A kör két ponttal határolt részét ún. Kör

Először is, értsük meg a különbséget a kör és a kör között. Ennek a különbségnek a megértéséhez elegendő figyelembe venni, hogy mi is a két szám. Ez végtelen számú pont a síkon, amelyek egy központi ponttól egyenlő távolságra helyezkednek el. De ha a kör belső térből is áll, akkor nem tartozik a körhöz. Kiderült, hogy a kör egyrészt egy kör, amely korlátozza azt (kör(r)), másrészt pedig számtalan olyan pont, amely a körön belül van.

A körön fekvő bármely L pontra érvényes az OL=R egyenlőség. (Az OL szakasz hossza megegyezik a kör sugarával).

A kör két pontját összekötő szakasz az akkord.

Közvetlenül a kör középpontján áthaladó akkord az átmérő ez a kör (D). Az átmérő a következő képlettel számítható ki: D=2R

Körméret a következő képlettel számítjuk ki: C=2\pi R

Egy kör területe: S=\pi R^(2)

Egy kör íve Ennek azt a részét nevezzük, amely a két pontja között helyezkedik el. Ez a két pont egy kör két ívét határozza meg. Az akkord CD két ívet ölel fel: CMD és CLD. Azonos akkordok egyenlő íveket zárnak le.

Központi szög A két sugár közé eső szöget nevezzük.

Ívhossz képlet segítségével találhatjuk meg:

1. A fokmérő használata: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Radián mértékkel: CD = \alpha R

A húrra merőleges átmérő a húrt és az általa összehúzott íveket kettéosztja.

Ha egy kör AB és CD húrjai az N pontban metszik egymást, akkor az N ponttal elválasztott húrszakaszok szorzatai egyenlők egymással.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Egy kör érintője

Egy kör érintője Egy olyan egyenest szokás hívni, amelynek egy közös pontja van a körrel.

Ha egy egyenesnek két közös pontja van, akkor ún metsző.

Ha a sugarat az érintőpontra rajzolja, akkor az merőleges lesz a kör érintőjére.

Ebből a pontból húzzunk két érintőt a körünkhöz. Kiderül, hogy az érintőszegmensek egyenlőek lesznek egymással, és a kör középpontja a csúcsponttal bezárt szög felezőjén lesz ezen a ponton.

AC = CB

Most húzzunk egy érintőt és egy szekánst a körhöz a pontunkból. Azt kapjuk, hogy az érintőszakasz hosszának négyzete egyenlő lesz a teljes szekáns szakasz és külső részének szorzatával.

AC^(2) = CD \cdot BC

Megállapíthatjuk: az első szekáns egy teljes szegmensének és külső részének szorzata egyenlő a második szekáns egy teljes szegmensének és külső részének szorzatával.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Szögek egy körben

A középponti szög és az ív, amelyen nyugszik, mértéke egyenlő.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Beírt szög Olyan szög, amelynek csúcsa egy körön van, és oldalai húrokat tartalmaznak.

Kiszámolhatja az ív méretének ismeretében, mivel ez egyenlő ennek az ívnek a felével.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Átmérő, beírt szög, derékszög alapján.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Az azonos ívet bezáró beírt szögek azonosak.

Az egyik húron nyugvó beírt szögek azonosak, vagy összegük 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Ugyanazon a körön vannak az azonos szögű háromszögek csúcsai egy adott alappal.

Az a szög, amelynek csúcsa a körön belül és két húr között helyezkedik el, megegyezik az adott és a függőleges szögeken belüli körívek szögértékeinek felével.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \jobb)

Az a szög, amelynek csúcsa a körön kívül van, és két szekáns között helyezkedik el, megegyezik a szög belsejében lévő körívek szögértékei közötti különbség felével.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Beírt kör

Beírt kör egy kör, amely egy sokszög oldalait érinti.

Abban a pontban, ahol a sokszög sarkainak felezői metszik egymást, ott van a középpontja.

Egy kör nem írható be minden sokszögbe.

Egy kör alakú sokszög területét a következő képlet határozza meg:

S = pr,

p a sokszög fél kerülete,

r a beírt kör sugara.

Ebből következik, hogy a beírt kör sugara egyenlő:

r = \frac(S)(p)

A szemközti oldalak hosszának összege azonos lesz, ha a kört egy konvex négyszögbe írjuk. És fordítva: egy kör konvex négyszögbe akkor illeszkedik, ha a szemközti oldalak hosszának összege azonos.

AB + DC = AD + BC

Bármelyik háromszögbe beírható egy kör. Csak egyetlenegy. A beírt kör középpontja azon a ponton lesz, ahol az ábra belső szögeinek felezőszögei metszik egymást.

A beírt kör sugarát a következő képlettel számítjuk ki:

r = \frac(S)(p) ,

ahol p = \frac(a + b + c)(2)

Circumcircle

Ha egy kör áthalad egy sokszög minden csúcsán, akkor egy ilyen kört általában hívnak sokszögről írták le.

Az ábra oldalainak merőleges felezőinek metszéspontjában lesz a körülírt kör középpontja.

A sugarat úgy kaphatjuk meg, hogy a sokszög bármely 3 csúcsával meghatározott háromszögre körülírt kör sugaraként számítjuk ki.

Ennek a feltétele a következő: egy kör csak akkor írható le egy négyszög körül, ha szemközti szögeinek összege 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Bármely háromszög körül leírhat egy kört, és csak egyet. Egy ilyen kör középpontja azon a ponton lesz, ahol a háromszög oldalainak merőleges felezői metszik egymást.

A körülírt kör sugara a következő képletekkel számítható ki:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c a háromszög oldalainak hossza,

S a háromszög területe.

Ptolemaiosz tétele

Végül nézzük Ptolemaiosz tételét.

Ptolemaiosz tétele kimondja, hogy az átlók szorzata azonos egy ciklikus négyszög szemközti oldalainak szorzatával.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Ez egy zárt sík vonal, amelynek minden pontja egyenlő távolságra van ugyanattól a ponttól ( O), hívják központ.

Egyenes ( O.A., O.B., OS. ..) a középpontot a kör pontjaival összekötő sugarak.

Ebből kapjuk:

1. Minden sugara egy kör egyenlőek.

2. Két azonos sugarú kör egyenlő lesz.

3. Átmérő egyenlő két sugárral.

4. Pont, a körön belül fekvő pont közelebb van a középponthoz, és a körön kívül fekvő pont távolabb van a középponttól, mint a körön lévő pontok.

5. Átmérő A húrra merőlegesen ezt a húrt és mindkét általa összehúzott ívet kettéosztja.

6. Arcs, közé zárt párhuzamos akkordokat, egyenlőek.

A körökkel végzett munka során a következő tételek érvényesek:

1. Tétel . Egy egyenesnek és egy körnek legfeljebb két közös pontja lehet.

Ebből a tételből két logikailag következőt kapunk következmények:

Nincs rész kör nem kombinálható egyenessel, mert különben a körnek több mint két közös pontja lenne.

Olyan vonalat nevezünk, amelynek egyetlen része sem kombinálható egyenessel görbe.

Az előzőből az következik, hogy a kör az görbe vonal.

2. Tétel . Bármely három ponton keresztül, amelyek nem esnek ugyanazon a vonalon, rajzolhat egy kört, és csak egyet.

Hogyan következmény ebből a tételből kapjuk:

Három merőleges az oldalakra háromszög felezőpontjaik egy körbe írva metszik egymást egy pontban, amely a kör középpontja.

Oldjuk meg a problémát. Meg kell találni a javasolt középpontját kör.

Jelöljük meg a javasolton tetszőleges három A, B és C pontot, húzzunk át kettőt akkordokat, például AB és CB, és ezeknek az akkordoknak a közepétől jelezzük merőlegesek MN és PQ. A kívánt középpontnak, amely egyenlő távolságra van A-tól, B-től és C-től, mind az MN-en, mind a PQ-n kell lennie, ezért ezeknek a merőlegeseknek a metszéspontjában található, azaz. az O pontban.

Demo anyag: iránytű, kísérleti anyag: kerek tárgyak és kötelek (minden tanulónak) és vonalzók; kör modell, színes zsírkréták.

