A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai párhuzamosak, azaz párhuzamos egyeneseken fekszenek (1. ábra).

1. tétel. A paralelogramma oldalainak és szögeinek tulajdonságairól. A paralelogrammában a szemközti oldalak egyenlőek, a szemközti szögek egyenlőek, és a paralelogramma egyik oldalával szomszédos szögek összege 180°.

Bizonyíték. Ebben az ABCD paralelogrammában rajzolunk egy AC átlót, és két ABC és ADC háromszöget kapunk (2. ábra).

Ezek a háromszögek egyenlőek, mivel ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (párhuzamos egyenesek keresztirányú szögei), és az AC oldal közös. Az Δ ABC = Δ ADC egyenlőségből az következik, hogy AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Az egyik oldallal szomszédos szögek összege, például az A és D szögek, egyoldalúként egyenlő 180°-kal. párhuzamos vonalakhoz. A tétel bizonyítást nyert.

Megjegyzés. A paralelogramma szemközti oldalainak egyenlősége azt jelenti, hogy a párhuzamosak által levágott párhuzamos szakaszok egyenlőek.

Következmény 1. Ha két egyenes párhuzamos, akkor az egyik egyenes minden pontja azonos távolságra van a másik egyenestől.

Bizonyíték. Valóban, legyen egy || b (3. ábra).

Rajzoljunk BA és CD merőlegeseket az a egyenesre a b egyenes két B és C pontjából. Mivel az AB || CD, akkor ábra ABCD paralelogramma, ezért AB = CD.

A két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes tetszőleges pontjától a másik egyenesig mért távolság.

A bebizonyítottak szerint egyenlő az egyik párhuzamos egyenes valamelyik pontjából a másik egyenesre húzott merőleges hosszával.

1. példa A paralelogramma kerülete 122 cm. Az egyik oldala 25 cm-rel nagyobb, mint a paralelogramma.

Megoldás. Az 1. tétel szerint a paralelogramma szemközti oldalai egyenlőek. Jelöljük a paralelogramma egyik oldalát x-szel, a másikat y-vel. Ekkor $$\left\(\begin(mátrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(mátrix)\jobbra feltétellel.$$ Ezt a rendszert megoldva x = 43, y = 18 Így tehát a paralelogramma oldalai 18, 43, 18 és 43 cm-esek.

2. példa

Megoldás. A 4. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Jelöljük AB-t x-szel, BC-t y-vel. A feltétel szerint a paralelogramma kerülete 10 cm, azaz 2(x + y) = 10, vagy x + y = 5. Az ABD háromszög kerülete 8 cm És mivel AB + AD = x + y = 5, majd BD = 8 - 5 = 3. Tehát BD = 3 cm.

3. példa Határozzuk meg a paralelogramma szögeit, tudva, hogy az egyik 50°-kal nagyobb, mint a másik.

Megoldás. Az 5. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Jelöljük az A szög mértékét x-szel. Ekkor a D szög fokmértéke x + 50°.

A BAD és ADC szögek egyoldalú belső szögek AB és DC párhuzamos vonalakkal és AD szekánssal. Ekkor ezeknek a megnevezett szögeknek az összege 180° lesz, azaz.
x + x + 50° = 180° vagy x = 65°. Így ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

4. példa A paralelogramma oldalai 4,5 dm és 1,2 dm. Egy hegyesszög csúcsából felezőt húzunk. Milyen részekre osztja a paralelogramma nagyobbik oldalát?

Megoldás. A 6. ábra feleljen meg a feladat feltételeinek.

Az AE egy paralelogramma hegyesszögének felezőpontja. Ezért ∠ 1 = ∠ 2.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.

Ez a definíció már elegendő, hiszen a paralelogramma többi tulajdonságai is ebből következnek, és tételek formájában bizonyítottak.

• A paralelogramma fő tulajdonságai a következők:
• a paralelogramma konvex négyszög;
• A paralelogrammának vannak ellentétes oldalai, amelyek páronként egyenlőek;
• A paralelogrammában a szemközti szögek páronként egyenlőek;

A paralelogramma átlóit kettéosztjuk a metszésponttal.

Parallelogramma - konvex négyszög Először bizonyítsuk be azt a tételt, hogy a paralelogramma egy konvex négyszög

. Egy sokszög konvex, ha bármelyik oldalát meghosszabbítják egyenessé, a sokszög összes többi oldala ennek az egyenesnek az ugyanazon az oldalán lesz.

Adjunk meg egy ABCD paralelogrammát, amelyben az AB a CD, a BC pedig az AD szemközti oldala. Ekkor a paralelogramma definíciójából következik, hogy AB || CD, BC || HIRDETÉS.

A párhuzamos szakaszoknak nincs közös pontja, és nem metszik egymást. Ez azt jelenti, hogy a CD az AB egyik oldalán fekszik. Mivel a BC szakasz az AB szakasz B pontját a CD szakasz C pontjával, az AD szakasz pedig az AB és CD többi pontját köti össze, a BC és AD szakaszok szintén az AB egyenes ugyanazon az oldalán helyezkednek el, ahol a CD. Így mindhárom oldal - CD, BC, AD - az AB ugyanazon az oldalán fekszik.

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy a paralelogramma másik oldalához képest a másik három oldal ugyanazon az oldalon fekszik.

A szemközti oldalak és a szögek egyenlőek A paralelogramma egyik tulajdonsága az A paralelogrammában a szemközti oldalak és a szemközti szögek páronként egyenlőek

A paralelogramma négyszög. Ez azt jelenti, hogy két átlója van. Mivel a paralelogramma konvex négyszög, bármelyikük két háromszögre osztja. Tekintsük az ABCD paralelogrammán az AC átló megrajzolásával kapott ABC és ADC háromszögeket.

Ezeknek a háromszögeknek van egy közös oldaluk - AC. A BCA szög egyenlő a CAD szöggel, csakúgy, mint a függőleges, ha BC és AD párhuzamosak. A BAC és az ACD szögek szintén megegyeznek a függőleges szögekkel, ha AB és CD párhuzamosak. Ezért ∆ABC = ∆ADC két szögnél és a köztük lévő oldalnál.

Ezekben a háromszögekben az AB oldal a CD oldalnak, a BC oldal pedig az AD oldalnak felel meg. Ezért AB = CD és BC = AD.

A B szög a D szögnek felel meg, azaz ∠B = ∠D. A paralelogramma A szöge két szög – ∠BAC és ∠CAD – összege. A C szög egyenlő ∠BCA-val és ∠ACD-vel. Mivel a szögpárok egyenlőek egymással, akkor ∠A = ∠C.

Így bebizonyosodott, hogy egy paralelogrammában a szemközti oldalak és a szögek egyenlőek.

Az átlók ketté vannak osztva

Mivel a paralelogramma konvex négyszög, két átlója van, és ezek metszik egymást. Legyen adott az ABCD paralelogramma, melynek AC és BD átlói az E pontban metszik egymást. Tekintsük az általuk alkotott ABE és CDE háromszögeket.

Ezeknek a háromszögeknek AB és CD oldalai megegyeznek a paralelogramma szemközti oldalaival. Az ABE szög egyenlő a CDE szöggel, amely keresztben fekszik az AB és CD párhuzamos egyenesekkel. Ugyanezen okból kifolyólag ∠BAE = ∠DCE. Ez azt jelenti, hogy két szögben ∆ABE = ∆CDE és a közöttük lévő oldal.

Azt is észreveheti, hogy az AEB és a CED szögek függőlegesek, ezért egymással is egyenlők.

Mivel az ABE és CDE háromszögek egyenlőek egymással, ezért minden hozzájuk tartozó elem egyenlő. Az első háromszög AE oldala a második CE oldalának felel meg, ami azt jelenti, hogy AE = CE. Hasonlóan BE = DE. Minden pár egyenlő szakasz egy paralelogramma átlóját alkotja. Így bebizonyosodott, hogy A paralelogramma átlóit metszéspontjuk felezi.

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. Ezenkívül a paralelogramma a következő tulajdonságokkal rendelkezik: a szemközti oldalak egyenlőek, a szemközti szögek egyenlőek, és az összes szög összege 360 ​​fok.

Szükséged lesz

• Geometria ismerete.

Utasítás

1. Képzeljük el, hogy a paralelogramma egyik szöge adott, és egyenlő A-val. Határozzuk meg a maradék 3 értékeit. A paralelogramma tulajdonsága szerint a szemközti szögek egyenlőek. Ez azt jelenti, hogy az adott szöggel bezárt szög egyenlő az adott szöggel, értéke pedig A-val.

2. Keressük meg a maradék két sarkot. Mivel egy paralelogrammában az összes szög összege 360 ​​fokkal, a szemközti szögek pedig egyenlőek egymással, így kiderül, hogy az adott oldallal azonos oldalhoz tartozó szög egyenlő (360 - 2A)/2. Nos, vagy a reform után 180 - A-t kapunk. Így egy paralelogrammában két szög egyenlő A-val, a másik két szög pedig 180 - A.

Figyel!
Egy szög értéke nem haladhatja meg a 180 fokot. A kapott szögértékek könnyen ellenőrizhetők. Ehhez adja össze őket, és ha az összeg 360, akkor minden helyesen kerül kiszámításra.

Hasznos tanácsok
A téglalap és a rombusz a paralelogramma speciális esetei, ezért minden szögszámítási tulajdonság és módszer érvényes rájuk.

Középszint

Paralelogramma, téglalap, rombusz, négyzet (2019)

1. Párhuzamos

Összetett szó "párhuzamos"? És mögötte egy nagyon egyszerű figura lapul.

Nos, két párhuzamos vonalat vettünk:

Még kettő keresztezve:

És belül van egy paralelogramma!

Milyen tulajdonságai vannak a paralelogrammának?

A paralelogramma tulajdonságai.

Vagyis mit lehet használni, ha a feladatnak paralelogrammát adunk?

Erre a kérdésre a következő tétel ad választ:

Rajzoljunk le mindent részletesen.

Mit jelent tétel első pontja? És a helyzet az, hogy ha VAN paralelogrammája, akkor biztosan lesz

A második pont azt jelenti, hogy ha VAN paralelogramma, akkor ismét minden bizonnyal:

Nos, és végül a harmadik pont azt jelenti, hogy ha VAN paralelogrammája, akkor feltétlenül tegye meg:

Látod, milyen bőséges a választék? Mit kell használni a problémában? Próbáljon meg a probléma kérdésére összpontosítani, vagy csak próbáljon meg mindent egyenként - néhány „kulcs” megteszi.

Most tegyünk fel magunknak egy másik kérdést: hogyan ismerhetünk fel egy paralelogrammát „látásból”? Minek kell történnie egy négyszöggel, hogy jogunk legyen a paralelogramma „címét” adni neki?

A paralelogramma számos jele válaszol erre a kérdésre.

A paralelogramma jelei.

Figyelem! Kezdjük.

Paralelogramma.

Figyelem: ha legalább egy jelet talált a feladatban, akkor biztosan rendelkezik paralelogrammával, és használhatja a paralelogramma összes tulajdonságát.

2. Téglalap

Szerintem ez egyáltalán nem lesz újdonság számodra

Első kérdés: a téglalap paralelogramma?

Hát persze hogy van! Végül is, emlékszel, a 3-as jelünk?

És innentől persze az következik, hogy a téglalapban, mint minden paralelogrammában, az átlókat a metszéspont kettéosztja.

De a téglalapnak van egy megkülönböztető tulajdonsága is.

Téglalap tulajdonság

Miért különleges ez a tulajdonság? Mert egyetlen más paralelogrammának sincs egyenlő átlója. Fogalmazzuk meg világosabban.

Figyelem: ahhoz, hogy téglalap legyen, a négyszögből először paralelogrammává kell válnia, majd meg kell mutatnia az átlók egyenlőségét.

3. Gyémánt

És ismét a kérdés: a rombusz paralelogramma vagy sem?

Teljes jobb oldalon - paralelogramma, mert van és (emlékezzünk a 2-es jellemzőnkre).

És még egyszer, mivel a rombusz paralelogramma, ezért rendelkeznie kell a paralelogramma összes tulajdonságával. Ez azt jelenti, hogy egy rombuszban a szemközti szögek egyenlőek, a szemközti oldalak párhuzamosak, és az átlók a metszéspontban felezik.

A rombusz tulajdonságai

Nézd meg a képet:

A téglalaphoz hasonlóan ezek a tulajdonságok is jellegzetesek, vagyis mindegyik tulajdonságra megállapíthatjuk, hogy ez nem csak egy paralelogramma, hanem egy rombusz.

A gyémánt jelei

És még egyszer, figyelj: nem csak egy négyszögnek kell lennie, amelynek átlói merőlegesek, hanem egy paralelogrammának. Győződjön meg róla:

Természetesen nem, bár az átlói merőlegesek, az átló pedig a és a szögek felezője. De... az átlókat nem osztja ketté a metszéspont, ezért - NEM paralelogramma, tehát NEM rombusz.

Vagyis a négyzet egyben téglalap és rombusz is. Lássuk, mi történik.

Világos, hogy miért? - rombusz az A szög felezőpontja, amely egyenlő. Ez azt jelenti, hogy két szögre osztódik (és egyben).

Nos, ez teljesen világos: egy téglalap átlói egyenlőek; A rombusz átlói merőlegesek, és általában az átlók paralelogrammáját kettéosztjuk a metszésponttal.

KÖZÉPSZINT

A négyszögek tulajdonságai. Paralelogramma

A paralelogramma tulajdonságai

Figyelem! Szavak" paralelogramma tulajdonságai"Úgy értsd, ha a feladatodban van Van paralelogramma, akkor az alábbiak mindegyike használható.

Tétel a paralelogramma tulajdonságairól.

Bármely paralelogrammában:

Más szóval értsük meg, miért igaz ez az egész BIZONYÍTJUK tétel.

Akkor miért igaz az 1)?

Ha paralelogramma, akkor:

• keresztbe fekve
• hazudnak, mint a keresztek.

Ez azt jelenti (a II. kritérium szerint: és - általános.)

Nos, ez az, ez az! - bizonyult.

De mellesleg! Mi is bebizonyítottuk 2)!

Miért? De (nézd a képet), vagyis pont azért.

Már csak 3 maradt).

Ehhez még meg kell húznia egy második átlót.

És most ezt látjuk - a II karakterisztikának megfelelően (szögek és a köztük lévő oldal).

Tulajdonságok bizonyított! Térjünk át a jelekre.

A paralelogramma jelei

Emlékezzünk vissza, hogy a paralelogramma jel válaszol a „honnan tudod, hogy az ábra paralelogramma?” kérdésre.

Ikonoknál ez így néz ki:

Miért? Jó lenne megérteni, miért – ez elég. De nézd:

Nos, rájöttünk, miért igaz az 1. jel.

Nos, ez még egyszerűbb! Rajzoljunk újra egy átlót.

Ami azt jelenti:

ÉS Ez is könnyű. De... más!

Azt jelenti,. Hűha! Hanem - belső egyoldalas szekánssal!

Ezért az a tény, hogy ez azt jelenti.

És ha a másik oldalról nézed, akkor - belső egyoldalas szekánssal! És ezért.

Látod, milyen nagyszerű?!

És megint egyszerű:

Pontosan ugyanaz, és.

Kérjük, vegye figyelembe: ha megtaláltad legalább egy paralelogramma jele a feladatban, akkor megvan pontosan paralelogramma és használhatja mindenki paralelogramma tulajdonságai.

A teljes átláthatóság érdekében nézze meg a diagramot:

A négyszögek tulajdonságai. Téglalap.

A téglalap tulajdonságai:

Az 1) pont teljesen nyilvánvaló - végül is a 3 () jel egyszerűen teljesül

És a 2) pont - nagyon fontos. Szóval, bizonyítsuk be

Ez azt jelenti, hogy két oldalról (és - általános).

Nos, mivel a háromszögek egyenlőek, akkor a befogópontjaik is egyenlőek.

Bebizonyította!

És képzeljük el, az átlók egyenlősége a téglalap megkülönböztető tulajdonsága az összes paralelogramma között. Vagyis ez az állítás igaz^

Értsük meg, miért?

Ez azt jelenti (értsd a paralelogramma szögeit). De ne felejtsük el még egyszer, hogy ez egy paralelogramma, és ezért.

Azt jelenti,. Hát persze ebből az következik, hogy mindegyik! Hiszen összesen kell adniuk!

Tehát bebizonyították, hogy ha paralelogramma hirtelen (!) az átlók egyenlőnek bizonyulnak, akkor ez pontosan egy téglalap.

De! Figyel! arról beszélünk paralelogrammák! Nem is akárki egyenlő átlójú négyszög téglalap, és csak paralelogramma!

A négyszögek tulajdonságai. Rombusz

És ismét a kérdés: a rombusz paralelogramma vagy sem?

Teljes jobb oldalon - egy paralelogramma, mert van (Emlékezzen a 2. szolgáltatásunkra).

És még egyszer, mivel a rombusz paralelogramma, rendelkeznie kell a paralelogramma összes tulajdonságával. Ez azt jelenti, hogy egy rombuszban a szemközti szögek egyenlőek, a szemközti oldalak párhuzamosak, és az átlók a metszéspontban felezik.

De vannak különleges tulajdonságok is. Fogalmazzuk meg.

A rombusz tulajdonságai

Miért? Nos, mivel a rombusz paralelogramma, akkor az átlóit felezik.

Miért? Igen, ezért!

Más szóval, az átlók a rombusz sarkainak felezőinek bizonyultak.

Mint egy téglalap esetében, ezek a tulajdonságok megkülönböztető, mindegyik egy-egy rombusz jele is.

A gyémánt jelei.

Miért van ez? És nézd,

Ez azt jelenti mindkét Ezek a háromszögek egyenlő szárúak.

Ahhoz, hogy rombusz legyen, a négyszögből először paralelogrammává kell válnia, majd fel kell mutatnia az 1. vagy 2. jellemzőt.

A négyszögek tulajdonságai. Négyzet

Vagyis a négyzet egyben téglalap és rombusz is. Lássuk, mi történik.

Világos, hogy miért? A négyzet - rombusz - egy szög felezője, amely egyenlő. Ez azt jelenti, hogy két szögre osztódik (és egyben).

Nos, ez teljesen világos: egy téglalap átlói egyenlőek; A rombusz átlói merőlegesek, és általában az átlók paralelogrammáját kettéosztjuk a metszésponttal.

Miért? Nos, alkalmazd a Pitagorasz-tételt...

ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLETEK

A paralelogramma tulajdonságai:

1. A szemközti oldalak egyenlőek: , .
2. Az ellentétes szögek egyenlőek: , .
3. Az egyik oldalon lévő szögek összeadódnak: , .
4. Az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal: .

A téglalap tulajdonságai:

1. A téglalap átlói egyenlők: .
2. A téglalap paralelogramma (téglalap esetén a paralelogramma összes tulajdonsága teljesül).

A rombusz tulajdonságai:

1. A rombusz átlói merőlegesek: .
2. A rombusz átlói a szögfelezők: ; ; ; .
3. A rombusz paralelogramma (rombusz esetén a paralelogramma összes tulajdonsága teljesül).

A négyzet tulajdonságai:

A négyzet egyben rombusz és téglalap, ezért egy négyzetre a téglalap és a rombusz összes tulajdonsága teljesül. És azt is.