Milyen alakváltozásoknál érvényesül a Hooke-törvény? A Hooke-törvény levezetése különböző típusú alakváltozásokra

A deformációk fajtái

Deformáció a test alakjának, méretének vagy térfogatának változása. A deformációt a testre ható külső erők okozhatják. Azokat a deformációkat, amelyek a külső erők testre gyakorolt ​​hatásának megszűnése után teljesen eltűnnek, nevezzük rugalmasés olyan deformációk, amelyek akkor is fennállnak, ha a külső erők már nem hatnak a testre, műanyag. Megkülönböztetni húzó igénybevétel vagy tömörítés(egyoldalú vagy átfogó), hajlítás, csavarodásÉs váltás.

Rugalmas erők

Ha egy szilárd test deformálódik, a kristályrács csomópontjain található részecskéi (atomok, molekulák, ionok) elmozdulnak egyensúlyi helyzetükből. Ezt az elmozdulást a szilárd test részecskéi közötti kölcsönhatási erők ellensúlyozzák, amelyek ezeket a részecskéket bizonyos távolságban tartják egymástól. Ezért bármilyen rugalmas deformáció esetén belső erők lépnek fel a testben, amelyek megakadályozzák annak deformációját.

Rugalmas erőknek nevezzük azokat az erőket, amelyek a testben annak rugalmas alakváltozása során keletkeznek, és a test részecskéinek az alakváltozás okozta elmozdulási iránya ellen irányulnak. Rugalmas erők hatnak a deformált test bármely szakaszán, valamint a testtel való érintkezési pontján, ami deformációt okoz. Egyoldali feszítés vagy összenyomás esetén a rugalmas erőt az egyenes vonal mentén irányítják, amely mentén a külső erő hat, és a test deformációját okozza, ennek az erőnek az irányával ellentétes és a test felületére merőlegesen. A rugalmas erők természete elektromos.

Megvizsgáljuk a rugalmas erők fellépését egy szilárd test egyoldalú feszítése és összenyomása során.

Hooke törvénye

A rugalmas erő és a test rugalmas alakváltozása közötti kapcsolatot (kis alakváltozásoknál) Newton kortársa, Hooke angol fizikus állapította meg kísérletileg. A Hooke-törvény matematikai kifejezése az egyoldalú feszültség- (kompressziós) deformációra a következő formában:

ahol f a rugalmas erő; x - a test megnyúlása (deformációja); k a test méretétől és anyagától függő arányossági együttható, amelyet merevségnek nevezünk. A merevség SI mértékegysége newton per méter (N/m).

Hooke törvénye az egyoldali feszültség (kompresszió) esetében a következőképpen van megfogalmazva: A test deformációja során fellépő rugalmas erő arányos a test nyúlásával.

Tekintsünk egy kísérletet, amely a Hooke-törvényt illusztrálja. Legyen a hengeres rugó szimmetriatengelye egybeesve az Ax egyenessel (20. ábra, a). A rugó egyik vége az A pontban van rögzítve a tartóban, a második pedig szabadon van, és az M test hozzá van rögzítve. Ha a rugó nem deformálódott, a szabad vége a C pontban található az x koordináta origója, amely a rugó szabad végének helyzetét határozza meg.

Nyújtsuk meg a rugót úgy, hogy a szabad vége a D pontban legyen, melynek koordinátája x > 0: Ezen a ponton a rugó rugalmas erővel hat az M testre.

Most nyomjuk össze a rugót úgy, hogy a szabad vége a B pontban legyen, melynek koordinátája x

Az ábráról látható, hogy a rugó rugalmas erejének ax tengelyre való vetülete mindig az x koordináta előjelével ellentétes előjellel rendelkezik, mivel a rugalmas erő mindig a C egyensúlyi helyzet felé irányul. A 20. b ábra a Hooke-törvény grafikonját mutatja. A rugó x nyúlásának értékeit az abszcissza tengelyen, a rugalmas erő értékeket az ordináta tengelyen ábrázoljuk. Az fx függése x-től lineáris, így a grafikon a koordináták origóján áthaladó egyenes.

Nézzünk egy másik kísérletet.

