A derivált fogalma annak geometriai jelentése. A származék definíciója, geometriai jelentése

Munka típusa: 7

Feltétel

Az y=3x+2 egyenes érinti az y=-12x^2+bx-10 függvény grafikonját. Határozzuk meg a b-t, ha az érintőpont abszcisszája kisebb, mint nulla.

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Legyen x_0 az y=-12x^2+bx-10 függvény gráfján lévő azon pontjának abszcisszája, amelyen keresztül a gráf érintője áthalad.

A derivált értéke az x_0 pontban megegyezik az érintő meredekségével, azaz y"(x_0)=-24x_0+b=3. Másrészt az érintőpont egyszerre tartozik az érintő grafikonjához. függvényt és az érintőt, azaz -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2 egyenletrendszert kapunk \begin(esetek) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(esetek)

Ezt a rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami azt jelenti, hogy vagy x_0=-1 vagy x_0=1. Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok kisebbek nullánál, tehát x_0=-1, majd b=3+24x_0=-21.

Válasz

Munka típusa: 7
Téma: A származékok geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője

Feltétel

Az y=-3x+4 egyenes párhuzamos az y=-x^2+5x-7 függvény grafikonjának érintőjével. Keresse meg az érintőpont abszcisszáját!

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Az y=-x^2+5x-7 függvény grafikonjához tartozó egyenes szögegyütthatója egy tetszőleges x_0 pontban egyenlő y"(x_0). De y"=-2x+5, ami y-t jelent" (x_0)=-2x_0+5 A feltételben megadott y=-3x+4 egyenes együtthatója megegyezik a -3-mal -2x_0 +5=-3.

A következőt kapjuk: x_0 = 4.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Liszenko, S. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származékok geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője

Feltétel

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Az ábrából meghatározzuk, hogy az érintő átmegy az A(-6; 2) és B(-1; 1) pontokon. Jelöljük C(-6; 1) az x=-6 és y=1 egyenesek metszéspontját, \alpha-val pedig az ABC szöget (az ábrán látható, hogy hegyes). Ekkor az AB egyenes \pi -\alpha szöget zár be az Ox tengely pozitív irányával, ami tompa.

Mint ismeretes, tg(\pi -\alpha) lesz az f(x) függvény deriváltjának értéke az x_0 pontban. vegye észre, az tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Innen a redukciós képletekkel a következőket kapjuk: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Liszenko, S. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származékok geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője

Feltétel

Az y=-2x-4 egyenes érinti az y=16x^2+bx+12 függvény grafikonját. Határozzuk meg b-t, feltéve, hogy az érintőpont abszcisszája nagyobb nullánál.

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Legyen x_0 annak a pontnak az abszcisszája az y=16x^2+bx+12 függvény grafikonján, amelyen keresztül

érintője ennek a grafikonnak.

A derivált értéke az x_0 pontban megegyezik az érintő meredekségével, azaz y"(x_0)=32x_0+b=-2. Másrészt az érintési pont egyszerre tartozik az érintő grafikonjához. függvény és az érintő, azaz 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Egyenletrendszert kapunk \begin(esetek) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(esetek)

A rendszert megoldva x_0^2=1-et kapunk, ami vagy x_0=-1 vagy x_0=1. Az abszcissza feltétel szerint az érintőpontok nagyobbak, mint nulla, tehát x_0=1, majd b=-2-32x_0=-34.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Liszenko, S. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származékok geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője

Feltétel

Az ábra a (-2; 8) intervallumon definiált y=f(x) függvény grafikonját mutatja. Határozza meg azon pontok számát, amelyekben a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az y=6 egyenessel!

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Az y=6 egyenes párhuzamos az Ox tengellyel. Ezért találunk olyan pontokat, amelyekben a függvény grafikonjának érintője párhuzamos az Ox tengellyel. Ezen a diagramon az ilyen pontok szélsőséges pontok (maximum vagy minimum pontok). Amint látja, 4 szélsőséges pont van.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Liszenko, S. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származékok geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője

Feltétel

Az y=4x-6 egyenes párhuzamos az y=x^2-4x+9 függvény grafikonjának érintőjével. Keresse meg az érintőpont abszcisszáját!

