Hogyan néz ki egy szakasz felező merőlegese? A háromszög négy csodálatos pontja

Az előző leckében egy háromszögbe zárt és szabad szög felezőjének tulajdonságait vizsgáltuk. Egy háromszög három szöget tartalmaz, és mindegyiknél megmaradnak a felezőszög figyelembe vett tulajdonságai.

Tétel:

A háromszög AA 1, BB 1, СС 1 felezőszögei egy O pontban metszik egymást (1. ábra).

Rizs. 1. A tétel illusztrációja

Bizonyíték:

Tekintsünk először két BB 1 és CC 1 felezőt. Metszik egymást, létezik az O metszéspont. Ennek bizonyítására tételezzük fel az ellenkezőjét: az adott felezők ne metsszék egymást, ebben az esetben párhuzamosak. Ekkor a BC egyenes szekáns, a szögek összege pedig , ez ellentmond annak, hogy a teljes háromszögben a szögek összege .

Tehát létezik két felezőszög metszéspontjának O pontja. Nézzük a tulajdonságait:

Az O pont a szögfelezőn fekszik, ami azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van a BA és BC oldalaitól. Ha OK merőleges BC-re, OL merőleges BA-ra, akkor ezeknek a merőlegeseknek a hossza egyenlő - . Ezenkívül az O pont a szögfelezőn fekszik, és egyenlő távolságra van a CB és CA oldalaitól, az OM és az OK merőlegesek egyenlőek.

A következő egyenlőségeket kaptuk:

, vagyis az O pontból a háromszög oldalaira ejtett három merőleges egyenlő egymással.

Minket az OL és OM merőlegesek egyenlősége érdekel. Ez az egyenlőség azt mondja, hogy az O pont egyenlő távolságra van a szög oldalaitól, ebből következik, hogy az AA 1 felezőjén fekszik.

Így bebizonyítottuk, hogy a háromszög mindhárom felezőpontja egy pontban metszi egymást.

Ezenkívül egy háromszög három szegmensből áll, ami azt jelenti, hogy figyelembe kell venni egy-egy szegmens tulajdonságait.

Az AB szakasz adott. Bármely szakasznak van felezőpontja, és azon keresztül lehet merőlegest húzni - jelöljük p-ként. Így p a merőleges felező.

Rizs. 2. A tétel illusztrációja

A felező merőlegesen fekvő bármely pont egyenlő távolságra van a szakasz végeitől.

Bizonyítsd be (2. ábra).

Bizonyíték:

Tekintsük háromszögek és . Téglalap alakúak és egyenlőek, mivel közös OM lábuk van, az AO és OB lábak pedig feltétel szerint egyenlőek, így két derékszögű háromszögünk van, amelyek két szárban egyenlők. Ebből következik, hogy a háromszögek befogói is egyenlők, vagyis amit bizonyítani kellett.

A fordított tétel igaz.

A szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő pontok a szakaszra merőleges felezőirányban helyezkednek el.

Adott egy AB szakasz, annak p merőleges felezője, és egy M pont, amely egyenlő távolságra van a szakasz végeitől. Igazoljuk, hogy az M pont a szakaszra merőleges felezőn fekszik (3. ábra).

Rizs. 3. A tétel illusztrációja

Bizonyíték:

Tekintsünk egy háromszöget. Az állapotnak megfelelően egyenlő szárú. Tekintsük egy háromszög mediánját: O pont az AB alap közepe, OM a medián. Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai szerint az alapjához húzott medián magasság és felezőszög is egyben. Ebből következik, hogy . De a p egyenes is merőleges az AB-re. Tudjuk, hogy az O pontban lehet egyetlen merőlegest húzni az AB szakaszra, ami azt jelenti, hogy az OM és p egyenesek egybeesnek, ebből következik, hogy az M pont a p egyeneshez tartozik, ezt kellett bizonyítanunk.

A közvetlen és a fordított tételek általánosíthatók.

Egy pont akkor és csak akkor fekszik a szakasz merőleges felezőjén, ha egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől.

Tehát ismételjük meg, hogy egy háromszögben három szakasz van, és mindegyikre érvényes a merőleges felező tulajdonság.

Tétel:

A háromszög merőleges felezői egy pontban metszik egymást.

Adott egy háromszög. Oldalaira merőlegesek: P 1 a BC oldalra, P 2 az AC oldalra, P 3 az AB oldalra.

Igazoljuk, hogy a P 1, P 2 és P 3 merőlegesek az O pontban metszik egymást (4. ábra).

Rizs. 4. A tétel illusztrációja

Bizonyíték:

Tekintsünk két merőleges P 2 és P 3 felezőt, ezek metszik egymást, létezik az O metszéspont. Bizonyítsuk be ezt a tényt ellentmondással – legyen a P 2 és P 3 merőleges párhuzamos. Ekkor a szög megfordul, ami ellentmond annak, hogy egy háromszög három szögének összege . Tehát van egy O pont a három merőleges felezőszög közül kettőnek a metszéspontjában. Az O pont tulajdonságai: az AB oldalra merőleges felezővonalon fekszik, ami azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van az AB szakasz végeitől: . Az AC oldalra merőleges felezőn is fekszik, ami azt jelenti. A következő egyenlőségeket kaptuk.

Egy háromszögben négy figyelemre méltó pont van: a mediánok metszéspontja. A felezők metszéspontja, a magasságok metszéspontja és a merőleges felezők metszéspontja. Nézzük meg mindegyiket.

A háromszög mediánjainak metszéspontja

1. tétel

Egy háromszög mediánjainak metszéspontján: A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, és a csúcsból kiindulva elosztják a metszésponttal $2:1$ arányban.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a mediánjai. Mivel a mediánok kettéosztják az oldalakat. Tekintsük a $A_1B_1$ középvonalat (1. ábra).

1. ábra Háromszög mediánjai

Az 1. tétel szerint $AB||A_1B_1$ és $AB=2A_1B_1$, ezért $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Ez azt jelenti, hogy az $ABM$ és $A_1B_1M$ háromszögek hasonlóak a háromszögek hasonlóságának első kritériuma szerint. Akkor

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy

A tétel bizonyítást nyert.

A háromszög felezőinek metszéspontja

2. tétel

Egy háromszög felezőinek metszéspontján: A háromszög felezői egy pontban metszik egymást.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $AM,\BP,\CK$ a felezők. Legyen az $O$ pont a $AM\ és\BP$ felezők metszéspontja. Ebből a pontból húzzunk merőlegeseket a háromszög oldalaira (2. ábra).

2. ábra Háromszög felezőpontjai

3. tétel

Egy kidolgozatlan szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az oldalaitól.

A 3. tétel alapján: $OX=OZ,\ OX=OY$. Ezért $OY=OZ$. Ez azt jelenti, hogy a $O$ pont egyenlő távolságra van az $ACB$ szög oldalaitól, és ezért a $CK$ felezőpontján fekszik.

A tétel bizonyítást nyert.

A háromszög merőleges felezőinek metszéspontja

4. tétel

A háromszög oldalaira merőleges felezők egy pontban metszik egymást.

Bizonyíték.

Legyen adott egy $ABC$ háromszög, $n,\ m,\ p$ merőleges felezői. Legyen az $O$ pont a $n\ és\ m$ merőleges felezők metszéspontja (3. ábra).

3. ábra Egy háromszög merőleges felezőszögei

Ennek bizonyításához a következő tételre van szükségünk.

5. tétel

A szakaszra merőleges felezőpont minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz végeitől.

A 3. tétel szerint: $OB=OC,\ OB=OA$. Ezért $OA=OC$. Ez azt jelenti, hogy a $O$ pont egyenlő távolságra van a $AC$ szakasz végeitől, és ezért a $p$ felező merőlegesen fekszik.

A tétel bizonyítást nyert.

Háromszög magasságok metszéspontja

6. tétel

Egy háromszög magassága vagy kiterjesztéseik egy pontban metszik egymást.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a magassága. A háromszög minden csúcsán keresztül húzzunk egy egyenest a csúcsgal szemközti oldallal párhuzamosan. Új háromszöget kapunk $A_2B_2C_2$ (4. ábra).

4. ábra Háromszög magasságok

Mivel a $AC_2BC$ és a $B_2ABC$ paralelogrammák közös oldallal, ezért $AC_2=AB_2$, azaz a $A$ pont a $C_2B_2$ oldal felezőpontja. Hasonlóképpen azt találjuk, hogy a $B$ pont a $C_2A_2$ oldal felezőpontja, a $C$ pont pedig a $A_2B_2$ oldal felezőpontja. A konstrukcióból azt kaptuk, hogy $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Ezért $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ a $A_2B_2C_2$ háromszög felező merőlegesei. Ekkor a 4. Tétel szerint a $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ magasságok egy pontban metszik egymást.

Az előző leckében egy háromszögbe zárt és szabad szög felezőjének tulajdonságait vizsgáltuk. Egy háromszög három szöget tartalmaz, és mindegyiknél megmaradnak a felezőszög figyelembe vett tulajdonságai.

Tétel:

A háromszög AA 1, BB 1, СС 1 felezőszögei egy O pontban metszik egymást (1. ábra).

Rizs. 1. A tétel illusztrációja

Bizonyíték:

Tekintsünk először két BB 1 és CC 1 felezőt. Metszik egymást, létezik az O metszéspont. Ennek bizonyítására tételezzük fel az ellenkezőjét: az adott felezők ne metsszék egymást, ebben az esetben párhuzamosak. Ekkor a BC egyenes szekáns, a szögek összege pedig , ez ellentmond annak, hogy a teljes háromszögben a szögek összege .

Tehát létezik két felezőszög metszéspontjának O pontja. Nézzük a tulajdonságait:

Az O pont a szögfelezőn fekszik, ami azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van a BA és BC oldalaitól. Ha OK merőleges BC-re, OL merőleges BA-ra, akkor ezeknek a merőlegeseknek a hossza egyenlő - . Ezenkívül az O pont a szögfelezőn fekszik, és egyenlő távolságra van a CB és CA oldalaitól, az OM és az OK merőlegesek egyenlőek.

A következő egyenlőségeket kaptuk:

, vagyis az O pontból a háromszög oldalaira ejtett három merőleges egyenlő egymással.

Minket az OL és OM merőlegesek egyenlősége érdekel. Ez az egyenlőség azt mondja, hogy az O pont egyenlő távolságra van a szög oldalaitól, ebből következik, hogy az AA 1 felezőjén fekszik.

Így bebizonyítottuk, hogy a háromszög mindhárom felezőpontja egy pontban metszi egymást.

Ezenkívül egy háromszög három szegmensből áll, ami azt jelenti, hogy figyelembe kell venni egy-egy szegmens tulajdonságait.

Az AB szakasz adott. Bármely szakasznak van felezőpontja, és azon keresztül lehet merőlegest húzni - jelöljük p-ként. Így p a merőleges felező.

Rizs. 2. A tétel illusztrációja

A felező merőlegesen fekvő bármely pont egyenlő távolságra van a szakasz végeitől.

Bizonyítsd be (2. ábra).

Bizonyíték:

Tekintsük háromszögek és . Téglalap alakúak és egyenlőek, mivel közös OM lábuk van, az AO és OB lábak pedig feltétel szerint egyenlőek, így két derékszögű háromszögünk van, amelyek két szárban egyenlők. Ebből következik, hogy a háromszögek befogói is egyenlők, vagyis amit bizonyítani kellett.

A fordított tétel igaz.

A szakasz végeitől egyenlő távolságra lévő pontok a szakaszra merőleges felezőirányban helyezkednek el.

Adott egy AB szakasz, annak p merőleges felezője, és egy M pont, amely egyenlő távolságra van a szakasz végeitől. Igazoljuk, hogy az M pont a szakaszra merőleges felezőn fekszik (3. ábra).

Rizs. 3. A tétel illusztrációja

Bizonyíték:

Tekintsünk egy háromszöget. Az állapotnak megfelelően egyenlő szárú. Tekintsük egy háromszög mediánját: O pont az AB alap közepe, OM a medián. Az egyenlő szárú háromszög tulajdonságai szerint az alapjához húzott medián magasság és felezőszög is egyben. Ebből következik, hogy . De a p egyenes is merőleges az AB-re. Tudjuk, hogy az O pontban lehet egyetlen merőlegest húzni az AB szakaszra, ami azt jelenti, hogy az OM és p egyenesek egybeesnek, ebből következik, hogy az M pont a p egyeneshez tartozik, ezt kellett bizonyítanunk.

A közvetlen és a fordított tételek általánosíthatók.

Egy pont akkor és csak akkor fekszik a szakasz merőleges felezőjén, ha egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől.

Tehát ismételjük meg, hogy egy háromszögben három szakasz van, és mindegyikre érvényes a merőleges felező tulajdonság.

Tétel:

A háromszög merőleges felezői egy pontban metszik egymást.

Adott egy háromszög. Oldalaira merőlegesek: P 1 a BC oldalra, P 2 az AC oldalra, P 3 az AB oldalra.

Igazoljuk, hogy a P 1, P 2 és P 3 merőlegesek az O pontban metszik egymást (4. ábra).

Rizs. 4. A tétel illusztrációja

Bizonyíték:

Tekintsünk két merőleges P 2 és P 3 felezőt, ezek metszik egymást, létezik az O metszéspont. Bizonyítsuk be ezt a tényt ellentmondással – legyen a P 2 és P 3 merőleges párhuzamos. Ekkor a szög megfordul, ami ellentmond annak, hogy egy háromszög három szögének összege . Tehát van egy O pont a három merőleges felezőszög közül kettőnek a metszéspontjában. Az O pont tulajdonságai: az AB oldalra merőleges felezővonalon fekszik, ami azt jelenti, hogy egyenlő távolságra van az AB szakasz végeitől: . Az AC oldalra merőleges felezőn is fekszik, ami azt jelenti. A következő egyenlőségeket kaptuk.

A planimetriai kifejezések szószedete- A planimetriából származó fogalmak definícióit itt gyűjtöttük össze. A szószedetben (ezen az oldalon) található kifejezésekre való hivatkozások dőlt betűvel vannak szedve. # A B C D E E E F G H I J K L M N O P R S ... Wikipédia

Kollineáris pontok

Versenyképes közvetlen- A planimetriából származó fogalmak definícióit itt gyűjtöttük össze. A szószedetben (ezen az oldalon) található kifejezésekre való hivatkozások dőlt betűvel vannak szedve. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipédia

Apollónia Kör- A planimetriából származó fogalmak definícióit itt gyűjtöttük össze. A szószedetben (ezen az oldalon) található kifejezésekre való hivatkozások dőlt betűvel vannak szedve. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipédia

Sík transzformáció- A planimetriából származó fogalmak definícióit itt gyűjtöttük össze. A szószedetben (ezen az oldalon) található kifejezésekre való hivatkozások dőlt betűvel vannak szedve. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipédia

Ceviana- A planimetriából származó fogalmak definícióit itt gyűjtöttük össze. A szószedetben (ezen az oldalon) található kifejezésekre való hivatkozások dőlt betűvel vannak szedve. # A B C D E E F G H I J K L M N O P R S T U V ... Wikipédia

A planimetria szójegyzéke- Ez az oldal egy szószedet. Lásd még a fő cikket: Planimetria A planimetriából származó kifejezések definícióit itt gyűjtöttük össze. A szótárban (ezen az oldalon) található kifejezésekre mutató hivatkozások dőlt betűvel vannak szedve... Wikipédia

Apollonius problémája- Apollonius problémája az, hogy három adott kört érintő kört készítsen egy iránytű és egy vonalzó segítségével. A legenda szerint a problémát Pergai Apollóniosz fogalmazta meg ie 220 körül. e. az „Érintés” című könyvben, amely elveszett ... Wikipédia

Apollonius problémája- Apollóniosz problémája az, hogy három adott kört érintő kört készítsen egy iránytű és egy vonalzó segítségével. A legenda szerint a problémát Pergai Apollóniosz fogalmazta meg ie 220 körül. e. a "Touching" című könyvben, ami elveszett, de... ... Wikipédia volt

Voronoi diagram- véletlenszerű ponthalmaz a síkon A Voronoi-diagram egy véges S ponthalmazt ábrázol a sík olyan partíciójában, hogy ... Wikipédia.