Egy vékony acélhuzal egyik végét rögzítsük egy konzolhoz, a másik végére függesztjük fel a terhelést, melynek súlya a huzalra merőlegesen ható F külső húzóerő (21. ábra).

Ennek az erőnek a huzalra gyakorolt ​​hatása nemcsak az F erőmodulustól függ, hanem az S vezeték keresztmetszeti területétől is.

A rá ható külső erő hatására a huzal deformálódik és megnyúlik. Ha a nyújtás nem túl nagy, akkor ez a deformáció rugalmas. Egy rugalmasan deformált huzalban f egységnyi rugalmas erő keletkezik. Newton harmadik törvénye szerint a rugalmas erő egyenlő nagyságú és ellentétes irányú a testre ható külső erővel, azaz.

f fel = -F (2,10)

A rugalmasan deformált test állapotát az s értékkel jellemezzük, ún normál mechanikai igénybevétel(vagy röviden csak normál feszültség). A normál feszültség s egyenlő a rugalmas erő modulusának a test keresztmetszeti területéhez viszonyított arányával:

s = f fel /S (2,11)

Legyen a kinyújtatlan huzal kezdeti hossza L 0. F erő kifejtése után a huzal megnyúlt, hossza L-lel egyenlő lett. A DL = L - L 0 mennyiséget ún. abszolút huzalnyúlás. Az e = DL/L 0 (2.12) mennyiséget nevezzük relatív testnyúlás. e>0 húzó igénybevételre, e nyomófeszültségre< 0.

A megfigyelések azt mutatják, hogy kis alakváltozások esetén a normál feszültség s arányos a relatív e nyúlással:

s = E|e|. (2,13)

A (2.13) képlet a Hooke-törvény írásának egyik fajtája az egyoldalú feszültségre (kompresszióra). Ebben a képletben a relatív nyúlást modulo-ként veszik, mivel lehet pozitív és negatív is. A Hooke-törvényben szereplő E arányossági együtthatót longitudinális rugalmassági modulusnak (Young modulus) nevezik.

Határozzuk meg a Young-modulus fizikai jelentését. Amint a (2.12) képletből látható, e = 1 és L = 2L 0 DL = L 0 esetén. A (2.13) képletből az következik, hogy ebben az esetben s = E. Következésképpen Young modulusa számszerűen egyenlő azzal a normál feszültséggel, amely a testben keletkezne, ha a test hossza megkétszereződik. (ha a Hooke-törvény igaz lenne ekkora alakváltozásra). A (2.13) képletből az is világos, hogy az SI-ben a Young-modulus pascalban van kifejezve (1 Pa = 1 N/m2).

Folytatjuk néhány téma áttekintését a „Mechanika” részből. Mai találkozónkat a rugalmasság erejének szenteljük.

Ez az erő, amely a mechanikus órák működésének hátterében áll, a daruk vontatókötelei és kábelei, az autók és vonatok lengéscsillapítói. Labdával és teniszlabdával, ütővel és egyéb sporteszközökkel tesztelik. Hogyan keletkezik ez az erő, és milyen törvényeknek engedelmeskedik?

Hogyan jön létre a rugalmas erő?

Egy meteorit a gravitáció hatására a földre zuhan és... megfagy. Miért? Eltűnik a gravitáció? Nem. A hatalom nem lehet csak úgy eltűnni. A talajjal való érintkezés pillanatában egy másik, egyenlő nagyságú és ellentétes irányú erő egyensúlyozza ki.És a meteorit, akárcsak a föld felszínén lévő többi test, nyugalomban marad.

Ez az egyensúlyozó erő a rugalmas erő.

Ugyanazok a rugalmas erők jelennek meg a testben minden típusú deformáció során:

• ficamok;
• tömörítés;
• váltás;
• hajlítás;
• csavarodás.

Az alakváltozásból eredő erőket rugalmasnak nevezzük.

A rugalmas erő természete

A rugalmas erők kialakulásának mechanizmusát csak a 20. században magyarázták meg, amikor az intermolekuláris kölcsönhatás erőinek természetét megállapították. A fizikusok „rövid karú óriásnak” nevezték őket. Mi értelme ennek a szellemes összehasonlításnak?

Az anyag molekulái és atomjai között vonzó és taszító erők lépnek fel. Ez a kölcsönhatás az összetételükben található apró részecskéknek köszönhető, amelyek pozitív és negatív töltéseket hordoznak. Ezek az erők elég erősek(innen az óriás szó), de csak nagyon rövid távolságokon jelennek meg(rövid karokkal). A molekula átmérőjének háromszorosával egyenlő távolságban ezek a részecskék vonzzák, „örömtelien” rohannak egymás felé.

De miután megérintették, elkezdenek aktívan távolodni egymástól.

A húzó deformációval a molekulák közötti távolság megnő. Az intermolekuláris erők általában csökkentik. Összenyomva a molekulák közelebb kerülnek egymáshoz, ami taszítást generál a molekulák között.

És mivel minden típusú deformáció összenyomásra és feszültségre redukálható, ezekkel a megfontolásokkal magyarázható a rugalmas erők megjelenése bármilyen alakváltozás esetén.

A Hooke által létrehozott törvény

Egy honfitársa és kortársa a rugalmassági erőket és azok kapcsolatát más fizikai mennyiségekkel vizsgálta. A kísérleti fizika megalapítójának tartják.

Tudós Körülbelül 20 évig folytatta kísérleteit. Kísérleteket végzett a feszítőrugók deformációjával, különféle terheléseket függesztve rájuk. A felfüggesztett terhelés hatására a rugó megfeszült, amíg a benne fellépő rugalmas erő kiegyenlítette a terhelés súlyát.

Számos kísérlet eredményeként a tudós arra a következtetésre jut: az alkalmazott külső erő egyenlő nagyságú rugalmas erő megjelenését idézi elő, amely ellentétes irányba hat.

Az általa megfogalmazott törvény (Hooke törvénye) így hangzik:

A test deformációja során fellépő rugalmas erő egyenesen arányos az alakváltozás nagyságával, és a részecskék mozgásával ellentétes irányban irányul.

A Hooke-törvény képlete:

• F a modulus, azaz a rugalmas erő számértéke;
• x - testhossz változás;
• k a merevségi együttható a test alakjától, méretétől és anyagától függően.

A mínusz jel azt jelzi, hogy a rugalmas erő a részecskék elmozdulásával ellentétes irányban irányul.

Minden fizikai törvénynek megvannak a maga alkalmazási korlátai. A Hooke által felállított törvény csak akkor alkalmazható rugalmas alakváltozásokra, amikor a terhelés eltávolítása után a test alakja és mérete teljesen helyreáll.

Műanyag testekben (gyurma, nedves agyag) ilyen helyreállítás nem történik.

Minden szilárd anyag bizonyos fokig rugalmas. A gumi az első helyet foglalja el a rugalmasság, a második helyen -. Még a nagyon rugalmas anyagok is mutathatnak plasztikus tulajdonságokat bizonyos terhelések hatására. Ezt drót készítésére és összetett formájú részek speciális bélyegzőkkel történő kivágására használják.

Ha van kézi konyhai mérleged (acélgyár), akkor valószínűleg rá van írva a maximális súly, amire tervezték. Mondjuk 2 kg. Nagyobb teher akasztásakor a bennük található acélrugó soha nem nyeri vissza alakját.

A rugalmas erő munkája

Mint minden erő, a rugalmasság ereje, képes munkát végezni.És nagyon hasznos. Ő megvédi a deformálódó testet a pusztulástól. Ha nem tud megbirkózni ezzel, a test megsemmisül. Például eltörik a daru kábele, egy húr a gitáron, egy rugalmas szalag a csúzliban, egy rugó a mérlegen. Ennek a munkának mindig van mínusz előjele, hiszen maga a rugalmas erő is negatív.

Utószó helyett

A rugalmas erőkre és alakváltozásokra vonatkozó információk birtokában könnyedén válaszolhatunk néhány kérdésre. Például miért van a nagy emberi csontoknak csőszerű szerkezete?

Hajlítsa meg a fém vagy fa vonalzót. Konvex része húzó deformációt, homorú része kompressziós deformációt tapasztal. A középső rész nem bírja a terhelést. A természet kihasználta ezt a körülményt, csőcsontokkal látta el az embereket és az állatokat. Mozgás közben a csontok, izmok és inak mindenféle deformációt tapasztalnak. A csontok csőszerű szerkezete jelentősen megkönnyíti a súlyukat anélkül, hogy az erősségüket egyáltalán befolyásolná.

A gabonafélék szárának szerkezete azonos. A széllökések a talajhoz hajlítják őket, és rugalmas erők segítik őket kiegyenesedni. Egyébként a bicikli váza is csövekből, nem rudakból készül: sokkal kisebb a súlya, és fém spórolható.

A Robert Hooke által felállított törvény szolgált alapul a rugalmasság elméletének megalkotásához. Az elmélet képleteivel végzett számítások lehetővé teszik biztosítják a sokemeletes épületek és egyéb építmények tartósságát.

Ha ez az üzenet hasznos volt számodra, szívesen látlak

Hooke törvényét az angol Robert Hooke fedezte fel a 17. században. A rugó nyújtásával kapcsolatos felfedezés a rugalmasságelmélet egyik törvénye, és fontos szerepet játszik a tudományban és a technológiában.

A Hooke-törvény definíciója és képlete

Ennek a törvénynek a megfogalmazása a következő: a test alakváltozásának pillanatában fellépő rugalmas erő arányos a test nyúlásával, és ellentétes irányban irányul a test részecskéinek a többi részecskéhez viszonyított mozgásával az alakváltozás során.

A törvény matematikai jelölése így néz ki:

Rizs. 1. Hooke-törvény képlete

Ahol Fupr– ennek megfelelően a rugalmas erő, x– a test megnyúlása (az a távolság, amennyivel a test eredeti hossza megváltozik), ill k– arányossági együttható, úgynevezett testmerevség. Az erőt Newtonban mérik, a test nyúlását pedig méterben.

A merevség fizikai jelentésének feltárásához helyettesítenie kell azt az egységet, amelyben a nyúlást mérik a Hooke-törvény képletében - 1 m, miután korábban megkapta a k kifejezést.

Rizs. 2. Testmerevség képlete

Ez a képlet azt mutatja, hogy a test merevsége számszerűen megegyezik a testben (rugóval) fellépő rugalmas erővel, amikor 1 m-rel deformálódik. Ismeretes, hogy a rugó merevsége függ az alakjától, a méretétől és az anyagától amelyből a test készül.

Rugalmas erő

Most, hogy tudjuk, melyik képlet fejezi ki Hooke törvényét, meg kell értenünk annak alapvető értékét. A fő mennyiség a rugalmas erő. Egy bizonyos pillanatban jelenik meg, amikor a test deformálódni kezd, például amikor egy rugót összenyomnak vagy megfeszítenek. A gravitációval ellentétes irányban irányul. Amikor a rugalmas erő és a testre ható gravitációs erő egyenlővé válik, a támasz és a test megáll.

A deformáció visszafordíthatatlan változás, amely a test méretében és alakjában következik be. A részecskék egymáshoz viszonyított mozgásához kapcsolódnak. Ha egy személy puha székben ül, akkor a szék deformálódik, azaz megváltozik a tulajdonságai. Különböző típusúak: hajlítás, nyújtás, összenyomás, nyírás, csavarás.

Mivel a rugalmas erő eredete kapcsolatban áll az elektromágneses erőkkel, tudnia kell, hogy a molekulák és az atomok – minden testet alkotó legkisebb részecskék – vonzzák és taszítják egymást. Ha a részecskék közötti távolság nagyon kicsi, akkor a taszító erő hat rájuk. Ha ezt a távolságot növeljük, akkor a vonzási erő hat rájuk. Így a vonzó és taszító erők közötti különbség rugalmas erőkben nyilvánul meg.

A rugalmas erő magában foglalja a talajreakció erőt és a testsúlyt. A reakció erőssége különösen érdekes. Ez az az erő, amely a testre hat, ha bármilyen felületre helyezzük. Ha a test fel van függesztve, akkor a rá ható erőt a menet feszítő erejének nevezzük.

A rugalmas erők jellemzői

Amint azt már megtudtuk, a rugalmas erő az alakváltozás során keletkezik, és az eredeti formák és méretek visszaállítására irányul szigorúan a deformált felületre merőlegesen. A rugalmas erőknek is számos jellemzője van.

• deformáció során fordulnak elő;
• két deformálható testben jelennek meg egyszerre;
• merőlegesek arra a felületre, amelyhez képest a test deformálódik.
• ellentétes irányúak a testrészecskék elmozdulásával.

A jog alkalmazása a gyakorlatban

A Hooke-törvényt mind a műszaki, mind a csúcstechnológiás eszközökben, valamint magában a természetben alkalmazzák. Például az óraszerkezetekben, a szállítás során a lengéscsillapítókban, a kötelekben, a gumiszalagokban és még az emberi csontokban is megtalálhatók a rugalmas erők. A Hooke-törvény elve a dinamométer, az erő mérésére szolgáló eszköz alapja.

Hányan gondolkoztunk már azon, hogy a tárgyak milyen elképesztően viselkednek, ha cselekszik rájuk?

Például miért nyúlhat hosszan egy szövet, ha különböző irányba nyújtjuk, majd egy pillanatban hirtelen elszakad? És miért sokkal nehezebb ugyanazt a kísérletet ceruzával végrehajtani? Mitől függ egy anyag ellenállása? Hogyan állapítható meg, hogy milyen mértékben deformálódhat vagy nyúlhat?

Egy angol kutató feltette magának ezeket és sok más kérdést több mint 300 évvel ezelőtt, és megtalálta a válaszokat, amelyeket ma „Hooke törvénye” általános néven egyesítenek.

Kutatásai szerint minden anyagnak van ún rugalmassági együttható. Ez egy olyan tulajdonság, amely lehetővé teszi, hogy az anyag bizonyos határokon belül megnyúljon. A rugalmassági együttható állandó érték. Ez azt jelenti, hogy minden anyag csak egy bizonyos szintű ellenállást képes elviselni, amely után eléri a visszafordíthatatlan deformáció szintjét.

Általában a Hooke-törvény a következő képlettel fejezhető ki:

ahol F a rugalmas erő, k a már említett rugalmassági együttható, és /x/ az anyag hosszának változása. Mit jelent ez a mutató változása? Az erő hatására egy bizonyos vizsgált tárgy, legyen az zsinór, gumi vagy bármilyen más, megváltozik, megnyúlik vagy összenyomódik. A hosszváltozás ebben az esetben a vizsgált objektum kezdeti és végső hossza közötti különbség. Vagyis a rugó (gumi, húr stb.) mennyit nyúlt/nyomott össze.

Innen egy adott anyag hosszának és állandó rugalmassági együtthatójának ismeretében megtalálhatja azt az erőt, amellyel az anyagot megfeszítik, ill. rugalmas erő, ahogyan Hooke törvényét gyakran nevezik.

Vannak olyan speciális esetek is, amikor ez a törvény a szabványos formában nem használható. Az alakváltozási erő méréséről beszélünk nyírási körülmények között, vagyis olyan helyzetekben, amikor az alakváltozást az anyagra szögben ható bizonyos erő hozza létre. Hooke nyírási törvénye a következőképpen fejezhető ki:

ahol τ a kívánt erő, G egy állandó együttható, amelyet nyírási rugalmassági modulusként ismerünk, y a nyírási szög, az az összeg, amellyel a tárgy dőlésszöge megváltozott.

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK

1) Mit nevezünk deformációnak? Milyen típusú deformációkat ismer?

Deformáció- a testrészecskék relatív helyzetének változása a mozgásukkal összefüggésben. A deformáció az atomok közötti távolságok változásának és az atomtömbök átrendeződésének az eredménye. A deformációt jellemzően az atomközi erők nagyságának változása kíséri, melynek mértéke a rugalmas feszültség.

A deformáció típusai:

Feszülés-kompresszió- anyagok ellenállásában - egy rúd vagy gerenda hosszirányú deformációja, amely akkor lép fel, ha a hossztengelye mentén terhelés éri (a rá ható erők eredője merőleges a rúd keresztmetszetére és áthalad tömegközéppontján keresztül).

A feszítés a rúd megnyúlását okozza (szakadás és maradó alakváltozás is lehetséges), az összenyomás a rúd megrövidülését okozza (stabilitásvesztés és hosszirányú hajlítás lehetséges).

hajlít- olyan alakváltozás, amelyben az egyenes rudak tengelyeinek görbülete vagy ívelt rudak tengelyeinek görbülete megváltozik. A hajlítás a gerenda keresztmetszete hajlítónyomatékainak előfordulásához kapcsolódik. Közvetlen hajlításról akkor beszélünk, ha a gerenda adott keresztmetszetében a hajlítónyomaték a szakasz egyik fő központi tehetetlenségi tengelyén áthaladó síkban hat. Abban az esetben, ha a hajlítónyomaték hatássíkja a gerenda adott keresztmetszetében nem megy át ennek a szakasznak egyik fő tehetetlenségi tengelyén sem, ferdenek nevezzük.

Ha a közvetlen vagy ferde hajlítás során csak egy hajlítónyomaték hat a gerenda keresztmetszetében, akkor ennek megfelelően tiszta egyenes vagy tiszta ferde hajlításról van szó. Ha a keresztmetszetben keresztirányú erő is hat, akkor keresztirányú egyenes vagy keresztirányú ferde kanyar van.

Csavarodás- a test deformációjának egyik fajtája. Akkor fordul elő, ha a testet a keresztirányú síkban erőpár (pillanat) formájában terhelés éri. Ebben az esetben csak egy belső erőtényező jelenik meg a test keresztmetszetein - a nyomaték. A feszítő-kompressziós rugók és tengelyek a csavaráshoz működnek.

A szilárd test deformációjának típusai. A deformáció rugalmas és képlékeny.

Deformáció A szilárd test lehet térfogatváltozás, hőtágulás, mágnesezettség (magnetostrikciós hatás), elektromos töltés megjelenése (piezoelektromos hatás) vagy külső erők hatásának eredménye.

Rugalmasnak nevezzük az alakváltozást, ha az azt okozó terhelés eltávolítása után eltűnik, és képlékenynek nevezzük, ha a terhelés eltávolítása után nem tűnik el (legalábbis teljesen). Minden valódi szilárd anyag, ha deformálódik, kisebb-nagyobb mértékben plasztikus tulajdonságokkal rendelkezik. Bizonyos feltételek mellett a testek plasztikus tulajdonságai elhanyagolhatók, ahogy az a rugalmasság elméletében történik. Kellő pontossággal a szilárd test rugalmasnak tekinthető, vagyis addig nem mutat észrevehető képlékeny alakváltozásokat, amíg a terhelés meg nem halad egy bizonyos határt.

A képlékeny alakváltozás természete a hőmérséklettől, a terhelés időtartamától vagy az alakváltozási sebességtől függően változhat. A testre ható állandó terhelés mellett az alakváltozás idővel változik; ezt a jelenséget kúszásnak nevezik. A hőmérséklet emelkedésével a kúszási sebesség nő. A kúszás speciális esetei a relaxáció és a rugalmas utóhatás. A plasztikus deformáció mechanizmusát magyarázó elméletek egyike a kristályok diszlokációinak elmélete.

A Hooke-törvény levezetése különböző típusú alakváltozásokra.

Nettó eltolódás: Tiszta torzió:

4) Mit nevezünk nyírási modulusnak és torziós modulusnak, mi a fizikai jelentésük?

Nyírási modulus vagy merevségi modulus (G vagy μ) egy anyag azon képességét jellemzi, hogy ellenáll az alakváltozásoknak, miközben megtartja térfogatát; ez a nyírófeszültség és a nyírási alak aránya, a síkok közötti derékszög változásaként definiálva, amely mentén a nyírófeszültségek hatnak). A nyírási modulus a viszkozitási jelenség egyik összetevője.

Nyírási modulus: Torziós modulus:

5) Mi a Hooke-törvény matematikai kifejezése? Milyen mértékegységekben mérik a rugalmassági modulust és a feszültséget?

Pa-ban mérve, - Hooke törvénye