„Egyszerű aritmetika” Oldjon meg néhány szokatlan matematikai feladatot.1) 3 naponta egyszer megyek uszodába; Seryozha - 4 naponta egyszer, Kolya - 5 naponta egyszer. Múlt hétfőn találkoztunk az uszodában. Mennyi idő múlva találkozunk újra, és a hét melyik napja lesz? (Keresztül

Hogyan jelent meg a kutya a buszokon: "Vezessünk." A Greyhound Company, az ország legrégebbi és legnépszerűbb busztársasága a minnesotai Hibbingben kezdte meg működését. Ebben a városban sok évvel később megszületett Bob Dylan, aki ellentétben

A matematikával való ismerkedésünk az aritmetikával, a számtudománysal kezdődik. Az egyik első orosz aritmetikai tankönyv, amelyet L. F. Magnyitszkij írt 1703-ban, a következő szavakkal kezdődött: „Az aritmetika, vagy a számláló, őszinte, irigylésre méltó művészet, és mindenki számára kényelmesen érthető, a leghasznosabb és dicséret a legősibbektől kezdve. a legújabbakat pedig, akik a legtisztességesebb aritmetikusok különböző korszakában éltek, találták ki és fejtették ki.” Az aritmetikával belépünk, ahogy M. V. Lomonoszov mondta, a „tanulás kapuján”, és megkezdjük a világ megértésének hosszú és nehéz, de lenyűgöző útját.

Az „aritmetika” szó a görög arithmos szóból származik, ami „számot” jelent. Ez a tudomány a számokkal végzett műveleteket, a kezelésük különböző szabályait tanulmányozza, és megtanítja a számok összeadásán, kivonásán, szorzásán és osztásán alapuló problémák megoldását. Az aritmetikát gyakran úgy képzelik el, mint a matematika valamiféle első szakaszát, amely alapján az összetettebb szakaszait - algebra, matematikai elemzés stb. Még az egész számokat is - az aritmetika fő tárgyát -, ha általános tulajdonságaikat és mintázataikat vesszük figyelembe, magasabb aritmetikára vagy számelméletre utaljuk. Ennek az aritmetikai felfogásnak természetesen megvan a maga alapja – ez valóban a „számlálás ábécéje” marad, de az ábécé „leghasznosabb” és „könnyen érthető”.

Az aritmetika és a geometria az ember hosszú távú társa. Ezek a tudományok akkor jelentek meg, amikor felmerült az igény a tárgyak számbavételére, a földterületek mérésére, a zsákmány felosztására és az idő követésére.

Az aritmetika az ókori Kelet országaiból származik: Babilonból, Kínából, Indiából, Egyiptomból. Például az Egyptian Rind papirusz (tulajdonosáról G. Rindről kapta nevét) a XX. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. Többek között tartalmazza a tört törtösszegre való felosztását, amelynek számlálója eggyel egyenlő, például:

Az ókori kelet országaiban felhalmozott matematikai tudás kincseit az ókori Görögország tudósai fejlesztették és folytatták. A történelem számos tudós nevét megőrizte, akik az ókori világban az aritmetikán dolgoztak - Anaxagoras és Zénón, Euklidész (lásd Euklidész és elemei), Archimedes, Eratosthenes és Diophantus. Pitagorasz neve (Kr. e. VI. század) ragyog itt, mint egy fényes csillag. A püthagoreusok (Püthagorasz tanítványai és követői) imádták a számokat, és azt hitték, hogy bennük rejlik a világ minden harmóniája. Az egyes számokhoz és számpárokhoz speciális tulajdonságokat rendeltek. Nagy becsben tartották a 7-es és a 36-os számokat, majd figyelmet fordítottak az úgynevezett tökéletes számokra, baráti számokra stb.

A középkorban az aritmetika fejlődése is Kelethez kötődött: Indiához, az arab világ országaihoz és Közép-Ázsiához. Az indiánoktól érkeztek hozzánk az általunk használt számok, a nulla és a helyzetszámrendszer; al-Kashitól (XV. század), aki az Ulugbek Szamarkand Obszervatóriumában dolgozott, - tizedes törtek.

A kereskedelem fejlődésének és a keleti kultúra hatásának köszönhetően a XIII. Európában is nő az érdeklődés az aritmetika iránt. Érdemes megjegyezni a Pisai Leonardo (Fibonacci) olasz tudós nevét, akinek „Abacus könyve” című munkája bemutatta az európaiakat a keleti matematika főbb vívmányaival, és számos aritmetikai és algebrai tanulmány kezdete volt.

A nyomtatás feltalálásával együtt (15. század közepe) megjelentek az első nyomtatott matematikai könyvek. Az első nyomtatott aritmetikai könyv 1478-ban jelent meg Olaszországban. M. Stiefel német matematikus „Teljes aritmetikájában” (16. század eleje) már negatív számok, sőt a logaritmizálás gondolata is szerepel.

Körülbelül a 16. századból. a tisztán aritmetikai kérdések fejlesztése beleolvadt az algebra főáramába - jelentős mérföldkőként említhető F. Vieta francia tudós munkáinak megjelenése, amelyekben a számokat betűk jelzik. Ettől kezdve az alapvető aritmetikai szabályokat végre megértjük az algebra szemszögéből.

Az aritmetika fő tárgya a szám. Természetes számok, pl. az 1, 2, 3, 4, ... stb. számok konkrét objektumok megszámlálásából származnak. Sok ezer év telt el, mire az ember megtanulta, hogy két fácán, két kéz, két ember stb. ugyanazzal a „kettő” szóval nevezhető. Az aritmetika fontos feladata, hogy megtanulja felülkerekedni a megszámlálandó tárgyak nevének sajátos jelentésén, elvonni a figyelmet alakjukról, méretükről, színükről stb. Fibonaccinak már van egy feladata: „Hét öregasszony megy Rómába. Mindegyikben 7 öszvér van, minden öszvérben 7 zacskó, minden zsákban 7 vekni, minden vekniben 7 kés, minden késnek 7 hüvelye van. Hányan vannak?" A probléma megoldásához öregasszonyokat, öszvéreket, táskákat és kenyeret kell összeraknia.

A számfogalom fejlődése - nulla és negatív számok, közönséges és tizedes törtek megjelenése, számírási módok (számjegyek, jelölések, számrendszerek) - mindez gazdag és érdekes múltra tekint vissza.

„A számok tudománya két tudományra vonatkozik: gyakorlati és elméleti. A számok gyakorlati tanulmányozása, amennyiben megszámlálható számokról beszélünk. Ezt a tudományt a piaci és polgári ügyekben használják. A számok elméleti tudománya az abszolút értelemben vett számokat tanulmányozza, az elme elvonatkoztatva a testektől és mindentől, ami bennük megszámolható.” al-Farabi

Az aritmetikában a számokat összeadják, kivonják, szorozzák és osztják. A műveletek gyors és pontos elvégzését bármilyen számon már régóta az aritmetika legfontosabb feladatának tartották. Manapság fejben vagy papíron csak a legegyszerűbb számításokat végezzük, egyre inkább a bonyolultabb számítási munkát a mikrokalkulátorokra bízzuk, amelyek fokozatosan felváltják az olyan eszközöket, mint az abakusz, az összeadógép (lásd Számítástechnika), a dia. szabály. Azonban minden számítógép – egyszerű és összetett – működése a legegyszerűbb műveleten – a természetes számok összeadásán – alapul. Kiderült, hogy a legbonyolultabb számítások összeadásra redukálhatók, de ezt a műveletet sok milliószor kell elvégezni. De itt behatolunk a matematika egy másik területébe, amely az aritmetikából - a számítási matematikából származik.

A számokkal végzett aritmetikai műveleteknek sokféle tulajdonságuk van. Ezek a tulajdonságok szavakkal írhatók le, például: „Az összeg nem változik a kifejezések helyének megváltoztatásával”, írható betűkkel: , kifejezhető speciális kifejezésekkel.

Például az összeadásnak ezt a tulajdonságát kommutatív vagy kommutatív törvénynek nevezzük. Az aritmetika törvényeit gyakran megszokásból alkalmazzuk, anélkül, hogy észrevennénk. Az iskolai tanulók gyakran kérdezik: „Miért tanulják meg ezeket a kommutatív és kombinációs törvényeket, mivel már világos, hogyan kell számokat összeadni és szorozni?” A 19. században a matematika fontos lépést tett - nemcsak számokat, hanem vektorokat, függvényeket, elmozdulásokat, számtáblázatokat, mátrixokat és még sok mást, sőt csak betűket, szimbólumokat is szisztematikusan összeadni és szorozni kezdett anélkül, hogy különösebben törődött volna azok konkrét jelentésével. És itt kiderült, hogy a legfontosabb az, hogy ezek a műveletek milyen törvényeknek engedelmeskednek. A tetszőleges objektumokon (nem feltétlenül számokon) meghatározott műveletek tanulmányozása már az algebra területe, bár ez a feladat az aritmetikán és annak törvényein alapul.

