Számológép a komplex számok összes gyökérértékének megtalálásához. Komplex szám gyökének kinyerése

Lehetetlen egyértelműen kivonni egy komplex szám gyökét, mivel számos értéke van, amely egyenlő a hatványával.

A komplex számokat a trigonometrikus alak hatványára emeljük, amelyre a Moyward-képlet érvényes:

\(\ z^(k)=r^(k)(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

Hasonlóképpen, ezt a képletet egy komplex szám k-adik gyökének kiszámítására használják (nem egyenlő nullával):

\(\ z^(\frac(1)(k))=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^(\frac( 1)(k))=r^(\frac(1)(k))\left(\cos \frac(\varphi+2 \pi n)(k)+i \sin \frac(\varphi+2 \ pi n)(k)\jobbra), \forall k>1, \forall n \in N \)

Ha a komplex szám nem nulla, akkor mindig léteznek k fokú gyökök, amelyek a komplex síkban ábrázolhatók: egy k-szög csúcsai lesznek, amelyek egy körbe íródnak, amelynek középpontja az origó és a sugár \(\r ^(\frac(1) (k))\)

Példák problémamegoldásra

Feladat

Keresse meg a \(\z=-1\) szám harmadik gyökerét.

Megoldás.

Először a \(\z=-1\) számot fejezzük ki trigonometrikus formában. A \(\ z=-1 \) szám valós része a \(\ z=-1 \), a képzeletbeli része: \(\ y=\operatorname(lm) \), \(\ z= 0 \). Egy komplex szám trigonometrikus alakjának megtalálásához meg kell találnia a modulusát és az argumentumát.

A \(\z\) komplex szám modulusa a következő szám:

\(\ r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt((-1)^(2)+0^(2))=\sqrt(1+0)=1 \ )

Az argumentum kiszámítása a következő képlettel történik:

\(\ \varphi=\arg z=\operátornév(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(0)(-1)=\operatorname(arctg) 0=\pi \)

Ezért egy komplex szám trigonometrikus alakja: \(\z=1(\cos \pi+i \sin \pi)\)

Ekkor a 3. gyökér így néz ki:

\(\ =\cos \frac(\pi+2 \pi n)(3)+i \sin \frac(\pi+2 \pi n)(3) \), \(\ n=0,1, 2\ )

\(\ \omega_(1)=\cos \frac(\pi)(3)+i \sin \frac(\pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt( 3))(2)\)

\(\n=1\) esetén a következőket kapjuk:

\(\ \omega_(2)=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

\(\n=2\) esetén a következőket kapjuk:

\(\ \omega_(3)=\cos \frac(5 \pi)(3)+i \sin \frac(5 \pi)(3)=\frac(1)(2)+i \frac(- \sqrt(3)(2)=\frac(1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

Válasz

\(\ \omega_(1)=\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2), \omega_(2)=-1, \omega_(3)=\frac( 1)(2)-i \frac(\sqrt(3))(2) \)

Feladat

Egy szám 2. gyökének kinyerése \(\z=1-\sqrt(3)i\)

Megoldás.

Először is egy komplex számot fejezünk ki trigonometrikus formában.

A \(\ z=1-\sqrt(3) i \) komplex szám valós része a \(\ x=\operátornév(Re) z=1 \) , a képzeletbeli rész \(\ y=\ operátornév(Im) z =-\sqrt(3) \) . Egy komplex szám trigonometrikus alakjának megtalálásához meg kell találnia a modulusát és az argumentumát.

A \(\r\) komplex szám modulusa a következő szám:

\(\r=\sqrt(x^(2)+y^(2))=\sqrt(1^(2)+(-\sqrt(3))^(2))=\sqrt(1+3 )=2\)

Érv:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname(arctg) \frac(y)(x)=\operatorname(arctg) \frac(-\sqrt(3))(1)=\operatorname(arctg)(- \sqrt(3))=\frac(2 \pi)(3) \)

Ezért a komplex szám trigonometrikus alakja:

\(\ z=2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\right) \)

A 2. fokú gyökér kinyerésének képletét alkalmazva a következőket kapjuk:

\(\ z^(\frac(1)(2))=\left(2\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac(2 \pi)(3)\ jobb)\jobb)^(\frac(1)(2))=2^(\frac(1)(2))\left(\cos \frac(2 \pi)(3)+i \sin \frac (2 \pi)(3)\jobbra)^(\frac(1)(2))= \)