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Az y=x^2-4x+9 függvény grafikonjának érintőjének meredeksége egy tetszőleges x_0 pontban egyenlő y"(x_0). De y"=2x-4, ami azt jelenti, hogy y"(x_0)= 2x_0-4 A feltételben megadott y =4x-7 érintő meredeksége egyenlő 4-gyel. A párhuzamos egyenesek szögegyütthatója tehát 2x_0-4=4.

Válasz

Forrás: „Matematika. Felkészülés a 2017-es egységes államvizsgára. Profilszint." Szerk. F. F. Liszenko, S. Kulabukhova.

Munka típusa: 7
Téma: A származékok geometriai jelentése. Egy függvény grafikonjának érintője

Feltétel

Az ábrán az y=f(x) függvény grafikonja és a hozzá tartozó érintője látható az x_0 abszcissza pontban. Keresse meg az f(x) függvény deriváltjának értékét az x_0 pontban.

Megoldás megjelenítése

Megoldás

Az ábrából meghatározzuk, hogy az érintő átmegy az A(1; 1) és B(5; 4) pontokon. Jelöljük C(5; 1)-vel az x=5 és y=1 egyenesek metszéspontját, \alpha-val pedig a BAC szöget (az ábrán látható, hogy hegyes). Ekkor az AB egyenes \alpha szöget zár be az Ox tengely pozitív irányával.

A GBPOU „Pedagógiai Főiskola No. 4 of St. Petersburg” egyik tanárának egy nyílt órájának összefoglalása

Martusevics Tatyana Olegovna

Időpont: 2014.12.29.

Téma: A származékok geometriai jelentése.

Az óra típusa: új anyagok tanulása.

Tanítási módok: vizuális, részben keresés.

Az óra célja.

Mutassuk be egy függvény grafikonjának érintő fogalmát egy pontban, derítsük ki a derivált geometriai jelentését, származtassuk az érintő egyenletét, és tanítsuk meg, hogyan kell megtalálni.

Oktatási célok:

A származék geometriai jelentésének megértése; az érintőegyenlet levezetése; megtanulni alapvető problémákat megoldani;

ismétlést biztosít a „Származék meghatározása” témában;

megteremteni a tudás és készségek ellenőrzésének (önkontrolljának) feltételeit.

Fejlesztési feladatok:

elősegíti a készségek kialakulását az összehasonlítás, az általánosítás és a legfontosabb kiemelés technikáinak alkalmazásához;

a matematikai horizont, a gondolkodás és a beszéd, a figyelem és a memória fejlesztésének folytatása.

Oktatási feladatok:

felkelti az érdeklődést a matematika iránt;

aktivitás, mobilitás, kommunikációs készségek oktatása.

Az óra típusa – kombinált óra IKT használatával.

Felszerelés – multimédiás installáció, bemutatóMicrosoftErőPont.

Lecke szakasz

Idő

A tanári tevékenység

Diák tevékenység

1. Szervezeti mozzanat.

Mondja el az óra témáját és célját!

Téma: A származékok geometriai jelentése.

Az óra célja.

A tanulók felkészítése az órai munkára.

Felkészülés az órai munkára.

Az óra témájának és céljának megértése.

Jegyzetelés.

2. Felkészülés az új tananyag elsajátítására ismétléssel, alapismeretek frissítésével.

Az alapismeretek ismétlésének és aktualizálásának megszervezése: a származék meghatározása és fizikai jelentésének megfogalmazása.

A származék definíciójának megfogalmazása és fizikai jelentésének megfogalmazása. Az alapismeretek ismétlése, frissítése, megszilárdítása.

Hatványfüggvény és elemi függvények deriváltjának megtalálásának készségének megszervezése és fejlesztése.

Ezen függvények deriváltjának megkeresése képletek segítségével.

Lineáris függvény tulajdonságainak ismétlése.

Ismétlés, rajzok és tanári nyilatkozatok észlelése

3. Munka új anyaggal: magyarázat.

A függvénynövekmény és az argumentumnövekmény közötti kapcsolat jelentésének magyarázata

A származék geometriai jelentésének magyarázata.

Új anyag megismertetése szóbeli magyarázatokkal képekkel és szemléltető eszközökkel: multimédiás bemutató animációval.

Magyarázat érzékelése, megértés, válaszok tanári kérdésekre.

Nehézség esetén kérdés megfogalmazása a tanárnak.

Új információ észlelése, elsődleges megértése és megértése.

Nehézség esetén kérdések megfogalmazása a tanárnak.

Jegyzet létrehozása.

A származék geometriai jelentésének megfogalmazása.

Három eset mérlegelése.

Jegyzetelés, rajzok készítése.

4. Munka új anyagokkal.

A tanult anyag elsődleges megértése, alkalmazása, konszolidációja.

Mely pontokon pozitív a derivált?

Negatív?

Egyenlő a nullával?

Oktatás ütemterv szerint feltett kérdésekre adott válaszok algoritmusának megtalálásában.

Az új információk megértése, értelmezése és alkalmazása egy probléma megoldására.

5. A tanult anyag elsődleges megértése, alkalmazása, konszolidációja.

A feladat feltételeinek üzenete.

A feladat feltételeinek rögzítése.

Nehézség esetén kérdés megfogalmazása a tanárnak

6. Az ismeretek alkalmazása: önálló, oktató jellegű munka.

Oldja meg a problémát saját maga:

A megszerzett ismeretek alkalmazása.

Önálló munka a származék rajzból való megtalálásának problémájának megoldásán. A válaszok megbeszélése, ellenőrzése párban, kérdés megfogalmazása a tanárnak nehézség esetén.

7. Munka új anyaggal: magyarázat.

Egy függvény grafikonjának érintő egyenletének levezetése egy pontban.

Egy függvény grafikonjának egy pontban lévő érintője egyenletének levezetésének részletes magyarázata, az érthetőség kedvéért multimédiás prezentáció felhasználásával, valamint válaszok a tanulói kérdésekre.

Az érintőegyenlet levezetése a tanárral közösen. Válaszok a tanári kérdésekre.

Jegyzetelés, rajz készítés.

8. Munka új anyaggal: magyarázat.

A tanulókkal folytatott párbeszéd során egy algoritmus levezetése egy adott függvény adott pontban lévő grafikonjának érintőjének egyenletének megtalálására.

A tanárral folytatott párbeszéd során alkosson egy algoritmust egy adott függvény grafikonjának érintőjének egyenletének megtalálásához egy adott pontban.

Jegyzetelés.

A feladat feltételeinek üzenete.

A megszerzett ismeretek alkalmazásának képzése.

Problémamegoldási módok keresésének megszervezése és azok megvalósítása. a megoldás részletes elemzése magyarázattal.

A feladat feltételeinek rögzítése.

Feltételezések megfogalmazása a probléma megoldásának lehetséges módjairól az akcióterv egyes elemeinek végrehajtásakor. A feladat megoldása a tanárral közösen.

A probléma megoldásának és a válasznak a rögzítése.

9. Az ismeretek alkalmazása: önálló, oktató jellegű munka.

Egyéni vezérlés. Igény szerint tanácsadás és segítségnyújtás a tanulóknak.

Ellenőrizze és magyarázza el a megoldást bemutató segítségével.

A megszerzett ismeretek alkalmazása.

10. Házi feladat.

§48, 1. és 3. feladat, értse meg a megoldást, és írja le füzetbe, rajzokkal.

№ 860 (2,4,6,8),

Házi feladat üzenet megjegyzésekkel.

Házi feladat rögzítése.

11. Összegzés.

Megismételtük a derivált definícióját; származék fizikai jelentése; egy lineáris függvény tulajdonságai.

Megtudtuk, mi a származék geometriai jelentése.

Megtanultuk levezetni egy adott függvény grafikonjának érintőjének egyenletét egy adott pontban.

Óraeredmények javítása, pontosítása.

Az óra eredményeinek felsorolása.

12. Reflexió.

1. A leckét: a) könnyűnek találtad; b) általában; c) nehéz.

a) teljesen elsajátítottam, alkalmazni tudom;

b) megtanulták, de nehezen tudják alkalmazni;

c) nem értette.

3. Multimédiás prezentáció az órán:

a) segített az anyag elsajátításában; b) nem segített elsajátítani az anyagot;

c) megzavarta az anyag asszimilációját.

Reflexió lebonyolítása.

Függvény származéka.

1. A derivált definíciója, geometriai jelentése.

2. Komplex függvény deriváltja.

3. Az inverz függvény deriváltja.

4. Magasabb rendű származékok.

5. Parametrikusan definiált függvények és implicit módon.

6. Paraméteresen és implicit módon meghatározott függvények differenciálása.

Bevezetés.

A differenciálszámítás eredete két olyan kérdés volt, amelyet a tudomány és a technika igényei vetettek fel a 17. században.

1) Kérdés egy tetszőlegesen megadott mozgástörvényhez.

2) Egy tetszőlegesen megadott görbe érintőjének megtalálása (számítások segítségével).

Egyes görbék érintőjének megrajzolásának problémáját az ókori görög tudós, Arkhimédész (Kr. e. 287-212) oldotta meg a rajzolási módszerrel.

De ezek a kérdések csak a 17. és 18. században, a természettudomány és a technika fejlődésével összefüggésben kaptak megfelelő fejlesztést.

Bármilyen fizikai jelenség tanulmányozása során az egyik fontos kérdés általában a sebesség kérdése, a jelenség előfordulásának sebessége.

Egy repülőgép vagy autó mozgási sebessége mindig a legfontosabb mutatója a teljesítményének. Egy adott állam népességnövekedésének üteme társadalmi fejlődésének egyik fő jellemzője.

A sebesség eredeti ötlete mindenki számára világos. Ez az általános gondolat azonban nem elegendő a legtöbb gyakorlati probléma megoldásához. Szükséges ennek a mennyiségnek egy ilyen mennyiségi meghatározása, amit sebességnek nevezünk. Az ilyen precíz mennyiségi meghatározás szükségessége történelmileg a matematikai elemzés megalkotásának egyik fő ösztönzőjeként szolgált. A matematikai elemzés egy egész szakasza ennek az alapproblémának a megoldására és a megoldásból következtetések levonására szolgál. Továbblépünk ennek a szakasznak a tanulmányozására.

A származék definíciója, geometriai jelentése.

Legyen adott egy függvény, amely egy bizonyos intervallumban van definiálva (a, c)és folyamatos benne.

1. Mondjunk egy érvet x növekményt, akkor a függvény megkapja

növekedés:

2. Kössünk összefüggést .

3. Átlépés a határértékre és, feltételezve, hogy a határérték

létezik, kapunk egy nevezett mennyiséget

függvény deriváltja az argumentum vonatkozásában x.

Meghatározás. Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény növekménye és az argumentum növekménye arányának határa, ha →0.

A derivált értéke nyilván függ a ponttól x, amelyben megtalálható, ezért a függvény deriváltja viszont valamilyen függvénye x. Jelölve .

Értelemszerűen megvan

vagy (3)

Példa. Keresse meg a függvény deriváltját!

1. ;

A származék definíciója. Fizikai jelentése. Differenciálható függvény definíciója. Fogalmazzon meg egy tételt egy függvény differenciálhatósága és folytonossága közötti kapcsolatról!

Derivált - a differenciálszámítás alapfogalma, egy függvény változási sebességét jellemzi.

Derivált - ez egy függvény növekményének és argumentuma növekményének a határa, mivel az argumentum növekménye nullára hajlik, ha létezik ilyen határ.

Egy véges deriválttal rendelkező függvényt nevezünk megkülönböztethető.
A derivált kiszámításának folyamatát ún különbségtétel

Ha egy pont helyzetét a számegyenesen haladva a függvény adja meg S= f(t), Ahol t a mozgás ideje, majd a függvény deriváltja S– pillanatnyi mozgási sebesség az adott pillanatban t. A modell analógiájára általában azt mondják, hogy a függvény deriváltja nál nél= f(x) – átváltási érték funkciókat azon a ponton x.

Tétel(egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltétele). Ha egy függvény egy ponton differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.

Bizonyíték. Legyen a függvény y=f(x) ponton differenciálható x 0 . Ezen a ponton növeljük az argumentumot Dx. A funkció növekszik Du. Találjuk meg.

Ennélfogva, y=f(x) folyamatos egy ponton x 0 .

Következmény. Ha x 0 a függvény szakadási pontja, akkor a rajta lévő függvény nem differenciálható.

A tétel fordítottja nem igaz. A folytonosság nem jelent differenciálhatóságot.

Példa. y=|x| , X 0 = 0.

Dх> 0, ;

Dx< 0, .

Azon a ponton x 0 = A függvény folytonos, de derivált nincs.

A származék geometriai jelentése. Érintő- és normálegyenletek

A származék geometriai jelentése. Tekintsük a függvény grafikonját y= f (x):

Az 1. ábrából jól látható, hogy a függvény grafikonjának bármely két A és B pontjára:

Hol van az AB szekáns dőlésszöge.

Így a különbség aránya megegyezik a szekáns meredekségével. Ha az A pontot rögzítjük és a B pontot feléje mozgatjuk, akkor korlátlanul csökken, és megközelíti a 0-t, és az AB szekáns megközelíti az AC érintőt. Ezért a különbségi arány határa megegyezik az A pontban lévő érintő meredekségével. Ebből következik: Egy függvény deriváltja egy pontban a függvény grafikonjának érintőjének meredeksége abban a pontban. Ez az, amit geometriai jelentése derivált.

Érintőegyenlet. Vezessük le az A pontban lévő függvény grafikonjának érintőjének egyenletét ( x 0 , f (x 0)). Általában az egyenes egyenlete lejtős együtthatóval f ’(x 0) a következő formában van:

y = f ’(x 0) · x + b .

Megtalálni b,kihasználjuk azt a tényt, hogy az érintő átmegy az A ponton:

f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b,

innen, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0 , és helyette ezt a kifejezést helyettesíti b, megkapjuk érintő egyenlet:

y =f (x 0) + f ’(x 0) · ( x – x 0) .

Normál a függvény grafikonjára y = f (x) az A pontban ( x 0 ; y 0) ponton átmenő egyenesnek nevezzük Aés merőleges az ehhez a ponthoz tartozó érintőre. Ezt az egyenlet adja meg

ami az egymásra merőleges egyenesek szögegyütthatóinak tulajdonságából következik.

Végtelen derivált esetén a pontban lévő érintő x 0 függőleges lesz, és az egyenlet adja meg x = x 0 és a normál vízszintes: y = y 0 .

Mielőtt elolvasná az aktuális oldalon található információkat, javasoljuk, hogy nézzen meg egy videót a származékról és annak geometriai jelentéséről

Lásd még egy példát a derivált egy pontban történő kiszámítására

Az l egyenes érintője az M0 pontban az M0T egyenes - az M0M szekáns határhelyzete, amikor az M pont ezen az egyenes mentén M0-ra hajlik (azaz a szög nullára hajlik) tetszőleges módon.

Az y = f(x) függvény deriváltja x0 pontban hívott a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik. Az y = f(x) függvény deriváltját az x0 pontban és a tankönyvekben az f"(x0) szimbólummal jelöljük. Ezért definíció szerint

A "származék" kifejezés(második származékként is) J. Lagrange vezette be(1797), emellett az y’, f’(x), f”(x) (1770,1779) jelöléseket adta. A dy/dx elnevezés Leibnizben (1675) jelenik meg először.

Az y = f(x) függvény deriváltja x = xo-nál egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének a meredekségével a Mo(xo, f(xo) pontban), azaz.

hol egy - érintőszög a derékszögű derékszögű koordinátarendszer Ox tengelyéhez.

Érintőegyenlet az y = f(x) egyeneshez a Mo(xo, yo) pontban a következő alakot veszi fel

Egy görbe normálisa egy ponton az ugyanabban a pontban lévő érintőre merőleges. Ha f(x0) nem egyenlő 0-val, akkor egyenes normál egyenlet y = f(x) a Mo(xo, y0) pontban a következőképpen lesz felírva:

A származék fizikai jelentése

Ha x = f(t) egy pont egyenes vonalú mozgásának törvénye, akkor x’ = f’(t) ennek a mozgásnak a sebessége t időpontban. Áramlási sebesség fizikai, kémiai és egyéb folyamatokat a derivált segítségével fejezzük ki.

Ha az x->x0 dy/dx aránynak van határa a jobb oldalon (vagy a bal oldalon), akkor azt a jobb oldali deriváltnak (illetve a bal oldali deriváltnak) nevezzük. Az ilyen határértékeket egyoldalú deriváltoknak nevezzük.

Nyilvánvaló, hogy az x0 pont valamelyik szomszédságában definiált f(x) függvénynek akkor és csak akkor van f’(x) deriváltja, ha léteznek egyoldalú deriváltak és egyenlők egymással.

A derivált geometriai értelmezése mivel a gráf érintőjének szögegyütthatója erre az esetre is érvényes: az érintő ebben az esetben párhuzamos az Oy tengellyel.

Azt a függvényt, amelynek egy adott pontban deriváltja van, abban a pontban differenciálhatónak mondjuk. Azt a függvényt, amelynek egy adott intervallum minden pontjában deriváltja van, ebben az intervallumban differenciálhatónak nevezzük. Ha az intervallum zárt, akkor a végein egyoldalú deriváltak vannak.

A derivált megtalálásának műveletét ún.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete