Példák hiperbolikus paraboloid egyenletekre. Ellipszoid

Az ellipszoid egy olyan felület, amelynek egy bizonyos derékszögű derékszögű Oxyz koordinátarendszerében az egyenlet alakja a ^ b ^ c > 0. Ahhoz, hogy megtudjuk, hogyan néz ki egy ellipszoid, a következőképpen járunk el. Vegyünk egy ellipszist az Oxz síkon és forgassuk el az Oz tengely körül (46. ábra). 46. ​​ábra A kapott felület egy ellipszoid. Hiperboloidok. Paraboloidok. Hengerek és másodrendű kúp. - forradalom ellipszoidja - már képet ad arról, hogyan épül fel egy általános ellipszoid. Egyenletének megszerzéséhez elegendő a forgásellipszoidot az Oy tengely mentén egyenlően összenyomni a J ^!, t.c. együtthatóval. az egyenletében szereplő y helyére Jt/5). 10.2. Hiperboloidok A hiperbola elforgatása fl i! = a2 c2 1 az Oz tengely körül (47. ábra), egy lapos fordulathiperboloidnak nevezett felületet kapunk. Egyenlete *2 + y; ugyanúgy kapjuk meg, mint a forgásellipszoid esetében. 5) Forgási ellipszoidot kaphatunk a +yJ + *J = l" gömb egyenletes összenyomásával az Oz tengely mentén, ~ ^ 1 együtthatóval. Ennek a felületnek az Oy tengely mentén történő egyenletes összenyomásával 2 ^ 1 együtthatóval , egy lapos általános formájú hiperboloidot kapunk. Egyenlete: Hiperboloidok A konjugált hiperbolát az O tengely körüli elforgatásával kapjuk meg , egy kétlapos fordulatszámú hiperboloidot kapunk (48. ábra) Az Oy tengely mentén egyenletesen összenyomva 2 ^ 1 együtthatóval egy kétlapos hiperboloidot kapunk. y egyenletét az Oz tengely körül elforgatva x2 + y2 = 2 pz formájú forgásparaboloidot kapunk yj* ^ 1 együtthatóval egy elliptikus paraboloid Egyenletét a forgási paraboloid egyenletéből kapjuk If helyettesítésével, akkor az ábrán látható formájú paraboloidot kapjuk. 50. 10.4. Hiperbolikus paraboloid A hiperbolikus paraboloid olyan felület, amelynek egyenlete egy bizonyos derékszögű derékszögű Oxyz koordinátarendszerben p > 0, q > 0. Ennek a felületnek a típusát az úgynevezett metszetmódszerrel határozzuk meg, amely a következőkből áll. : a koordinátasíkokkal párhuzamosan olyan síkok rajzolódnak ki, amelyek metszik a vizsgált felületet, és a kapott lapos görbék konfigurációjának megváltoztatásával magára a felület szerkezetére vonunk le következtetést. Kezdjük az Oxy koordinátasíkkal párhuzamos z = h = const sík szerinti metszetekkel. Ha h > 0, akkor kapunk hiperbolákat h - konjugált hiperbolákra, és - metsző egyenesek párjára. Megjegyezzük, hogy ezek az egyenesek minden hiperbola aszimptotái (azaz bármely h Ф 0 esetén). A kapott görbéket vetítsük az Oxy síkra. A következő képet kapjuk (51. ábra). Már ez a megfontolás is lehetővé teszi, hogy következtetést vonjunk le a vizsgált felület nyereg alakú szerkezetére vonatkozóan (52. ábra). 51. ábra 52. ábra Tekintsük most a metszeteket síkonként Ha az egyenletben az y felületeket A-val helyettesítjük, megkapjuk a parabolák egyenleteit (53. ábra). Hasonló kép adódik egy adott felület síkokkal történő vágásakor is. Ilyenkor olyan parabolákat is kapunk, amelyek ágai lefelé irányulnak (és nem felfelé, mint az y = h síkokkal történő vágásnál) (54. ábra). Megjegyzés. A szakaszok módszerével megértheti az összes korábban figyelembe vett másodrendű felület szerkezetét. A másodrendű görbék elforgatásával és az azt követő egyenletes tömörítéssel azonban könnyebben és sokkal gyorsabban lehet megérteni szerkezetüket. A fennmaradó másodrendű felületeket lényegében már korábban figyelembe vettük. Ezek hengerek: elliptikus és hiperbolikus ábra. 56. ábra, valamint egy parabola- és másodrendű kúp, amelynek ötlete vagy metszővonalpár Óz tengely körüli elforgatásával és ezt követő összenyomásával, vagy metszetek módszerével nyerhető. Természetesen mindkét esetben azt tapasztaljuk, hogy a vizsgált felület alakja az ábrán látható. 59. a) számítsa ki a gócok koordinátáit; , . b) számítsa ki az excentricitást; . c) írja fel az aszimptoták és direktrixek egyenleteit; d) írja fel a konjugált hiperbola egyenletét és számítsa ki az excentricitását! 2. Írja fel a parabola kanonikus egyenletét, ha a fókusz és a csúcs távolsága 3. 3. Írja fel az ellipszis érintőjének egyenletét ^ + = 1 vétópont M(4, 3). 4. Határozza meg az egyenlet által adott görbe típusát és helyét: Válaszok: ellipszis, ellipszoiddal párhuzamos nagytengely. Hiperboloidok. Paraboloidok. Hengerek és másodrendű kúp. Ökör tengely; b) O hiperbolaközéppont (-1,2), az X súlyozott tengely szögegyütthatója 3; c) parabola У2 = , csúcs (3, 2), a parabola homorúsága felé irányuló tengelyvektor egyenlő (-2, -1); d) középpontos hiperbola, koordinátatengelyekkel párhuzamos aszimptoták; e) egy metsző egyenes pár f) egy pár párhuzamos egyenes

A hiperbolikus paraboloid is a másodrendű felületekhez tartozik. Ez a felület nem érhető el olyan algoritmussal, amely egy bizonyos egyenesnek egy rögzített tengelyhez viszonyított elforgatását használja.

Egy speciális modellt használnak a hiperbolikus paraboloid megszerkesztésére. Ez a modell két parabolát tartalmaz, amelyek két egymásra merőleges síkban helyezkednek el.

Legyen az I. parabola egy síkban és mozdulatlanul. A Parabola II összetett mozgást végez:

▫ kezdeti helyzete egybeesik a síkkal
, és a parabola csúcsa egybeesik a koordináták origójával: =(0,0,0);

▫ akkor ez a parabola párhuzamos fordításban mozog, és a csúcsa
az I. parabolával egybeeső pályát készít;

▫ a II. parabola két különböző kezdeti helyzetét veszik figyelembe: az egyik – a parabola felfelé irányuló ágai, a második – a lefelé mutató ágak.

Írjuk fel az egyenleteket: az első I parabolához:
– változatlanul; a második parabola II:
– kezdeti helyzet, mozgásegyenlet:
Nem nehéz belátni a lényeget
koordinátái vannak:
. Mivel szükséges egy pont mozgástörvényének megjelenítése
: ez a pont az I. parabolához tartozik, akkor a következő összefüggéseknek mindig teljesülniük kell: =
És
.

A modell geometriai jellemzőiből jól látható, hogy a mozgatható parabola felsöpri valamilyen felület. Ebben az esetben a II. parabola által leírt felület egyenlete a következő:

vagy→
. (1)

A kapott felület alakja a paraméterek előjeleinek eloszlásától függ
. Két eset lehetséges:

1). A mennyiségek jelei pÉs q egybeesik: az I. és a II. parabola a sík ugyanazon oldalán található OXY. Fogadjuk el: p = a 2 És q = b 2 . Ekkor megkapjuk az ismert felület egyenletét:

→ elliptikus paraboloid . (2)

2). A mennyiségek jelei pÉs q különbözőek: az I. és II. parabola a sík ellentétes oldalán található OXY. Hadd p = a 2 És q = - b 2 . Most megkapjuk a felületi egyenletet:

→hiperbolikus paraboloid . (3)

Nem nehéz elképzelni a (3) egyenlettel meghatározott felület geometriai alakját, ha felidézzük a mozgásban részt vevő két parabola kölcsönhatásának kinematikai modelljét.

Az ábrán az I. parabola hagyományosan pirossal van feltüntetve. Tekintettel arra, hogy a felület alakja kifejezően lovassági nyergre utal, ezt a környéket gyakran nevezik - nyereg .

A fizikában a folyamatok stabilitásának tanulmányozásakor az egyensúly típusait vezetik be: stabil - lyuk, lefelé konvex, instabil - felfelé konvex felület és közbenső - nyereg. A harmadik típusú egyensúly szintén az instabil egyensúly típusai közé tartozik, és csak a piros vonalon (I. parabola) lehetséges az egyensúly.

§ 4. Hengeres felületek.

A forgásfelületek figyelembevételekor a legegyszerűbb hengeres felületet határoztuk meg - egy forgáshengert, azaz egy körhengert.

Az elemi geometriában a hengert a prizma általános definíciójával analóg módon határozzuk meg. Elég bonyolult:

▫ legyen egy lapos sokszögünk a térben
– jelöljük így , és a sokszög egybeesik vele
– jelöljük így
;

▫ sokszögre alkalmazható
mozgás párhuzamos fordítás: pontok
egy adott iránnyal párhuzamos pályák mentén mozog ;

▫ ha leállítja a sokszögátvitelt
, majd a síkja
párhuzamos a síkkal ;

▫ a prizma felületét sokszögek halmazának nevezzük ,
– okokból prizmák és paralelogrammák
,
,... – oldalfelület prizmák.

BAN BEN Használjuk a prizma elemi definícióját a prizma és felülete általánosabb meghatározásához, nevezetesen megkülönböztetjük:

▫ a határtalan prizma élekkel határolt poliédertest ,,... és az ezen élek közötti síkok;

▫ a korlátozott prizma élekkel határolt poliéderes test ,,... és paralelogrammák
,
,...; ennek a prizmának az oldalfelülete paralelogrammák halmaza
,
,...; prizmalapok – sokszögek halmaza ,
.

Legyen korlátlan prizmánk: ,,... Metszük ezt a prizmát egy tetszőleges síkkal . Metszük ugyanazt a prizmát egy másik síkkal
. A keresztmetszetben egy sokszöget kapunk
. Általában feltételezzük, hogy a repülőgép
nem párhuzamos a síkkal . Ez azt jelenti, hogy a prizma nem a sokszög párhuzamos fordításával készült .

A prizma javasolt felépítése nem csak egyenes és ferde prizmákat tartalmaz, hanem csonkolt prizmákat is.

Az analitikus geometriában a hengeres felületeket olyan általánosan fogjuk értelmezni, hogy egy korlátlan henger speciális esetként tartalmaz határtalan prizmát: csak azt kell feltételezni, hogy a sokszög tetszőleges, nem feltétlenül zárt vonallal helyettesíthető. útmutató henger. Irány hívott alkotó henger.

Az elmondottakból az következik: egy hengeres felület meghatározásához meg kell adni egy vezérvonalat és a generatrix irányát.

A hengeres felületeket a 2. rendű síkgörbék alapján kapjuk, szolgálva útmutatók Mert alakítás .

A hengeres felületek tanulmányozásának kezdeti szakaszában egyszerűsítő feltevéseket fogadunk el:

▫ a hengeres felület megvezetése mindig az egyik koordinátasíkban legyen;

▫ generatrix iránya egybeesik az egyik koordinátatengellyel, azaz merőleges arra a síkra, amelyben a vezetőt meghatároztuk.

Az elfogadott korlátozások nem vezetnek az általánosság elvesztéséhez, hiszen a síkszelvények megválasztása miatt ez továbbra is lehetséges És
tetszőleges geometriai formák építése: egyenes, ferde, csonka hengerek.

Elliptikus henger .

Vegyünk egy ellipszist a henger vezetőjének :
, amely a koordinátasíkban található

: elliptikus henger.

Hiperbolikus henger .

:

, és a generatrix iránya határozza meg a tengelyt
. Ebben az esetben a henger egyenlete maga az egyenes : hiperbolikus henger.

Parabola henger .

Vegyünk egy hiperbolát a henger vezetőjének :
, amely a koordinátasíkban található
, és a generatrix iránya határozza meg a tengelyt
. Ebben az esetben a henger egyenlete maga az egyenes : parabola henger.