Cél: A „kör” fogalmának és elemeinek tanulmányozása, kapcsolatok kialakítása közöttük; új kifejezések bevezetése; a megfigyelések és következtetések levonásának képességének fejlesztése kísérleti adatok felhasználásával; a matematika iránti kognitív érdeklődés felkeltése.

Az órák alatt

I. Szervezési mozzanat

Üdv. Cél kitűzése.

II. Verbális számolás

III. Új anyag

Mindenféle lapos figura közül két fő kiemelkedik: a háromszög és a kör. Ezeket a számokat kora gyermekkora óta ismeri. Hogyan határozzunk meg egy háromszöget? Szegmenseken keresztül! Hogyan határozhatjuk meg, hogy mi a kör? Hiszen ez a vonal minden ponton meghajlik! A híres matematikus, Grathendieck iskolai éveire felidézve megjegyezte, hogy a kör definíciójának megismerése után kezdett érdeklődni a matematika iránt.

Rajzoljunk egy kört egy geometriai eszközzel - iránytű. Kör megalkotása bemutató iránytűvel a táblán:

1. jelöljön meg egy pontot a síkon;
2. Az iránytű lábát a hegyével egy vonalba hozzuk a megjelölt ponthoz, és e pont körül forgassuk el a lábát a ceruzával.

Az eredmény egy geometriai alakzat - kör.

(1. dia)

Tehát mi az a kör?

Meghatározás. Körméret - egy zárt görbe egyenes, melynek minden pontja egyenlő távolságra van a sík adott pontjától, ún központ körökben.

(2. dia)

Hány részre osztja a kört egy sík?

O pont központ körökben.

VAGY - sugár kör (ez egy szakasz, amely összeköti a kör középpontját bármely pontjával). Latinul sugár- kerék küllő.

AB – akkord kör (ez a kör bármely két pontját összekötő szakasz).

DC – átmérő kör (ez egy akkord, amely a kör közepén halad át). Az átmérő a görög „átmérő” szóból származik.

DR– ív kör (ez egy kör két ponttal határolt része).

Hány sugarat és átmérőt húzhatunk egy körbe?

A sík körön belüli része és maga a kör kört alkot.

Meghatározás. Kör - Ez a sík kör által határolt része. A kör bármely pontja és a kör középpontja közötti távolság nem haladja meg a kör középpontja és a kör bármely pontja közötti távolságot.

Miben különbözik egymástól a kör és a kör, és mi a közös bennük?

Hogyan viszonyul egymáshoz egy kör sugarának (r) és átmérőjének (d) hossza?

d = 2 * r (d– átmérő hossza; r – sugár hossz)

Hogyan függ össze egy átmérő és egy húr hossza?

Az átmérő a kör legnagyobb húrja!

A kör elképesztően harmonikus figura az ókori görögök ezt tartották a legtökéletesebbnek, hiszen a kör az egyetlen görbe, amely képes „magától csúszni”, a középpont körül forogni. A kör fő tulajdonsága választ ad arra a kérdésre, hogy miért használnak iránytűt a rajzoláshoz, és miért vannak kerekek a kerekek, nem pedig négyzetek vagy háromszögek. Egyébként a kerékről. Ez az emberiség egyik legnagyobb találmánya. Kiderült, hogy a kerék feltalálása nem volt olyan egyszerű, mint amilyennek látszik. Hiszen még a Mexikóban élő aztékok sem ismerték a kereket csaknem a 16. századig.

A kör kockás papírra iránytű nélkül, azaz kézzel rajzolható. Igaz, a kör bizonyos méretűnek bizonyul. (A tanár megmutatja a kockás táblát)

Az ilyen kör ábrázolásának szabálya 3-1, 1-1, 1-3.

Rajzolj kézzel egy ilyen kör negyedét.

Hány cella a kör sugara? Azt mondják, hogy a nagy német művész, Albrecht Dürer olyan pontosan tudott kört rajzolni egy kézmozdulattal (szabályok nélkül), hogy az iránytűvel végzett későbbi ellenőrzés (a középpontot a művész jelezte) nem mutatott eltérést.

