5. Maxwell-eloszlás (gázmolekulák sebességeloszlása) és Boltzmann-eloszlás Maxwell-eloszlás - egyensúlyi állapotban a gázparaméterek (nyomás, térfogat és hőmérséklet) változatlanok, de mikroállapotok - a molekulák egymáshoz viszonyított elrendezése, azok

MOSZKVA ENERGETIKAI INTÉZET

(Technikai Egyetem)

ELEKTRONIKAI MÉRNÖKI KAR

ABSZTRAKT A TÉMÁBÓL

BOLZMANN KINETIKAI EGYENLET.

ELKÉSZÜLT:

Korkin S.V.

TANÁR

Sherkunov Yu.B.

A munka második felét meglehetősen összetett matematika tölti ki. Szerző ( [e-mail védett], [e-mail védett])nem tartja ideálisnak ezt a tanfolyamot, csak kiindulópontul szolgálhat egy tökéletesebb (és érthetőbb) mű megírásához. A szöveg nem a könyv másolata. Lásd a végén a támogató irodalomért.

A tanfolyamot „Kiváló” minősítéssel fogadták el. (A mű végső változata kicsit elveszett. Javaslom az utolsó előtti „verzió” használatát).

Bevezetés………………………………………………………………………………3

Szimbólumok………………………………………………………………………………. 4

§1 Elosztási funkció.

§2 Részecskeütközés.

3. § Az ütközési integrál alakjának meghatározása

és Boltzmann-egyenletek.

4. §. Gyengén inhomogén gáz kinetikai egyenlete.

A gáz hővezető képessége.

Néhány konvenció:

n - részecskekoncentráció;

d a részecskék közötti átlagos távolság;

V a rendszer bizonyos térfogata;

P valamilyen esemény valószínűsége;

f - eloszlási függvény;

Bevezetés.

A fizika termodinamika, statisztikus fizika és fizikai kinetika ágai makroszkopikus rendszerekben - nagyszámú mikrorészecskéből álló testekben - végbemenő fizikai folyamatok vizsgálatával foglalkoznak. A rendszer típusától függően az ilyen mikrorészecskék lehetnek atomok, molekulák, ionok, elektronok, fotonok vagy más részecskék. Ma két fő módszer létezik a makroszkopikus rendszerek állapotának vizsgálatára - a termodinamikai, amely a rendszer állapotát makroszkopikusan könnyen mérhető paraméterekkel (például nyomás, térfogat, hőmérséklet, mólszám vagy anyagkoncentráció) jellemzi, és valójában nem veszi figyelembe az anyag atomi-molekuláris szerkezetét, és a vizsgált rendszer atomi-molekuláris modelljén alapuló statisztikai módszer. A termodinamikai módszert ebben a munkában nem tárgyaljuk. A rendszer részecskéinek ismert viselkedési törvényei alapján a statisztikai módszer lehetővé teszi az egész makrorendszer egészének viselkedési törvényeinek megállapítását. A megoldandó probléma leegyszerűsítése érdekében a statisztikai megközelítés a mikrorészecskék viselkedésére vonatkozóan számos feltételezést (feltételezést) tesz, ezért a statisztikai módszerrel kapott eredmények csak a feltételezések határain belül érvényesek. A statisztikai módszer valószínűségi megközelítést alkalmaz a problémák megoldására, a rendszernek kellően nagy számú részecskét kell tartalmaznia. A statisztikai módszerrel megoldható egyik probléma a makroszkopikus rendszer állapotegyenletének levezetése. A rendszer állapota lehet időben állandó (egyensúlyi rendszer), vagy időben változhat (nem egyensúlyi rendszer). A fizikai kinetika a rendszerek nem egyensúlyi állapotainak és az ilyen rendszerekben előforduló folyamatoknak a tanulmányozásával foglalkozik.

Az idő múlásával kialakuló rendszer állapotegyenlete egy kinetikai egyenlet, amelynek megoldása bármikor meghatározza a rendszer állapotát. A kinetikai egyenletek iránti érdeklődés a fizika különböző területein való alkalmazásukhoz kapcsolódik: a gáz kinetikai elméletében, az asztrofizikában, a plazmafizikában és a folyadékmechanikában. Ez a cikk a statisztikus fizika és fizikai kinetika egyik megalapítója, Ludwig Boltzmann osztrák fizikus által 1872-ben levezetett és az ő nevét viselő kinetikai egyenletet vizsgálja.

§1 Elosztási funkció.

