Matematikai inga: periódus, gyorsulás és képletek. Az inga titkai Az ingára ​​ható erők

Inga Foucault- egy inga, amellyel kísérletileg demonstrálják a Föld napi forgását.

A Foucault-inga egy huzalra vagy cérnára felfüggesztett masszív teher, amelynek felső vége (például univerzális csuklóval) meg van erősítve, hogy az inga bármilyen függőleges síkban lenghessen. Ha a Foucault-ingát a függőlegestől eltérítjük és kezdeti sebesség nélkül elengedjük, akkor az inga terhelésére ható gravitációs és menetfeszítő erők mindvégig az inga lengési síkjában fekszenek, és nem tudják előidézni annak forgását. a csillagokhoz viszonyítva (a csillagokhoz tartozó inerciális vonatkoztatási rendszerhez) . A Földön elhelyezkedő és vele együtt forgó (azaz nem inerciális vonatkoztatási rendszerben elhelyezkedő) megfigyelő látni fogja, hogy a Foucault-inga lengéssíkja a Föld felszínéhez képest lassan a forgásiránnyal ellentétes irányban forog. a Földről. Ez megerősíti a Föld napi forgásának tényét.

Az Északi- vagy Déli-sarkon a Foucault-inga lengéssíkja sziderális naponként 360°-kal fog forogni (15°-kal sziderális óránként). A földfelszín egy pontjában, amelynek földrajzi szélessége egyenlő φ-vel, a horizont síkja ω 1 = ω sinφ szögsebességgel forog a függőleges körül (ω a Föld szögsebesség modulusa) és a lengéssík Az inga azonos szögsebességgel forog. Ezért a Foucault-inga lengéssíkjának látszólagos forgási szögsebessége a φ szélességen, fokban per sziderális óránként kifejezve ω m = 15 o sinφ, azaz minél kisebb φ, annál kisebb φ, és a Egyenlítőn nullává válik (a sík nem forog). A déli féltekén a lengéssík forgása az északi féltekén megfigyelttel ellentétes irányban történik. Egy finomított számítás adja meg az értéket

ω m = 15 o sinφ

Ahol A- az inga súlyának lengéseinek amplitúdója, l- menethossz. Egy további kifejezés, amely csökkenti a szögsebességet, minél kisebb, annál nagyobb l. Ezért a kísérlet demonstrálásához a lehető leghosszabb (több tíz méteres) menethosszú Foucault ingát célszerű használni.

Történet

Ezt a készüléket először Jean Bernard Leon Foucault francia tudós tervezte.

Ez az eszköz egy öt kilogrammos sárgaréz golyó volt, amelyet kétméteres acélhuzalra függesztettek fel a mennyezetről.

Foucault első kísérletét saját háza pincéjében végezte. 1851. január 8. Erről bejegyzés készült a tudós tudományos naplójában.

1851. február 3 Jean Foucault bemutatta ingáját a Párizsi Obszervatóriumban azoknak az akadémikusoknak, akik a következő tartalmú leveleket kapták: „Meghívom Önt, hogy kövesse a Föld forgását.”

A kísérlet első nyilvános bemutatójára Louis Bonaparte kezdeményezésére került sor a párizsi Pantheonban ugyanazon év áprilisában. A Pantheon kupolája alatt egy fémgolyót függesztettek fel 28 kg súlyú, acélhuzalra erősített hegyévelátmérője 1,4 mm és 67 m hosszú rögzítés az inga mindenben szabadon lendült irányokat. Alatt rögzítési pontként 6 méter átmérőjű körkerítést készítettek a kerítés szélén, hogy az inga mozgása során nyomokat tudjon rajzolni a homokba, amikor áthalad rajta. Az inga indításakor oldalra lökést elkerülendő, oldalra vették és kötéllel megkötözték, majd a kötelet kiégett. Az oszcillációs periódus 16 másodperc volt.

A kísérlet nagy sikert aratott, és széles visszhangot váltott ki tudományos és nyilvános körökben Franciaországban és a világ más országaiban. Csak 1851-ben készítettek más ingákat az első modellje alapján, és Foucault kísérleteit a párizsi csillagvizsgálóban, a reimsi katedrálisban, a római Szent Ignác-templomban, Liverpoolban, Oxfordban, Dublinban végezték. Rio de Janeiróban, Colombo városában, Ceylonban, New York államban.

Ezekben a kísérletekben a labda mérete és az inga hossza eltérő volt, de mindegyik megerősítette a következtetéseketJean Bernard Leon Foucault.

A Pantheonban bemutatott inga elemeit jelenleg a Párizsi Művészeti és Kézműves Múzeumban őrzik. Foucault-ingák pedig ma már a világ számos részén megtalálhatók: politechnikai és tudományos-természettörténeti múzeumokban, tudományos obszervatóriumokban, planetáriumokban, egyetemi laboratóriumokban és könyvtárakban.

Három Foucault-inga van Ukrajnában. Az egyiket az Ukrán Nemzeti Műszaki Egyetemen tárolják „KPI névadó. Igor Sikorsky", a második - a Harkovi Nemzeti Egyetemen. V.N. Karazin, harmadik - a Harkovi Planetáriumban.

Matematikai inga.

A matematikai inga egy nyújthatatlan, súlytalan szálon felfüggesztett anyagi pont, amely a gravitáció hatására egy függőleges síkban oszcilláló mozgást végez.

Az ilyen ingát egy vékony fonalra felfüggesztett, m tömegű nehéz golyónak tekinthetjük, amelynek l hossza jóval nagyobb, mint a golyó mérete. Ha α szöggel (7.3. ábra) eltérítjük a függőleges vonaltól, akkor az F erő hatására, a P súly egyik összetevője, oszcillálni fog. A másik, a menet mentén irányított komponenst nem veszik figyelembe, mert kiegyensúlyozza a szál feszességét. Kis eltolási szögeknél és ekkor az x koordináta vízszintes irányban mérhető. A 7.3. ábrából jól látható, hogy a menetre merőleges súlykomponens egyenlő

Az O ponthoz viszonyított erőnyomaték: , és a tehetetlenségi nyomaték:
M=FL .
Tehetetlenségi nyomaték J ebben az esetben
Szöggyorsulás:

Ezeket az értékeket figyelembe véve a következőket kapjuk:

(7.8)

Az ő döntése
,

Amint látjuk, a matematikai inga lengési periódusa a hosszától és a gravitációs gyorsulástól függ, és nem függ a rezgések amplitúdójától.

Fizikai inga.

A fizikai inga egy rögzített vízszintes tengelyre (felfüggesztési tengelyre) rögzített merev test, amely nem megy át a tömegközépponton, és amely a gravitáció hatására e tengely körül oszcillál. A matematikai ingától eltérően egy ilyen test tömege nem tekinthető pontszerűnek.

Kis α eltérítési szögeknél (7.4. ábra) a fizikai inga harmonikus rezgéseket is végez. Feltételezzük, hogy a fizikai inga súlyát a C pontban lévő súlypontjára helyezzük. Az az erő, amely az ingát egyensúlyi helyzetbe viszi vissza, ebben az esetben a gravitáció összetevője - F erő.

A mínusz jel a jobb oldalon azt jelenti, hogy az F erő az α szög csökkentésére irányul. Figyelembe véve az α szög kicsinységét

A matematikai és fizikai ingák mozgástörvényének levezetéséhez a forgómozgás dinamikájának alapegyenletét használjuk.

Erőnyomaték: nem határozható meg kifejezetten. Figyelembe véve az összes mennyiséget, amely az eredeti rezgési differenciálegyenletben szerepel a fizikai inga alakjában.

Matematikai inga a felfüggesztéshez rögzített, súlytalan és nyújthatatlan menetre felfüggesztett, a gravitáció (vagy más erő) mezőjében elhelyezkedő anyagi pontot nevezzük.

Vizsgáljuk meg egy matematikai inga lengéseit inerciális vonatkoztatási rendszerben, amelyhez képest a felfüggesztési pontja nyugalomban van, vagy egyenletesen, egyenesen mozog. Elhanyagoljuk a légellenállás erejét (ideális matematikai inga). Kezdetben az inga nyugalomban van a C egyensúlyi helyzetben. Ebben az esetben a gravitációs erő és a rá ható menet F?ynp rugalmas ereje kölcsönösen kompenzálódik.

Vegyük ki az ingát az egyensúlyi helyzetből (pl. az A helyzetbe terelve) és engedjük el kezdősebesség nélkül (1. ábra). Ebben az esetben az erők nem egyensúlyozzák ki egymást. A gravitáció tangenciális komponense, amely az ingára ​​hat, érintőleges gyorsulást ad neki a?? (a matematikai inga pályájának érintője mentén irányított teljes gyorsulás összetevője), és az inga növekvő sebességgel kezd el mozogni az egyensúlyi helyzet felé. A gravitáció érintőleges összetevője tehát egy helyreállító erő. A gravitáció normál összetevője a menet mentén a rugalmas erővel szemben irányul. Az erők eredője az inga normálgyorsulását adja, ami megváltoztatja a sebességvektor irányát, és az inga az ABCD ív mentén mozog.

Minél közelebb kerül az inga a C egyensúlyi helyzethez, annál kisebb lesz a tangenciális komponens értéke. Egyensúlyi helyzetben nullával egyenlő, és a sebesség eléri a maximális értékét, és az inga tehetetlenséggel halad tovább, ívben emelkedik felfelé. Ebben az esetben az alkatrész a sebesség ellen irányul. Az a elhajlási szög növekedésével az erőmodulus nő, a sebességmodulus pedig csökken, és a D pontban az inga sebessége nulla lesz. Az inga egy pillanatra megáll, majd az egyensúlyi helyzettel ellentétes irányba kezd el mozogni. A tehetetlenségi erővel ismét elhaladva az inga, lassítva a mozgását, eléri az A pontot (nincs súrlódás), azaz. teljes lendületet fog befejezni. Ezt követően az inga mozgása megismétlődik a már leírt sorrendben.

Adjunk egy egyenletet, amely leírja a matematikai inga szabad rezgéseit.

Legyen az inga adott pillanatban a B pontban. S elmozdulása az egyensúlyi helyzetből ebben a pillanatban egyenlő az SV ív hosszával (azaz S = |SV|). Jelöljük a felfüggesztő menet hosszát l-vel, az inga tömegét pedig m-vel.

Az 1. ábrából jól látható, hogy ahol . Kis szögeknél () az inga elhajlik tehát

A mínuszjel azért kerül ebbe a képletbe, mert a gravitáció érintőleges komponense az egyensúlyi helyzet felé irányul, és az elmozdulást az egyensúlyi helyzetből számoljuk.

Newton második törvénye szerint. Vetítsük ki ennek az egyenletnek a vektormennyiségeit a matematikai inga pályájának érintőjének irányába

Ezekből az egyenletekből azt kapjuk

A matematikai inga dinamikus mozgásegyenlete. A matematikai inga érintőleges gyorsulása arányos az elmozdulásával, és az egyensúlyi helyzet felé irányul. Ez az egyenlet így írható fel

Összehasonlítva a harmonikus rezgésegyenlettel , arra a következtetésre juthatunk, hogy a matematikai inga harmonikus rezgéseket hajt végre. És mivel az inga figyelembe vett lengései csak belső erők hatására következtek be, ezek az inga szabad lengései voltak. Következésképpen a matematikai inga kis eltérésű szabad rezgései harmonikusak.

Jelöljük

Az inga rezgésének ciklikus frekvenciája.

Az inga lengési periódusa. Ezért,

Ezt a kifejezést Huygens-képletnek nevezik. Meghatározza a matematikai inga szabad rezgésének periódusát. A képletből az következik, hogy az egyensúlyi helyzettől való kis eltérési szögeknél a matematikai inga lengési periódusa:

1. nem függ a tömegétől és a rezgési amplitúdójától;
2. arányos az inga hosszának négyzetgyökével és fordítottan arányos a gravitációs gyorsulás négyzetgyökével.

Ez összhangban van a matematikai inga kis oszcillációinak kísérleti törvényeivel, amelyeket G. Galileo fedezett fel.

Hangsúlyozzuk, hogy ez a képlet akkor használható az időszak kiszámítására, ha két feltétel egyidejűleg teljesül:

1. az inga kilengésének kicsinek kell lennie;
2. az inga felfüggesztési pontjának nyugalomban kell lennie, vagy egyenletesen, egyenes vonalban kell mozognia ahhoz a tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerhez képest, amelyben található.

Ha egy matematikai inga felfüggesztési pontja gyorsulással mozog, akkor a menet feszítőereje megváltozik, ami a helyreállító erő, és ennek következtében a rezgések gyakoriságának és periódusának megváltozásához vezet. Amint a számítások azt mutatják, az inga lengési periódusa ebben az esetben a képlet segítségével számítható ki

ahol az inga „effektív” gyorsulása nem inerciális vonatkoztatási rendszerben. Ez egyenlő a nehézségi gyorsulás és a vektorral ellentétes vektor geometriai összegével, azaz. képlet segítségével számítható ki

Matematikai ingának (más néven oszcillátornak) nevezzük azt a mechanikai rendszert, amely egy nyújthatatlan súlytalan szálon (a test súlyához képest elhanyagolható tömegű) függő anyagi pontból (testből) áll, egyenletes gravitációs térben. Ennek az eszköznek más típusai is vannak. Menet helyett súlytalan rúd használható. Egy matematikai inga világosan feltárhatja sok érdekes jelenség lényegét. Ha a rezgés amplitúdója kicsi, akkor mozgását harmonikusnak nevezzük.

Mechanikai rendszer áttekintése

Ennek az inga lengési periódusának képletét Huygens (1629-1695) holland tudós vezette le. I. Newton kortársát nagyon érdekelte ez a mechanikai rendszer. 1656-ban megalkotta az első ingaszerkezetes órát. Az időkhöz képest kivételes pontossággal mérték az időt. Ez a találmány a fizikai kísérletek és gyakorlati tevékenységek fejlesztésének fő állomása lett.

Ha az inga egyensúlyi helyzetben van (függőlegesen lóg), akkor a menet feszítőereje kiegyenlíti. A nyújthatatlan meneten lévő lapos inga két szabadságfokú rendszer, csatolással. Ha csak egy alkatrészt cserél, annak minden alkatrészének jellemzői megváltoznak. Tehát, ha a menetet egy rúd helyettesíti, akkor ennek a mechanikus rendszernek csak 1 szabadságfoka lesz. Milyen tulajdonságai vannak a matematikai ingának? Ebben a legegyszerűbb rendszerben káosz keletkezik időszakos zavarok hatására. Abban az esetben, ha a felfüggesztési pont nem mozdul, hanem oszcillál, az inga új egyensúlyi helyzetet kap. A gyors fel-le oszcillációkkal ez a mechanikus rendszer stabil „fejjel lefelé” helyzetet kap. Ennek is megvan a saját neve. Kapitsa ingának hívják.

Az inga tulajdonságai

A matematikai ingának nagyon érdekes tulajdonságai vannak. Mindegyiket megerősítik az ismert fizikai törvények. Bármely más inga lengési ideje különböző körülményektől függ, például a test méretétől és alakjától, a felfüggesztési pont és a súlypont távolságától, valamint a tömegnek ehhez a ponthoz viszonyított eloszlásától. Éppen ezért egy test lógási időtartamának meghatározása meglehetősen nehéz feladat. Sokkal könnyebb kiszámítani a matematikai inga periódusát, amelynek képlete az alábbiakban található. A hasonló mechanikai rendszerek megfigyelései eredményeként a következő mintázatok állapíthatók meg:

Ha az inga azonos hosszának megtartása mellett különböző súlyokat függesztünk fel, akkor ezek rezgési periódusa azonos lesz, bár tömegük nagyban változik. Következésképpen egy ilyen inga időtartama nem függ a terhelés tömegétől.

Ha a rendszer indításakor az ingát nem túl nagy, hanem különböző szögekben téríti el, akkor ugyanazzal a periódussal, de különböző amplitúdókkal kezd oszcillálni. Amíg az egyensúlyi középponttól való eltérések nem túl nagyok, addig a rezgések formájukban meglehetősen közel állnak a harmonikusokhoz. Egy ilyen inga periódusa semmilyen módon nem függ az oszcillációs amplitúdótól. Egy adott mechanikai rendszernek ezt a tulajdonságát izokronizmusnak nevezik (a görög „chronos” - idő, "isos" - egyenlő) fordításban.

A matematikai inga periódusa

Ez a mutató az időszakot jelöli A bonyolult megfogalmazás ellenére maga a folyamat nagyon egyszerű. Ha a matematikai inga menetének hossza L, és a szabadesés gyorsulása g, akkor ez az érték egyenlő:

A kis természetes rezgések periódusa semmilyen módon nem függ az inga tömegétől és az oszcillációk amplitúdójától. Ebben az esetben az inga adott hosszúságú matematikai ingaként mozog.

Matematikai inga oszcillációi

Egy matematikai inga oszcillál, ami egy egyszerű differenciálegyenlettel írható le:

x + ω2 sin x = 0,

ahol x (t) egy ismeretlen függvény (ez az alsó egyensúlyi helyzettől való eltérés szöge t pillanatban, radiánban kifejezve); ω egy pozitív állandó, amelyet az inga paramétereiből határozunk meg (ω = √g/L, ahol g a nehézségi gyorsulás, L pedig a matematikai inga (felfüggesztés) hossza).

Az egyensúlyi helyzethez közeli kis rezgések egyenlete (harmonikus egyenlet) így néz ki:

x + ω2 sin x = 0

Az inga oszcilláló mozgásai

Egy matematikai inga, amely kis oszcillációkat okoz, egy szinuszos mentén mozog. A másodrendű differenciálegyenlet megfelel egy ilyen mozgás minden követelményének és paraméterének. A pálya meghatározásához be kell állítani a sebességet és a koordinátát, amelyből független állandókat határoznak meg:

x = A sin (θ 0 + ωt),

ahol θ 0 a kezdeti fázis, A az oszcillációs amplitúdó, ω a mozgásegyenletből meghatározott ciklikus frekvencia.

Matematikai inga (nagy amplitúdójú képletek)

Ez a jelentős amplitúdóval oszcilláló mechanikai rendszer bonyolultabb mozgástörvényeknek van kitéve. Egy ilyen inga esetében a következő képlet szerint számítják ki:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

ahol sn a Jacobi szinusz, amely u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

ahol ε = E/mL2 (mL2 az inga energiája).

A nemlineáris inga lengési periódusát a következő képlet segítségével határozzuk meg:

ahol Ω = π/2 * ω/2K(u), K az elliptikus integrál, π - 3,14.

Inga mozgása szeparatrix mentén

A szeparatrix egy dinamikus rendszer pályája, amelynek kétdimenziós fázistere van. Egy matematikai inga nem periodikusan mozog rajta. Egy végtelenül távoli pillanatban nulla sebességgel esik oldalra a legmagasabb helyzetéből, majd fokozatosan megszerzi. Végül megáll, és visszatér eredeti helyzetébe.

Ha az inga lengéseinek amplitúdója megközelíti a számot π , ez azt jelzi, hogy a fázissíkon a mozgás megközelíti a szeparatrixot. Ebben az esetben kis hajtóerő hatására a mechanikai rendszer kaotikus viselkedést mutat.

Ha egy matematikai inga egy bizonyos φ szöggel eltér az egyensúlyi helyzettől, Fτ = -mg sin φ tangenciális gravitációs erő lép fel. A mínusz előjel azt jelenti, hogy ez a tangenciális komponens az inga kitérésével ellentétes irányba van irányítva. Ha x-szel jelöljük az inga elmozdulását egy L sugarú körív mentén, akkor az inga szögelmozdulása egyenlő φ = x/L. A második törvény, amely a vetületekre és az erőre vonatkozik, megadja a kívánt értéket:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Ezen összefüggés alapján egyértelmű, hogy ez az inga nemlineáris rendszer, hiszen az egyensúlyi helyzetbe visszahozni igyekvő erő mindig nem az x elmozdulással, hanem a sin x/L-rel arányos.

Csak ha a matematikai inga kis oszcillációkat hajt végre, akkor az harmonikus oszcillátor. Más szóval, harmonikus rezgések végrehajtására képes mechanikus rendszerré válik. Ez a közelítés gyakorlatilag 15-20°-os szögekre érvényes. A nagy amplitúdójú inga oszcillációi nem harmonikusak.

Newton törvénye az inga kis rezgéseire

Ha egy adott mechanikai rendszer kis rezgéseket hajt végre, Newton 2. törvénye így fog kinézni:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Ez alapján megállapíthatjuk, hogy egy matematikai inga mínuszjellel arányos az elmozdulásával. Ez az a feltétel, amely miatt a rendszer harmonikus oszcillátorrá válik. Az elmozdulás és a gyorsulás közötti arányossági együttható modulusa egyenlő a körfrekvencia négyzetével:

ω02 = g/l; ω0 = √ g/L.

Ez a képlet tükrözi az ilyen típusú inga kis oszcillációinak természetes frekvenciáját. Ez alapján

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Az energiamegmaradás törvénye alapján végzett számítások

Az inga tulajdonságai az energiamegmaradás törvényével is leírhatók. Figyelembe kell venni, hogy az inga a gravitációs térben egyenlő:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Összesen egyenlő kinetikai vagy maximális potenciállal: Epmax = Ekmsx = E

Az energiamegmaradás törvényének felírása után vegyük az egyenlet jobb és bal oldalának deriváltját:

Mivel az állandó mennyiségek deriváltja 0, akkor (Ep + Ek)" = 0. Az összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

ezért:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Az utolsó képlet alapján ezt kapjuk: α = - g/L*x.

A matematikai inga gyakorlati alkalmazása

A gyorsulás a szélesség függvényében változik, mivel a földkéreg sűrűsége nem azonos az egész bolygón. Ahol nagyobb sűrűségű kőzetek fordulnak elő, ott valamivel magasabb lesz. A matematikai inga gyorsulását gyakran használják geológiai feltáráshoz. Különféle ásványok felkutatására szolgál. Egyszerűen az inga oszcillációinak megszámlálásával lehet szenet vagy ércet kimutatni a Föld belsejében. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy az ilyen kövületek sűrűsége és tömege nagyobb, mint az alatta lévő laza kőzetek.

A matematikai ingát olyan kiváló tudósok használták, mint Szókratész, Arisztotelész, Platón, Plutarkhosz, Arkhimédész. Sokan közülük úgy vélték, hogy ez a mechanikai rendszer befolyásolhatja az ember sorsát és életét. Arkhimédész matematikai ingát használt számításai során. Manapság sok okkultista és pszichikus használja ezt a mechanikus rendszert jóslataik beteljesítésére vagy eltűnt emberek felkutatására.

A híres francia csillagász és természettudós, K. Flammarion is matematikai ingát használt kutatásaihoz. Azt állította, hogy segítségével meg tudta jósolni egy új bolygó felfedezését, a Tunguska meteorit megjelenését és más fontos eseményeket. A második világháború idején Németországban (Berlinben) egy speciális Ingaintézet működött. Napjainkban a müncheni parapszichológiai intézet is foglalkozik hasonló kutatásokkal. Ennek az intézménynek az alkalmazottai az ingával végzett munkájukat „radiesztéziának” nevezik.