Jelenleg a középiskolai kurzusok záróvizsgáin és a különböző oktatási intézmények felvételi vizsgáin modulusos és paraméteres egyenleteket kínálnak, amelyek megoldása gyakran nehézségeket okoz a hallgatóknak. Tekintsük a különféle típusú egyenletek megoldását, amelyek egyesítő vonása csak az abszolút érték előjelének jelenléte.

Letöltés:

Előnézet:

A modulus (abszolút érték) előjelét tartalmazó egyenletek megoldása

Definíció szerint egy valós szám modulusa (abszolút értéke). a (jelölése |a|) ezt a számot magát ha a≥0 , és az ellenkező szám-a, ha a

, a≥0 esetén és , a esetén

Geometriailag |a| a koordinátavonalon a számot jelző ponttól való távolságot jelenti A , a visszaszámlálás kezdete előtt. A nulla modulusa nulla, és ha a≠0 , akkor a koordináta egyenesen két pont van a és –a , egyenlő távolságra nullától, amelynek moduljai egyenlők|a|=|-a|.

Mielőtt elkezdené tanulmányozni az abszolút értékjelet tartalmazó egyenletek megoldási módszereit, világosan meg kell értenie ennek a jelnek a számokra gyakorolt hatását. A modulus definíciója lényegében egy új unáris műveletet vezet be a valós számok halmazán, azaz. egyetlen számon végrehajtott művelet, szemben az összeadás, kivonás, szorzás és osztás ismertebb bináris műveleteivel. A következő típusú gyakorlatok segítségével ellenőrizheti, hogy megértette-e a modul jelét.

1. Mi a különbség??

2. Mennyi az összeg??

3. Mennyivel egyenlő egy tört??

4. Igaz-e az állítás: ha, akkor a=b?

5. Igaz-e az állítás: ha a=b, akkor ?

6. Milyen értékeken X az egyenlőség igaz:

A). x = |x|;

b). –x = |-x|;

V). –x = |x|?

7. Van-e az egyenletnek gyöke, és ha igen, hány:

A). |x|=0 ; b). |x|=1;

V). |x|=-3;

G ). |-x|=2; d). |x|=1,2?

8. Írja fel az abszolút érték előjele nélküli kifejezést:?

Gyakran előfordul a következő válasz: „Ez az egyenlőség abban az esetben igaz, ha az a és b számok különböző előjelűek.” A válasz nem teljes, mert nem mond semmit arról az esetről, amikor az egyik szám nullává válik. Itt gyakori hiba történt, ami az osztályozás hiányossága. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy a pozitív és negatív számok mellett van nulla is.Helyes válasz: at .

Tekintsük a modulusos egyenletek néhány speciális esetét.

1. Az egyenlet megoldása.

Az abszolút érték meghatározása szerint ez az egyenlet két vegyes rendszer halmazára bomlik:

F(x)=a f(-x)=a

Mivel a funkció páros, akkor gyökei ellentétes számpárokban fognak létezni, azaz. ha α egy egyenlet gyöke, akkor –α ennek az egyenletnek a gyöke is lesz. Ezért elegendő e két rendszer közül csak az egyiket megoldani.

1. példa . Oldja meg az egyenletet 2|x|-4,5-0,5|x|=7,5.

Ez az egyenlet meglehetősen egyszerű, és egyelőre nincs értelme két rendszer formájában megírni, hanem egyszerűen megadhat hasonlókat és átrendezheti őket: 1,5|x|=12 → |x|=8 → x 1 =-8, x 2 =8.

2. példa . Oldja meg az egyenletet x 2 -|x|=6.

Mint fentebb említettük, az egyenlet két rendszerre bomlik, de a függvény paritása miatt csak egy rendszer oldható meg, nem felejtve el ellentétes előjelű értékeket hozzáadni a kapott megoldásokhoz.

X2-x-6=0, x1=-2, x2=3

X≥0 x≥0

A rendszer megoldása lesz az érték x=3 , és az egyenlet megoldásának két értéke van: x 1 = -3, x 2 = 3.

Egy ilyen egyenlet grafikus megoldására, nem negatív értékekre X ábrázoljon egy függvényt y 1 = f(x) , szimmetrikusan tükrözze a tengely körülÓ a negatív értékek területére X majd ábrázoljuk a függvényt y 2 =a . A megoldás a grafikonok metszéspontjainak abszcisszája lesz 1-kor és 2-kor.

2. Forma egyenlet megoldása.

Egy ilyen egyenlet megoldása két vegyes rendszer halmazára bomlik:

F(x)=φ(x) f(x)= - φ(x)

φ(x) φ(x)

3. Forma egyenletek megoldása.

A binomiálisok gyökereit az abszolút érték előjele alatt találjuk:…

Legyen x 1 2k . Ezt az egyenletet szekvenciálisan, intervallumokon oldjuk meg:(-∞, x 1 ], , …, Az egyenlet azzá válik-x 2 +5x-6=5x-x 2 -6 átalakítások után pedig nem attól függ x: -6=-6. Szóval x a figyelembe vett intervallum bármelyike lehet.

Az egyenlet végső megoldása X .

3. példa . Oldja meg az egyenletet|x 2 -1|=-|x|+1

Az első modul két jellemző pontot ad x 1 = -1, x 2 = 1 , második modulpont x=0 . Az elfogadható értékek tartománya négy intervallumra oszlik(-∞; -1) [-1; 0] (0; 1] (1;+ ∞) , amelyek mindegyikében a modulok kinyitásakor alaposan meg kell néznünk az álló kifejezések jelét.

A). x (-∞; -1) : x 2 -1=x+1, x 2 -x-2=0 . Ennek az egyenletnek a gyökerei x 1 = -1, x 2 = 2 ne essen a kiválasztott nyitott résbe. Itt van egy fontos megjegyzés. Amikor a megengedett értékek tartományát intervallumokra osztja, a jellemző pontokat belátása szerint beillesztheti az intervallumokba, mindkét intervallumba beillesztheti az egyes jellemző pontokat, amelyek határát szolgálja, vagy csak az egyikbe. Ez nem vezet hibához.

b). x [-1; 0] : -x 2 +1=x+1, x 2 +x=0, x 1 =-1, x 2 =0. Mindkét gyök benne van a vizsgált intervallumban, és ezért az eredeti egyenlet megoldása.

V). x (0; 1] : -x 2 +1=-x+1, x 2 -x=0, x 1 =0, x 2 =1 . A második gyökér a résbe esik.

G). x (1;+ ∞) : x 2 -1=-x+1, x 2 +x-2=0, x 1 = -2, x 2 =1 . Mindkét gyök nem szerepel az intervallumban.

Ennek az egyenletnek a végső megoldása három gyöket tartalmaz: x 1 = -1, x 2 = 0, x 3 = 1.

A modulokkal ellátott egyenletek összes bemutatott példájában grafikus megoldás volt lehetséges, néha még gyorsabban is, mint az összes olyan intervallum hosszú keresése, amelyekbe az elfogadható értékek tartománya jellemző pontokkal van felosztva.

Képzési gyakorlatok.

| x+5| = |10+x|

|3x+1|+x=9
|x-3|+2|x+1|=4

Abszolút értékjelet tartalmazó egyenletek és rendszereik
(módszertani fejlesztés)

1. bekezdés. Alapvető információk.

1. pont Egy szám abszolút értékének meghatározása. Egyszerű egyenletek megoldása.

A szám abszolút értékének (a szám modulusának) fogalmával érdemesebb megismerkedni annak geometriai értelmezésével: a geometriában a modulus az adott számot ábrázoló ponttól való távolság a számtengelyen vagy koordinátán. sík a koordináták origójához. Így az 5-ös szám a számtengelyen a nullától jobbra, a -5 pedig a nullától balra található, de az ezeket a számokat ábrázoló pontok és a koordináták origójának távolsága azonos és 5-tel egyenlő. Az a szám abszolút értékét zárójelek jelzik: .
Magyarázzuk el grafikusan egy modul geometriai definícióját:

Ennek megfelelően létrejön egy bizonyos mennyiség modulusának algebrai meghatározása:

.
Tekintsük most a legegyszerűbb (de az anyag megértéséhez fontos) egyenleteket, amelyek tartalmazzák az abszolút érték előjelét. Egy ismeretlen változót tartalmazó algebrai kifejezést értünk.

A. Az alak egyenletei, ahol a egy adott szám. (1)
Tisztázzuk az előttünk álló problémát: ha x az (1) egyenlet valamilyen megoldása, akkor a modul geometriai definíciója szerint a számegyenes f pontja az origótól a távolságra van. Ezért ha a0, akkor két szükséges pontunk van: f1=-a, f2=a.

Tehát az (1) egyenlet: mert a0-nak az és egyenletek megoldásai vannak.
Röviden, az utolsó állítás a következőképpen írható:

Ez így szól: az a>0 egyenlet megoldásainak halmaza az és egyenletek megoldási halmazainak uniója.

1. példa Oldja meg az egyenleteket: a) ; b) ; V) ; G) .

Megoldások:
a) 
Válasz: x1=1 ; x2=6.

B) => nincs megoldás, mert Egyetlen mennyiség modulusa (abszolút értéke) nem lehet negatív.
Válasz: nincsenek megoldások.

B) 
Válasz: x1=-3; x2=0.

D) 
Válasz: x1=-3; x2=3.

2. példa Oldja meg az egyenleteket: a) ; b) .

Megoldások:
a) az (1) szerint ebben az esetben = , azaz. f(x)≥2. Ezért az egyenletnek nincs megoldása.
Válasz: nincsenek megoldások.

Válasz: x1=-5; x2=0; x3=2; x4=7.

B. (2) és (3) alakú egyenletek.
Mivel bármely kifejezés modulusa nem negatív mennyiség, ezért ha x a (2) egyenlet megoldása, akkor ennek az egyenletnek a jobb oldala is nemnegatív, azaz. . De ugyanezen egyenlet bal oldalán definíció szerint egyszerűen egyenlő. Következtetés: a szükséges feltétel mellett elérkeztünk egy azonossághoz, így az egyenlőtlenség megoldásai egyben a (2) egyenlet megoldásai is lesznek.
Hasonló módon érvelve azt találjuk, hogy az egyenlőtlenség minden megoldása a (3) egyenlet megoldása.

3. példa Oldja meg az egyenleteket: a) ; b) ; V) .
Megoldások:
a) 
Válasz: .

B) 
Válasz: .

C. A (4) alakú egyenletek.
Ha x a (4) egyenlet megoldása, akkor a modul geometriai definíciója szerint a számegyenesen lévő távolságok f és g pontoktól a koordináták origójáig egyenlők, azaz. vagy f és g pont egybeesik (van:), vagy szimmetrikusak egymásra a koordináták origójához képest (van:). azért

Külön meg kell említeni az egyenletet.
Ennek az egyenletnek a megoldása mind x, amelyre a kifejezés definiálva van.

4. példa Oldja meg az egyenleteket: a) ; b) ; V) ; G) .

Megoldások:

A) Ez az egyenlet hol alakú egyenlet. Ez a függvény bármely valós x-re definiálva van, tehát x bármely.
Válasz: x - bármilyen.

B) 
Válasz: .

B) 
.
Válasz: .

Megjegyzés: mert  , akkor a (4) egyenlet mindkét oldala négyzetre emelhető, megszabadítva magunkat a moduloktól, és a kapott egyenlet gyökei között nem lesznek számunkra „extrák”.
Például: honnan szerezzük.

D. Az alak egyenletei. (5)
Megvan: a definíció szerint nem negatív kifejezések összege nullával egyenlő. Ezért mindegyik tagnak nullával kell egyenlőnek lennie. Mert akkor és csak akkor, és csak akkor, ezért az (5) egyenlet ekvivalens a rendszerrel: .
Racionálisabb ezt a rendszert a következő módon megoldani: az egyenletek közül egy egyszerűbbet választva meg kell keresni a megoldásait, és a maradék egyenletbe behelyettesítve ellenőrizni, hogy azok megfelelnek-e a teljes rendszernek.

5. példa Oldja meg az egyenleteket: a) ;
b) .

Megoldások:

A)
Az első egyenletbe felváltva x=-1 és x=1 behelyettesítve azt kapjuk, hogy a rendszer mindkét egyenlete csak x=-1 esetén teljesül.
Válasz: x=-1.

B) Ez az egyenlet ekvivalens (ekvivalens) a rendszerrel:

Válasz: x=-2.
2. pont Intervallum módszer. A legegyszerűbb rendszerek megoldása.

Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk egy egyenletet. A modul algebrai meghatározása szerint:

Így az x=2 pont a számsort két intervallumra bontja, amelyek mindegyikében az x-2 kifejezés feletti moduláris zárójelek különbözőképpen nyílnak meg:

Ezért az eredeti egyenlet megoldása két lehetséges helyzet egymás utáni megfontolásán múlik:
a) Tegyük fel, hogy x az eredeti egyenlet megoldása, és.
Ekkor van: , ami megfelel az a) feltételnek. Ezért ez az eredeti egyenlet megoldása.
b) Tegyük fel, hogy x az eredeti egyenlet megoldása, és
Ekkor van: , ami nem felel meg a b) feltételnek. Ezért nem az eredeti egyenlet megoldása.
A figyelembe vett egyenletnek egyetlen gyöke van: .

Az intervallum módszer különösen hasznos, ha több moduláris zárójel van az egyenletben. Az egyetlen nehézséget a műveletek egyértelmű sorrendjének meghatározása jelenti, ezért erősen ajánlott a következő terv betartása:

1) Határozza meg az ismeretlen összes értékét, amelynél a modulusjelek alatti kifejezések eltűnnek vagy bizonytalanná válnak, és jelölje meg a kapott pontokat a számtengelyen.
2) Oldja meg az eredeti egyenletet az egyes azonosított numerikus intervallumokon!
3) A talált megoldásokat egyesítsd egy közös válaszba!

Célszerű az első szakasz végén felírni, hogy az egyes moduláris zárójelek pontosan hogyan nyílnak meg attól függően, hogy az ismeretlen hol helyezkedik el a numerikus tengelyen.

Gyakorlat: Bontsa ki a moduláris zárójeleket egy kifejezésben.
Először a belső zárójeleket vesszük figyelembe: at, tehát egy pontot jelölünk a számtengelyen.
Ezután figyelembe vesszük a külső zárójeleket: megoldjuk az egyenletet (a megoldást a fent vázolt intervallum módszerrel hajtjuk végre:

Az első egyenletnek nincs gyöke, a másodiké pedig az 1 és -1 számok, de az x=1 nem teljesíti a feltételt).
Ezután tetszőleges -1-nél nagyobb x-et választva, például x=0, megbizonyosodunk arról, hogy x>-1 esetén; tetszőleges x -1-nél kisebb választásával, például x=-2, megbizonyosodunk arról, hogy x esetén

Ennek eredményeként a számtengelyen az x=-1 és x=0 pontok jelölésre kerülnek. A kapott intervallumok mindegyikében az eredeti kifejezés moduljai egy „láncban” (*) bővülnek:

At;
at;
at.

6. példa Oldja meg az egyenleteket: a) ; b) ; V) ; G) .
Megoldások:

A) I. szakasz.
. Ezért:
.

szakasz II.
1) Ekkor tehát az eredeti egyenlet a következő alakot veszi fel: .

2) . Ekkor tehát az eredeti egyenlet a következő alakot veszi fel: ami nem felel meg a vizsgált szakasznak, ezért az eredeti egyenletnek ezen az intervallumon nincs gyökere.
3) Ekkor tehát az eredeti egyenlet a következő alakot veszi fel: amely megfelel a vizsgált félintervallumnak, tehát az eredeti egyenletnek.
szakasz III.
Az egyenletnek nincs megoldása az első és a második numerikus intervallumon. A harmadikra megoldást kaptunk.
Válasz: .

B) I. szakasz.
Ezért:

A következő numerikus intervallumokkal rendelkezünk:

szakasz II.
1) Ekkor az eredeti egyenlet a következő alakot veszi fel:
Megkaptuk a helyes numerikus egyenlőséget, így ebből a félintervallumból bármelyik megoldás az eredeti egyenletre!
2) . A modulokat az első szakasz eredményei alapján feltárva megvan: mi felel meg a vizsgált szegmensnek, tehát van megoldás az eredeti egyenletre.
3) Bontsa ki a modulokat:
Helytelen numerikus egyenlőséget kaptunk, így az eredeti egyenletnek nincs gyökere ezen a félintervallumon.

szakasz III.
Az első intervallumon:
A második intervallumban:
A harmadik intervallumban: nincs megoldás.
Eredmény:
Válasz:

B) I. szakasz.
Először a „belső” modult vesszük figyelembe, majd a „külsőt”:
1) x=0, x=0 =>
2)
Ezt az egyenletet külön kell megoldani. Vegyük észre, hogy a figyelembe veendő numerikus intervallumok már ismertek (lásd (*)):
amikor nincs megoldásunk
amikor megvan,
de x1 nem felel meg a feltételnek.
Szóval, .
Maga a kifejezés pozitív, ha (például x=10:), és negatív, ha (például x=1:). Ezért:

A következő numerikus intervallumokkal rendelkezünk:

szakasz II.
Minden intervallumban először kinyitjuk a külső moduláris konzolokat, majd a belsőket.
1) .
: , ami a vizsgált intervallumnak felel meg, ezért van megoldás az eredeti egyenletre.
2) .
: .
Ellenőrizzük a talált gyökök megfelelését az adott szegmensnek: - természetesen most nézzük meg, hogy a reláció fennáll-e

Nyilvánvaló, hogy pl. egy idegen gyökér.
3) .
: . Ellenőrizzük, hogy az eredmény megfelel-e a megadott félintervallumnak: ez az eredeti egyenlet gyöke.

szakasz III.
;
;
.
Válasz: .

D) Ennek az egyenletnek az a sajátossága, hogy a tört nevezőjében ismeretlen mennyiség szerepel, ezért minden numerikus intervallumon meg kell találni az egyenlet definíciós tartományát (DO).

Két félidőnk van:

szakasz II.
1) a modult bővítve és egyszerűsítve megkapjuk az egyenletet.
OOU: . Amikor az OOO-ból nyilvánvalóan megkapjuk a helyes egyenlőséget, azaz. mindegyik megoldása az eredeti egyenletnek.
2) a modult bővítve és egyszerűsítve megkapjuk az OOU egyenletet: . Tehát ami a vizsgált félintervallumnak felel meg, az az eredeti egyenlet megoldása.

Válasz: .

B. Az abszolút értékjelet tartalmazó egyszerű egyenletrendszer megoldása nem okozhat nehézséget: általában elegendő a tanulók által ismert helyettesítési módszer alkalmazása.

7. példa Egyenletrendszerek megoldása:
a) b) c) d)

Megoldások:
a) A rendszer első egyenletéből kapjuk:
Ezután a behelyettesítés (*) után a második egyenlet a következő formában jelenik meg:
.
(*) szerint: amikor at.
Válasz:

B) A rendszer első egyenletéből kapjuk:
.
Amikor a rendszer második egyenletéből azt kapjuk
ennek megfelelően x=2.
Amikor a rendszer második egyenletéből y=-5-öt kapunk.
Válasz: .

C) A rendszer második egyenletéből kapjuk:
.
Amikor az első egyenletből megkapjuk.
Mikor az első egyenletből kapjuk; illetve .
Válasz: .

D) Ebben az esetben könnyebb az összeadási módszert használni, és a kapott egyenletet megoldani - az intervallum módszert.
.

1) nem kapunk megoldást;
2) megkapjuk.
Következtetés: és most az első egyenletből kapjuk.
Válasz: .

3. pont Racionális megoldási módszerek: egyszerű geometriai és algebrai megfontolások, intervallummódszer általánosítása, változó megváltoztatása.

V. Néhány egyszerű egyenlet világos geometriai értelmezést tesz lehetővé, megoldásuk nagymértékben leegyszerűsödik - a „nem megfelelő” numerikus intervallumokat azonnal kizárjuk a számításból.
Először is mutassuk meg, hogy geometriailag távolság van a és a számokat ábrázoló számtengely pontjai között. Ehhez a számtengelyen, ahol már megjelöltük és áthelyeztük a koordináták origóját a pontba. A pontok koordinátái megváltoznak:

A és pontok közötti távolság az új vonatkoztatási rendszer szerint a pontok közötti távolság és, azaz.

8. példa Oldja meg az egyenleteket: a) b) c) d) e) .

Megoldások:
a) A számtengelyen olyan x-et kell feltüntetni, hogy az x-től 1-ig és az x-től 3-ig terjedő távolságok összege 3 egység. Az 1 és 3 közötti távolság tehát 2 egység, tehát (egyébként). Kiderült, hogy x vagy 1-től balra, vagy 3-tól jobbra fekszik - mindenesetre bizonyos távolságra tőlük. Ezért hol.

Most könnyű megtalálni az x két értékét.
Válasz: .
b) A numerikus tengelyen 2x pontokat kell feltüntetni úgy, hogy a 2x és -2 közötti távolság 9,12 egységgel nagyobb, mint a 2x és 7 közötti távolság.
Ha, a szóban forgó különbség mindig -9;
Ha a szóban forgó különbség mindig 9;
Ha a kérdéses különbség kisebb vagy egyenlő, mint 9.
Legyen például:

Majd.
Válasz: nincsenek megoldások.

C) Írjuk át az egyenletet a formába. Ezért a kívánt x háromszor közelebb van a 3-hoz, mint a 2-hez:

=> nincs megoldás, mivel x mindig közelebb van 2-hez, mint 3-hoz;
"szemmel", ;
=> „szemmel”, .
Válasz: .

D) Ez a példa azt mutatja, hogy a számtengely „szigorú” intervallumokra osztása (az űrlap „átfedései” nélkül) nagyon hasznos lehet:

Nincsenek megoldások;
(megfelel a figyelembe vett félidőnek);
nincsenek megoldások.
Válasz: .

E) Kezdjük az intervallum módszer alkalmazásával:

Most jegyezzük meg, hogy ebben a szegmensben és azon túl. Ezért van értelme az egyenletet csak ezen a szegmensen figyelembe venni, és a következőt kapjuk: . Nyilván x=2.
Válasz: .

B. Az egyenlet jobb és bal oldalának értéktartományának tanulmányozásával gyakran lehetséges a megoldás egyszerűsítése, kiküszöbölve az ismeretlen nyilvánvalóan nem megfelelő értékeit.

9. példa Oldja meg az egyenleteket: a) b) c) d) .

Megoldások:

A) Az egyenlet bal oldala nem negatív bármely x esetén, a jobb oldala pedig negatív szám.
Válasz: nincsenek megoldások.

B) Az egyenlet bal oldala nem negatív bármely x esetén, tehát ha x megoldás, akkor a jobb oldala is nem negatív. Ez azt jelenti, hogy elegendő csak az x értékeit figyelembe venni a régióból, azaz. De aztán rossz egyenlőséget kaptunk.
Válasz: nincsenek megoldások.
c) A kifejezés bármely x-re pozitív, így a külső moduláris zárójelek eltávolíthatók. Ezenkívül, ha x megoldás, akkor a jobb oldal is pozitív, tehát elegendő x-et figyelembe venni a tartományból. Ezután megkapjuk (a régiónak felel meg).
Válasz: .

D) Két nemnegatív tag összege 1, ha egyik tag sem haladja meg az egyet: Mivel, akkor a jelzett szegmensen azt kapjuk, hogy Ha, akkor nyilvánvalóan ez nem felel meg nekünk. Ezért ha x megoldás, akkor. És ezen a fél intervallumon megkapjuk
Nyilvánvaló, hogy ez egy idegen gyökér.
Válasz: .

C. Tekintsük az (1) alakú egyenleteket!
Ezt az egyenletet az intervallum módszerrel megoldva egyenletet kapunk azokra az intervallumokra, ahol, és egyenletet a hol intervallumokra. Nyilvánvaló, hogy nincs értelme az egyes intervallumokat külön-külön figyelembe venni - elég, ha felosztja őket a két jelzett csoportra: mindegyikhez meg kell oldania a megfelelő egyenletet, és ellenőriznie kell a kapott gyökereket, hogy megfelelnek-e a megadott feltételnek. Így

Egy másik lehetőség is lehetséges: egyértelmű, hogy az egyenlet megoldásai közül az (1) egyenlet valódi gyökerei azok lesznek, amelyekre az esetre hasonló érvelést kapunk.

Az, hogy melyik opciót választjuk, függ a függvények típusától, például ha egyszerűbb egyenletek megoldásait az ellenőrzéshez helyettesíteni, akkor ésszerűbb az első módszer alkalmazása.

10. példa Oldja meg az egyenleteket: a)
b) c) .

Megoldások:

A) Tegyük fel
Akkor van
Tegyük fel
Akkor nincs megoldásunk.
Most nézzük meg a kapott gyökereket. Írjuk át az eredeti egyenletet:
. Mert mindkét gyökér igaz.
Válasz:

B) Tegyük fel
Akkor nincs megoldásunk.
Tegyük fel
Akkor van
E gyökök igazságának megállapításához ellenőrizzük a feltétel teljesülését. Ezt kapjuk: Nyilvánvaló, hogy a gyök idegen. Az ellenőrzéshez nézzük meg, hogy ez igaz-e. Mivel ez az, a kérdéses egyenlőtlenség nem teljesül.
Válasz: nincsenek megoldások.

C) Írjuk át az egyenletet: A következő grafikus szemléltetést használjuk: (a és a függvények grafikonjait itt mutatjuk be).

Most már világos, hogy a kapott numerikus intervallumokat a következő három csoportba kell kombinálni:
1) . Kapunk (megfelel a megadott feltételnek).
2) Megkapjuk
nincsenek megoldások.
3) Megkapjuk
nincsenek megoldások.
Válasz: .

D. Jól ismert az a módszer, amikor néhány kifejezést új literális változóval helyettesítünk. Csak azt lehet észrevenni, hogy a modulust tartalmazó egyenletek megoldása során sokszor azonnal behatárolható az új változó változási tartománya.
11. példa Oldja meg az egyenleteket vagy egyenletrendszert: a) ;
b) ;
V)

Megoldások:
a) Új változóra cserélve egy olyan rendszert kapunk, amely azt jelenti, hogy és az egyenlet gyökerei.
Válasz: .

B) A kifejezést új változóra cserélve egyenletet kapunk. Kapunk:
. Ezeknek az egyenleteknek a megoldása hátra van.
Válasz: .

C) Írjuk át az egyenletet a következőképpen:
Nyilvánvalóan két lehetőség lehetséges:
1)
2) Cserélje ki egy új változóra. Megjegyzendő, hogy a helyettesítés jelentése szerint és ezen egyenlet ODZ-je szerint, i.e. (*) És az egyenlet a következő alakot veszi fel. Mióta megkapjuk
Figyelembe véve (*), végül megkapjuk
Tehát, helyettesítve ezzel, megkapjuk
Mivel a helyettesítés jelentése szerint azt kapjuk

Tesztfeladatok az 1. §-hoz.
1) Oldja meg egy szám modulusának definíciójával:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) .

2) Oldja meg a „standard” egyenleteket:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) .

3) Oldja meg az intervallum módszerrel:
a) b) ; c) d) e) f) g) h) i) j) l) m) n) o) p) p) c) t) y) f) x) h)

4) Döntse el racionális módon:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) m) n)

5) Egyenletrendszerek megoldása:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) m) n) o) p) p)

A „modulus” függvény és a paraméterekkel kapcsolatos grafikonok szerkesztésére vonatkozó feladatok hagyományosan a matematika egyik legnehezebb témája, ezért az államvizsga és az egységes államvizsga emelt és magas szintű feladatai között mindig szerepel.

A „modul” fogalmát az iskolában 6. osztálytól tanulják, és csak definíciók és számítások szintjén, annak ellenére, hogy széles körben használják az iskolai matematika kurzus számos szakaszában, például az abszolút tanulásban. és egy hozzávetőleges számú relatív hiba; a geometriában és a fizikában a vektor fogalmát és hosszát (vektor modulusát) tanulmányozzuk. A modul fogalmait a felsőoktatási intézményekben tanult felsőoktatási matematika, fizika és műszaki tudományok kurzusaiban használják.

A végzősök azzal a problémával szembesülnek, hogy a 9. évfolyamon sikeresen le kell tenni az államvizsgát, majd később az egységes államvizsgát is.

Idén matematika órán megismerkedtünk a lineáris függvény fogalmával és megtanultuk, hogyan kell ábrázolni a grafikonját. Megmutatták, hogy ezt a grafikont vettük alapul a „modulus” függvény összeállításához. Emellett a tanár elmondta, hogy az egyenletek egy és több modullal is járnak. Úgy döntöttem, hogy mélyebben tanulmányozom ezt a témát, különösen azért, mert hasznos lesz számomra a vizsgák letételekor.

Téma "Grafikus módszer abszolút értéket tartalmazó egyenletek megoldására"

A munka célja : egy modult és egy paramétert tartalmazó egyenletek megoldására szolgáló modulokkal gráfok racionális felépítésének lehetőségének vizsgálata

Tanulmányozza a modulusos egyenletek megoldási módszereinek elméletét.

Tanuljon meg abszolút értékjelet tartalmazó 1. fokú egyenleteket megoldani.

Grafikus módszerek osztályozása egyenletek megoldására.

Elemezze a modulusfüggvény grafikonjainak ábrázolására szolgáló különféle módszerek előnyeit és hátrányait.

Tudja meg, mi az a paraméter

Racionális módszerek alkalmazása paraméteres egyenletek megoldására

Objektum – módszerek modulusos egyenletek megoldására

Tárgy: egyenletek megoldásának grafikus módszere

Kutatási módszerek: elméleti és gyakorlati:

elméleti - ez a kutatási téma szakirodalmának tanulmányozása; Internetes információ;

gyakorlati - ez az irodalom tanulmányozásából nyert információk elemzése, a modulusos egyenletek különféle módokon történő megoldása során kapott eredmények;

Az egyenletek megoldási módszereinek összehasonlítása a különböző egyenletek modulusos megoldása során történő alkalmazásuk racionalitása.

I. fejezet

Fogalmak és meghatározások

1.1. A „modul” fogalmát széles körben használják az iskolai matematika kurzus számos részében, például egy közelítő számú abszolút és relatív hibák vizsgálatánál. a geometriában és a fizikában a vektor fogalmát és hosszát (vektor modulusát) tanulmányozzuk. A modul fogalmait a felsőoktatási intézményekben tanult felsőoktatási matematika, fizika és műszaki tudományok kurzusaiban használják.

A „modul” szó a latin „modulus” szóból származik, ami „mértéket” jelent. Ennek a szónak sok jelentése van, és nem csak a matematikában, a fizikában és a technológiában használják, hanem az építészetben, a programozásban és más egzakt tudományokban is. Úgy tartják, hogy a kifejezést Cotes, Newton tanítványa javasolta. A modulus jelet a 19. században vezette be Weierstrass.

Az építészetben a modul egy adott építészeti szerkezetre felállított kezdeti mértékegység , modulnak több jelentése is van, de én egy szám abszolút értékeként fogom kezelni.

Meghatározás : Valós szám modulusa (abszolút értéke). A ezt a számot magát ha A≥0, vagy az ellenkező szám – A, Ha A<0; a nulla modulusa nulla.

A modulus a távolság a koordináta egyenesen nullától egy pontig.

1.2. A modulusos egyenlet olyan egyenlet, amely az abszolút érték előjele alatt (a modulus előjele alatt) tartalmaz egy változót. Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek gyökök. Modulusos egyenletek megoldási módszerei:

1. A modul meghatározása szerint - „modul eltávolítása”. A döntés a definíció alapján születik.

2. Analitikai módszer - egyenletek megoldása az egyenletben szereplő kifejezések transzformációival és a modul tulajdonságaival.

3. Intervallumok módszere: a modul kiterjesztése a modulok „nullái” által alkotott intervallumokra és félintervallumokra.

4.Grafikus módszer. Ennek a módszernek az a lényege, hogy grafikonokat készítünk ezekről a függvényekről, amelyek az egyenlet bal és jobb oldalát reprezentálják. Ha a gráfok metszik egymást, akkor ezeknek a gráfoknak a metszéspontjainak abszcisszái lesznek ennek az egyenletnek a gyökerei.

1.3.Módszerek modulusos függvények ábrázolására

1.3.1. Definíció szerint. Két egyenest szerkesztünk y=khx+b, ahol x>0, y=-khx+b, ahol x<0

1.3.2 Szimmetriai módszer. Megrajzolunk egy grafikont y=kx+b, ha x>0 az egyenes egy részét x pontban<0 отображается относительно оси абцисс.

1.3.3. Függvények átalakítása:

a) y=|x |+n a gráf az ordináta tengelye mentén egységekkel felfelé tolódik el

b) y=|x |-n a gráf lefelé tolódik az ordináta mentén

c) y=|x +n | a grafikon az abszcissza tengelye mentén balra tolódik el

d )y=|x -n | a grafikon az abszcissza tengelye mentén jobbra tolódik el

1.3.4. Intervallum módszer. A koordinátavonalat a modulus nullák intervallumokra és félintervallumokra osztják. Ezután a modul definícióját felhasználva minden talált területre egy egyenletet kapunk, amelyet egy adott intervallumon kell megoldani, és kapunk egy függvényt.

1.3.5. Nulla területek bővítésének módszere. Abban az esetben, ha több modul van, kényelmesebb, ha nem bővítjük ki a modulokat, hanem a következő utasítást használjuk: modulok algebrai összege n A lineáris kifejezések egy darabonkénti lineáris függvény, melynek grafikonja abból áll n+1 egyenes szakaszok.

Ezután a gráfot a szerint lehet összeállítani n+2 pont, n amelyek közül az intramoduláris kifejezések gyökereit képviselik, a másik egy tetszőleges pont, amelynek abszcissza kisebb, mint a kisebbik gyök, az utolsó pedig nagyobb, mint a nagyobb gyökök közül.

1.4. Megvan az egyenlet ax+b=c. Ebben az egyenletben X- ismeretlen, ABC– együtthatók, amelyek különböző számértékeket vehetnek fel. Az így megadott együtthatókat paramétereknek nevezzük. Egy paraméteres egyenlet sok egyenletet határoz meg (az összes lehetséges paraméterértékre).

ezek mind azok az egyenletek, amelyeket a paraméterekkel rendelkező egyenlet határoz meg ax+b=c.

Egy egyenlet megoldása paraméterekkel a következőket jelenti:

Jelölje meg, hogy a paraméterek mely értékeinél van gyökere az egyenletnek, és hány van a paraméterek különböző értékeinek.

Keresse meg a gyökök összes kifejezését, és jelölje meg mindegyikhez azokat a paraméterértékeket, amelyeknél ez a kifejezés meghatározza az egyenlet gyökerét.

1.5.Következtetések:

Így a modulusos gráfok elkészítésére különböző módszerek léteznek, amelyek racionális felhasználásának lehetőségét meg kell vizsgálni.

fejezet II

Modulot és alkalmazást tartalmazó függvénygráfok készítésének módszereinek elemzése

« A grafikon egy beszélő vonal

ami sokat tud mondani"

M.B.Balk

2.1. A modulusos egyenletek típusait vizsgálva azt láttuk, hogy típusokra és megoldási módokra oszthatók.

Táblázat. Az egyenlettípusok osztályozása és megoldási módjaik.

Egyenlet típusa

Az egyenlet típusa

Megoldási módszer

1. Egyenlet egy modullal

|x n|=a

|x| n=a

1. Modul definíció szerint

2.Grafika

3.Elemző

2. 2 modult tartalmazó egyenlet

|x n| |x m|=a

1. Modul definíció szerint

2.Grafika

3. Intervallum módszer

4.Elemző

3. Beágyazott modulok

|||x n| m||= A

1. Modul definíció szerint

2.Grafika

Következtetés: így az egyenletek osztályozása általános módszereket ad minden típusú egyenlet megoldására - ez definíció szerint modulus és grafikus módszer.

2.2.Grafikonos elemzés.

2.2.1. Típus 1. Konstrukció y=|x |

2.2.1.1.Definíció szerint.

1. Szerkesszünk meg egy y=x egyenest

2. Válassza ki a vonal egy részét az x pontban 0

3.Készítse meg az y=-x egyenest

4. Jelölje ki a vonal egy részét az x pontban<0

2.2.1.2. Szimmetriás módszer

1. Szerkesszünk meg egy y=x egyenest

2. Szimmetriát építünk az abszcissza tengely körül x pontban<0

2.2.1.3. Építés y=|x -2|

1. Szerkesszünk meg egy y=x-2 egyenest

2. Válassza ki az egyenes egy részét az x-2 pontnál 0

3.Készítsen egy egyenest y=-x+2

4. Válassza ki az egyenes egy részét az x-2 pontnál<0

Következtetés: a szimmetria módszer racionálisabb

2.2.2. 2. típus.

Feladat: készítsünk y= gráfot

2.2.2.1.Intervallum módszer

1. -on
y=-x+3+1-x-4 kapjuk; y = -2x

2. be
kapunk=-x+3-1+x-4; y = -2

3. be
azt kapjuk, hogy y=x-3-1+x-4; y = 2x-8

4. Megépítjük az összes egyenest.

5. Válassza ki a sorok részeit időközönként

2.2.2.2.Nulla terület bővítési módszer

1. Nullák: 3 és 1; kiterjesztett terület: 2,4,0

2. Kiszámoljuk az értékeket: 3,1,2,4,0 ezek a következők: -2, -2, -2, 0, 0

3. Helyezze el a pontokat koordinátáikkal és kösse össze

Következtetés: A nullák tartományának kiterjesztésének módszere ésszerűbb

2.2.3. 3. típus: Beágyazott modulok – „matryoshka”

ÉS Vizsgáljuk meg az y=||x|-1| szerkezetét

2.2.3.1.Modul definíció szerint

A fő modul meghatározása szerint a következőkkel rendelkezünk:

1) x>0 y=|x|-1

2) x<0 у=-|х|+1

2. „Távolítsa el” a következő modult:

Modul: y=x-1, x>0 és y=-x+1 x<0

y=-x+1 x>0 y=x-1 x<0

3. Grafikonokat építünk

2.2.3.2.Szimmetria módszer

1. y=|x|-1
y=x-1, szimmetria

2. Szimmetria a gráf azon részének abszcissza tengelye körül, ahol x-1<0

Következtetés: a szimmetria módszer racionálisabb.

2.2.4. Foglaljuk össze táblázatban az eredmények elemzését:

Tudás és készségek

Hibák

Definíció szerint

Modul meghatározása

Ismerje meg: hogyan határozzák meg az egyenesek pontjainak koordinátáit

Legyen képes meghatározni egy egyenes egy részét egy egyenlőtlenség segítségével

Terjedelmes megoldások

Nagy mennyiségű tudás alkalmazása

Egy modul „eltávolításakor” hibák következhetnek be

Szimmetriás módszer

Ismerje és tudja alkalmazni a függvénytranszformációt

Szerkessze meg a szimmetriát az abszcissza tengelye körül!

Gráfkonverziós algoritmusok ismerete

Intervallum módszer

Keresse meg a modulus nullákat

Intervallumok és félintervallumok meghatározása

Bővítse ki a modulokat

Számítsa ki a modulokat

Adjon meg hasonló kifejezéseket

Tudjon pontokat alkotni a koordinátáik alapján

Építs egyenes vonalakat

Terjedelmes megoldások

Rengeteg számítás és átalakítás a nullák eltávolításakor

Sok időt vesz igénybe

Az intervallumok és félintervallumok helyes meghatározása

Nulla terület bővítési módszer

Keresse meg a modulus nullákat

Legyen képes kiterjeszteni a nullák területét

Tudjon modulokat számolni ezeken a pontokon

Tudjon pontokat alkotni a koordinátáik alapján

Hibák engedélyezése a számításokban

Függvénytranszformációs módszer

Ismerje meg a konverziós algoritmust

Tudjon pontokat alkotni a koordinátáik alapján

Legyen képes kiszámolni a pontok koordinátáit

Legyen képes alkalmazni a konverziós algoritmust

Gráfkonverziós algoritmusok ismerete

Következtetés: a táblázatot elemezve arra a következtetésre jutunk, hogy a szimmetria módszere és a nullák tartományának kiterjesztése a legracionálisabb, mert a legkevesebb építési lépést tartalmazzák, ami azt jelenti, hogy időt takarítanak meg.

2.3.Racionális grafikus módszerek alkalmazása modulusos és paraméteres egyenletek megoldására

2.3.1. Oldja meg az egyenletet:

y=-t építünk
és y=0,5

2.Bővített terület: -1.2

3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Rajzoljon szegmenseket és sugarakat

2.3.2. Egységes államvizsga 2009 Keresse meg a minden értékét, amelyek mindegyikére vonatkozik az egyenlet
, pontosan 1 gyöke van.a =7. Az elvégzett munka során különböző gráfkészítési módszereket tanulmányozhattunk, elemezhettünk. A grafikus módszerek elemzése és összehasonlítása eredményeként a következő következtetéseket vontuk le:

Algebrai probléma fordítása nyelvre G Rafikov lehetővé teszi, hogy elkerülje a nehézkes döntéseket;

Modulust és paramétert tartalmazó egyenletek megoldásánál a grafikus módszer vizuálisabb és viszonylag egyszerűbb;

2 modult és egy „matrjoskát” tartalmazó gráfok készítésekor a szimmetria módszer praktikusabb;

Bár az egyenletek grafikus megoldása közelítő, mert a pontosság függ a kiválasztott egységszegmenstől, a ceruza vastagságától, a vonalak metszésszögétől stb., de ez a módszer lehetővé teszi az egyenletek gyökereinek számának becslését az egyenletek paraméterrel történő megoldásához.

Tekintettel arra, hogy az Egységes Államvizsga és Államvizsga legkedveltebb feladatai közé tartoznak a modulusos egyenletek, fő eredményem az, hogy a modulusos és paraméteres egyenleteket grafikusan is meg tudom oldani.

Hivatkozások

1.Dankova I. „Profil előkészítés matematikából”, Moszkva, 2006.

2. Tanórán kívüli munka matematikából. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Szaratov: Líceum, 2003.

3.Matematika. Ant L.Ya. által szerkesztett tankönyv, Moszkva híd, 1994.

4. Matematika. 8-9. évfolyam: szabadon választható tantárgyak gyűjteménye. 2. szám Szerző-összeállító: M.E. Kozina, Volgograd: Tanár, 2007

5. Yastrebinetsky G.A. Problémák a paraméterekkel. M, 2006

Bevezetés

1. Abszolút érték egy középiskolai tanfolyamon

1.1 Definíciók és fő tételek

1.2 A fogalom geometriai értelmezése |a|

2. Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei

2.1 Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása az abszolút érték (modulus) definíciójával

2.2 Megoldási módszer az a és b számok, moduljaik és a számok négyzetei közötti függőségek felhasználásával

2.3 Intervallum módszer

2.4 Grafikus módszer

2.5 A modul szekvenciális bővítésének módja

2.6 Egyenletek és egyenlőtlenségek típusai és megoldásuk

3. További módszerek az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására

3.1 modulust tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása azonosságok segítségével

3.2 Nemnegatív kifejezések moduljait tartalmazó egyenletek megoldása

3.3 Egyenletek megoldása geometriai értelmezés segítségével

3.4 Egyenletek megoldása a következményre lépve

3.5 Tipikus problémák, amelyek modulusjel alatti változót tartalmaznak

3.6 Tanári tanácsok az egyenletek és egyenlőtlenségek tanulmányozásának sorrendjéhez egy iskolai matematika kurzus moduljával

4. Egyenletek és egyenlőtlenségek egy modullal az Egységes Nemzeti Tesztelésben (UNT)

Következtetés

Felhasznált irodalom jegyzéke

Bevezetés

A téma relevanciája Ez annak köszönhető, hogy a modult széles körben használják az iskolai matematika, fizika és műszaki tudományok különböző szakaszaiban. Például a közelítő számítások elméletében egy közelítő szám abszolút és relatív hibáinak fogalmát használják, a vektor fogalmát és hosszát (vektormodulus) a geometriában és a mechanikában, a matematikai elemzésben a modulus fogalmát használják. a határértékek definíciói tartalmazzák, korlátos függvény. Úgy gondolom, hogy ez a téma elmélyültebb kutatást igényel, hiszen a didaktikai anyagok szerzői által a hallgatóknak kínált, fokozottan összetett feladatokban, matematikai olimpiák, UNT-feladatok és egyetemi felvételi vizsgák problémáiban látható.

A középiskolai matematikatanítás gyakorlatában nem egyszer találkozunk egy szám (modul) abszolút értékének fogalmával.

A 6. évfolyamon a közelítő számítások témakörében egy közelítő szám abszolút hibájának megértése mellett kialakul egy szám abszolút értékének fogalma.

A 6. évfolyam második felében egy szám abszolút értékének (modulusának) definíciója kerül bevezetésre és ennek segítségével fogalmazzák meg a racionális számokra vonatkozó műveleti szabályokat.

A 8. évfolyamon a számtani négyzetgyök tulajdonságainak mérlegelésekor a szám abszolút értékének fogalma új alkalmazást talál:

; , ahol mások.

A 9. osztályban egy sorozat határának tanulmányozása során a tanulók a következő alakú kifejezésekkel találkoznak:

A szám abszolút értékének fogalma a 10. évfolyamon kap további fejlődést a függvény határértékének, a korlátos függvény vizsgálatánál, a komplex számok vizsgálatánál.

A 11. évfolyamon a „Kitevő racionális kitevővel” témakör a gyökök tulajdonságait vizsgálja n fok, ahol egy szám abszolút nagyságának fogalmát is használják; tehát pl.

Így minden osztályban, a tantervnek megfelelően, a szám abszolút értékének előjelét tartalmazó gyakorlatok szerepeljenek és mérlegeljenek.

6. osztályban a következő alakú egyenleteket tudod megoldani:

A 7. évfolyamon lehetőség nyílik a formaegyenletek megoldásainak vizsgálatára: stb., alakzati egyenletrendszerek:

Valamint függvénygráfok készítése: ; ; stb.

A 8. évfolyamon az abszolút érték fogalma kiterjed a másodfokú egyenletekre, a másodfokú trinom grafikonjára stb. Megoldhat a következő alakú egyenleteket: ; ;

A dolgozat újdonsága: megoldotta az összes egyenletet és egyenlőtlenséget az UNT tesztfeladatokban talált móljával, és megvizsgálta a tanulók által a megoldás során elkövetett főbb hibákat.

Cél kutatásunk elvégzése - az oktatási és módszertani anyag elemzése, az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszereinek egy modullal történő azonosítása és ezek kombinálása ebben a munkában.

A cél eléréséhez a következőket kell megoldani feladatokat:

Tanulmányozza a fő tételeket és definíciókat;

Ismertesse a modulusos egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának alapvető módszereit;

Azonosítson nem szabványos módszereket egyenletek és modulusos egyenlőtlenségek megoldására.

Tanulmányi tárgy: az egyenletek és egyenlőtlenségek tanításának folyamata az iskolában.

A kutatás tárgya: a modulusjelet tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei iskolai matematika tantárgyban.

Gyakorlati jelentősége tézis, hogy ez a dolgozat bemutatja az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának összes olyan módszerét és technikáját, amely egy iskolai matematika kurzusban használható.

A fő kutatási módszerek szakdolgozatomban a következők:

analitikus,

összehasonlító,

monografikus kiadványok és cikkek tanulmányozása,

konkrét történelmi,

általánosítási módszer.

Ez az oklevél a következő műveken alapul: „Abszolút érték” Gaidukov I.I., „Egyenletek és egyenlőtlenségek modulokkal és megoldási módszerekkel” Sevryukov P.F., Smolyakov A.N., „Algebra és az elemzés elvei. Egyenletek és egyenlőtlenségek 10 - 11kl" Olechnik, Potapov, Pasichenko.

Az első fejezet a probléma elméleti oldalát, a téma további kutatásához szükséges főbb tételeket és fogalmakat vizsgálja. egyenletprobléma egyenlőtlenség

A dolgozat második fejezetében az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszereit egy olyan modullal kombináltuk, amely az iskolai tantervben szerepel.

A harmadik fejezetben egy modult tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásának nem szabványos technikáit mutattuk be, amelyeket további osztályokban tanultunk, és olimpiai feladatok megoldásában alkalmaztunk. Szintén itt figyelembe kell venni az egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására vonatkozó tipikus feladatokat, valamint az Unified National Testing (UNT) tesztverzióinak feladatait.

Az abszolút érték előjelét tartalmazó egyenletek megoldásánál a szám modulusának meghatározására és a szám abszolút értékének tulajdonságaira fogunk alapozni.

1. Abszolút érték egy középiskolai tanfolyamon

1.1 Definíciók és fő tételek

Tekintsük egy szám abszolút nagyságának fogalmát, vagy ami ugyanaz, egy szám modulusát valós számokra.

Meghatározás 1.1.1 Az a valós szám abszolút értéke (modulusa) két a számból vett nemnegatív szám vagy - A.

Az a szám abszolút értéke jelölje | A| és olvassa el "az a szám abszolút értéke", vagy "a szám modulusa".

A definícióból ez következik:

A definícióból az következik, hogy bármely a valós szám esetén ≥0.

1.1.1. példa:

;

1.1.1. Tétel Az ellentétes számoknak egyenlő abszolút értéke van, azaz. = .

Valójában az abszolút érték definíciója szerint:

Ezért,

1.2 A fogalom geometriai értelmezése

Ismeretes, hogy minden valós szám társítható egy ponthoz a számegyenesen, akkor ez a pont ennek a valós számnak a geometriai képe lesz. A számegyenes minden pontja megfelel a referencia kezdőpontjától való távolságának, és egy szakasz hosszának, amelynek az eleje a referencia origójában, a vége pedig egy adott pontban van mindig nem negatív mennyiségnek számít.

Ugyanakkor a számegyenes minden pontjához rendelhető egy irányított szakasz (vektor), amelyet hosszúság és irány jellemez.

A valós számok halmaza egy orientált egyenes ponthalmazának felel meg, azaz. olyan egyenes, amelyen az origón és a léptéken kívül pozitív irányt állapítanak meg.

Ekkor feltételezhetjük, hogy egy valós szám geometriai értelmezése egy olyan vektor, amely az origóból jön és az adott számot reprezentáló pontban végződik. Ennek a vektornak a hossza egy adott valós szám abszolút értékének geometriai értelmezése lesz.

A jelentés geometriai értelmezése egyértelműen megerősíti, hogy =.

1.2.1. példa:

Ha = 5, akkor A 1 = 5 és A 2 =-5, vagy a =±5.

Ezért ezt az egyenlőséget két olyan szám teljesíti, amelyek a számegyenesen két pontnak felelnek meg.

Ha ˃10, akkor

Ahol A˃10 és A˂ -10, ill

Következésképpen ezt az egyenlőtlenséget két intervallum számhalmaza teljesíti: (-∞;-10) és (10;∞), a számegyenesen pedig két intervallum, amely ezeknek az intervallumoknak felel meg.

Egy algebrai feladat geometriai nyelvre fordítása kényelmes és hatékony módszer a problémák megoldására. Egy másik példaként nézzük meg az olimpiai feladatok blokkját:

1.2.2. példa:

Adott funkció: .

Megoldás: Készítsük el a függvény grafikonját. Ehhez vegye figyelembe, hogy , majd először elkészíthetjük a függvény grafikonját, majd tükrözhetjük azt a koordináta tengelyéhez képest. Alakítsuk át a függvényt meghatározó kifejezést:

Mivel ez a rendszer egy 2 sugarú felső félkört határoz meg, amelynek középpontja a pontban van, ezért az eredeti függvény grafikonja az ábrán látható félkörök uniója.

A problémák megoldása most nem nehéz:

Vel) at nincs megoldás, az egyenletnek három megoldása van, at - négy megoldása, at - két megoldása.

b) Az egyenlőtlenség az összes szegmensre érvényes.

a) az egyenlet gyöke az egyenes és a függvény grafikonjának metszéspontjának abszcisszája. Keressük geometriailag: az ábrán beárnyékolt derékszögű háromszög egyenlő szárú (az egyenes szögegyütthatója -1), hipotenusza a kör sugara, hossza 2. Ekkor az abszcisszán fekvő láb hossza értéke , és a szükséges abszcissza egyenlő .

Geomet r a modul logikai jelentése r mennyiségek különbsége a köztük lévő távolság. Például az |x– kifejezés geometriai jelentése A| - a pontokat az a és x abszcisszákkal összekötő koordinátatengely szakaszának hossza. Egy algebrai probléma geometriai nyelvre fordítása gyakran lehetővé teszi a nehézkes megoldások elkerülését.

1.2.3. példa: Oldjuk meg az |x–1|+|x–2|=1 egyenletet a modulus geometriai értelmezésével.

A következőképpen okoskodunk: a modul geometriai értelmezése alapján az egyenlet bal oldala valamely x abszcisszaponttól két fix pontig tartó távolságok összege, ahol az 1. és 2. abszcissza van. Ekkor nyilvánvaló, hogy minden pont abszcissza a szegmensből rendelkezik a szükséges tulajdonsággal, és ezen a szegmensen kívül található pontok - nem. Innen a válasz: az egyenlet megoldásainak halmaza a szegmens.

Válasz: x 

1.2.4. példa: Oldjuk meg az |x – 1| egyenletet - |x – 2|=1 1 a modul geometriai értelmezésével.

Az előző példához hasonlóan okoskodunk, és azt fogjuk látni, hogy az 1-es és 2-es abszcisszával rendelkező pontok távolságának különbsége csak a 2-es számtól jobbra lévő koordinátatengelyen eggyel egyenlő. ez az egyenlet nem az 1. és 2. pontok közé zárt szakasz, és a 2. pontból kilépő és az OX tengely pozitív irányába irányított sugár.

Válasz: x )

Előző cikk: Mekkora a fénysebesség Következő cikk: Harmonikus rezgések Az oszcillációs frekvencia fizikai képlete

Mi az abszolút érték jele? Oktatási portál

Letöltés:

Előnézet:

1. Abszolút érték egy középiskolai tanfolyamon

1.1 Definíciók és fő tételek

1.2 A fogalom geometriai értelmezése