Megjegyzés: figyelembe véve a hengeres felületek egyenleteinek megalkotásának általános szabályait, valamint az elliptikus, hiperbolikus és parabolikus hengerek bemutatott konkrét példáit, megjegyezzük: bármely más generátorhoz henger készítése az elfogadott egyszerűsítési feltételek mellett nem okozhat semmilyen problémát. nehézségek!

Tekintsük most a hengeres felületek egyenletek megalkotásának általánosabb feltételeit:

▫ a hengeres felület megvezetése tetszőleges térsíkban helyezkedik el
;

▫ generatrix iránya az elfogadott koordinátarendszerben tetszőleges.

Az elfogadott feltételeket az ábrán ábrázoljuk.

▫ hengeres felületvezető tetszőleges síkban található hely
;

▫ koordinátarendszer
koordinátarendszerből kapjuk
párhuzamos átvitel;

▫ útmutató helye a repülőben a legelőnyösebb: egy 2. rendű görbe esetén feltételezzük, hogy a koordináták origója egybeesik központ a vizsgált görbe szimmetriája;

▫ generatrix iránya tetszőleges (bármelyik módon megadható: vektor, egyenes stb.).

A következőkben feltételezzük, hogy a koordinátarendszerek
És
egyeznek meg. Ez azt jelenti, hogy a párhuzamos transzlációt tükröző hengeres felületek felépítésére szolgáló általános algoritmus 1. lépése:
→
, korábban elkészült.

Emlékezzünk vissza egy egyszerű példán keresztül, hogy általános esetben hogyan vesszük figyelembe a párhuzamos átvitelt.

6. példa–13 : A koordinátarendszerben
mint:
=0. Írja le ennek az útmutatónak az egyenletét a rendszerbe
.

Megoldás:

1). Jelöljünk ki egy tetszőleges pontot
: rendszerben
Hogyan
, és a rendszerben
Hogyan
.

2). Írjuk fel a vektoregyenlőséget:
=
+
. Koordináta formában ezt így írhatjuk fel:
=
+
. Vagy a következő formában:
=
–
, vagy:
=.

3). Írjuk fel a hengervezető egyenletét a koordinátarendszerben
:

Válasz: transzformált vezetőegyenlet: =0.

Feltételezzük tehát, hogy a hengervezetőt ábrázoló görbe középpontja mindig a rendszerkoordináták origójában található
a repülőben .

Rizs. BAN BEN . Alaprajz henger építéséhez.

Tegyünk még egy olyan feltevést, amely leegyszerűsíti a hengeres felület megalkotásának utolsó lépéseit. Mivel a koordinátarendszer elforgatásával nem nehéz beállítani a tengely irányát
koordinátarendszerek
normál repülővel , és a tengelyek irányai
És
vezetőszimmetriatengelyekkel , akkor ezt feltételezzük a vezető kezdeti pozíciójaként van egy görbénk, amely a síkban helyezkedik el
, és az egyik szimmetriatengelye egybeesik a tengellyel
, a második pedig a tengellyel
.

Megjegyzés: mivel a párhuzamos transzláció és fix tengely körüli elforgatás műveletei meglehetősen egyszerűek, ezért az elfogadott feltételezések a legáltalánosabb esetben sem korlátozzák a kidolgozott hengeres felület felépítésére szolgáló algoritmus alkalmazhatóságát!

Láttuk, hogy hengeres felület megépítésénél abban az esetben, ha a vezető a síkban található
, és a generatrix párhuzamos a tengellyel
, elég csak az útmutatót meghatározni .

Mivel egy hengeres felület egyedileg meghatározható, ha a felület metszetében kapott tetszőleges vonalat tetszőleges síkkal adjuk meg, a probléma megoldására a következő általános algoritmust fogadjuk el:

1 ▫ . Legyen a generatrix iránya vektorral megadott hengeres felület . Tervezzünk útmutatót , amelyet a következő egyenlet ad meg:
=0, a generatrix irányára merőleges síkra , vagyis fel a repülőre
. Ennek eredményeként a hengeres felület a koordinátarendszerben lesz megadva
egyenlet:
=0.

2 ▫
a tengely körül
szögben
: szög jelentése
kompatibilis a rendszerrel
, és a kúpos felület egyenlete a következő egyenletté alakul:
=0.

