a gyökerek megtalálását. Ahhoz, hogy hasznot húzzon a használatából, a műveleteket automatizálni kell. És ehhez oldj meg még öt példát. De ne csalj: nem használhatsz diszkriminánst! Csak Vieta tétele:

Az önálló munkavégzés feladatainak megoldásai:

1. feladat ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta tétele szerint:

A válogatást szokás szerint a darabbal kezdjük:

Nem alkalmas, mert az összeg;

: az összeg pont annyi, amennyire szüksége van.

Válasz: ; .

2. feladat.

És ismét a kedvenc Vieta-tételünk: az összegnek egyenlőnek kell lennie, és a szorzatnak egyenlőnek kell lennie.

De mivel nem kell, hanem, megváltoztatjuk a gyökök jeleit: és (összesen).

Válasz: ; .

3. feladat.

Hmm... Hol van az?

Az összes kifejezést egyetlen részbe kell helyeznie:

A gyökerek összege egyenlő a szorzattal.

Oké, állj! Az egyenlet nincs megadva. De Vieta tétele csak az adott egyenletekben alkalmazható. Tehát először meg kell adni egy egyenletet. Ha nem tudsz vezetni, add fel ezt az ötletet, és oldd meg más módon (például diszkrimináns segítségével). Hadd emlékeztesselek arra, hogy másodfokú egyenlet megadása azt jelenti, hogy a vezető együtthatót egyenlővé kell tenni:

Nagy. Ekkor a gyökerek összege egyenlő és a szorzat.

Itt olyan egyszerű a választás, mint a körte héjánál: végül is prímszámról van szó (elnézést a tautológiáért).

Válasz: ; .

4. feladat.

Az ingyenes tag negatív. Mi ebben a különleges? És az a tény, hogy a gyökereknek különböző jelei lesznek. És most a kiválasztás során nem a gyökök összegét, hanem a moduljaik különbségét ellenőrizzük: ez a különbség egyenlő, de szorzat.

Tehát a gyökerek egyenlőek és -vel, de az egyik mínusz. Vieta tétele azt mondja, hogy a gyökök összege egyenlő a második, ellenkező előjelű együtthatóval, azaz. Ez azt jelenti, hogy a kisebb gyökérnek mínusza lesz: és, mivel.

Válasz: ; .

5. feladat.

Mit kell először csinálni? Így van, adja meg az egyenletet:

Ismét: kiválasztjuk a szám tényezőit, és különbségük egyenlő legyen:

A gyökerek egyenlőek és -vel, de az egyik mínusz. Melyik? Összegüknek egyenlőnek kell lennie, ami azt jelenti, hogy a mínusznak nagyobb gyöke lesz.

Válasz: ; .

Hadd foglaljam össze:

1. Vieta tétele csak a megadott másodfokú egyenletekben használatos.
2. Vieta tételét használva kiválasztással, szóban megtalálhatja a gyökereket.
3. Ha az egyenlet nincs megadva, vagy nem található a szabad tag megfelelő tényezőpárja, akkor nincsenek egész gyökök, és ezt más módon kell megoldani (például diszkrimináns segítségével).

3. A teljes négyzet kiválasztásának módja

Ha az összes ismeretlent tartalmazó tagot rövidített szorzóképletekből származó tagok formájában ábrázoljuk - az összeg vagy a különbség négyzete -, akkor a változók cseréje után az egyenlet egy ilyen típusú hiányos másodfokú egyenlet formájában is bemutatható.

Például:

1. példa:

Oldja meg az egyenletet: .

Megoldás:

Válasz:

2. példa:

Oldja meg az egyenletet: .

Megoldás:

Válasz:

Általában az átalakítás így fog kinézni:

Ebből következik: .

Nem emlékeztet semmire? Ez diszkriminatív dolog! Pontosan így kaptuk a megkülönböztető képletet.

QUADRATE EGYENLETEK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

Másodfokú egyenlet- ez egy alak egyenlete, ahol - az ismeretlen, - a másodfokú egyenlet együtthatói, - a szabad tag.

Teljes másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együtthatók nem egyenlőek nullával.

Csökkentett másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együttható, azaz: .