Laboratóriumi munka

Már tudja, hogyan kell megmérni egy szakasz hosszát, megtalálni a sokszögek kerületét (háromszög, négyzet, téglalap). Hogyan mérjük meg a kör hosszát, ha maga a kör egy görbe vonal, a hossz mértékegysége pedig egy szakasz?

A kerület mérésének többféle módja van.

A kör nyoma (egy fordulat) egy egyenesen.

A tanár egyenest húz a táblára, megjelöl egy pontot azon és a körmodell határán. Kombinálja őket, majd simán görgeti a kört egyenes vonalban a megjelölt pontig A egy körön nem lesz egy pontban egyenesen BAN BEN. Vonalszakasz AB akkor egyenlő lesz a kerületével.

Leonardo da Vinci: "A kocsik mozgása mindig megmutatta nekünk, hogyan kell kiegyenesíteni egy kör kerületét."

Feladat a tanulóknak:

a) rajzoljon egy kört egy kerek tárgy aljának karikázásával;

b) tekerje be a tárgy alját cérnával (egyszer) úgy, hogy a szál vége egybeessen a kör ugyanazon pontján lévő kezdetével;

c) egyenesítse ki ezt a szálat egy szakaszra, és mérje meg a hosszát egy vonalzóval, ez lesz a kerület.

A tanár több tanuló mérési eredménye iránt érdeklődik.

Azonban ezek a közvetlen kerületmérési módszerek kényelmetlenek és durva eredményeket adnak. Ezért az ókor óta elkezdtek fejlettebb módszereket keresni a kerület mérésére. A mérési folyamat során észrevettük, hogy a kör hossza és az átmérője között bizonyos összefüggés van.

d) Mérje meg a tárgy aljának átmérőjét (a kör húrjai közül a legnagyobbat);

e) keresse meg a C:d arányt (tizedes pontossággal).

Kérd meg több tanulótól a számítások eredményét.

Sok tudós és matematikus próbálta bebizonyítani, hogy ez az arány állandó szám, független a kör méretétől. Az ókori görög matematikus, Arkhimédész volt az első, aki ezt tette. Meglehetősen pontos jelentést talált ennek az aránynak.

Ezt a kapcsolatot egy görög betűvel kezdték jelölni (olvassa: „pi”) - a görög „periféria” szó első betűje egy kör.

C – kerület;

d – átmérő hossza.

Történelmi információ a π számról:

Arkhimédész, aki Kr.e. 287-től 212-ig Sziracusában (Szicília) élt, mérések nélkül, pusztán érveléssel találta meg a jelentést.

Valójában a π szám nem fejezhető ki pontos törtként. A 16. századi matematikusnak, Ludolfnak volt türelme 35 tizedesjegy pontossággal kiszámolni, és ezt a π-t örökségül hagyta síremlékére faragni. 1946-1947 között két tudós egymástól függetlenül kiszámította a pi 808 tizedesjegyét. Most a π szám több mint egymilliárd számjegyét találták a számítógépeken.

A π hozzávetőleges értéke öt tizedesjegy pontossággal megjegyezhető a következő sor használatával (a szó betűinek száma alapján):

π ≈ 3,14159 – „Ezt tökéletesen tudom és emlékszem.”

Bevezetés a kerületi képletbe

Ha tudjuk, hogy C:d = π, mekkora lesz a C kör hossza?

(3. dia) C = πd C = 2πr

Hogyan jött létre a második képlet?

Olvassa el: körméret egyenlő a π szám és átmérőjének szorzatával (vagy a π szám és sugara szorzatával).

Egy kör területe egyenlő a π szám és a sugár négyzetének szorzatával.

S=πr 2

IV. Problémamegoldás

№1. Határozzuk meg egy 24 cm sugarú kör kerületét. Kerekítsük a π számot a legközelebbi századra!

Megoldás:π ≈ 3,14.

Ha r = 24 cm, akkor C = 2 π r ≈ 2 3,14 24 = 150,72 (cm).

Válasz: kerülete 150,72 cm.

2. sz (szóban): Hogyan találjuk meg a félkörrel egyenlő ív hosszát?

Feladat: Ha az Egyenlítő mentén körbetekersz egy vezetéket a földgömbön, majd a hosszához hozzáteszed 1 métert, akkor az egér képes lesz átcsúszni a vezeték és a föld között?

Megoldás: C = 2 πR, C+1 = 2π(R+x)

Nem csak egy egér, hanem egy nagy macska is becsúszik egy ilyen résbe. És úgy tűnik, mit jelent 1 m a Föld egyenlítőjének 40 millió méteréhez képest?

V. Következtetés

1. Milyen főbb pontokra kell figyelni a kör felépítésénél?
2. Az óra mely részei voltak a legérdekesebbek számodra?
3. Mi újat tanultál ezen a leckén?

Keresztrejtvény megoldása képekkel(3. dia)

Hozzá tartozik a kör, húr, ív, sugár, átmérő definícióinak ismétlése, a kerületre vonatkozó képletek. Ennek eredményeként a kulcsszó: „KÖR” (vízszintesen).

Óra összefoglalója: osztályozás, megjegyzések a házi feladathoz. Házi feladat: 24. o., No. 853, 854. Végezzen kísérletet a π szám megkeresésére még kétszer.

Értsük meg, mi a kör és a kör. A kör területének és kerületének képlete.

Nap mint nap sok olyan tárggyal találkozunk, amelyek kör alakúak, vagy éppen ellenkezőleg, kör alakúak. Néha felmerül a kérdés, hogy mi a kör, és miben különbözik a körtől. Természetesen mindannyian vettünk geometria leckéket, de néha nem árt néhány nagyon egyszerű magyarázattal felfrissíteni tudását.

Mi a kör kerülete és területe: definíció

Tehát a kör egy zárt görbe vonal, amely korlátozza, vagy éppen ellenkezőleg, kört alkot. A kör előfeltétele, hogy legyen középpontja, és minden pontja egyenlő távolságra legyen tőle. Egyszerűen fogalmazva, a kör egy tornakarika (vagy ahogy gyakran nevezik hula karika) sík felületen.

A kör kerülete a kört alkotó görbe teljes hossza. Mint ismeretes, a kör méretétől függetlenül átmérőjének és hosszának aránya megegyezik a π = 3,141592653589793238462643 számmal.

Ebből következik, hogy π=L/D, ahol L a kör kerülete, D pedig az átmérője.

Ha ismeri az átmérőt, akkor a hosszúságot egy egyszerű képlettel találhatja meg: L= π* D

Ha ismert a sugár: L=2 πR

Rájöttünk, mi az a kör, és továbbléphetünk a kör meghatározásához.

A kör egy geometriai alakzat, amelyet kör vesz körül. Vagy a kör olyan ábra, amelynek határa az ábra középpontjától egyenlő távolságra lévő sok pontból áll. A körön belüli teljes területet a középpontjával együtt körnek nevezzük.

Érdemes megjegyezni, hogy a kör és a benne található kör azonos sugarú és átmérőjű. Az átmérő pedig kétszer akkora, mint a sugár.

A körnek van egy területe a síkon, amely egy egyszerű képlettel megkereshető:

Ahol S a kör területe, R pedig az adott kör sugara.

Miben különbözik a kör a körtől: magyarázat

A fő különbség a kör és a kör között az, hogy a kör egy geometriai alakzat, míg a kör egy zárt görbe. Vegye figyelembe a kör és a kör közötti különbségeket is:

• A kör egy zárt vonal, a kör pedig a körön belüli terület;
• A kör egy görbe vonal egy síkon, a kör pedig egy kör által gyűrűvé zárt tér;
• Hasonlóságok kör és kör között: sugár és átmérő;
• A körnek és a kerületnek egyetlen középpontja van;
• Ha a körön belüli teret árnyékoljuk, akkor körré változik;
• A körnek van hossza, de a körnek nincs, és fordítva, a körnek van területe, aminek a körnek nincs.

Kör és kerület: példák, fotók

Az áttekinthetőség érdekében azt javasoljuk, hogy nézzen meg egy fotót, amelyen egy kör látható a bal oldalon, és egy kör a jobb oldalon.

A kör kerületének és területének képlete: összehasonlítás

Az L=2 πR kerület képlete

A kör területének képlete S= πR²

Vegye figyelembe, hogy mindkét képlet tartalmazza a sugarat és a π számot. Ezeket a képleteket ajánlott memorizálni, mivel ezek a legegyszerűbbek, és a mindennapi életben és a munkában biztosan jól jönnek.

Egy kör területe kerület szerint: képlet

S=π(L/2π)=L²/4π, ahol S a kör területe, L a kerülete.

Videó: Mi a kör, a kerület és a sugár

Mindenhol körformákat és köröket látunk: ez az autó kereke, a horizontvonal és a Hold korongja. A matematikusok nagyon régen kezdték el tanulmányozni a geometriai alakzatokat - egy kört egy síkon.

A középpontú és sugarú kör olyan pontok halmaza egy síkon, amelyek távolsága nem nagyobb, mint . A kört egy olyan kör határolja, amely olyan pontokból áll, amelyek pontosan a középponttól távol helyezkednek el. A középpontot a kör pontjaival összekötő szakaszok hosszúságúak, és sugárnak is nevezik (kör, kör). A kör azon részeit, amelyekre két sugár osztja, körszektoroknak nevezzük (1. ábra). Egy húr - a kör két pontját összekötő szakasz - a kört két szakaszra, a kört pedig két ívre osztja (2. ábra). A középpontból a húrra húzott merőleges kettéosztja azt és az általa lefogott íveket. Az akkord annál hosszabb, minél közelebb van a középponthoz; a leghosszabb húrokat - a középponton átmenő akkordokat - átmérőknek (kör, kör) nevezzük.

Ha egy egyenest távolítunk el a kör középpontjától távolsággal, akkor az at nem metszi a kört, a pontban metszi a kört egy húr mentén, és szekánsnak nevezzük, az at egyetlen közös pontja van a körrel és a kör, és érintőnek nevezzük. Az érintőt az jellemzi, hogy merőleges az érintési ponthoz húzott sugárra. Egy körhöz egy azon kívül eső pontból két érintőt lehet húzni, és egy adott pontból az érintési pontokba eső szakaszaik egyenlőek.

A körívek, akárcsak a szögek, fokban és törtben mérhetők. A teljes kör egy részét fokozatnak tekintjük. A középponti szöget (3. ábra) ugyanannyi fokban mérjük, mint az ívet, amelyen nyugszik; beírt szöget fél ív mér. Ha egy szög csúcsa a körön belül van, akkor ez a szög fokban egyenlő az ívek összegének felével és (4,a ábra). A körön kívül eső csúcsú szöget (4,b ábra), íveket kivágva és a körön mérjük a és az ívek fele-különbségével. Végül az érintő és a húr közötti szög egyenlő a közéjük zárt kör ívének felével (4. ábra, c).

Egy körnek és egy körnek végtelen számú szimmetriatengelye van.

A szögek mérésére és a háromszögek hasonlóságára vonatkozó tételekből két tétel következik a kör arányos szakaszairól. Az akkordtétel azt mondja, hogy ha egy pont egy körön belül van, akkor a rajta áthaladó húrszakaszok hosszának szorzata állandó. ábrán. 5,a. A szekáns és az érintő (azaz ezen egyenesek szakaszainak hosszát jelenti) tétele kimondja, hogy ha egy pont a körön kívül esik, akkor a szekáns és külső részének szorzata is változatlan, és egyenlő az érintő négyzetével. (5. ábra, b).

Még az ókorban is megpróbálták megoldani a körrel kapcsolatos problémákat - megmérni a kör hosszát vagy ívét, egy kör vagy szektor, szegmens területét. Az elsőnek van egy tisztán „praktikus” megoldása: egy szálat lefektethetsz egy kör mentén, majd letekerheted és vonalzóra helyezheted, vagy megjelölhetsz egy pontot a körön és a vonalzón végig „guríthatod" , éppen ellenkezőleg, vonalzóval „gurítsunk” kört). Így vagy úgy, a mérések azt mutatták, hogy a kerület és az átmérő aránya minden körben azonos. Ezt az arányt általában görög betűvel jelölik (a „pi” a görög perimetron szó kezdőbetűje, ami „kört” jelent).

Az ókori görög matematikusok azonban nem elégedtek meg a kör kerületének ilyen empirikus, kísérleti megközelítésével: a kör egy vonal, azaz Eukleidész szerint „hosszúság szélesség nélkül”, és ilyen szálak nem léteznek. Ha kört görgetünk egy vonalzón, akkor felmerül a kérdés: miért a kerületet kapjuk, és nem valami más értéket? Ezenkívül ez a megközelítés nem tette lehetővé a kör területének meghatározását.

A megoldást a következőképpen találtuk: ha a körbe írt szabályos -gonokat tekintjük, akkor a végtelenbe hajló as korlátban hajlamosak . Ezért természetes a következő, már szigorú definíciók bevezetése: a kör hossza a körbe írt szabályos háromszögek kerületének határa, a kör területe pedig a sorozat határa. területeikről. Ez a megközelítés a modern matematikában is elfogadott, és nem csak a kör és a kör, hanem más ívelt vagy görbe vonalú kontúrok által korlátozott területek vonatkozásában is: szabályos sokszögek helyett szaggatott vonalak sorozata csúcsokkal a görbéken vagy a területek kontúrjain. figyelembe veszik, és a határértéket akkor veszik fel, ha a szaggatott vonal legnagyobb láncszemeihez tartozó hossz nullára irányul.

A körív hosszát hasonló módon határozzuk meg: az ívet egyenlő részekre osztjuk, az osztási pontokat szaggatott vonallal kötjük össze, és az ív hosszát egyenlőnek tekintjük az ilyen körívek kerületének határával. szaggatott vonalak mint , a végtelenbe hajló. (Az ókori görögökhöz hasonlóan mi sem tisztázzuk magát a határ fogalmát – már nem a geometriára utal, és meglehetősen szigorúan csak a 19. században vezették be.)

Magából a szám meghatározásából a kerület képlete a következő:

Az ív hosszára is írhatunk egy hasonló képletet: mivel két ívre és közös középszöggel a hasonlósági megfontolásokból következik az arány, és ebből az arány, a határértékre való átlépés után megkapjuk a függetlenséget (a az ív sugara) az arány. Ezt az arányt csak a középponti szög határozza meg, és ennek a szögnek és az összes megfelelő ívnek, amelynek középpontja pont, radián mértékének nevezzük. Ez adja az ívhossz képletét:

ahol az ív radián mértéke.

A és az írott képletek csak átírt definíciók vagy jelölések, de segítségükkel olyan képleteket kapunk egy kör és egy szektor területeire, amelyek messze nem csupán jelölések:

Az első képlet levezetéséhez elegendő a képletben a körbe írt szabályos háromszög területének határértékére lépni:

Értelemszerűen a bal oldal a kör területére, a jobb oldal pedig a számra irányul

és , a mediánjainak alapjai és , a felezőpontok és a vonalszakaszok a magasságok metszéspontjától a csúcsaiig.

Ez a kör, amelyet a XVIII. a nagy tudós, L. Euler (ezért gyakran Euler körének is nevezik), a következő évszázadban fedezte fel újra egy németországi tartományi gimnázium tanára. Ezt a tanárt Karl Feuerbachnak hívták (a híres filozófus, Ludwig Feuerbach testvére volt). Ezenkívül K. Feuerbach azt találta, hogy egy kilenc pontból álló körnek van még négy olyan pontja, amelyek szorosan kapcsolódnak bármely adott háromszög geometriájához. Ezek a négy speciális típusú körrel való érintkezési pontok (2. ábra). E körök közül az egyik be van írva, a másik három körkörös. A háromszög sarkaiba vannak beírva, és kívülről érintik az oldalait. Ezeknek a köröknek a kilencpontos körrel való érintkezési pontjait Feuerbach-pontoknak nevezzük. Így a kilenc pontból álló kör valójában a tizenhárom pontból álló kör.

Ezt a kört nagyon könnyű megszerkeszteni, ha ismerjük a két tulajdonságát. Először is, a kilenc pontból álló kör középpontja annak a szakasznak a közepén található, amely a háromszög körül körülírt kör középpontját egy ponttal köti össze - annak ortocentrumával (magasságainak metszéspontjával). Másodszor, a sugara egy adott háromszögre egyenlő a köréje körülírt kör sugarának felével.