Az aritmetika számos szabályt tartalmaz a feladatok megoldására. A régi könyvekben találhatunk problémákat a „hármas szabályról”, az „arányos osztásról”, a „skálák módszeréről”, a „hamis szabályról” stb. E szabályok többsége mára elavult, bár a segítségükkel megoldott problémák semmiképpen sem tekinthetők elavultnak. A több csővel megtöltött uszodával kapcsolatos híres probléma legalább kétezer éves, és még mindig nem könnyű az iskolásoknak. De ha korábban a probléma megoldásához egy speciális szabályt kellett ismerni, ma a fiatalabb iskolásokat megtanítják egy ilyen probléma megoldására a kívánt mennyiség betűjelének megadásával. Így az aritmetikai feladatok egyenletek megoldásához vezettek, és ez ismét egy algebrai feladat.

Az aritmetika által bevezetett fontos fogalmak közé tartozik az arányok és a százalékok. A legtöbb aritmetikai fogalom és módszer a számok közötti különféle függőségek összehasonlításán alapul. A matematika történetében az aritmetika és a geometria egyesítésének folyamata sok évszázadon át ment végbe.

Egyértelműen nyomon követhető az aritmetika „geometrizálódása”: a képletekkel kifejezett összetett szabályok, minták egyértelműbbé válnak, ha geometriailag ábrázolhatók. Magában a matematikában és alkalmazásaiban fontos szerepet játszik a fordított folyamat - a vizuális, geometriai információk lefordítása a számok nyelvére (lásd: Grafikus számítások). Ez a fordítás a francia filozófus és matematikus, R. Descartes ötletén alapul, amely a síkon lévő pontok koordinátákkal történő meghatározásáról szól. Természetesen ezt a gondolatot már előtte is alkalmazták, például a tengeri ügyekben, amikor egy hajó helyét kellett meghatározni, valamint a csillagászatban és a geodéziában. De Descartestól ​​és tanítványaitól származik a koordináták nyelvének következetes használata a matematikában. Korunkban pedig az összetett folyamatok (például egy űrhajó repülése) vezérlésekor inkább az összes információ számok formájában való megszerzését részesíti előnyben, amelyeket számítógép dolgoz fel. Ha szükséges, a gép segít az embernek lefordítani a felhalmozott numerikus információkat a rajz nyelvére.

Látod, ha az aritmetikáról beszélünk, mindig túllépünk annak határain - az algebrába, a geometriába és a matematika más ágaiba.

Hogyan jelölhetjük ki magának az aritmetikának a határait?

Milyen értelemben használják ezt a szót?

Az „aritmetika” szó a következőképpen értelmezhető:

elsősorban a racionális számokkal (egész- és törtszámokkal), az azokon végzett műveletekkel, valamint a műveletek segítségével megoldott problémákkal foglalkozó akadémiai tárgy;

a matematika történelmi épületének része, amely különféle számítási információkat halmozott fel;

Az „elméleti aritmetika” a modern matematika része, amely különféle numerikus rendszerek (természetes, egész, racionális, valós, komplex számok és ezek általánosításai) felépítésével foglalkozik;

A „formális aritmetika” a matematikai logika része (lásd: Matematikai logika), amely az aritmetika axiomatikus elméletének elemzésével foglalkozik;

„magasabb aritmetika”, vagy számelmélet, a matematika önállóan fejlődő része.

Ősidők óta a számokkal végzett munka két különböző területre oszlik: az egyik közvetlenül a számok tulajdonságaira vonatkozott, a másik a számolási technikákhoz kapcsolódott. "Számtan" alatt sok országban általában ezt az utóbbi területet értik, amely kétségtelenül a matematika legrégebbi ága.

Úgy tűnik, az ősi számológépek számára a legnagyobb nehézséget a törtekkel való munka jelentette. Ez látható az Ahmesz papiruszból (más néven Rhind-papirusz), egy ókori egyiptomi matematikai műből, amely Kr.e. 1650 körül nyúlik vissza. A 2/3 kivételével minden, a papiruszban említett tört számlálója 1. A törtek kezelésének nehézsége az ókori babiloni ékírásos táblák tanulmányozása során is szembetűnő. Mind az ókori egyiptomiak, mind a babilóniaiak láthatóan számításokat végeztek valamilyen abakusz segítségével. A számok tudománya jelentős fejlődésen ment keresztül az ókori görögöknél, Püthagorasztól kezdve, ie 530 körül. Ami magát a számítási technológiát illeti, ezen a területen a görögök sokkal kevesebbet tettek.

A későbbi rómaiak ezzel szemben gyakorlatilag nem járultak hozzá a számtudományhoz, de a gyorsan fejlődő termelés és kereskedelem igényei alapján továbbfejlesztették az abakuszt, mint számlálóeszközt. Nagyon keveset tudunk az indiai aritmetika eredetéről. Csak néhány későbbi, a számműveletek elméletével és gyakorlatával foglalkozó munka érkezett hozzánk, miután az indiai helyzetrendszert nullával javították. Hogy ez pontosan mikor történt, nem tudjuk biztosan, de ekkor fektették le a leggyakoribb aritmetikai algoritmusaink alapjait.

Az indiai számrendszert és az első aritmetikai algoritmusokat az arabok kölcsönözték. A legkorábbi fennmaradt arab számtani tankönyvet al-Khwarizmi írta 825 körül. Kiterjedten használja és magyarázza az indiai számokat. Ezt a tankönyvet később latinra fordították, és jelentős hatást gyakorolt ​​Nyugat-Európára. Az al-Khwarizmi név eltorzított változata az „algorizmus” szóban jutott el hozzánk, amely, ha tovább keveredik a görög szóval szívritmuszavar az "algoritmus" kifejezés lett.

Az indoarab aritmetika elsősorban L. Fibonacci munkásságának köszönhetően vált ismertté Nyugat-Európában Abakusz könyve (Liber abaci, 1202). Az abaszista módszer a mi helyzetrendszerünkhöz hasonló egyszerűsítéseket kínált, legalábbis az összeadás és szorzás tekintetében. Az abacistákat olyan algoritmusok váltották fel, amelyek nullát és az arab osztási és négyzetgyök-kivonási módszert alkalmazták. 1478-ban Trevisóban (Olaszország) adták ki az egyik első számtani tankönyvet, amelynek szerzőjét nem ismerjük. A kereskedelmi ügyletek lebonyolítása során végzett számításokkal foglalkozott. Ez a tankönyv számos később megjelent aritmetikai tankönyv elődje lett. A 17. század elejéig. Több mint háromszáz ilyen tankönyvet adtak ki Európában. Az aritmetikai algoritmusok ez idő alatt jelentősen javultak. A 16–17. Megjelentek az aritmetikai műveletek szimbólumai, például =, +, -, ґ, ё és .

A számtani számítások gépesítése.

A társadalom fejlődésével együtt nőtt az igény a gyorsabb és pontosabb számításokra. Ez az igény négy figyelemre méltó találmányt szült: az indo-arab számokat, a tizedesjegyeket, a logaritmusokat és a modern számítástechnikai gépeket.

Valójában a legegyszerűbb számolóeszközök a modern aritmetika megjelenése előtt léteztek, mert az ókorban elemi számtani műveleteket végeztek az abakuszon (Oroszországban abakuszokat használtak erre a célra). A legegyszerűbb modern számítástechnikai eszköz egy csúsztatási szabálynak tekinthető, amely két egymás mellett csúszó logaritmikus skálából áll, amely a skálák szegmenseinek összegzésével és kivonásával szorzást és osztást tesz lehetővé. B. Pascalt (1642) tartják az első mechanikus adagológép feltalálójának. Később ugyanebben a században G. Leibniz (1671) Németországban és S. Moreland (1673) Angliában talált fel szorzást végző gépeket. Ezek a gépek a 20. századi asztali számítástechnikai eszközök (aritmométerek) elődjeivé váltak, amelyek lehetővé tették az összeadás, kivonás, szorzás és osztás műveleteinek gyors és pontos elvégzését.

1812-ben az angol matematikus, C. Babbage elkezdett egy matematikai táblázatok kiszámítására szolgáló gép tervet készíteni. Bár a projekten végzett munka sok évig folytatódott, befejezetlen maradt. Ennek ellenére Babbage projektje ösztönzőként szolgált a modern elektronikus számítógépek megalkotásához, amelyekre az első példányok 1944 körül jelentek meg. E gépek sebessége elképesztő volt: segítségükkel percek vagy órák alatt meg lehetett oldani a korábban szükségessé vált problémákat. sok éves folyamatos számítások, akár összeadó gépek használatával is.

Pozitív egész számok.

Hadd AÉs B két véges halmaz, amelyeknek nincs közös eleme, és legyen A tartalmaz n elemek, és B tartalmaz m elemeket. Aztán sok S, amely a halmazok összes eleméből áll AÉs B, együtt véve egy véges halmaz, amely tartalmaz, mondjuk, s elemeket. Például ha A elemekből áll ( a, b, c), Egy csomó BAN BEN– elemekből ( x, y), majd a készlet S=A+Bés elemekből áll ( a, b, c, x, y). Szám s hívott összeg számok nÉs m, és így írjuk: s = n + m. Ebben a bejegyzésben a számok nÉs m hívják feltételeket, az összeg megtalálásának művelete – kiegészítés. A „+” műveleti szimbólum „pluszként” olvasható. Egy csomó P, amely minden olyan rendezett párból áll, amelyekben az első elemet a halmazból választjuk A, a második pedig a készletből való B, egy véges halmaz, amely tartalmazza, mondjuk, p elemeket. Például, ha, mint korábban, A = {a, b, c}, B = {x, y), Ez P=AґB = {(a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y)). Szám p hívott munka számok aÉs b, és így írjuk: p = aґb vagy p = a×b. Számok aÉs b a műben hívják őket szorzók, a termék megtalálásának művelete – szorzás. A ґ műveleti szimbólum „szorozva ezzel”.

Kimutatható, hogy ezekből a definíciókból az egész számok összeadásának és szorzásának következő alapvető törvényei következnek:

– a kommutatív összeadás törvénye: a + b = b + a;

– asszociatív összeadás törvénye: a + (b + c) = (a + b) + c;

– a kommutatív szorzás törvénye: aґb = bґa;

– a szorzás asszociativitásának törvénye: aґ(bґc) = (aґb)ґc;

– az eloszlás törvénye: aґ(b + c)= (aґb) + (aґc).

Ha aÉs b– két pozitív egész szám, és ha van pozitív egész szám c, oly módon, hogy a = b + c, akkor ezt mondjuk a több b(ez így van leírva: a>b), vagy mi b Kevésbé a(ez így van leírva: b). Bármely két számra aÉs b három kapcsolat egyike érvényesül: vagy a = b, vagy a>b, vagy a.

Az első két alaptörvény azt mondja, hogy két vagy több tag összege nem függ attól, hogy hogyan vannak csoportosítva vagy milyen sorrendben vannak elrendezve. Hasonlóképpen a harmadik és a negyedik törvényből az következik, hogy két vagy több tényező szorzata nem függ attól, hogy a tényezőket hogyan csoportosítják, vagy milyen sorrendben vannak. Ezeket a tényeket az összeadás és szorzás "a kommutativitás és asszociativitás általánosított törvényeiként" ismerjük. Ezekből következik, hogy több tag összegének vagy több tényező szorzatának felírásakor a tagok és tényezők sorrendje lényegtelen, a zárójelek elhagyhatók.

Különösen az ismételt mennyiség a + a + ... + a tól től n kifejezés egyenlő nґa. Ismételt munka aґaґ ... ґa tól től n Megállapodtunk a tényezők jelölésében a n; szám a hívott alapon, és a szám n – ismétlés termékjelző, maga az ismételt munka – n-edik hatvány számok a. Ezek a definíciók lehetővé teszik, hogy a következő alapvető törvényeket állítsuk fel a kitevőkre vonatkozóan:

A definíciók másik fontos következménye: aґ1 = a bármely egész számra a, és 1 az egyetlen egész szám, amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Az 1-es számot hívják Mértékegység.

Egész számok osztói.

Ha a, b, c– egész számok és aґb = c, Azt aÉs b egy szám osztói c. Mert aґ1 = a bármely egész számra a, arra a következtetésre jutunk, hogy 1 bármely egész szám osztója, és bármely egész szám osztója önmagának. Bármely egész osztó a, különbözik 1 ill a, megkapta a nevet megfelelő osztó számok a.

Minden 1-től eltérő egész szám, amelynek nincs saját osztója, meghívásra kerül prímszám. (Példa a prímszámra a 7.) Olyan egész számot hívunk, amelynek saját osztói vannak összetett szám. (Például a 6-os szám összetett, mivel a 2 osztja a 6-ot.) A fentiekből következik, hogy az összes egész szám halmaza három osztályra oszlik: egy, prímszámok és összetett számok.

A számelméletben van egy nagyon fontos tétel, amely kimondja, hogy „bármely egész szám ábrázolható prímszámok szorzataként, és a tényezők sorrendjéig az ilyen ábrázolás egyedi”. Ezt a tételt az „aritmetika alaptételének” nevezik. Megmutatja, hogy a prímszámok „építőelemként” szolgálnak, amelyekből egytől eltérő összes egész szám összeállítható szorzás segítségével.

Ha adott egész számok halmaza, akkor azt a legnagyobb egész számot nevezzük, amely osztója az ebben a halmazban szereplő számoknak. legnagyobb közös osztó adott számkészlet; azt a legkisebb egész számot hívjuk, amelynek osztója egy adott halmaz minden száma legkisebb közös többszörös adott számkészlet. Így a 12, 18 és 30 számok legnagyobb közös osztója 6. Ugyanezen számok legkisebb közös többszöröse 180. Ha két egész szám legnagyobb közös osztója aÉs b egyenlő 1-gyel, akkor a számok aÉs b hívják kölcsönösen prím. Például a 8-as és a 9-es számok viszonylag prímek, bár egyik sem prímszám.

Pozitív racionális számok.

Amint láttuk, az egész számok olyan absztrakciók, amelyek az objektumok véges halmazainak számlálásának folyamatából származnak. A mindennapi élet szükségleteihez azonban az egész számok nem elegendőek. Például egy asztallap hosszának mérésekor az alkalmazott mértékegység túl nagy lehet, és nem fér bele egész számú alkalommal a mért hosszba. Egy ilyen nehézséggel megbirkózni, az ún. töredékes(vagyis szó szerint „törött”) számok esetén egy kisebb hosszegység kerül bevezetésre. Ha d– valamilyen egész szám, majd a tört egység 1/ d az ingatlan határozza meg dґ1/d= 1, és ha n akkor egy egész szám nґ1/d egyszerűen így írjuk n/d. Ezeket az új számokat „közönséges” vagy „egyszerű” törtnek nevezik. Egész szám n hívott számláló törtek és számok d – névadó. A nevező azt mutatja, hogy hány egyenlő részre osztották fel az egységet, a számláló pedig azt, hogy hány ilyen részesedést vettek fel. Ha n d, a törtet megfelelőnek nevezzük; ha n = d vagy n>d, akkor ez helytelen. Az egész számokat 1-es nevezőjű törtként kell kezelni; például 2 = 2/1.

Mivel a tört n/d felosztás eredményeként értelmezhető n egység per d egyenlő részek és ezek közül az egyiket figyelembe véve egy tört két egész szám "hányadosának" vagy "arányának" tekinthető nÉs d, és a törtvonalat osztásjelnek kell érteni. Ezért a törteket (beleértve az egészeket is, mint a törtek speciális esetét) általában hívják racionális számok (a lat. arányból - kapcsolat).

Két frakció n/dÉs ( kґn)/(kґd), Ahol k– egész szám, egyenlőnek tekinthető; például 4/6 = 2/3. (Itt n = 2, d= 3 és k= 2.) Ezt „a tört alapvető tulajdonságának” nevezik: egyetlen tört értéke sem változik, ha a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk (vagy elosztjuk) ugyanazzal a számmal. Ebből következik, hogy bármely tört felírható két viszonylagos prímszám arányaként.

A tört fent javasolt értelmezéséből az is következik, hogy két tört összegeként n/dÉs m/d ugyanazzal a nevezővel vegye fel a törtet ( n + m)/d. Különböző nevezőjű törtek összeadásakor először a tört alapvető tulajdonságát használva kell azokat azonos (közös) nevezőjű ekvivalens törtekké alakítani. Például, n 1 /d 1 = (n 1 H d 2)/(d 1 H d 2) és n 2 /d 2 = (n 2 H d 1)/(d 1 H d 2), honnan

Csinálhatnánk másként, és először megkereshetjük, mondjuk, a legkisebb közös többszöröst m, nevezők d 1 és d 2. Aztán vannak egész számok k 1 és k 2 , olyan m = k 1 H d 1 = k 2 H d 2 és kapjuk:

Ezzel a módszerrel a szám máltalában hívják legalacsonyabb közös nevező két frakció. Ez a két eredmény egyenértékű a törtek egyenlőségének definíciójával.

Két frakció szorzata n 1 /d 1 és n 2 /d 2 egyenlőnek számít a törttel ( n 1 H n 2)/(d 1 H d 2).

Az egész számokra fent megadott nyolc alaptörvény akkor is érvényes, ha a a, b, c tetszőleges pozitív racionális számok megértése. Továbbá, ha két pozitív racionális számot adunk n 1 /d 1 és n 2 /d 2, akkor ezt mondjuk n 1 /d 1 > n 2 /d 2 akkor és csak akkor n 1 H d 2 > n 2 H d 1 .

Pozitív valós számok.

A számok használata a vonalszakaszok hosszának mérésére azt sugallja, hogy bármely két adott vonalszakaszra ABÉs CD kell lennie valami szegmensnek UV, talán nagyon kicsi, ami egész számú alkalommal elhalasztható az egyes szegmensekben ABÉs CD. Ha egy ilyen közös hosszegység UV létezik, akkor a szegmensek ABÉs CDösszemérhetőnek nevezzük. A pitagoreusok már az ókorban tudtak összemérhetetlen egyenes szakaszok létezéséről. Klasszikus példa a négyzet oldala és átlója. Ha egy négyzet oldalát vesszük hosszegységnek, akkor nincs olyan racionális szám, amely ennek a négyzetnek az átlójának mértéke lehetne. Ezt ellentmondásos érveléssel ellenőrizheti. Valóban, tegyük fel, hogy a racionális szám n/d az átló mértéke. De akkor 1/ d el lehetne halasztani n alkalommal átlósan és d alkalommal a tér oldalán, annak ellenére, hogy a tér átlója és oldala összemérhetetlen. Ebből következően a hosszegység megválasztásától függetlenül nem minden szakasznak van racionális számokkal kifejezhető hossza. Ahhoz, hogy az összes vonalszakaszt valamilyen hosszegységgel mérni lehessen, a számrendszert ki kell terjeszteni olyan számokkal, amelyek a választott hosszegységhez nem arányos vonalszakaszok hosszának mérési eredményeit reprezentálják. Ezeket az új számokat pozitívnak nevezzük irracionális számok. Ez utóbbiak a pozitív racionális számokkal együtt egy szélesebb számhalmazt alkotnak, melynek elemeit pozitívnak nevezzük érvényes számok.

Ha VAGY– egy pontból kiinduló vízszintes félegyenes O, U– mutat rá VAGY, eltér az eredettől O, És OU egységszakaszként van kiválasztva, majd minden pont P félvonalon VAGY egyetlen pozitív valós számhoz társítható p, amely a szakasz hosszát fejezi ki OP. Ily módon egy az egyhez megfeleltetést hozunk létre a pozitív valós számok és a ponttól eltérő pontok között O, félvonalon VAGY. Ha pÉs q– pontoknak megfelelő két pozitív valós szám PÉs K tovább VAGY, akkor írunk p>q,p = q vagy p a pont helyétől függően P a ponttól jobbra K tovább VAGY, egybeesik K vagy attól balra található K.

A pozitív irracionális számok bevezetése jelentősen kibővítette az aritmetika alkalmazhatósági körét. Például ha a– bármilyen pozitív valós szám és n bármely egész szám, akkor csak egy pozitív valós szám létezik b, oly módon, hogy bn=a. Ez a szám b gyökérnek nevezik n fokozata aés így írják, ahol a szimbólum a körvonalában egy latin betűre hasonlít r, amellyel a latin szó kezdődik alapszám(gyökér) és hívják radikális. Meg lehet mutatni, hogy

Ezeket a kapcsolatokat a gyökök alapvető tulajdonságainak nevezzük.

Gyakorlati szempontból nagyon fontos, hogy bármely pozitív irracionális szám a kívánt pontossággal közelíthető legyen egy pozitív racionális számmal. Ez azt jelenti, hogy ha r egy pozitív irracionális szám és e egy tetszőlegesen kis pozitív racionális szám, akkor találhatunk pozitív racionális számokat aÉs b, oly módon, hogy a és b. Például egy szám irracionális. Ha kiválasztja e= 0,01, akkor ; ha úgy döntesz e= 0,001, akkor .

Indo-arab számrendszer.

Az aritmetikai algoritmusok vagy számítási sémák az alkalmazott számrendszertől függenek. Teljesen nyilvánvaló például, hogy a római számrendszerhez kitalált számítási módszerek eltérhetnek a jelenlegi indo-arab rendszerhez kitalált algoritmusoktól. Ezenkívül egyes számrendszerek teljesen alkalmatlanok lehetnek aritmetikai algoritmusok létrehozására. Történelmi adatok azt mutatják, hogy az indo-arab számjelölési rendszer elfogadása előtt egyáltalán nem léteztek olyan algoritmusok, amelyek elég egyszerűvé tették volna a számok összeadását, kivonását, szorzását és osztását „ceruzával és papírral”. Az indoarab rendszer fennállásának hosszú évei alatt számos speciálisan ehhez igazított algoritmikus eljárást fejlesztettek ki, így modern algoritmusaink egy egész korszak fejlesztési és fejlesztési termékei.

A hindu-arab számrendszerben minden egyes számot képviselő bejegyzés tíz alapszimbólum 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 halmaza, amelyeket számoknak nevezünk. Például a négyszázhuszonhárom szám hindu-arab jelölése a 423-as számjegysorozat formáját ölti. A számjegy jelentését a szám hindu-arab jelölésében a helye vagy helyzete határozza meg, az ezt a jelölést alkotó számjegyek sorozatában. Az általunk megadott példában a 4-es szám négyszázat, a 2-es két tízest, a 3-as pedig három egyest jelent. Az üres pozíciók kitöltésére használt 0 (nulla) nagyon fontos szerepet játszik; például a 403-as bejegyzés a négyszázhármas számot jelenti, azaz. tízesek hiányoznak. Ha a, b, c, d, e egyéni számokat jelentenek, akkor az indoarab rendszerben abcde egy egész szám rövidítését jelenti

Mivel minden egész szám egyedi ábrázolást enged meg az alakban

Ahol n egy egész szám, és a 0 , a 1 ,..., a n- számok, arra a következtetésre jutunk, hogy egy adott számrendszerben minden egész szám egyedi módon ábrázolható.

A hindu-arab számrendszer lehetővé teszi, hogy ne csak egész számokat írjon le tömören, hanem bármilyen pozitív valós számot is. Vezessük be a 10-es jelölést - n 1/10-ért n, Ahol n– tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor, amint látható, bármely pozitív valós szám ábrázolható, és egyedileg a formában

Ez a rekord tömöríthető úgy, hogy számsorozatként írja be

hol van a tizedesvesszőnek nevezett előjel között a 0 és b Az 1 azt jelzi, hogy hol kezdődik a 10 negatív hatványa (egyes országokban pontokat használnak erre a célra). A pozitív valós szám írásának ezt a módszerét decimális kiterjesztésnek nevezzük, a decimális kiterjesztése formájában megjelenő törtet pedig decimális.

Megmutatható, hogy pozitív racionális szám esetén a tizedesvessző utáni tizedes bővítés vagy megszakad (például 7/4 = 1,75), vagy ismétlődik (például 6577/1980 = 3,32171717...). Ha egy szám irracionális, akkor a decimális kiterjesztése nem szakad el és nem ismétlődik. Ha egy irracionális szám decimális kiterjesztését megszakítjuk valamilyen tizedesjegyen, akkor megkapjuk a racionális közelítését. Minél jobbra van a tizedesvesszőtől az az előjel, amelynél a tizedes kiterjesztést befejezzük, annál jobb a racionális közelítés (minél kisebb a hiba).

A hindu-arab rendszerben egy számot tíz alapjegyből írnak fel, amelyek jelentése a szám jelölésében elfoglalt helyüktől vagy helyzetüktől függ (egy számjegy értéke egyenlő a számjegy és néhány szám szorzatával 10-es teljesítmény). Ezért egy ilyen rendszert decimális pozíciórendszernek nevezünk. A helyzetszámrendszerek nagyon kényelmesek az aritmetikai algoritmusok felépítéséhez, ezért olyan elterjedt a modern világban az indo-arab számrendszer, bár az egyes országokban eltérő szimbólumok is használhatók az egyes számok jelölésére.

A számok nevei.

Az indoarab rendszerben a számnevek bizonyos szabályokat követnek. A számok elnevezésének legáltalánosabb módja az, hogy a számot először három számjegyből álló csoportokra osztják jobbról balra. Ezeket a csoportokat "időszakoknak" nevezik. Az első periódust "egységek" periódusának, a másodikat "ezres" periódusnak, a harmadikat "milliós" periódusnak nevezik, stb., amint az a következő példában látható:

Minden pontot úgy olvasunk, mintha egy háromjegyű szám lenne. Például a 962-es időszak „kilencszázhatvankettő”-ként olvasható. Több pontból álló szám olvasásához az egyes periódusokban lévő számjegyek csoportját a rendszer a bal szélsővel kezdi, majd balról jobbra haladva; Minden csoport után az időszak neve következik. Például a fenti szám így szól: "hetvenhárom billió nyolcszáznegyvenkétmilliárd-kilencszázhatvankétmillió-ötszázharminckétezer-hétszázkilencvennyolc". Vegye figyelembe, hogy egész számok olvasásakor és írásakor az „és” kötőszót általában nem használják. Az egységkategória neve kimarad. A trilliókat a kvadrilliók, a kvintillionok, a szextillók, a septillionok, az oktilliók, a nemallionok és a decillionok követik. Minden periódus értéke 1000-szer nagyobb, mint az előző.

A hindu-arab rendszerben a következő eljárást szokás követni a tizedesvesszőtől jobbra lévő számok olvasásához. Itt a pozíciókat (sorrendben balról jobbra) nevezik: „tized”, „század”, „ezrelék”, „tízezredik” stb. A megfelelő tizedesjegyet a rendszer úgy olvassa be, mintha a tizedesvessző utáni számjegyek egész számot alkotnának, majd ezt követi a jobb oldali utolsó számjegy helyének neve. Például a 0,752 "hétszázötvenkét ezrelék"ként értelmezhető. A vegyes tizedesjegyek olvasása az egész számok elnevezésére vonatkozó szabály és a megfelelő tizedesjegyek elnevezésének szabályának kombinálásával történik. Például a 632.752 így szól: „hatszázharminckettő pont hétszázötvenkét ezrelék”. Figyelje meg az "egész számok" szót a tizedesvessző előtt. Az utóbbi években a tizedes számokat egyre egyszerűbben értelmezték, például a 3,782-t „hárompontos hétszáznyolcvankettő”-ként.

Kiegészítés.

Most készen állunk az általános iskolában tanított aritmetikai algoritmusok elemzésére. Ezek az algoritmusok decimális kiterjesztéssel írt pozitív valós számokkal kapcsolatos műveletekkel foglalkoznak. Feltételezzük, hogy az elemi összeadási és szorzótáblákat fejből tanultuk.

Tekintsük az összeadási feladatot: számítsuk ki 279,8 + 5,632 + 27,54:

Először is összegezzük a 10-es szám azonos hatványait. A 19Х10 –1 számot az eloszlási törvény szerint 9Х10 –1-re és 10Х10 –1 = 1-re osztjuk. Az egységet balra mozgatjuk, és hozzáadjuk 21-hez, ami 22-t ad. A 22-es számot viszont 2-re osztjuk és 20 = 2H10. A 2H10 számot balra mozgatjuk, és hozzáadjuk a 9H10-hez, ami 11H10-et ad. Végül a 11H10-et 1H10-re és 10H10 = 1H10 2-re osztjuk, az 1H10 2-t balra mozgatjuk, és hozzáadjuk a 2H10 2-hez, ami 3H10 2-t kap. A végső végösszeg 312.972.

Nyilvánvaló, hogy az elvégzett számítások tömörebben is bemutathatók, egyúttal az iskolában tanított összeadási algoritmus példájaként is felhasználhatók. Ehhez mindhárom számot egymás alá írjuk úgy, hogy a tizedespontok ugyanabban a függőlegesben legyenek:

Jobbról kiindulva azt találjuk, hogy az együtthatók összege 10 –3-nál egyenlő 2-vel, amit a megfelelő oszlopba írunk a sor alá. Az együtthatók összege 10 –2-nél egyenlő 7-tel, amit szintén a megfelelő oszlopba írunk a sor alá. A 10 –1 együtthatók összege 19. A sor alá írjuk a 9-es számot, és az 1-et áthelyezzük az előző oszlopba, ahol az egyesek vannak. Ha figyelembe vesszük ezt az egységet, az ebben az oszlopban szereplő együttható összege 22-nek bizonyul. Az egyik kettőt a sor alá írjuk, a másikat pedig áthelyezzük az előző oszlopba, ahol a tízesek vannak. Az átvitt kettőt figyelembe véve ebben az oszlopban az együtthatók összege 11. Egy egységet írunk a sor alá, a másikat pedig átvisszük az előző oszlopba, ahol százak vannak. Ebben az oszlopban az együtthatók összege 3-mal egyenlő, amelyet a vonal alá írunk. A szükséges összeg 312.972.

Kivonás.

A kivonás az összeadás fordítottja. Ha három pozitív valós szám a, b, cösszekapcsolva úgy, hogy a+b=c, akkor írunk a = c – b, ahol a „-” szimbólum „mínuszként” olvasható. Szám keresése a ismert számok szerint bÉs c"kivonásnak" nevezik. Szám c hívják minuend, szám b– „kivonható”, és a szám a– „különbség”. Mivel pozitív valós számokról van szó, a feltételnek teljesülnie kell c > b.

Nézzünk egy példát a kivonásra: számítsunk ki 453,87 – 82,94.

Először is, ha szükséges, balról kölcsönve egy mértékegységet, átalakítjuk a minuend kiterjesztését úgy, hogy annak együtthatója bármely 10-es hatvány esetén nagyobb legyen, mint az azonos teljesítményű részrész együtthatója. A 4H10 2-ből kölcsönkérünk 1H10 2 = 10H10-et, hozzáadva az utolsó számot a bővítés következő tagjához, ami 15H10-et ad; ehhez hasonlóan kölcsönkérünk 1Х10 0 vagy 10Ч10 –1, és ezt a számot adjuk hozzá a bővítés utolsó előtti tagjához. Ezt követően lehetőséget kapunk arra, hogy a 10-es szám azonos hatványaihoz tartozó együtthatókat kivonjuk, és könnyen megtaláljuk a 370,93 különbséget.

A kivonási műveletek rögzítése tömörebb formában is bemutatható, és példát kaphat az iskolában tanult kivonási algoritmusra. A részfejet a minuend alá írjuk úgy, hogy a tizedespontjaik ugyanabban a függőlegesben legyenek. Jobbról kiindulva azt találjuk, hogy az együtthatók különbsége 10 –2-nél egyenlő 3-mal, és ezt a számot ugyanabba az oszlopba írjuk a sor alá. Mivel a következő bal oldali oszlopban nem tudjuk kivonni a 9-et 8-ból, ezért a minuend egység pozíciójában lévő hármat kettőre változtatjuk, a tizedes pozícióban lévő 8-ast pedig 18-nak tekintjük. A 9-et 18-ból kivonva 9-et kapunk stb. ., azaz .

Szorzás.

Tekintsük először az ún A „rövid” szorzás egy pozitív valós szám szorzása az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 egyjegyű számok egyikével, például 32,67ґ4. Az eloszlás törvényét, valamint a szorzás asszociativitásának és kommutativitásának törvényeit felhasználva lehetőséget kapunk a tényezők részekre bontására és kényelmesebb elrendezésére. Például,

Ezeket a számításokat tömörebben a következőképpen írhatjuk fel:

A tömörítési folyamat folytatható. A 4-es tényezőt a 32,67 szorzószám alá írjuk, a jelzett módon:

Mivel 4ґ7 = 28, a sor alá írjuk a 8-as számot, a szorzószám 6-os fölé pedig a 2-t. Ezután 4ґ6 = 24, ami a jobb oldali oszlopból átvitteket figyelembe véve 26-ot ad. A sor alá írjuk a 6-os számot, a szorzószám 2-es fölé pedig a 2-t. Ekkor 4ґ2 = 8-at kapunk, ami az átvitt kettővel kombinálva 10-et ad. A sor alá 0-t, a szorzószám 3-asa fölé írunk. Végül 4ґ3 = 12, ami az átvitt egységet figyelembe véve 13-at ad; A sor alá a 13-as szám van írva. Tizedesvesszővel a választ kapjuk: a szorzat 130,68.

A „hosszú” szorzás egyszerűen egy újra és újra megismételt „rövid” szorzás. Vegyük például, hogy megszorozzuk a 32,67-et a 72,4-gyel. Tegyük a szorzót a szorzó alá, a jelzett módon:

Jobbról balra rövid szorzást végezve megkapjuk a 13,068 első hányadosát, a 65,34 második hányadosát és a 2286,9 harmadik hányadosát. Az eloszlás törvénye szerint a keresendő szorzat ezen részszorzatok összege, vagyis 2365.308. Írásos jelölésnél a résztermékeknél a tizedesvessző kimarad, de azokat helyesen „lépésekbe” kell rendezni, hogy azután összegezve megkapjuk a teljes terméket. A szorzatban lévő tizedesjegyek száma megegyezik a szorzó és a szorzó tizedesjegyeinek összegével.

Osztály.

Az osztás a szorzás fordított művelete; ahogy a szorzás helyettesíti az ismételt összeadást, az osztás az ismételt kivonást. Vegyük például a kérdést: hányszor van benne 3 a 14-ben? Megismételve a 3-at 14-ből kivonva azt kapjuk, hogy a 3 négyszer „belép” a 14-be, a 2-es pedig „marad”, azaz.

A 14-es számot hívják osztható, 3-as szám – osztó, 4-es szám – magánés 2-es szám - a maradék. Az így létrejövő összefüggést a következőképpen lehet szavakkal kifejezni:

osztalék = (osztó ґ hányados) + maradék,

0 Ј maradék

Az 1400 osztva 3-mal hányadosának és maradékának megtalálása 3 ismételt kivonásával sok időt és erőfeszítést igényel. Az eljárást jelentősen felgyorsíthatnánk, ha 1400-ból először 300-at, majd a maradékból 30-at, végül 3-at vonnánk ki. A 300 négyszeri levonása után 200 maradékot kapnánk; ha 200-ból hatszor kivonjuk a 30-at, a maradék 20 lesz; végül, miután hatszor kivontuk a 3-at 20-ból, megkapjuk a maradék 2-t.

A keresendő hányados 466, illetve 2. A számításokat a következőképpen lehet rendezni, majd egymás után tömöríteni.