Hiányos másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együttható és/vagy a c szabad tag egyenlő nullával:

• ha az együttható, az egyenlet így néz ki: ,
• ha van szabad tag, akkor az egyenletnek a következő alakja van: ,
• ha és, az egyenlet így néz ki: .

1. Algoritmus hiányos másodfokú egyenletek megoldására

1.1. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:

1) Fejezzük ki az ismeretlent: ,

2) Ellenőrizze a kifejezés jelét:

• ha, akkor az egyenletnek nincs megoldása,
• ha, akkor az egyenletnek két gyöke van.

1.2. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:

1) Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelből: ,

2) A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ezért az egyenletnek két gyökere van:

1.3. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:

Ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van: .

2. Algoritmus hol alakú teljes másodfokú egyenletek megoldására

2.1. Megoldás diszkrimináns használatával

1) Tegyük szabványos alakba az egyenletet: ,

2) Számítsuk ki a diszkriminánst a következő képlettel: , amely az egyenlet gyökeinek számát jelzi:

3) Keresse meg az egyenlet gyökereit:

• ha, akkor az egyenletnek gyökei vannak, amelyeket a következő képlettel találunk meg:
• ha, akkor az egyenletnek van gyöke, amelyet a következő képlettel találunk meg:
• ha, akkor az egyenletnek nincs gyöke.

2.2. Megoldás Vieta tételével

A redukált másodfokú egyenlet (ahol az alak egyenlete) gyökeinek összege egyenlő, a gyökök szorzata pedig egyenlő, azaz. , A.

2.3. Megoldás a teljes négyzet kiválasztásának módszerével

A modern társadalomban a négyzetes változót tartalmazó egyenletekkel történő műveletek végrehajtásának képessége számos tevékenységi területen hasznos lehet, és a gyakorlatban széles körben alkalmazzák a tudományos és műszaki fejlesztésekben. Ennek bizonyítéka a tengeri és folyami hajók, repülőgépek és rakéták tervezése. Ilyen számítások segítségével sokféle test mozgási pályáját határozzák meg, beleértve az űrobjektumokat is. A másodfokú egyenletek megoldására szolgáló példákat nem csak a gazdasági előrejelzésben, az épületek tervezésében és kivitelezésében, hanem a leghétköznapibb körülmények között is alkalmazzák. Szükség lehet rájuk túrázáskor, sportesemények alkalmával, üzletekben vásárláskor és más nagyon gyakori helyzetekben.

Bontsuk fel a kifejezést komponenstényezőire

Az egyenlet mértékét a kifejezésben szereplő változó fokszámának maximális értéke határozza meg. Ha egyenlő 2-vel, akkor egy ilyen egyenletet másodfokúnak nevezünk.

Ha a formulák nyelvén beszélünk, akkor a jelzett kifejezések, akárhogy is néznek ki, mindig formába hozhatók, amikor a kifejezés bal oldala három tagból áll. Köztük: ax 2 (vagyis változó négyzetben az együtthatójával), bx (együtthatós négyzet nélküli ismeretlen) és c (szabad komponens, azaz közönséges szám). Mindez a jobb oldalon egyenlő 0-val. Abban az esetben, ha egy ilyen polinomnak az egyik alkotótagja hiányzik, az ax 2 kivételével, hiányos másodfokú egyenletnek nevezzük. Először az ilyen problémák megoldására szolgáló példákat kell figyelembe venni, amelyekben a változók értékeit könnyű megtalálni.

Ha úgy néz ki, hogy a kifejezésben két tag van a jobb oldalon, pontosabban az ax 2 és a bx, akkor az x megtalálásának legegyszerűbb módja, ha a változót zárójelbe teszed. Most az egyenletünk így fog kinézni: x(ax+b). Ezután nyilvánvalóvá válik, hogy vagy x=0, vagy a probléma a következő kifejezésből való változó keresésében merül fel: ax+b=0. Ezt a szorzás egyik tulajdonsága diktálja. A szabály kimondja, hogy két tényező szorzata csak akkor 0, ha az egyik nulla.

Példa

x=0 vagy 8x - 3 = 0

Ennek eredményeként az egyenlet két gyökét kapjuk: 0 és 0,375.

Az ilyen egyenletek leírhatják azoknak a testeknek a gravitáció hatására történő mozgását, amelyek a koordináták origójának tekintett pontból indultak el. Itt a matematikai jelölés a következő alakot ölti: y = v 0 t + gt 2 /2. A szükséges értékek behelyettesítésével, a jobb oldal 0-val való egyenlővé tételével és a lehetséges ismeretlenek megtalálásával megtudhatja, hogy mennyi idő telik el a test felemelkedésétől a leesés pillanatáig, valamint sok más mennyiséget is. De erről később beszélünk.

Egy kifejezés faktorálása

A fent leírt szabály lehetővé teszi ezeknek a problémáknak a megoldását bonyolultabb esetekben is. Nézzünk példákat az ilyen típusú másodfokú egyenletek megoldására.

X 2 - 33x + 200 = 0

Ez a másodfokú trinom kész. Először is alakítsuk át a kifejezést és faktoráljuk. Ebből kettő van: (x-8) és (x-25) = 0. Ennek eredményeként két gyökünk van: 8 és 25.

A 9. osztályos másodfokú egyenletek megoldására vonatkozó példák lehetővé teszik, hogy ez a módszer nemcsak másodrendű, hanem akár harmad- és negyedrendű kifejezésekben is változót találjon.

Például: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ha a jobb oldalt változóval faktorokká számoljuk, ezek közül három van, azaz (x+1), (x-3) és (x+) 3).

Ennek eredményeként nyilvánvalóvá válik, hogy ennek az egyenletnek három gyökere van: -3; -1; 3.

Négyzetgyök

A hiányos másodrendű egyenlet másik esete egy olyan kifejezés, amelyet a betűk nyelvén úgy ábrázolunk, hogy a jobb oldalt az ax 2 és c komponensekből építjük fel. Itt a változó értékének megszerzéséhez a szabad tagot átvisszük a jobb oldalra, majd az egyenlőség mindkét oldaláról kinyerjük a négyzetgyököt. Meg kell jegyezni, hogy ebben az esetben az egyenletnek általában két gyöke van. Kivételt képeznek az olyan egyenlőségek, amelyek egyáltalán nem tartalmaznak kifejezést, ahol a változó nulla, valamint a kifejezések olyan változatai, amikor a jobb oldal negatív. Ez utóbbi esetben egyáltalán nincs megoldás, mivel a fenti műveletek nem hajthatók végre gyökérrel. Példákat kell venni az ilyen típusú másodfokú egyenletek megoldására.

Ebben az esetben az egyenlet gyökerei a -4 és a 4 számok lesznek.

A földterület számítása

Az effajta számítások szükségessége már az ókorban megjelent, mert a matematika fejlődését azokban a távoli időkben nagymértékben meghatározta az az igény, hogy a legnagyobb pontossággal meg kell határozni a földterületek területét és kerületét.

Meg kell fontolnunk példákat másodfokú egyenletek megoldására is ilyen jellegű problémák alapján.

Tehát tegyük fel, hogy van egy téglalap alakú telek, amelynek hossza 16 méterrel nagyobb, mint a szélessége. A telek hosszát, szélességét és kerületét meg kell találnia, ha tudja, hogy területe 612 m 2.

A kezdéshez először hozzuk létre a szükséges egyenletet. Jelöljük x-szel a terület szélességét, akkor a hossza (x+16) lesz. A leírtakból az következik, hogy a területet az x(x+16) kifejezés határozza meg, ami a feladatunk feltételei szerint 612. Ez azt jelenti, hogy x(x+16) = 612.

Teljes másodfokú egyenletek megoldása, és ez a kifejezés pontosan ez, nem végezhető el ugyanúgy. Miért? Bár a bal oldal továbbra is két tényezőt tartalmaz, ezek szorzata egyáltalán nem 0, ezért itt különböző módszereket alkalmazunk.

Diszkrimináns

Először is elvégezzük a szükséges átalakításokat, majd ennek a kifejezésnek a megjelenése így fog kinézni: x 2 + 16x - 612 = 0. Ez azt jelenti, hogy a kifejezést a korábban megadott szabványnak megfelelő formában kaptuk meg, ahol a=1, b=16, c=-612.

Ez egy példa lehet másodfokú egyenletek diszkrimináns segítségével történő megoldására. Itt a szükséges számításokat a séma szerint végezzük: D = b 2 - 4ac. Ez a segédmennyiség nemcsak a szükséges mennyiségek másodrendű egyenletben való megtalálását teszi lehetővé, hanem meghatározza a lehetséges opciók számát. Ha D>0, akkor kettő van; D=0 esetén egy gyök van. Abban az esetben, ha D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

A gyökerekről és képletükről

Esetünkben a diszkrimináns egyenlő: 256 - 4(-612) = 2704. Ez arra utal, hogy a problémánknak van válasza. Ha ismeri k, akkor a másodfokú egyenletek megoldását az alábbi képlettel kell folytatni. Lehetővé teszi a gyökerek kiszámítását.

Ez azt jelenti, hogy a bemutatott esetben: x 1 =18, x 2 =-34. A második lehetőség ebben a dilemmában nem jelenthet megoldást, mert a telek méretei nem mérhetők negatív mennyiségben, ami azt jelenti, hogy x (vagyis a telek szélessége) 18 m Innen számítjuk a hosszt: 18 +16=34, kerülete pedig 2(34+ 18)=104(m2).

Példák és feladatok

Folytatjuk a másodfokú egyenletek tanulmányozását. Az alábbiakban bemutatunk néhány példát és részletes megoldást.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Tegyünk mindent az egyenlőség bal oldalára, hajtsunk végre egy transzformációt, azaz megkapjuk azt a típusú egyenletet, amelyet általában standardnak neveznek, és egyenlővé tesszük a nullával.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Hasonlóakat összeadva meghatározzuk a diszkriminánst: D = 49 - 48 = 1. Ez azt jelenti, hogy az egyenletünknek két gyöke lesz. Számítsuk ki őket a fenti képlet szerint, ami azt jelenti, hogy az első 4/3, a második pedig 1 lesz.

2) Most oldjunk meg másfajta rejtélyeket.

Nézzük meg, hogy vannak-e itt gyökök x 2 - 4x + 5 = 1? Ahhoz, hogy átfogó választ kapjunk, csökkentsük a polinomot a megfelelő szokásos alakra, és számítsuk ki a diszkriminánst. A fenti példában nem szükséges a másodfokú egyenletet megoldani, mert egyáltalán nem ez a probléma lényege. Ebben az esetben D = 16 - 20 = -4, ami azt jelenti, hogy tényleg nincsenek gyökerek.

Vieta tétele

Kényelmes a másodfokú egyenletek megoldása a fenti képletekkel és a diszkriminánssal, ha ez utóbbi értékéből vesszük a négyzetgyököt. De ez nem mindig történik meg. Ebben az esetben azonban számos mód van a változók értékének megszerzésére. Példa: másodfokú egyenletek megoldása Vieta tételével. Nevét arról kapta, aki a 16. században Franciaországban élt, és matematikai tehetségének és udvari kapcsolatainak köszönhetően ragyogó karriert futott be. Portréja a cikkben látható.

A minta, amelyet a híres francia észrevett, a következő volt. Bebizonyította, hogy az egyenlet gyökei numerikusan -p=b/a-hoz adódnak, szorzatuk pedig q=c/a-nak felel meg.

Most nézzük meg a konkrét feladatokat.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Az egyszerűség kedvéért alakítsuk át a kifejezést:

x 2 + 7x - 18 = 0

Használjuk Vieta tételét, így a következőt kapjuk: a gyökök összege -7, a szorzatuk pedig -18. Innen azt kapjuk, hogy az egyenlet gyökerei a -9 és 2 számok. Ellenőrzés után megbizonyosodunk arról, hogy ezek a változóértékek valóban beleférnek-e a kifejezésbe.

Parabola gráf és egyenlet

A másodfokú függvény és a másodfokú egyenletek fogalma szorosan összefügg. Erre már volt példa korábban. Most nézzünk meg néhány matematikai rejtvényt kicsit részletesebben. Bármely leírt típusú egyenlet vizuálisan ábrázolható. Az ilyen, grafikonként megrajzolt összefüggést parabolának nevezzük. Különböző típusait az alábbi ábra mutatja be.

Minden parabolának van csúcsa, vagyis egy pontja, ahonnan az ágai kilépnek. Ha a>0, akkor magasra mennek a végtelenbe, és amikor a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

A függvények vizuális megjelenítése segít bármilyen egyenlet megoldásában, beleértve a másodfokúakat is. Ezt a módszert grafikusnak nevezik. Az x változó értéke pedig az abszcissza koordinátája azokban a pontokban, ahol a gráfvonal metszi a 0x-et. A csúcs koordinátáit az imént adott x 0 = -b/2a képlet segítségével találhatjuk meg. Ha pedig a kapott értéket behelyettesítjük a függvény eredeti egyenletébe, megtudhatjuk, hogy y 0, vagyis a parabola ordinátatengelyhez tartozó csúcsának második koordinátája.

A parabola ágainak metszéspontja az abszcissza tengellyel

A másodfokú egyenletek megoldására nagyon sok példa van, de vannak általános minták is. Nézzük meg őket. Nyilvánvaló, hogy a gráf 0x tengellyel való metszéspontja a>0 esetén csak akkor lehetséges, ha a 0 negatív értékeket vesz fel. És a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Különben D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A parabola grafikonjából a gyököket is meghatározhatja. Ennek az ellenkezője is igaz. Vagyis ha nem könnyű egy másodfokú függvény vizuális ábrázolását megszerezni, akkor a kifejezés jobb oldalát 0-val egyenlővé teheti, és megoldhatja a kapott egyenletet. A 0x tengellyel való metszéspontok ismeretében pedig könnyebb grafikont készíteni.

A történelemből

Négyzetes változót tartalmazó egyenletekkel a régi időkben nemcsak matematikai számításokat végeztek, és geometriai alakzatok területeit határozták meg. A régieknek szükségük volt ilyen számításokra a fizika és a csillagászat terén tett nagy felfedezésekhez, valamint az asztrológiai előrejelzésekhez.

A modern tudósok szerint Babilon lakói az elsők között oldották meg a másodfokú egyenleteket. Ez négy évszázaddal korunk előtt történt. Természetesen számításaik gyökeresen eltértek a jelenleg elfogadottaktól, és sokkal primitívebbnek bizonyultak. Például a mezopotámiai matematikusoknak fogalmuk sem volt a negatív számok létezéséről. Nem ismertek más finomságokat sem, amelyeket minden modern iskolás ismer.

Talán még Babilon tudósainál korábban, az indiai bölcs, Baudhayama elkezdte a másodfokú egyenletek megoldását. Ez körülbelül nyolc évszázaddal Krisztus korszaka előtt történt. Igaz, a másodrendű egyenletek, az általa megadott megoldási módszerek voltak a legegyszerűbbek. Rajta kívül a kínai matematikusok is érdeklődtek a hasonló kérdések iránt régen. Európában a másodfokú egyenleteket csak a 13. század elején kezdték megoldani, később azonban olyan nagy tudósok is alkalmazták őket munkáikban, mint Newton, Descartes és sokan mások.

Ez a téma elsőre bonyolultnak tűnhet a sok nem túl egyszerű képlet miatt. Nemcsak maguknak a másodfokú egyenleteknek van hosszú jelölése, hanem a gyökerek is megtalálhatók a diszkriminánson keresztül. Összesen három új képletet kapunk. Nem könnyű megjegyezni. Ez csak az ilyen egyenletek gyakori megoldása után lehetséges. Ezután az összes képlet magától emlékezni fog.

A másodfokú egyenlet általános képe

Itt az explicit jelölésüket javasoljuk, amikor először a legnagyobb fokozatot írják le, majd csökkenő sorrendben. Gyakran vannak olyan helyzetek, amikor a feltételek nem következetesek. Ekkor érdemes átírni az egyenletet a változó mértéke szerinti csökkenő sorrendbe.

Vezessünk be néhány jelölést. Ezeket az alábbi táblázat mutatja be.

Ha elfogadjuk ezeket a jelöléseket, akkor minden másodfokú egyenlet a következő jelölésre redukálódik.

Ráadásul az együttható a ≠ 0. Legyen ez a képlet az egyes számú.

Amikor egy egyenletet adunk meg, nem világos, hogy hány gyök lesz a válaszban. Mert a három lehetőség egyike mindig lehetséges:

• a megoldásnak két gyökere lesz;
• a válasz egy szám lesz;
• az egyenletnek egyáltalán nem lesz gyökere.

A döntés véglegesítéséig pedig nehéz megérteni, hogy egy adott esetben melyik lehetőség jelenik meg.

Másodfokú egyenletek rögzítésének típusai

A feladatokban különböző bejegyzések lehetnek. Nem mindig úgy néznek ki, mint az általános másodfokú egyenlet. Néha hiányozni fog néhány kifejezés. A fentebb leírtak a teljes egyenlet. Ha eltávolítja belőle a második vagy harmadik kifejezést, akkor valami mást kap. Ezeket a rekordokat másodfokú egyenleteknek is nevezik, csak hiányosak.

Ezenkívül csak a „b” és „c” együtthatójú kifejezések tűnhetnek el. Az "a" szám semmilyen körülmények között nem lehet egyenlő nullával. Mert ebben az esetben a képlet lineáris egyenletté alakul. A hiányos egyenletformák képletei a következők lesznek:

Tehát csak két típus létezik a teljes egyenletek mellett, vannak még hiányos másodfokú egyenletek is. Legyen az első képlet kettő, a második pedig három.

A gyökök számának diszkriminancia és függése az értékétől

Ismernie kell ezt a számot az egyenlet gyökereinek kiszámításához. Mindig ki lehet számítani, függetlenül attól, hogy milyen képletű a másodfokú egyenlet. A diszkrimináns kiszámításához az alább írt egyenlőséget kell használni, amely négyes lesz.

Miután behelyettesítette az együttható értékeket ebbe a képletbe, különböző előjelű számokat kaphat. Ha a válasz igen, akkor az egyenletre adott válasz két különböző gyök lesz. Ha a szám negatív, akkor a másodfokú egyenletnek nem lesz gyöke. Ha egyenlő nullával, akkor csak egy válasz lesz.

Hogyan lehet megoldani egy teljes másodfokú egyenletet?

Valójában ennek a kérdésnek a vizsgálata már megkezdődött. Mert először meg kell találni a diszkriminánst. Miután megállapítottuk, hogy vannak gyökei a másodfokú egyenletnek, és ismert a számuk, képleteket kell használni a változókhoz. Ha két gyökér van, akkor a következő képletet kell alkalmazni.

Mivel egy „±” jelet tartalmaz, két jelentése lesz. A négyzetgyök jel alatti kifejezés a diszkrimináns. Ezért a képlet másként is átírható.

Ötös számú formula. Ugyanabból a rekordból világos, hogy ha a diszkrimináns egyenlő nullával, akkor mindkét gyök ugyanazt az értéket veszi fel.

Ha a másodfokú egyenletek megoldását még nem dolgozták ki, akkor jobb, ha felírja az összes együttható értékét a diszkrimináns és változó képletek alkalmazása előtt. Később ez a pillanat nem okoz nehézségeket. De a legelején zavar van.

Hogyan lehet megoldani egy nem teljes másodfokú egyenletet?

Itt minden sokkal egyszerűbb. Nincs is szükség további képletekre. Azokra pedig, amiket már leírtak a diszkriminatívnak és az ismeretlennek, nem lesz szükség.

Először nézzük meg a kettes számú hiányos egyenletet. Ebben az egyenlőségben ki kell venni az ismeretlen mennyiséget a zárójelekből, és meg kell oldani a lineáris egyenletet, amely zárójelben marad. A válasznak két gyökere lesz. Az első szükségszerűen egyenlő nullával, mert van egy szorzó, amely magából a változóból áll. A másodikat egy lineáris egyenlet megoldásával kapjuk meg.

A hármas számú hiányos egyenletet úgy oldjuk meg, hogy a számot az egyenlőség bal oldaláról jobbra mozgatjuk. Ezután el kell osztani az ismeretlennel szembeni együtthatóval. Nincs más hátra, mint kivonni a négyzetgyököt, és ne felejtse el kétszer leírni ellentétes előjelekkel.

