Az inverz trigonometrikus függvény bizonyításának deriváltja. A szinusz származéka: (sin x)′

Bemutatjuk a szinusz - sin(x) derivált képletének bizonyítását és levezetését. Példák a sin 2x, szinusz négyzet és kocka deriváltjainak kiszámítására. Az n-edrendű szinusz deriváltjának képletének levezetése.

Az x változóra vonatkozó derivált x szinuszából egyenlő x koszinuszával:
(sin x)′ = cos x.

Bizonyíték

A szinusz deriváltjának képletének levezetéséhez a derivált definícióját használjuk:
.

Ennek a határnak a megtalálásához a kifejezést úgy kell átalakítanunk, hogy ismert törvényekre, tulajdonságokra és szabályokra redukáljuk. Ehhez négy tulajdonságot kell ismernünk.
1) Az első figyelemre méltó határ jelentése:
(1) ;
2) A koszinuszfüggvény folytonossága:
(2) ;
3) Trigonometrikus képletek. A következő képletre lesz szükségünk:
(3) ;
4) Limit tulajdonság:
Ha és , akkor
(4) .

Alkalmazzuk ezeket a szabályokat a korlátunkra. Először transzformáljuk az algebrai kifejezést
.
Ehhez alkalmazzuk a képletet
(3) .
A mi esetünkben
;
;
;
;
.

.
.

Akkor
.

Most végezzük el a helyettesítést.

.

Nál nél , . Alkalmazzuk az első figyelemre méltó határt (1):

Végezzük el ugyanazt a helyettesítést, és használjuk a folytonosság tulajdonságát (2):

Mivel a fent kiszámított határértékek léteznek, a (4) tulajdonságot alkalmazzuk:
A szinusz deriváltjának képlete bebizonyosodott. Példák Nézzünk egyszerű példákat a szinust tartalmazó függvények deriváltjainak megtalálására. A következő függvények származékait találjuk: y = sin 2x; y =.

bűn 2 x

és y = bűn 3 x.

1. példa

Keresse meg a származékát
bűn 2x
Megoldás
.
Először keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:

(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.

Jelentkezünk.

Itt .

Válasz
(sin 2x)′ = 2 cos 2x. Példák.

1. példa

2. példa
.
Keresse meg a szinusz négyzetének deriváltját:
.
y =

.
Először keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:

Írjuk át az eredeti függvényt érthetőbb formában:
.

(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.

Keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:

Alkalmazzuk a komplex függvény deriváltjának képletét.
(sin 2x)′ = 2 cos 2x. y = sin 2x; y =.

Alkalmazhatja az egyik trigonometriai képletet. Akkor

3. példa Keresse meg a kocka szinusz deriváltját: Magasabb rendű származékok
.

Vegye figyelembe, hogy a származéka

.
Először keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:

bűn x Keresse meg a kocka szinusz deriváltját: az első sorrend szinuszon keresztül a következőképpen fejezhető ki:
(5) .

Keressük meg a másodrendű deriváltot egy komplex függvény deriváltjának képletével:

Most már észrevehetjük ezt a különbséget

Tegyük fel, hogy az (5) képlet egy bizonyos értékre érvényes.

Bizonyítsuk be, hogy ebből az következik, hogy az (5) képlet teljesül -re.
.
Írjuk fel az (5) képletet ide:

.
Először keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:
Ezt az egyenletet az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával különböztetjük meg:
.
Így találtuk:

Ha behelyettesítjük, akkor ez a képlet az (5) alakot veszi fel.

A képlet bevált.

A geometria és a matematika tanfolyamától kezdve az iskolások megszokták, hogy a derivált fogalmát az ábra területén, a differenciálokon, a függvényhatárokon és a határokon keresztül közvetítik számukra. Próbáljuk meg más szemszögből nézni a derivált fogalmát, és határozzuk meg, hogyan kapcsolhatók össze a derivált és a trigonometrikus függvények.

