Közöttük egyenes arányos kapcsolat van. Közvetlen arányosság és grafikonja – Knowledge Hypermarket
Függőség típusok
Nézzük az akkumulátor töltését. Első mennyiségként szánjuk a töltéshez szükséges időt. A második érték a töltés utáni működési idő. Minél tovább tölti az akkumulátort, annál tovább tart. A folyamat addig folytatódik, amíg az akkumulátor teljesen fel nem töltődik.
Az akkumulátor üzemidejének függősége a töltési időtől
1. megjegyzés
Ezt a függőséget ún egyenes:
Az egyik érték növekedésével a második is növekszik. Az egyik érték csökkenésével a második érték is csökken.
Nézzünk egy másik példát.
Minél több könyvet olvas egy diák, annál kevesebb hibát követ el a diktálás során. Vagy minél magasabbra emelkedik a hegyekben, annál alacsonyabb lesz a légköri nyomás.
Jegyzet 2
Ezt a függőséget ún fordított:
Az egyik érték növekedésével a második csökken. Az egyik érték csökkenésével a második érték növekszik.
Így abban az esetben közvetlen függőség mindkét mennyiség egyformán változik (mindkettő nő vagy csökken), és abban az esetben fordított kapcsolat– ellentétes (az egyik nő, a másik csökken, vagy fordítva).
Mennyiségek közötti függőségek meghatározása
1. példa
Egy barát meglátogatásához szükséges idő 20 dollár perc. Ha a sebesség (első érték) $2$-szorosára nő, megtudjuk, hogyan fog változni az idő (második érték), amit egy baráthoz vezető úton töltünk.
Nyilvánvaló, hogy az idő 2$-szorosára csökken.
3. megjegyzés
Ezt a függőséget ún arányos:
Ahányszor változik egy mennyiség, hányszor változik a második mennyiség.
2. példa
A 2 dolláros kenyérért a boltban 80 rubelt kell fizetni. Ha 4 dolláros kenyeret kell vásárolnia (a kenyér mennyisége 2 dollárral nő), hányszor kell többet fizetnie?
Nyilvánvaló, hogy a költségek is 2 dollárral nőnek. Van egy példánk az arányos függőségre.
Mindkét példában arányos függőségeket vettünk figyelembe. De a kenyérrel kapcsolatos példában a mennyiségek egy irányba változnak, ezért a függőség az egyenes. A baráti házba járás példájában pedig a sebesség és az idő kapcsolata az fordított. Így van egyenesen arányos kapcsolatÉs fordítottan arányos összefüggés.
Közvetlen arányosság
Tekintsük a 2 dolláros arányos mennyiségeket: a kenyerek számát és költségét. A 2 dolláros kenyér ára 80 dollár rubel. Ha a zsemleszám 4$-szorosára nő (8$-os zsemle), összköltségük 320$ rubel lesz.
A dobások számának aránya: $\frac(8)(2)=4$.
Zsemle költségaránya: $\frac(320)(80)=4$.
Amint látja, ezek a kapcsolatok egyenlőek egymással:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
1. definíció
A két arány egyenlőségét ún arány.
Egyenesen arányos függőséggel összefüggést kapunk, ha az első és a második mennyiség változása egybeesik:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
2. definíció
A két mennyiséget ún egyenesen arányos, ha az egyik változik (növekszik vagy csökken), akkor a másik érték is ugyanennyivel változik (növekszik vagy csökken).
3. példa
Az autó 180 dollár km-t tett meg 2 dolláros óra alatt. Keresse meg azt az időt, amely alatt ugyanazzal a sebességgel megteszi a távolság 2$-szorosát.
Megoldás.
Az idő egyenesen arányos a távolsággal:
$t=\frac(S)(v)$.
Hányszorosára nő a távolság, állandó sebesség mellett, ugyanennyivel nő az idő:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Az autó 180 dollár km-t tett meg 2 dolláros óra alatt
Az autó 180 $ \cdot 2=360 $ km-t tesz meg – $x$ óra alatt
Minél tovább halad az autó, annál tovább tart. Ebből következően a mennyiségek közötti kapcsolat egyenesen arányos.
Készítsünk arányt:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Válasz: Az autónak 4 dolláros órára lesz szüksége.
Fordított arányosság
3. definíció
Megoldás.
Az idő fordítottan arányos a sebességgel:
$t=\frac(S)(v)$.
Hányszorosára nő a sebesség, azonos út mellett, az idő ugyanannyival csökken:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Írjuk fel a probléma feltételét táblázat formájában:
Az autó 60 dolláros km-t tett meg – 6 dolláros óra alatt
Az autó $120$ km-t tesz meg – $x$ óra alatt
Minél gyorsabban halad az autó, annál kevesebb időt vesz igénybe. Ebből következően a mennyiségek közötti kapcsolat fordítottan arányos.
Készítsünk arányt.
Mert az arányosság fordított, a második arány az arányban fordított:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Válasz: Az autónak 3 dollár órára lesz szüksége.
A 7. és 8. évfolyamon az egyenes arányosság grafikonját tanulmányozzák.
Hogyan készítsünk egyenes arányossági gráfot?
Nézzük meg az egyenes arányossági grafikont példákon keresztül.
Közvetlen arányossági gráf képlete
A közvetlen arányossági gráf egy függvényt ábrázol.
