Függvénypéldák stacionárius pontjainak keresése. Egy függvény kritikus pontjai

Definíciók:

Extrémum egy függvény maximális vagy minimális értékét hívjuk meg egy adott halmazon.

Extrém pont az a pont, ahol a függvény maximális vagy minimális értékét elérjük.

Maximális pont az a pont, ahol elérjük a függvény maximális értékét.

Minimális pont az a pont, ahol elérjük a függvény minimális értékét.

Magyarázat.

Az ábrán az x = 3 pont közelében éri el a függvény a maximális értékét (azaz ennek a pontnak a közelében nincs magasabb pont). Az x = 8 szomszédságában ismét maximum értéke van (tisztázzuk még egyszer: ezen a környéken nincs magasabb pont). Ezeken a pontokon a növekedés átadja helyét a csökkenésnek. Ezek a maximális pontok:

x max = 3, x max = 8.

Az x = 5 pont közelében elérjük a függvény minimális értékét (azaz x = 5 közelében nincs lent pont). Ezen a ponton a csökkenés átadja helyét a növekedésnek. Ez a minimum pont:

A maximális és minimális pontszám a következő a függvény szélső pontjai, és a függvény értékei ezeken a pontokon az ő szélsőségek.

A függvény kritikus és stacioner pontjai:

Az extrémum szükséges feltétele:

Elegendő feltétel az extrémumhoz:

Egy szegmensen a függvény y = f(x) elérheti minimális vagy maximális értékét akár a kritikus pontokon, akár a szakasz végein.

Folyamatos függvény tanulmányozásának algoritmusay = f(x) monotonitás és szélsőségesség esetén:

Az előző megbeszélésekben egyáltalán nem alkalmaztuk a differenciálszámítás technikai módszereit.

Nehéz nem elismerni, hogy elemi módszereink egyszerűbbek és közvetlenebbek, mint az elemzési módszerek. Általánosságban elmondható, hogy egy adott tudományos probléma kezelésekor jobb annak egyéni sajátosságaiból kiindulni, mint pusztán általános módszerekre hagyatkozni, bár másrészt természetesen az általános elv, amely tisztázza az alkalmazott speciális eljárások értelmét. , mindig irányító szerepet kell játszania. A differenciálszámítás módszereinek éppen ez a jelentősége az extrém problémák mérlegelésekor. A modern tudományban megfigyelhető általánosság iránti vágy a dolognak csak az egyik oldalát képviseli, hiszen ami igazán létfontosságú a matematikában, azt kétségtelenül a vizsgált problémák és az alkalmazott módszerek egyéni jellemzői határozzák meg.

Történelmi fejlődésében a differenciálszámítást igen jelentős mértékben befolyásolták a mennyiségek legnagyobb és legkisebb értékeinek megtalálásával kapcsolatos egyéni problémák. Az extrém problémák és a differenciálszámítás kapcsolata a következőképpen értelmezhető. A VIII. fejezetben részletesen megvizsgáljuk az f(x) függvény f"(x) deriváltját és annak geometriai jelentését. Ott látni fogjuk, hogy röviden szólva, az f"(x) derivált a függvény meredeksége. a görbe érintője y = f(x) az (x, y) pontban. Geometriailag nyilvánvaló, hogy egy sima görbe maximum- vagy minimumpontjain y = f(x) a görbe érintőjének mindenképpen vízszintesnek kell lennie, azaz a meredekségnek nullának kell lennie. Így megkapjuk a szélsőpontok feltételét f"(x) = 0.

Hogy világosan megértsük, mit jelent az f"(x) derivált eltűnése, tekintsük a 191. ábrán látható görbét. Itt öt olyan A, B, C, D, ? pontot látunk, amelyeknél a görbe érintője vízszintes. jelöljük ezekben a pontokban az f(x) megfelelő értékeit a, b, c, d, e. Az f(x) legnagyobb értékét (a rajzon látható területen belül) a D pontban, a legkisebbet az A pontban érjük el. B pontban van egy maximum - abban az értelemben, hogy minden pontban valami környék B pontban az f(x) értéke kisebb, mint b, bár a D-hez közeli pontokban az f(x) értéke még mindig nagyobb, mint b. Emiatt szokás azt mondani, hogy a B pontban van függvény relatív maximuma f(x), míg a D pontban - abszolút maximum. Ugyanígy a C pontban van relatív minimum,és az A pontban - abszolút minimum. Végül, ami az E pontot illeti, nincs benne se maximum, se minimum, bár az egyenlőség még így is megvalósul benne f"(x) = Q, Ebből következik, hogy az f"(x) derivált eltűnése az szükséges, de egyáltalán nem elegendő feltétele az f(x) sima függvény szélsőértékének megjelenésének; más szóval, minden olyan ponton, ahol van szélsőség (abszolút vagy relatív), az egyenlőség minden bizonnyal megtörténik f"(x) = 0, de nem minden ponton, ahol f"(x) = 0, szélsőségnek kell lennie. Azokat a pontokat, ahol az f"(x) derivált eltűnik, függetlenül attól, hogy van-e rajtuk szélsőség, az ún. helyhez kötött. A további analízis többé-kevésbé bonyolult feltételekhez vezet az f(x) függvény magasabb deriváltjaira és a maximumok, minimumok és egyéb stacionárius pontok teljes jellemzésére.

Függvény tartománya, deriváltjának kiszámítása, függvény deriváltjának tartományának megkeresése, keresés pontokat a derivált nullára fordítva bizonyítja, hogy a talált pontok az eredeti függvény definíciós tartományába tartoznak.

1. példa: A kritikus azonosítás pontokat függvények y = (x - 3)²·(x-2).

Megoldás Keresse meg a függvény definíciós tartományát, ebben az esetben nincs korlátozás: x ∈ (-∞; +∞) Számítsa ki az y’ deriváltot! A kettő szorzatának megkülönböztetésére vonatkozó szabályok szerint a következőt kapjuk: y' = ((x - 3)²)'·(x - 2) + (x - 3)²·(x - 2)' = 2·( x - 3) · (x - 2) + (x - 3)² · 1. Ekkor kapunk egy másodfokú egyenletet: y’ = 3 x² – 16 x + 21.

Keresse meg a függvény deriváltjának definíciós tartományát: x ∈ (-∞; +∞) Oldja meg a 3 x² – 16 x + 21 = 0 egyenletet, hogy megtudja, amelynél nullává válik: 3 x² – 16 x +! 21 = 0.

D = 256 – 252 = 4x1 = (16 + 2)/6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3, tehát a derivált nullára megy, ha x értéke 3 és 7/3.

Határozza meg, hogy a találtak hozzátartoznak-e pontokat az eredeti függvény definíciós tartománya. Mivel x (-∞; +∞), akkor mindkettő pontokat kritikusak.

2. példa: A kritikus azonosítás pontokat függvények y = x² – 2/x.

Megoldás A függvény tartománya: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞), mivel x a nevezőben van. Számítsuk ki az y’ = 2 x + 2/x² deriváltot.

A függvény deriváltjának definíciós tartománya megegyezik az eredetiével: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Oldjuk meg a 2 x + 2/x² = 0 egyenletet: 2 x =! -2/x² → x = -1.

Tehát a derivált nullára megy x = -1-nél. A kritikusság szükséges, de nem elégséges feltétele teljesül. Mivel x=-1 a (-∞; 0) ∪ (0; +∞) intervallumba esik, ez a pont kritikus.

Források:

• Kritikus értékesítési mennyiség, db Küszöb

Sok nő szenved premenstruációs szindrómában, amely nemcsak fájdalmas érzésekben, hanem fokozott étvágyban is megnyilvánul. Ennek eredményeként a kritikus napok jelentősen lelassíthatják a fogyás folyamatát.

A menstruációs időszak alatti fokozott étvágy okai

A menstruációs időszak alatti étvágy növekedésének oka a női test általános hormonszintjének megváltozása. A menstruáció kezdete előtt néhány nappal megemelkedik a progeszteron hormon szintje, a szervezet alkalmazkodik a lehetőséghez, és igyekszik további energiatartalékokat képezni zsírlerakódások formájában, még akkor is, ha a nő ül. Így a súlyváltozások a kritikus napokon normálisak.

Hogyan kell étkezni a menstruáció alatt

Igyekezz manapság ne enni édességeket, édességeket és más, „gyors” ételeket tartalmazó kalóriadús ételeket. Feleslegük azonnal lerakódik a zsírban. Ebben az időszakban sok nő nagyon szeretne csokoládét enni, ilyenkor vásárolhat étcsokit, és kényeztetheti magát néhány szelettel, de nem több. Menstruációja alatt ne fogyasszon alkoholos italokat, pácokat, savanyúságot, füstölt húsokat, magvakat és dióféléket. Általában a savanyúságokat és a füstölt ételeket korlátozni kell az étrendben 6-8 nappal a menstruáció kezdete előtt, mivel az ilyen termékek növelik a szervezet víztartalékait, és ezt az időszakot a fokozott folyadékfelhalmozódás jellemzi. Az étrendben lévő só mennyiségének csökkentése érdekében adjon minimális mennyiséget az elkészített ételekhez.

Alacsony zsírtartalmú tejtermékek, növényi élelmiszerek, gabonafélék fogyasztása javasolt. Bab, főtt burgonya, rizs - hasznosak lesznek a „lassú” szénhidrátokat tartalmazó termékek. A tenger gyümölcsei, a máj, a hal, a marhahús, a baromfi, a tojás, a hüvelyesek és a szárított gyümölcsök segítenek pótolni a vasveszteséget. A búzakorpa hasznos lesz. A menstruáció alatti természetes reakció a duzzanat. Könnyű vizelethajtó gyógynövények segítenek az állapot javításában: bazsalikom, kapor, petrezselyem, zeller. Fűszerként használhatók. A ciklus második felében javasolt a fehérjetartalmú élelmiszerek (sovány húsok és halak, tejtermékek) fogyasztása, és lehetőség szerint csökkenteni kell a szénhidrát mennyiségét az étrendben.

A kritikus kötet gazdasági fogalma értékesítés megfelel a vállalkozás piaci pozíciójának, ahol az áruk értékesítéséből származó bevétel minimális. Ezt a helyzetet nevezik fedezeti pontnak, amikor a termékek iránti kereslet csökken, és a nyereség alig fedezi a költségeket. A kritikus térfogat meghatározásához értékesítés, többféle módszert alkalmazhat.

Utasítás

A munkaciklus nem korlátozódik tevékenységeire - termelésre vagy szolgáltatásokra. Ez egy bizonyos szerkezetű összetett munka, amely magában foglalja a fő személyzet, a vezetők, a vezetők stb., valamint a közgazdászok munkáját, akiknek a feladata a vállalkozás pénzügyi elemzése.

Ennek az elemzésnek az a célja, hogy kiszámítsunk bizonyos mennyiségeket, amelyek valamilyen mértékben befolyásolják a végső nyereség nagyságát. Ezek különböző típusú termelési és értékesítési mennyiségek, teljes és átlagos, keresleti mutatók stb. A fő feladat annak a termelési mennyiségnek a meghatározása, amelynél a költségek és a nyereség között stabil kapcsolat jön létre.

Minimális hangerő értékesítés, amelynél a bevétel teljesen fedezi a költségeket, de nem növeli a vállalat saját tőkéjét, kritikus mennyiségnek nevezzük értékesítés. Ennek a mutatónak a módszerének kiszámítására három módszer létezik: egyenletmódszer, határjövedelem és grafikus.

A kritikus térfogat meghatározásához értékesítés az első módszer szerint hozzunk létre egyenletet a következő formájú: Вп – Zper – Зpos = Пп = 0, ahol: Вп – bevétel értékesítés valamint ;Zper és Zpos – változó és állandó költségek Pp – nyereségből; értékesítésÉs.

Egy másik módszer szerint az első futamidő, bevétel a értékesítés, mutassa be az egységnyi árura és mennyiségre jutó határjövedelem szorzataként értékesítés, ugyanez vonatkozik a változó költségekre is. A fix költségek a teljes árutételre vonatkoznak, ezért hagyja ezt az összetevőt közösen: MD N – Zper1 N – Zpos = 0.

Fejezd ki N értékét ebből az egyenletből, és megkapod a kritikus térfogatot értékesítés:N = Zpos/(MD – Zper1), ahol Zper1 az áruegységenkénti változó költségek.

A grafikus módszer konstrukcióból áll. Rajzolj két vonalat a koordinátasíkon: a bevételi függvényt értékesítés mínusz a költség és a nyereség függvény. Az abszcissza tengelyen ábrázolja a termelés mennyiségét, az ordináta tengelyen pedig a megfelelő árumennyiségből származó bevételt, pénzegységben kifejezve. Ezen vonalak metszéspontja megfelel a kritikus térfogatnak értékesítés, nullszaldós helyzet.

Források:

• hogyan határozzuk meg a kritikus munkát

A kritikai gondolkodás olyan ítéletek összessége, amelyek alapján bizonyos következtetéseket vonnak le, és felmérik a kritika tárgyait. Különösen jellemző minden tudományág kutatójára, tudósaira. A kritikai gondolkodás magasabb szintet foglal el, mint a hétköznapi gondolkodás.

A tapasztalat értéke a kritikai gondolkodás fejlesztésében

Nehéz olyan dolgokat elemezni és következtetéseket levonni, amelyeket nem értesz jól. Ezért ahhoz, hogy megtanuljunk kritikusan gondolkodni, meg kell vizsgálni a tárgyakat mindenféle összefüggésben és összefüggésben más jelenségekkel. Szintén nagy jelentőségű ebben a kérdésben az ilyen tárgyakkal kapcsolatos információk birtoklása, az ítéletek logikai láncainak felépítésének és ésszerű következtetések levonásának képessége.

Például egy műalkotás értékét csak az irodalmi tevékenység sok más gyümölcsének ismerete alapján lehet megítélni. Ugyanakkor jó szakértőnek lenni az emberi fejlődés történetében, az irodalom kialakulásában és az irodalomkritikában. A történelmi kontextustól elszigetelve egy mű elveszítheti szándékolt értelmét. Ahhoz, hogy egy műalkotás értékelése kellően teljes és indokolt legyen, szükséges az irodalmi ismereteinek igénybevétele is, amely magában foglalja az egyes műfajokon belüli irodalmi szövegalkotás szabályait, a különböző irodalmi technikák rendszerét, az osztályozást és elemzést. az irodalom létező stílusairól és irányzatairól stb. Ugyanakkor fontos a cselekmény belső logikájának, a cselekvések sorrendjének, a szereplők elrendezésének és interakciójának tanulmányozása is egy műalkotásban.

A kritikai gondolkodás jellemzői

A kritikai gondolkodás egyéb jellemzői a következők:
- a vizsgált tárggyal kapcsolatos ismeretek csak kiindulópontot jelentenek a logikai láncok felépítéséhez kapcsolódó további agyi tevékenységhez;
- a következetesen felépített és józan észszerű érvelés a vizsgált tárgyról való igaz és téves információk azonosításához vezet;
- a kritikus gondolkodás mindig az adott tárgyról rendelkezésre álló információk értékeléséhez és a megfelelő következtetésekhez kapcsolódik, az értékelés pedig a meglévő készségekhez.

A hétköznapi gondolkodástól eltérően a kritikai gondolkodás nem függ a vakhittől. A kritikai gondolkodás lehetővé teszi a kritika tárgyáról alkotott ítéletek egész rendszerének segítségével, hogy megértsük annak lényegét, azonosítsuk a valódi ismereteket, és megcáfoljuk a hamisakat. A logikán, a tanulmányok mélységén és teljességén, az igazságosságon, az ítéletek megfelelőségén és következetességén alapul. Ebben az esetben a nyilvánvaló és régóta bizonyított állítások posztulátumnak minősülnek, és nem igényelnek ismételt bizonyítást és értékelést.

Kritikus pontok– ezek azok a pontok, ahol egy függvény deriváltja egyenlő nullával, vagy nem létezik. Ha a derivált egyenlő 0-val, akkor a függvény ezen a ponton vesz részt helyi minimum vagy maximum. A grafikonon az ilyen pontokon a függvénynek vízszintes aszimptotája van, vagyis az érintő párhuzamos az Ox tengellyel.

Az ilyen pontokat ún helyhez kötött. Ha „púpot” vagy „lyukat” lát egy folytonos függvény grafikonján, ne feledje, hogy a maximumot vagy a minimumot egy kritikus ponton érte el. Vegyük példaként a következő feladatot.

1. példa Keresse meg az y=2x^3-3x^2+5 függvény kritikus pontjait!
Megoldás. A kritikus pontok megtalálásának algoritmusa a következő:

Tehát a függvénynek két kritikus pontja van.

Ezután, ha egy függvényt kell tanulmányoznia, akkor meghatározzuk a derivált előjelét a kritikus ponttól balra és jobbra. Ha a derivált a kritikus ponton való áthaladáskor „-”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, akkor a függvény veszi helyi minimum. Ha „+”-tól „-”-ig kell helyi maximum.

A kritikus pontok második típusa ezek a tört- és irracionális függvények nevezőjének nullai

Logaritmikus és trigonometrikus függvények, amelyek ezeken a pontokon nincsenek definiálva


A kritikus pontok harmadik típusa darabonként folytonos függvényekkel és modulokkal rendelkeznek.
Például bármely modulfüggvénynek van minimuma vagy maximuma a törésponton.

Például y modul = | x -5 | x = 5 pontban van minimuma (kritikus pont).
A derivált nem létezik benne, de jobb és bal oldalon 1, illetve -1 értéket vesz fel.

Próbálja meg meghatározni a függvények kritikus pontjait

1)
2)
3)
4)
5)

Ha a válasz y, megkapja az értéket
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
akkor már tudod hogyan lehet megtalálni a kritikus pontokatés képes legyen megbirkózni egy egyszerű teszttel vagy tesztekkel.