A fenti érvelés akkor érvényes, ha az osztó és az osztó bármilyen pozitív valós szám, amelyet decimális rendszerben fejeznek ki. Illusztráljuk ezt a 817.65е23.7 példájával.

Először is az osztót egész számmá kell konvertálni tizedesponteltolás segítségével. Ebben az esetben az osztalék tizedespontja ugyanannyi tizedesjellel eltolódik. Az osztó és az osztalék az alábbiak szerint van elrendezve:

Határozzuk meg, hogy az osztó hányszor szerepel a 817-es háromjegyű számban, az osztó első részében, amelyet az osztóval osztunk. Mivel a becslések szerint háromszor van benne, megszorozzuk 237-et 3-mal, és kivonjuk 711 szorzatát 817-ből. A 106 különbsége kisebb, mint az osztó. Ez azt jelenti, hogy a 237-es szám legfeljebb háromszor jelenik meg a próbaosztalékban. A vízszintes vonal alatti 2-es osztó alá írt 3-as szám a keresendő hányados első számjegye. Miután lejjebb léptünk az osztalék következő számjegyénél, megkapjuk a következő próbaosztalékot, az 1066-ot, és meg kell határoznunk, hogy a 237 osztó hányszor fér bele az 1066-os számba; Mondjuk 4-szer. Az osztót megszorozzuk 4-gyel, és megkapjuk a 948 szorzatot, amelyet kivonunk 1066-ból; a különbség 118-nak bizonyul, ami azt jelenti, hogy a következő hányados számjegye 4. Ezután kivonjuk a következő osztalékjegyet, és megismételjük a fent leírt teljes eljárást. Ezúttal kiderül, hogy az 1185 próbaosztalék pontosan (maradék nélkül) osztható 237-tel (az osztás maradéka végül 0-nak bizonyul). Ha a hányadosban tizedesvesszővel elválasztjuk az osztalékban elválasztott számjegyek számát (emlékezzünk arra, hogy korábban elmozdítottuk a tizedesvesszőt), azt a választ kapjuk: a hányados egyenlő 34,5-tel.

Frakciók.

A törtekkel végzett számítások közé tartozik az összeadás, kivonás, szorzás és osztás, valamint az összetett törtek egyszerűsítése.

Az azonos nevezővel rendelkező törtek összeadása a számlálók összeadásával történik, pl.

1/16 + 5/16 + 7/16 = (1 + 5 + 7)/16 = 13/16.

Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor először le kell redukálni őket egy közös nevezőre, pl. konvertálja át azonos nevezőjű törtekre. Ehhez megkeressük a legkisebb közös nevezőt (az egyes adott nevezők legkisebb többszörösét). Például 2/3, 1/6 és 3/5 összeadásakor a legkisebb közös nevező a 30:

Összegezve azt kapjuk

20/30 + 5/30 + 18/30 = 43/30.

A törtek kivonása ugyanúgy történik, mint az összeadás. Ha a nevezők azonosak, akkor a kivonás a számlálók kivonása: 10/13 – 2/13 = 8/13; Ha a törtek különböző nevezőkkel rendelkeznek, akkor először közös nevezőre kell hozni őket:

7/8 – 3/4 = 7/8 – 6/8 = (7 – 6)/8 = 1/8.

A törtek szorzásakor ezek számlálóit és nevezőit külön szorozzuk. Például,

5/6ґ4/9 = 20/54 = 10/27.

Egy tört egy másikkal való osztásához meg kell szorozni az első törtet (osztó) a második (osztó) reciprok törtével (a reciprok tört megszerzéséhez fel kell cserélni az eredeti tört számlálóját és nevezőjét), pl. ( n 1 /d 1)е( n 2 /d 2) = (n 1 H d 2)/(d 1 H n 2). Például,

3/4е7/8 = 3/4ґ8/7 = 24/28 = 6/7.

A vegyes szám egy egész szám és egy tört összege (vagy különbsége), például 4 + 2/3 vagy 10 – 1/8. Mivel egy egész szám 1-es nevezőjű törtnek tekinthető, a vegyes szám nem más, mint két tört összege (vagy különbsége). Például,

4 + 2/3 = 4/1 + 2/3 = 12/3 + 2/3 = 14/3.

Az összetett tört olyan tört, amelynek a számlálójában, a nevezőben vagy a számlálóban és a nevezőben van egy tört. Ez a tört egyszerű törtté alakítható:

Négyzetgyök.

Ha n r, oly módon, hogy r 2 = n. Szám r hívott négyzetgyök tól től nés ki van jelölve. Az iskolában kétféleképpen tanítanak négyzetgyököket kivonni.

Az első módszer népszerűbb, mert egyszerűbb és könnyebben alkalmazható; Az ezzel a módszerrel végzett számítások könnyen megvalósíthatók asztali számológépen, és általánosíthatók a kockagyökökre és a magasabb gyökerekre. A módszer azon alapul, hogy ha r 1 – a gyökér megközelítése, akkor r 2 = (1/2)(r 1 + n/r 1) – a gyökér pontosabb közelítése.

Illusztráljuk az eljárást úgy, hogy kiszámoljuk egy 1 és 100 közötti szám négyzetgyökét, mondjuk a 40-et. Mivel 6 2 = 36 és 7 2 = 49, arra a következtetésre jutunk, hogy a 6 a legjobb közelítés egész számokhoz. Pontosabb közelítést kapunk a 6-ból a következőképpen. A 40-et 6-tal osztva 6,6-ot kapunk (első tizedesjegyre kerekítve) még tizedek számai). A második közelítéshez a 6-os és a 6,6-os két szám átlagolásához 6,3-at kapunk. Az eljárást megismételve még jobb közelítést kapunk. A 40-et elosztva 6,3-mal, megkapjuk a 6,350-es számot, és a harmadik közelítésből kiderül, hogy (1/2)(6,3 + 6,350) = 6,325. Egy másik ismétlés 40е6.325 = 6.3241106, a negyedik közelítés pedig (1/2)(6.325 + 6.3241106) = 6.3245553. A folyamat a kívánt ideig folytatható. Általában minden következő közelítés kétszer annyi számjegyet tartalmazhat, mint az előző. Tehát példánkban, mivel az első közelítés, a 6-os egész szám csak egy számjegyet tartalmaz, a második közelítésben két, a harmadikban négy, a negyedikben nyolc számjegyet tarthatunk.

Ha a szám n nem 1 és 100 között van, akkor először osztani (vagy szorozni) kell n mondjuk 100-as hatványra k-edik úgy, hogy a szorzat 1-től 100-ig terjedjen. Ekkor a szorzat négyzetgyöke 1-től 10-ig terjedő tartományban lesz, és miután kivontuk, a kapott számot megszorozzuk (vagy elosztjuk) 10-zel k, keresse meg a szükséges négyzetgyököt. Például ha n= 400000, akkor először mi feloszt 400 000 100 2-vel, és megkapjuk a 40-es számot, amely 1 és 100 közötti tartományban van. Mint fentebb látható, ez megközelítőleg egyenlő 6,3245553-mal. Szorzás ez a szám 10 2-vel, 632,45553-at kapunk hozzávetőleges értékként, és a 0,63245553 szám közelítő értékeként szolgál.

A fent említett eljárások közül a második az algebrai azonosságon ( a + b) 2 = a 2 + (2a + b)b. Minden lépésnél a négyzetgyök már kapott részét vesszük mint a, és a még meghatározandó rész az b.

Köbgyök.

A pozitív valós szám köbgyökének kinyerésére a négyzetgyök algoritmusokhoz hasonló algoritmusok léteznek. Például egy szám kockagyökének megkeresésére n, először közelítjük a gyökét valamilyen számmal r 1 . Ezután pontosabb közelítést készítünk r 2 = (1/3)(2r 1 + n/r 1 2), ami viszont helyet ad egy még pontosabb közelítésnek r 3 = (1/3)(2r 2 + n/r 2 2) stb. A gyökér egyre pontosabb közelítéseinek megalkotásának folyamata a végtelenségig folytatódhat.

Tekintsük például egy 1 és 1000 közötti szám kockagyökének kiszámítását, mondjuk a 200-as számot. Mivel 5 3 = 125 és 6 3 = 216, arra a következtetésre jutunk, hogy a 6 a legközelebbi egész szám 200 kockagyökéhez. Ezért választunk r 1 = 6, és szekvenciálisan számítsuk ki r 2 = 5,9, r 3 = 5,85, r 4 = 5,8480. Minden közelítésben a harmadiktól kezdve megengedett olyan karakterszám megtartása, amely eggyel kevesebb, mint az előző közelítésben szereplő karakterek számának kétszerese. Ha a szám, amelyből a kockagyököt ki akarja venni, nem 1 és 1000 között van, akkor először el kell osztania (vagy meg kell szoroznia) valamivel, például k th, az 1000-es szám hatványa, és ezzel behozzuk a kívánt számtartományba. Az újonnan kapott szám kockagyöke 1-től 10-ig terjedő tartományban van. Kiszámítása után meg kell szorozni (vagy el kell osztani) 10-zel k hogy megkapjuk az eredeti szám kockagyökét.

A második, összetettebb algoritmus egy pozitív valós szám kockagyökének megtalálására az algebrai azonosságon alapul ( a + b) 3 = a 3 + (3a 2 + 3ab + b 2)b. Jelenleg a kockagyökök, valamint a magasabb erők gyökereinek kinyerésére szolgáló algoritmusokat nem tanítják a középiskolában, mivel logaritmusokkal vagy algebrai módszerekkel könnyebben megtalálhatók.

Euklidész algoritmusa.

Ezt az algoritmust ben mutatták be Kezdetek Eukleidész (Kr. e. 300 körül). Két egész szám legnagyobb közös osztójának kiszámítására szolgál. Pozitív számok esetén eljárási szabályként fogalmazódik meg: „A két megadott szám közül a nagyobbat osszuk el a kisebbel. Ezután osszuk el az osztót a maradékkal, és folytassuk így, amíg az utolsó osztót egyenletesen el nem osztja az utolsó maradékkal. Az utolsó osztó lesz a két megadott szám legnagyobb közös osztója.

Numerikus példaként vegyünk két egész számot: 3132 és 7200. Az algoritmus ebben az esetben a következő lépésekből áll:

A legnagyobb közös osztó megegyezik az utolsó osztóval – a 36-os számmal. A magyarázat egyszerű. Példánkban az utolsó sorból látjuk, hogy a 36 osztja a 288-at. Az utolsó előtti sorból az következik, hogy a 36 osztja a 324-et. Tehát sorról sorra haladva meg vagyunk győződve arról, hogy a 36-os szám osztja 936-ot. , 3132 és 7200 Most azt állítjuk, hogy a 36 a 3132 és 7200 számok közös osztója. g a 3132 és 7200 számok legnagyobb közös osztója. Mivel g osztja a 3132-t és a 7200-at, az első sorból az következik g oszt 936. A második sorból arra következtetünk g oszt 324. Tehát sorról sorra haladva meg vagyunk győződve arról gÉs mivel a 36 a 3132 és 7200 számok közös osztója, és a legnagyobb közös osztójukkal van osztva, arra a következtetésre jutunk, hogy a 36 a legnagyobb közös osztó.

Vizsgálat.

Az aritmetikai számítások állandó figyelmet igényelnek, ezért hajlamosak a hibákra. Ezért nagyon fontos a számítási eredmények ellenőrzése.

1. A számoszlop hozzáadását úgy ellenőrizhetjük, hogy az oszlopban lévő számokat először felülről lefelé, majd lentről felfelé adjuk hozzá. Ennek az igazolási módszernek az indoklása a kommutativitás és az összeadás asszociativitásának általánosított törvénye.

2. A kivonást úgy ellenőrizzük, hogy a különbséget összeadjuk a kivonóval - a minuendet kell megkapni. Ennek az ellenőrzési módszernek az oka a kivonási művelet meghatározása.

3. A szorzás a szorzó és a szorzó átrendezésével ellenőrizhető. Ennek az igazolási módnak az indoklása a kommutatív szorzás törvénye. A szorzást úgy ellenőrizheti, hogy a szorzót (vagy szorzót) két tagra bontja, két külön szorzási műveletet hajt végre, és összeadja a kapott szorzatokat - az eredeti szorzatot kell kapnia.

4. Az osztás ellenőrzéséhez meg kell szorozni a hányadost az osztóval, és a maradékot hozzá kell adni a szorzathoz. Ez legyen az osztalék. Ennek az ellenőrzési módszernek az oka az osztási művelet meghatározása.

5. A négyzetgyök (vagy köb) kinyerésének helyességének ellenőrzése a kapott szám (vagy kocka) négyzetesítéséből áll – az eredeti számot kell megkapni.

Az egész számok összeadásának vagy szorzásának ellenőrzésére különösen egyszerű és nagyon megbízható módszer egy olyan technika, amely átmenetet jelent az ún. "összehasonlítások modulo 9". Nevezzük „többletnek” a szám írásához használt számjegyek összegének maradékát, ha elosztjuk 9-cel. Ekkor a „túllépésekre” vonatkozóan két tétel fogalmazható meg: „az egész számok összegének többlete egyenlő a tagok többletösszegének többletével”, és „két egész szám szorzatának többlete egyenlő a túlkapásaik szorzatának többletét.” Az alábbiakban példákat láthatunk ezen a tételen alapuló ellenőrzésekre:

Az összehasonlításokra való átállás modulo 9 módszere más aritmetikai algoritmusok tesztelésekor is használható. Természetesen egy ilyen ellenőrzés nem tévedhetetlen, mivel a „túllépésekkel” való munka során hibák is előfordulhatnak, de egy ilyen helyzet nem valószínű.

Érdeklődés.

A százalék az a tört, amelynek nevezője 100; A százalékokat háromféleképpen írhatjuk fel: törtként, tizedesjegyként, vagy a % speciális százalékos jelöléssel. Például a 7 százalék felírható 7/100-nak, 0,07-nek vagy 7%-nak.

A százalékos probléma leggyakoribb típusának példája a következő: „Találd meg a 82-ből 17%-ot.” A probléma megoldásához ki kell számítania a 0,17ґ82 = 13,94 szorzatot. Az ilyen termékekben 0,17-et neveznek árfolyamnak, 82-t az alapnak, 13,94-et pedig százalékban kifejezett részesedésnek. A három említett mennyiség a reláción keresztül kapcsolódik egymáshoz

Kamatláb ґ alap = százalékos részesedés.

Ha bármelyik két mennyiség ismert, ebből az összefüggésből a harmadik is meghatározható. Ennek megfelelően háromféle problémát kapunk „százalékok használatával”.

1. példa. Az iskolába beiratkozott tanulók száma 351-ről 396-ra nőtt. Hány százalékkal nőtt ez a szám?

A növekedés 396 – 351 = 45 fő volt. A 45/351 törtet százalékban felírva 45/351 = 0,128 = 12,8%-ot kapunk.

2. példa. Az üzletben az akció során egy hirdetés azt mondja: „25% kedvezmény minden termékre”. Mi az eladási ára egy olyan cikknek, amelyet általában 3,60 dollárért adnak el?

A 3,60 dolláros ár 25%-os csökkenése 0,25-3,60 = 0,90 dolláros csökkenést jelent; ezért az árucikk ára az akció során 3,60 USD – 0,90 USD = 2,70 USD lesz.

3. példa. A bankban elhelyezett pénz évi 5%-os kamattal 40 dollár nyereséget hozott évente. Mekkora összeget utaltak be a bankba?

Mivel az összeg 5%-a 40 dollár, i.e. 5/100 ґ összeg = 40 dollár, vagy 1/100 ґ összeg = 8 dollár, a teljes összeg 800 dollár.

Közelítő számok aritmetikája.

A számításokhoz használt számos szám vagy mérésekből, vagy becslésekből származik, ezért csak közelítésnek tekinthetők. Nyilvánvaló, hogy a közelítő számokkal végzett számítások eredménye csak közelítő szám lehet. Tegyük fel például, hogy a pultfelület mérése a következő eredményeket adta (a legközelebbi tized méterre kerekítve): szélesség 1,2 m, hossz 3,1 m; mondhatnánk, hogy a pult területe 1,2ґ3,1 = 3,72 m2. A valóságban azonban az információ korántsem ennyire biztos. Mivel az 1,2 m érték csak azt jelzi, hogy a szélességmérés 1,15 és 1,25 m között van, a 3,1 pedig azt, hogy a hosszmérés 3,05 és 3,15 m között van, a számlálóterületről csak annyit mondhatunk, hogy 1,15-3,05-nél nagyobbnak kell lennie. = 3,5075, de kevesebb, mint 1,25ґ3,15 = 3,9375. Ezért az egyetlen ésszerű válasz a számlálóterület kérdésére az, hogy ez körülbelül 3,7 m 2 .

Tekintsük ezután a 3,73 m, 52,1 m és 0,282 m közelítő mérési eredmények összeadásának problémáját nagyobbnak kell lennie, mint 3,725 + 52,05 + 0,2815 = 56,0565 m, és kisebbnek kell lennie, mint 3,735 + 52,15 + 0,2825 = 56,1765 m. Így az egyetlen ésszerű válasz a kérdésre az, hogy az összeg körülbelül 1 m.

A fenti két példa néhány olyan szabályt illusztrál, amelyek hasznosak a közelítő számokkal való munka során. A számok kerekítésének különböző módjai vannak. Ezek egyike a szám alsó számjegyeinek elvetése. Sőt, ha az első eldobandó számjegy több mint öt, akkor az utolsó megmaradt számjegyet eggyel növelni kell, ha kevesebbet, akkor a maradék rész utolsó számjegye változatlan marad.

Ha az első elvetendő számjegy pontosan öt, akkor az utolsó megtartandó számjegyet eggyel növeljük, ha páratlan, és változatlan marad, ha páros. Például a legközelebbi századra kerekítve a 3,14159;17,7682; 28 999; 0,00234; 7,235 és 7,325 3,14 lesz; 17,77; 29.00; 0,00; 7,24 és 7,32.

A kerekítés másik módja a jelentős számok fogalmához kapcsolódik, és a számok gépi írásakor használatos. Egy közelítő szám jelentős számjegyei a tizedes jelölésben szereplő számjegyek, balról jobbra haladva, az első nem nulla számjeggyel kezdve, és a hibának megfelelő tizedesjegy helyén lévő számjegygel végződnek. Például a 12,1 közelítő szám jelentős számjegyei az 1, 2, 1 számok; hozzávetőleges szám 0,072 – számok 7, 2; a hozzávetőleges 82000-es szám száz pontossággal felírva 8, 2, 0.

Most megfogalmazzuk a fent említett közelítő számokkal való működés két szabályát.

A hozzávetőleges számok összeadásakor és kivonásakor minden számot a legkevésbé pontos szám utolsó számjegye utáni számjegyre kell kerekíteni, az így kapott összeget és különbséget pedig a legkevésbé pontos számjegy számjegyére kell kerekíteni. A hozzávetőleges számok szorzásakor és osztásakor minden számot a legkisebb jelentőségű szám utolsó jelentős számjegye utáni előjelre kell kerekíteni, a szorzatot és hányadost a legkevésbé pontos szám ismertével megegyező pontossággal kell kerekíteni.

Visszatérve a korábban vizsgált problémákhoz, a következőket kapjuk:

1,2ґ3,1 = 3,72 m 2 » 3,7 m 2

3,73 + 52,1 + 0,28 = 56,11 m 2 "56,1 m,

ahol a "" jel azt jelenti, hogy "körülbelül egyenlő".

Egyes aritmetikai tankönyvek algoritmusokat kínálnak a hozzávetőleges számokkal való munkavégzéshez, ami lehetővé teszi, hogy elkerülje a szükségtelen előjeleket a számítás során. Emellett alkalmazzák az ún. hozzávetőleges számok rögzítése, azaz. bármely szám (1-től 10-ig terjedő tartományban lévő szám) ґ (10 hatványa), ahol az első tényező csak a szám jelentős számjegyeit tartalmazza. Például a 82000 km-t száz km-re kerekítve 8,20ґ10 4 km-nek írjuk, 0,00702 cm-t pedig 7,02ґ10 –3 cm-nek.

A matematikai táblázatokban, trigonometrikus vagy logaritmikus táblázatokban található számok hozzávetőlegesek, meghatározott számú előjellel írva. Amikor ilyen táblázatokkal dolgozik, kövesse a hozzávetőleges számokkal történő számítások szabályait.

Logaritmusok.

A 17. század elejére. Az alkalmazott számítástechnikai problémák bonyolultsága annyira megnőtt, hogy a túl sok munka és idő miatt nem lehetett velük „kézi” megbirkózni. Szerencsére J. Napier találta ki időben a 17. század elején. a logaritmusok lehetővé tették a felmerülő problémával való megbirkózást. Mivel a logaritmus elméletét és alkalmazásait egy speciális LOGARITMUS cikk ismerteti részletesen, csak a legszükségesebb információkra szorítkozunk.

Kimutatható, hogy ha n pozitív valós szám, akkor van egy egyedi pozitív valós szám x, úgy, hogy 10 x = n. Szám x hívott (normál vagy decimális) logaritmus számok n; hagyományosan így írják: x= log n. Így a logaritmus kitevő, és a kitevőkkel végzett műveletek törvényeiből az következik, hogy

A logaritmusoknak ezek a tulajdonságai magyarázzák széleskörű használatukat az aritmetikában. Az első és a második tulajdonság lehetővé teszi, hogy minden szorzási és osztási problémát egyszerűbb összeadási és kivonási feladatra redukáljunk. A harmadik és negyedik tulajdonság lehetővé teszi, hogy a hatványozást és a gyökérkivonást sokkal egyszerűbb műveletekre csökkentsük: szorzásra és osztásra.

A logaritmusok könnyebb használatának érdekében összeállítottuk a táblázataikat. A decimális logaritmusok táblázatának összeállításához elegendő csak 1-től 10-ig terjedő számok logaritmusát feltüntetni. Például mivel 247,6 = 10 2 ґ2,476, a következőt kapjuk: log247,6 = log10 2 + log2,476 = 2 + log2.476, és mivel 0.02476 = 10 –2 ґ2.476, akkor log0.02476 = log10 –2 + log2.476 = –2 + log2.476. Vegye figyelembe, hogy egy 1 és 10 közötti szám decimális logaritmusa 0 és 1 között van, és decimálisként is felírható. Ebből az következik, hogy bármely szám decimális logaritmusa egy egész szám, amelyet a logaritmus jellemzőjének, és egy tizedes tört, amelyet a logaritmus mantisszának neveznek, összege. Bármely szám logaritmusának jellemzője megtalálható az „elmében”; A mantisszát logaritmustáblázatok segítségével kell megtalálni. Például a táblázatokból azt találjuk, hogy log2.476 = 0.39375, tehát log247.63 = 2.39375. Ha a logaritmus karakterisztikája negatív (amikor a szám kisebb egynél), akkor célszerű két pozitív egész szám különbségeként ábrázolni, például log0,02476 = –2 + 0,39375 = 8,39375 – 10. a következő példák magyarázzák ezt a technikát.

Irodalom:

A matematika története az ókortól a 19. század elejéig., vol. 1–3. M., 1970–1972.
Serre J.-P. Számtantanfolyam. M., 1972
Nechaev V.I. Numerikus rendszerek. M., 1975
Daan-Dalmedico A., Peiffer J . Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről. M., 1986
Engler E. Alapfokú matematika. M., 1987

• Az aritmetika (ógörögül ἀριθμητική; ἀριθμός - szám) a matematikának a számokat, azok összefüggéseit és tulajdonságait vizsgáló ága. Az aritmetika tárgya a számfogalom a róla alkotott elképzelések kialakításában (természetes, egész és racionális, valós, komplex számok) és tulajdonságai. Az aritmetika mérésekkel, számítási műveletekkel (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) és számítási technikákkal foglalkozik. A magasabb aritmetika vagy számelmélet az egyes egész számok tulajdonságainak tanulmányozása. Az elméleti aritmetika a számfogalom meghatározására és elemzésére fordít figyelmet, míg a formális aritmetika predikátumok és axiómák logikai konstrukcióival operál. Az aritmetika a legrégebbi és az egyik alapvető matematikai tudomány; szorosan kapcsolódik az algebrához, a geometriához és a számelmélethez.

  Az aritmetika megjelenésének oka a számviteli feladatokhoz kapcsolódó számolási és számítási gyakorlati igény volt a mezőgazdaság központosítása során. A tudomány a megoldást igénylő problémák egyre összetettebbé válásával együtt fejlődött. Az aritmetika fejlődéséhez nagyban hozzájárultak a görög matematikusok, különösen a pitagorasz filozófusok, akik számok segítségével próbálták megérteni és leírni a világ összes törvényét.

  A középkorban az aritmetikát a neoplatonisták nyomán az úgynevezett hét szabad művészet közé sorolták. Az aritmetika gyakorlati alkalmazásának fő területei akkor a kereskedelem, a hajózás és az építőipar voltak. Ebben a tekintetben különös jelentőséget kaptak az irracionális számok közelítő számításai, amelyek elsősorban a geometriai konstrukciókhoz szükségesek. Az aritmetika különösen gyorsan fejlődött Indiában és az iszlám országokban, ahonnan a matematikai gondolkodás legújabb vívmányai behatoltak Nyugat-Európába; Oroszország „mind a görögöktől, mind a latinoktól” ismerkedett meg a matematikai tudással.

  A New Age beköszöntével a tengerészeti csillagászat, a mechanika és az egyre bonyolultabb kereskedelmi számítások új igényeket támasztottak a számítástechnikával szemben, és lendületet adtak az aritmetika további fejlődésének. A 17. század elején Napier feltalálta a logaritmusokat, majd Fermat a számelméletet emelte ki az aritmetika önálló ágaként. A század végére kialakult az irracionális szám gondolata, mint racionális közelítések sorozata, és a következő évszázadban Lambert, Euler és Gauss munkáinak köszönhetően az aritmetika magában foglalta az összetett mennyiségekkel végzett műveleteket is. modern formája.

  Az aritmetika későbbi történetét alapjainak kritikai felülvizsgálata és deduktív alátámasztására tett kísérletek jellemezték. A számgondolat elméleti indoklása elsősorban a természetes szám szigorú meghatározásához és Peano 1889-ben megfogalmazott axiómáihoz kapcsolódik. Az aritmetika formális felépítésének következetességét Gentzen mutatta meg 1936-ban.

  Az aritmetika alapjai régóta és változatlanul nagy figyelmet kaptak az általános iskolai oktatásban.