Általában az egyenes arányosság képlete van
Az egyenes arányossági gráf dőlésszöge az x tengelyhez képest az egyenes arányossági együttható nagyságától és előjelétől függ.
A közvetlen arányossági grafikon átmegy
Egy egyenes arányossági gráf halad át az origón.
A közvetlen arányossági gráf egy egyenes. Egy egyenest két pont határoz meg.
Így az egyenes arányossági grafikon felépítésénél elegendő két pont helyzetét meghatározni.
De mindig ismerjük az egyiket - ez a koordináták eredete.
Már csak a másodikat kell megtalálni. Nézzünk egy példát egyenes arányossági grafikon felépítésére.
Az egyenes arányosság grafikonja y = 2x
Feladat .
Ábrázoljuk a képlettel megadott egyenes arányosság grafikonját!
Megoldás .
Az összes szám ott van.
Vegyünk bármilyen számot az egyenes arányosság tartományából, legyen 1.
Keresse meg a függvény értékét, ha x egyenlő 1-gyel
Y=2x=
2 * 1 = 2
azaz x = 1 esetén y = 2. Az ezekkel a koordinátákkal rendelkező pont az y = 2x függvény grafikonjához tartozik.
Tudjuk, hogy az egyenes arányosság grafikonja egy egyenes, az egyenest pedig két pont határozza meg.
Trikhleb Daniil, 7. osztályos tanuló
az egyenes arányosság és az egyenes arányossági együttható megismerése (a szögegyüttható fogalmának bevezetése);
egyenes arányossági gráf készítése;
egyenes arányossági és lineáris függvények relatív helyzetének figyelembevétele azonos szögegyütthatókkal.
Letöltés:
Előnézet:
A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com
Diafeliratok:
Az egyenes arányosság és grafikonja
Mi a függvény argumentuma és értéke? Melyik változót nevezzük függetlennek vagy függőnek? Mi az a függvény? ÁTTEKINTÉS Mi a függvény tartománya?
Funkció megadásának módszerei. Analitikus (képlet használatával) Grafikus (grafikon használatával) Táblázatos (táblázat segítségével)
A függvény grafikonja a koordinátasík összes pontjának halmaza, amelynek abszcisszája egyenlő az argumentum értékeivel, az ordináták pedig a függvény megfelelő értékeivel. FUNKCIÓ ÜTEMTERVE
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
A FELADAT VÉGEZÉSE Szerkessze meg az y = 2 x +1 függvény grafikonját, ahol 0 ≤ x ≤ 4! Készíts egy asztalt. A grafikon segítségével keresse meg a függvény értékét x=2,5-nél. Az argumentum melyik értékénél a függvény értéke 8?
Definíció A közvetlen arányosság egy y = k x formájú képlettel adható függvény, ahol x független változó, k nullától eltérő szám. (k-egyenes arányossági együttható) Közvetlen arányosság
8 Az egyenes arányosság grafikonja - a koordináták origóján áthaladó egyenes (O(0,0) pont) Az y= kx függvény grafikonjának elkészítéséhez elegendő két pont, amelyek közül az egyik O (0,0) Ha k > 0, a grafikon az I és III koordinátanegyedben található. A k
Az egyenes arányosságú függvények grafikonjai y x k>0 k>0 k
Feladat Határozza meg, hogy a grafikonok közül melyik mutatja az egyenes arányosság függvényét!
Feladat Határozza meg, melyik függvénygrafikon látható az ábrán! Válasszon egy képletet a három felajánlott közül.
Szóbeli munka. Képes-e az y = k x képlettel megadott függvény grafikonja, ahol k
Határozza meg, hogy az A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) pontok közül melyik tartozik az y = 5x képlettel megadott egyenes arányossági grafikonhoz 1) A( 6;-2) -2 = 5 6 - 2 = 30 - helytelen. Az A pont nem tartozik az y=5x függvény grafikonjához. 2) B(-2;-10) -10 = 5 (-2) -10 = -10 - helyes. A B pont az y=5x függvény grafikonjához tartozik. 3) C(1;-1) -1 = 5 1 -1 = 5 - hibás A C pont nem tartozik az y=5x függvény grafikonjához. 4) E (0;0) 0 = 5 0 0 = 0 - igaz. Az E pont az y=5x függvény grafikonjához tartozik
TESZT 1 2. opció 1. opció. A képlet által megadott függvények közül melyek egyenesen arányosak? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x
2. sz. Írja fel az y = kx sorok számát, ahol k > 0 1 k opció
3. sz. Határozza meg, hogy a pontok közül melyik tartozik az egyenes arányossági grafikonhoz, az Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opció C (1, -1), E (0,0) ) 2. lehetőség
y =5x y =10x III A VI és IV E 1 2 3 1 2 3 Nem. Helyes válasz Helyes válasz Nem.
Végezze el a feladatot: Mutassa be sematikusan, hogyan helyezkedik el a képlettel megadott függvény grafikonja: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x
FELADAT A következő grafikonok közül csak az egyenes arányossági grafikonokat válasszuk ki.
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
Függvények y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1,5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x - 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Válassza ki az y = k x (közvetlen arányosság) alakú függvényeket, és írja le őket
Közvetlen arányossági függvények Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x
y Lineáris függvények, amelyek nem egyenes arányossági függvények 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5
Házi feladat: 15. bekezdés, 65-67. o., 307. sz.; 308. sz.
Ismételjük meg még egyszer. Milyen új dolgokat tanultál? Mit tanultál? Mit találtál különösen nehéznek?
Tetszett az óra, és a téma is érthető: tetszett az óra, de még mindig nem értek mindent: nem tetszett az óra, és nem világos a téma.
Az arányosság két mennyiség közötti kapcsolat, amelyben az egyik változása a másik azonos mértékű változását vonja maga után.
Az arányosság lehet közvetlen vagy inverz. Ebben a leckében mindegyiket megvizsgáljuk.
Az óra tartalmaKözvetlen arányosság
Tegyük fel, hogy az autó 50 km/h sebességgel halad. Emlékezzünk rá, hogy a sebesség az időegységben (1 óra, 1 perc vagy 1 másodperc) megtett távolság. Példánkban az autó 50 km/h sebességgel halad, azaz egy óra alatt ötven kilométeres távolságot tesz meg.
Az ábrán ábrázoljuk az autó által 1 óra alatt megtett távolságot.
Hagyja, hogy az autó még egy órát vezessen ugyanazzal az ötven kilométeres óránkénti sebességgel. Aztán kiderül, hogy az autó 100 km-t fog megtenni
Amint a példából látható, az idő megkétszerezése a megtett távolság azonos mértékű, azaz kétszeres növekedéséhez vezetett.
Az olyan mennyiségeket, mint az idő és a távolság egyenesen arányosnak nevezzük. Az ilyen mennyiségek közötti kapcsolatot pedig ún egyenes arányosság.
Az egyenes arányosság két mennyiség közötti kapcsolat, amelyben az egyik növekedése a másik azonos mértékű növekedését vonja maga után.
és fordítva, ha az egyik mennyiség bizonyos számú alkalommal csökken, akkor a másik ugyanannyiszor csökken.
Tételezzük fel, hogy az eredeti terv az volt, hogy 100 km-t autóval 2 óra alatt hajtanak meg, de 50 km megtétele után a sofőr a pihenés mellett döntött. Aztán kiderül, hogy a távolság felére csökkentésével az idő ugyanannyival csökken. Más szóval, a megtett távolság csökkentése az idő ugyanilyen mértékű csökkenéséhez vezet.
A közvetlenül arányos mennyiségek érdekessége, hogy arányuk mindig állandó. Vagyis ha a közvetlenül arányos mennyiségek értékei megváltoznak, arányuk változatlan marad.
A vizsgált példában a távolság kezdetben 50 km volt, az idő pedig egy óra volt. A távolság és az idő aránya az 50.
De az utazási időt kétszeresére növeltük, így két órával egyenlő. Ennek eredményeként a megtett távolság ugyanennyivel nőtt, azaz 100 km-re vált. A száz kilométer és a két óra aránya ismét az 50-es szám
Az 50-es számot hívják egyenes arányossági együttható. Megmutatja, mekkora távolság van egy óránkénti mozgás. Ebben az esetben az együttható a mozgási sebesség szerepét tölti be, mivel a sebesség a megtett távolság és az idő aránya.
Az arányokat egyenesen arányos mennyiségekből lehet kialakítani. Például az arányok alkotják az arányt:
Ötven kilométer egy óra, mint száz kilométer két óra.
2. példa. A megvásárolt áruk költsége és mennyisége egyenesen arányos. Ha 1 kg édesség 30 rubelbe kerül, akkor 2 kg azonos édesség 60 rubel, 3 kg 90 rubel. A megvásárolt termék költségének növekedésével a mennyisége is ugyanannyival nő.
Mivel egy termék költsége és mennyisége egyenesen arányos mennyiségek, arányuk mindig állandó.
Írjuk fel, mi az arány harminc rubel egy kilogrammhoz
Most írjuk le, mi a hatvan rubel és a két kilogramm aránya. Ez az arány ismét harminc lesz:
Itt az egyenes arányossági együttható a 30. Ez az együttható azt mutatja, hogy hány rubel jut egy kilogramm édességre. Ebben a példában az együttható egy kilogramm áru árának szerepét játssza, mivel az ár az áru költségének és mennyiségének aránya.
Fordított arányosság
Tekintsük a következő példát. A két város távolsága 80 km. A motoros elhagyta az első várost, és 20 km/h-s sebességgel 4 óra alatt elérte a második várost.
Ha egy motoros sebessége 20 km/h volt, ez azt jelenti, hogy óránként húsz kilométert tett meg. Ábrázoljuk az ábrán a motoros által megtett távolságot és mozgásának idejét:
Visszafelé a motoros sebessége 40 km/h volt, és 2 órát töltött ugyanazon az úton.
Könnyen észrevehető, hogy a sebesség változásával a mozgás ideje is ugyanannyival változik. Sőt, az ellenkező irányba változott - vagyis a sebesség nőtt, de az idő éppen ellenkezőleg, csökkent.
Az olyan mennyiségeket, mint a sebesség és az idő fordítottan arányosnak nevezzük. Az ilyen mennyiségek közötti kapcsolatot pedig ún fordított arányosság.
A fordított arányosság két mennyiség közötti összefüggés, amelyben az egyik növekedése a másik azonos mértékű csökkenését vonja maga után.
és fordítva, ha az egyik mennyiség bizonyos számú alkalommal csökken, akkor a másik ugyanannyiszor nő.
Például, ha a visszaúton a motoros sebessége 10 km/h volt, akkor ugyanazt a 80 km-t 8 óra alatt tenné meg:
Amint a példából látható, a sebesség csökkenése a mozgási idő azonos mértékű növekedéséhez vezetett.
A fordítottan arányos mennyiségek sajátossága, hogy szorzatuk mindig állandó. Azaz, amikor a fordítottan arányos mennyiségek értékei megváltoznak, a szorzatuk változatlan marad.
A vizsgált példában a városok közötti távolság 80 km volt. Amikor a motoros sebessége és mozgási ideje változott, ez a távolság mindig változatlan maradt
Ezt a távot egy motoros 20 km/órás sebességgel 4 óra alatt, 40 km/órás sebességgel 2 óra alatt, 10 km/órás sebességgel 8 óra alatt tudta megtenni. A sebesség és az idő szorzata minden esetben 80 km volt
Tetszett a lecke?
Csatlakozzon új VKontakte csoportunkhoz, és kapjon értesítéseket az új leckékről
129. § Előzetes pontosítások.
Az ember folyamatosan sokféle mennyiséggel foglalkozik. Egy alkalmazott és egy munkás egy meghatározott időpontra próbál beérni a munkahelyére, egy gyalogos siet a legrövidebb úton egy bizonyos helyre, egy gőzfűtéses tüzelő aggódik, hogy a kazánban lassan emelkedik a hőmérséklet, a üzletvezető terveket készít a termelési költségek csökkentésére stb.
Számtalan ilyen példát lehetne felhozni. Idő, távolság, hőmérséklet, költség – mindezek különböző mennyiségek. A könyv első és második részében megismerkedtünk néhány különösen gyakori mennyiséggel: terület, térfogat, tömeg. A fizika és más tudományok tanulmányozása során sok mennyiséggel találkozunk.
Képzelje el, hogy vonaton utazik. Időnként ránéz az órájára, és észreveszi, mennyi ideje van úton. Például azt mondja, hogy 2, 3, 5, 10, 15 óra telt el a vonat indulása óta stb. Ezek a számok különböző időszakokat jelentenek; ezeket ennek a mennyiségnek (időnek) nevezzük. Vagy kinéz az ablakon, és követi az útoszlopokat, hogy lássa, mekkora távolságot tesz meg a vonat. Felvillannak előtted a 110, 111, 112, 113, 114 km számok. Ezek a számok azt a távolságot jelzik, amelyet a vonat az indulási helyétől megtett. Ezeket értékeknek is nevezik, ezúttal más nagyságrendűek (útvonal vagy távolság két pont között). Így egy mennyiség, például idő, távolság, hőmérséklet, ugyanannyit is felvehet különböző jelentések.
Felhívjuk figyelmét, hogy az ember szinte soha nem csak egy mennyiséget vesz figyelembe, hanem mindig más mennyiségekkel kapcsolja össze. Egyszerre két, három vagy több mennyiséggel kell foglalkoznia. Képzeld el, hogy 9 órára kell iskolába érned. Ránézel az órádra, és látod, hogy van 20 perced. Aztán gyorsan kitalálod, hogy villamosra menj, vagy gyalog mehetsz az iskolába. Gondolkodás után úgy döntesz, hogy sétálsz. Vedd észre, hogy miközben gondolkodtál, valamilyen problémát megoldottál. Ez a feladat egyszerűvé és ismerőssé vált, mivel minden nap ilyen problémákat old meg. Ebben gyorsan összehasonlított több mennyiséget. Te nézted az órát, ami azt jelenti, hogy figyelembe vetted az időt, majd gondolatban elképzelted az otthonod és az iskola közötti távolságot; Végül összehasonlított két értéket: a lépés sebességét és a villamos sebességét, és arra a következtetésre jutott, hogy adott időn belül (20 perc) lesz ideje sétálni. Ebből az egyszerű példából látható, hogy gyakorlatunkban egyes mennyiségek összefüggenek egymással, vagyis függnek egymástól
A tizenkettedik fejezet a homogén mennyiségek kapcsolatáról beszélt. Például, ha az egyik szegmens 12 m, a másik pedig 4 m, akkor ezeknek a szakaszoknak az aránya 12:4 lesz.
Azt mondtuk, hogy ez két homogén mennyiség aránya. Ennek másik módja az, hogy ez két szám aránya egy név.
Most, hogy jobban ismerjük a mennyiségeket, és bevezettük a mennyiség értékének fogalmát, új módon fejezhetjük ki az arány meghatározását. Valójában, amikor két 12 m-es és 4 m-es szegmenst vettünk figyelembe, egy értékről beszéltünk - a hosszról, és a 12 m és a 4 m ennek az értéknek csak két különböző értéke volt.
Ezért a jövőben, amikor az arányokról kezdünk beszélni, egy mennyiség két értékét fogjuk figyelembe venni, és egy mennyiség egyik értékének és ugyanazon mennyiség másik értékének arányát az első elosztásának hányadosának nevezzük. értéke másodpercenként.
130. § Az értékek egyenesen arányosak.
Tekintsünk egy problémát, amelynek feltétele két mennyiséget tartalmaz: a távolságot és az időt.
1. feladat. Egy egyenesen és egyenletesen mozgó test másodpercenként 12 cm-t tesz meg. Határozza meg a test által 2, 3, 4, ..., 10 másodperc alatt megtett távolságot!