3 ▫ . Alkalmazza a koordinátarendszer elforgatását
a tengely körül
szögben
: szög jelentése az ábrán jól látszik. Az elforgatás következtében a koordinátarendszer
kompatibilis a rendszerrel
, és a kúpos felület egyenlete átalakul
=0. Ez egy hengeres felület egyenlete, amelyhez az útmutatót megadták és generátor a koordinátarendszerben
.

Az alábbiakban bemutatott példa az írott algoritmus megvalósítását és az ilyen problémák számítási nehézségeit szemlélteti.

6. példa–14 : A koordinátarendszerben
a hengervezető egyenlet adott mint:
=9. Írjon fel egyenletet egy hengerre, amelynek generátorai párhuzamosak a vektorral! =(2,–3,4).

R
döntés:

1). Vetítsük a hengervezetőt egy merőleges síkra . Ismeretes, hogy egy ilyen transzformáció egy adott kört ellipszissé alakít, amelynek tengelyei: nagy =9, és kicsi =
.

Ez az ábra egy síkban meghatározott kör kialakítását szemlélteti
a koordinátasíkra
.

2). A kör tervezésének eredménye egy ellipszis:
=1, vagy
. A mi esetünkben ez:
, Ahol
==.

3
). Tehát egy hengerfelület egyenlete a koordinátarendszerben
kapott. Mivel a feladat feltételei szerint ennek a hengernek az egyenletével kell rendelkeznünk a koordinátarendszerben
, akkor marad egy koordináta-transzformáció alkalmazása, amely átalakítja a koordináta-rendszert
a koordinátarendszerhez
, ugyanakkor a henger egyenlete:
változókkal kifejezett egyenletté
.

4). Használjuk ki alapvető rajzoljon, és írja le a probléma megoldásához szükséges összes trigonometrikus értéket:

==,
==,
==.

5). Írjuk fel a koordináták transzformációjának képleteit a rendszerből való kilépéskor
a rendszerhez
:
(BAN BEN)

6). Írjuk fel a koordináták transzformációjának képleteit a rendszerből való kilépéskor
a rendszerhez
:
(VAL VEL)

7). Változók helyettesítése
a (B) rendszerből a (C) rendszerbe, és figyelembe véve a használt trigonometrikus függvények értékeit is, írjuk:

=
=
.

=
=
.

8). Marad a talált értékek helyettesítése És a hengervezető egyenletbe :
a koordinátarendszerben
. Miután befejezte gondosan minden algebrai transzformáció esetén megkapjuk a koordinátarendszerben a kúpfelület egyenletét
: =0.

Válasz: kúp egyenlet: =0.

6. példa–15 : A koordinátarendszerben
a hengervezető egyenlet adott mint:
=9, =1. Írjon fel egyenletet egy hengerre, amelynek generátorai párhuzamosak a vektorral! =(2,–3,4).

Megoldás:

1). Könnyen belátható, hogy ez a példa csak annyiban tér el az előzőtől, hogy a segédvonal párhuzamosan 1-gyel felfelé került.

2). Ez azt jelenti, hogy a (B) relációban el kell fogadni: =-1. A (C) rendszer kifejezéseit figyelembe véve javítjuk a változó bejegyzését :

=
.

3). A változás könnyen figyelembe vehető, ha módosítja a henger végső egyenletét az előző példából:

Válasz: kúp egyenlet: =0.

Megjegyzés: könnyen belátható, hogy a koordinátarendszerek többszöri transzformációinál a hengeres felületek problémáinál a fő nehézség az pontosság És kitartás algebrai maratonokon: éljen a sok szenvedő hazánkban elfogadott oktatási rendszer!

Tegyük fel feladatul a GMT megtalálását, amelyek mindegyike egyenlő távolságra van két a és b ferde egyenestől. Ehhez egy tetszőleges c egyenessel metsszük őket. A GMT VII alapján a pontok geometriai lokusza, amelyek mindegyike egyenlő távolságra van az a és c egyenesektől, egy bizonyos síkpár és. A pontok geometriai helye, amelyek mindegyike egyenlő távolságra van a c és b egyenesektől, egy bizonyos síkpár és.