Az alábbiakban bemutatunk néhány lépést, amelyek segítenek megtanulni, hogyan kell megoldani mindenféle egyenlőséget, amely másodfokú egyenletté alakul. Segítenek a tanulónak elkerülni a figyelmetlenségből fakadó hibákat. Ezek a hiányosságok gyenge osztályzatokat okozhatnak a kiterjedt „Másodfokú egyenletek (8. osztály)” témakör tanulmányozásakor. Ezt követően ezeket a műveleteket nem kell folyamatosan végrehajtani. Mert megjelenik egy stabil készség.

• Először meg kell írni az egyenletet szabványos formában. Vagyis először a változó legnagyobb fokával rendelkező tag, majd - fokozat nélkül, végül - csak egy szám.

• Ha az „a” együttható előtt mínusz jelenik meg, az megnehezítheti a másodfokú egyenleteket tanulmányozó kezdő munkáját. Jobb megszabadulni tőle. Ehhez a teljes egyenlőséget meg kell szorozni „-1”-gyel. Ez azt jelenti, hogy minden kifejezés előjelét az ellenkezőjére váltja.

• Ugyanígy ajánlott a frakcióktól is megszabadulni. Egyszerűen szorozza meg az egyenletet a megfelelő tényezővel, hogy a nevezők érvénytelenítsék.

Példák

A következő másodfokú egyenleteket kell megoldani:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Az első egyenlet: x 2 − 7x = 0. Hiányos, ezért a kettes számú képletnél leírtak szerint van megoldva.

Miután kivette a zárójelekből, kiderül: x (x - 7) = 0.

Az első gyök értéke: x 1 = 0. A másodikat a lineáris egyenletből kapjuk meg: x - 7 = 0. Könnyen belátható, hogy x 2 = 7.

Második egyenlet: 5x 2 + 30 = 0. Ismét hiányos. Csak a harmadik képletnél leírtak szerint van megoldva.

Miután a 30-at áthelyeztük az egyenlet jobb oldalára: 5x 2 = 30. Most el kell osztani 5-tel. Kiderült: x 2 = 6. A válaszok a számok lesznek: x 1 = √6, x 2 = - √6.

A harmadik egyenlet: 15 − 2x − x 2 = 0. A továbbiakban a másodfokú egyenletek megoldása úgy kezdődik, hogy átírjuk őket szabványos alakba: − x 2 − 2x + 15 = 0. Itt az ideje, hogy használjuk a második hasznos tippet, és mindent megszorozunk mínusz egy. Kiderül, hogy x 2 + 2x - 15 = 0. A negyedik képlet segítségével ki kell számítani a diszkriminánst: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ez egy pozitív szám. A fent elmondottakból kiderül, hogy az egyenletnek két gyökere van. Ezeket az ötödik képlet alapján kell kiszámítani. Kiderül, hogy x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Ekkor x 1 = 3, x 2 = - 5.

A negyedik x 2 + 8 + 3x = 0 egyenletet a következőre alakítjuk át: x 2 + 3x + 8 = 0. A diszkriminánsa ezzel az értékkel egyenlő: -23. Mivel ez a szám negatív, erre a feladatra a következő bejegyzés lesz a válasz: „Nincsenek gyökerek”.

Az ötödik 12x + x 2 + 36 = 0 egyenletet a következőképpen kell átírni: x 2 + 12x + 36 = 0. A diszkrimináns képletének alkalmazása után a nulla számot kapjuk. Ez azt jelenti, hogy egy gyöke lesz, nevezetesen: x = -12/ (2 * 1) = -6.

A hatodik egyenlet (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) transzformációkat igényel, ami abból áll, hogy hasonló kifejezéseket kell hozni, először a zárójeleket kinyitva. Az első helyett a következő kifejezés lesz: x 2 + 2x + 1. Az egyenlőség után ez a bejegyzés jelenik meg: x 2 + 3x + 2. A hasonló tagok megszámlálása után az egyenlet a következő alakot veszi fel: x 2 - x = 0. Hiányos lett. Valami ehhez hasonlóról már volt szó egy kicsit magasabban. Ennek gyökerei a 0 és az 1 számok lesznek.

Ebben a cikkben a nem teljes másodfokú egyenletek megoldásával foglalkozunk.

De először ismételjük meg, hogy milyen egyenleteket nevezünk másodfokúnak. Az ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenletet, ahol x egy változó, az a, b és c együtthatók pedig néhány szám, a ≠ 0 pedig az ún. négyzet. Amint látjuk, az x 2 együtthatója nem egyenlő nullával, ezért az x vagy a szabad tag együtthatói egyenlők lehetnek nullával, ebben az esetben nem teljes másodfokú egyenletet kapunk.

Háromféle nem teljes másodfokú egyenlet létezik:

1) Ha b = 0, c ≠ 0, akkor ax 2 + c = 0;

2) Ha b ≠ 0, c = 0, akkor ax 2 + bx = 0;

3) Ha b = 0, c = 0, akkor ax 2 = 0.

• Találjuk ki, hogyan oldjuk meg ax 2 + c = 0 alakú egyenletek.

Az egyenlet megoldásához a c szabad tagot áthelyezzük az egyenlet jobb oldalára, kapjuk

ax 2 = ‒s. Mivel a ≠ 0, az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk a-val, akkor x 2 = ‒c/a.

Ha ‒с/а > 0, akkor az egyenletnek két gyöke van

x = ±√(–c/a) .

Ha ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Próbáljuk meg példákkal megérteni, hogyan lehet megoldani az ilyen egyenleteket.

1. példa. Oldja meg a 2x 2 ‒ 32 = 0 egyenletet.

Válasz: x 1 = - 4, x 2 = 4.

2. példa. Oldja meg a 2x 2 + 8 = 0 egyenletet.

Válasz: az egyenletnek nincs megoldása.

• Találjuk ki, hogyan oldjuk meg ax 2 + bx = 0 alakú egyenletek.

Az ax 2 + bx = 0 egyenlet megoldásához szorozzuk, azaz vegyük ki x-et a zárójelekből, így x(ax + b) = 0. A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező egyenlő nullára. Ekkor vagy x = 0, vagy ax + b = 0. Az ax + b = 0 egyenletet megoldva ax = - b egyenletet kapunk, innen x = - b/a. Az ax 2 + bx = 0 alakú egyenletnek mindig két gyöke van x 1 = 0 és x 2 = ‒ b/a. Nézze meg, hogyan néz ki az ilyen típusú egyenletek megoldása az ábrán.

Konkrét példával szilárdítsuk meg tudásunkat.

3. példa. Oldja meg a 3x 2 ‒ 12x = 0 egyenletet.

x(3x ‒ 12) = 0

x = 0 vagy 3x – 12 = 0

Válasz: x 1 = 0, x 2 = 4.

• A harmadik típusú ax 2 = 0 egyenletei nagyon egyszerűen megoldhatók.

Ha ax 2 = 0, akkor x 2 = 0. Az egyenletnek két egyenlő gyöke van x 1 = 0, x 2 = 0.

Az érthetőség kedvéért nézzük meg a diagramot.

A 4. példa megoldásakor ügyeljünk arra, hogy az ilyen típusú egyenletek nagyon egyszerűen megoldhatók.

4. példa Oldja meg a 7x 2 = 0 egyenletet.

Válasz: x 1, 2 = 0.

Nem mindig világos, hogy milyen típusú nem teljes másodfokú egyenletet kell megoldanunk. Tekintsük a következő példát.

5. példa. Oldja meg az egyenletet

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát egy közös nevezővel, azaz 30-al

Vágjuk le

5 (5x 2 + 9) – 6 (4x 2 - 9) = 90.

Nyissuk ki a zárójeleket

25x2 + 45 – 24x2 + 54 = 90.

Adjunk hasonlót

Mozgassuk a 99-et az egyenlet bal oldaláról jobbra, az előjelet fordítva az ellenkezőjére

Válasz: nincs gyökere.

Megnéztük, hogyan oldják meg a nem teljes másodfokú egyenleteket. Remélem, most már nem okoz nehézséget az ilyen jellegű feladatok elvégzése. Legyen óvatos a hiányos másodfokú egyenlet típusának meghatározásakor, akkor sikerülni fog.

Ha kérdése van ebben a témában, jelentkezzen óráimra, közösen megoldjuk a felmerülő problémákat.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete