A racionális számokkal rendelkező cselekvések tulajdonságaira vonatkozó szabály. VI

Lecke 4
FOKOZAT TERMÉSZETES KIJELZŐVEL

Gólok: elősegíti a számítási készségek és ismeretek formálódását, a végzettségekkel kapcsolatos ismeretek számítástechnikai tapasztalatokon alapuló felhalmozását; Ismertesse meg a kis és nagy számok írását a 10-es hatványok használatával.

Az órák alatt

I. Alapismeretek felfrissítése.

A tanár elemzi a tesztmunka eredményeit, minden diák ajánlásokat kap a számítási készségek javításának egyéni tervének kidolgozására.

Ezután a tanulókat felkérik, hogy végezzenek számításokat, és olvassák el azoknak a híres matematikusoknak a nevét, akik hozzájárultak a hatalomelmélet felépítéséhez:

0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .

Kulcs:

Számítógép vagy epiprojektor segítségével Diophantus, Rene Descartes, Simon Stevin tudósok portréit vetítik a képernyőre. A hallgatókat felkérik, hogy ha kívánják, készítsenek történelmi információkat e matematikusok életéről és munkásságáról.

II. Új koncepciók, cselekvési módszerek kialakítása.

A tanulók a következő kifejezéseket írják a füzetükbe:

1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;

2. 2 + 2 + 2 + … + 2;

A feltételeket

3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;

4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;

n szorzók

5. A∙ A∙ … ∙ A;

n szorzók

A tanulókat arra kérik, hogy válaszoljanak a következő kérdésre: „Hogyan lehet ezeket a feljegyzéseket tömörebben bemutatni, hogy „megfigyelhetővé” váljanak?

Ezután a tanár beszélgetést folytat egy új témáról, és bevezeti a tanulókat a szám első hatványának fogalmába. A tanulók elkészíthetik a sakk feltalálójáról, Seth-ről és Sheram királyról szóló ősi indiai legenda dramatizálását. A beszélgetést be kell fejezni egy történettel a 10-es hatványok használatáról kis és nagy mennyiségek írásakor, és számos fizikával, technológiával és csillagászattal kapcsolatos kézikönyvet ajánlunk a hallgatóknak megfontolásra, lehetőséget adva számukra, hogy példákat találjanak ilyen mennyiségekre. könyvekben.

III. A készségek és képességek kialakulása.

1. A 40. számú d), e), f) gyakorlatok megoldása; 51.

A megoldás során a tanulók arra a következtetésre jutnak, hogy hasznos emlékezni: A negatív bázisú hatvány pozitív, ha a kitevő páros, és negatív, ha a kitevő páratlan.

2. A 41., 47. számú gyakorlatok megoldása.

IV. Összegzés.

A tanár az órán véleményezi és értékeli a tanulók munkáját.

Házi feladat: 1.3. bekezdés, 42., 43., 52. sz.; opcionális: készítsen jelentéseket Diophantusról, Descartesról, Stevinről.

Történelmi hivatkozás

Diophantus- ókori görög matematikus Alexandriából (III. század). Megmaradt az „Aritmetika” matematikai értekezésének egy része (13-ból 6 könyv), ahol a problémák megoldását adják, amelyek többsége az úgynevezett „Diofantin-egyenletekhez” vezet, amelyek megoldását a racionális pozitívumokban keresik. számok (Diophantusnál nincsenek negatív számok).

Az ismeretlen és fokozatai (a hatodikig), az egyenlőségjel jelölésére Diophantus a megfelelő szavak rövidített jelölését használta. A tudósok felfedezték Diophantus aritmetika további 4 könyvének arab szövegét is. Diophantus művei P. Fermat, L. Euler, K. Gauss és mások kutatásának kiindulópontját jelentették.

Descartes Rene (159.03.31 6 –11. 02. 1650) - Francia filozófus és matematikus, régi nemesi családból származott. Tanulmányait az anjoui La Flèche jezsuita iskolában szerezte. A harmincéves háború elején a hadseregben szolgált, amelyet 1621-ben hagyott el; több éves utazás után Hollandiába költözött (1629), ahol húsz évet töltött magányos tudományos tanulmányokban. 1649-ben a svéd királynő meghívására Stockholmba költözött, de hamarosan meghalt.

Descartes lefektette az analitikus geometria alapjait, és számos modern algebrai jelölést vezetett be. Descartes jelentősen javította a jelölési rendszert azáltal, hogy bevezette a változók általánosan elfogadott jeleit
(x, nál nél,z...) és együtthatók ( A, b, Val vel...), valamint a diploma megjelölései ( x 4 , A 5…). Descartes képletírása szinte semmiben sem különbözik a maiaktól.

Az analitikus geometriában Descartes fő eredménye az általa megalkotott koordináta-módszer volt.

Stevin Simon (1548-1620) - Holland tudós és mérnök. 1583-tól a Leideni Egyetemen tanított, 1600-ban a Leideni Egyetemen mérnökiskolát szervezett, ahol matematikából tartott előadásokat. Stevin "Tithe" (1585) című munkáját a tizedes mértékrendszernek és a tizedes törtnek szenteli, amelyet Simon Stevin vezetett be Európában.

Ebben a leckében felidézzük a számokkal végzett műveletek alapvető tulajdonságait. Nemcsak az alapvető tulajdonságokat tekintjük át, hanem azt is megtanuljuk, hogyan alkalmazzuk őket racionális számokra. Minden megszerzett tudást megszilárdítunk a példák megoldásával.

A számokkal végzett műveletek alapvető tulajdonságai:

Az első két tulajdonság az összeadás, a következő kettő a szorzás tulajdonsága. Az ötödik tulajdonság mindkét műveletre vonatkozik.

Ezekben az ingatlanokban nincs újdonság. Érvényesek voltak természetes és egész számokra is. A racionális számokra is igazak, és igazak lesznek a következő számokra (például irracionális számokra).

Permutáció tulajdonságai:

A kifejezések vagy tényezők átrendezése nem változtat az eredményen.

A kombináció tulajdonságai:, .

Több szám összeadása vagy szorzása tetszőleges sorrendben elvégezhető.

Terjesztési tulajdonság:.

A tulajdonság mindkét műveletet – összeadást és szorzást – összekapcsolja. Illetve, ha balról jobbra olvasod, akkor ezt a zárójelek nyitásának szabályának nevezzük, ha pedig ellenkező irányba, akkor a közös tényező zárójelből való kihelyezésének szabályának.

A következő két tulajdonság leírja semleges elemekösszeadásnál és szorzásnál: nulla összeadása és eggyel szorzása nem változtatja meg az eredeti számot.

Még két tulajdonság, amely leírja szimmetrikus elemekösszeadásnál és szorzásnál az ellentétes számok összege nulla; a reciprok számok szorzata eggyel egyenlő.

Következő ingatlan: . Ha egy számot megszorozunk nullával, az eredmény mindig nulla lesz.

Az utolsó tulajdonság, amelyet megvizsgálunk: .

Ha egy számot megszorozunk -vel, az ellenkező számot kapjuk. Ez az ingatlan különleges tulajdonságokkal rendelkezik. Az összes többi figyelembe vett tulajdonság nem volt bizonyítható a többivel. Ugyanez a tulajdonság az előzőek felhasználásával igazolható.

Megszorozva ezzel

Bizonyítsuk be, hogy ha egy számot megszorozunk -vel, akkor az ellenkező számot kapjuk. Ehhez az elosztási tulajdonságot használjuk: .

Ez minden számra igaz. Helyettesítsük és a szám helyett:

A bal oldalon zárójelben az egymással ellentétes számok összege. Összegük nulla (van ilyen tulajdonságunk). Most a bal oldalon. A jobb oldalon a következőket kapjuk: .

Most balra nulla van, jobbra pedig két szám összege. De ha két szám összege nulla, akkor ezek a számok egymással ellentétesek. De a számnak csak egy ellentétes száma van: . Tehát ez az, ami: .

Az ingatlan bizonyított.

Egy ilyen tulajdonságot, amely korábbi tulajdonságok felhasználásával igazolható, ún tétel

Miért nincsenek itt kivonási és osztási tulajdonságok? Például felírhatjuk a kivonáshoz a disztributív tulajdonságot: .

De azóta:

• Bármely szám kivonása felírható összeadásként, ha a számot az ellenkezőjére cseréljük:

• Az osztás felírható szorzásként a reciprokával:

Ez azt jelenti, hogy az összeadás és szorzás tulajdonságai alkalmazhatók kivonásra és osztásra. Ennek eredményeként a megjegyezendő tulajdonságok listája rövidebb.

Az általunk vizsgált összes tulajdonság nem kizárólag a racionális számok tulajdonságai. Más számok, például irracionálisak, szintén betartják ezeket a szabályokat. Például ellentétes számának összege nulla: .

Most áttérünk a gyakorlati részre, számos példát megoldva.

Racionális számok az életben

Az objektumok azon tulajdonságait, amelyeket kvantitatívan le tudunk írni, valamilyen számmal megjelölhetünk, hívjuk értékeket: hosszúság, súly, hőmérséklet, mennyiség.

Ugyanaz a mennyiség jelölhető egész számmal és tört számmal is, pozitív vagy negatív.

Például az m magasságod egy törtszám. De azt mondhatjuk, hogy egyenlő cm - ez már egy egész szám (1. ábra).

Rizs. 1. Illusztráció például

Még egy példa. A Celsius-skála negatív hőmérséklete a Kelvin-skálán pozitív lesz (2. ábra).

Rizs. 2. Illusztráció például

Egy ház falának építésekor egy személy meg tudja mérni a szélességet és a magasságot méterben. Töredékes mennyiségeket állít elő. Minden további számítást tört (racionális) számokkal hajt végre. Egy másik személy mindent meg tud mérni a téglák számában szélességben és magasságban. Miután csak egész értékeket kapott, egész számokkal végez számításokat.

Maguk a mennyiségek sem nem egészek, sem nem törtszámok, sem nem negatívak, sem nem pozitívak. De az a szám, amellyel egy mennyiség értékét leírjuk, már meglehetősen specifikus (például negatív és tört). Mérési skálától függ. És amikor a valós mennyiségekről egy matematikai modellre térünk át, akkor meghatározott típusú számokkal dolgozunk

Kezdjük a kiegészítéssel. A feltételek a számunkra megfelelő módon átrendezhetők, a műveletek tetszőleges sorrendben végrehajthatók. Ha a különböző előjelű kifejezések ugyanabban a számjegyben végződnek, akkor célszerű először velük műveleteket végrehajtani. Ehhez cseréljük fel a feltételeket. Például:

A hasonló nevezővel rendelkező közös törtek könnyen hozzáadhatók.

Az ellentétes számok összege nulla. Az azonos tizedesvégű számokat könnyű kivonni. Ezekkel a tulajdonságokkal, valamint az összeadás kommutatív törvényével megkönnyítheti például a következő kifejezés értékének kiszámítását:

A kiegészítő decimális végekkel ellátott számok könnyen hozzáadhatók. Kényelmes a vegyes számok egész és tört részeivel külön-külön dolgozni. Ezeket a tulajdonságokat használjuk a következő kifejezés értékének kiszámításakor:

Térjünk át a szorzásra. Vannak olyan számpárok, amelyeket könnyű szorozni. A kommutatív tulajdonság használatával átrendezheti a tényezőket úgy, hogy azok szomszédosak legyenek. Egy termék mínuszainak száma azonnal megszámolható, és következtetés vonható le az eredmény előjeléről.

Tekintsük ezt a példát:

Ha az egyik tényező nulla, akkor a szorzat egyenlő nullával, például: .

A reciprok számok szorzata eggyel egyenlő, és az eggyel való szorzás nem változtatja meg a szorzat értékét. Tekintsük ezt a példát:

Nézzünk egy példát a disztributív tulajdonság használatára. Ha kinyitja a zárójeleket, akkor minden szorzás egyszerű.

Rajz. Aritmetikai műveletek racionális számokkal.

Szöveg:

A racionális számokkal végzett műveletek szabályai:
. azonos előjelű számok összeadásakor össze kell adni a moduljaikat, és a közös jelüket az összeg elé kell tenni;
. két különböző előjelű szám összeadásakor egy nagyobb modulusú számból vonjuk ki a kisebb modulusú számot, és a kapott különbség elé tegyük a nagyobb modulusú szám előjelét;
. Amikor kivonunk egy számot a másikból, a minuendhez hozzá kell adni a kivonandó számmal ellentétes számot: a - b = a + (-b)
. két azonos előjelű szám szorzásakor azok moduljait megszorozzuk, és a kapott szorzat elé pluszjelet helyezünk;
. két különböző előjelű szám szorzásakor azok moduljait megszorozzuk, és a kapott szorzat elé mínuszjelet helyezünk;
. azonos előjelű számok osztásakor az osztó modulját elosztjuk az osztó moduljával, és a kapott hányados elé pluszjelet teszünk;
. különböző előjelű számok osztásakor az osztó modulját elosztjuk az osztó moduljával, és a kapott hányados elé mínusz jelet helyezünk;
. Ha a nullát olyan számmal osztjuk és szorozzuk, amely nem egyenlő nullával, az eredmény nulla:
. Nem lehet nullával osztani.

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Az óra típusa: az ismeretek általánosítása és rendszerezése számítástechnika segítségével.

Az óra céljai:

• Nevelési:
  • fejleszteni kell a példák és egyenletek megoldásában a „Racionális számokkal végzett műveletek tulajdonságai” témában;
  • megszilárdítani a racionális számokkal végzett aritmetikai műveletek képességét;
  • tesztelje az aritmetikai műveletek tulajdonságainak felhasználásának képességét a kifejezések racionális számokkal történő egyszerűsítésére;
  • általánosítani és rendszerezni az elméleti anyagot.
• Fejlődési:
  • fejlessze a mentális számolási készségeket;
  • a logikus gondolkodás fejlesztése;
  • fejlessze gondolatai világos és világos kifejezésének képességét;
  • a tanulók matematikai beszédének fejlesztése a szóbeli munka során az elméleti anyag reprodukálására;
  • szélesíteni a hallgatók látókörét.
• Nevelési:
  • a rendelkezésre álló információkkal való munka képességének fejlesztése;
  • a téma iránti tisztelet kialakítása;
  • fejleszteni kell a barátja meghallgatásának képességét, a kölcsönös segítségnyújtás és a kölcsönös támogatás érzését;
  • hozzájárulnak a tanulók önkontrolljának és kölcsönös kontrolljának kialakulásához.

Felszereltség és láthatóság: számítógép, multimédiás projektor, vetítővászon, interaktív prezentáció, kártyák fejben számoláshoz, zsírkréták .

Az óra felépítése:

AZ ÓRÁK ALATT

I. Szervezési mozzanat

II. Az óra témájának és célkitűzéseinek kommunikálása

A tanulók órára való felkészültségének ellenőrzése. Az óra céljainak és tervének kommunikálása a tanulókkal.

– Óránk témája: „A cselekvések tulajdonságai racionális számokkal”, és kérem, olvassa el kórusban az óra mottóját:

Igen, a tudás útja nem zökkenőmentes.
De iskolaéveinkből tudjuk,
Több a rejtély, mint a válasz,
És a keresésnek nincs határa!

És ma az órán barátságosan és aktívan készítünk egy matematikai újságot. Én leszek a főszerkesztő, te pedig a lektorok. Hogyan érti ennek a szónak a jelentését?
Mások teszteléséhez rendszereznünk kell tudásunkat a „Racionális számokkal végzett műveletek tulajdonságai” témakörben.

Újságunkat pedig „Rational Numbers”-nak hívják. És lefordítva tatárra?
Azt hallottam, hogy jól tud angolul, de hogy hívják az angolok ezt az újságot?
Bemutatom önöknek egy újság elrendezését, amely a következő részekből áll: olvasás kórusban: „ Kérdeznek - válaszolunk», « napi hírek», « Projektek aukciója», « Aktuális jelentés», « Tudod...?".

III. Referencia ismeretek frissítése

Szóbeli munka:

Az első részben „Kérnek – mi válaszolunk” ellenőriznünk kell azoknak az információknak a pontosságát, amelyeket tudósítóink levélben küldtek nekünk. Nézze meg alaposan, és mondja el, milyen szabályokat kell megjegyeznünk az információk ellenőrzéséhez.

1. Negatív számok összeadásának szabálya:

"Két negatív szám hozzáadásához: 1) hozzá kell adnia a moduljaikat, 2) a kapott szám elé mínuszjelet kell tennie."

2. A különböző előjelű számok felosztásának szabálya:

„A különböző előjelű számok osztásakor: 1) el kell osztani az osztó modulusát az osztó modulusával, 2) a kapott szám elé mínusz jelet kell tenni.”

3. Szabály két negatív szám szorzására:

"Két negatív szám szorzásához meg kell szorozni az abszolút értéküket."

4. A különböző előjelű számok szorzásának szabálya:

"Két különböző előjelű szám szorzásához meg kell szoroznia ezeknek a számoknak az abszolút értékét, és egy mínuszjelet kell tennie a kapott szám elé."

5. Negatív szám negatív számmal való osztásának szabálya:

"A negatív szám negatív számmal való osztásához el kell osztani az osztó modulusát az osztó modulusával."

6. Különböző előjelű számok összeadásának szabálya:

„Két különböző előjelű szám összeadásához 1) ki kell vonni a kisebbet a kifejezések nagyobb moduljából, 2) az eredményül kapott szám elé kell tenni annak a tagnak a jelét, amelynek modulja nagyobb.

1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7) . (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9 . 6 = – 54;
8) – 3,6 . 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18: (– 0,3) = 60;
10) – 3,7 . 0 = – 3,7. (0)

- Jó munkát végeztél.

IV. A fedett anyag megerősítése

– És most áttérünk a szakaszra "Napi hírek" Ennek a résznek a kitöltéséhez rendszerezni kell a számokkal kapcsolatos ismereteinket.
- Milyen számokat ismer? (Természetes, töredékes, racionális)
– Milyen számokat tekintünk racionálisnak? (Pozitív, negatív és 0)
– A racionális számok milyen tulajdonságait ismeri? (Kommutatív, asszociatív és disztributív, szorzás 1-gyel, szorzás 0-val)
- Most pedig térjünk át az írásbeli munkára. Kinyitottuk a füzeteinket, felírtuk a számot, az órai munkát, a „Racionális számokkal végzett műveletek tulajdonságai” témát.
Ezekkel a tulajdonságokkal egyszerűsítjük a kifejezéseket:

A) x + 32 – 16 = x + 16
B) – x – 18 – 23 = – x – 41
B) – 1,5 + x – 20 = – 21,5 + x
D) 12 – 26 + x = x – 14
D) 1,7 + 3,6 – x = 5,3 – x
E) – x + a + 6,1 – a + 2,8 – 8,8 = – x + 0,1

– A következő példák pedig még racionálisabb döntést kívánnak meg magyarázással.

– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961

1961.04.12. – Mondanak valamit a kapott válaszok?
50 éve, 1961. április 12-én Jurij Gagarin felrepült az űrbe. Zainszk városának is megvan a maga űrtörténete: 1961. március 9-én a VOSTOK-4 űrszonda 1. számú leszállási modulja lágy landolást hajtott végre a Zainszk régióban található Stary Tokmak falu közelében egy emberi próbabábuval, egy kutyával. és más kis állatok a fedélzeten. Ennek az eseménynek a tiszteletére pedig emlékművet állítanak a környékünkön. Most versenybizottság működik a városban. A pályázaton 3 projekt vesz részt, ezek vannak Ön előtt a képernyőn. És most aukciót fogunk tartani a projektekről.
Kérlek benneteket, hogy szavazzatok a kedvenc projektetekre. A szavazatod döntő lehet.

V. Testnevelési perc

– Tapssal, taposva fejti ki véleményét. Próbáljunk! Három taps és három bélyeg.
- Próbáljuk meg újra. Így kezdődik a szavazás:

– Szavazatunkat az 1. számú elrendezésre adjuk
– Szavazatunkat a 2. számú elrendezésre adjuk
– Szavazatunkat a 3. számú elrendezésre adjuk
- És most az összes elrendezést együtt.
– A sz. tördelés nyert... Köszönöm, felvettem a szavazataitokat (felemeli a mobiltelefont és megmutatja a gyerekeknek) és továbbadom a szavazatszámláló bizottságnak.
- Jól van, köszönöm. És az előre nem kevésbé fontos - Aktuális jelentés.

VI. Felkészülés az államvizsgára

Kategóriában "Jelenlegi jelentés" Levelet kaptam, ahol egy diák a 9. osztályos érettségi feladatok megoldásában kér segítséget. Mindenkinek önállóan kell megoldania a feladatokat, teszteket.<1. melléklet > az asztalaikon:

1. Oldja meg az egyenleteket:

a) (x + 3) (x – 6) = 0

1) x = 3, x = – 6
2) x = – 3, x = – 6
3) x = – 3, x = 6