A Boltzmann kinetikai egyenlet levezetéséhez vegyünk egy monatomikus ideális gázt, pl. meglehetősen ritka gáz, amely elektromosan semleges atomokból vagy molekulákból áll. Az ideális gáz részecskéi közötti kölcsönhatás egyetlen típusa a molekulák közötti ütközések, amelyek azonban olyan ritkán fordulnak elő, hogy minden molekula szinte mindig úgy mozog, mintha szabad lenne. Ha a gázrészecskéket klasszikusnak tekintjük, akkor vitatható, hogy van egy részecskére jutó térfogat. Az egységnyi térfogatra jutó részecskék száma koncentráció. Ez azt jelenti, hogy van egy átlagos távolság a részecskék között (ezt a d intermolekuláris erők hatássugarához képest meglehetősen nagynak feltételezzük). A Boltzmann-egyenlet levezetésekor a következő feltevéseket tesszük:

A gázrészecskék megkülönböztethetetlenek (azonosak);

A részecskék csak párban ütköznek (három vagy több részecske egyidejű ütközését figyelmen kívül hagyjuk);

Közvetlenül az ütközés előtt a részecskék egy egyenes vonalban mozognak egymás felé;

A molekulák ütközése közvetlen központi rugalmas behatás;

A gáz statisztikai leírását a valószínűségi eloszlási függvény (vagy valószínűségi sűrűség) végzi, és az eloszlásfüggvény nem változik a részecskeütközési tartomány nagyságrendjének megfelelő távolságokban. A valószínűségi sűrűség meghatározza annak valószínűségét, hogy valamely x valószínűségi változónak van értéke egy kis dx intervallumon belül, az alábbiak szerint. Egy véges intervallumban x megtalálásának valószínűségét az integráció határozza meg.

A gázmolekulák eloszlási függvénye fázisterükben van megadva.

az összes molekula általánosított koordinátáinak halmaza; - általánosított molekuláris impulzusok halmaza. Illetőleg

És. Jelöljük azzal

egy molekula fázisterének térfogateleme. A fázistér egy adott elemében (átlagosan) egyenlő a részecskék száma (azaz olyan molekulákat vesszük figyelembe, amelyek q és p értékei a kiválasztott dq és dp intervallumokban vannak). A gázmolekulák eloszlásfüggvényét a fentiekben a fázistérben határoztuk meg, azonban a részecske általánosított koordinátáin és momentumán kívül más változókkal is kifejezhető. Jelöljük ki az f függvény argumentumait.

Figyelembe véve a rendszer állapotának időbeli változásának nem egyensúlyi folyamatát, nyilvánvalóan fel kell tételeznünk, hogy az eloszlásfüggvény időfüggő. A szóban forgó gáz részecskék halmaza, amelyet megállapodtunk abban, hogy klasszikusnak tekintjük.

A klasszikus részecske transzlációs mozgását a koordináták írják le

a részecske súlypontja és a sebességvektor vagy impulzusvektor (, ahol m a részecske tömege). A monoatomos gázok esetében a transzlációs mozgás a részecskemozgás egyetlen típusa; a szabadságfokok száma három. Ha a részecske egy többatomos molekula, akkor további szabadsági fokok keletkeznek a molekula térbeli forgásával és a molekulában lévő atomok rezgésével kapcsolatban. A kvantummechanika alkalmazásának feltételei az alacsony tömegek és nagy koncentrációjú részecskék, valamint az alacsony hőmérséklet. Az alacsony hőmérsékletek tartományának figyelembevétele nélkül a gázmolekulák forgási mozgását klasszikusnak tekintjük. Minden klasszikus forgó mozgást mindenekelőtt a testre ható erők forgási nyomatéka ír le. A nyomaték hatására a kétatomos molekula a nyomatékvektorra merőleges síkban forogni kezd. Ezenkívül a molekula helyzetét a molekula tengelyének forgási síkbeli forgásszöge jellemzi.

Tekintsünk egy hidrogénmolekulát (vagy bármely más kétatomos molekulát), ahol T = 300 K. Az ekvipartíció törvénye szerint minden szabadságfok (transzlációs, forgási vagy rezgési) átlagosan azonos, egyenlő kinetikus energiával rendelkezik.

Legyen I a molekula tehetetlenségi nyomatéka, m a tömeg, d a molekulában lévő atomok közötti átlagos távolság.

