2 Egy kör bármely háromszögbe írható. Beírt kör

Egy szakaszra merőleges felező

1. definíció. Egy szakaszra merőleges felező erre a szakaszra merőleges és annak közepén áthaladó egyenesnek nevezzük (1. ábra).

1. tétel. A szakaszra merőleges felezőszög minden pontja elhelyezkedik ugyanolyan távolságra a végektől ezt a szegmenst.

Bizonyíték . Tekintsünk egy tetszőleges D pontot, amely az AB szakaszra merőleges felezővonalon fekszik (2. ábra), és bizonyítsuk be, hogy az ADC és a BDC háromszögek egyenlőek.

Valójában ezek a háromszögek derékszögű háromszögek, amelyekben az AC és BC szárak egyenlőek, és a DC szár közös. Az ADC és BDC háromszögek egyenlősége az AD és DB szakaszok egyenlőségét jelenti. Az 1. tétel bizonyítást nyert.

2. tétel (fordítva az 1. tételhez). Ha egy pont azonos távolságra van egy szakasz végeitől, akkor a szakaszra merőleges felezőn fekszik.

Bizonyíték . Bizonyítsuk be a 2. tételt ellentmondással. Ebből a célból tegyük fel, hogy egy E pont azonos távolságra van a szakasz végeitől, de nem fekszik a szakaszra merőleges felezőn. Hozzuk ezt a feltevést ellentmondásba. Tekintsük először azt az esetet, amikor az E és A pontok a merőleges felezőszög ellentétes oldalán helyezkednek el (3. ábra). Ebben az esetben az EA szakasz egy ponton metszi a merőleges felezőt, amit D betűvel fogunk jelölni.

Bizonyítsuk be, hogy az AE szakasz hosszabb, mint az EB szakasz. Igazán,

Tehát abban az esetben, ha az E és A pontok a merőleges felezőszög ellentétes oldalán helyezkednek el, akkor ellentmondás van.

Tekintsük most azt az esetet, amikor az E és A pontok a merőleges felezőszög ugyanazon az oldalán helyezkednek el (4. ábra). Bizonyítsuk be, hogy az EB szakasz hosszabb, mint az AE szakasz. Igazán,

A kapott ellentmondás teszi teljessé a 2. Tétel bizonyítását

Háromszög körül körülírt kör

2. definíció. Háromszög körül körülírt kör, a háromszög mindhárom csúcsán áthaladó körnek nevezzük (5. ábra). Ebben az esetben a háromszöget nevezzük körbe írt háromszög vagy beírt háromszög.

A háromszög körülírt körének tulajdonságai. Szinusztétel

Ábra	Rajz	Ingatlan
Merőleges felezők a háromszög oldalaihoz		egy pontban metszik egymást .
Központ hegyesszögű háromszög körül körülírt kör		Központ leírása kb hegyesszögű belül háromszög.
Központ derékszögű háromszög körül körülírt kör		A központban leírtak kb négyszögletes a hypotenus közepe .
Központ tompa háromszög körül körülírt kör		Központ leírása kb tompaszögű háromszög kör fekszik kívül háromszög.
		,
Négyzet háromszög		S= 2R 2 bűn A bűn B bűn C ,
Circumradius		Bármely háromszögre igaz az egyenlőség:

A háromszög oldalaira merőleges felezők

Minden merőleges felező , egy tetszőleges háromszög oldalaira rajzolva, egy pontban metszik egymást .

Háromszög körül körülírt kör

Bármely háromszöget körbe lehet venni . A háromszögre körülírt kör középpontja az a pont, ahol a háromszög oldalaira húzott összes merőleges felező metszéspontja metszi egymást.

Egy hegyesszögű háromszög körülírt körének középpontja

Központ leírása kb hegyesszögű háromszög kör fekszik belül háromszög.

Egy derékszögű háromszög körülírt körének középpontja

A központban leírtak kb négyszögletes háromszög kör az a hypotenus közepe .

Egy tompa háromszög körülírt körének középpontja

Központ leírása kb tompaszögű háromszög kör fekszik kívül háromszög.

Bármely háromszögre igazak a következő egyenlőségek (szinusztétel): , ahol a, b, c a háromszög oldalai, A, B, C a háromszög szögei, R a körülírt kör sugara.

Egy háromszög területe

Bármely háromszögre igaz az egyenlőség: S= 2R 2 bűn A bűn B bűn C , ahol A, B, C a háromszög szögei, S a háromszög területe, R a körülírt kör sugara.

Circumradius

Bármely háromszögre igaz az egyenlőség: ahol a, b, c a háromszög oldalai, S a háromszög területe, R a körülírt kör sugara.

A háromszög körülírt kör tulajdonságaira vonatkozó tételek bizonyítása

3. tétel. Egy tetszőleges háromszög oldalaira húzott összes merőleges felező egy pontban metszi egymást.

Bizonyíték . Tekintsük az ABC háromszög AC és AB oldalaira húzott két merőleges felezőt, és jelöljük a metszéspontjukat O betűvel (6. ábra).

Mivel az O pont az AC szakaszra merőleges felezőn fekszik, az 1. Tétel értelmében az egyenlőség igaz.

2. definíció

Az 1. definíció feltételét kielégítő sokszöget kör körül körülírtnak nevezzük.

1. ábra Beírt kör

1. tétel (egy háromszögbe írt körről)

1. tétel

Bármely háromszögbe beírhat kört, és csak egyet.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget. Rajzoljunk bele olyan felezőket, amelyek a $O$ pontban metszik egymást, és húzzunk belőle merőlegeseket a háromszög oldalaira (2. ábra)

2. ábra. Az 1. tétel illusztrációja

Létezés: Rajzoljunk egy kört, amelynek középpontja a $O$ és a sugara $OK.\ $Mivel a $O$ pont három felezőn fekszik, egyenlő távolságra van az $ABC$ háromszög oldalaitól. Azaz $OM=OK=OL$. Következésképpen a megszerkesztett kör a $M\ és\ L$ pontokon is áthalad. Mivel az $OM,OK\ és\OL$ merőlegesek a háromszög oldalaira, ezért a kör érintő tétele alapján a megszerkesztett kör a háromszög mindhárom oldalát érinti. Ezért a háromszög tetszőlegessége miatt bármely háromszögbe kör írható.

Egyediség: Tegyük fel, hogy az $ABC$ háromszögbe beírható egy másik kör, amelynek középpontja a $O"$ pont. Középpontja egyenlő távolságra van a háromszög oldalaitól, ezért egybeesik a $O$ ponttal, sugara pedig egyenlő hossza $OK$ De akkor ez a kör egybeesik az elsővel.

A tétel bizonyítást nyert.

1. következmény: A háromszögbe írt kör középpontja felezőinek metszéspontjában van.

Íme néhány további tény a beírt kör fogalmával kapcsolatban:

Nem minden négyszög fér bele egy körbe.

Bármely körülírt négyszögben a szemközti oldalak összege egyenlő.

Ha egy konvex négyszög szemközti oldalainak összege egyenlő, akkor kör írható bele.

3. definíció

Ha egy sokszög minden csúcsa egy körön fekszik, akkor a kört a sokszög körül körülírtnak nevezzük (3. ábra).

4. definíció

A 2. definíciót kielégítő sokszögről azt mondjuk, hogy körbe van írva.

3. ábra Körülírt kör

2. Tétel (egy háromszög körülírt köréről)

2. tétel

Bármely háromszög körül leírhat egy kört, és csak egyet.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget. Rajzoljunk bele merőleges felezőket, amelyek a $O$ pontban metszik egymást, és kössük össze a háromszög csúcsaival (4. ábra)

4. ábra A 2. tétel illusztrációja

Létezés: Szerkesszünk meg egy kört, amelynek középpontja a $O$ és sugara $OC$. A $O$ pont egyenlő távolságra van a háromszög csúcsaitól, azaz $OA=OB=OC$. Következésképpen a megszerkesztett kör egy adott háromszög összes csúcsán áthalad, ami azt jelenti, hogy erre a háromszögre körül van írva.

Egyediség: Tegyük fel, hogy egy másik kör írható le az $ABC$ háromszög körül, amelynek középpontja a $O"$ pontban van. Középpontja egyenlő távolságra van a háromszög csúcsaitól, ezért egybeesik a $O$ ponttal, és $OC $ hosszával megegyező sugár De akkor ez a kör egybeesik az elsővel.

A tétel bizonyítást nyert.

1. következmény: A háromszögre körülírt kör középpontja egybeesik a háromszög felező merőlegeseinek metszéspontjával.

Íme néhány további tény a körülírt kör fogalmával kapcsolatban:

Nem mindig lehet egy négyszög körüli kört leírni.

Bármely ciklikus négyszögben a szemközti szögek összege $(180)^0$.

Ha egy négyszög ellentétes szögeinek összege $(180)^0$, akkor körberajzolható.

Példa a beírt és körülírt kör fogalmának problémájára

1. példa

Egy egyenlő szárú háromszög alapja 8 cm, oldala 5 cm. Határozza meg a beírt kör sugarát.

Megoldás.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget. Az 1. következmény alapján tudjuk, hogy a kör középpontja a felezők metszéspontjában van. Rajzoljuk meg a $AK$ és $BM$ felezőket, amelyek a $O$ pontban metszik egymást. Rajzoljunk egy merőlegest $OH$ a $O$ pontból a $BC$ oldalra. Rajzoljunk egy képet:

5. ábra.

Mivel a háromszög egyenlő szárú, ezért $BM$ a medián és a magasság is. A Pitagorasz-tétel szerint $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3 USD. $OM=OH=r$ -- a beírt kör szükséges sugara. Mivel az $MC$ és a $CH$ metsző érintők szegmensei, ezért a metsző érintőkre vonatkozó tétel alapján $CH=MC=4\cm$. Ezért $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Az $OHB$ háromszögből a Pitagorasz-tétel szerint a következőket kapjuk:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Válasz:$\frac(4)(3)$.

TÉTEL A SZOKSZÖG KÖRÜL LEÍRT KÖRRŐL: Bármely szabályos sokszög körül lehetséges kört leírni, és csak egyet. TÉTEL A SZABÁLYOS SOKSZÖGBE BEÍRTOTT KÖRRŐL: Egy kört bármilyen szabályos sokszögbe be lehet írni, és csak egyet.

SPA4a4 rRN Szabályos sokszög területének, oldalának és a beírt kör sugarának és a beírt kör sugarának kiszámítása

Szabályos sokszögek területei Szabályos sokszögek területei SZOKSZOGOK NEVE ÉS TERÜLETE Oldalak száma A sokszög neve Szabályos sokszög területe 3 Háromszög 0,433a 2 4Négyszög1,000a 2 5Ötszög1,720a 2 6Hatszög 2.64cOtszög2.6798p. 828a 2 9 Nyolcszög 6,182a 2 10Tízszög 7,694a 2 nn- négyzet

0 beírt szög. Khioszi Hippokratész A modern tankönyvekben bemutatott bizonyíték, hogy a beírt szöget annak az ívnek a felével mérik, amelyen nyugszik, Eukleidész Elemei című könyvében található. Erre a javaslatra azonban Hippokratész Hippokratész (Kr. e. V. század) is hivatkozik a „lyukakról” szóló munkájában. Hippokratész munkái jelzik, hogy már az 5. század második felében. időszámításunk előtt e. az Euklidész elemeiben megfogalmazott tételek nagy száma ismert volt, és a geometria magas fejlettségi szintet ért el. Azt, hogy az átmérőn alapuló beírt szög derékszög, már 4000 évvel ezelőtt tudták a babilóniaiak. Első bizonyítékát Pamphylia, a Néró korabeli római író a milétoszi Thalésznek tulajdonítja.

0 szabályos sokszög Szabályos négyszögek, hatszögek és nyolcszögek találhatók az egyiptomi és babiloni ókori emlékekben falakon lévő képek és kőből faragott díszítések formájában. Az ókori görög tudósok Pythagoras óta nagy érdeklődést mutattak a szabályos alakok iránt. A pythagoreusok számára fontos volt egy kör több egyenlő részre osztása, hogy szabályos sokszögeket hozzunk létre. A Pythagoras iskolájában megkezdett szabályos sokszögek tana a 7. században folytatódott és fejlődött. időszámításunk előtt e., Eukleidész rendszerezte, és az Elemek IV. A szabályos háromszög, a négyszög, az ötszög és a hatszög megalkotása mellett Eukleidész megoldja a szabályos tizenöt oldalú háromszög megalkotásának problémáját is csak egy iránytű és egy vonalzó segítségével. Ez az ábra felkeltette a régiek figyelmét, mivel észrevették, hogy az ekliptika dőlésszögének íve az egyenlítőhöz a teljes kört képviseli, vagyis egy szabályos, tizenöt oldalú háromszög oldala alá van zárva.

A B C O1 O2 O1 a körülírt kör középpontja, O2 a beírt kör középpontja Szükségesség: Elegendőség: D AB + CD = BC + AD és ezért AB = CD = BAD = ADC, de ROSSZ + ABC = 180 Ebből következik, hogy ADC + ABC = 180 , és az ABCD trapéz köré egy kör írható be. Ezen túlmenően, AB + CD = BC + AD, és ezért kör írható az ABCD-be. Szükséges és elegendő, hogy a trapéz egyenlő oldalú legyen, és az oldalsó oldal egyenlő az alapok összegének felével.