Készítsünk egy táblázatot, amivel nyomon követhetjük az idő és a távolság változásait.
A táblázat lehetőséget ad e két értéksor összehasonlítására. Látjuk belőle, hogy amikor az első mennyiség (idő) értéke fokozatosan 2, 3,..., 10-szeresére nő, akkor a második mennyiség (távolság) értéke is 2, 3-mal nő, ..., 10 alkalommal. Így amikor egy mennyiség értéke többszörösére nő, egy másik mennyiség értéke ugyanannyival nő, és ha egy mennyiség értéke többszörösére csökken, egy másik mennyiség értéke csökken ugyanaz a szám.
Tekintsünk most egy problémát, amely két ilyen mennyiséget foglal magában: az anyag mennyiségét és annak költségét.
2. feladat. 15 m szövet ára 120 rubel. Számítsa ki ennek a szövetnek a költségét a táblázatban feltüntetett számos egyéb mérőóra esetén.
Ennek a táblázatnak a segítségével nyomon követhetjük, hogy a mennyiség növekedésétől függően hogyan növekszik fokozatosan egy termék költsége. Annak ellenére, hogy ez a probléma teljesen különböző mennyiségeket érint (az első feladatban az idő és a távolság, itt pedig az áru mennyisége és értéke), ennek ellenére nagy hasonlóságokat találhatunk e mennyiségek viselkedésében.
Valójában a táblázat felső sorában a szövetméterek számát jelző számok találhatók mindegyik alatt egy szám, amely a megfelelő árumennyiség költségét fejezi ki. Már egy gyors pillantás erre a táblázatra azt mutatja, hogy a számok a felső és az alsó sorban egyaránt növekednek; a táblázat alapos vizsgálata és az egyes oszlopok összehasonlítása során kiderül, hogy a második mennyiség értékei minden esetben ugyanannyiszor nőnek, mint az első növekedés értékei, azaz ha a az első mennyiség mondjuk 10-szeresére nő, majd a második mennyiség értéke is 10-szeresére nő.
Ha a táblázatot jobbról balra nézzük, azt tapasztaljuk, hogy a mennyiségek feltüntetett értékei ugyanannyiszor csökkennek. Ebben az értelemben feltétlen hasonlóság van az első és a második feladat között.
Azokat a mennyiségpárokat, amelyekkel az első és a második feladatban találkoztunk, ún egyenesen arányos.
Ha tehát két mennyiség úgy kapcsolódik egymáshoz, hogy az egyik értékének többszörösére nőve (csökkenve), a másiké ugyanannyival nő (csökken), akkor az ilyen mennyiségeket egyenesen arányosnak nevezzük. .
Az ilyen mennyiségekről azt is mondják, hogy egyenesen arányos összefüggésben állnak egymással.
Sok hasonló mennyiség található a természetben és a minket körülvevő életben. Íme néhány példa:
1. Idő munka (nap, két nap, három nap stb.) ill kereset, ez idő alatt kapott napibérrel.
2. Hangerő bármely homogén anyagból készült tárgy, és súly ez a dolog.
131. § Az egyenesen arányos mennyiségek tulajdonsága.
Vegyünk egy feladatot, amely a következő két mennyiséget tartalmazza: munkaidő és kereset. Ha a napi kereset 20 rubel, akkor a 2 napos bevétel 40 rubel stb. A legkényelmesebb olyan táblázatot létrehozni, amelyben egy bizonyos számú nap egy bizonyos bevételnek felel meg.
Ha ezt a táblázatot nézzük, azt látjuk, hogy mindkét mennyiség 10 különböző értéket vett fel. Az első érték minden értéke a második érték egy bizonyos értékének felel meg, például 2 nap 40 rubelnek felel meg; 5 nap 100 rubelnek felel meg. A táblázatban ezek a számok egymás alá vannak írva.
Azt már tudjuk, hogy ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor mindegyik a változása során annyiszor növekszik, ahányszor a másik nő. Ebből azonnal következik: ha az első mennyiség bármely két értékének arányát vesszük, akkor az egyenlő lesz a második mennyiség két megfelelő értékének arányával. Valóban:
Miért történik ez? De mivel ezek az értékek egyenesen arányosak, vagyis amikor az egyik (idő) háromszorosára nőtt, akkor a másik (a bevétel) háromszorosára nőtt.
Ezért arra a következtetésre jutottunk: ha veszünk az első mennyiség két értékét és elosztjuk őket egymással, majd elosztjuk eggyel a második mennyiség megfelelő értékeit, akkor mindkét esetben azt kapjuk, hogy ugyanaz a szám, azaz ugyanaz a kapcsolat. Ez azt jelenti, hogy a két összefüggés, amit fentebb írtunk, egyenlőségjellel köthető össze, pl.
Kétségtelen, hogy ha nem ezeket a viszonyokat, hanem másokat vennénk, és nem ebben, hanem ellenkező sorrendben, akkor a viszonyok egyenlőségét is megkapnánk. Valójában a mennyiségeink értékeit balról jobbra fogjuk figyelembe venni, és felvesszük a harmadik és kilencedik értéket:
60:180 = 1 / 3 .
Tehát írhatjuk:
Ez a következő következtetéshez vezet: ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor az első mennyiség két önkényesen vett értékének aránya megegyezik a második mennyiség két megfelelő értékének arányával.
132. § Az egyenes arányosság képlete.
Készítsünk egy táblázatot a különféle mennyiségű édességek költségeiről, ha 1 kg-juk 10,4 rubelbe kerül.
Most csináljuk így. Vegyünk egy tetszőleges számot a második sorban, és osszuk el az első sorban lévő megfelelő számmal. Például:
Látod, hogy a hányadosban mindig ugyanaz a szám adódik. Következésképpen egy adott, közvetlenül arányos mennyiségpár esetén az egyik mennyiség tetszőleges értékének egy másik mennyiség megfelelő értékével való osztásának hányadosa egy állandó szám (azaz nem változik). Példánkban ez a hányados 10,4. Ezt az állandó számot arányossági tényezőnek nevezzük. Ebben az esetben egy mértékegység, azaz egy kilogramm áru árát fejezi ki.
Hogyan lehet megtalálni vagy kiszámítani az arányossági együtthatót? Ehhez ki kell venni az egyik mennyiség tetszőleges értékét, és el kell osztani a másik megfelelő értékével.
Jelöljük betűvel egy mennyiség tetszőleges értékét nál nél , és egy másik mennyiség megfelelő értéke - a betű x , akkor az arányossági együtthatót (jelöljük NAK NEK) osztás szerint találjuk:
Ebben az egyenlőségben nál nél - osztható, x - osztó és NAK NEK- hányados, és mivel az osztás tulajdonsága alapján az osztó egyenlő az osztóval, szorozva a hányadossal, felírhatjuk:
y= K x
A kapott egyenlőséget ún egyenes arányosság képlete. Ezzel a képlettel kiszámolhatjuk az egyik egyenesen arányos mennyiség tetszőleges számú értékét, ha ismerjük a másik mennyiség megfelelő értékét és az arányossági együtthatót.
Példa. A fizikából ismerjük ezt a súlyt R bármely test fajsúlya megegyezik d , megszorozva ennek a testnek a térfogatával V, azaz R = d V.
Vegyünk öt különböző térfogatú vasrudat; A vas fajsúlyának ismeretében (7.8) a következő képlet segítségével számíthatjuk ki ezeknek a tuskóknak a tömegét:
R = 7,8 V.
Összehasonlítva ezt a képletet a képlettel nál nél = NAK NEK x , ezt látjuk y = R, x = V, és az arányossági együttható NAK NEK= 7,8. A képlet ugyanaz, csak a betűk különböznek.
Ezzel a képlettel készítsünk egy táblázatot: legyen az 1. üres térfogata 8 köbméter. cm, akkor a súlya 7,8 8 = 62,4 (g). A 2. üres térfogata 27 köbméter. cm Súlya 7,8 27 = 210,6 (g). A táblázat így fog kinézni:
Számítsa ki a táblázatból hiányzó számokat a képlet segítségével! R= d V.
133. § Az egyenesen arányos mennyiségekkel történő feladatmegoldás egyéb módjai.
Az előző bekezdésben olyan feladatot oldottunk meg, amelynek feltétele egyenesen arányos mennyiségeket tartalmazott. Ebből a célból először levezettük az egyenes arányosság képletét, majd ezt a képletet alkalmaztuk. Most két másik módszert mutatunk be hasonló problémák megoldására.
Hozzunk létre egy feladatot az előző bekezdés táblázatában megadott számadatok felhasználásával.
Feladat. 8 köbméter térfogatú üres. cm súlya 62,4 g Mennyi lesz egy 64 köbméter térfogatú nyersdarab? cm?
Megoldás. A vas tömege, mint ismeretes, arányos a térfogatával. Ha 8 cu. cm súlyú 62,4 g, majd 1 köb. cm 8-szor kisebb lesz, azaz.
62,4:8 = 7,8 (g).
64 köbméter térfogatú üres. cm 64-szer nagyobb lesz, mint egy 1 köbméteres üres. cm, azaz
7,8 64 = 499,2 (g).
A problémánkat úgy oldottuk meg, hogy egységre redukáltuk. E név jelentését az indokolja, hogy megoldásához az első kérdésben meg kellett találnunk egy térfogategység súlyát.
2. Az arányosítás módja. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot arányos módszerrel.
Mivel a vas tömege és térfogata közvetlenül arányos mennyiségek, egy mennyiség (térfogat) két értékének aránya megegyezik egy másik mennyiség (tömeg) két megfelelő értékének arányával, pl.
(levél R a nyersdarab ismeretlen tömegét jelöltük ki). Innen:
(G).
A feladatot az arányosítás módszerével oldottuk meg. Ez azt jelenti, hogy megoldására a feltételben szereplő számokból arányt állítottak össze.
134. § Az értékek fordítottan arányosak.
Fontolja meg a következő problémát: „Öt kőműves 168 nap alatt képes lerakni egy ház téglafalait. Határozza meg, hogy 10, 8, 6 stb. kőművesek hány nap alatt tudják elvégezni ugyanazt a munkát!
Ha 5 kőműves 168 nap alatt rakná le egy ház falát, akkor (ugyanolyan munkatermelékenység mellett) 10 kőműves feleannyi idő alatt végezné el, hiszen átlagosan 10 ember kétszer annyi munkát végez, mint 5 ember.
Készítsünk egy táblázatot, amellyel nyomon követhetjük a létszám és a munkaórák alakulását.
Például, hogy megtudja, hány napig tart 6 munkás, először ki kell számítania, hogy egy munkásnak hány napig tart (168 5 = 840), majd hány napig tart hat munkás (840: 6 = 140). Ha ezt a táblázatot nézzük, azt látjuk, hogy mindkét mennyiség hat különböző értéket vett fel. Az első mennyiség minden értéke egy adott mennyiségnek felel meg; a második érték értéke például a 10 84-nek, a 8-as a 105-nek stb.
Ha mindkét mennyiség értékét balról jobbra tekintjük, akkor azt látjuk, hogy a felső mennyiség értéke nő, az alsó mennyiség értéke csökken. A növekedésre és a csökkenésre a következő törvény vonatkozik: a dolgozók számának értékei ugyanannyiszor nőnek, ahogy az eltöltött munkaidő értéke csökken. Ez a gondolat még egyszerűbben a következőképpen fejezhető ki: minél több munkavállalót foglalkoztatnak bármilyen feladatban, annál kevesebb időre van szükségük egy bizonyos munka elvégzéséhez. A két mennyiséget, amellyel ebben a feladatban találkoztunk, ún fordítottan arányos.
Ha tehát két mennyiség úgy kapcsolódik egymáshoz, hogy az egyik értékének többszörösére nőve (csökkenve), a másiké ugyanannyival csökken (növekszik), akkor az ilyen mennyiségeket fordítottan arányosnak nevezzük. .
Sok hasonló mennyiség van az életben. Mondjunk példákat.
1. Ha 150 rubelért. Ha több kilogramm édességet kell vásárolnia, akkor az édességek száma egy kilogramm árától függ. Minél magasabb az ár, annál kevesebb árut vásárolhat ebből a pénzből; ez látható a táblázatból:
Ahogy az édesség ára többszörösére emelkedik, a 150 rubelért megvásárolható édességek kilogrammjainak száma ugyanennyivel csökken. Ebben az esetben két mennyiség (a termék súlya és ára) fordítottan arányos.
2. Ha két város távolsága 1200 km, akkor a mozgás sebességétől függően különböző időpontokban tehető meg. Különféle módon lehet utazni: gyalog, lóháton, kerékpárral, hajóval, autóval, vonattal, repülővel. Minél kisebb a sebesség, annál több időbe telik a mozgás. Ez látható a táblázatból:
A sebesség többszöri növelésével az utazási idő ugyanannyival csökken. Ez azt jelenti, hogy ilyen körülmények között a sebesség és az idő fordítottan arányos mennyiségek.
135. § A fordítottan arányos mennyiségek tulajdonsága.
Vegyük a második példát, amelyet az előző bekezdésben néztünk meg. Ott két mennyiséggel foglalkoztunk - sebességgel és idővel. Ha ezeknek a mennyiségeknek a táblázatát balról jobbra nézzük, látni fogjuk, hogy az első mennyiség (sebesség) értéke nő, a második (idő) értéke csökken, és a sebesség ugyanannyival nő, ahogy az idő csökken. Nem nehéz megérteni, hogy ha egy mennyiség egyes értékeinek arányát írja le, akkor az nem lesz egyenlő egy másik mennyiség megfelelő értékeinek arányával. Valójában, ha a felső érték negyedik és a hetedik értékének arányát vesszük (40:80), akkor ez nem lesz egyenlő az alsó érték negyedik és hetedik értékének arányával (30: 15). Ezt így lehet írni:
A 40:80 nem egyenlő a 30:15-tel, vagy a 40:80 =/=30:15.
De ha ezen összefüggések egyike helyett az ellenkezőjét vesszük, akkor egyenlőséget kapunk, vagyis ezekből az összefüggésekből lehet majd arányt alkotni. Például:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
A fentiek alapján a következő következtetést vonhatjuk le: ha két mennyiség fordítottan arányos, akkor egy mennyiség két önkényesen vett értékének aránya megegyezik egy másik mennyiség megfelelő értékeinek fordított arányával.
136. § Fordított arányossági képlet.
Fontolja meg a problémát: „6 darab különböző méretű és különböző minőségű selyemszövet van. Minden darab ugyanannyiba kerül. Egy darab 100 m szövetet tartalmaz, ára 20 rubel. méterenként Hány méter van a másik öt darabban, ha ezekben a darabokban egy méter szövet 25, 40, 50, 80, 100 rubelbe kerül? A probléma megoldásához hozzunk létre egy táblázatot:
A táblázat felső sorában ki kell töltenünk az üres cellákat. Először próbáljuk meg meghatározni, hány méter van a második darabban. Ez a következőképpen tehető meg. A probléma körülményeiből ismert, hogy az összes darab költsége azonos. Az első darab költségét könnyű meghatározni: 100 métert tartalmaz, és minden méter ára 20 rubel, ami azt jelenti, hogy az első selyemdarab 2000 rubelt ér. Mivel a második selyemdarab ugyanannyi rubelt tartalmaz, akkor 2000 rubelt osztva. egy méter áránál, azaz 25-nél megtaláljuk a második darab méretét: 2000: 25 = 80 (m). Ugyanígy megtaláljuk az összes többi darab méretét is. A táblázat így fog kinézni:
Könnyen belátható, hogy a méterek száma és az ár között fordítottan arányos összefüggés van.
Ha saját maga végzi el a szükséges számításokat, észre fogja venni, hogy minden alkalommal el kell osztania a 2000-et 1 m árával , mindig megkapja a 2000-es számot.
Ebből a következő következtetést vonhatjuk le: egy adott fordítottan arányos mennyiségpár esetén egy mennyiség tetszőleges értékének egy másik mennyiség megfelelő értékével való szorzata állandó szám (azaz nem változik).
A mi feladatunkban ez a szorzat egyenlő 2000-rel. Ellenőrizze, hogy az előző feladatban, amely a mozgás sebességéről és az egyik városból a másikba való átköltözéshez szükséges időről szólt, az adott probléma esetében is volt egy állandó szám (1200).
Mindent figyelembe véve könnyen levezethető a fordított arányosság képlete. Jelöljük betűvel egy mennyiség bizonyos értékét x , és egy másik mennyiség megfelelő értékét a betű jelöli nál nél . Majd a fentiek alapján a munka x tovább nál nél egyenlőnek kell lennie valamilyen állandó értékkel, amelyet betűvel jelölünk NAK NEK, azaz
x y = NAK NEK.
Ebben az egyenlőségben x - szorzó nál nél - szorzó és K- munka. A szorzás tulajdonsága szerint a szorzó egyenlő a szorzóval osztva. Eszközök,
Ez a fordított arányossági képlet. Segítségével az egyik fordítottan arányos mennyiség tetszőleges számú értékét kiszámíthatjuk, ismerve a másik értékét és az állandó számot. NAK NEK.
Nézzünk meg egy másik problémát: „Az egyik esszé szerzője úgy számolta, hogy ha a könyve normál formátumú, akkor 96 oldalas lesz, de ha zsebformátumú, akkor 300 oldalas. Különféle lehetőségeket próbált ki, 96 oldallal kezdte, majd oldalanként 2500 levél lett a vége. Aztán vette az alábbi táblázatban látható oldalszámokat, és újra kiszámította, hány betű lesz az oldalon.
Próbáljuk meg kiszámolni, hány betű lesz egy oldalon, ha a könyv 100 oldalas.
Az egész könyvben 240 000 betű van, mivel 2500 96 = 240 000.
Ezt figyelembe véve a fordított arányossági képletet használjuk ( nál nél - betűk száma az oldalon, x - oldalszám):
Példánkban NAK NEK= 240 000 tehát
Tehát 2400 betű van az oldalon.
Hasonlóképpen megtanuljuk, hogy ha egy könyvnek 120 oldala van, akkor az oldalon lévő betűk száma:
A táblázatunk így fog kinézni:
Ön töltse ki a fennmaradó cellákat.
137. § A fordítottan arányos mennyiségekkel kapcsolatos feladatok egyéb megoldási módjai.
Az előző bekezdésben olyan feladatokat oldottunk meg, amelyek feltételei fordítottan arányos mennyiségeket tartalmaztak. Először levezettük a fordított arányosság képletét, majd ezt a képletet alkalmaztuk. Most két másik megoldást mutatunk be az ilyen problémákra.
1. Az egységre redukálás módja.
Feladat. 5 esztergályos 16 nap alatt tud valamilyen munkát elvégezni. Hány nap alatt tudja 8 esztergályos elvégezni ezt a munkát?
Megoldás. Az esztergályosok száma és a munkaórák között fordított összefüggés van. Ha 5 esztergályos végzi el a munkát 16 nap alatt, akkor ehhez egy embernek 5-ször több időre lesz szüksége, pl.
5 esztergályos végzi el a munkát 16 nap alatt,
1 esztergályos 16 5 = 80 nap alatt teljesíti.
A probléma azt kérdezi, hogy hány napig tart 8 esztergályos a munka elvégzéséhez. Nyilvánvalóan 8-szor gyorsabban megbirkóznak a munkával, mint 1 esztergályos, azaz be
80:8 = 10 (nap).
Ez a probléma megoldása az egységgé redukálással. Itt mindenekelőtt meg kellett határozni, hogy egy dolgozó mennyi időt igényel a munka elvégzéséhez.
2. Az arányosítás módja. Oldjuk meg ugyanazt a problémát a második módon.
Mivel a dolgozók száma és a munkaidő között fordítottan arányos összefüggés áll fenn, ezért felírhatjuk: 5 esztergályos munkaidő új esztergályok száma (8) 8 esztergályos munkaidő előző esztergályosok száma (5) Jelöljük a a munkavégzés szükséges időtartamát levélben x és helyettesítse be a szükséges számokat a szavakkal kifejezett arányba:
Ugyanezt a problémát az arányok módszere oldja meg. Megoldásához arányt kellett alkotnunk a problémafelvetésben szereplő számokból.
Jegyzet. Az előző bekezdésekben a közvetlen és fordított arányosság kérdését vizsgáltuk. A természet és az élet számos példát ad a mennyiségek egyenes és fordított arányos függésére. Meg kell azonban jegyezni, hogy ez a két típusú függőség csak a legegyszerűbb. Mellettük más, összetettebb függőségek is léteznek a mennyiségek között. Ráadásul nem szabad azt gondolni, hogy ha bármely két mennyiség egyszerre növekszik, akkor szükségszerűen egyenes arányosság van közöttük. Ez messze nem igaz. Például a vasúti viteldíjak a távolság függvényében emelkednek: minél tovább utazunk, annál többet fizetünk, de ez nem jelenti azt, hogy a viteldíj arányos a távolsággal.
Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete