Egy adott szöggel egyenlő szög kialakításának leírása. Adott szög szerkesztése

Az óra célja: Az adott szöggel egyenlő szög kialakításának képességének fejlesztése. Feladat: Teremtsünk feltételeket az algoritmus elsajátításához egy adott szöggel egyenlő szöget körző és vonalzó segítségével! megteremteni a feltételeket a cselekvési sorrend elsajátításához egy építési probléma megoldása során (elemzés, konstrukció, bizonyítás); fejleszti a kör tulajdonságainak, a háromszögek egyenlősége jeleinek felhasználását bizonyítási feladat megoldására; lehetőséget biztosítanak az új készségek alkalmazására a problémák megoldása során

A geometriában vannak olyan konstrukciós problémák, amelyeket csak két eszköz segítségével lehet megoldani: egy iránytű és egy skálaosztás nélküli vonalzó. A vonalzó lehetővé teszi tetszőleges egyenes rajzolását, valamint két adott ponton áthaladó egyenes megszerkesztését; Iránytű segítségével tetszőleges sugarú kört rajzolhat, valamint olyan kört, amelynek középpontja egy adott pontban van, és egy adott szakasz sugara megegyezik. A I IIII I IIII I IIII I IIII I III I III I III I III I III

Adott: A. A szög Konstruált: O szög. B C O D E Bizonyítsuk be: A = O Bizonyítás: tekintsük az ABC és ODE háromszögeket. 1.AC = OE, mint egy kör sugarai. 2.AB=OD, mint egy kör sugarai. 3.ВС=DE, mint egy kör sugarai. ABC = ODE (3. díj) A = O 2. Feladat. Tegyen félre egy adott sugárból egy adott szöget

Bizonyítsuk be, hogy az AB sugár felező A 3. Bizonyítás: Kiegészítő konstrukció (kössük össze a B pontot a D és C pontokkal). Tekintsük az ACB-t és az ADB-t: A B C D 1.AC = AD, egy kör sugarának. 2.CB=DB, mint egy kör sugarai. 3. AB – közös oldal. ACB = ADB, a háromszögek egyenlőségének III. kritériuma szerint Az AB sugár 4-es felező. Kutatás: A feladatnak mindig van egyedi megoldása.

Kivitelezési problémák megoldásának sémája: Elemzés (a kívánt ábra megrajzolása, összefüggések megállapítása az adott és a szükséges elemek között, kiviteli terv). Tervezett terv szerinti kivitelezés. Bizonyíték arra, hogy ez a szám megfelel a probléma feltételeinek. Kutatás (mikor és hány megoldása van a problémának?).

Az óra céljai:

• A tanult anyag elemzési képességének és problémamegoldó alkalmazásának készségeinek kialakítása;
• Mutassa be a tanulmányozott fogalmak jelentőségét;
• A kognitív tevékenység és az önállóság fejlesztése az ismeretszerzésben;
• A téma iránti érdeklődés és a szépérzék ápolása.

Az óra céljai:

• Fejleszti az adott szöggel egyenlő szög megalkotásának készségeit skálavonalzó, iránytű, szögmérő és háromszög rajzolásával.
• Tesztelje a tanulók problémamegoldó képességeit.

Óraterv:

1. Ismétlés.
2. Adott szög szerkesztése.
3. Elemzés.
4. Építési példa először.
5. Második építési példa.

Ismétlés.

Sarok.

Lapos szög- korlátlan számú geometriai alakzat, amelyet egy pontból (szögcsúcsból) kilépő két sugár (szög oldala) alkot.

Szögnek nevezzük azt az alakzatot is, amelyet a sík e sugarak közé zárt összes pontja alkot (Általánosságban elmondható, hogy két ilyen sugár két szögnek felel meg, mivel két részre osztják a síkot. Az egyik szöget hagyományosan belsőnek nevezzük, és a egyéb - külső.
Néha a rövidség kedvéért a szöget szögmértéknek nevezik.

Van egy általánosan elfogadott szimbólum a szög jelölésére: , amelyet Pierre Erigon francia matematikus javasolt 1634-ben.

Sarok egy geometriai alakzat (1. ábra), amelyet két OA és OB (a szög oldalai) sugár alkot, amelyek egy O pontból (a szög csúcsából) erednek.

A szöget egy szimbólum és három betű jelöli, amelyek a sugarak végeit és a szög csúcsát jelzik: AOB (és a csúcs betűje a középső). A szögeket az OA sugár O csúcs körüli elforgatásának mértéke méri, amíg az OA sugár OB pozícióba nem kerül. A szögek mérésére két széles körben használt mértékegység létezik: a radián és a fok. A szögek radiános mérését lásd alább az „Ívhossz” szakaszban, valamint a „Trigonometria” fejezetben.

Fokozatrendszer a szögek mérésére.

Itt a mértékegység egy fok (jelölése °) - ez a sugár elfordulása a teljes fordulat 1/360-ával. Így a sugár teljes elfordulása 360 o. Egy fok 60 percre oszlik (' szimbólum); egy percig – 60 másodpercig (" megjelölés). A 90°-os szöget (2. ábra) jobbra nevezzük; a 90°-nál kisebb szöget (3. ábra) hegyesnek nevezzük; a 90°-nál nagyobb szöget (4. ábra) tompaszögnek nevezzük.

A derékszöget alkotó egyeneseket egymásra merőlegesnek nevezzük. Ha az AB és MK egyenesek merőlegesek, akkor ezt jelöljük: AB MK.

Adott szög szerkesztése.

Mielőtt elkezdené az építkezést vagy bármilyen probléma megoldását, a tárgytól függetlenül el kell végeznie elemzés. Értsd meg, mit mond a feladat, olvasd el figyelmesen és lassan. Ha az első alkalom után kétségei vannak, vagy valami nem volt világos vagy nem világos, de nem teljesen, javasoljuk, hogy olvassa el újra. Ha feladatot végez az órán, megkérdezheti a tanárt. Ellenkező esetben előfordulhat, hogy a félreértett feladatod nem lesz megfelelően megoldva, vagy találhatsz valamit, ami nem az, amit elvártak tőled, és ez helytelennek minősül, és újra kell csinálnod. Ami engem illet - Jobb, ha egy kicsit több időt tölt a feladat tanulmányozásával, mintsem újra megismételni a feladatot.

Elemzés.

Legyen a az adott A csúcsú sugár, és a kívánt szög (ab). Válasszunk B és C pontot az a és b sugarakon. A B és C pontok összekapcsolásával az ABC háromszöget kapjuk. Egybevágó háromszögekben a megfelelő szögek egyenlőek, és itt következik a szerkesztés módja. Ha egy adott szög oldalain valamilyen kényelmes módon kiválasztjuk a C és B pontokat, és egy adott sugárból egy adott félsíkba szerkesztünk egy AB 1 C 1 háromszöget, amely egyenlő ABC-vel (és ez megtehető, ha tudjuk a háromszög minden oldala), akkor a probléma megoldódik.

Bármelyik végrehajtásakor építkezések Legyen rendkívül óvatos, és igyekezzen minden építkezést gondosan elvégezni. Mivel minden következetlenség valamilyen hibát, eltérést eredményezhet, ami helytelen válaszhoz vezethet. És ha egy ilyen típusú feladatot először hajtanak végre, a hibát nagyon nehéz lesz megtalálni és kijavítani.

Építési példa először.

Rajzoljunk egy kört, amelynek középpontja ennek a szögnek a csúcsában van. Legyen B és C a kör metszéspontja a szög oldalaival. AB sugarú kört rajzolunk, amelynek középpontja az A 1 pontban van – ennek a sugárnak a kezdőpontjában. Jelöljük ennek a körnek a metszéspontját ezzel a sugárral B 1 -gyel. Írjunk le egy kört, amelynek középpontja B 1 és sugara BC. A megszerkesztett körök C 1 metszéspontja a jelzett félsíkban a kívánt szög oldalán van.

Az ABC és A 1 B 1 C 1 háromszögek három oldala egyenlő. Az A és A 1 szögek ezeknek a háromszögeknek a megfelelő szögei. Ezért ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

A nagyobb áttekinthetőség érdekében ugyanazokat a konstrukciókat részletesebben is megvizsgálhatja.

Második építési példa.

A feladat továbbra is az, hogy egy adott félegyenesből egy adott félsíkba egy adott szöggel megegyező szöget is jelöljünk ki.

Építés.

1. lépés Rajzoljunk egy tetszőleges sugarú kört, amelynek középpontja egy adott szög A csúcsában van. Legyen B és C a kör metszéspontja a szög oldalaival. És rajzoljuk meg a BC szakaszt.

2. lépés Rajzoljunk egy AB sugarú kört, amelynek középpontja az O pontban van - ennek a félegyenesnek a kezdőpontjában. Jelöljük a kör sugárral való metszéspontját B 1 -gyel.

3. lépés Most egy B 1 középpontú és BC sugarú kört írunk le. Legyen C 1 pont a megszerkesztett körök metszéspontja a jelzett félsíkban.

4. lépés. Rajzoljunk egy sugarat az O pontból a C 1 pontba. C 1 OB 1 szög lesz a kívánt.

Bizonyíték.

Az ABC és OB 1 C 1 háromszögek egybevágó háromszögek, amelyeknek megfelelő oldalaik vannak. Ezért a CAB és a C 1 OB 1 szögek egyenlőek.

Érdekes tény:

Számokban.

A környező világ tárgyaiban mindenekelőtt egyéni tulajdonságaikat veszi észre, amelyek megkülönböztetik az egyik tárgyat a másiktól.

Az egyedi, egyedi tulajdonságok bősége elfedi az abszolút minden objektumban rejlő általános tulajdonságokat, ezért mindig nehezebb az ilyen tulajdonságok kimutatása.

Az objektumok egyik legfontosabb általános tulajdonsága, hogy minden objektum megszámolható és mérhető. Az objektumok ezen általános tulajdonságát tükrözzük a számfogalomban.

Az emberek nagyon lassan, évszázadok alatt sajátították el a számolás folyamatát, vagyis a szám fogalmát, kitartó küzdelemben létükért.

A számláláshoz nemcsak megszámolható tárgyakkal kell rendelkezni, hanem már képesnek kell lennie arra, hogy elvonatkoztasson ezeknek a tárgyaknak a számon kívül minden egyéb tulajdonságától, és ez a képesség egy hosszú, tapasztalaton alapuló történelmi fejlődés eredménye. .

A számok segítségével ma már mindenki észrevétlenül tanul meg számolni gyerekkorában, szinte a beszédkezdéssel egy időben, de ez a számunkra ismerős számolás hosszú fejlődési utat járt be, és különböző formákat öltött.

Volt idő, amikor csak két számjegyet használtak a tárgyak megszámlálására: egyet és kettőt. A számrendszer további bővítésének folyamatában az emberi test egyes részei, elsősorban az ujjak érintettek, és ha ez a fajta „szám” nem volt elég, akkor pálcikák, kavicsok és egyebek is.

N. N. Miklouho-Maclay könyvében "Utazások" egy vicces számolási módszerről beszél, amelyet Új-Guinea bennszülöttei használnak:

Kérdések:

1. Határozza meg a szöget?
2. Milyen típusú szögek léteznek?
3. Mi a különbség az átmérő és a sugár között?

A felhasznált források listája:

1. Mazur K. I. „A M. I. Skanavi által szerkesztett gyűjtemény matematikai versenyfeladatainak megoldása”
2. Matematikai hozzáértés. B.A. Kordemszkij. Moszkva.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometria, 7–9: tankönyv oktatási intézmények számára”

A leckén dolgozott:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Felvethet egy kérdést a modern oktatással kapcsolatban, megfogalmazhat egy ötletet vagy megoldhat egy sürgető problémát a címen Oktatási fórum, ahol a friss gondolatok és cselekvések oktatási tanácsa találkozik nemzetközi szinten. Miután létrehozta blog, Nemcsak hozzáértő tanári státuszát javítja, hanem jelentős mértékben hozzájárul a jövő iskolájának fejlődéséhez is. Nevelési Vezetők Céhe ajtót nyit a legkiválóbb szakemberek előtt, és felkéri őket, hogy működjenek együtt a világ legjobb iskoláinak létrehozásában.

Lakástervezési projektek építése vagy fejlesztése során gyakran egy meglévő szöget kell beépíteni. A sablonok és az iskolai geometriai ismeretek segítenek.

Utasítás

• Szöget alkot két egyenes, amely egy pontból indul ki. Ezt a pontot a szög csúcsának nevezzük, a vonalak pedig a szög oldalai.
• Használjon három betűt a sarkok jelölésére: egyet felül, kettőt az oldalakon. A szög megnevezése az egyik oldalon álló betűvel kezdődik, majd a csúcson álló betűt, majd a másik oldalon lévő betűt. Használjon más módokat a szögek jelzésére, ha másként kívánja. Néha csak egy betűt neveznek meg, amely a tetején található. A szögeket pedig görög betűkkel jelölheti, például α, β, γ.
• Vannak helyzetek, amikor úgy kell szöget rajzolni, hogy az egyenlő legyen egy már megadott szöggel. Ha a rajz elkészítésekor nem lehet szögmérőt használni, akkor csak vonalzóval és körzővel lehet boldogulni. Tegyük fel, hogy a rajzon MN betűkkel jelölt egyenesen egy szöget kell beállítani a K pontban, hogy az egyenlő legyen B szöggel. Vagyis a K pontból egy egyenest kell húzni, amely egy szög az MN egyenessel, amely egyenlő lesz a B szöggel.
• Először jelöljön meg egy pontot egy adott szög mindkét oldalán, például az A és C pontot, majd kösse össze a C és A pontot egy egyenessel. Szerezd meg az ABC háromszöget.
• Most készítse el ugyanazt a háromszöget az MN egyenesen úgy, hogy a B csúcsa a K pontban lévő egyenesen legyen. Használja a szabályt a háromszög három oldalára. Tegye le a KL szakaszt a K pontból. Egyenlőnek kell lennie a BC szegmenssel. Szerezd meg az L pontot.
• A K pontból rajzoljunk egy kört, amelynek sugara megegyezik a BA szakasszal. L-ből rajzoljunk CA sugarú kört. Kösd össze két kör metszéspontját (P) a K-vel. Szerezd meg a KPL háromszöget, amely egyenlő lesz az ABC háromszöggel. Így kapja a K szöget. Ez egyenlő lesz a B szöggel. A konstrukció kényelmesebbé és gyorsabbá tétele érdekében a B csúcsból egyenlő szegmenseket állítson el, egyetlen iránytűnyílással, a lábak mozgatása nélkül írjon le egy azonos sugarú kört a K pontból.

Gyakran olyan szöget kell berajzolni („konstruálni”), amely egy adott szöggel egyenlő lenne, és az építést szögmérő segítsége nélkül, csak körző és vonalzó segítségével kell elvégezni. Meg tudjuk oldani ezt a problémát, ha tudjuk, hogyan kell háromszöget felépíteni három oldalról. Legyen egyenes vonalon MN(60. és 61. ábra) ponton kell építeni K szög egyenlő a szöggel B. Ez azt jelenti, hogy a lényegtől kezdve szükséges K húzz egy egyenest egy összetevővel MN szög egyenlő B.

Ehhez például jelöljön meg egy pontot egy adott szög mindkét oldalán AÉs VEL, és csatlakoztassa AÉs VEL egyenes vonal. Kapunk egy háromszöget ABC. Építsünk most egy egyenesen MN ezt a háromszöget úgy, hogy annak csúcsa IN ponton volt TO: akkor ezen a ponton a szöggel egyenlő szöget hozunk létre IN. Szerkesszünk háromszöget három oldal felhasználásával VS, VAÉs AC tudjuk, hogyan: elhalasztjuk (62. kép) a ponttól TO szegmens KL, egyenlő Nap; pontot kapunk L; körül K, a középpont közelében egy sugarú kört írunk le VA, és környékén L – sugár SA. Pont R-val összekötjük a körök metszéspontjait TOés Z, kapunk egy háromszöget KPL, egyenlő egy háromszöggel ABC; van benne egy sarok TO= ug. IN.

Ezt a konstrukciót felülről gyorsabban és kényelmesebben hajtják végre IN fektesse le egyenlő szegmenseket (az iránytű egyszeri feloldásával), és anélkül, hogy a lábait elmozdítaná, írjon le egy kört a pont körül azonos sugarú TO, mint a központ közelében.

Hogyan lehet kettéosztani egy sarkot

Tegyük fel, hogy el kell osztanunk egy szöget A(63. ábra) két egyenlő részre egy körző és vonalzó segítségével, szögmérő nélkül. Megmutatjuk, hogyan kell csinálni.

Fentről A tegyen egyenlő szegmenseket a szög oldalaira ABÉs AC(64. diagram; ez az iránytű egyszerű feloldásával történik). Ezután helyezzük az iránytű hegyét a pontokra INÉs VELés írja le a pontban metsző, egyenlő sugarú íveket D. Egyenes csatlakozás Aés D osztja a szöget A félbe.

Magyarázzuk meg, miért van ez. Ha a lényeg D csatlakozni INés C (65. ábra), akkor két háromszöget kapunk ADCÉs ADB, y amelyeknek van közös oldaluk HIRDETÉS; oldal AB oldallal egyenlő AC, A ВD egyenlő CD. A háromszögek három oldala egyenlő, ami azt jelenti, hogy a szögek egyenlőek. ROSSZÉs DAC, egymással szemben fekvő egyenlő oldalakon ВDÉs CD. Ezért egyenesen HIRDETÉS osztja a szöget TE félbe.

Alkalmazások

12. Szerkesszünk 45°-os szöget szögmérő nélkül! 22°30'-on. 67°30'-on.

Megoldás: A derékszöget kettéosztva 45°-os szöget kapunk. A 45°-os szöget kettéosztva 22°30’-os szöget kapunk. A 45° + 22°30’ szögek összegét megszerkesztve 67°30’ szöget kapunk.

Hogyan készítsünk háromszöget két oldal és a köztük lévő szög felhasználásával

Tegyük fel, hogy meg kell találnia a földön a távolságot két mérföldkő között AÉs IN(66. ördög), átjárhatatlan mocsár választja el.

Hogyan kell ezt csinálni?

Ezt megtehetjük: válasszunk egy pontot a mocsártól távolabb VEL, ahonnan mindkét mérföldkő látható, és a távolságok is mérhetők ACÉs Nap. Sarok VEL speciális goniometrikus eszközzel (úgynevezett str o l b i e) mérünk. Ezen adatok szerint, azaz a mért oldalak szerint A.C.És Napés sarok VEL közöttük, építsünk háromszöget ABC valahol kényelmes terepen az alábbiak szerint. Például egy ismert oldalt egy egyenesben mérve (67. ábra). AC, építs vele a ponton VEL sarok VEL; ennek a szögnek a másik oldalán az ismert oldalt mérjük Nap. Az ismert oldalak végei, azaz pontok AÉs IN egyenes vonallal összekötve. Az eredmény egy háromszög, amelyben két oldal és a közöttük lévő szög az előre meghatározott méretekkel rendelkezik.

Az építési módból világosan látszik, hogy két oldal és a közöttük lévő szög felhasználásával csak egy háromszög készíthető. ezért, ha egy háromszög két oldala egyenlő a másik két oldalával, és az ezen oldalak közötti szögek azonosak, akkor az ilyen háromszögeket minden pont egymásra vetheti, azaz a harmadik oldaluknak és a többi szögnek is egyenlőnek kell lennie. Ez azt jelenti, hogy a háromszögek két oldalának egyenlősége és a köztük lévő szög a háromszögek teljes egyenlőségének jeleként szolgálhat. Röviden:

A háromszögek mindkét oldalán és a köztük lévő szögben egyenlőek.

A tetszőleges szög felezővel való osztásának képessége nemcsak az „A” matematikában való megszerzéséhez szükséges. Ez a tudás nagyon hasznos lesz az építőknek, tervezőknek, földmérőknek és varróknak. Az életben sok mindent fel kell tudni osztani. Mindenki az iskolában...

A konjugáció zökkenőmentes átmenetet jelent egyik sorról a másikra. A társ megtalálásához meg kell határoznia annak pontjait és középpontját, majd meg kell rajzolnia a megfelelő metszéspontot. Egy ilyen probléma megoldásához fel kell vértezni magát egy vonalzóval...

A konjugáció zökkenőmentes átmenetet jelent egyik sorról a másikra. A konjugátumokat nagyon gyakran használják különféle rajzokon szögek, körök és ívek, valamint egyenes vonalak összekapcsolásakor. Egy szakasz felépítése meglehetősen nehéz feladat, amelyre…

Különböző geometriai alakzatok készítésekor néha meg kell határozni azok jellemzőit: hosszúság, szélesség, magasság stb. Ha körről vagy körről beszélünk, akkor gyakran meg kell határoznunk az átmérőjét. Az átmérője...

Egy háromszöget derékszögű háromszögnek nevezünk, ha az egyik csúcsánál bezárt szög 90°. Az ezzel a szöggel szemközti oldalt hipotenusznak, a háromszög két hegyesszögével szemközti oldalt pedig lábaknak nevezzük. Ha ismert a hypotenusa hossza...

A szabályos geometriai alakzatok megalkotásával kapcsolatos feladatok fejlesztik a térérzékelést és a logikát. Nagyon sok ilyen egyszerű probléma létezik. Megoldásuk abban áll, hogy már módosítják vagy kombinálják...

A szög felezője egy sugár, amely a szög csúcsánál kezdődik és két egyenlő részre osztja. Azok. Felezővonal rajzolásához meg kell találnia a szög felezőpontját. Ennek legegyszerűbb módja az iránytű. Ebben az esetben nem kell...

Lakástervezési projektek építése vagy fejlesztése során gyakran egy meglévő szöget kell beépíteni. A sablonok és az iskolai geometriai ismeretek segítenek. Utasítások 1 Egy szöget két, egy pontból kiinduló egyenes alkot. Ez a pont...

A háromszög mediánja az a szakasz, amely a háromszög bármely csúcsát összeköti a szemközti oldal felezőpontjával. Ezért az iránytű és vonalzó segítségével medián megalkotásának problémája a szakasz felezőpontjának megtalálásának problémájára redukálódik. Szükséged lesz –…

A medián egy olyan szakasz, amelyet egy sokszög bizonyos sarkából az egyik oldalára húznak úgy, hogy a medián és az oldal metszéspontja ennek az oldalnak a felezőpontja. Szükséged lesz - körzőre - vonalzóra - ceruzára Utasítások 1 Legyen az adott...

Ebből a cikkből megtudhatja, hogyan kell iránytűvel merőlegest rajzolni egy adott szakaszra egy adott ponton keresztül, amely ezen a szakaszon fekszik. Lépések 1. Nézze meg az Önnek adott szakaszt (egyenes) és a rajta fekvő pontot (A-val jelölve). 2. Helyezze be a tűt...

Ez a cikk megmondja, hogyan kell egy adott egyenessel párhuzamos és egy adott ponton áthaladó egyenest rajzolni. Lépések 1/3. módszer: Merőleges vonalak mentén 1 Jelölje az adott egyenest „m”-nek, az adott pontot pedig A-val. 2 Az A ponton keresztül rajzoljon...

Ez a cikk megmondja, hogyan kell egy adott szög felezőjét megszerkeszteni (a felező a szöget felére osztó sugár). Lépések 1Nézze meg a megadott szöget.2.Keresse meg a szög csúcsát.3. Helyezze az iránytűt a szög csúcsára, és rajzoljon egy ívet, amely metszi a szög oldalait...