Egy molekula átlagos kinetikus forgási energiája;

Egy másodperc alatt a molekula (azaz megközelítőleg) teljes fordulatot tesz. A kétatomos molekula tengelyének forgásszögének változási sebessége nagy, és a molekula minden lehetséges orientációja a forgássíkban egyformán valószínű. Ekkor a valós fizikai problémák mérlegelésekor az eloszlásfüggvény függetlennek tekinthető a molekula orientációjától. A többatomos molekulákra is érvényes az ekvipartíciós törvény, ami azt jelenti, hogy az eloszlásfüggvény függetlenségére tett feltevés a gázmolekulák térbeli orientációjától érvényesnek tekinthető a többatomos gázokra is.

A molekulán belüli atomok rezgésmozgása szinte mindig kvantált, és a molekula, mint kvantumrendszer állapotát kvantumparaméterekkel kell meghatározni. Normál körülmények között (nem túl magas hőmérsékleten) a gázmolekula a talaj (nulla) rezgésszintjének megfelelő gerjesztetlen állapotban van. Ezért a valós gázok kvantumhatásai hétköznapi körülmények között elhanyagolhatók. Következésképpen egy klasszikus ideális gáz eloszlásfüggvénye nem egyensúlyi állapotban nemcsak az időtől függ, hanem a részecskék koordinátáitól is.

Jelöljük Г jellel mindazon változók halmazát, amelyektől az eloszlásfüggvény függ, kivéve a molekula és az idő koordinátáit. A fázistérfogat elemben a háromdimenziós tér elemi térfogatát jelöljük ki, a többi részét dГ jellel jelöljük. A dœ mennyiségek olyan mozgási integrálok, amelyek bármely molekula számára állandóak maradnak két egymást követő ütközés közötti szabad mozgás során. A molekula szabad mozgása külső testek vagy mezők külső behatása nélkül történik. Molekulák egymás közötti kölcsönhatása következtében (ütközés esetén) vagy mező hatására

ezek az értékek változhatnak. A molekula egészének koordinátái szabad mozgása során megváltoznak.

A gázrészecskék térbeli eloszlásának koncentrációja vagy sűrűsége egy integrállal fejezhető ki, a térfogatelemben lévő részecskék átlagos számát pedig a szorzat határozza meg. Térfogatelemen fizikailag kis térfogatot értünk, pl. olyan térterület, amelynek méretei kicsik a feladatban figyelembe vett méretekhez képest. Ugyanakkor egy kis térfogat méretei nagyok a molekulák méreteihez képest. A molekulának egy adott térfogatelemben való elhelyezkedésére vonatkozó megállapítás a legjobb esetben is csak a molekula méretét meghaladó távolságok pontosságával határozza meg a molekula helyzetét. Két klasszikus részecske koordinátáinak pontos meghatározása lehetővé teszi a pályájuk pontos meghatározását ütközés előtt és után, ha ütközés történt. A részecskék pontos relatív helyzetének bizonytalansága lehetővé teszi, hogy valószínűségi megközelítést alkalmazzunk az ütközés problémájának megoldására. A klasszikus gáz figyelembevétele azt jelenti, hogy a sűrűség

egy makroszkopikus mennyiség. Makroszkóposság csak abban az esetben fordul elő, ha az elemi térfogat kellően sok részecskét tartalmaz (csak akkor a vizsgált folyamat során kicsi az elemi térfogat részecskeszámának változása); ebben az esetben a gáz által elfoglalt terület lineáris dimenzióinak lényegesen nagyobbnak kell lenniük, mint az átlagos intermolekuláris távolság.

§2 Részecskeütközés.

Tekintsük molekulák ütközését, amelyek közül néhánynak Γ értéke van egy adott intervallumban, másoké pedig az intervallumban. Az ütközés eredményeként a molekulák Γ értékeket kapnak az intervallumokban, ill. Továbbá a rövidség kedvéért beszélünk a molekulák ütközéséről és az átmenetről

Az egységnyi térfogatra jutó molekulák számának az egyes molekuláknak a jelzett átmenettel való ütközésének valószínűségével való szorzata adja az ilyen ütközések teljes számát egységnyi térfogatra egységnyi idő alatt. Egy ilyen esemény valószínűsége (egy bizonyos függvényen keresztül jelöljük) arányos az egységnyi térfogatra jutó molekulák számával és az egyes molekulák ütközés utáni értékeinek intervallumával. Így feltételezzük, hogy az egységnyi térfogatra és egységnyi időre eső átmenettel járó ütközések száma a formát ölti

(a kötőjel a végső állapotokat jelzi, prím nélkül a kezdeti állapotokat). Az ütközés valószínűségének van egy fontos tulajdonsága, ami a mechanika törvényeiből következik az idő előjelének megfordítására vonatkozóan. Ha T felső indexszel jelöljük az idő előjelének megfordításával kapott összes mennyiség értékét, akkor az egyenlőség megtörténik

Az időfordítás átrendezi az „előtte” és „utána” állapotokat, ami azt jelenti, hogy át kell rendezni a valószínűségi függvény argumentumait. Ez az egyenlőség különösen a rendszer egyensúlya esetén érvényes, pl. vitatható, hogy egyensúlyban az átmenettel való ütközések száma megegyezik az átmenettel való ütközések számával (*). Jelöljük az egyensúlyi eloszlásfüggvénnyel és írjuk fel

A differenciálok szorzata a fázistér olyan eleme, amely nem változik az idő megfordításával (az egyenlőség mindkét oldalán lévő differenciálok elhagyhatók). A molekulák potenciális energiája szintén nem változik, és ezért az egyensúlyi (Boltzmann) eloszlásfüggvény, amely csak az energiától függ:

(2)

V a gáz egészének makroszkopikus mozgási sebessége. Az energiamegmaradás törvénye miatt, amikor két molekula ütközik. Ezért írhatjuk (3)

Vegyük észre azt is, hogy maga a valószínűségi függvény elvileg csak a részecskeütközések mechanikai problémájának megoldásával határozható meg. A fenti (1), (2) és (3) egyenlőségeket az (1) rövidítések után adjuk meg.

Jóváhagyás függvényében (*)

Az utolsó egyenlőséget integrálva (további felhasználás céljából) a következő összefüggést kapjuk:

§3 A kinetikai egyenlet levezetése.

Tekintsük az időeloszlási függvény deriváltját:

Amikor a gázmolekulák külső tér hiányában mozognak, a Γ, mint mozgásintegrál értékei nem változnak.

(a derivált kifejezés utolsó tagja nullára áll vissza, mert)

(nabla operátor)

A származék kifejezése a következő formában lesz: (6)

Legyen most a gáz egy külső potenciálmezőben, amely a molekulák súlypontjának koordinátáira hat (például gravitációs térben). És legyen F a mezőből a részecskére ható erő.

A (6) egyenlőség jobb oldalát jelöljük. A szimbólum azt jelenti

az eloszlásfüggvény ütközések miatti változásának sebessége, és a nagysága

a fázistérfogatban lévő molekulák számának ütközései miatti egységnyi időbeli változás. Az eloszlásfüggvény teljes változását a fázistér egy adott pontjában a következőképpen írjuk le:

(8)

A mennyiséget ütközési integrálnak, a (8) alak egyenletét pedig kinetikai egyenletnek nevezzük. A (8) kinetikai egyenlet csak az ütközési integrál alakjának meghatározása után kap valódi jelentést.

§3 Az ütközési integrál és a Boltzmann-egyenlet alakjának meghatározása.

A molekulák ütközése során változás következik be azokban a mennyiségekben, amelyektől az eloszlási függvény függ. Figyelembe véve azt a tényt, hogy a rendszer állapotának és a részecskék koordinátáinak megfigyelési ideje változik, függetlenül attól, hogy a részecskék ütközése történt-e vagy sem (ami csak a koordináták változásának jellegét érinti), akkor vitatható. hogy az ütköző molekulák G értéke megváltozik. Megfelelően kis intervallumot figyelembe véve azt találjuk, hogy a molekulák az ütközéskor eltávolítódnak ebből az intervallumból, pl. „ápolási” cselekmények történnek. Hagyja, hogy a két ütköző molekula, mint korábban, megfeleljen az ütközés előtti és az ütközés utáni értékeknek (a rövidség kedvéért átmenetről beszélünk).

Az ütközések teljes száma a fenti átmenetben az összes lehetséges értékkel

Egy adott eseményre egy térfogatban egységnyi idő alatt bekövetkező eseményt az integrál határozza meg

Ugyanakkor másfajta ütközések is előfordulnak (úgynevezett „megérkezés”), aminek következtében azok a molekulák, amelyeknek az ütközés előtt az adott intervallumon kívüli értékei voltak, ebbe az intervallumba esnek. Az ilyen átmenetek a következőképpen jelölhetők: (minden lehetséges érték megadásával). Az első típusú átmenethez hasonlóan az ilyen ütközések teljes száma egységnyi idő alatt a kötetben egyenlő:

Valamennyi ütközés eredményeként az egységnyi időegységre eső molekulák számának változását egy elemi térfogatban a kilépési aktusok és az érkezések számának különbsége határozza meg:

(9) , ahol

Az ütközési integrál a következőképpen definiálható:

(az egységnyi idő alatti részecskék számának változása a fázistérfogatban dVdГ)

A (8) és (9) összefüggésből megkapjuk az ütközési integrál alakját

Vegyük észre, hogy az integrandus második tagjában az integráció over have

csak a funkcióval kapcsolatos. Szorzók és nem függenek a változóktól. Az integrál ezen részét a (4) reláció segítségével átalakítva megkapjuk az ütközési integrál végső alakját

és kinetikai egyenlet

Az így kapott integrál-differenciálegyenletet Boltzmann-egyenletnek nevezzük.

Tekintsünk egy időtől független eloszlást a rendszer egyensúlyi állapotában külső hatások hiányában. Ez az eloszlás stacionárius (nem függ az időtől) és homogén (nem változik a rendszer által elfoglalt tértartományban). A megszabott feltételek visszaállítják az eloszlásfüggvény deriváltját az idő és három koordináta tekintetében; a kinetikai egyenlet bal oldala eltűnik. Az integrandus a (3) egyenlőség miatt nullára megy. Következésképpen az egyensúlyi eloszlás külső mezők hiányában ugyanúgy kielégíti a kinetikai egyenletet. Ha a gáz egyensúlyi állapotban van külső potenciál (például gravitációs) mező hatására, akkor az eloszlásfüggvény ebben az esetben kielégíti a kinetikai egyenletet. Valójában az egyensúlyi eloszlást a mozgás integrálja – a molekula teljes energiája – fejezi ki. A kinetikai egyenlet bal oldala a teljes derivált, amely nullával egyenlő egy olyan függvény deriváltjaként, amely csak a mozgási integráloktól függ. Az egyenlet jobb oldala, mint már jeleztük, nulla. Így egy külső potenciálmezőben egyensúlyban lévő gáz eloszlásfüggvénye is kielégíti a kinetikai egyenletet.

A „Bevezetés”-ben jelzett feltételezésekhez még egyet hozzáfűzünk: a molekulák ütközését a tér egy „pontjában” bekövetkező pillanatnyi aktusnak tekintjük. A kinetikai egyenlet olyan folyamatot ír le, amely az ütközések időtartamánál sokkal hosszabb időintervallumban megy végbe. Ugyanakkor a vizsgált rendszer tartományának jelentősen meg kell haladnia a részecskék ütközési tartományát, amelynek méretei a molekuláris erők hatássugarának nagyságrendjében vannak d. Az ütközési idő nagyságrendileg a következőképpen definiálható: (a molekulák átlagos mozgási sebessége a gázban). A kapott értékek a távolság és az idő alsó határát jelentik, ha figyelembe vesszük, hogy melyik kinetikai egyenlet használható. A valódi fizikai problémák nem igénylik a folyamat ilyen részletes leírását; A rendszer mérete és megfigyelési ideje jelentősen meghaladja a szükséges minimumot.

A gázban előforduló kinetikai jelenségek kvalitatív mérlegelésére az ütközési integrál durva becslését használjuk két paraméteren keresztül: az átlagos szabad út és a szabad utazási idő alapján. Hagyja, hogy a molekula egységnyi hosszúságon keresztül mozogjon, ütközve egy egységnyi hosszúságú és alapterületű (a molekula effektív keresztmetszete) egyenes henger térfogatában elhelyezkedő molekulákkal. Ebben a kötetben molekulák vannak.

- a molekulák közötti átlagos távolság;

Az érték a szabad futási idő. Az ütközési integrál hozzávetőleges becsléséhez a következőket használhatja:

A számlálóba írt különbség figyelembe veszi, hogy az ütközési integrál az egyensúlyi eloszlásfüggvénynél eltűnik, a mínuszjel pedig azt jelzi, hogy az ütközések a statisztikai egyensúly megteremtésének mechanizmusa, azaz. törekedni kell az eloszlásfüggvény egyensúlyitól való eltérésének csökkentésére (vagyis minden olyan rendszer, amelyet a rendszer minimális belső energiájának megfelelő egyensúlyi állapotból kiemelünk és magára hagyunk, hajlamos egyensúlyi állapotba visszatérni).

3. § Áttérés a makroszkopikus egyenletekre. Hidrodinamikai folytonossági egyenlet.

A Boltzmann kinetikai egyenlet mikroszkopikus leírást ad a gáz állapotának alakulásáról. A gyakorlatban azonban gyakran nem szükséges ilyen részletesen leírni a folyamatokat, ezért a hidrodinamikai problémák, az inhomogén vagy nagyon ritka gázokban előforduló folyamatok, a hővezetőképesség és a gázok diffúziós problémái és számos egyéb probléma mérlegelése során. , érdemes áttérni a kevésbé részletes (és ezért egyszerűbb) makroszkopikus egyenletekre. Ez a leírás akkor alkalmazható egy gázra, ha annak makroszkopikus tulajdonságai (hőmérséklet, sűrűség, részecskekoncentráció, nyomás stb.) kellően lassan változnak a gáz tetszőlegesen választott irányában. Azoknak a távolságoknak, amelyeknél a makroszkopikus paraméterek jelentős változása következik be, jelentősen meg kell haladnia a molekulák szabad útját.

Példaként vegyünk egy módszert hidrodinamikai egyenlet előállítására.

A kifejezés határozza meg a gázmolekulák térbeli eloszlási sűrűségét (a gázmolekulák koncentrációját). Egy molekula tömegének (feltételezzük, hogy a gáz azonos részecskékből áll) szorzata a molekulák eloszlási sűrűségével megadja a gáz tömegsűrűségét: . Jelöljük a gáz egészének makroszkopikus mozgási sebességével és a molekulák mikroszkopikus sebességével. A makroszkopikus sebesség (a tömegközéppont mozgási sebessége) a molekulák mikroszkopikus sebességének átlagaként határozható meg.

Az ütközések nem változtatják meg sem az ütköző részecskék számát, sem azok összenergiáját vagy impulzusát (a molekulák ütközését abszolút rugalmas ütközésnek tekintjük). Az eloszlásfüggvény változásának ütközési része nem vezethet a gáz sűrűségének, belső energiájának, sebességének és egyéb makroszkopikus paramétereinek változásához minden egyes térfogatelemében. Valójában az egységnyi gáztérfogatra jutó molekulák összszámának változásának ütközési részét a nullával egyenlő integrál adja:

Ellenőrizzük ennek az egyenlőségnek az érvényességét a következő módon:

Az integráció az egyes változókon keresztül történik, ami azt jelenti, hogy az integrál megváltoztatása nélkül át lehet nevezni a változókat, például a második integrálban:

Az utolsó kifejezés nyilvánvalóan egyenlő nullával, ezért a (14) egyenlőség érvényes.

Írjuk fel a kinetikai egyenletet, és miután mindkét részét megszoroztuk az m részecske tömegével, integráljuk a következőképpen:

Innen azonnal megkapjuk a hidrodinamikai folytonossági egyenletet:

Ha ebben a differenciálegyenletben megadjuk a folyadéksűrűség változását, és a folyadékot összenyomhatatlannak tekintjük, a folyadék bármely pontján a sebesség irányainak vektormezőjét kaphatjuk meg.

4. §. Enyhén inhomogén gáz. A gáz hővezető képessége.

Minden valós fizikai folyamat szükségszerűen bekövetkezik bizonyos energiaveszteségekkel (azaz energia disszipáció következik be - a rendezett mozgás energiájának átmenete a kaotikus mozgás energiájává, például a gázmolekulák hőmozgásává). A disszipatív folyamatok (hővezetőképesség vagy viszkozitás) gyengén inhomogén gázban történő figyelembevételéhez a következő közelítést kell használni: a gáz kis szakaszában az eloszlásfüggvényt nem lokális egyensúlynak kell tekinteni, mint egy homogén gáz esetében. , de az egyensúlyi állapottól valamely kellően kis mennyiségben eltér (mivel a gáz gyengén inhomogén) értékkel. Az eloszlási függvény alakot vesz fel, és maga a korrekció is a formába kerül. A funkciónak meg kell felelnie bizonyos feltételeknek. Ha adott a részecskék számának, a gáz energiájának és impulzusának sűrűsége

azok. integrálok az egyensúlyi függvénynek felelnek meg, akkor a nem egyensúlyi függvénynek ezeknek a mennyiségeknek az azonos értékeire kell vezetnie (a és az integráloknak egybe kell esniük), ami csak akkor fordul elő, ha

Transzformáljuk az ütközési integrált a (13) kinetikai egyenletben: az eloszlásfüggvény kifejezéseinek behelyettesítése és a korrekciók, az egyensúlyi eloszlásfüggvényt tartalmazó ütközési integrálok nullázása, a kis korrekciót nem tartalmazó tagok redukciója. Az első rendelés feltételei megadják. A szimbólumot a lineáris integrál operátor jelölésére vezették be

Az űrlap függvényeinél a jelzett integrál eltűnik

Írjuk fel (levezetés nélkül) a kinetikai egyenletet egy gyengén inhomogén gázra úgy, hogy a hővezetési probléma figyelembevételére az egyenlet bal oldalán csak egy hőmérsékleti gradiens tagot tartsunk meg.

*************************************************

4. §. Egy atomos gáz hővezetési együtthatójának kiszámítása

Egy gáz hővezetési együtthatójának kiszámításához a fent leírt egyenletet hőmérsékleti gradienssel kell megoldani.

Legyen csak mennyiségek vektorfüggvénye. Ezután a () egyenlet megoldását keressük a formában. Ha ezt a megoldást behelyettesítjük a () egyenletbe, akkor egy tényezőt kapunk. A () egyenlet a hőmérsékleti gradiensvektor teljesen tetszőleges értékeire érvényes, akkor az egyenlőség mindkét oldalán az együtthatóknak egyenlőnek kell lenniük. Ennek eredményeként megkapjuk az egyenletet

Az egyenlet nem tartalmaz hőmérsékleti gradienst, ezért nincs kifejezett függése a koordinátáktól. A függvénynek teljesítenie kell a korábban megadott feltételeket (). Az első két feltétel nyilvánvalóan teljesül (a () egyenlet nem tartalmaz olyan vektorparamétereket, amelyek mentén konstans vektorintegrálok irányíthatók

ÉS). A harmadik integrál a g függvény további feltétele. Ha a kinetikai egyenletet megoldjuk és a függvényt

definiált, akkor az energiaáram, pontosabban annak disszipatív része kiszámításával meg lehet határozni a hővezetési együtthatót, amely nem kapcsolódik konvektív energiaátvitelhez (az energiaáramlásnak ezt a részét jelöljük). Ha nincs makroszkopikus mozgás a gázban, Q egybeesik a Q teljes energiafluxussal, amelyet az integrállal fejezhetünk ki.

Ha a rendszer egyensúlyban van, akkor ez az integrál egyenlő nullával a gáz minden lehetséges irányában történő integráció miatt. Behelyettesítéskor () marad

Alkatrészekben

Az egyensúlyi gázközeg izotrópiája miatt nincsenek benne kiválasztott irányok és a tenzor csak az egységtenzorral fejezhető ki, azaz. skalárra redukálódik

Így az energiaáramot úgy fejezzük ki, hogy a mennyiség a skaláris hővezetési együttható

A Q áramlást a hőmérsékleti gradienssel ellentétes irányba kell irányítani, és ennek megfelelően pozitívnak kell lennie, amit a () kinetikai egyenlet automatikusan biztosít. Egyatomos gázokban a v fordulatszám az egyetlen vektor, amelytől a g függvény függ (többatomos gázokban a g nemcsak a v fordulatszámtól, hanem az M nyomatéktól is függ). Egyatomos gázok esetén a g függvény alakja:

.

§5.Példa egy kinetikai egyenlet megoldására

A gázmolekulák meglehetősen összetett törvények szerint kölcsönhatásba lépnek. Ez különösen igaz a valódi többatomos gázokra. A gázmolekulák viselkedésének természetére vonatkozó feltételezések lehetővé teszik az érvelés leegyszerűsítését (vagy akár elvileg lehetővé teszik), de némileg elmozdítanak minket a valóságtól. A molekuláris kölcsönhatás összetett törvényei, amelyek az ütközési integrálban határozzák meg a függvényt, még azt sem teszik lehetővé, hogy a Boltzmann-egyenletet konkrét gázokra pontosan felírjuk. Ha a molekuláris kölcsönhatás természetét leegyszerűsítjük is, a kinetikai egyenlet matematikai szerkezete meglehetősen bonyolult marad, és annak analitikus formában történő megoldása nehézkes. A gázok kinetikai elméletében speciális módszereket alkalmaznak a Boltzmann-egyenlet közelítő megoldására, amelyek hatékonyabbak, mint az analitikus megoldási kísérlet. Példaként vegyünk egy monoatomos gázt és a hővezető képesség problémáját.

Egyatomos gáz esetén a hőkapacitás. A () egyenletet megadva megadjuk a formát

A () ütközési integrálnak megfelelő lineáris integrál operátort a képlet határozza meg

és az egyensúlyi eloszlásfüggvény olyan formát ölt

A () egyenlet közelítő megoldásának hatékony módszere a kívánt függvények kölcsönösen ortogonális függvények teljes rendszerévé való kiterjesztése. Ilyen függvényekként tekintsük a formcle-ek által meghatározott Sonin-polinomokat:

Ebben a képletben r tetszőleges, s pedig pozitív egész szám vagy nulla. Őszintén szólva

Ezeknek a polinomoknak az ortogonalitási tulajdonsága adott r indexre és különböző s indexekre így néz ki:

Az egyenletre megoldást keresünk a következő bővítés formájában

Az s=0 tagot a bővítésből kihagyva a kielégítő () kifejezést kapjuk (az integrált nullára állítjuk a különböző s-ű polinomok ortogonalitása miatt). A kifejezés zárójelben a bal oldalon ()

Van. A () egyenlet a következő alakot veszi fel

Szorozzuk meg mindkét oldalon, és integráljuk. Kapunk egy számítógépen megoldható algebrai egyenletrendszert:

Az utolsó kifejezésnél bevezettük a jelölést

Nincs l=0 egyenlet, mivel az impulzus megmaradása miatt

A hővezetési együtthatót úgy számítjuk ki, hogy a () kifejezést behelyettesítjük a () integrálba. A (c) integrál a (c) feltétel figyelembe vételével ábrázolható formában

Ennek eredményeként azt találjuk.

A Sonon polinombővítést alkalmazó numerikus módszer hatékonysága a jobb oldal () és a végső kifejezés () egyszerűségéből ítélhető meg. A megoldás során kapott végtelen lineáris algebrai egyenletrendszert mesterséges csonkítás után oldjuk meg.

Következtetés.

A Boltzmann-kinetikai egyenlet levezetésének vizsgált módszere fizikai szempontból meglehetősen kielégítő. A kinetikai egyenletet azonban a gázrészecskék mozgásának leírására használt matematikai apparátusból is megkaphatjuk. 1946-ban egy ilyen, dinamikusnak nevezett következtetést N. N. Bogolyubov adott. A Bogolyubov-módszer nemcsak a Boltzmann-egyenlet megszerzését teszi lehetővé, hanem annak korrekcióit is, pl. a kis gáztartalom paraméterben a következő rendelések feltételeit. Például a fenti levezetés csak két molekula egyidejű ütközését veszi figyelembe, és feltételezi, hogy az ütközések egy ponton következnek be, pl. helyiek, és nincs többé-kevésbé nyilvánvaló recept a három, négy vagy több részecskékből álló csoportok ütközésének figyelembevételére. Eközben nyilvánvaló, hogy az ilyen ütközések figyelembevétele alapvetően fontos a sűrű gázok figyelembevételekor. Ebben a tekintetben célszerű szigorúbb megközelítést alkalmazni a kinetikai egyenlet levezetésében és lehetséges általánosításaiban. Bogolyubov módszere lehetővé teszi számunkra, hogy figyelembe vegyük

Kettőnél több részecske ütközésének és ütközésének „nem lokalitása” a levezetés során felmerülő bizonyos korrekciós tagok segítségével. A korrekciók figyelmen kívül hagyása a kinetikai egyenletet a legegyszerűbb esetben kapott formához vezeti.

Bibliográfia.

1. E. M. Lifshits, L. P. Pitajevszkij. Fizikai kinetika. Nauka, M., 1979

2. Yu.B.Rumer, M.Sh.Ryvkin. Termodinamika, statisztikai fizika és kinetika.

Nauka, M., 1972

Gáza<< 1 «хорошим» кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции F2 в «бесконечном прошлом». Рассмотрим случай β = U0/T <<; 1, что соответствует горячему газу со слабым взаимодействием между частицами, который, однако, ...

Deszka; NA – Avogadro száma;  az elektrolit molekula redukált tömege, g; сi – az ionok moláris koncentrációja (сi= c0); с0 – az elektrolit kezdeti moláris koncentrációja. 3. Az egyenletek izomorfizmusa A viszkózus erők mezőjében történő mozgás vizsgálatakor célszerű bevezetni a mobilitás fogalmát b. A mobilitást úgy definiálják, mint azt a maximális sebességet, amelyet egy test elér eggyel egyenlő erő hatására, azaz ...

Az elektromos tér intenzitása és a hőmérsékleti gradiens nagysága az inhomogén tagban a bal oldalon. A fejezet későbbi részében a kinetikai egyenlet megoldásait keressük különböző esetekre, a bonyolultság növekedésének sorrendjében. 7. § Elektromos vezetőképesség Csak E elektromos mezőt alkalmazzon a rendszer, és egy „végtelen” közegben tartsunk állandó hőmérsékletet. Figyelembe véve a...

Ezüst Réz Vas Ón Folyadékok Higany Víz Aceton Benzol 0 0 0 -3 0 0 0 0 0 20 16 22,5 0,1765 0,1411 0,0237 0,0226 403 86,5 68,2 403 86,5 68,5 158 . 3. Folyadékok és gázok hővezető képessége Hővezetőképesség, az egyik hőátadás típusai (mikrorészecskék hőmozgásának energiája) a test melegebb részeiről...