Tehát vegyünk egy tetszőleges görbét, amelyet az y = f(x) absztrakt függvény ír le.
Képzeljük el, hogy a menetrend egy turistaút térképe. Az ábrán látható ∆x (delta x) növekmény az út egy bizonyos távolsága, ∆y pedig az út tengerszint feletti magasságának változása.

Ekkor kiderül, hogy a ∆x/∆y arány fogja jellemezni az útvonal összetettségét az útvonal minden szakaszán. Ezt az értéket megtanulva magabiztosan megmondhatja, hogy meredek-e az emelkedés/leszállás, szükség lesz-e mászófelszerelésre, és kell-e a turistáknak bizonyos fizikai edzés. De ez a mutató csak egy kis ∆x intervallumra lesz érvényes.

Ha az utazás szervezője a nyomvonal kezdő és végpontjának értékeit veszi fel, azaz ∆x egyenlő az útvonal hosszával, akkor nem tud objektív adatot szerezni a nehézségi fokról. az utazásról. Ezért szükség van egy másik grafikon felépítésére, amely jellemzi az útvonal változásának sebességét és „minőségét”, vagyis meghatározza a ∆x/∆y arányt az útvonal minden „méterére”.

Ez a grafikon egy adott útvonal vizuális deriváltja, és objektíven írja le annak változásait minden egyes érdeklődésre számot tartó intervallumban. Ezt nagyon egyszerű ellenőrizni, a ∆x/∆y érték nem más, mint az x és y meghatározott értékére felvett differenciál. A differenciálást ne konkrét koordinátákra, hanem a függvény egészére alkalmazzuk:

Derivatív és trigonometrikus függvények

A trigonometrikus függvények elválaszthatatlanul kapcsolódnak a deriváltokhoz. Ez a következő rajzból érthető. A koordinátatengely ábrája az Y = f (x) függvényt mutatja - a kék görbét.

Húzzunk egy egyenest a K és L pontokon, és alkossunk egy KLN derékszögű háromszöget. Ha gondolatban mozgatja az LN szegmenst az Y = f (x) grafikon mentén, akkor az L és N pontok a K (x0; f (x0)) értékekre irányulnak. Nevezzük ezt a pontot a gráf feltételes kezdetének - határértéknek, de ha a függvény végtelen, legalább az egyik intervallumon ez a tendencia is végtelen lesz, és a határértéke közel van a 0-hoz.

Ennek a tendenciának a természete leírható a kiválasztott pont y = kx + b érintőjével vagy az eredeti dy függvény deriváltjának grafikonjával - a zöld egyenessel.

De hol van itt a trigonometria?! Minden nagyon egyszerű, vegye figyelembe a KLN derékszögű háromszöget. Egy adott K pont differenciálértéke az α vagy ∠K szög érintője:

Ily módon leírhatjuk a derivált geometriai jelentését és kapcsolatát a trigonometrikus függvényekkel.

Származtatott képletek trigonometrikus függvényekhez

A derivált meghatározásakor meg kell jegyezni a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens transzformációit.

Az utolsó két képlet nem hiba, a lényeg az, hogy különbség van aközött, hogy egy egyszerű argumentum és egy függvény deriváltját azonos minőségben definiáljuk.

Nézzünk meg egy összehasonlító táblázatot a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens deriváltjaival:

Az arcszinusz, arkoszinusz, arctangens és arckotangens származékaira is származtattak képleteket, bár rendkívül ritkán használják őket:

Érdemes megjegyezni, hogy a fenti képletek nyilvánvalóan nem elegendőek a tipikus USE-feladatok sikeres megoldásához, amelyet a trigonometrikus kifejezés deriváltjának megtalálására vonatkozó konkrét példa megoldásakor mutatunk be.

Gyakorlat: Meg kell találni a függvény deriváltját, és meg kell találni az értékét π/4-re:

Megoldás: Az y’ megtalálásához fel kell idézni az eredeti függvény deriválttá alakításának alapképleteit, mégpedig.

A táblázat legelső képletének származtatásánál a derivált függvény definíciójából indulunk ki egy ponton. Vegyük hova x- bármilyen valós szám, azaz x– tetszőleges szám a függvény definíciós tartományából. Írjuk fel a függvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határát:

Megjegyzendő, hogy a határjel alatt a kifejezést kapjuk, amely nem a nulla nullával osztva bizonytalansága, mivel a számláló nem végtelenül kicsi értéket tartalmaz, hanem pontosan nullát. Más szóval, egy állandó függvény növekménye mindig nulla.

És így, állandó függvény deriváltjaegyenlő nullával a teljes definíciós tartományban.

Hatványfüggvény származéka.

A hatványfüggvény deriváltjának képlete alakja , ahol a kitevő p– bármilyen valós szám.

Először bizonyítsuk be a természetes kitevő képletét, azaz for-t p = 1, 2, 3, …

A derivált definícióját fogjuk használni. Írjuk fel egy hatványfüggvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határát:

A számlálóban a kifejezés egyszerűsítéséhez forduljunk a Newton-binomiális képlethez:

Ennélfogva,

Ez bizonyítja a hatványfüggvény származékának képletét természetes kitevőre.

Exponenciális függvény deriváltja.

Bemutatjuk a derivált képlet levezetését a definíció alapján:

Elérkeztünk a bizonytalansághoz. Kibővítéséhez új változót vezetünk be, és itt: . Akkor . Az utolsó átmenetben az új logaritmikus bázisra való áttérés képletét használtuk.

Helyettesítsük be az eredeti határt:

Ha felidézzük a második figyelemre méltó határt, akkor az exponenciális függvény deriváltjának képletéhez jutunk:

Logaritmikus függvény deriváltja.

Bizonyítsuk be a logaritmikus függvény deriváltjának képletét mindenkire x a definíciós tartományból és az alap összes érvényes értékéből a logaritmus A származékos definíció szerint a következőkkel rendelkezünk:

Mint észrevette, a bizonyítás során a transzformációkat a logaritmus tulajdonságaival hajtották végre. Egyenlőség igaz a második figyelemre méltó határ miatt.

Trigonometrikus függvények származékai.

A trigonometrikus függvények deriváltjainak képleteinek származtatásához fel kell idéznünk néhány trigonometriai képletet, valamint az első figyelemre méltó határértéket.

A szinuszfüggvény deriváltjának definíciója szerint .

Használjuk a szinuszok különbségét:

Már csak az első figyelemre méltó határhoz kell fordulni:

Így a függvény deriváltja bűn x Van cos x.

A koszinusz deriváltjának képlete pontosan ugyanígy van bizonyítva.

Ezért a függvény deriváltja cos x Van –sin x.

A tangens és a kotangens derivált táblázatához képleteket fogunk levezetni bizonyított differenciálási szabályokkal (tört deriváltja).

Hiperbolikus függvények származékai.

A differenciálás szabályai és az exponenciális függvény deriváltjának képlete a deriválttáblázatból lehetővé teszik, hogy a hiperbolikus szinusz, koszinusz, tangens és kotangens deriváltjaira képleteket származtassunk.

Az inverz függvény deriváltja.

A bemutatás közbeni félreértések elkerülése végett jelöljük alsó indexben annak a függvénynek az argumentumát, amellyel a differenciálás történik, vagyis a függvény deriváltja f(x)Által x.

Most fogalmazzuk meg szabály egy inverz függvény deriváltjának megtalálásához.

Hagyjuk a függvényeket y = f(x)És x = g(y) kölcsönösen inverz, az intervallumokon és ill. Ha egy pontban van a függvénynek véges nem nulla deriváltja f(x), akkor a pontban van az inverz függvény véges deriváltja g(y), és . Egy másik bejegyzésben .

Ez a szabály bármelyikre újrafogalmazható x intervallumból, akkor kapjuk .

Ellenőrizzük ezeknek a képleteknek az érvényességét.

Keressük meg a természetes logaritmus inverz függvényét (Itt y egy függvény, és x- érvelés). Miután megoldotta ezt az egyenletet x, megkapjuk (itt x egy függvény, és y– érvelése). vagyis és kölcsönösen inverz függvények.

A származékok táblázatából azt látjuk És .

Győződjön meg arról, hogy az inverz függvény deriváltjainak keresésére szolgáló képletek ugyanarra az eredményre vezetnek:

Bemutatjuk az inverz trigonometrikus függvények deriváltjait és képleteik származtatását. A magasabb rendű származékokra vonatkozó kifejezéseket is megadjuk. Hivatkozások a képletek levezetésének részletesebb leírását tartalmazó oldalakra.

Először is levezetjük az arcszinus derivált képletét. Hadd
(sin 2x)′ = 2 cos 2x. arcsin x.
Mivel az arcszinusz a szinusz inverz függvénye, akkor
.
Itt y x függvénye.
.
Differenciálj az x változóval:
.
Ezt az egyenletet az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával különböztetjük meg:
.

Jelentkezünk:
.
Mert akkor.
Akkor
.

És az előző képlet a következő alakot ölti:
.
.
.

Innen Pontosan így kaphatja meg az ív koszinusz deriváltjának képletét. Könnyebb azonban inverz trigonometrikus függvényekre vonatkozó képletet használni: Akkor

Részletesebb leírást az „Arkszinus és arkoszinus származékainak származtatása” oldalon mutatunk be. Ott meg van adva

származékok származtatása kétféle módon

- fent tárgyaltuk és az inverz függvény deriváltjának képlete szerint.
(sin 2x)′ = 2 cos 2x. Arktangens és arckotangens származékainak származtatása.
Ugyanígy megtaláljuk az arctangens és az arckotangens származékait is.
.
Hadd
.
arctan x
.
Ezt az egyenletet az összetett függvények megkülönböztetésének szabályával különböztetjük meg:
.

Az arktangens az érintő inverz függvénye:
.

Differenciálj az x változóval:

- fent tárgyaltuk és az inverz függvény deriváltjának képlete szerint.
.
Az összetett függvény deriváltjának képletét alkalmazzuk:
.
Az ívkotangens származéka:
;
.
Arcsine származékok
.
Már megtaláltuk az arcszinusz elsőrendű deriváltját:
.

Differenciálással megtaláljuk a másodrendű származékot:

A következő formában is írható:

Innen egy differenciálegyenletet kapunk, amely teljesül az első és másodrendű arszinus deriváltokkal:
,
Ennek az egyenletnek a differenciálásával magasabb rendű származékokat találhatunk.
;
.
Először keressük meg a legegyszerűbb rész származékát:

Az n-edrendű arcszinusz származéka
.

Az n-edrendű arcszinusz deriváltja a következő alakú:

ahol egy fokú polinom.
.
A képletek határozzák meg:
.

A polinom kielégíti a differenciálegyenletet:

Az n-edrendű arkkozin származéka
.

Bontsuk fel a törtet legegyszerűbb formájára:

.
Itt van a képzeletbeli egység, .

Egyszer megkülönböztetünk, és a törtet közös nevezőre hozzuk:

.

Behelyettesítve a következőket kapjuk:
.

Az n-edrendű arctangens származéka

Így az n-edik rendű arctangens deriváltja többféleképpen ábrázolható:
;
.

Az ívkotangens származékai

Legyen most.
.
Alkalmazzuk az inverz trigonometrikus függvényeket összekötő képletet:
.

Ekkor az arctangens n-edrendű deriváltja csak előjelben különbözik az arctangens deriváltjától:
.

Helyettesítve a következőket találjuk:
Referenciák: