A derékszögű háromszög két derékszöget bezáró oldalát lábnak nevezzük. A háromszög derékszöggel ellentétes leghosszabb oldalát hipotenusznak nevezzük. A hypotenus észleléséhez ismernie kell a lábak hosszát.

Utasítás

1. A lábak és a hipotenusz hossza a Pitagorasz-tétel által leírt összefüggéssel függ össze. Algebrai megfogalmazás: „Egy derékszögű háromszögben a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzeteinek összegével A Pitagorasz-képlet így néz ki: c2 = a2 + b2, ahol c a a hypotenus hossza, a és b a lábak hossza.

2. A lábak hosszának ismeretében a Pitagorasz-tétel szerint meg lehet találni egy derékszögű háromszög befogóját: c = ?(a2 + b2).

3. Példa. Az egyik láb hossza 3 cm, a másiké 4 cm Négyzetük összege 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? = 25 cm?.A befogó hossza esetünkben egyenlő 25 cm négyzetgyökével? – 5 cm, ezért a hypotenus hossza 5 cm.

A hipotenusz egy derékszögű háromszögnek az az oldala, amely a 90 fokos szöggel szemben van. A hosszának kiszámításához elegendő ismerni az egyik láb hosszát és a háromszög egyik hegyesszögének méretét.

Utasítás

1. Egy derékszögű háromszög híres szárával és hegyesszögével a befogó mérete megegyezhet a szár és ennek a szögnek a koszinusz/szinuszának arányával, ha ez a szög vele ellentétes/szomszédos: h = C1 (vagy C2)/sin?; h = C1 (vagy C2 )/cos?. Példa: Legyen egy ABC derékszögű háromszög, amelynek van egy C derékszöge, és legyen B szöge 60 fok, A szög pedig 30 fok A BC láb 8 cm. Meg kell találnunk az AB hipotenusz hosszát. Ehhez használhatja a fent javasolt módszerek bármelyikét: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

A hipotenusz a téglalap leghosszabb oldala háromszög. A derékszöggel szemben helyezkedik el. Módszer egy téglalap befogójának megtalálására háromszög attól függ, hogy milyen kezdeti adatok vannak.

Utasítás

1. Ha téglalap alakú lábaink vannak háromszög, akkor a téglalap befogójának hossza háromszög Pitagorasz-tétel segítségével fedezhető fel - a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzetösszegével: c2 = a2 + b2, ahol a és b a lábak hossza egy téglalap alakú háromszög .

2. Ha megrajzoljuk az egyik szárat és egy hegyesszöget, akkor a hipotenusz megtalálásának képlete attól függ, hogy a hajtott lábhoz képest melyik szög - szomszédos (a láb közelében helyezkedik el) vagy ellentétes (szemben helyezkedik el). szomszédos szög, a befogó egyenlő a szár arányával ennek a szögnek a koszinuszával: c = a/cos?, az E az ellentétes szög, a hipotenusz egyenlő a szár és a szög szinuszának arányával: c = a/sin?.

Videó a témáról

A hipotenusz egy derékszögű háromszög oldala, amely a derékszöggel szemben helyezkedik el. Ez a derékszögű háromszög leghosszabb oldala. Kiszámítható a Pitagorasz-tétellel vagy a trigonometrikus függvények képleteivel.

Utasítás

1. A derékszögű háromszög azon oldalait, amelyek egy derékszöggel szomszédosak, lábaknak nevezzük. Az ábrán a lábak jelölése AB és BC. Legyen megadva mindkét láb hossza. Jelöljük őket |AB|-ként és |BC|. Az |AC| hipotenusz hosszának meghatározásához a Pitagorasz-tételt használjuk. E tétel szerint a lábak négyzeteinek összege egyenlő a befogó négyzetével, azaz. ábránk jelölésében |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. A képletből azt találjuk, hogy az AC hipotenusz hosszát |AC|-ként találjuk = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Nézzünk egy példát. Legyen megadva a lábak hossza |AB|. = 13, |BC| = 21. A Pitagorasz-tétel alapján azt találjuk, hogy |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. A hipotenusz hosszának meghatározásához az összeg négyzetgyökét kell venni a lábak négyzeteinek, azaz. 610. számtól: |AC| =?610. Az egész számok négyzettáblázatából kiderül, hogy a 610-es szám nem tökéletes négyzete egyetlen egész számnak sem. Ahhoz, hogy megkapjuk a befogó hosszának végső értékét, próbáljuk meg a teljes négyzetet kimozdítani a gyökjel alól. Ehhez adjuk meg a 610-es számot. 610 = 2 * 5 * 61. A primitív számok táblázatát tekintve azt látjuk, hogy a 61 egy primitív szám. Ebből következően a 610-es szám utólagos csökkentése irreális. Megkapjuk a végeredményt |AC| = ?610 Ha a hipotenusz négyzete egyenlő lenne például 675-tel, akkor?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Ha egy hasonló csökkentés elfogadható, hajtson végre fordított ellenőrzést – négyzetezze a végösszeget, és hasonlítsa össze a kezdeti értékkel.

3. Ismertesse velünk az egyik lábat és a vele szomszédos szöget. Hogy pontosak legyünk, legyen ezek az |AB| oldal és szög?. Ekkor használhatjuk a trigonometrikus függvény koszinusz képletét - egy szög koszinusza megegyezik a szomszédos láb és a hipotenusz arányával. Azok. a mi jelölésünkben cos ? = |AB| / |AC|. Innen megkapjuk az |AC| hipotenúza hosszát = |AB| / cos ?.Ha ismerjük az oldalt |BC| és a szög?, akkor a képletet használjuk egy szög szinuszának kiszámításához - a szög szinusza egyenlő a szemközti oldal és a hipotenuzus arányával: sin? = |BC| / |AC|. Azt találtuk, hogy a hipotenusz hossza |AC| = |BC| /kötözősaláta?.

4. Az érthetőség kedvéért nézzünk egy példát. Legyen megadva a láb hossza |AB|. = 15. És a szög? = 60°. Kapunk |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Nézzük meg, hogyan ellenőrizheti az eredményt a Pitagorasz-tétel segítségével. Ehhez ki kell számítanunk a második szakasz hosszát |BC|. A tg szög érintőjének képletét használjuk? = |BC| / |AC|, megkapjuk a |BC|-t = |AB| *tg? = 15 * cser 60° = 15 * ?3. Ezután alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt, így 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Az ellenőrzés befejeződött.

Hasznos tanács
A hipotenúza kiszámítása után ellenőrizze, hogy a kapott érték kielégíti-e a Pitagorasz-tételt.

A különféle mennyiségek kiszámításához elvégzett számos számítás között megtalálható egy háromszög hipotenúza megtalálása. Emlékezzünk vissza, hogy a háromszög olyan poliéder, amelynek három szöge van. Az alábbiakban bemutatunk néhány módszert a különböző háromszögek hipotenúzusának kiszámítására.

Először nézzük meg, hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög befogóját. Azok számára, akik elfelejtették, a 90 fokos szögű háromszöget derékszögű háromszögnek nevezik. A háromszögnek azt az oldalát, amely a derékszög ellentétes oldalán helyezkedik el, hipotenusznak nevezzük. Ráadásul ez a háromszög leghosszabb oldala. Az ismert értékektől függően a hipotenúza hosszát a következőképpen számítjuk ki:

• A lábak hossza ismert. A hipotenuszt ebben az esetben a Pitagorasz-tétel segítségével számítjuk ki, amely így hangzik: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Ha egy BKF derékszögű háromszöget tekintünk, ahol BK és KF lábak, FB pedig a hipotenuzus, akkor FB2= BK2+ KF2. A fentiekből az következik, hogy a hipotenusz hosszának kiszámításakor a lábak mindegyik értékét négyzetre kell emelni. Ezután add hozzá a tanult számokat, és vond ki a négyzetgyököt az eredményből.

Tekintsünk egy példát: Adott egy derékszögű háromszög. Az egyik lába 3 cm, a másik 4 cm. Keresse meg a hipotenuszt. A megoldás így néz ki.

FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2=9cm2+16cm2=25cm2. Kihúzzuk és FB=5 cm-t kapunk.