A síkok négy egyenes metszéspontja a kívánt GMT-hez tartozik. A c metsző egyenest megváltoztatva így egy végtelen egyenes halmazt kapunk, amelynek minden pontja egyenlő távolságra van az adott a és b metsző egyenesektől. Ennek a halmaznak az összes vonalának uniója egy hiperbolikus paraboloidnak nevezett felület. Ennek egy része az ábrán látható. 7.

Rizs. 7

Ezt a nyereg alakú felületet az egyetemeken tanulmányozzák. A hiperbolikus paraboloid olyan egyenesek halmazaként definiálható, amelyek mindegyike három adott páronkénti ferde egyenest metsz, párhuzamosan ugyanazzal a síkkal. Ekkor a három megadott egyenes is az általuk megadott hiperbolikus paraboloidhoz tartozik. Minden hozzá tartozó egyenest generátorának nevezünk.

Egy paraboloidnak két generátor részhalmaza (két családja) van: az egyik család az adott három sor összes szekáns vonalából áll, a második pedig ezt a három sort. Ugyanazon család bármely két nemzetsége keresztezve van, és a különböző családok bármely két nemzetsége metszi egymást vagy párhuzamos.

Tétel. Két adott metsző egyenesnek a középsíkjukra merőleges vetületei közötti szögek l és m felezőinek minden pontja egyenlő távolságra van az adott egyenesektől, azaz egy hiperbolikus paraboloidhoz tartozik.

Bizonyíték. Legyen AB az adott a és b metsző egyenesek közös merőlegese, r a középsíkjuk, l az a és b egyenesek a2 és b2 merőleges vetületei közötti szögek egyik felezője a g síkra (8. ábra). ). Egy tetszőleges P pontból? l a P C és P D merőlegeseket a b és c síkra ejtsük, valamint a P E és P F merőlegeseket az a és b egyenesekre. Három CE?a és DF ?b merőleges tétele alapján. Az ACE és a BDF derékszögű háromszögek egyenlősége azt jelenti, hogy CE = DF, a P CE és P DF derékszögű háromszögek egyenlősége pedig azt, hogy P E = P F. Az olvasó a bizonyítás néhány kihagyott részletét maga fogja kitölteni, a 2. ábra segítségével. 8.

Ellipszoid- egy gömb három egymásra merőleges tengely mentén történő deformálásával kapott felület háromdimenziós térben. Egy ellipszoid kanonikus egyenlete az ellipszoid deformációs tengelyeivel egybeeső derékszögű koordinátákkal: .

Az a, b, c mennyiségeket az ellipszoid féltengelyeinek nevezzük. Az ellipszoid olyan test is, amelyet egy ellipszoid felülete határol. Az ellipszoid a másodrendű felületek egyik lehetséges formája.

Abban az esetben, ha egy féltengelypár azonos hosszúságú, akkor ellipszoidot kaphatunk, ha az ellipszist az egyik tengelye körül forgatjuk. Az ilyen ellipszoidot forgásellipszoidnak vagy szferoidnak nevezzük.

Az ellipszoid pontosabban tükrözi a Föld idealizált felületét, mint egy gömb.

Az ellipszoid térfogata:.

A forgásellipszoid felülete:

Hiperboloid- ez egy háromdimenziós térbeli másodrendű felület, amelyet derékszögű koordinátákban határoz meg a - (egylapos hiperboloid) egyenlet, ahol a és b a valós féltengelyek, c pedig a képzeletbeli féltengely ; vagy - (kétlapos hiperboloid), ahol a és b képzeletbeli féltengelyek, c pedig a valós féltengely.

Ha a = b, akkor egy ilyen felületet fordulathiperboloidnak nevezünk. Egy lapos fordulathiperboloidot kaphatunk úgy, hogy a hiperbolát a képzeletbeli tengelye körül forgatjuk, egy kétlapos hiperboloidot pedig a valós tengelye körül. Egy kétlapos fordulathiperboloid a P pontok lokusza is, a távolságok különbségének modulusa, amelytől két adott A és B pontig állandó a távolság: | AP − BP | = konst. Ebben az esetben A-t és B-t a hiperboloid gócainak nevezzük.

Az egylapos hiperboloid egy kétszeresen szabályozott felület; ha ez a fordulat hiperboloidja, akkor azt úgy kaphatjuk meg, hogy egy egyenest egy másik egyenes körül forgatunk, amely metszi.

Paraboloid— a másodrendű felület típusa. A paraboloid nyitott, nem központi (azaz szimmetriaközéppont nélküli) másodrendű felületként jellemezhető.

Egy paraboloid kanonikus egyenlete derékszögű koordinátákkal:

· ha a és b azonos előjelű, akkor a paraboloidot elliptikusnak nevezzük.

· ha a és b különböző előjelűek, akkor a paraboloidot hiperbolikusnak nevezzük.

· ha az egyik együttható nulla, akkor a paraboloidot parabolahengernek nevezzük.

ü egy elliptikus paraboloid, ahol a és b azonos előjelű. A felületet párhuzamos parabolák felfelé irányuló ágakkal írják le, csúcsai egy parabolát írnak le, ágakkal szintén felfelé. Ha a = b, akkor az elliptikus paraboloid egy olyan forgásfelület, amely egy parabola e parabola csúcsán áthaladó függőleges tengely körüli forgatásából jön létre.

ü hiperbolikus paraboloid.

A tengelye körül egy közönséges elliptikust kaphat. Ez egy üreges izometrikus test, amelynek metszetei ellipszisek és parabolák. Az elliptikus paraboloidot a következőképpen adjuk meg:
x^2/a^2+y^2/b^2=2z
A paraboloidok minden fő szakasza parabola. Az XOZ és YOZ síkok vágásakor csak parabolákat kapunk. Ha merőleges metszetet rajzol az Xoy síkhoz képest, akkor ellipszist kaphat. Ezenkívül a szakaszokat, amelyek parabolák, a következő alakú egyenletek határozzák meg:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=2z
Az ellipszis szakaszait más egyenletek adják meg:
x^2 /a^2+y^2/b^2=2h
Az a=b pontban lévő elliptikus paraboloid forradalom paraboloidjává változik. A paraboloid felépítésének számos olyan jellemzője van, amelyeket figyelembe kell venni. Indítsa el a műveletet az alap elkészítésével - a függvény grafikonjának rajzával.

A paraboloid felépítéséhez először meg kell építeni egy parabolát. Rajzolj egy parabolát az Oxz síkban az ábra szerint! Adj meg a leendő paraboloidnak egy bizonyos magasságot. Ehhez húzzon egy egyenest úgy, hogy az érintse a parabola felső pontjait, és párhuzamos legyen az Ox tengellyel. Ezután rajzoljon egy parabolát a Yoz síkban, és húzzon egy egyenest. Két egymásra merőleges paraboloid síkot kapunk. Ezek után az Xoy síkban készítsünk egy paralelogrammát, amely segít ellipszis rajzolásában. Ebbe a paralelogrammába írjon ellipszist úgy, hogy az minden oldalát érintse. Ezen átalakítások után töröljük a paralelogrammát, és ami marad, az egy paraboloid háromdimenziós képe.

Létezik egy hiperbolikus paraboloid is, amely homorúbb, mint egy elliptikus. A szakaszaiban parabolák és esetenként hiperbolák is találhatók. Az Oxz és az Oyz menti fő szakaszok, az elliptikus paraboloidokhoz hasonlóan, parabolák. Ezeket a következő alakú egyenletek adják meg:
x^2/a^2=2z; y^2/a^2=-2z
Ha az Oxy tengelyhez viszonyított metszetet rajzol, hiperbolát kaphat. Ha hiperbolikus paraboloidot készít, használja a következő egyenletet:
x^2/a^2-y^2/b^2=2z - hiperbolikus paraboloid egyenlete

Kezdetben konstruáljon egy rögzített parabolát az Oxz síkban. Rajzolj egy mozgó parabolát az Oyz-síkban. Ezután állítsa be a paraboloid h magasságát. Ehhez jelöljünk ki két pontot a rögzített parabolán, amelyek két további mozgatható parabola csúcsai lesznek. Ezután rajzoljon egy másik O"x"y" koordinátarendszert a hiperbolák ábrázolásához. Ennek a koordináta-rendszernek egybe kell esnie a paraboloid magasságával. Az összes szerkesztés után rajzolja meg a fent említett két mozgatható parabolát úgy, hogy a szélső pontokat érintse a hiperbolákból az eredmény egy hiperbolikus paraboloid.