\(\ =\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi n\right)+i \sin \left(\frac(\pi)(3)+ \pi n\right)\right), n=0,1 \)

A \(\ \mathrm(n)=0 \) esetén a következőket kapjuk:

\(\ \omega_(1)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+0\right)+i \sin \left(\frac(\pi)( 3)+0\right)\right)=\sqrt(2)\left(\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\right)=\frac(\sqrt (2)) (2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

\(\ \mathrm(n)=1 \) esetén a következőket kapjuk:

\(\ \omega_(2)=\sqrt(2)\left(\cos \left(\frac(\pi)(3)+\pi\right)+i \sin \left(\frac(\pi) (3)+\pi\jobbra)\jobbra)=\sqrt(2)\left(-\frac(1)(2)+i \frac(\sqrt(3))(2)\jobbra)=-\ frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

Válasz

\(\ \omega_(1)=\frac(\sqrt(2))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) ; \omega_(2)=-\frac(\sqrt(2) ))(2)+i \frac(\sqrt(6))(2) \)

számok trigonometrikus formában.

Moivre képlete

Legyen z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) és z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

A komplex szám írásának trigonometrikus formája kényelmesen használható a szorzás, az osztás, az egész hatványra emelés és az n fok gyökének kinyerése műveleteihez.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Két komplex szám szorzásakor trigonometrikus formában moduljaikat megszorozzák és argumentumaikat összeadják. Osztásakor moduljaikat felosztják és argumentumaikat kivonják.

A komplex számok szorzására vonatkozó szabály következménye a komplex szám hatványra emelésének szabálya.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Ezt az arányt ún Moivre képlete.

8.1. példa Keresse meg a számok szorzatát és hányadosát:

És

Megoldás

z 1 ∙ z 2
∙

=

;

8.2. példa Írj egy számot trigonometrikus formában!

∙
–i) 7.

Megoldás

Jelöljük
és z 2 =
-én.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arctán ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctán
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

9. § Komplex szám gyökének kinyerése

Meghatározás. Gyökérnkomplex szám hatványa z (jelölje
) egy w komplex szám, amelyre w n = z. Ha z = 0, akkor
= 0.

Legyen z  0, z = r(cos + isin). Jelöljük w = (cos + sin), majd írjuk fel a w n = z egyenletet a következő formában

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Ezért  n = r,

 =

Így wk =
·
.

Ezen értékek között pontosan n különböző van.

Ezért k = 0, 1, 2, …, n – 1.

A komplex síkon ezek a pontok egy sugarú körbe írt szabályos n-szög csúcsai
középpontjával az O pontban (12. ábra).

12. ábra

9.1. példa Keresse meg az összes értéket
.

Megoldás.

Ezt a számot ábrázoljuk trigonometrikus formában. Keressük meg a modulusát és az argumentumát.

w k =
, ahol k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Az összetett síkon ezek a pontok egy sugarú körbe írt négyzet csúcsai
középponttal az origóban (13. ábra).

13. ábra 14. ábra

Példa 9.2 Keresse meg az összes értéket
.

Megoldás.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, ahol k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

A komplex síkon ezek a pontok egy 2 sugarú körbe írt szabályos hatszög csúcsai, amelynek középpontja az O (0; 0) pontban van - 14. ábra.

10. § Komplex szám exponenciális alakja.

Euler-képlet

Jelöljük
= cos  + isin  és
= cos  - isin  . Ezeket a kapcsolatokat ún Euler-képletek .

Funkció
rendelkezik az exponenciális függvény szokásos tulajdonságaival:

Írjuk fel a z komplex számot trigonometrikus formában z = r(cos + isin).

Az Euler-képlet segítségével felírhatjuk:

z = r
.

Ezt a bejegyzést ún exponenciális formaösszetett szám. Használatával megkapjuk a szorzás, osztás, hatványozás és gyökkivonás szabályait.

Ha z 1 = r 1 ·
és z 2 = r 2 ·
?Hogy

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

z n = r n ·

, ahol k = 0, 1, … , n – 1.

10.1. példaÍrj egy számot algebrai formában!

z =
.

Megoldás.

Példa 10.2 Oldja meg a z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0 egyenletet.

Megoldás.

Bármely összetett együttható esetén ennek az egyenletnek két gyöke van: z 1 és z 1 (esetleg egybeesik). Ezek a gyökerek ugyanazzal a képlettel kereshetők, mint a valós esetben. Mert
két értéket vesz fel, amelyek csak előjelben különböznek, akkor ez a képlet így néz ki: