Az antiderivatív funkció fizikai jelentése. A funkció és az általános megjelenés antiderivatívája

Tekintsük egy pont mozgását egy egyenes mentén. Hagyja, hogy időbe telik t a mozgás kezdetétől a pont egy távolságot tett meg utca). Aztán a pillanatnyi sebesség v(t) egyenlő a függvény deriváltjával utca), vagyis v(t) = s"(t).

A gyakorlatban az inverz problémával találkozunk: adott egy pont mozgási sebessége v(t) megtalálni az utat, amelyen járt utca), azaz olyan függvényt találni utca), amelynek deriváltja egyenlő v(t). Funkció utca), oly módon, hogy s"(t) = v(t), a függvény antideriváltjának nevezzük v(t).

Például ha v(t) = аt, Ahol A egy adott szám, akkor a függvény
s(t) = (аt 2) / 2v(t), mert
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x) bizonyos időközönként, ha mindenért x ebből a szakadékból F"(x) = f(x).

Például a függvény F(x) = sin x a függvény antideriváltja f(x) = cos x, mert (sin x)" = cos x; funkció F(x) = x 4 /4 a függvény antideriváltja f(x) = x 3, mert (x 4 /4)" = x 3.

Tekintsük a problémát.

Feladat.

Bizonyítsuk be, hogy az x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 függvények ugyanazon f(x) = x 2 függvény antideriváltjai.

Megoldás.

1) Jelöljük F 1 (x) = x 3 /3, akkor F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 / 3 + 1)" = (x 3 / 3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Általában minden x 3 /3 + C függvény, ahol C egy állandó, az x 2 függvény antideriváltja. Ez abból következik, hogy az állandó deriváltja nulla. Ez a példa azt mutatja, hogy egy adott függvény antideriváltja kétértelműen van meghatározva.

Legyen F 1 (x) és F 2 (x) ugyanazon f(x) függvény két antideriváltja.

Ekkor F 1 "(x) = f(x) és F" 2 (x) = f(x).

G(x) = F 1 (x) – F 2 (x) különbségük deriváltja nulla, mivel g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

Ha egy bizonyos intervallumon g"(x) = 0, akkor az y = g(x) függvény grafikonjának érintője ennek az intervallumnak minden pontjában párhuzamos az Ox tengellyel. Ezért az y = függvény grafikonja g(x) az Ox tengellyel párhuzamos egyenes, azaz g(x) = C, ahol C valamilyen konstans a g(x) = C egyenlőségből, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) ebből következik, hogy F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Tehát, ha az F(x) függvény az f(x) függvény antideriváltja egy bizonyos intervallumon, akkor az f(x) függvény összes antideriváltja F(x) + C formában van írva, ahol C egy tetszőleges állandó.

Tekintsük egy adott f(x) függvény összes antideriváltjának grafikonját. Ha F(x) az f(x) függvény egyik antideriváltja, akkor ennek a függvénynek bármely antideriváltját úgy kapjuk meg, hogy F(x)-hez hozzáadunk valamilyen állandót: F(x) + C. Az y = F() függvények grafikonjai x) + C az y = F(x) grafikonból az Oy tengely mentén történő eltolással adódik. A C kiválasztásával biztosíthatja, hogy az antiderivált grafikonja áthaladjon egy adott ponton.

Figyeljünk az antiderivatívek megtalálásának szabályaira.

Emlékezzünk vissza, hogy az adott függvény deriváltjának megtalálásának műveletét ún különbségtétel. Az adott függvény antideriváltjának megtalálásának inverz műveletét nevezzük integráció(a latin szóból "visszaállítás").

Az antiderivatívek táblázata egyes függvényeknél származéktáblázat segítségével is összeállítható. Például annak tudatában (cos x)" = -sin x, kapunk (-cos x)" = sin x, amiből az következik, hogy minden antiderivatív funkció bűn x formában vannak írva -cos x + C, Ahol VAL VEL– állandó.

Nézzük meg az antiderivatívek néhány jelentését.

1) Funkció: x p, p ≠ -1. Antiderivatív: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funkció: 1/x, x > 0. Antiderivatív: ln x + C.

3) Funkció: x p, p ≠ -1. Antiderivatív: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funkció: e x. Antiderivatív: e x + C.

5) Funkció: bűn x. Antiderivatív: -cos x + C.

6) Funkció: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivatív: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkció: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivatív: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funkció: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivatív: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkció: sin (kx + b), k ≠ 0. Antiderivatív: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkció: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivatív: (1/k) sin (kx + b).

Integrációs szabályok használatával szerezhető be differenciálási szabályok. Nézzünk néhány szabályt.

Hadd F(x)És G(x)– függvények antideriváltjai, ill f(x)És g(x) bizonyos időközönként. Akkor:

1) funkció F(x) ± G(x) a függvény antideriváltja f(x) ± g(x);

2) funkció аF(x) a függvény antideriváltja аf(x).

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ez a lecke az első az integrációról szóló videósorozatban. Ebben elemezzük, hogy mi egy függvény antideriváltja, és tanulmányozzuk ezeknek az antideriváltáknak az alapvető számítási módszereit is.

Valójában nincs itt semmi bonyolult: lényegében minden a derivált fogalmán múlik, amit már ismerned kell :)

Mindjárt megjegyzem, hogy mivel ez az új témánk legelső órája, ma nem lesznek bonyolult számítások és képletek, de amit ma megtanulunk, az sokkal bonyolultabb számítások és konstrukciók alapját fogja képezni komplex integrálok és területek számításakor. .

Ezen túlmenően az integráció és az integrálok tanulmányozásának megkezdésekor implicit módon feltételezzük, hogy a hallgató már legalább ismeri a derivált fogalmakat, és rendelkezik legalább alapvető készségekkel azok kiszámításában. Ennek világos megértése nélkül egyáltalán nincs mit tenni az integrációban.

Azonban itt rejlik az egyik leggyakoribb és alattomos probléma. Az a tény, hogy amikor elkezdik kiszámolni az első antiderivatívákat, sok diák összekeveri őket a származékokkal. Ebből kifolyólag ostoba és sértő hibákat követnek el a vizsgák és az önálló munkavégzés során.

Ezért most nem adok egyértelmű definíciót az antiderivatívumra. Cserébe azt javaslom, nézze meg, hogyan számítják ki egy egyszerű konkrét példán keresztül.

Mi az antiderivatív és hogyan számítják ki?

Ismerjük ezt a képletet:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ezt a származékot egyszerűen kiszámítjuk:

\[(f)"\left(x \right)=((\left((((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Nézzük meg figyelmesen a kapott kifejezést, és fejezzük ki $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \jobb))^(\prime )))(3)\]

De írhatjuk így is, a derivált definíciója szerint:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

És most figyelem: amit az imént leírtunk, az az antiderivatív definíciója. De a helyes íráshoz a következőket kell írnia:

Ugyanígy írjuk fel a következő kifejezést:

Ha ezt a szabályt általánosítjuk, a következő képletet kaphatjuk:

\[((x)^(n))\ to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Most már megfogalmazhatunk egy világos definíciót.

Egy függvény antideriváltja olyan függvény, amelynek deriváltja megegyezik az eredeti függvénnyel.

Kérdések az antiderivatív funkcióról

Ez egy meglehetősen egyszerű és érthető meghatározásnak tűnik. Ennek hallatán azonban a figyelmes hallgatónak azonnal több kérdése is felmerül:

1. Tegyük fel, oké, ez a képlet helyes. Ebben az esetben azonban $n=1$ esetén gondunk van: „nulla” jelenik meg a nevezőben, és nem oszthatunk „nullával”.
2. A képlet csak fokokra korlátozódik. Hogyan lehet kiszámítani például a szinusz, koszinusz és bármely más trigonometria antideriváltját, valamint az állandókat.
3. Egzisztenciális kérdés: mindig lehet találni antiderivatívet? Ha igen, akkor mi a helyzet az összeg, különbözet, termék stb. antiderivatívájával?

Az utolsó kérdésre azonnal válaszolok. Sajnos az antiderivált, a származékkal ellentétben, nem mindig veszik figyelembe. Nincs olyan univerzális képlet, amellyel bármely kezdeti konstrukcióból olyan függvényt kaphatunk, amely megegyezik ezzel a hasonló konstrukcióval. Ami az erőket és az állandókat illeti, most erről fogunk beszélni.

A teljesítményfüggvényekkel kapcsolatos problémák megoldása

\[((x)^(-1))\ to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Amint látja, ez a képlet a $((x)^(-1))$-hoz nem működik. Felmerül a kérdés: akkor mi működik? Nem tudnánk megszámolni $((x)^(-1))$? Természetesen megtehetjük. Először csak emlékezzünk erre:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Most gondoljuk át: melyik függvény deriváltja egyenlő a $\frac(1)(x)$-val. Nyilvánvaló, hogy minden diák, aki legalább egy kicsit tanulmányozta ezt a témát, emlékezni fog arra, hogy ez a kifejezés megegyezik a természetes logaritmus deriváltjával:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Ezért bátran írhatjuk a következőket:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Ismernie kell ezt a képletet, akárcsak a hatványfüggvény deriváltját.

Tehát amit eddig tudunk:

• Hatványfüggvény esetén - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Egy állandó esetén - $=const\to \cdot x$
• A hatványfüggvény speciális esete a $\frac(1)(x)\to \ln x$

És ha elkezdjük szorozni és osztani a legegyszerűbb függvényeket, akkor hogyan tudjuk kiszámítani egy szorzat vagy hányados antideriváltját? Sajnos a szorzat vagy hányados származékával való analógiák itt nem működnek. Nincs szabványos képlet. Egyes esetekben vannak trükkös speciális képletek - a következő videóleckékben megismerkedünk velük.

Azonban ne feledje: nincs olyan általános képlet, amely hasonló lenne a hányados és a szorzat deriváltjának kiszámításához.

Valódi problémák megoldása

1. számú feladat

Számítsuk ki az egyes hatványfüggvényeket külön-külön:

\[((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Visszatérve kifejezésünkre, írjuk az általános konstrukciót:

2. számú probléma

Ahogy már mondtam, a művek prototípusait és a „pontigényes” részleteket nem vesszük figyelembe. Itt azonban a következőket teheti:

A törtet két tört összegére bontottuk.

Számoljuk ki:

A jó hír az, hogy az antiderivatívák számítási képleteinek ismeretében már bonyolultabb szerkezeteket is ki lehet számítani. Menjünk azonban tovább, és bővítsük még egy kicsit tudásunkat. A helyzet az, hogy sok olyan konstrukció és kifejezés, amelyeknek első pillantásra semmi köze a $((x)^(n))$-hoz, racionális kitevővel rendelkező hatványként ábrázolható, nevezetesen:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Mindezeket a technikákat kombinálni lehet és kell is. A hatalom kifejezései lehetnek

• szorozni (fok hozzáadásával);
• oszt (a fokokat kivonják);
• szorozzuk meg egy állandóval;
• stb.

Hatványkifejezések megoldása racionális kitevővel

1. példa

Számítsuk ki az egyes gyökereket külön:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Összességében a teljes konstrukciónk a következőképpen írható fel:

2. példa

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \jobbra))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Ezért kapjuk:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\ to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2(x)^(2)))\]

Összességében mindent egyetlen kifejezésbe gyűjtve a következőket írhatjuk:

3. példa

Először is megjegyezzük, hogy már kiszámoltuk a $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Írjuk át:

Remélem, senkit sem lep meg, ha azt mondom, hogy amit most tanulmányoztunk, az csak az antiderivatívák legegyszerűbb számításai, a legelemibb konstrukciók. Nézzünk most egy kicsit összetettebb példákat, amelyekben a táblázatos antideriváltákon kívül az iskolai tananyagra is meg kell emlékezni, nevezetesen a rövidített szorzóképletekre.

Bonyolultabb példák megoldása

1. számú feladat

Emlékezzünk vissza a négyzetes különbség képletére:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Írjuk át a függvényünket:

Most meg kell találnunk egy ilyen függvény prototípusát:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Állítsunk össze mindent egy közös dizájnba:

2. számú probléma

Ebben az esetben ki kell bővítenünk a különbségkockát. Emlékezzünk:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2)-((b)^(3))\]

Ezt a tényt figyelembe véve a következőképpen írhatjuk:

Alakítsuk át egy kicsit a funkciónkat:

Mint mindig, minden kifejezésre külön számítunk:

\[((x)^(-3))\ to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\ to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\ to \ln x\]

Írjuk fel a kapott konstrukciót:

3. probléma

A tetején van az összeg négyzete, bontsuk ki:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Írjuk fel a végső megoldást:

Most figyelem! Nagyon fontos dolog, ami a hibák és félreértések oroszlánrészével jár. Az a helyzet, hogy mindeddig, amikor az antideriváltokat deriváltokkal számoltuk és transzformációkat hoztunk, nem gondoltunk arra, hogy egy állandó deriváltja mivel egyenlő. De egy konstans deriváltja egyenlő a „nullával”. Ez azt jelenti, hogy a következő opciókat írhatja be:

1. $((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Ezt nagyon fontos megérteni: ha egy függvény deriváltja mindig ugyanaz, akkor ugyanannak a függvénynek végtelen számú antideriváltja van. Egyszerűen hozzáadhatunk bármilyen állandó számot az antiderivatívánkhoz, és újakat kaphatunk.

Nem véletlen, hogy az általunk most megoldott problémák magyarázatában ez állt: „Írja le az antiderivatívák általános formáját”. Azok. Már előre feltételezik, hogy nem egy van belőlük, hanem egy egész sokaság. De valójában csak a végén lévő állandó $C$-ban különböznek. Ezért feladataink során azt javítjuk, amit nem teljesítettünk.

Még egyszer átírjuk a konstrukcióinkat:

Ilyen esetekben hozzá kell tenni, hogy a $C$ egy konstans - $C=const$.

Második függvényünkben a következő konstrukciót kapjuk:

És az utolsó:

És most valóban azt kaptuk, amit a probléma eredeti állapotában megköveteltek tőlünk.

Adott ponttal rendelkező antideriválták keresési feladatainak megoldása

Most, hogy ismerjük a konstansokat és az antideriválták írásának sajátosságait, teljesen logikus, hogy a következő típusú probléma akkor merül fel, amikor az összes antiderivált halmazból meg kell találni azt az egyetlent, amely áthaladna egy adott ponton. . Mi ez a feladat?

A helyzet az, hogy egy adott függvény minden antideriváltja csak abban különbözik, hogy egy bizonyos számmal függőlegesen eltolódnak. Ez pedig azt jelenti, hogy függetlenül attól, hogy a koordinátasík melyik pontját vesszük fel, egy antiderivált biztosan átmegy, ráadásul csak egy.

Tehát a feladatok, amelyeket most megoldunk, a következőképpen fogalmazódnak meg: ne csak az antideriváltat keressük meg az eredeti függvény képletének ismeretében, hanem válasszuk ki pontosan azt, amelyik átmegy az adott ponton, amelynek koordinátái a feladatban lesznek megadva. nyilatkozat.

1. példa

Először egyszerűen számoljuk meg az egyes kifejezéseket:

\[((x)^(4))\ to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\ to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Most behelyettesítjük a következő kifejezéseket a szerkezetünkbe:

Ennek a függvénynek át kell haladnia a $M\left(-1;4 \right)$ ponton. Mit jelent az, hogy áthalad egy ponton? Ez azt jelenti, hogy ha $x$ helyett $-1$-t teszünk mindenhova, és $F\left(x \right)$ helyett - $-4$-t, akkor a megfelelő numerikus egyenlőséget kell kapnunk. Csináljuk:

Látjuk, hogy van egy egyenletünk $C$-ra, ezért próbáljuk meg megoldani:

Írjuk le pontosan azt a megoldást, amit kerestünk:

2. példa

Először is fel kell tárni a különbség négyzetét a rövidített szorzási képlet segítségével:

\[((x)^(2))\ to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Az eredeti konstrukció a következőképpen lesz írva:

Most keressük meg a $C$-t: helyettesítsük be a $M$ pont koordinátáit:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

$C$-t fejezünk ki:

Marad a végső kifejezés megjelenítése:

Trigonometrikus feladatok megoldása

Az imént tárgyaltak utolsó érintéseként két összetettebb, trigonometriával kapcsolatos probléma megvizsgálását javaslom. Ezekben ugyanígy meg kell találni az összes függvény antideriváltját, majd ebből a halmazból kiválasztani azt az egyetlent, amelyik átmegy a koordinátasíkon a $M$ ponton.

A jövőre nézve szeretném megjegyezni, hogy az a technika, amelyet most a trigonometrikus függvények antideriváltjainak keresésére fogunk használni, valójában egy univerzális önellenőrzési technika.

1. számú feladat

Emlékezzünk a következő képletre:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Ez alapján a következőket írhatjuk:

Helyettesítsük be a $M$ pont koordinátáit a kifejezésünkbe:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Ezt a tényt figyelembe véve írjuk át a kifejezést:

2. számú probléma

Ez egy kicsit nehezebb lesz. Most meglátod, miért.

Emlékezzünk erre a képletre:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Ahhoz, hogy megszabaduljon a „mínusztól”, a következőket kell tennie:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Íme a tervezésünk

Helyettesítsük be a $M$ pont koordinátáit:

Összességében felírjuk a végső konstrukciót:

Ma ennyit szerettem volna elmondani neked. Tanulmányoztuk az antiderivált kifejezéseket, hogyan lehet elemi függvényekből kiszámolni őket, és azt is, hogyan találhatunk a koordinátasíkon egy adott ponton áthaladó antideriváltat.

Remélem, ez a lecke segít legalább egy kicsit megérteni ezt az összetett témát. Mindenesetre az antideriváltokon készülnek a határozatlan és határozatlan integrálok, ezért ezek kiszámítása feltétlenül szükséges. Nekem ennyi. Viszlát!

Antiderivatív függvény és határozatlan integrál

1. tény. Az integráció a differenciálás fordított művelete, nevezetesen egy függvény visszaállítása ennek a függvénynek az ismert deriváltjából. A funkció így helyreállt F(x) nak, nek hívják antiderivatív funkcióhoz f(x).

Definíció 1. Funkció F(x f(x) bizonyos időközönként x, ha minden értékre x ebből az intervallumból érvényesül az egyenlőség F "(x)=f(x), vagyis ezt a függvényt f(x) az antiderivatív függvény deriváltja F(x). .

Például a függvény F(x) = bűn x a függvény antideriváltja f(x) = cos x a teljes számegyenesen, hiszen x bármely értékére (bűn x)" = (cos x) .

Definíció 2. Függvény határozatlan integrálja f(x) az összes antiderivált készlete. Ebben az esetben a jelölést használják

∫

f(x)dx

,

hol a jel ∫ integráljelnek, függvénynek nevezzük f(x) – integrand függvény, és f(x)dx – integráns kifejezés.

Így ha F(x) – valamilyen antiderivatív a f(x), Ez

∫

f(x)dx = F(x) +C

Ahol C - tetszőleges állandó (konstans).

A függvény antideriváltjainak mint határozatlan integrál jelentésének megértéséhez a következő analógia megfelelő. Legyen ajtó (hagyományos faajtó). Feladata, hogy „ajtó legyen”. Miből van az ajtó? Fából készült. Ez azt jelenti, hogy az „ajtónak lenni” függvény integrandusának, azaz határozatlan integráljának antideriváltjainak halmaza a „fának lenni + C” függvény, ahol C egy konstans, ami ebben az összefüggésben jelöli például a fa típusát. Ahogy egy ajtót fából készítenek bizonyos szerszámok segítségével, egy függvény származékát egy antiderivatív függvényből „készítik” képletek, amelyeket a derivált tanulmányozása során tanultunk meg .

Ekkor a gyakori tárgyak és a hozzájuk tartozó antiszármazékok ("ajtónak lenni" - "fának lenni", "kanálnak lenni" - "fémnek lenni" stb.) függvénytáblázata hasonló az alaptáblázathoz. határozatlan integrálok, amelyeket az alábbiakban adunk meg. A határozatlan integrálok táblázata felsorolja a közös függvényeket, feltüntetve azokat az antideriváltokat, amelyekből ezek a függvények „készültek”. A határozatlan integrál megtalálásával kapcsolatos problémák egy részében olyan integránsokat adunk meg, amelyek nagyobb erőfeszítés nélkül közvetlenül integrálhatók, vagyis a határozatlan integrálok táblázatával. Bonyolultabb problémák esetén először az integrandust kell átalakítani, hogy táblaintegrálokat lehessen használni.

2. tény. Amikor egy függvényt antideriváltként állítunk vissza, figyelembe kell vennünk egy tetszőleges állandót (konstanst) C, és annak érdekében, hogy ne írjon listát az antiderivatívákról 1-től végtelenig különböző állandókkal, meg kell írnia egy tetszőleges állandóval rendelkező antiderivált készletet. C például így: 5 x³+C. Tehát egy tetszőleges állandó (konstans) szerepel az antiderivált kifejezésében, mivel az antiderivált lehet függvény, például 5 x³+4 vagy 5 x³+3 és ha differenciálódik, 4 vagy 3, vagy bármely más állandó nullára megy.

Tegyük fel az integrációs problémát: erre a függvényre f(x) találni egy ilyen funkciót F(x), amelynek származéka egyenlő f(x).

1. példa Keresse meg egy függvény antideriváltjainak halmazát

Megoldás. Ennél a függvénynél az antiderivatív a függvény

Funkció F(x) a függvény antideriváltjának nevezzük f(x), ha a származék F(x) egyenlő f(x), vagy ami ugyanaz, a különbség F(x) egyenlő f(x) dx, azaz

(2)

Ezért a függvény a függvény antideriváltja. Azonban nem ez az egyetlen antiderivatív a . Funkcióként is szolgálnak

Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó. Ezt differenciálással lehet igazolni.

Így ha egy függvénynek egy antideriválta van, akkor végtelen számú antideriválta van, amelyek egy állandó taggal különböznek egymástól. Egy függvény összes antideriváltja a fenti formában van írva. Ez a következő tételből következik.

Tétel (2. formális tényállítás). Ha F(x) – a funkció antideriváltja f(x) bizonyos időközönként x, majd bármely más származékellenes szer számára f(x) ugyanazon az intervallumon ábrázolható formában F(x) + C, Ahol VAL VEL– tetszőleges állandó.

A következő példában áttérünk az integrálok táblázatára, amelyet a 3. bekezdésben adunk meg, a határozatlan integrál tulajdonságai után. Ezt a teljes táblázat elolvasása előtt tesszük, hogy a fentiek lényege világos legyen. A tábla és tulajdonságok után pedig teljes egészében fogjuk használni őket az integráció során.

2. példa Keresse meg az antiderivatív függvénykészleteket:

Megoldás. Találunk olyan antiderivatív függvénykészleteket, amelyekből ezek a függvények „készülnek”. Amikor az integrálok táblázatából képleteket említünk, egyelőre csak fogadjuk el, hogy ott vannak ilyen formulák, és magát a határozatlan integrálok táblázatát is tanulmányozzuk egy kicsit tovább.

1) A (7) képlet alkalmazása az integrálok táblázatából n= 3, kapjuk

2) A (10) képlet segítségével az integrálok táblázatából n= 1/3, megvan

3) Azóta

majd a (7) képlet szerint -val n= -1/4 találunk

Nem maga a függvény van az integráljel alá írva. f, és a differenciál szorzata dx. Ez elsősorban annak jelzésére szolgál, hogy melyik változóval keresik az antiderivatívet. Például,

, ;

itt az integrandus mindkét esetben egyenlő -vel, de határozatlan integráljai a vizsgált esetekben eltérőnek bizonyulnak. Az első esetben ezt a függvényt a változó függvényének tekintjük x, a másodikban pedig - függvényében z .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának folyamatát a függvény integrálásának nevezzük.

A határozatlan integrál geometriai jelentése

Tegyük fel, hogy meg kell találnunk egy görbét y=F(x)és már tudjuk, hogy az érintőszög érintője minden pontjában adott függvény f(x) ennek a pontnak abszcisszán.

A derivált geometriai jelentése szerint az érintő dőlésszögének érintője a görbe adott pontjában y=F(x) egyenlő a származék értékével F"(x). Tehát meg kell találnunk egy ilyen függvényt F(x), amelyekre F"(x)=f(x). A feladathoz szükséges funkció F(x) egy antiderivátuma f(x). A feladat feltételeit nem egy görbe, hanem egy görbecsalád elégíti ki. y=F(x)- ezen görbék egyike, és abból bármely más görbe a tengely mentén történő párhuzamos fordítással előállítható Oy.

Nevezzük az antiderivatív függvény grafikonját f(x) integrálgörbe. Ha F"(x)=f(x), akkor a függvény grafikonja y=F(x) van egy integrálgörbe.

3. tény. A határozatlan integrált geometriailag az összes integrálgörbe családja ábrázolja , mint az alábbi képen. Az egyes görbék távolságát a koordináták origójától egy tetszőleges integrációs állandó határozza meg C.

A határozatlan integrál tulajdonságai

4. tény. 1. Tétel. Egy határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal, differenciálja pedig egyenlő az integrandusszal.

5. tény. 2. Tétel. Egy függvény differenciáljának határozatlan integrálja f(x) egyenlő a függvénnyel f(x) állandó időtartamig , azaz

(3)

Az 1. és 2. tétel azt mutatja, hogy a differenciálás és az integráció kölcsönösen inverz műveletek.

6. tény. 3. Tétel. Az integrandus állandó tényezője kivehető a határozatlan integrál előjeléből , azaz

2. lecke Integrálszámítás

A határozatlan integrál és geometriai jelentése. A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai.

Alapvető módszerek a határozatlan integrál integrálására.

Határozott integrál és geometriai jelentése.

Newton-Leibniz képlet. A határozott integrál számítási módszerei.

Egy függvény deriváltjának vagy differenciáljának ismeretében megtalálhatja magát a függvényt (a függvény visszaállítása). Ezt a cselekvést, a differenciálás inverzét integrációnak nevezzük.

Antiderivatív funkció egy adott függvényre vonatkozóan a következő függvényt nevezzük
, melynek deriváltja egyenlő az adott függvénnyel, azaz.

Ehhez a funkcióhoz Végtelen sok antiderivatív függvény létezik, mert bármelyik funkciót
, egyben a .

Egy adott függvényhez tartozó összes antiderivált halmazát annak nevezzük határozatlan integrál szimbólum jelzi:

, Ahol

integrandusnak, függvénynek nevezzük
- integrand függvény.

A határozatlan integrál geometriai jelentése. Geometriailag a határozatlan integrál egy függvény grafikonjának párhuzamos átvitelével kapott integrálgörbék családja egy síkon.
az ordináta tengelye mentén (3. ábra).

A határozatlan integrál alapvető tulajdonságai

Tulajdonság 1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

2. tulajdonság. Egy határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal:

3. tulajdonság. Egy függvény differenciáljának integrálja egyenlő ezzel a függvénnyel plusz const:

4. tulajdonság. Az integrál linearitása.

Alapintegrálok táblázata

	Integrál
erő
jelzésértékű
trigonometrikus
fordított trigonometrikus

Alapvető integrációs módszerek

Alkatrészenkénti integráció módja egy módszer, amely a következő képlet használatát foglalja magában:

.

Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, ha az integrál
könnyebb megoldani, mint
. Ez a módszer általában az űrlap integráljait oldja meg
, Ahol
egy polinom, és az alábbi függvények egyike:
,
,
, , ,
,
.

Nézzünk néhány funkciót
, az intervallumon meghatározott
, rizs. 4. Végezzünk el 5 műveletet!

1. A pontokkal rendelkező intervallumot tetszőleges módon osztjuk fel alkatrészek. Jelöljük
, és ezeknek a részszakaszoknak a legnagyobb hosszát jelöljük , zúzós rangnak fogjuk nevezni.

2. Minden részteleken
vegyünk egy tetszőleges pontot és számítsuk ki a benne lévő függvény értékét
.

3. Komponáljunk művet!

4. Számoljunk össze
. Ezt az összeget integrálösszegnek vagy Riemann-összegnek nevezzük.

5. A zúzás csökkentésével (a zúzási pontok számának növelésével) és ezzel egyidejűleg a zúzási rangot nullára irányítva (
) azaz (a zúzási pontok számának növelésével biztosítjuk, hogy az összes részszakasz hossza csökkenjen és nullára hajlik
), megtaláljuk az integrálösszegek sorozatának határát

Ha ez a határ létezik, és nem függ az osztás módjától és a pontválasztástól, akkor ún határozott integrál függvényből egy intervallumon keresztül, és a következőképpen jelöljük:
.

Határozott integrál geometriai jelentése. Tegyük fel, hogy a függvény folytonos és pozitív az intervallumon. Tekintsünk egy ívelt trapézt ABCD(4. ábra). Halmozott összeg
megadja az alapokkal rendelkező téglalapok területének összegét
és magasságok
. Ez egy ívelt trapéz területének hozzávetőleges értékeként fogható fel ABCD , azaz

,

Sőt, ez az egyenlőség annál pontosabb, minél finomabb a zúzás, és a határértékben n→+∞ És λ → 0 kapunk:

.

Ez a határozott integrál geometriai jelentése.

A határozott integrál alapvető tulajdonságai

Tulajdonság 1. Egy határozott integrál egyenlő határértékekkel egyenlő nullával.

2. tulajdonság. Az integrálási határok felcserélésekor a határozott integrál az ellenkező előjelre vált.

3. tulajdonság. Az integrál linearitása.

VAL VEL tulajdonság 4. Bármilyenek is legyenek a számok
, ha funkció
integrálható minden intervallumon
,
,
(5. ábra), majd:

Tétel. Ha egy függvény folytonos az intervallumon, akkor ennek a függvénynek az intervallumon belüli határozott integrálja megegyezik a függvény bármely antiderivált értékének különbségével az integráció felső és alsó határán, pl.

(Newton-Leibniz képlet) .

Ez a képlet a határozott integrálok megtalálását határozatlan integrálokra redukálja. Különbség
az antiderivált növekményének nevezzük és jelöljük
.

Tekintsük a határozott integrál kiszámításának fő módjait: a változók megváltoztatását (helyettesítés) és a részenkénti integrációt.

Behelyettesítés (változóváltás) egy meghatározott integrálban - a következőket kell tenned:

És
;

Megjegyzés. Ha a határozott integrálokat helyettesítéssel értékeljük, nem kell visszatérni az eredeti argumentumhoz.

2. Integrálás részenként egy határozott integrálba a képlet használatához vezet:

.

Példák problémamegoldásra

1. Feladat. Keresse meg a határozatlan integrált közvetlen integrációval.

1.
. A határozatlan integrál tulajdonságát felhasználva kivesszük az integrál előjeléből a konstans tényezőt. Ezután elemi matematikai transzformációkat végrehajtva az integrand függvényt hatványformára redukáljuk:

.

2. feladat. Keresse meg a határozatlan integrált a változó változás módszerével.

1.
. Végezzünk változó változtatást
, Akkor . Az eredeti integrál a következő formában lesz:

Így egy táblázatos alak határozatlan integrálját kaptuk: hatványfüggvényt. A hatványfüggvény határozatlan integráljának megtalálására vonatkozó szabályt használva azt kapjuk, hogy:

A fordított cserét követően megkapjuk a végső választ:

3. feladat. Keresse meg a határozatlan integrált a részenkénti integráció módszerével.

1.
. Vezessük be a következő jelölést: jelentése ... alapvető koncepció integrál számítás– koncepció bizonytalan integrál ... bizonytalan integrál Alapvető tulajdonságait bizonytalan integrál Táblázat használata fő- bizonytalan ...

A "magasabb matematika" tudományág munkaprogramja Ciklus

Munkaprogram

... alapvető törvények... Integrál számítás egy változó Antiderivatív függvényei. Bizonytalan integrálÉs övé tulajdonságait ... integrálÉs övé geometriai jelentése. Integrál... koordináták. Bizonytalan integrálés... és praktikus osztályok". Petrusko I.M., ...

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete