IV.Az elektrosztatikus indukció vektora.Indukciós áramlás. Elektromos tér indukciós vektor

Ha sok a díj, akkor a mezők kiszámítása során nehézségek merülnek fel.

A Gauss-tétel segít ezek leküzdésében. A lényeg Gauss tétele a következőre csapódik le: ha tetszőleges számú töltést gondolatban egy zárt S felület vesz körül, akkor az elektromos térerősség áramlása egy elemi területen dS a következőképpen írható fel: dФ = Есоsα۰dS ahol α a normál és a sík és az erővektor .

(12.7. ábra)

(12.9)

A teljes felületen áthaladó teljes fluxus egyenlő lesz a benne véletlenszerűen elosztott összes töltés fluxusainak összegével, és arányos ennek a töltésnek a nagyságával.

Határozzuk meg az intenzitásvektor áramlását egy r sugarú gömbfelületen, amelynek középpontjában +q ponttöltés található (12.8. ábra). A feszítővonalak merőlegesek a gömb felületére, α = 0, ezért cosα = 1. Ekkor

Ha a mezőt töltésrendszer alkotja, akkor Gauss tétele:

(12.10)

az elektrosztatikus térerősségvektor vákuumban tetszőleges zárt felületen keresztüli áramlása egyenlő a felületen belüli töltések algebrai összegével, osztva az elektromos állandóval.

Ha a gömbön belül nincsenek töltések, akkor Ф = 0.

Gauss tétele viszonylag egyszerűvé teszi a szimmetrikus eloszlású töltések elektromos mezőjének kiszámítását.

Vezessük be az elosztott töltések sűrűségének fogalmát.

(12.11)

A lineáris sűrűséget τ-val jelöljük, és az egységnyi hosszonkénti q töltést ℓ jellemzi. Általában a képlet segítségével számítható ki

A töltések egyenletes eloszlása ​​esetén a lineáris sűrűség egyenlő

(12.12)

A felületi sűrűséget σ jelöli, és az egységnyi S területre eső q töltést jellemzi. Általában a képlet határozza meg

A töltések egyenletes eloszlásával a felületen a felületi sűrűség egyenlő

(12.13)

A térfogatsűrűséget ρ jelöli, és az egységnyi V térfogatra jutó q töltést jellemzi. Általában a képlet határozza meg
.

A töltések egyenletes eloszlása ​​esetén egyenlő

Mivel a q töltés egyenletesen oszlik el a gömbön, akkor
.

σ = állandó. Alkalmazzuk Gauss tételét. Rajzoljunk egy sugarú gömböt az A ponton keresztül. A 12.9. ábrán látható feszültségvektor áramlása egy sugarú gömbfelületen cosα = 1, mivel α = 0. Gauss tétele szerint,

(12.14)

A (12.14) kifejezésből az következik, hogy a töltött gömbön kívüli térerősség megegyezik a gömb közepén elhelyezett ponttöltés térerősségével. A gömb felületén, azaz. r 1 = r 0, feszültség
.

A gömb belsejében r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

Az r 0 sugarú henger egyenletesen töltődik σ felületi sűrűséggel (12.10. ábra). Határozzuk meg a térerősséget egy tetszőlegesen kiválasztott A pontban. Rajzoljunk egy képzeletbeli R sugarú és ℓ hosszúságú hengerfelületet az A ponton keresztül. A szimmetria miatt az áramlás csak a henger oldalfelületein keresztül fog kilépni, mivel az r 0 sugarú henger töltései egyenletesen oszlanak el a felületén, azaz. a feszítési vonalak radiális egyenesek lesznek, merőlegesek mindkét henger oldalfelületére. Mivel az áramlás a hengerek alján nulla (cos α = 0), és a henger oldalfelülete merőleges az erővonalakra (cos α = 1), akkor

vagy

(12.15)

Fejezzük ki E értékét σ - felületi sűrűségen keresztül. Definíció szerint

ezért,

Helyettesítsük be q értékét a (12.15) képletbe!

(12.16)

A lineáris sűrűség meghatározása szerint
, hol
; ezt a kifejezést behelyettesítjük a (12.16) képletbe:

(12.17)

azok. A végtelenül hosszú töltött henger által létrehozott térerősség arányos a lineáris töltéssűrűséggel és fordítottan arányos a távolsággal.

Egy végtelen, egyenletes töltésű sík által létrehozott térerősség

Határozzuk meg az A pontban végtelen, egyenletes töltésű sík által létrehozott térerősséget. Legyen a sík felületi töltéssűrűsége σ. Zárt felületként célszerű olyan hengert választani, amelynek tengelye merőleges a síkra, és amelynek jobb oldali alapja az A pontot tartalmazza. A sík kettéosztja a hengert. Nyilvánvaló, hogy az erővonalak merőlegesek a henger síkjára és párhuzamosak a henger oldalfelületével, így a teljes áramlás csak a henger alján halad át. Mindkét alapon azonos a térerő, mert Az A és B pont szimmetrikus a síkhoz képest. Ekkor a henger alján átfolyó áramlás egyenlő

Gauss tétele szerint

Mert
, Azt
, hol

(12.18)

Így egy végtelen töltött sík térereje arányos a felületi töltéssűrűséggel, és nem függ a sík távolságától. Ezért a sík tere egységes.

Két ellentétes, egyenletes töltésű párhuzamos sík által létrehozott térerősség

A két sík által létrehozott mezőt a mezőszuperpozíció elve határozza meg:
(12.12. ábra). Az egyes síkok által létrehozott mező egyenletes, ezeknek a mezőknek az erősségei nagyságukban egyenlőek, de ellentétes irányúak:
. A szuperpozíció elve szerint a síkon kívüli teljes térerősség nulla:

A síkok között a térerősség iránya azonos, így a kapott erősség egyenlő a

Így a tér két különböző töltésű sík között egyenletes és intenzitása kétszer olyan erős, mint az egy sík által létrehozott térerősség. A síkoktól balra és jobbra nincs mező. A véges síkok mezőjének ugyanaz a formája, a torzítás csak a határaik közelében jelenik meg. A kapott képlet segítségével kiszámíthatja a lapos kondenzátor lemezei közötti mezőt.

A legnehezebb az elektromos jelenségek vizsgálata inhomogén elektromos környezetben. Egy ilyen közegben ε különböző értékekkel rendelkezik, a dielektrikum határán hirtelen változik. Tegyük fel, hogy meghatározzuk a térerősséget két közeg határfelületén: ε 1 =1 (vákuum vagy levegő) és ε 2 =3 (folyadék - olaj). A határfelületen a vákuumról a dielektrikumra való átmenet során a térerősség háromszorosára csökken, az erősségvektor fluxusa ugyanennyivel csökken (12.25. ábra, a). Az elektrosztatikus térerősség vektorának hirtelen megváltozása a két közeg határfelületén bizonyos nehézségeket okoz a mezők kiszámításakor. Ami Gauss tételét illeti, ilyen feltételek mellett általában értelmét veszti.

Mivel a különböző dielektrikumok polarizálhatósága és feszültsége eltérő, az egyes dielektrikumok térvonalainak száma is eltérő lesz. Ez a nehézség kiküszöbölhető a tér új fizikai jellemzőjének, a D elektromos indukciónak (vagy vektornak) bevezetésével. elektromos elmozdulás ).

A képlet szerint

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =állandó

Ezen egyenlőségek minden részét megszorozva az ε 0 elektromos állandóval, megkapjuk

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =állandó

Vezessük be az ε 0 εE=D jelölést, akkor az utolsó előtti reláció a következő alakot veszi fel

D 1 = D 2 = D 0 = állandó

A D vektort, amely egyenlő a dielektrikum elektromos térerősségének és abszolút dielektromos állandójának szorzatával, az ún.elektromos elmozdulás vektor

(12.45)

Az elektromos elmozdulás mértékegysége – medál négyzetméterenként(C/m2).

Az elektromos elmozdulás vektormennyiség, és így is kifejezhető

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

Az E feszültséggel ellentétben a D elektromos elmozdulás minden dielektrikumban állandó (12.25. ábra, b). Ezért célszerű az elektromos teret inhomogén dielektromos közegben nem az E intenzitással, hanem a D eltolási vektorral jellemezni. A D vektor a szabad töltések által létrehozott elektrosztatikus teret írja le (vagyis vákuumban), de térbeli eloszlásukkal, mint egy dielektrikum jelenlétében, mivel a dielektrikumban keletkező kötött töltések a teret létrehozó szabad töltések újraeloszlását idézhetik elő.

Vektor mező grafikusan elektromos eltolási vonalakkal ábrázolják, ugyanúgy, mint a mezőt erővonalak ábrázolják.

Elektromos elmozdulás vezeték - ezek olyan egyenesek, amelyek érintői minden pontban egybeesnek az elektromos eltolási vektorral.

Az E vektor vonalai bármilyen töltésen kezdődhetnek és végződhetnek - szabadon és kötötten, míg a vektor vonalaiD- csak ingyenesen. Vektor vonalakDA feszítővonalakkal ellentétben ezek folytonosak.

Mivel az elektromos elmozdulásvektor nem tapasztal megszakadást a két közeg határfelületén, minden zárt felülettel körülvett töltésekből származó indukciós vonal áthatol rajta. Ezért az elektromos elmozdulásvektorra Gauss tétele teljesen megőrzi jelentését inhomogén dielektromos közeg esetén.

Gauss-tétel a dielektrikum elektrosztatikus mezőjére : az elektromos elmozdulásvektor áramlása egy tetszőleges zárt felületen megegyezik a felületen belüli töltések algebrai összegével.

(12.47)

Elektromos térerősség vektor fluxus. Legyen egy kis platform DS(1.2. ábra) metszik az elektromos erővonalakat, amelyek iránya a normáléval van n szögben erre a webhelyre a. Feltéve, hogy a feszültségvektor E nem változik az oldalon belül DS, határozzuk meg feszültségvektor áramlása a platformon keresztül DS Hogyan

DFE =E DS kötözősaláta a.(1.3)

Mivel a tápvezetékek sűrűsége megegyezik a feszültség számértékével E, majd a területet keresztező elektromos vezetékek számaDS, számszerűen egyenlő lesz az áramlási értékkelDFEa felületen keresztülDS. Az (1.3) kifejezés jobb oldalát vektorok skaláris szorzataként ábrázoljuk EÉsDS= nDS, Hol n– a felületre merőleges egységvektorDS. Egy elemi területre d S Az (1.3) kifejezés a következő alakot veszi fel

dFE = E d S

Az egész oldalon S a feszültségvektor fluxusát a felület feletti integrálként számítjuk ki

Elektromos indukciós vektor áramlás. Az elektromos indukciós vektor fluxusát az elektromos térerősségvektor fluxusához hasonlóan határozzuk meg

dFD = D d S

Van némi kétértelműség az áramlások definícióiban abból adódóan, hogy minden felületre kettő a normálokat az ellenkező irányba. Zárt felület esetén a külső normális pozitívnak tekinthető.

Gauss tétele. Mérlegeljük pont pozitív elektromos töltés q, amely egy tetszőleges zárt felületen belül helyezkedik el S(1.3. ábra). Indukciós vektor fluxusa d felületelemen keresztül S egyenlő
(1.4)

d komponens S D = d S kötözősaláta afelületi elem d S az indukciós vektor irányábaDsugarú gömbfelület elemének tekintjük r, amelynek közepén a töltés találhatóq.

Tekintettel arra, hogy d S D/ r 2 egyenlő elemi testi sarok dw, amely alatt attól a ponttól, ahol a töltés találhatóqd felületelem látható S, az (1.4) kifejezést formává alakítjuk d FD = q d w / 4 p, ahonnan integrálás után a töltést körülvevő teljes térben, azaz a 0-tól 4-ig terjedő térszögön belülp, megkapjuk

FD = q.

Az elektromos indukciós vektor áramlása egy tetszőleges alakú zárt felületen megegyezik a felületen belüli töltéssel.

Ha egy tetszőleges zárt felület S nem fedezi a pontdíjat q(1.4. ábra), majd miután elkészítettünk egy kúpos felületet, amelynek csúcsa a töltés helyén van, felosztjuk a felületet S két részre: S 1 és S 2. D Áramlási vektor S a felületen keresztül S 1 és S 2:

.

a felületeken áthaladó fluxusok algebrai összegeként találjuk meg q Mindkét felület a töltés helyétől w egy térszögből látható

. Ezért az áramlások egyenlőek Mivel a zárt felületen áthaladó áramlás kiszámításakor használjuk külső normál a felszínre, jól látható, hogy az F áramlás < 0, тогда как поток Ф1D 2D D> 0. Teljes áramlás Ф = 0. Ez azt jelenti

az elektromos indukciós vektor áramlása egy tetszőleges alakú zárt felületen nem függ a felületen kívül elhelyezkedő töltésektől. q 1 , q 2 ,¼ , Ha az elektromos teret ponttöltések rendszere hozza létre qn S, amelyet zárt felület borít , akkor a szuperpozíció elvének megfelelően az indukciós vektor fluxusát ezen a felületen az egyes töltések által létrehozott fluxusok összegeként határozzuk meg.:

Az elektromos indukciós vektor áramlása egy tetszőleges alakú zárt felületen egyenlő a felület által lefedett töltések algebrai összegével Meg kell jegyezni, hogy a díjak q i S, az elektromos töltés folyamatosan oszlik el, akkor azt kell feltételezni, hogy minden d elemi térfogat V díja van. S:

(1.6)

Ebben az esetben az (1.5) kifejezés jobb oldalán a töltések algebrai összegzését a zárt felületen belüli térfogaton belüli integráció váltja fel. Az (1.6) kifejezés a legáltalánosabb megfogalmazás: Gauss tétele az elektromos indukciós vektor áramlása egy tetszőleges alakú zárt felületen megegyezik a felület által lefedett térfogat teljes töltésével, és nem függ a vizsgált felületen kívüli töltésektől

.

. A Gauss-tétel felírható az elektromos térerősség vektorára is: Az elektromos tér egyik fontos tulajdonsága következik Gauss tételéből: az erővonalak csak elektromos töltéseken kezdődnek vagy érnek véget, vagy a végtelenbe mennek . Hangsúlyozzuk még egyszer, hogy annak ellenére, hogy az elektromos térerősség E és elektromos indukció D S Az összes töltés térbeli elhelyezkedésétől függ, ezeknek a vektoroknak az áramlása egy tetszőleges zárt felületen keresztül csak meghatározottak S.

azok a töltések, amelyek a felszínen belül helyezkednek el Gauss-tétel differenciálformája. Jegyezze meg integrál forma V Gauss tétele az elektromos tér forrásai (töltései) és az elektromos tér jellemzői (feszültség vagy indukció) közötti kapcsolatot jellemzi a térfogatban. V tetszőleges, de az integrál összefüggések kialakításához elegendő, nagyságrendű. A térfogat elosztásával kis mennyiségekhez V i

, kapjuk a kifejezést

(1.7)

egészében és minden kifejezésre érvényes. A kapott kifejezést a következőképpen alakítsuk át: Vés vegyük figyelembe azt a határt, ameddig az egyenlőség jobb oldalán, göndör zárójelben lévő kifejezés hajlamos a térfogat korlátlan felosztására . A matematikában ezt a határértéket nevezik eltérés D):

vektor (ebben az esetben az elektromos indukció vektora D Vektor divergencia

derékszögű koordinátákkal:

.

Így az (1.7) kifejezés a következő alakra alakul:

Figyelembe véve, hogy korlátlan osztással az utolsó kifejezés bal oldalán lévő összeg egy térfogatintegrálba kerül, megkapjuk Az eredményül kapott összefüggésnek minden tetszőlegesen kiválasztott kötetre teljesülnie kell V D. Ez csak akkor lehetséges, ha az integrandusok értéke a tér minden pontjában megegyezik. Ezért a vektor divergenciája

azonos ponton a töltéssűrűséghez kapcsolódik az egyenlőség

vagy az elektrosztatikus térerősség vektorhoz Ezek az egyenlőségek kifejezik Gauss tételét.

Vegye figyelembe, hogy a Gauss-tétel differenciálformájára való átmenet során egy általános jellegű összefüggést kapunk:

.

A kifejezést Gauss-Osztrogradszkij képletnek nevezik, és összekapcsolja egy vektor divergenciájának térfogati integrálját ennek a vektornak a térfogatot határoló zárt felületen keresztüli áramlásával.

Kérdések

1) Mi a Gauss-tétel fizikai jelentése a vákuum elektrosztatikus térre vonatkozóan?

2) A kocka közepén egy ponttöltés találhatóq. Mi a vektor fluxusa? E:

a) a kocka teljes felületén keresztül; b) a kocka egyik lapján keresztül.

Változnak-e a válaszok, ha:

a) a töltés nem a kocka közepén, hanem benne van ; b) a töltés a kockán kívül van.

3) Mi a lineáris, felületi, térfogati töltéssűrűség.

4) Mutassa be a térfogat és a felületi töltéssűrűség összefüggését!

5) Lehet-e nullától eltérő az ellentétes és egyenletes töltésű párhuzamos végtelen síkon kívüli tér?

6) Egy zárt felületen elektromos dipólust helyeznek el. Mi az áramlás ezen a felületen

Az óra célja: Az Osztrogradszkij–Gauss tételt Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij orosz matematikus és mechanikus alkotta meg általános matematikai tétel formájában, valamint Carl Friedrich Gauss német matematikus. Ez a tétel a fizika speciális szintű tanulmányozásakor használható, mivel lehetővé teszi az elektromos mezők racionálisabb számításait.

Az Ostrogradsky–Gauss-tétel levezetéséhez olyan fontos segédfogalmakat kell bevezetni, mint az elektromos indukciós vektor és ennek az F vektornak a fluxusa.

Ismeretes, hogy az elektrosztatikus mezőt gyakran erővonalak segítségével ábrázolják. Tegyük fel, hogy a feszültséget egy olyan pontban határozzuk meg, amely két közeg határfelületén fekszik: a levegő (=1) és a víz (=81). Ezen a ponton, amikor levegőből vízbe haladunk, az elektromos térerősség a képlet szerint 81-szeresére csökken. Ha elhanyagoljuk a víz vezetőképességét, akkor az erővonalak száma ugyanennyivel csökken. A mezőszámítás különböző problémáinak megoldása során a közegek és a dielektrikumok interfészén a feszültségvektor megszakadása miatt bizonyos kényelmetlenségek keletkeznek. Ezek elkerülésére egy új vektort vezetnek be, amelyet elektromos indukciós vektornak neveznek:

Az elektromos indukciós vektor egyenlő a vektor és a közeg elektromos állandójának és dielektromos állandójának szorzatával egy adott pontban.

Nyilvánvaló, hogy két dielektrikum határán áthaladva az elektromos indukciós vonalak száma nem változik egy ponttöltés mezejében (1).

Az SI rendszerben az elektromos indukció vektorát coulomb per négyzetméterben (C/m2) mérik. Az (1) kifejezés azt mutatja, hogy a vektor számértéke nem függ a közeg tulajdonságaitól. A vektormezőt az intenzitásmezőhöz hasonlóan grafikusan ábrázoljuk (például egy ponttöltéshez lásd az 1. ábrát). Vektormezőre a szuperpozíció elve érvényes:

Elektromos indukciós fluxus

Az elektromos indukciós vektor jellemzi az elektromos teret a tér minden pontjában. Bevezethet egy másik mennyiséget, amely a vektor értékétől függ, nem egy ponton, hanem a felület minden pontján, amelyet egy lapos zárt kontúr határol.

Ehhez tekintsünk egy sík zárt vezetőt (áramkört), amelynek felülete S, egyenletes elektromos térbe helyezve. A vezető síkjának normálja szöget zár be az elektromos indukciós vektor irányával (2. ábra).

Az elektromos indukció áramlása az S felületen egy olyan mennyiség, amely egyenlő az indukciós vektor modulusának az S területtel, valamint a vektor és a normál közötti szög koszinuszával:

Ez a tétel lehetővé teszi, hogy megtaláljuk az elektromos indukciós vektor áramlását egy zárt felületen, amelynek belsejében elektromos töltések vannak.

Helyezzünk először egy q ponttöltést egy tetszőleges r 1 sugarú gömb középpontjába (3. ábra). Majd ; . Számítsuk ki ennek a gömbnek a teljes felületén áthaladó teljes indukciós fluxust: ; (). Ha egy sugarú gömböt veszünk, akkor Ф = q is. Ha olyan gömböt rajzolunk, amely nem fedi le a q töltést, akkor a teljes fluxus Ф = 0 (mivel minden vonal belép a felületbe és máskor elhagyja).

Így Ф = q, ha a töltés a zárt felületen belül található, és Ф = 0, ha a töltés a zárt felületen kívül található. Az áramlás Ф nem függ a felület alakjától. Független a töltések felületen belüli elrendezésétől is. Ez azt jelenti, hogy a kapott eredmény nem csak egy töltésre érvényes, hanem tetszőleges számú tetszőlegesen elhelyezkedő töltésre is, ha csak q alatt a felületen belül elhelyezkedő összes töltés algebrai összegét értjük.

Gauss-tétel: az elektromos indukció áramlása bármely zárt felületen egyenlő a felületen belül található összes töltés algebrai összegével: .

A képletből jól látható, hogy az elektromos áramlás mérete megegyezik az elektromos töltés méretével. Ezért az elektromos indukciós fluxus mértékegysége a coulomb (C).

Megjegyzés: ha a mező nem egyenletes, és a felület, amelyen keresztül az áramlást meghatározzák, nem egy sík, akkor ez a felület ds végtelen kicsi elemekre bontható, és minden elemet síknak tekinthetünk, és a közelében lévő mező egyenletes. Ezért bármely elektromos tér esetén az elektromos indukciós vektor áramlása a felületi elemen keresztül: dФ=. Az integráció eredményeként az S zárt felületen áthaladó teljes fluxus bármely inhomogén elektromos térben egyenlő: , ahol q a zárt S felülettel körülvett összes töltés algebrai összege. Fejezzük ki az utolsó egyenletet az elektromos térerősségben (vákuum esetén): .

Ez Maxwell egyik alapvető egyenlete az elektromágneses mezőre, integrált formában. Azt mutatja, hogy az időben állandó elektromos tér forrása álló elektromos töltések.

Határozzuk meg most a térerősséget számos esetben az Ostrogradsky-Gauss tétel segítségével.

1. Egyenletes töltésű gömbfelület elektromos tere.

R sugarú gömb. A +q töltés egyenletesen oszlik el egy R sugarú gömbfelületen. A felületi töltéseloszlást a felületi töltéssűrűség jellemzi (4. ábra). A felületi töltéssűrűség a töltésnek a felülethez viszonyított aránya, amelyen eloszlik. . SI-ben.

Határozzuk meg a térerőt:

a) a gömbfelületen kívül,
b) gömbfelületen belül.

a) Vegyük az A pontot, amely r>R távolságra van a töltött gömbfelület középpontjától. Rajzoljunk át rajta gondolatban egy r sugarú S gömbfelületet, amelynek közös középpontja van a töltött gömbfelülettel. A szimmetria megfontolásából nyilvánvaló, hogy az erővonalak az S felületre merőleges sugárirányú vonalak, és egyenletesen hatolnak át ezen a felületen, azaz. a feszültség ennek a felületnek minden pontján állandó nagyságú. Alkalmazzuk az Ostrogradsky-Gauss tételt erre az r sugarú S gömbfelületre. Ezért a gömbön áthaladó teljes fluxus N = E? S; N=E. A másik oldalon. egyenlőségjelet teszünk: . Ezért: r>R esetében.

Így: a rajta kívül egyenletes töltésű gömbfelület által keltett feszültség akkora, mintha a teljes töltés a középpontjában lenne (5. ábra).

b) Határozzuk meg a térerősséget a töltött gömbfelületen belüli pontokban. Vegyük a B pontot a gömb középpontjától távol . Ekkor E = 0 r-nél

2. Egyenletes töltésű végtelen sík térerőssége

Tekintsük egy végtelen sík által létrehozott elektromos teret, amely a sík minden pontjában sűrűségi állandóval töltődik fel. A szimmetria okán feltételezhetjük, hogy a feszítővonalak merőlegesek a síkra, és mindkét irányban onnan irányulnak (6. ábra).

Válasszuk a síktól jobbra fekvő A pontot, és ebben a pontban számoljunk az Ostrogradsky-Gauss tétel segítségével. Zárt felületként hengeres felületet választunk úgy, hogy a henger oldalfelülete párhuzamos legyen az erővonalakkal, az alapja pedig párhuzamos a síkkal és az alap áthaladjon az A ponton (7. ábra). Számítsuk ki a vizsgált hengeres felületen áthaladó feszültséget. Az oldalfelületen átmenő fluxus 0, mert a feszültségvonalak párhuzamosak az oldalfelülettel. Ekkor a teljes áramlás az áramlásokból és a henger alapjain áthaladó áramlásokból és . Mindkét áramlás pozitív =+; =; =; ==; N=2.

– a sík egy szakasza, amely a kiválasztott hengeres felületen belül fekszik. A töltés ezen a felületen belül q.

Aztán ; – ponttöltésnek vehető) A ponttal. A teljes mező megtalálásához az egyes elemek által létrehozott összes mezőt geometriailag össze kell adni: ; .

Az elektromos töltések kölcsönhatásának törvénye - Coulomb törvénye - másképp is megfogalmazható, az úgynevezett Gauss-tétel formájában. Gauss tételét a Coulomb-törvény és a szuperpozíció elve eredményeként kapjuk meg. A bizonyítás a két ponttöltés közötti kölcsönhatási erő és a köztük lévő távolság négyzetének fordított arányosságán alapul. Ezért a Gauss-tétel minden olyan fizikai térre alkalmazható, ahol az inverz négyzettörvény és a szuperpozíció elve érvényes, például a gravitációs térre.

Rizs. 9. Zárt X felületet metsző ponttöltés elektromos térerősségének vonalai

A Gauss-tétel megfogalmazásához térjünk vissza egy stacionárius ponttöltés elektromos erővonalainak képéhez. A magányos ponttöltés erővonalai szimmetrikusan elhelyezkedő sugárirányú egyenesek (7. ábra). Bármennyi ilyen vonalat rajzolhat. Jelöljük a teljes számukat ekkor a töltéstől távol eső térvonalak sűrűsége, azaz a sugarú gömb egységnyi felületét átmenő vonalak száma egyenlő a. ponttöltés (4), azt látjuk, hogy a vonalak sűrűsége arányos a térerősséggel. Ezeket a mennyiségeket számszerűen egyenlővé tehetjük az N mezősorok teljes számának megfelelő megválasztásával:

Így egy tetszőleges sugarú, ponttöltést körülvevő gömb felülete ugyanannyi erővonalat metsz. Ez azt jelenti, hogy az erővonalak folytonosak: bármely két különböző sugarú koncentrikus gömb közötti intervallumban egyik vonal sem törik meg, és nem adunk hozzá újakat. Mivel a térvonalak folytonosak, ugyanannyi erővonal metszi a töltést borító bármely zárt felületet (9. ábra).

Az erővonalaknak van irányuk. Pozitív töltés esetén a töltést körülvevő zárt felületből jönnek ki, ahogy az ábra mutatja. 9. Negatív töltés esetén a felület belsejébe mennek. Ha a kimenő sorok számát pozitívnak, a bejövő sorok számát negatívnak tekintjük, akkor a (8) képletből kihagyhatjuk a töltés modulusának előjelét és beírhatjuk az alakba.

A feszültség áramlása. Most bevezetjük a felületen áthaladó térerősség-vektor áramlás fogalmát. Egy tetszőleges mező mentálisan felosztható kis régiókra, amelyekben az intenzitás nagysága és iránya olyan csekély mértékben változik, hogy ezen a területen belül a mező homogénnek tekinthető. Minden ilyen területen az erővonalak párhuzamos egyenesek, és állandó sűrűségűek.

Rizs. 10. A térerősség vektor fluxusának meghatározása a helyszínen

Nézzük meg, hány erővonal hatol át egy kis területen, amelyhez a normál iránya a feszültségvonalak irányával a szöget zár be (10. ábra). Legyen egy vetület az erővonalakra merőleges síkra. Mivel a keresztező vonalak száma azonos, és a vonalak sűrűsége az elfogadott feltétel szerint egyenlő az E térerősség modulusával, akkor

Az a érték az E vektor vetülete a hely normális irányába

Ezért a területet keresztező elektromos vezetékek száma egyenlő

A szorzatot a felületen áthaladó térerősség-fluxusnak nevezzük. A (10) képlet azt mutatja, hogy az E vektor felületen áthaladó fluxusa megegyezik a felületet keresztező mezővonalak számával. Figyeljük meg, hogy az intenzitásvektor fluxusa, akárcsak a felületen áthaladó erővonalak száma, skalár.

Rizs. 11. Az E feszültségvektor áramlása a helyszínen

ábra szemlélteti az áramlás függését a helyszín irányultságától az erővonalakhoz képest.

Egy tetszőleges felületen átmenő térerősség fluxus azon elemi területeken áthaladó fluxusok összege, amelyekre ez a felület felosztható. A (9) és (10) összefüggések alapján megállapítható, hogy egy ponttöltés térerősségének áramlása bármely, a töltést körülvevő zárt felületen 2 (lásd 9. ábra), mint a töltésből kilépő erővonalak száma. ez a felület egyenlő Ebben az esetben az elemi területek zárt felületének normálvektorát kifelé kell irányítani. Ha a felületen belüli töltés negatív, akkor a térvonalak ezen a felületen belülre lépnek be, és a töltéshez tartozó térerősségvektor fluxusa is negatív.

Ha egy zárt felületen belül több töltés van, akkor a szuperpozíció elvének megfelelően a térerősségük áramlása összeadódik. A teljes fluxus egyenlő lesz azzal, ahol a felületen belül található összes töltés algebrai összegeként kell érteni.

Ha egy zárt felületen belül nincsenek elektromos töltések, vagy azok algebrai összege nulla, akkor ezen a felületen a térerősség teljes fluxusa nulla: ahány erővonal lép be a felület által határolt térfogatba, ugyanannyi megy ki.

Most végre megfogalmazhatjuk Gauss tételét: az E elektromos térerősség-vektor vákuumban tetszőleges zárt felületen való áramlása arányos a felületen belüli teljes töltéssel. Matematikailag Gauss tételét ugyanaz a (9) képlet fejezi ki, ahol a töltések algebrai összegét jelenti. Abszolút elektrosztatikus állapotban

az SGSE mértékegységrendszerében az együttható és a Gauss-tétel a formába van írva

SI-ben és a feszültség fluxusát zárt felületen a képlet fejezi ki

Gauss tételét széles körben használják az elektrosztatikában. Egyes esetekben egyszerűen használható a szimmetrikusan elhelyezkedő töltések által létrehozott mezők kiszámítása.

Szimmetrikus források mezői. Alkalmazzuk Gauss tételét egy sugarú golyó felületén egyenletesen feltöltött elektromos tér intenzitásának kiszámítására. A határozottság kedvéért feltételezzük, hogy a töltése pozitív. A teret létrehozó töltések eloszlása ​​gömbszimmetrikus. Ezért a mezőnek is ugyanaz a szimmetriája. Egy ilyen tér erővonalai a sugarak mentén irányulnak, és az intenzitási modulus minden pontban azonos a labda középpontjától egyenlő távolságra.

Annak érdekében, hogy a térerőt a labda középpontjától távolabb találjuk meg, rajzoljunk gondolatban egy gömb alakú, sugarú gömbfelületet, amely koncentrikus a labdával abszolút értékben azonos, az intenzitásáram egyszerűen egyenlő a térerősség és a gömb felületének szorzatával:

De ez a mennyiség kifejezhető Gauss tételével is. Ha a labdán kívüli mezőre vagyunk kíváncsiak, azaz például az SI-re és a (13-mal) összehasonlítva azt találjuk, hogy

Az SGSE mértékegységrendszerében nyilvánvalóan

Így a labdán kívül a térerősség ugyanaz, mint a labda közepén elhelyezett ponttöltésé. Ha a labdán belüli mezőre vagyunk kíváncsiak, vagyis mivel a labda felületén elosztott teljes töltés a gömbön kívül helyezkedik el, amit mentálisan megrajzoltunk. Ezért nincs mező a labdán belül:

Hasonlóan, Gauss tételével kiszámítható a végtelen töltöttségű elektrosztatikus mező.

állandó sűrűségű sík a sík minden pontjában. A szimmetria okán feltételezhetjük, hogy az erővonalak merőlegesek a síkra, mindkét irányba onnan irányulnak, és mindenhol azonos sűrűségűek. Valójában, ha a térvonalak sűrűsége a különböző pontokban eltérő lenne, akkor egy töltött sík önmaga mentén történő mozgatása a mező megváltozásához vezetne ezeken a pontokon, ami ellentmond a rendszer szimmetriájának - egy ilyen eltolódás nem változtathatja meg a mezőt. Más szóval, egy végtelen, egyenletes töltésű sík tere egyenletes.

A Gauss-tétel alkalmazásához zárt felületként egy henger felületét választjuk, amely a következőképpen épül fel: a henger generátora párhuzamos az erővonalakkal, az alapoknak pedig a töltéssíkkal párhuzamos területei vannak, és annak ellentétes oldalain fekszenek. (12. ábra). Az oldalfelületen átmenő térerősség fluxus nulla, tehát a zárt felületen átmenő teljes fluxus egyenlő a henger alapjain áthaladó fluxusok összegével:

Rizs. 12. Egyenletes töltésű sík térerősségének számítása felé

Gauss tétele szerint ugyanazt a fluxust a sík azon részének a töltése határozza meg, amely a henger belsejében van, és SI-ben egyenlő a fluxus ezen kifejezéseinek összehasonlításával, azt találjuk, hogy

Az SGSE rendszerben egy egyenletes töltésű végtelen sík térerősségét a képlet adja meg

Egy egyenletesen töltött, véges méretű lemezre a kapott kifejezések megközelítőleg érvényesek a lemez széleitől kellően távol és a felületétől nem túl távol elhelyezkedő tartományban. A lemez szélei közelében a mező már nem lesz egységes, és a mezővonalai meghajlanak. A lemez méretéhez képest nagyon nagy távolságok esetén a mező ugyanúgy csökken a távolsággal, mint a ponttöltés mezeje.

A szimmetrikus eloszlású források által létrehozott mezők további példái közé tartozik a végtelen egyenes vonalú fonal hosszában egyenletesen töltött mező, az egyenletes töltésű, végtelen körhenger mezője, egy golyó mezője,

a teljes térfogatban egyenletesen töltve stb. Gauss tétele lehetővé teszi a térerősség egyszerű kiszámítását ezekben az esetekben.

Gauss tétele összefüggést ad a mező és forrásai között, bizonyos értelemben az ellenkezőjét annak, amit a Coulomb-törvény adott, amely lehetővé teszi az elektromos tér meghatározását adott töltésekből. A Gauss-tétel segítségével meghatározhatja a teljes töltést a tér bármely olyan régiójában, amelyben az elektromos tér eloszlása ​​ismert.

Mi a különbség az elektromos töltések kölcsönhatásának leírásakor a nagy és a rövid hatótávolságú hatás fogalma között? Mennyire alkalmazhatók ezek a fogalmak a gravitációs kölcsönhatásokra?

Mi az elektromos térerősség? Mit jelentenek ezek, ha az elektromos térre jellemző erőt nevezik?

Hogyan lehet megítélni a térerősség irányát és nagyságát egy adott pontban a térvonalak mintázatából?

Az elektromos erővonalak keresztezhetik egymást? Indokolja válaszát.

Rajzoljon kvalitatív képet két töltés elektrosztatikus erővonaláról úgy, hogy .

Az elektromos térerősség zárt felületen keresztüli áramlását különböző (11) és (12) képletekkel fejezzük ki a GSE és SI mértékegységekben. Hogyan egyeztethető ez össze az áramlás geometriai jelentésével, amelyet a felületet keresztező erővonalak száma határoz meg?

Hogyan használjuk Gauss-tételt az elektromos térerősség meghatározására, ha az azt létrehozó töltések szimmetrikusan eloszlanak?

Hogyan alkalmazzuk a (14) és (15) képletet egy negatív töltésű labda térerősségének kiszámításához?

Gauss tétele és a fizikai tér geometriája. Nézzük meg a Gauss-tétel bizonyítását egy kicsit más szemszögből. Térjünk vissza a (7) képlethez, amelyből arra a következtetésre jutottunk, hogy egy töltést körülvevő bármely gömbfelületen ugyanannyi erővonal halad át. Ez a következtetés annak a ténynek köszönhető, hogy az egyenlőség mindkét oldalán csökken a nevező.

A jobb oldalon annak a ténynek köszönhető, hogy a töltések közötti kölcsönhatás ereje, amelyet a Coulomb-törvény ír le, fordítottan arányos a töltések közötti távolság négyzetével. A bal oldalon a megjelenés a geometriához kapcsolódik: egy gömb felülete arányos a sugara négyzetével.

A felület arányossága a lineáris méretek négyzetével az euklideszi geometria jellemzője a háromdimenziós térben. Valójában a területek arányossága pontosan a lineáris méretek négyzeteivel, és nem más egész számmal, jellemző a térre.

három dimenzió. Az a tény, hogy ez a kitevő pontosan egyenlő kettővel, és még elhanyagolható mértékben sem különbözik kettőtől, azt jelzi, hogy ez a háromdimenziós tér nem görbült, azaz geometriája pontosan euklideszi.

Így Gauss tétele a fizikai tér tulajdonságainak megnyilvánulása az elektromos töltések kölcsönhatásának alaptörvényében.

A fizika alaptörvényei és a tér tulajdonságai közötti szoros kapcsolat gondolatát sok kiváló elme fejezte ki már jóval azelőtt, hogy ezek a törvények létrejöttek volna. Így I. Kant három évtizeddel a Coulomb-törvény felfedezése előtt így írt a tér tulajdonságairól: „A háromdimenziósság nyilvánvalóan azért következik be, mert a létező világban az anyagok úgy hatnak egymásra, hogy a hatás ereje fordítottan arányos a távolság négyzetével."

A Coulomb-törvény és a Gauss-tétel valójában ugyanazt a természeti törvényt képviseli, különböző formában kifejezve. A Coulomb-törvény a nagy hatótávolságú cselekvés fogalmát tükrözi, míg Gauss tétele a teret kitöltő erőtér gondolatából, azaz a rövid hatótávolságú cselekvés fogalmából származik. Az elektrosztatikában az erőtér forrása egy töltés, és a forráshoz tartozó mező jellemzője - az intenzitás áramlása - nem változhat üres térben, ahol nincs más töltés. Mivel az áramlás vizuálisan elképzelhető mezővonalak halmazaként, az áramlás megváltoztathatatlansága e vonalak folytonosságában nyilvánul meg.

A Gauss-tétel, amely a kölcsönhatásnak a távolság négyzetével való fordított arányosságán és a szuperpozíció elvén (a kölcsönhatás additivitásán) alapul, minden olyan fizikai térre alkalmazható, amelyben a fordított négyzettörvény működik. Különösen igaz ez a gravitációs mezőre. Nyilvánvaló, hogy ez nem csak véletlen egybeesés, hanem annak a ténynek a tükörképe, hogy mind az elektromos, mind a gravitációs kölcsönhatások játszódnak le a háromdimenziós euklideszi fizikai térben.

Az elektromos töltések kölcsönhatásának törvényének melyik jellemzőjén alapul a Gauss-tétel?

Bizonyítsuk be Gauss tétele alapján, hogy egy ponttöltés elektromos térereje fordítottan arányos a távolság négyzetével. Milyen térszimmetria-tulajdonságokat használunk ebben a bizonyításban?

Hogyan tükröződik a fizikai tér geometriája a Coulomb-törvényben és a Gauss-tételben? E törvények melyik jellemzője jelzi a geometria euklideszi természetét és a fizikai tér háromdimenziósságát?