• Ismeretes a láb (BK) és a vele szomszédos szög, amelyet a hipotenusz és ez a láb alkot. Hogyan találjuk meg a háromszög hipotenuszát? Jelöljük az ismert α szöget. Azon tulajdonság szerint, amely kimondja, hogy a láb hosszának és a befogó hosszának aránya megegyezik a láb és a befogó közötti szög koszinuszával. Egy háromszöget tekintve ez így írható fel: FB= BK*cos(α).
• A láb (KF) és az azonos α szög ismert, csak most ellentétes lesz. Hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt ebben az esetben? Tekintsük át a derékszögű háromszög azonos tulajdonságait, és derítsük ki, hogy a láb hosszának és a befogó hosszának aránya megegyezik a szárral szemközti szög szinuszával. Vagyis FB= KF * sin (α).

Nézzünk egy példát. Adott ugyanaz a BKF derékszögű háromszög FB hipotenuszával. Legyen az F szög egyenlő 30 fokkal, a második B szög 60 fokkal. Ismert a BK láb is, aminek a hossza 8 cm-nek felel meg A szükséges érték a következőképpen számítható ki.

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

• Ismert (R), derékszögű háromszög körül leírva. Hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt egy ilyen probléma mérlegelésekor? A derékszögű háromszög köré körülírt kör tulajdonságából ismert, hogy egy ilyen kör középpontja egybeesik a befogó pontjával, felosztva azt. Egyszerű szavakkal, a sugár a hipotenusz felének felel meg. Ezért a hipotenusz két sugárral egyenlő. FB=2*R. Ha adunk egy hasonló feladatot, amelyben nem a sugár, hanem a medián ismert, akkor figyelni kell a derékszögű háromszög köré körülírt kör azon tulajdonságára, amely szerint a sugár egyenlő a megrajzolt mediánnal. a hypotenushoz. Mindezen tulajdonságok felhasználásával a probléma ugyanúgy megoldódik.

Ha az a kérdés, hogyan találjuk meg egy egyenlő szárú derékszögű háromszög hipotenuszát, akkor ugyanahhoz a Pitagorasz-tételhez kell fordulnia. De először is ne feledje, hogy az egyenlő szárú háromszög olyan háromszög, amelynek két azonos oldala van. Derékszögű háromszög esetén az oldalak egyenlőek. Nálunk van FB2= BK2+ KF2, de mivel BK= KF, a következők vannak: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Amint láthatja, a Pitagorasz-tétel és a derékszögű háromszög tulajdonságainak ismeretében nagyon egyszerű megoldani azokat a problémákat, amelyekben ki kell számítani a hipotenusz hosszát. Ha nehéz megjegyezni az összes tulajdonságot, tanuljon meg kész képleteket, helyettesítve az ismert értékeket, amelyekbe kiszámíthatja a hipotenúza kívánt hosszát.

A derékszögű háromszögekkel kapcsolatos téma tanulmányozása után a tanulók gyakran elfelejtik az összes információt a róluk. Beleértve azt is, hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt, nem beszélve arról, hogy mi az.

És hiába. Mert a jövőben kiderül, hogy a téglalap átlója ez a hipotenusz, és ezt meg kell találni. Vagy egy kör átmérője egybeesik egy háromszög legnagyobb oldalával, amelynek egyik szöge derékszögű. És e tudás nélkül lehetetlen megtalálni.

Több lehetőség is van a háromszög befogópontjának megtalálására. A módszer megválasztása a mennyiségi probléma kezdeti adathalmazától függ.

1. számú módszer: mindkét oldal adott

Ez a legemlékezetesebb módszer, mert a Pitagorasz-tételt használja. Csak néha a tanulók elfelejtik, hogy ezt a képletet használják a hipotenusz négyzetének meghatározására. Ez azt jelenti, hogy magának az oldalnak a megtalálásához négyzetgyököt kell vennie. Ezért a hipotenúza képlete, amelyet általában „c” betűvel jelölnek, így fog kinézni:

c = √ (a 2 + b 2), ahol az „a” és „b” betűk egy derékszögű háromszög mindkét szárát jelentik.

2. számú módszer: ismert a lábszár és a vele szomszédos szög

Annak érdekében, hogy megtanulja megtalálni a hipotenuszt, emlékeznie kell a trigonometrikus függvényekre. Mégpedig koszinusz. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy az „a” láb és a vele szomszédos α szög adott.

Most emlékeznünk kell arra, hogy egy derékszögű háromszög szögének koszinusza egyenlő a két oldal arányával. A számláló a láb értékét fogja tartalmazni, a nevező pedig a hipotenúzust. Ebből következik, hogy ez utóbbi a következő képlettel számítható ki:

c = a / cos α.

3. módszer: adott egy láb és egy vele szemben fekvő szög

Annak érdekében, hogy ne tévesszen meg a képletekben, vezesse be ennek a szögnek a jelölését - β, és hagyja meg az oldalt ugyanazt az „a”-t. Ebben az esetben szüksége lesz egy másik trigonometrikus függvényre - a szinuszra.

Az előző példához hasonlóan a szinusz egyenlő a láb és a hipotenusz arányával. A módszer képlete így néz ki:

c = a / sin β.

Annak érdekében, hogy ne keveredjen össze a trigonometrikus függvényekben, emlékezzen egy egyszerű emlékeztetőre: ha a probléma a pr-rel foglalkozik O ellentétes szögben, akkor együtt kell használni És hát, ha - ó pr És fekve, majd arra O sinus. Ügyeljen a kulcsszavak első magánhangzóira. Párokat alkotnak o-i vagy és róla.

4. számú módszer: a körülírt kör sugara mentén

Most, hogy megtudja, hogyan találja meg a hipotenuszt, emlékeznie kell egy derékszögű háromszög köré körülírt kör tulajdonságára. Ez így szól. A kör középpontja egybeesik a hipotenusz közepével. Másképp fogalmazva, a derékszögű háromszög leghosszabb oldala egyenlő a kör átlójával. Vagyis dupla sugár. A probléma képlete így fog kinézni:

c = 2 * r, ahol az r betű az ismert sugarat jelöli.

Ezek mind lehetséges módszerek egy derékszögű háromszög befogójának megtalálására. Minden konkrét feladatnál az adathalmaznak leginkább megfelelő módszert kell alkalmazni.

1. számú példafeladat

Feltétel: egy derékszögű háromszögben a mediánok mindkét oldalra vannak húzva. A nagyobb oldalra húzott hossza √52. A másik medián hossza √73. Ki kell számolni a hipotenúzát.

Mivel a mediánok háromszögben vannak megrajzolva, a lábakat két egyenlő szegmensre osztják. Az érvelés és a hipotenusz megtalálásának megkönnyítése érdekében több jelölést kell bevezetnie. A nagyobb láb mindkét felét jelölje „x”, a másikat „y” betűvel.

Most két derékszögű háromszöget kell figyelembe vennünk, amelyek hipotenuszai az ismert mediánok. Számukra kétszer meg kell írni a Pitagorasz-tétel képletét:

(2y) 2 + x 2 = (√52) 2

(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.

Ez a két egyenlet egy rendszert alkot két ismeretlennel. Ezek megoldása után könnyű lesz megtalálni az eredeti háromszög lábait és belőlük a hipotenuzát.

Először mindent a második hatalomra kell emelnie. Kiderül:

4 év 2 + x 2 = 52

y 2 + 4x 2 = 73.

A második egyenletből világos, hogy y 2 = 73 - 4x 2. Ezt a kifejezést be kell cserélni az elsőre, és ki kell számítani az „x”-et:

4 (73 - 4x 2) + x 2 = 52.

Az átalakítás után:

292 - 16 x 2 + x 2 = 52 vagy 15x 2 = 240.

Az utolsó kifejezésből x = √16 = 4.

Most kiszámolhatja az „y”-t:

y 2 = 73 - 4 (4) 2 = 73 - 64 = 9.

A feltételeknek megfelelően kiderül, hogy az eredeti háromszög lábai 6 és 8. Ez azt jelenti, hogy használhatja az első módszer képletét, és megtalálhatja a hipotenuzist:

√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Válasz: hypotenus egyenlő 10.

2. számú példafeladat

Feltétel: számítsa ki a téglalapba húzott átlót, amelynek rövidebb oldala egyenlő 41-gyel. Ha ismert, hogy a szöget azokra osztja, amelyek 2-1-hez kapcsolódnak.

Ebben a feladatban a téglalap átlója a 90º-os háromszög leghosszabb oldala. Tehát minden azon múlik, hogyan találjuk meg a hipotenuszt.

A probléma a szögekkel van. Ez azt jelenti, hogy a trigonometrikus függvényeket tartalmazó képletek egyikét kell használnia. Először meg kell határoznia az egyik hegyesszög méretét.

A feltételben tárgyalt szögek közül a kisebbik legyen α. Ekkor a derékszög, amelyet az átlóval osztunk, egyenlő lesz 3α-val. Ennek a matematikai jelölése így néz ki:

Ebből az egyenletből könnyen meghatározható α. 30º lesz. Ezenkívül a téglalap kisebbik oldalával szemben fog feküdni. Ezért szüksége lesz a 3. módszerben leírt képletre.

A hipotenusz egyenlő a láb és az ellenkező szög szinuszának arányával, azaz:

41 / sin 30º = 41 / (0,5) = 82.

Válasz: A hipotenúza 82.

Utasítás

Legyen ismert egy derékszögű háromszög egyik lába. Tegyük fel, hogy |BC| = b. Ekkor használhatjuk a Pitagorasz-tételt, miszerint a hipotenusz egyenlő a lábak négyzeteinek összegével: a^2 + b^2 = c^2. Ebből az egyenletből megtaláljuk az ismeretlen oldalt |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Legyen ismert egy derékszögű háromszög egyik szöge, tegyük fel ∟α. Ekkor az ABC derékszögű háromszög AB és BC pontja megtalálható trigonometrikus függvényekkel. Így azt kapjuk, hogy a szinusz ∟α egyenlő a szemközti oldal sin α = b / c arányával, a koszinusz ∟α egyenlő a szomszédos oldal és a hipotenuzus arányával cos α = a / c. Innen megtaláljuk a szükséges oldalhosszakat: |AB| = a = c * cos α, |BC| = b = c * sin α.

Legyen ismert a k = a / b lábak aránya. A feladatot trigonometrikus függvényekkel is megoldjuk. Az a / b arány nem más, mint a ∟α kotangens: a szomszédos oldal ctg α = a / b. Ebben az esetben ebből az egyenlőségből a = b * ctg α-t fejezzük ki. És behelyettesítjük az a^2 + b^2 = c^2-t a Pitagorasz-tételbe:

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. Ha b^2-t kivesszük a zárójelekből, azt kapjuk, hogy b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. És innen könnyen megkapjuk a b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1) láb hosszát, ahol k a lábak adott aránya.

Analógia szerint, ha a b / a lábak aránya ismert, a feladatot az α = b / a tangens tangens segítségével oldjuk meg. A b = a * tan α értéket behelyettesítjük az a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2 Pitagorasz-tételbe. Ezért a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), ahol k a lábak adott aránya.

Nézzünk speciális eseteket.

∟α = 30°. Aztán |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Aztán |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Videó a témáról

jegyzet

A négyzetgyököket pozitív előjellel vonjuk ki, mert hossza nem lehet negatív. Ez nyilvánvalónak tűnik, de ez a hiba nagyon gyakori, ha automatikusan megoldja a problémát.

Hasznos tanács

Egy derékszögű háromszög lábainak megtalálásához célszerű a redukciós képleteket használni: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Források:

• Bradis táblázatok a trigonometrikus függvények értékeinek megtalálásához

A derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseket a matematika trigonometriának nevezett ága tárgyalja. A derékszögű háromszög oldalainak megtalálásához elegendő ismerni a Pitagorasz-tételt, a trigonometrikus függvények definícióit, és van néhány eszköz a trigonometrikus függvények értékeinek megtalálásához, például egy számológép vagy Bradis-táblázat. Nézzük meg az alábbiakban a derékszögű háromszög oldalainak megtalálásának főbb problémáit.

Szükséged lesz

• Számológép, Bradis táblázatok.

Utasítás

Ha megadja az egyik hegyesszöget, például az A-t és az alsó szöget, akkor a lábak megtalálhatók az alapvető trigonometrikus definíciókból:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Ha az egyik hegyesszög, például A, és az egyik szár, például a, adott, akkor a hipotenuzát és a másik szárat a következő összefüggésekből számítjuk ki: b=a*tg(A), c= a*sin(A).

Hasznos tanács

Ha nem ismeri a számításhoz szükséges egyik szög szinuszának vagy koszinuszának értékét, használhatja a Bradis táblákat, amelyek nagyszámú szög esetén megadják a trigonometrikus függvények értékeit. Ezenkívül a legtöbb modern számológép képes szögek szinuszainak és koszinuszainak kiszámítására.

Források:

• hogyan kell kiszámítani egy derékszögű háromszög oldalát 2019-ben

3. tipp: Hogyan találjunk szöget, ha ismerjük a derékszögű háromszög oldalait

Tre négyzet, melynek egyik szöge derékszögű (90°-kal egyenlő), téglalapnak nevezzük. Leghosszabb oldala mindig a derékszöggel szemben helyezkedik el, és hipotenusznak, a másik kettőt pedig hipotenúzának hívják oldalain lábaknak nevezik. Ha ennek a három oldalnak a hossza ismert, akkor keresse meg a három összes szögének értékét négyzetés nem lesz nehéz, mivel valójában csak az egyik szöget kell kiszámítani. Ennek többféle módja van.

Utasítás

Használja a mennyiségek (α, β, γ) kiszámításához a trigonometrikus függvények definícióit egy téglalap alakú háromszögön keresztül. Ilyen például egy hegyesszög szinusza, mint a szemközti láb hosszának és az alsó rész hosszának aránya. Ez azt jelenti, hogy ha a lábak hossza (A és B) és a befogó (C), akkor például az A lábbal szemben fekvő α szög szinuszát a hossz elosztásával találhatjuk meg. oldalainÉs a hossz miatt oldalain C (hipoténusz): sin(α)=A/C. Miután megtudta ennek a szögnek a szinuszának értékét, a szinusz - arcszinusz inverz függvényének segítségével megtalálhatja értékét fokokban. Vagyis α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Ugyanígy megtalálhatja a hegyesszög méretét egy háromszögben. négyzet Igen, de ez nem szükséges. Mivel az összes szög összege három négyzet a 180°, és háromban négyzet Ha az egyik szög 90°, akkor a harmadik szög értéke a 90° és a talált szög különbségeként számítható ki: β=180°-90°-α=90°-α.

A szinusz definiálása helyett használhatja a hegyesszög koszinuszának definícióját, amely a kívánt szöggel szomszédos láb hosszának és a hipotenusz hosszának arányában van megfogalmazva: cos(α)=B/ C. És itt használja az inverz trigonometrikus függvényt (arccosine) a szög meghatározásához fokban: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Ezek után az előző lépéshez hasonlóan már csak a hiányzó szög értékét kell megkeresni: β=90°-α.

Használhat hasonló érintőt is - ezt a kívánt szöggel ellentétes láb hosszának a szomszédos láb hosszához viszonyított arányával fejezzük ki: tan(α)=A/B. Határozza meg ismét a szöget fokokban az inverz trigonometrikus függvény segítségével -: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). A hiányzó szög képlete változatlan marad: β=90°-α.

Videó a témáról

4. tipp: Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög oldalhosszát

Egy háromszöget derékszögűnek tekintünk, ha az egyik szöge derékszögű. Oldal háromszög a derékszöggel szemben elhelyezkedő hipotenusznak, a másik kettőt pedig hipotenusznak nevezzük oldalain- lábak. Egy téglalap oldalainak hosszának meghatározása háromszög, többféle módszert is használhat.

Utasítás

A harmadikat megtudhatod oldalain, ismerve a másik két oldal hosszát háromszög. Ez megtehető a Pitagorasz-tétel segítségével, amely kimondja, hogy egy négyzet egy téglalap háromszög lábai négyzeteinek összege. (a² = b²+ c²). Innentől kezdve kifejezhetjük egy téglalap minden oldalának hosszát háromszög:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Például egy téglalap alakúra háromszög ismert az a hypotenusa (18 cm) és az egyik láb hossza, például c (14 cm). Nak nek hossz másik oldalon 2 algebrai műveletet kell végrehajtania:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 cm
Válasz: a láb hossza √128 cm vagy körülbelül 11,3 cm

Akkor folyamodhat, ha ismeri egy adott téglalap hipotenuszának hosszát és az egyik hegyes pont méretét. háromszög. Legyen a hossza c és az egyik hegyesszög egyenlő α-val. Ebben az esetben keressen 2 másikat oldalain négyszögletes háromszög a következő képletekkel lesz lehetséges:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Megadhatja: a hipotenusz hossza 15 cm, az egyik hegyesszög 30 fok. A másik két oldal hosszának meghatározásához 2 lépést kell végrehajtania:
a = 15*sin30 = 15*0,5 = 7,5 cm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 cm (kb.)

A megtalálás legnem triviálisabb módja hossz oldalain négyszögletes háromszög- egy adott ábra kerületéről kifejezni:
P = a + b + c, ahol P a téglalap kerülete háromszög. Ebből a kifejezésből könnyű kifejezni hossz egy téglalap bármely oldala háromszög.

5. tipp: Hogyan találjuk meg a derékszögű háromszög szögét az összes oldal ismeretében

Mindhárom oldal közvetlen ismerete szén háromszög bőven elegendő bármely szögének kiszámításához. Annyi információ áll rendelkezésre, hogy még arra is lehetősége van, hogy kiválassza, mely feleket használja a számítások során, hogy az Önnek legmegfelelőbb trigonometrikus függvényt használja.

Utasítás

Ha szívesebben foglalkozik az arcszinusszal, használja a hipotenusz hosszát (C) - a leghosszabbat oldalain- és az a láb (A), amely a kívánt szöggel (α) szemben fekszik. Ennek a lábnak a hosszát elosztva a befogó hosszával megkapjuk a kívánt szög szinuszának értékét, és a szinusz inverz függvénye - az arcszinusz - a kapott értékből visszaállítja a szög értékét -ben. Ezért számításaiban használja a következőket: α = arcsin(A/C).

Az arcszinusz arkoszinuszra cseréléséhez használja a számításokhoz azon oldalak hosszát, amelyek a kívánt szöget (α) alkotják. Az egyik a hipotenusz (C), a másik pedig a láb (B). Definíció szerint a koszinusz a szög melletti szár hossza a hipotenusz hosszával, a koszinusz értékétől bezárt szög pedig az ív koszinuszfüggvény. Használja a következő számítási képletet: α = arccos(B/C).

Számításoknál használható. Ehhez szükség van a két rövid oldal hosszára - a lábakra. Egy hegyesszög (α) érintője egy egyenesben szén A háromszöget a vele szemben fekvő láb (A) és a szomszédos láb (B) hosszának aránya határozza meg. A fent leírt opciókkal analóg módon használja a következő képletet: α = arctan(A/B).

Képlet

Melyik háromszöget nevezzük derékszögű háromszögnek?

Többféle háromszög létezik. Némelyiknek mindegyik hegyesszöge van, másoknak egy tompa és két hegyesszögük van, másoknak pedig két hegyesszögük és egy egyenesük van. Ezen az alapon e geometriai formák minden típusát elnevezték: hegyesszögű, tompaszögű és téglalap alakú. Vagyis azt a háromszöget, amelyben az egyik szög 90°, derékszögű háromszögnek nevezzük. Van még egy, az elsőhöz hasonló dolog. Azt a háromszöget, amelynek két oldala merőleges, derékszögű háromszögnek nevezzük.

Hipoténusz és lábak

A hegyes- és tompaszögű háromszögekben a szögek csúcsait összekötő szakaszokat egyszerűen oldalaknak nevezzük. Az oldalnak más neve is van. A derékszöggel szomszédosakat lábaknak nevezzük. A derékszöggel ellentétes oldalt hipotenusznak nevezzük. A „hypotenuse” görög fordításban azt jelenti, hogy „szoros”, a „cathetus” pedig „merőleges”.

A hypotenusa és a lábak közötti kapcsolatok

A derékszögű háromszög oldalait bizonyos kapcsolatok kötik össze, ami nagyban megkönnyíti a számításokat. Például a lábak méretének ismeretében kiszámíthatja a hipotenusz hosszát. Ezt a kapcsolatot, amelyet a felfedező személyről neveztek el, Pitagorasz-tételnek nevezik, és így néz ki:

c2=a2+b2, ahol c a hypotenus, a és b a lábak. Vagyis a hipotenusz egyenlő lesz a lábak négyzeteinek összegének négyzetgyökével. Bármelyik láb megtalálásához elegendő kivonni a másik láb négyzetét a befogó négyzetéből, és a kapott különbségből kivonni a négyzetgyököt.

Szomszédos és ellentétes láb

Rajzolj egy derékszögű háromszöget DIA. A C betű általában a derékszög csúcsát jelöli, A és B - a hegyesszögek csúcsait. Az egyes szögekkel szemközti oldalakat célszerű a-nak, b-nek és c-nek nevezni a velük szemben lévő szögek neve után. Tekintsük az A szöget. Az a oldal vele szemben lesz, a b oldal pedig szomszédos. Az ellenkező oldal és a hipotenusz arányát ún. Ez a trigonometrikus függvény a következő képlettel számítható ki: sinA=a/c. A szomszédos láb és a hipotenusz arányát koszinusznak nevezzük. Kiszámítása a következő képlettel történik: cosA=b/c.

Így a szög és az egyik oldal ismeretében ezekkel a képletekkel kiszámíthatja a másik oldalt. Mindkét oldalt trigonometrikus kapcsolatok is összekötik. Az ellentétnek a szomszédhoz viszonyított arányát érintőnek, a szomszédos és az ellentétes arányát kotangensnek nevezzük. Ezeket az összefüggéseket a tgA=a/b vagy ctgA=b/a képletekkel fejezhetjük ki.

Mint tudják, a geometria nehéz tudomány, amely különös gondosságot és pontosságot igényel a problémák megoldásában. Sok olyan kifejezést és képletet, amelyet a későbbiekben összetettebb számításokhoz használunk, a 6-7. osztályos matematika tankönyvek tartalmazzák. Annak érdekében, hogy a trigonometrikus függvények tanulási folyamatát könnyebbé és élvezetesebbé tegyük, ebben a cikkben megvizsgálunk néhány rövid módszert a derékszögű háromszög befogójának kiszámítására.

Hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt a lábak alapján?

Emlékezzünk egy kis elméletre: a derékszögű háromszög egy lapos alak, amelynek három szöge van. Az egyik 90º-os magnitúdójú, oldalait lábnak és hipotenúzának nevezik. A derékszöggel ellentétes oldal a hipotenusz, a másik kettő pedig szomszédos láb. A felek fő játéka a Pitagorasz-tételben nyilvánul meg, amely szerint a hipotenusz egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Ez azonban csak zavarónak tűnik, mert a valóságban minden sokkal egyszerűbb.

Geometriai alakzat tulajdonságai

Mielőtt megtalálná a háromszög hipotenuszát, meg kell értenie, milyen jellemzői vannak ennek az ábrának. Tekintsük a főbbeket:

1. Egy derékszögű háromszögben mindkét hegyesszög 90°-ot tesz ki.
2. A 30°-os szöggel szemben fekvő láb a hypotenus méretének felével egyenlő.
3. Ha a láb egyenlő a hipotenusz felével, akkor a második szög értéke ugyanaz - 30º.

A derékszögű háromszögben többféleképpen is megtalálhatjuk a hipotenuszt. A legegyszerűbb megoldás a lábak segítségével történő számítás. Tegyük fel, hogy ismeri az A és B oldalak szárainak értékét. Ekkor a Pitagorasz-tétel jön a segítségünkre, amely azt mondja, hogy ha a láb minden értékét négyzetre emeljük, és a kapott adatokat összegezzük, akkor megtudjuk, hogy mi az hypotenus egyenlő. Tehát csak a négyzetgyök értéket kell kivonnunk:

Például, ha az A láb = 3 cm és a B láb = 4 cm, akkor a számítás így fog kinézni:

Hogyan lehet megtalálni a hipotenuszt egy szögben?

Egy másik módja annak, hogy megtudjuk, mi a befogó egy derékszögű háromszögben, ha egy adott szöget számolunk ki. Ehhez le kell vezetnünk az értéket a szinuszos képlet segítségével. Tegyük fel, hogy ismerjük a láb méretét (A) és az ellentétes szög értékét (α). Ekkor az egész oldatot egy képlet tartalmazza: C=A/sin(α).

Például, ha a láb hossza 40 cm, a szög pedig 45°, akkor a hipotenúza hossza a következőképpen származtatható:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

A kívánt érték egy adott szög koszinuszán keresztül is meghatározható. Tegyük fel, hogy ismerjük az egyik láb (B) és a hegyes szomszédos szög (α) értékét. Ezután a feladat megoldásához egy képletre lesz szüksége: C=B/cos(α).

Például, ha a láb hossza 50 cm, a szög pedig 45°, akkor a hipotenúza a következőképpen számítható ki:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Így megvizsgáltuk a háromszögben található hipotenusz meghatározásának fő módjait. Egy probléma megoldásánál fontos a rendelkezésre álló adatokra koncentrálni, akkor az ismeretlen mennyiség megtalálása meglehetősen egyszerű lesz. Csak néhány képletet kell ismernie, és a problémamegoldás folyamata egyszerűvé és élvezetessé válik.

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete